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EXCEL - STATISTIQUE DESCRIPTIVE TAUX & INDICES

COURS 5/6

Université TOULOUSE MIRAIL Statistique descriptive appliquée à Excel

Année 2012/2013 (version 1.0) Cours Éric MESERE

Cours 5/6 Statistique descriptive appliquée à Excel Taux & Indices

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SOMMAIRE

1. INTRODUCTION............................................................................................................ 3 1.1. Prérequis demandés pour suivre ce cours ....................................................................... 3 1.2. Objectifs ................................................................................................................................ 3 1.3. Connaissances acquises à la fin du cours ........................................................................ 3 1.4. Définitions ............................................................................................................................. 3

2. TAUX ............................................................................................................................. 4 2.1. Taux d’accroissement .......................................................................................................... 4 2.2. Calculer un taux d’accroissement ...................................................................................... 4

3. COEFFICIENT MULTIPLICATEUR ............................................................................... 5 3.1. Combiner des taux d’accroissement sur plusieurs périodes.......................................... 5

3.1.1. Exercice assisté................................................................................................................................ 5 3.2. Calculer des taux moyens d’accroissement ..................................................................... 6

3.2.1. Exemple : ......................................................................................................................................... 7 4. INDICES ........................................................................................................................ 8

4.1. Définition et exemples ......................................................................................................... 8 4.2. Calcul d’un indice élémentaire ........................................................................................... 8

4.2.1. Définition d’indice élémentaire .......................................................................................................... 8 4.2.2. Formule indice élémentaire .............................................................................................................. 8 4.2.3. Formule indice élémentaire de base 100 .......................................................................................... 8

4.3. Qu’est-ce qu’un indice synthétique ? ................................................................................ 9 4.3.1. Construction d’un indice synthétique ................................................................................................ 9 4.3.2. L’indice de Laspeyres ..................................................................................................................... 10 4.3.3. L’indice de Paasche ....................................................................................................................... 10

5. EXERCICES ................................................................................................................ 11 5.1. Exercice 1 ............................................................................................................................ 11 5.2. Exercice 2 ............................................................................................................................ 11 5.3. Exercice 3 ............................................................................................................................ 11 5.4. Exercice 4 ............................................................................................................................ 11 5.5. Exercice 5 ............................................................................................................................ 12 5.6. Exercice 6 ............................................................................................................................ 12


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1. INTRODUCTION

1.1. Prérequis demandés pour suivre ce cours La personne qui suit ce cours doit connaître les notions suivantes :

• savoir utiliser l’environnement Windows (XP, Seven ou Windows 8) • Maîtriser l’utilisation de l’explorateur Windows

• Connaître les bases d’Excel décrites dans le cours « EXCEL - STATISTIQUE DESCRIPTIVE - REVISION BASES EXCEL – Cours 1/7 ».

• Connaître les bases des statistiques descriptives dans le cours « EXCEL - STATISTIQUE DESCRIPTIVE - DÉCOUVERTE DES STATISTIQUES - Cours 2/7 ».

• Connaître l’utilisation des Tableaux Croisés Dynamiques dans le cours « EXCEL - STATISTIQUE DESCRIPTIVE - TABLEAU CROISÉ DYNAMIQUE – Cours 3/7 ».

• Connaître l’utilisation des Tableaux Croisés Dynamiques dans le cours « EXCEL - STATISTIQUE DESCRIPTIVE - VALEURS CENTRALES & DISPERSIONS – Cours 4/7 ».

1.2. Objectifs Ce cours a pour objectif de vous faire manipuler les taux et découvrir les indices.

1.3. Connaissances acquises à la fin du cours

• Savoir calculer des taux moyens, des taux pluriannuel et utiliser les coefficients multiplicateurs. • Manipuler les indices élémentaires et synthétiques

1.4. Définitions Afin de simplifier la lecture des formules et dans les textes qui accompagnent les explications, on utilisera les sigles suivants :

• Tx = Taux on pourra aussi l’appeler Taux annuel

• CM = Coefficient Multiplicateur on pourra aussi l’appeler Coefficient Multiplicateur annuel

• VI = Valeur Initiale, on pourra aussi parler de Valeur de départ

• VF = Valeur Finale

• TxPA = Taux PluriAnnuel

• CMPA = Coefficient Multiplicateur PluriAnnuel

• TxM = Taux Moyen

• CMM = Coefficient Multiplicateur Moyen


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2. TAUX

2.1. Taux d’accroissement Un taux est un rapport entre deux grandeurs, exprimé en pourcentage

TAUX =

Aussi faut-il s’habituer à la gymnastique de la conversion d’un nombre en pourcentage et vice-versa.

