UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

ESTRUCTURA DE GRUPO

Grupos y subgrupos- Homomorfismos de grupos. Clases laterales. Teorema

de Lagrange Subgrupos normales. Grupo cociente. Homomorfismos de

grupos. Teorema de descomposición.

Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº1147-2018-D-FAC

Presentada por:

Tello Vilcapi, Antonio

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática

Lima, Perú

2018

2

MONOGRAFÍA

ii

3

Dedicatoria:

A mis padres Rosalbina y Jorge por haberme apoyado

en todo momento, por ser lo más importante en mi vida

y a todos aquellos que participaron en mi formación

académicos.

iii

4

Índice de contenidos

Portada………………………………………………………………………………..………….i

Hoja de firmas de jurado…………………………………………………………………...……ii

Dedicatoria……………………………………………………………………………….….….iii

Índice de contenidos……………………………………………………………………..……...iv

Lista de figuras…………………………………………………………………………..……..vii

Introducción……………………………………………………………………………..…….viii

Capítulo I. Conceptos previos……………………..……………………………………….…9

1.1 Ley de composición interna…………………………………………………………….…..9

1.2 Propiedades de la ley de composición interna……………………………………………..10

1.2.1 Propiedad commutativa………………………………………………………...….10

1.2.2 Propiedad asociativa………………………………………………………….…....11

1.2.3 Elemento neutro……………………………………………………….…….…......11

1.2.4 Leyes simplificables; elemento regulares………………………….……………....11

1.2.5 Elementos idempotentes……………………………...............................................12

1.2.6 Elementos absorbentes……………………….........................................................12

1.3 Estructura algebraica............................................................................................................12

1.3.1 Estructura de semigrupo..........................................................................................12

1.3.2 Estructura de monoide.............................................................................................13

iv

5

Capítulo II. Estructura de Grupos…………………..……………..………….……….…14

2.1 Introducción….....................................................................................................................14

2.1.1 Definición de grupo……………………….....………………………………..…..14

2.1.2 Propiedades de grupos…..……………………………………...............................15

2.1.2.1 Unicidad del inverso y el neutro…………………………………………...……15

2.1.2.2 Regularidad………………………………………………..……………..….….15

2.1.2.3 Ecuaciones de grupo…………….……………………….…..………………....16

2.1.2.4 Inverso de una composición…………………………………………………....17

2.2 Subgrupo……………………………………………..……………………….…….…….18

2.2.1 Definición…………………………………………..…………………...………..18

2.2.2 Teorema de subgrupos………………………………………………….....….......19

2.3 Las operaciones con subgrupos…………..……………………………………..…….......19

2.3.1 Intersección de subgrupos…………………………………..….………………....19

2.3.2 La unión de subgrupos………………………………………………...….............20

2.4 Homomorfismo de grupos………………………………………………………………...21

2.4.1 Definición…………………………………………………………………………21

2.4.2 Clasificación de homomorfismo………………………………………………….22

2.4.3 Propiedades de homomorfismo de grupos………………………………..............23

2.4.3.1 Proposición 1…………………………………………………………...……....23

2.4.3.2 Proposición 2…………………………………………………………………...24

2.4.3.3 Proposición 3……………………………………………………………….......24

2.4.4 Núcleo de un homomorfismo ……………………………………………………25

2.4.4.1 Definición…………………………………………………..…………….……25

2.4.4.2 Propiedades…………………………………………………………..…..…….26

2.5 Imagen de un homomorfismo ............................................................................................ 27

2.5.1 Definición……………………………………………..…………….…...……….27

v

6

2.5.2 Propiedad………………………………………………………………………….28

2.6 Clases laterales………………………………………………………………………….....29

2.7 Teorema de Lagrange……………………………………………………………………..30

2.7.1 Proposición…………………………………….....……………………………….30

2.8 Grupos cíclicos……………………………………………………………………….…...31

2.8.1 Teorema (clasificación de los grupos cíclicos) ..................................................... 32

2.8.2 Para todo subgrupo del grupo cíclico es cíclico…………………………..……...32

2.9 Subgrupos normales o invariantes ..................................................................................... 33

2.10 Grupo cociente ................................................................................................................. 35

2.11 Teorema de la descomposición........................................................................................ 37

Aplicación didáctica……………………………..………………………………………….....39

Sesión de aprendizaje…………………………...………………………..............................…39

Planificación de la sesión de aprendizaje………………………………………………...........40

Síntesis………………………………………………………………………………………...48

Apreciación crítica y sugerencias……………………………………………………………..52

Conclusiones…………………………………………………………………………………..53

Referencias…………………………………………………………………………..………..54

Apéndice(s)…………………………………………………………………………………...56

vi

7

Lista de figuras

Figura 1. Unión en subgrupos……………………………………………………………..20

Figura 2. f es un epimorfismos, pero no es monomorfismo………………………………27

Figura 3. Reloj de pared…………………………………………………………………...44

vii

ii

8

Introducción

Toda nuestra vida gira entorno a las matemáticas desde tiempos muy antiguos, desde los egipcios,

griegos que sus aportes a la humanidad hasta ahora perduran. Es ahí su gran importancia de

estudio por ser la ciencia madre de todas las demás, y por su gran aporte a las nuevas tecnologías

que día a día van avanzando a pasos agigantados.

Al comenzar a involucrarnos con los estudios de las matemáticas no podemos dejar de

lado lo fundamental, y que nos servirá de base para estudios posteriores como es la estructura

algebraica, específicamente el estudio de Estructura de grupo, los cuales nos ayudaran a entender

temas sobre campos, anillos, espacios vectoriales. En el presente proyecto se comienza a analizar

la ley de composición interna, subgrupo, grupo mostrando las más importantes propiedades y

teoremas que se mencionaran con respecto al estudio mencionado, como también

homomorfismos, grupo cociente y finalizando con una situación didáctica.

El tema de Estructura de grupo es estudiado por docentes en el campo de la matemática

por ello dilucidaremos una sesión de aprendizaje, para mostrar su aplicación didáctica en el aula,

lo cual los maestros podrán tomar como ejemplo para el desarrollo de sus clases.

La monografía está estructurada en 3 capítulos: El capítulo I, conceptos previos sobre el

tema principal; el capítulo II, estructuras de grupos; el capítulo III, presenta la aplicación

didáctica a través de una sesión. Finalmente, el compendio, sugerencias, referencias, apéndices

y la apreciación crítica. Recordando que la finalidad de la presente investigación es para afianzar

los conocimientos, contribuir al mejor entendimiento del tema y aportar en el desarrollo de la

ciencia.

viii

9

Capítulo I

Conceptos previos

1.1 Ley de composición interna

Sea B ≠ ø, un conjunto, llamaremos ley de composición interna definida en B, para toda la

aplicación de B x B en B (Espinoza, 1999).

Es decir F: B x B B

(a,b) F(a,b) = aFb

Ejemplo: la suma o la multiplicación en N, Z, Q, R o C.

