KAPITA SELEKTA

OLIMPIADE MATEMATIKA DENGAN PROSES BERFIKIR SECARA GEOMETRI

(Segi Empat dan Sifat-Sifatnya)

Dosen Pengampu : Dr. Riyadi , M.Si

Kelompok I

1. Berti Okta Sari (S851402006)

2. Juitaning Mustika (S851402026)

3. Rohmi Malikah NS (S851402048)

4. Yudi Pramono Pawiro

(S851402070)

PROGRAM MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2014

A. Materi Segi Empat dan Sifat-Sifatnya

Adapun yang akan dibahas di makalah ini adalah

persegi panjang, persegi, jajar genjang, belah

ketupat, layang-layang, dan trapesium.

1. Persegi Panjang

Definisi:

Persegi panjang adalah bangun datar segi empat

yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan salah

satu sudutnya siku-siku.

Sifat-Sifat:

Suatu persegi panjang memiliki sifat-sifat

berikut:

a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi

yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Dari gambar maka AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄BC ; AB = DC dan

AD = BC.

b. Memiliki dua diagonal, dimana kedua

diagonalnya sama panjang dan saling membagi dua

sama besar.

Dari gambar maka AO = OC= BO= OD.

c. Memiliki empat sudut, dimana keempat sudutnya

sama besar dan merupakan sudut siku-siku.

Dari gambar maka ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 900.

d. Dapat menempati bingkainya kembali dengan

empat cara.

Luas dan Keliling:

Misalkan panjang dan lebar suatu persegi panjang

ABCD berturut-turut p dan l, maka:

Keliling persegi panjang = 2(p + l) dan luas persegi

panjang = p x l .

2. Persegi

Definisi:

Persegi adalah suatu persegi panjang yang keempat

sisinya sama panjang.

Sifat-Sifat:

Suatu persegi memiliki sifat-sifat berikut:

a. Mempunyai empat sisi yang sama panjang.

Dari gambar maka AB = BC = CD = DA

b. Sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

Dari gambar maka AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄BC

c. Memiliki dua diagonal, dimana kedua

diagonalnya sama panjang dan saling membagi dua

sama besar serta berpotongan tegak lurus.

Dari gambar maka AC = AB; DO = OB; AO = OC; AB

AC (∠AOC = 900).

d. Memiliki empat sudut, dimana keempat sudutnya

sama besar dan merupakan sudut siku-siku.

Dari gambar maka ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 900.

e. Dapat menempati bingkainya kembali dengan

delapan cara.

Luas dan Keliling:

Misalkan panjang sisi suatu persegi ABCD, adalah s

maka berlaku

Keliling persegi = 4s dan luas persegi = s2.

3. Jajar Genjang

Definisi:

Jajar genjang adalah segiempat yang setiap pasang

sisinya yang berhadapan sejajar dan sama panjang.

Sifat-Sifat:

Suatu jajar genjang memiliki sifat-sifat berikut:

a. Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang

berhadapan sama panjang dan sejajar.

Dari gambar maka AD = BC dan DC = AB; AD ⁄⁄ BC

dan DC ⁄⁄AB

b. Memiliki dua diagonal, dimana kedua diagonalnya

saling berpotongan dan membagi dua sama panjang

Dari gambar maka AC berpotongan dengan DB; AO

= OC dan DO = OB

c. Memiliki empat sudut, dimana sudut-sudut yang

berhadapan sama besar.

Dari gambar maka ∠A = ∠C dan ∠D = ∠B

d. Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan

adalah 1800.

Dari gambar maka ∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=1800.

e. Dapat menempati bingkainya dengan tepat setelah

diputar setengah putaran pada titik potong

diagonalnya.

Misalkan jajaran genjang memilikisisi yang

panjangnya a dan b serta jarak dua sisi sejajar a

sama dengan t maka berlaku :

Keliling jajaran genjang = 2(a + b) dan luas

jajaran genjang = a x t

4. Belah Ketupat

Definisi:

Belah ketupat adalah Jajar genjang yang keempat

sisinya sama panjang.

Sifat-sifat belah ketupat :

a. Dua sisi berhadapan sejajar.