Excel facilite cette conversion en permettant de formater une cellule en format nombre ou pourcentage

Donc, sur Excel, vous ne devez jamais multiplier ou diviser un nombre par 100 pour le convertir en pourcentage ou en nombre

On rappelle que :

• 50/100 = 50 % = 0,5.

• 0,1 % = 0,1/100 = 0,001

• 200 % = 200/100 = 2.

2.2. Calculer un taux d’accroissement Le taux d’accroissement, c’est le rapport entre ce qui a été ajouté (ou retiré) par rapport à la valeur de départ (initiale).

Par exemple, une quantité qui passe de 100 à 150 a augmenté de 50 %. Pourquoi ? Parce qu’on a ajouté 150-100 = 50, et qu’on avait 100 au départ. Le rapport de ce qui a été ajouté sur ce qu’on avait au départ est bien 50/100 = 0,5 = 50 %.

Taux d’accroissement = (Valeur Finale – Valeur Initiale) Valeur Initiale

Le résultat est un nombre qu’il faut ensuite transformer en pourcentage


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3. COEFFICIENT MULTIPLICATEUR Au lieu de se demander « combien de % on a ajouté », on peut aussi se demander « par combien la quantité de départ a été multipliée ».

Dans le premier cas, on cherche un taux d’accroissement (en %). Dans le deuxième cas, on cherche un coefficient multiplicateur (nombre sans unité).

Coefficient multiplicateur = Valeur Finale Valeur Initiale

Taux d’accroissement et coefficient multiplicateur sont donc deux façons de dire la même chose. Il faut absolument s’habituer à passer de l’une à l’autre.

En effet, on va souvent vous demander un résultat en termes de taux d’accroissement, qu’on est plus habitué à commenter.

Mais les calculs doivent se faire sur les coefficients multiplicateurs.

Pour comprendre comment passer de l’un à l’autre, réfléchissons d’abord sur quelques exemples :

• Augmenter de 50 %, c’est être multiplié par 1,5.

• Diminuer de 50 %, c’est être multiplié par 0,5 (ou encore divisé par 2).

• Augmenter de 3 %, c’est être multiplié par 1,03.

• Diminuer de 3 %, c’est être multiplié par 0,97.

• Attention : augmenter de 200 %, c’est être multiplié par 3 (et pas par deux ! on prend ce qu’on a déjà, et on y ajoute deux fois la même quantité : 1+2 = 3).

Tout cela peut se résumer par une formule, qu’il faut savoir manipuler dans les deux sens :

CM (nbre) Taux (%) 1,14 32,50% -1 Convertion Nbre Exemple 0,14 0,325

Convertion % +1 14 % 1,325 Taux (%) CM (Nbre) 14 % 1,325

3.1. Combiner des taux d’accroissement sur plusieurs périodes Pourquoi introduire cette notion de coefficient multiplicateur ? Parce qu’elle permet de calculer ce qui se passe quand on accumule plusieurs années d’accroissement (ou de diminution).

3.1.1. Exercice assisté

Par exemple, si on augmente votre salaire de 3 % cette année et de 5 % l’an prochain, combien allez-vous gagner de plus à la fin ?

La réponse 3% + 5 % = 8 % est fausse, car les taux en pourcentage ne s’additionnent pas..

En effet, reprenons le raisonnement. La première année, votre salaire augmente de 3 % : le salaire de départ est multiplié par 1,03 (s’il était de 1 000 euros, il passe à 1 030 euros). La deuxième année, votre salaire augmente de 5 % : mais c’est le salaire déjà augmenté (1 030 euros, dans l’exemple) qui subit cette augmentation.

C’est lui qui est multiplié par 1,05. Votre salaire final est de 1 000*1,03*1,05 = 1 081,5 euros (salaire de départ multiplié par le premier puis par le second coefficient multiplicateur). Au total, il a été multiplié par 1,0815. Cela


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équivaut à dire que votre augmentation totale a été de 8,15 %. Ce n’est pas loin de 8 %, mais c’est quand même un peu plus ! Et plus on travaille sur de nombreuses années, plus cet écart va s’accentuer.