De acuerdo a Ruiz (2004) afirma “una operación interna binaria en el conjunto T es una

aplicación” (p.20).

g: T x T T

Para reducir el lenguaje se dirá “operación” a cambio de “operación binaria interna”, tanto

no haya riesgo de equivocación. En donde la aplicación “g” es tanto una operación en T, la

imagen g ((U₁, U₂)) de cada par (U₁, U₂) ϵ T x T se anotarán (según los casos) de cierta forma:

U₁U₂, U₁. U₂, U₁+U₂, U₁* U₂, …

En las 2 primeras notaciones se dice que es multiplicativa y en la 3 se dirá que la notación

es aditiva.

10

La operación ° en el conjunto A es asociativa si w1 ° (w2 ° w3) = (w1 ° w2) ° w3 ; ∀ w1, w2,

w3 ϵ A.

En una operación ° el conjunto C será conmutativa si w1 * w2 = w2 * w1, ∀ w1, w2 ϵ C

Al utilizar el signo aditivo, se asume que aquella operación es conmutativa y, por

consiguiente, w1 + w2 = w2 + w1, ∀ w1, w2 ϵ C.

En una operación ° el conjunto C tiene elemento unicidad (neutro) si posee el elemento e

ϵ C cumpliendo: w * e = w = e * w, ∀ w ϵ C.

Cuando la notación sea aditiva se dirá “elemento neutro”, o multiplicativa (en general no

aditiva) se llamará “elemento unidad”. Verifíquese en las definiciones exige que pertenezca a un

elemento en el conjunto C (Ruiz, 2004).

Ejemplo:

Trujillo, Chirinos, Yauri, Giles y Davila (2014) aseguran que el conjunto A la diferencia

se le asigna con “-“y a la división le corresponde con “÷” no son OI, definidas totalmente. Son

operaciones definidas parcialmente.

Las diferencias solo se cumplirán en las parejas (c, d) ϵ AxA donde c ≥ d, es decir: (c – d) ϵ A ⇔

c ≥ d.

Para la división solo se cumplirán para aquellos pares (r, t) ϵ AxA siendo r múltiplo de t,

logrando así:

(r ÷ t) ϵ A si y solo si ∃ n ϵ A / r = nt

1.2 Propiedades de la ley de composición interna

1.2.1 Propiedad conmutativa.

Si un conjunto C se ha definido una operación siendo una ley de composición interna, ∀

par (a, b) ϵ C x C su imagen es la misma que la del par (b, a), se dice que la operación es

conmutativa (Aizpun, 1970).

11

Simbolicamente: ∀ (a, b) ϵ C x C, a $ b = b $ a

La adición es conmutativa en todo conjunto numérico.

1.2.2 Propiedad asociativa.

Si una operación está definida en todo el conjunto C y para toda terna a, b, c, de elementos

de C es (a $ b) $c=a $ (b $ c), diremos que la operación es asociativa (Aizpun, 1970).

Simbolicamente: ∀ (a, b, c) ϵ C3, a $ (b $ c) = (a $ b) $ c

Ejemplo:

La adición y la multiplicación en N, Z, Q, R, son asociativas.

1.2.3 Elemento neutro.

“Si la operación $ está definida en todo el conjunto C y existe un elemento h ϵ C tal que

para todo a ϵ C es a $ h = h $ a = a, este h se llama elemento neutro para $” (Aizpun, 1970, p.82).

Simbolicamente: ∃ h ϵ C, ∀ a ϵ C, h $ a = a $ h = a

Ejempló:

En a $ b = a + b +ab, definida sobre Z, 0 es neutro.

1.2.4 Leyes simplificables; elemento regulares.

Un elemento a ϵ C, es regular a la izquierda respecto a la operación $, definida en C si:

∀ b, c ϵ C a $ b = a $ c ⇒ b = c

“Análogamente definición cabe para elementos regulares a la derecha. Si un elemento es

regular a derecha e izquierda, se llama, simplemente, regular para esa operación o a esta

simplificable por ese elemento” (Aizpun, 1970, p.83).

Ejemplo:

En a $ b = a + 2b, definida en N, todo n es regular, pues de n + 2b = n + 2c, se deduce

b = c y también b + 2n = c + 2n ⇒ b = c

12

1.2.5 Elementos idempotentes.

En la multiplicación numérica 1 x 1 = 1 y este es el único número tal que a x a = a. También

es 0 + 0 = 0 y este es el único número tal que a + a = a.

Por analogía, o mejor como generalización, puede darse:

“Si el conjunto C está definida una operación $, se dice que el elemento h ϵ C es

idempotente para $, cuando h $ h = h” (Aizpun, 1970, p.84).

Ejemplo:

En P(C), para todo X ϵ P(C), es X U X = X

Y también

X ∩ X = X

1.2.6 Elementos absorbentes.

S un conjunto C está definida una ley, y existe un elemento a ϵ C tal que para todo x ϵ C,

es a $ x = a diremos que a es absorbente a la izquierda.

Una definición análoga se hace para elementos absorbentes a la derecha. Cuando se trate

de un elemento absorbente a ambos lados, se llamará, sin más, absorbente para la operación de

que se trate.

Ejemplo:

En la potenciación, 1 es absorbente a la izquierda, pues 1a = 1 para todo a.

1.3 Estructura algebraica

1.3.1. Estructura de semigrupo.

Si A un conjunto aleatorio y siendo * una ley de definida composición interna de

A x A A. Por consiguiente, se dice que [A, *] un semigrupo si, * es asociativo

(Hernández, 2007).

13

Ejemplos:

1. [Z, +] es un Semigrupo

2. [Z, .] es un Semigrupo

1.3.2 Estructura de monoide.

Un monoide se dice a un semigrupo N = (N, °) con un elemento neutro claramente (Ruiz,

2004).

Ejemplo:

1. (A, +) es un conjunto de números N con adición y su elementó neutro es el numeral

natural cero.

2. (B, .) es el conjunto de naturales con multiplicación; siendo su elemento neutro el número

natural uno.

14

Capítulo II

Estructura de grupos

2.1 Introducción

La estructura de un grupo de sistema axiomático y matemáticamente fundamental, puede ser

afrontada imponiéndose su condición de estructuras de semigrupo o monoide, introducidas

anteriormente. Después de confrontar las propiedades y dar ejemplos, se estudia los grupos

finitos, subgrupos, los homomorfismos de grupos, grupos cíclicos y conceptos de grupos

cocientes (Rojo, 1996).

2.1.1 Definición de grupo.

Si un conjunto A distinto del vacío y teniendo una función °. El par (A, °) tiene estructura

de grupo ⇔ ° es una ley de composición interna en A, con neutro, asociativa, y tal que para todo

elemento de A tiene su inverso respecto de ° (Rojo, 1996).

En forma simbólica se tiene:

Definición:

(B, *) es un grupo si y solo si se verifican los axiomas

G1: *: B2 B

G2: Asociatividad

15

Para todo r, t, p : r, t, p ϵ B ⇒ (r * t) * p = r* (t * p)

G3: Existencia del elemento identidad o neutro

Existe e ϵ B / ∀ r: r ϵ B ⇒ r * e = e * r = r

G4: Existencia del inverso

Para todo r ϵ B, ∃ r' ϵ B / r * r' = r' * r = e

Tambien se verifica:

G5. Conmutatividad

∀ r, ∀ t: r, t ϵ B ⇒ r * t = t * r

Como resultado el grupo se llama abeliano o conmutativo.