Dari gambar didapat AB ⁄⁄ DC dan AD ⁄⁄BC.

b. Mempunyai empat sisi, dimana keempatnya sama

panjang.

Dari gambar didapat AB = DC = AD = BC.

c. Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri.

d. Memiliki dua diagonal, dimana kedua

diagonalnya saling membagi dua sama besar dan

berpotongan tegak lurus.

Dari gambar didapat AO = OC dan BO = OD dan AC

DB.

e. Sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi

dua sama besar oleh diagonalnya.

Dari gambar didapat ∠A = ∠C dan ∠D = ∠B; ∠BAD =

∠BCD dan ∠ADC = ∠ABC; dan ∠CDO = ∠ADO, ∠DCO =

∠BCO, ∠CBO = ∠ABO dan ∠BAO = ∠DAO.

f. Dapat menempati bingkainya dengan empat cara.

Misalkan belah ketupat memiliki sisi-sisi yang

panjangnya a serta panjang kedua diagonalnya d1=

AC dan d2= BD maka berlaku:

Keliling belah ketupat = 4a dan luas belah ketupat

5. Layang-layang

Definisi:

Layang-layang adalah segiempat dengan tepat dua

pasang sisi-sisi yang berdekatan sama panjang.

Sifat-sifat layang-layang :

a. Memiliki dua pasang sisi sama panjang.

AB = BC dan AD= CD.

b. Terdapat sepasang sudut-sudut yang berhadapan

sama besar.

Dari gambar maka ∠ADC = ∠ABC

c. Salah satu diagonalnya merupakan sumbu

simetri, yakni diagonal AC. Salah satu

diagonalnya membagi dua sama panjang dan saling

tegak lurus.

Dari gambar maka AC membagi DB dua sama panjang

dan AC tegak lurus AB, yakni AC DB

(∠CPB=900);DP =DB

d. Diagonal terpanjang membagi diagonal

terpendek sama panjang. Diagonal terpanjang

adalah BD sehingga AP = PC.

e. Dapat menempati bingkainya dengan dua cara.

Misalkan layang-layang memiliki sisi-sisi yang

panjangnya AB = BC = a dan AD = CD =b serta

panjang kedua diagonalnya d1= AC dan d2= BD maka

berlaku

Keliling layang-layang = 2(a + b) dan luas layang-

layang

6. Trapesium.

Definisi:

Trapesium adalah segiempat yang tepat mempunyai

sepasang sisi yang sejajar.

Sifat-sifat trapesium :

a. Memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar.

Dari gambar didapat AB ⁄⁄DC.

b. Jumlah sudut yang berdekatan di antara dua

sisi sejajar pada trapesium adalah1800.

Dari gambar maka ∠BAD + ∠ADC = 1800 dan ∠ABC +

∠BCD = 1800.

Misalkan trapesium memiliki sisi-sisi

yangpanjangnyaa, b, c dan d dengan a dan c

sejajar serta jarak dua sisi sejajar sama dengan

t maka berlaku

Keliling trapesium = a + b + c + d dan luas

trapesium = . (a + c) x t

B. Contoh Soal dan Pembahasan

1. OSN, 11 September 2001

Pada persegi (bujur sangkar) ABCD dibuat segitiga

sama sisi CMN dengan M terletak pada AD dan N pada

AB. Jika luas persegi tersebut satu satuan luas.

Berapakah luas segitiga CMN.

Solusi:

Perhatikan

Perhatikan

1 C

1

N x B

D

x

1 - x

A 1 - x

M

2. OSN 11 September 2001

Sebuah persegi disisipkan di dalam lingkaran dalam

sebuah segitiga sama sisi (ini berarti keempat titik

sudut persegi terletak pada linngkaran). Berapakah

perbandingan luas segitiga terhadap luas persegi.

Solusi:

Misalkan panjang segitiga adalah

Misalkan panjang sisi bujursangkar adalah maka:

xx

C

B

A

x

x

3. ABCD sebuah bujur sangkar (persegi) dengan

panjang sisinya 1. Titik E, F, G, H masing-masing

pada sisi AB; BC;CD dan DA dengan AE = BF = CG = DH,

di dalam segitiga A, E, H dibuat bujur sangkar M.