C’est pour cela qu’il vaut mieux avoir un salaire qui ne bouge pas plutôt que d’être « diminué » de 3 % puis augmenté de nouveau de 3 % (vérifiez-le !).

Conclusion plus générale : pour connaître le coefficient multiplicateur pluriannuel au bout de plusieurs périodes successives, il faut multiplier entre eux les coefficients successifs, et non pas les additionner (et encore moins additionner les taux d’accroissement en pourcentages).

CMPA = produit des CM

Exemple :

Pour un taux de croissance de 5 %, le CM annuel est de 1,05.

Un CMPA, sur 5 ans est de 1,05*1,05*1,05*1,05*1,05 = 1,28 (soit un accroissement de 28 %).

On note cela en abrégé (souvenir de collège…) : « 1,05 à la puissance 5 », ou encore « 1,05 exposant 5 », ou 1,055.

Pour calculer ce nombre sous Excel on écrit le calcul :

= 1,05^5. Donc vous savez maintenant, si vous avez des taux d’accroissement annuels, calculer un taux d’accroissement pluriannuel : il faut revenir aux coefficients multiplicateurs, et les multiplier entre eux. S’ils sont identiques entre eux, cela se fait en utilisant la fonction « puissance ».

3.2. Calculer des taux moyens d’accroissement L’inverse est-il possible ? Si le PIB de la France a crû de 50 % en 13 ans, comment calculer son taux moyen annuel ?

Évidemment, il a sans doute connu, suivant les années, des hausses et des baisses. Mais on peut définir un « taux d’accroissement annuel moyen », qui permet des comparaisons avec d’autres périodes ou avec d’autres pays.

Cette « moyenne » est particulière. Il ne faut pas diviser le taux d’accroissement pluriannuel par le nombre d’années, car cela reviendrait à croire que les coefficients multiplicateurs de chaque année s’additionnent entre eux, au lieu de se multiplier. Il faut une opération un peu plus complexe mathématiquement, mais qu’Excel fait très bien (vous n’avez pas forcément besoin de comprendre les maths qui sont derrière…).

La formule est l’inverse de celle qui permet de passer du taux annuel au taux pluriannuel.

Si l’accroissement est le même chaque année, le coefficient multiplicateur pluriannuel est égal au coefficient multiplicateur annuel, élevé à une puissance correspondant au nombre d’années considérées. Sous Excel, si on connaît le coefficient multiplicateur annuel, qu’il est le même chaque année et qu’on veut connaître le coefficient multiplicateur pluriannuel il suffit de taper :

CMPA = (CM)^(nombre d’années)

La réciproque marche aussi ! Mais il faut savoir que l’inverse d’une puissance, c’est une racine. L’inverse du carré est la racine carrée, l’inverse de la puissance cinquième est la racine cinquième. Et la racine carrée est aussi appelée « puissance 1/2 », la racine cinquième « puissance 1/5 », la racine centième « puissance 1/100 ». Voilà pour la partie mathématique, que vous devrez comprendre ou admettre.

Elle nous amène à une formule magique qui dit que le coefficient multiplicateur annuel moyen est égal au coefficient multiplicateur pluriannuel, élevé à la puissance (1/nombre d’années).

Sous Excel, cela peut s’écrire ainsi :

CMM = (CMPA)^(1/nombre d’années)

Par exemple, si, en 15 ans, le PIB a été multiplié par 2, le coefficient multiplicateur annuel moyen est égal à 2 (coefficient multiplicateur pluriannuel) élevé à la puissance 1/15, ce qui fait environ 1,05. Cela veut dire que le PIB a augmenté en moyenne de 5 % chaque année (taux d’accroissement = coefficient multiplicateur – 1, passé en pourcentage).

Il reste trois choses à faire pour que la formule ci-dessus nous soit vraiment utile :


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• savoir comment on trouve le coefficient multiplicateur pluriannuel, s’il ne vous est pas donné : comme on l’a vu, il est égal au niveau à la fin de la période divisé par le niveau au début de la période.

• quant au nombre d’années, il n’y a pas de piège ! c’est le millésime de la dernière année auquel on soustrait celui de la première (entre 1950 et 1980, le nombre d’années est bien de 30, pas de 29 ou de 31, car ce sont bien les intervalles que l’on compte).

• savoir comment passer du coefficient multiplicateur annuel moyen au taux d’accroissement annuel moyen : comme pour tout taux, on enlève 1, puis on passe en pourcentage.