De acuerdo al autor Aizpun (1970) afirma ejemplos de grupo:

1. “El par (z, +) es un grupo conmutativo, porque además de formar semigrupo tiene 0 como

elemento neutro y cada entero tiene un simétrico. En particular, cuando se trata del grupo (Z, +)

los elementos simétricos se llaman opuestos y este nombre se da más adelante a los simétricos

de todo grupo cuya ley se designe por +, así como es designa por 0 al elemento neutro de tal

grupo” (p.88).

2. Si es C = {+1, -1}, el par (C, X) es un grupo.

2.1.2 Propiedades de grupos.

2.1.2.1 Unicidad del inverso y el neutro.

El inverso de cada elemento es único y el neutro también es único.

2.1.2.2 Regularidad.

En todo grupo sus elementos son regulares.

Hipótesis (A, °) es grupo

p ° q = p ° r

16

q ° p = r ° p

Tesis q = r

Demostración

De la hipótesis

p ° q = p ° r

Componiendo a izquierda con p', inverso de p

p' ° (p ° q) = p' ° (p ° r)

Tenemos asociatividad

(p' * p) * q = (p' * p) * r

Según G4

e * q = e * r

q = r

La regularidad a derecha se prueba análogamente.

La regularidad connota que según la ley canceladita es válida para los elementos sin

excepción del grupo (Rojo, 1996).

2.1.2.3 Ecuaciones de grupo.

Sea (A, °) un grupo. Entonces, para cada ecuaciones q ° x = p y x ° q = p tiene solución

única (Rojo, 1996).

Componiendo los dos miembros de la primera ecuación a izquierda con b' se tiene

q' ° (p ° x) = q' ° p

Por G2

(q' ° q) ° x = q' ° p

Por G4

e ° x = q' ° p

17

Por G3

x = q' ° p

La unicidad de la solución se deba la unicidad del inverso y dado que ° es una función de

A2 en A.

Considerando la segunda ecuación el trabajo es análogo.

Supongamos el grupo multiplicativo y la segunda ecuación, que se convierte en

x.q = p

Al componer en la derecha con el inverso multiplicativo de q, da la solución

x = p .q-1

El producto en un elemento del grupo por el inverso multiplicativo se llama cociente

denotándose (Rojo, 1996).

x = 𝑝

𝑞

2.1.2.4 Inverso de una composición.

∀ grupo, el inverso de una composición que tiene dos elementos es igual a la composición

de los permutado de sus inversos en ese orden.

Se trata de demostrar que (p * q) ' = q' * p'

Antes de comenzar en detalles de la demostración, proponemos algunos resultados.

i) Alguna de las ecuaciones p * x = p o x * p = p tiene la solución x = e.

Si estimamos la primera después de componer a izquierda con p' se llega a x = e y

similarmente en el segundo caso componiendo a derecha con el mismo p'.

ii) En alguna de las ecuaciones p * x = e o x * p = e tiene la solución

x = p'

Sea p * x = e; después de componer a izquierda con p', se concluye x = p'. Igual resultado

se consigue a partir de la ecuación segunda, luego de componer a derecha con p' (Rojo, 1996).

18

iii) Demostremos a continuación la proposición inicial.

Hipótesis (A, °) es grupo

Tesis (p ° q) ' = q' ° p'

Demostración

Una traducción de la propiedad ii) es la siguiente: si la composición de dos elementos es

el neutro, entonces para cada uno es el inverso del tercero.

Por consiguiente, entonces

(p ° q) ° (p' ° q')

Aplicando de manera sucesivamente G2, G4, G3 y G4, resulta

(p * q) * (q' * p') = p * (q * q') * p' * e * p = p' * p = e

Por ii) se tiene

(p * q)' = p' * q'

Y también

(p' * q') ' = p * q

2.2 Subgrupo

2.2.1 Definición.

Es atrayente considerar los subconjuntos de un grupo que también tienen una estructura

de grupos.

Un subconjunto distinto del vacío S de un grupo es un subgrupo (de A) si, con respecto a

la misma operación de A, S también es grupo” (Palacios, 1996, p.5).

Ejemplos:

1) El conjunto 3 Z es un subgrupo de (Z, +)

19

2) Sea (A, *) un grupo cualquiera; el conjuntó S= {x ϵ A/ x = a * … * a = ap , p ϵ Z} es un

subgrupo de A, llamado subgrupo monógeno de generador a.

Se tiene verificado que no toda parte distinta del vacío de un grupo es un subgrupo.

Además de ser una parte distinta del vacío, la definición pide que tenga estructura de grupo

a partir de la misma ley de composición. Ahora, bien, esto exige la investigación de los 4

axiomas y resulta propicio disponer de alguna condición más económica, que permita

decidir si también se trata de un subgrupo (Rojo, 1996, p.231).

2.2.2 Teorema de subgrupos.

Sea S un subgrupo de un grupo (G, *). Definimos la relación binaria R en G mediante

c R b ⇔ c * b' ϵ S, c, b ϵ S

Entonces se verifica que R es una relación de equivalencia

[c] = S * c = {x ϵ G/ x = s * c, s ϵ S} ( Palacios, 2002).

Demostración:

Reflexiva: c R c ⇔ c * c' = e ϵ S (por ser S subgrupo)

Simétrica: c R b ⇔ c * b' ϵ S ⇔ (c * b')' = b * c' ϵ S ⇔ b R c

Transitiva: c R b y b R d ⇔ c * b' ϵ S, b * d' ϵ S ⇒ (c * b') * (b * d') = a * d' ϵ S ⇔

c R d.

2.3 Las operaciones con subgrupos

2.3.1 Intersección de subgrupos.

Sean (G, *) un grupo y {Gi} i ϵ I una familia de subgrupo de (G, *).

Teorema

La intersección de toda familia no vacía de subgrupo de (G, *) es un subgrupo.

Hipótesis (A, °) es grupo.

20

{Ai} es tal que (Ai, *) es subgrupo de A, ∀ i ϵ I

Tesis ( Ai = ∩ M, * ) es subgrupo de ( A, *)

Demostración

i) ∀ i, e ϵ Ai, pues (Ai, *) es grupo, por consiguiente, la definición de intersección

e ϵ ∩ M ⇒∩ M ≠ø

ii) ∩ M ⊂ G por definición de la inclusión

iii) Sean q y r ϵ ∩ M ⇒ q ϵ Gi ∧ r ϵ Ai , ∀ i ⇒ q * r' ϵ Gi, ∀ I ⇒ q * r' ϵ ∩ M

Por las definiciones de intersección y de subgrupos (Rojo, 1996).

2.3.2 La unión de subgrupos.

La propiedad antecedente no se verifica al tener el caso de la unión. Por consiguiente,

bastara en darse un contra ejemplo sean H1 y H2 dos subgrupos diferentes de (R2, +) y no nulos

como lo demuestra la figura siguiente.

Figura 1. La figura ilustra la unión en subgrupos. Fuente: Rojo, 1996.

21

Si x ϵ H1 ∧ y ϵ H2, entonces

x ϵ H1 ∪ H2 ∧ y ϵ H1 ∪ H2

y sin embargo

x + y ∉ H1 ∪ H2

Es decir, la unión no siempre es cerrada para la suma de pares y por consiguiente no es

subgrupo de (R2, +) (Rojo, 1996).