Bila luas bujur sangkar E, F, G, H adalah L, berapa

luas bujur sangkar M dinyatakan terhadap L.

Solusi:

Misalkan panjang sisi bujur

sangkar M adalah x dan AE =

y, Luas bujur sangkar EFGH

adalah

L = Luas ABCD – 4 (luas

EBF)

=

=

...........................

..(1)

F

BEA

R

H

D G C

S

Dari persamaan (1) dan (2), maka

, akibat luas bujur sangkar M adalah

4. Soal nomor 2 Olimpiade sains nasional 2003, Balik

Papan (Kalimantan Timur), 15 – 19 september 2003

Diberikan sebuah segiempat ABCD sebarang. Misalkan P,

Q, R, S berturut-turut adalah titik-titik tengah AB,

BC, CD, DA. Misalkan pula PR dan QS berpotongan di O.

Buktikan bahwa PO = OR dan QO = OS.

Solusi:

Alternatif 1:

Dengan cara vektor:

Karena maka ruas garis SR dan PS sejajar

dan sama panjang.

Karena maka ruas garis QR dan PS sejajar dan

sama panjang. Akibatnya segiempat PQRS adalah jajar

genjang.

Karena dan PS sejajar serta sama

panjang dengan QR maka kongruen dengan

yang berakibat QO = OS dan PO = OR

Alternatif 2:

Pada dan berlaku serta

dan yang berarti dan sebangun.

Maka AC sejajar PQ dan .

Pada dan serta sehingga SR

sejajar PQ dan SR= PQ.

Karena SR//PQ maka dan dan

karena SR = PQ maka kongruen dengan yang

berakibat QO = OS dan PO = OR

Terbukti bahwa PO = OR dan QO = OS

5. Soal geometri nomor 7 OSN matematika SMA 2013

Diberikan jajar genjang ABCD. Pada sisi luar jajar

genjang, dikonstruksi persegi-persegi

ABC1D1,BCD2A2,CDA3B3 dan DAB4C4. Pada sisi-sisi luar

B4D1,C1A2,D2B3, dan A3C4 dari segitiga-segitiga

AB4D1,BC1A2,CD2B3, dan DA3C4, konstruksi persegi-

persegi lagi dengan pusat berturut-turut OA,OB,OC dan

OD. Buktikan bahwa

AOA=BOB=COC=DOD

Penyelesaian :

Perhatikan gambar di bawah ini!

Misalkan AC dan BD berpotongan di titik P. Melihat

konstruksi soal maka mudah dilihat bahwa AOA=COC

dan BOB=DOD. Cukup rotasi sebesar 180∘ terhadap

titik P sebagai bukti. Oleh karena itu, untuk

membuktikan AOA=BOB=COC=DOD cukup ditunjukkan

AOA=BOB.

Perhatikan bahwa △AB4D1≅△ABC dan △A2BC1≅△BCD.

Misalkan Q dan R berturut-turut titik tengah sisi

B4D1 dan A2C1 selanjutnya kita peroleh

△AB4Q≅△BCP≅△A2BR

Oleh karena itu, AQ=BP=A2R=ROB, dan QOA=B4Q=PC=BR

serta ∠AQB4=∠BPC=∠BRA2 ∠⟹ AQOA=∠BROB sehingga

△AQOA≅△BROB

yang berakibat AOA=BOB. Terbukti.

DAFTAR PUSTAKA

Hermanto, Edi. 2009. 8 tahun penyelenggaraan OSN. (online)http://www.scribd.com/doc/49762387/Buku-8-Tahun-OSN-Bidang-Matematika. diakses pada tanggal 22 Mei 2014.

Widodo, Tutur. 2013. Soal geometri nomor 7 OSN matematika SMA2013. (online)http://www.pintarmatematika.net/2013/09/soal-geometri-osn-matematika-sma-2013.html . diakses padatanggal 22 Mei 2014.

Sembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematikauntuk SMU.Bandung: Yrama Widya.

Susilo dan Wibowo. 2010. Menyonsong OSN Matematika SMA.Yogyakarta: Intersolusi Pressindo.