Donc :

TxM = (CMPA)^(1/nombre d’années) – 1

… qu’il faut formater en pourcentage.

3.2.1. Exemple :

Si un salaire est passé en 10 ans de 1 000 euros à 1 500 euros, son taux de croissance annuel moyen est égal à : 1 500/1 000 que l’on met à la puissance 1/10, puis auquel on enlève 1. Cela fait environ 0,041, ce qui équivaut, en pourcentage à 4,1 %. Le salaire a crû en moyenne de 4,1 % par an.


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4. INDICES

4.1. Définition et exemples Un indice est une mesure de la variation d’une grandeur comparée à une valeur de référence

On distingue 2 catégories d'indices :

4.2. Calcul d’un indice élémentaire

4.2.1. Définition d’indice élémentaire

Un indice élémentaire est un rapport entre deux valeurs d’une série à deux dates ou deux espaces différents.

4.2.2. Formule indice élémentaire

Indice t/0 = Valeur t Valeur 0

Où Valeur 0 représente la valeur de référence et Valeur t la valeur observée à une date donnée ou dans un espace donné.

Dans le cas d’un indice temporel, « 0 » représente le période de référence (la base) et « t » la période que l’on compare à la période de référence.

4.2.3. Formule indice élémentaire de base 100

L'indice base 100, c.à.d. exprimé en pourcentage est :

Indice base 100 = Valeur t X 100 Valeur 0

Pourquoi utilisé un indice élémentaire de base 100 ?

On choisit une “ base ” à un moment donné (souvent une année : "base 100 en 1914", par exemple), puis on calcule les valeurs à d'autres moments par rapport à cette base.

Si le prix d'un objet, par exemple, en 1914 est de 20 F et qu'il est de 30 F en 1924 (donc multiplié par 1,5), si on donne son prix sous la forme d'un indice "base 100 en 1914", on aura l'indice 100 en 1914, par définition, et l'indice 150 en 1924.

Si l'étude porte sur une seule grandeur (par exemple, le prix

d'un seul produit), c'est un INDICE ELEMENTAIRE

Si l'étude porte sur plusieurs grandeurs étudiées

simultanément, c'est un INDICE SYNTHETIQUE.


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4.3. Qu’est-ce qu’un indice synthétique ? La recherche d'un indice peut ne pas être limitée à la comparaison des mesures d'une seule grandeur aux époques de référence 0 et d'observation t.

On peut en effet envisager de caractériser avec un indice l'évolution de plusieurs grandeurs et de calculer non plus un indice simple mais un indice synthétique

Construire un indice synthétique, c'est résumer en une seule valeur un grand nombre d'observations de plusieurs grandeurs.

Les formules d'indices sont nombreuses, cependant dans la pratique, elles se réduisent à un petit nombre de types dont les principaux sont ceux de LASPEYRES et de PAASCHE qui portent essentiellement sur les prix et les quantités.

4.3.1. Construction d’un indice synthétique

Le tableau ci-dessous donne pour les années 2001 et 2007 les valeurs du SMIC horaire brut en euros. Les heures supplémentaires sont majorées. Les durées légales de travail prend en compte le passage aux 35 heures.

Comment définir un « bon » indice de salaire en 2007, base 100 en 2001 ?

Heures SMIC 2001 Quantité 2001 SMIC 2007 Quantité 2007 Légales 6,67 169 8,44 151,67 Supplémentaires 8,3375 2 11,816 4

On peut calculer pour chacune des années un salaire globale, noté S, et en déduire un indice :

S2001 = 169 x 6,67 + 2 x 8,3375 = 1 143,90 €

S2007 = 151,67 x 8,44 + 4 x 11,816 = 1 327,6 €

L’indice de salaire global serait alors :

I2007/2001(S) = (151,67 x 8,44 + 4 x 11,816) / (169 x 6,67 + 2 x 8,337) x 100 = 116,03

Soit une augmentation de 16,03 %.

Cependant cet indice est « brouillé », dans la mesure où sa signification traduit simultanément une évolution de la quantité d’heures de travail et une évolution du salaire horaire.

Pour résumer les indices élémentaires de salaire, on va donc introduire un indice synthétique de salaire horaire, de façon à gommer l’influence due à la variation des quantités, en les considérants comme constantes.