2.4 Homomorfismo de grupos

2.4.1 Definición.

Sean (G1, *) y (G2, °) dos grupos y f una aplicación de G1 en G2,

f: G1 G2. f es una aplicación, un homomorfismo de grupos si ∀ r, z ϵ G1, tenemos que

(Tijiani, 2003).

f(r * z) = f(r) ° f(z)

Ejemplo:

La siguiente aplicación

f: (R, +) (R – {0}, .)

x 𝑒𝑥

es un monomorfismo, ya que

f(x + y) =𝑒𝑥+𝑦 =𝑒𝑥. 𝑒𝑦 = f(x) . f(y)

Para todo x, y ϵ R.

Ejemplo:

Sean los grupos aditivos (R2x2, +) y (R, +)

22

La función f: R2x2 R definida por

f(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = 𝑎 + 𝑑 es un homomorfismo, pues

f(A+B)= f((𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) + ( 𝑚 𝑛𝑝 𝑞)) =

f((𝑎 + 𝑚 𝑏 + 𝑛𝑐 + 𝑝 𝑑 + 𝑞

)) = 𝑎 + 𝑚 + 𝑑 + 𝑞 =

=(a+d) +(m+q) = f((𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)) + 𝑓(( 𝑚 𝑛𝑝 𝑞)) =

f(A) + f(B)

2.4.2 Clasificación de homomorfismo.

La función f homomorfismo entre los grupos tendrá los siguientes nombres:

1) Si f es una función inyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de monomorfismo

2) Si f es una función sobreyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de epimorfismo

3) Si f es una función biyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de isomorfismo

4) Un isomorfismo entre un mismo grupo se llama automorfismo

5) 2 grupos son isomorfos entonces se puede decretar un isomorfismo entre los grupos

Ejemplos: La siguiente aplicación

g: (R, +) (R+, .)

x 𝑒𝑥

Tiene estructura de un homomorfismo y como además g es inyectiva, entonces es un

monomorfismo.

Ejemplo. Si los grupos A1 = (R-{0}, .) y A2 = (R-{0}, .). Tendremos la aplicación f(r) = r2.

Como f(r.z)=(r.z)2 =r2.z2 = f(r).f(z), entonces f tiene estructura de un homomorfismo, en

este caso f no es ni sobre ni tampoco inyectiva.

23

2.4.3 Propiedades de homomorfismo de grupos.

2.4.3.1 Proposición 1. Sea (G1, *) grupo y (G2, .) con solo un conjunto y operación interna.

La funcion h: G1 G2 cumple que

h(g1 * g2) = h(g1) . h(g2) ∀ g1, g2 ϵ G1 (Tijiani,2003)

entonces (h(G1), .) es un grupo, donde h(G1) = {h(g) ϵ G2: g ϵG1}

Demostramos que cumplan las propiedades de un grupo:

1) Operación interna

Dado h(g1), h(g2) ϵ h(G1), entonces h(g1) . h(g2) ϵ h(G1) ⊂ G2 ya que h(g1). h(g2) = h(g1* g2) y

g1* g2 ϵ G1 puesto que (G1, *) tiene estructura de un grupo.

2) Propiedad asociatividad

(h(g1) . h(g2)) . h(g3) = h(g1 * g2) . h(g3) = h((g1 * g2)* g3)

= h(g1 * (g2*g3)) = h(g1) . h(g2*g3)

= h(g1) . (h(g2)*f(g3))

3) Elemento neutro

Dado e' = h(e). Sea r ϵ G1, tenemos que

h(r) . e' = h(r) . h(e) = h(r*e) = h(r)

y

e'. h(r) = h(e) . h(r) = h(e*r) = h(r)

en conclusión e' es el elemento neutro de (h(G1), .).

4) Elemento inverso:

Si r ϵ G1. Si tenemos h = g(r-1) donde r-1 ϵ G1 es el inverso de r en (G1, *) lograremos que

g(r) . h = g(r) . g(r-1) = g(r* r-1) = g(e) = e'

y

h . g(r) = g(r-1) . g(r) = g(r-1 * r) = g(e) = e'

24

Por lo tanto g(r-1) es el inverso de g(r) en (g(G1), .)

Finalmente (g(G1), .) tiene estructura de grupo.

2.4.3.2 Proposición 2. Si h es un homomorfismo entre los grupos (G1, *) y (G2, .), se tiene

1) h(e1) = e2, donde e1 elemento neutro de G1 y e2 neutro de G2

2) h(g-1) = (h(g))-1 ∀ g de G1 (Tijiani,2003).

Demostración.

1) h(g1) . h(e1) = h(g1 * e1) =h(g1) = h(g1) . e2 ⇒ h(e1) = e2

2) ∀ g ϵ G1, h(g) . h(g-1) = h(g * g-1) = h(e1) = e2

⇒ h(g-1) = (h(g-1))

2.4.3.3 Proposición 3. Si h un homomorfismo de los grupos (G1, *) y (G2, .), se tiene:

1) Dado H1 es un subgrupo de G1, entonces h(H1) es un subgrupo de G2.

2) Dado H2 es un subgrupo de G2, entonces h-1(H2) es un subgrupo de G1 (Tijiani,2003).

Demostración.

1) Como e1 ϵ H1 implica que

h(e1) = e2 ϵ h(H1)

se tiene que h(H1) ≠ ø

Sean x, y ϵ h(H1), entonces existen a,b ϵ H1 tales que

x = h(a), y = h(b).

Así que:

x . y-1 = h(a) . (h(b))-1) = h(a) . h(b-1) = h(a * b-1) ϵ h(H1)

ya que a * b-1 ϵ H1.

25

2) Como h(e1) = e2 ϵ H2 se tiene que e1 ϵ h-1(H2).

Sean x, y ϵ h-1(H2) = {a ϵ G1 : h(a) ϵ H2} entonces

h(x), h(y) ϵ H2

por lo tanto, h(x) . (h(y))-1 ϵ H2 ya que H2 es un subgrupo.

Así que:

h(x) . (h(y))-1 = h(x) . h(y-1) = h(x * y-1)

luego x * y-1 ϵ h(H2).

2.4.4 Núcleo de un homomorfismo.

2.4.4.1 Definición.

Sea f: G H un homomorfismo de grupos. El conjunto

Ker f : = {g ϵ G / f(g) =1H}

Se llama el núcleo de f.

A priori f es un subconjunto de, pero en revalidas es su subgrupo.

Observación: para todo homomorfismo f: G H el núcleo Ker f es un subgrupo de G

(Cadad.org, 2018).

Demostración. Primero, f(1G) = 1H, entonces 1G ϵ Ker f. Luego, f (g1g2) f(g1)f(g2), asi g1,

g2 ϵ Ker f ⇒ g1g2 ϵ Ker f.

Por último, para todo x ϵ Ker f tenemos:

f(g-1) = f(g)-1=(1H)-1=1H

así que también g-1 ϵ Ker f.

Observación. Un homomorfismo f:G H es mono si y solamente si Ker f = {1G} (Cadad.org,

2018).

Demostración. Tenemos que ver que f es una aplicación inyectiva. Primero notamos que

si Ker f contiene otro elemento g = 1G, entonces:

26

f(g) =f(1G) = 1H,

Así que f no es inyectiva, entonces la condición Ker f = {1G} es necesaria. Para ver que

es también suficiente. Notamos que si f(g1) = f(g2) para g1, g2 ϵ G, entonces

f(g1 g2-1) = f(g1) f(g2

-1) = f(g1) f(g2)-1 = 1H

Así que g1 = g2.

2.4.4.2 Propiedades.

Propiedad

“El núcleo en todo homomorfismo de un grupo es un subgrupo del primero” (Rojo, 1996,

p.240).

Hipótesis (A, *) y (A', *') son grupos.

g: A A' es homomorfismo.

Tesis (N(g), *) es subgrupo de (A, *).

Demostración

i) g( e) = e' ⇒ e ϵ N(g) ⇒ N(g) ≠ ø

ii) N(g) ⊂ A por definición de núcleo

iii) Si

p y q ϵ N(g) ⇒ g(p) =e' ∧ g(q) = e ⇒

⇒ g(p) = e' ∧ [g(q)]-1 = e'-1⇒

⇒ g(p) = e' ∧ g(q-1) = e' ⇒g(p) * g(q-1) = e' ⇒

⇒g(p * q-1) = e' ⇒ p * q-1 ϵ N(g)

Por la definición de un núcleo, inverso del neutro, composición en A', definición de

núcleo y homomorfismo.

Dado como resultado (N(g), *) un subgrupo de (A, *).

27

Propiedad

Un homomorfismo f: A A' es inyectivo, por consiguiente, es un monomorfismo si y solo si

el núcleo tiene un único elemento (Rojo, 1996).

2.5 Imagen de un homomorfismo

2.5.1 Definición.

Sea g: A A' un morfismo que tiene estructura de grupos.

La imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los elementos del

primer grupo.

La imagen de un morfismo de grupos es la imagen de la función que lo define:

I(g) ={g(x) ϵ A' / x ϵ A}

O tambien:

I(g) = {r ϵ A' / ∃ x ϵ A ∧ g(x) = r}

“Es claramente, si el morfismo es un epimorfismo, es decir, si g es sobreyectiuva, por

consiguiente I(f) = A'. En el posterior diagrama se representará el N(f) y de I(f)” (Rojo, 1996,

p.242).

Figura 2. La figura ilustra f es un epimorfismos, pero no es monomorfismo. Fuente: Rojo, 1996.

28

2.5.2 Propiedad.

“La imagen en todo homomorfismo de grupos es también subgrupo del segundo” (Rojo,

1996, p.243).

Hipótesis (A, °) y (A', °') son grupos.

g: A A' es homomorfismo.

Tesis (I(g), °') es subgrupo de (A', °')

Demostración:

i) Si g(e) = e' ⇒ e' ϵ I(g) ⇒ I(g) ≠ ø

ii) I(g) ⊂ A' por la definición de I(f)

iii) Sean y1 ∧ y2 ϵ I(g)

Por consiguiente, de la definición de imagen, ∃ x1 y x2 en G, tales que

g(x1)=y1 ∧ g(x2)=y2

Por inversos de A'

g(x1)=y1 ∧ (g(x2))-1=y2

-1

por inverso de la imagen

g(x1)=y1 ∧ (g(x2-1))=y2

-1

por composición en A'

g(x1) °' g(x2-1) = y1 °' y2

-1

por homomorfismo

g(x1 ° x2-1) = y1 °' y2

-1

y como x1 ° x2-1 ϵ A, de la definición de imagen, se concluye

29

y1 *' y2 -1 ϵ I(g)

en consecuencia, se concluye

(I(g), °')

Tiene estructura de un subgrupo de (A', °')

2.6 Clases laterales

Si A un grupo y H ≤ A. Se definirán la siguiente relación derecha en A, dada por, si p, q ϵ A

p ∼H q ⇔ pq-1 ϵ H

∼H tiene una relación de equivalencia (Jimenez, 2017).

Demostración sean p, q, r ϵ G

1. ∼H es reflexiva

Por demostrar p ∼H p, eso es, si y solo si pp-1= e ϵ H ya que H es un subgrupo de A

2. ∼H es simétrica.

Por demostrar p ∼H q ⇒ p ∼H q. Como pq-1 ϵ H, y también H es grupo dado que (pq-1)-1=

pq-1 ϵ H.

3. ∼H es transitiva

Tenemos que demostrar (p ∼H q ∧ q ∼H r) ⇒ p ∼H r. Como (pq-1 ϵ H) ∧ (qr-1 ϵ H), y

además h es grupo, dado que (pq-1)( qr-1) = pr-1 ϵ H. lo cual probara que ∼H es transitiva.

Por consiguiente, de 1, 2 y 3 queda probado que ∼H es una relación de equivalencia así ∼H define

la partición sobre A, dada por sus clases que están definidas del siguiente modo:

cl(p)={ q ϵ A/ q ∼H p}

={q ϵ A/ qp-1 ϵ H }

={q ϵ A/ (∃ h ϵ H) (qp-1 =h) }

={q ϵ A/(∃ h ϵ H) q= hp)}

=Hp

30

Luego:

p∼H q ⇔ Hp= Hq

por lo tanto A= 𝑈⏟𝑎ϵ R

𝐻𝑝

siendo en R un sistema de representante de las clases.

Definición sea B ≤ A, g ϵ A

1. gB se llama clase lateral por izquierda de g

2. Bg se llama clase lateral por derecha de g

denotaremos:

A/B = {pB / p ϵ A}

B \A={Bp/ p ϵ A}

El conjunto de todas las clases laterales por izquierdas y el conjunto de las clases laterales

por derecha respectivamente (Jiménez, 2017).

2.7 Teorema de Lagrange

Dado el teorema de Lagrange la cual pone en relación la teoría de grupos con divisibilidad entre

los números enteros.

“Definición. Si tenemos un grupo (A, °) y un subgrupo de él N≤A, se definirá una relación

∼N sobre A por:

f ∼N f' ⇔ f ° f'-1 ϵ N ∀ f, f' ϵ A” (Complutense, 2014, p .1).

2.7.1 Proposición.

Si tenemos un grupo (B, °) y un subgrupo de él N≤B, la relación ∼N es una relación de

equivalencia.

31

Demostraremos:

f ° f-1 = e ϵ N( reflexiva)

Dado f ° f'-1 ϵ N, entonces (f ° f'-1)-1 = f' ° f-1 ϵ N (simétrica)

Dado f ° f'-1 ϵ N y f' * f''-1 ϵ N, entonces f ° f''-1= f ° f'-1 °f' ° f''-1 ϵ N (transitiva)

Vamos a llamar el conjunto cociente respecto a de esta relación de equivalencia ∼N y lo

denotaremos:

B/∼N =B/N

Ejemplo. Si a B = Z un grupo, tomaremos como subgrupo N = Nz, el subgrupo

multiplicativo de m ϵ N. Es este caso la relación dado de equivalencia ∼N es la congruencia

modulo m habitual:

k1 ≡ k2 mod m ⇔ k1 - k2 ϵ Z ⇔ m/ k1 - k2

En este caso, como sabemos, el conjunto cociente es Z/mZ = Zm

Observación. Si la relación ∼N es una congruencia, ya sea porque el grupo es abeliano o para que

el subgrupo sea normal, por consiguiente, el conjunto cociente B/N tiene estructura natural de

grupo (Complutense, 2014).