On peut alors opter pour 2 possibilités :

Fixer les quantités à leur niveau pris l’année de base, c’est-à-dire privilégier le mode de travail du salarié de 2001.

On forme alors l’indice Laspeyres des salaires horaires

L2007/2001(S) = (169 x 8,44 + 2 x 11,816) / (169 x 6,67 + 2 x 8,3375) x 100 = 126,76

Fixer les quantités à leur niveau pris l’année courante, c’est-à-dire privilégier le mode de travail du salarié de 2007.

On forme alors l’indice Paasche des salaires horaires

P2007/2001(S) = (151,67 x 8,44 + 4 x 11,816) / (151,67 x 6,67 + 4 x 8,3375) x 100 = 127,02

Le choix entre ces deux indices présente un certain arbitraire. Dans les années 1920, un statisticien américain Fisher a proposé un indice idéal qui est la moyenne géométrique des indices Laspeyres et Paasche.

À savoir, il existe l’indice Laspeyre des prix et l’indice Laspeyre des quantités. Ces 2 calculs sont aussi présents pour les indices Paasche.


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4.3.2. L’indice de Laspeyres

L'indice Laspeyres-prix :

Lt/0 = ∑Pt × Q0∑Po × Q0

× 100

L'indice Laspeyres-quantités:

Lt/0 = ∑P0 × Qt∑Po × Q0

× 100

4.3.3. L’indice de Paasche

L'indice de Paasche des prix :

Pt/0 = ∑Pt × Qt∑Po × Qt

× 100

L'indice de Paasche des quantités :

Pt/0 = ∑Pt × Qt∑Pt × Q0

× 100


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5. EXERCICES

5.1. Exercice 1 Au 1er janvier 1999, la France comptait 59 millions d’habitants.

Q1 Sachant que 12 millions de personnes ont plus de 60 ans, calculez le pourcentage qu’ils représentent dans la population totale ?

Q2 Sachant que les moins de 20 ans représentent 25.7% de la population totale, calculez leur nombre.

Q3 En utilisant les réponses aux questions 1 et 2, déterminez le pourcentage des personnes ayant entre 20 et 60 ans parmi l’ensemble de la population.

5.2. Exercice 2 La population française était de 40.7 millions d’habitants au 1er janvier 1901 et de 59 millions d’habitants au 1er janvier 1999.

Q1 Calculez le taux de variation de la population française entre ces deux dates.

Q2 Calculez le coefficient multiplicateur de l’évolution de la population française entre 1999 et 1901.

Q3 Trouvez la relation entre le taux de variation et le coefficient multiplicateur.

5.3. Exercice 3 Complétez le tableau ci-dessous.

Valeur initiale ou valeur de départ

Coefficient multiplicateur

Taux de variation en % valeur finale

100 2

100 1.1 100 50 100 0.8 100 -1 100 100 100 0.5 10 100 0.3 100

5.4. Exercice 4 Un prix est de 100 euros en 1998, il augmente de 10% la première année, puis diminue de 5% la deuxième année et augmente à nouveau de 4% la troisième année.

Q1 Calculez ce prix en 2001

Q2 Quelle est la variation globale (pluriannuel) du prix entre 1998 et 2001 ?

Lorsque l’on enregistre plusieurs variations successives on ne peut pas …………………………… les différents taux de variation successifs, il faut passer par les ………….…………….. successifs que l’on multiplie entre eux.


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5.5. Exercice 5 Compléter le tableau suivant en calculant l’indice élémentaire en considérant que la base 100 est lié à l’année 1801

Populations en milliers d'habitants Populations, indice, base 100 en 1801

Grenoble Roubaix Paris Grenoble Roubaix Paris

1801 23,5 8 546,9 1851 31,3 34,7 1053,3 1866 40,5 65,1 1825,3 1881 51,4 91,8 2269 1901 68,6 124,4 2714,1

5.6. Exercice 6 Emballé par ces précieuses connaissances, un pêcheur souhaite calculer les quatre indices à partir des divers invertébrés qu’il achète.

Période 1 Période 2

Prix Quantités Prix Quantités

Vers de vase 3,05 10 3,2 11 Asticots blancs 4,10 13 4,2 14 Vers de farine 4,60 9 4,9 5 Teignes 3,85 10 3,8 9

Calculer les éléments ci-dessous :

Numérateur Dénominateur

Paasche

Prix Quantités

Laspeyres

Prix Quantités

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