2.8 Grupos cíclicos

Un grupo es cíclico si esta es generada por un solo elemento, es decir existen un elemento

g del grupo tal que todos los demás se obtiene operando este elemento repetidas veces con

sí mismo; en notación multiplicativa todos los elementos del grupo son de la forma gn con

un número entero; si la operación del grupo es la adición, todos los elementos son de la

forma ng. Recordemos que (Z, +) y (Zn, +) tienen estructura de grupos cíclicos con

generados por 1 y [1] respectivamente (Dorronsoro, 1996, p.108).

32

2.8.1 Teorema (clasificación de los grupos cíclicos).

i) Si G es un grupo cíclico con infinitos elementos, G es isomorfo a (Z, +)

ii) Si G es un grupo cíclico con n elementos, G es isomorfo a (Zn, +)

Demostración. Comenzamos demostrar la parte i) del teorema. Si g es un generador de

G, definimos f: Z G mediante f(k) = gk. se tiene que f es un homomorfismo puesto que para

cualquier par de numeros enteros k y s se tiene:

f(k + s) = gk+s =gkgs=f(k)f(s)

El homomorfismo f es suprayectivo puesto que G es ciclico y es inyectivo ya que si gk =

e para algun entero k, k = 0 debido a que g posee infinito elementos ( en caso contrario G=<g>

no podria poseer mas de k elementos). Esto prueba que G es isomorfo a (Z,+)

Demostraremos ahora la segunda parte del teorema; la demostracion se basa en el priemr

teorema de isomorfia. Escribir G=<g> ={g,g2,…,gn-1,gn=e} con gj ≠ gk si j ≠ k. La aplicación:

f: Z G dada por f(k) =gk es un homomorfismo suprayectivo al igual que en la parte primera.

Sin embargo, f no es inyectiva ya que:

N(I)= {k ϵ Z: f(k) = e} = { k ϵ Z: gk = e}={m: m es múltiplo de n} = nZ

Utilizamos el primer teorema de isomorfia deducimos que G = Z/nZ se tiene que Z/nZ

=Zn, que era lo que queríamos demostrar.

2.8.2 Para todo subgrupo del grupo cíclico es cíclico.

Sea G grupo generado por el elemento g y H un subgrupo de G, consideremos m como el

más pequeño de los enteros positivos k tal que g es un elemento de h, observar que este ínfimo

existe al principio del mínimo. Demostraremos que H coincide con el subgrupo generado por gm.

Como gm ϵ H y H es un subgrupo de G, se deduce inmediatamente que <gm> ⊂H. Para

demostrar la otra inclusión consideremos un elemento h de H; como h es también un elemento

de G y G es cíclico, existe un entero s tal que h=gs, por el algoritmo dela división podemos

33

escribir s = cm+r con 0 ≤ r < m; entonces h= gs= gcm gr, de donde se deduce gr=gs(gm)-c=h(gm)-c,

como tanto h como gm son elementos de H, deducimos que gr es también un elemento de H. Como

r es un entero no negativo más pequeño que m, de la definición de m se deduce que r=0, por tanto

h= gs = gcm =(gm)c ϵ <gm> esto demuestra que H= <gm> y en consecuencia, H es cíclico

(Dorronsoro, 1996).

2.9 Subgrupos normales o invariantes

Definimos:

“El subgrupo (A, *) de (B, *) es normal, si y solo si se tiene

x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x*y*x-1 ϵ A” (Rojo, 1996, pág. 252).

Ejemplo:

Para todo subgrupo de un grupo abeliano, es invariante.

Sea (A, *) es un subgrupo de (B, *), y este conmutativo. Por consiguiente

∀ y ∀ x : x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x * y* x-1=x*x-1*y = e * y= y ϵ A

Y de la definición:

(A, *) es invariante

“Teorema. El subgrupo será distinguido si y solo si es invariante” (Rojo, 1996, p.253).

I) (A, °) es distinguido ⇒ (A, °) es invariante:

Sea ∼ una relación de equivalencia en B, compatible con °, asociada al subgrupo

distinguido H.

A=N(g) ={x ϵ B/f(g) =e'} = { x ϵ B/ x ∼ e} (1)

Por 1)

y ϵ A entonces y ∼ e

Por la compatibilidad

34

x ϵ B entonces x ° y ∼ x ° e entonces x ° y ∼ x

⇒ x ° y ° x-1 ∼ x ° x-1 entonces x ° y ° x-1 ∼ e

⇒ x ° y ° x-1 ϵ A

Entonces (A, *) es un grupo distinguido.

II) (A, *) es invariante ⇒ (A, *) es distinguido.

Como (A, *) es invariante entonces sabemos que

x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x * y * x -1 ϵ A

a) Definimos en A la relación ∼ mediante

x1 ∼ x2 ⇔ x1 * x2-1 ϵ A ∧ x1

-1 * x2 ϵ A (2)

Se verifica:

i) Reflexividad

x ϵ B ⇒ x * x-1 ϵ A ∧ x1-1 * x ϵ A ⇒ x∼x

ii) Simetria

x1 ∼ x2 ⇒ x1 * x2-1 ϵ A ∧ x1

-1 * x2 ϵ A ⇒

⇒ x2-1 * x1* x2

-1* x2 ϵ A ∧ x2 * x1-1 * x2 * x2

-1 ϵ A

⇒ x2 * x1-1 ϵ A ∧ x2

-1 * x1 ϵ A ⇒ x2∼ x1

iii) Transitividad

x1 ∼ x2 ∧ x2 ∼ x3 ⇒

⇒ x1 * x2-1 ϵ H ∧ x1

-1 * x2 ϵ H ∧ x2 * x3

-1 ϵ H ∧ x2-1

* x3 ϵ H

⇒ x1 * x2-1 * x2 * x3

-1 ϵ H ∧ x1-1 * x2 * x2

-1 * x3 ϵ H

⇒ x1* x3-1 ϵ H ∧ x1

-1 * x3 ϵ H ⇒ x1∼ x3

b) ∼ es compatible con * en G, pues

x1 ∼ x2 ⇒ x1 ∼ x2-1 ϵ H (3) por (2)

x1' ∼ x2' ⇒ x1' ∼ x2'-1 ϵ H ⇒ x1* (x1' * x2'

-1) * x1-1 ϵ H

por (2) y por ser h invariante.

35

De (3) y (4)

x1 * (x1' * x2'-1) * x1

-1 * x1 * x2-1 ϵ H

⇒ x1 * (x1' * x2'-1) * x2

-1 ϵ H

⇒ (x1 * x1') * (x2'-1 * x2

-1 )ϵ H

⇒ (x1 * x1') * (x2 * x2' )

-1ϵ H

Análogamente se prueba que:

(x1 * x1')-1

* (x2 * x2')

ϵ H

Luego:

x1 * x1' ∼ x2 * x2'

c) Tenemos que E es coordinable a Q, existe el subgrupo distinguido Q', asociado a ∼ tal que

Q' = N(f) = {x ϵ Q/ x ∼ e} = H

Concluyendo H es distinguido (Rojo, 1996).

2.10 Grupo cociente

El modelo de cómo se construye del grupo cociente lo podemos ubicar en los grupos (Zn, +) que

estudiamos antes. En Z, fijado un n ϵ N \ {0}, tenemos la relación de congruencia x1 R x2 si y

solo si n|x1 – x2 o equivalentemente decimos que x1 ≡ x2 mod n.

o también podemos decir que x1 R x2 si y solo si x1 - x2 ϵ nZ. Un grupo cociente asociado a esta

relación equivalente:

Zn=Z/R = Z/ nZ

Igualmente, estas formas lo podemos denotar. Además, es fácil de notar que con la adición

en congruencia tendríamos un grupo, (Zn, +).

De forma similar, pero idealmente, podemos decirnos si dados un grupo (A, °), una

relación sobre el de equivalencia, ∼, y le pertenece el conjunto cociente (Ruiz, 2004).

A/ ∼ = {[g]:[g]={h ϵ G: g ∼ h } }

36

Ejemplo. ∀ n ϵ N \{0}, (Zn, +) un grupo.

Si el grupo aditivo de números enteros (Z, +) y tenga una relación n ∼ m si y solo si |𝑛|

= |𝑚|. Se ve claramente una relación de equivalencia. Cuya relación podemos mirar que:

3 ∼ 3 y 4 ∼ -4

Y luego:

7= 3 +4 ≠ 3 + (-4) = -1

Así, si tendríamos la suma de equivalencia de la clase como [n] + [k] = [n+k], tendríamos

entonces:

[3] +[4] =[7]≠ [1]= [3] + [-4]

Esta suma bien definida no estaría.

El ejemplo anterior muestra que no es tan preciso que el conjunto cociente de un grupo

A/∼ pueda ser de nuevo un grupo. De hecho, para que esto sea así hay que pedir condiciones

adicionales a la relación de equivalencia.

Definición 1. Si (A, *) un grupo y una relación de equivalencia ∼ sobre A. se tiene que

la relación ∼ es compatible como también siendo una relación de congruencia (o simplemente

que es una congruencia) si para todo r, r', p, p' ϵ A con:

r ∼ r' y p ∼ p' ⇒ r * p ∼ r' * p'

Con esta condición adicional se puede asegurar que el conjunto cociente tiene estructura

de grupo.

Teorema 1. Si ∼ es una relación de congruencia sobre un grupo (B, *). Sobre un conjunto

cociente B/ ∼ se establece la operación ° por

° : B/ ∼ x B/ ∼ B/ ∼

([r] , [p]) [r] ° [p] = [r * p]

37

Finalmente (B/ ∼, °) es un grupo que denominares grupo cociente de (B, *) con respecto

a la congruencia ∼.

Declaración: Por ser ∼ una relación de congruencia la operación ° bien definida. También

Como [(r * p) * q ] = [r * ( p * q)] la operación ° es asociativa

Si e ϵ B es el elemento neutro, es claro que [e] ϵ B/∼ es el elemento neutro de (B/∼, °)

Si [r] ϵ B/∼, entonces [r-1] ϵ B/∼ es su inverso (Ruiz, 2004).

2.11 Teorema de la descomposición

Definición: uno de la tesis del algebra lineal de las formas canónicas es la tesis de descomposición

que estudiaremos en la siguiente lección. Para su demostración necesitamos algunos

conocimientos iniciales relacionadas con el subespacio cíclico generado por un vector.

Sea W un espacio vectorial de dimensión finita n ≥ 1, T: W W una transformación

lineal y v un vector cualquiera de W. El conjunto [w]T= < TK(w)|0 ≥ 0 >

Más precisamente [w]T = < TK(w)|0 ≤ k ≤ m-1 > , donde m es el grado del polinomio

mínimo de la transformación T. el vector v se dice que es un vector cíclico de T si [w]T =W. de

manera análogo se define el subespacio [α]A =Kn.

Proposición: Si T: W W es transformación lineal de un espacio W de dimensión

finita n ≥ 1 y sea Y= {v1,…, vn} una base de W. Entonces, el vector W= C1.W1+…+ Cn.Wn es un

vector cíclico de T si y solo si α= (C1,…, Cn) es un vector cíclico de la matriz de T en la base Y.

(Jimenez A. , 2015)

Demostración:

A continuación, presentamos algunas propiedades evidentes de [v]:

a) [0] = 0

b) Dim ([v]) = 1

38

c) Si w ≠ 0 y qw(x) su polinomio anulador. Entonces dim([w]) = grado (qv(x)). Más

exactamente, si grado (qw(Y)) = k

Finalmente {w, T(w), …, TK-1(w) } es una base de [w]

d) Si T[w] la restricción de T a [w]. por consiguiente, el polinomio mínimo de T[w] coincide

con el anulador de qv(x) del vector v.

e) Sea w es un vector cíclico de T, entonces qw(Y) = qT(Y) = pT(Y)

39

Aplicación didáctica

Sesión de aprendizaje

Los conocimientos matemáticos nos permiten solucionar ciertos problemas de la vida cotidiana.

Hoy en día el tratamiento de los temas de matemática en las escuelas debe darse de manera

didáctica con la intención de que los estudiantes puedan hacer uso de cada conocimiento en la

resolución de problemas y situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

La aplicación didáctica para este tema de Estructura de grupos, lo realizaremos mediante

una sesión de aprendizaje, haciendo la observación de que el desarrollo de todo el tema de

GRUPOS requiere de una planificación de varias sesiones, pero nos enfocaremos en un concepto,

pero reiteramos que, para comprender todo el tema, es necesario hacer un estudio completo.

40

Planificación de sesión de aprendizaje planificación

I. DATOS INFORMATIVOS:

UNIDAD

1. UGEL : Nº 01

2. NIVEL/TURNO : Secundario/ Tarde 6

3. DIRECTOR : Juan MARCELINO TARMEÑO

4. PROF.

RESPONSABLE : Antonio TELLO VILCAPI

SESIÓN 5. AREA : Matemática

6. GRADO Y SECCIÓN : 2 ° A 3

7. DURACIÓN : 90 Minutos.

II. TÍTULO DE LA SESIÓN:

Reconocemos una ley de composición interna y su estructura de semigrupo o monoide.

III. APRENDIZAJES ESPERADOS:

Competencia Capacidades Indicadores Instrumento de

Evaluación

Actúa y piensa

matemáticamente en

situaciones de

cantidad

Matematiza

situaciones

- Reconocer relaciones de ley

de composición interna en

problemas multiplicativos y

de adición

- Diferencia y usa modelos

basados en un monoide y

semigrupo, al plantear y

resolver problemas.

Ficha de trabajo

Ficha de evaluación

Ficha de tarea

Lista de cotejo

Propósito de la sesión:

Desarrollar ciudadanos con pensamiento productivo, crítico y reflexivo que puedan entender

mediante la matemática los diferentes aspectos del mundo que lo rodea. Como Aprendiendo a

reconocer LCI, semigrupo y monoide que involucran en un clima de respeto y responsabilidad.

Serán de utilidad para su presente y futuro personal, social, productivo y profesional.

Producto de la sesión

Propone una ley de composición interna en el cuaderno de actividades

Justifica cuando una estructura es semigrupo o monoide dependiendo de su definición.

41

IV. SECUENCIA DIDÁCTICA:

Inicio:(20minutos)

• El profesor da la bienvenida a los alumnos. Además de comunicar las reglas de trabajo y

propósito que tienen la actividad del día.

El docente rescata y resalta los saberes previos serán de utilidad para resolver la situación

problemática además se utilizarán de base para los nuevos aprendizajes obtenidos por los

estudiantes.

Desarrollo: (50 minutos)

Los estudiantes de forma individual intentaran resolver el problema de manera

heurística:

- Comprende el problema:

El estudiante debe realizar la decodificación y entendimiento tomando en cuenta sus saberes previos a

cerca del problema, donde se halla la incógnita, los datos, la condición (es), entre otros términos que

se encuentra en el problema de manera implícita y/o explicitas que proporciona el problema en cuestión

- Concebir un plan: El objetivo de este paso es que el estudiante establezca un plan estratégico que le conduzca a la solución

del problema, este plan sugiere el uso de la intuición y creativo del estudiante, quien pone a prueba su

agudeza y habilidad en búsqueda de una idea brillante en procura dar solución al problema.

Buscar la relación de los dato y la incógnita mediante la condición o condiciones propuestas por el

problema, para relacionar estos elementos se tendrá que utilizar un argumento lógico o conjunto de

argumentos derivado de algún teorema, axioma, definición, concepto de un saber previo matemático

que garantice la concepción del plan, además tiene que adecuarse a los datos recogidos y satisfacer la

condición(es) para la ejecución del plan. Caso contrario el docente; presenta un problema más sencillo

donde el docente con ayuda de los estudiantes lo resolverán con el objetivo que el estudiante gane

confianza y extraiga el conjunto de argumento lógico para que lo emplee en la solución al primer

problema.

- Ejecución del plan

El profesor dará una situación de la vida real para ser

resuelta por los estudiantes de forma individual a cada

integrante que conforman los grupos. La situación se puede

presentar en una pizarra (anexo 01).

42

Estando ya el estudiante en posesión de un plan y la estrategia requerida para resolver el problema, La

aplicación de la estrategia heurística implica procesos algorítmicos para la solución al problema.

Los procesos algorítmicos deben estar previamente sustentados por alguna tecnología matemática y

conlleva a una técnica matemática o acción algorítmica que satisface la condición del problema en

relación a los datos obtenidos.

- Examinar la solución obtenida solución

Es necesario que el estudiante requiera la convicción de que la solución encontrada es la correcta,

efectuando una revisión crítica y autocrítica del problema desarrollado.

Este último paso es donde prima la reflexión sobre los procedimientos ejecutados y sobre el resultado

obtenido, teniendo en cuenta la verificación y consolidación de los conocimientos previos y nuevos,

que fueron necesarios para lograr el resultado del problema y esperado.

En conclusión es el momento en donde se va desarrollar la metacognición de lo aprendido.

El estudiante ya, con la solución al problema. Comunica a los demás integrantes de su

grupo sobre la solución y los procedimientos para la solución.

La estudiante valida su respuesta exponiendo en la pizarra ante

los demás grupos, la solución del problema planteado por el docente.

El docente formaliza algunos puntos del tema de la sesión para disipar las dudas de los

estudiantes.

Cierre: (20 minutos)

El estudiante de forma individual resuelve una práctica calificada, para que el docente

obtenga un indicio sobre el éxito de la trasferencia del aprendizaje.

El estudiante realizan metacognición mediante las siguientes preguntas:

¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?, ¿Cómo he decidido de lo que digo es cierto?

El docente deja una tarea domiciliaria para reforzar el aprendizaje obtenido.

Desarrollan la práctica calificada o anexo (2) que

será calificada la momento para que el docente

pueda percatarse si los estudiante aprendieron el

tema del día y resuelven el anexo (3) que será

como tarea domiciliaria el cual reforzara lo aprendido

en clases.

Los estudiantes discuten sobre cuál de las soluciones

obtenidas es la correcta, hasta llegar a un consenso,

para que una conclusión a la solución del problema.

Los estudiantes pregunta como también prestan

atención a las argumento lógico o conjunto de

argumentos derivado de algún teorema, axioma,

definición, concepto. Para luego dominar las técnicas

matemáticas que serán validadas por tales argumentos.

43

V. TAREA A TRABAJAR EN CASA:

Efectuar los ejercicios y problemas referidos al tema. Anexo (3)

VI. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR:

- Regla

- Información

- Materiales: plumón de pizarra, plumón de papel, mota.

- Papeles y papelote.

TÉCNICAS

- Prueba escrita

- Informe

- Cuestionario

- Tarea domiciliaria

REFERENCIAS

Para profesor:

Ministerio de Educación (2016). Currículo Nacional. (2 ed). Lima.: Editorial Ministerio de Educación

. y Ciencias, Subdirección General de Información y publicación.

Para alumno:

Ministerio de educación (2015). Libro segundo año de matemática (1 ed). Lima.: Editorial Editorial

. Ministerio de Educación y Ciencias, Subdirección General de Información y publicación.

44

Ficha de inicio

Propósito: Encontrar los valores de las horas transcurridas y dar a conocer

intuitivamente el elemento neutro.

El reloj

Consideremos el conjunto A formado por todos los numero que figuran en los clásicos

relojes como se muestra.

Figura 3. La figura ilustra un reloj de pared. Fuente: Chirinos, 2014.

Se pregunta a los alumnos:

1) ¿Qué hora serán tres horas después de las 10 horas?

2) Se verifica, 4 + 10 = 10 + 4

3) ¿Cuánto es? 7 + 12 =………, 12 + 11=………..

4) ¿Tiene la forma de una ley de composición interna? Justifique su respuesta

45

Ficha de trabajo

Propósito: Registrar la cantidad de horas transcurridas en cada cuadrado.

Integrantes:

Actividad 01: En la siguiente tabla completa todas las sumas, usando los números del reloj,

que denotaremos por A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

1. Considerando el reloj clásico (Anexo 01) completa las siguientes tablas de valores:

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 10

2 10

3 10 3

4 10 3 4

5 10 3

6 10 3

7 10 3

8 10 3

9 10 3

10 3

11 3

46

12 3

2. Según la tabla; ¿7+9=16?...........................................................

¿Para qué valor de x en A se cumple que 2 + x = 15?

Justifique……………………………………………………………

2. . Observando la tabla, ¿Qué propiedades de la suma se cumplen? (notase las líneas vertical y

horizontal sombreadas ¿Y la diagonal sombreada?)

¿∀ a, b ϵ A; será, siempre: a + b = b + a?.......................................

Si x + 12= x; ¿Cuál es el valor de x?.............................................

3. . Considerando los números del reloj; en la ecuación: x + 7 = 6, ¿Cuál es la hora que representa

x? justifique su respuesta……………………………………………………..

47

Actividad: Autoevaluación

1. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:

a) La adición de 2 y 3 en N es 5. ( )

b) El 1 es elemento neutro de la adición en N. ( )

c) El producto cartesiano es una operación interna. ( )

2. Indicar la propiedad que se han empleado en cada una;

a) (a + b) + c = b + (c + a)……………………………………………………

b) 0 + 205 = 205 ……………………………………………………

c) 20=x ⇒ x = 20 …………………………………………………………………..

3. Marca con una “x” en los espacios donde corresponda.

Propiedad Estructura

Monoide Semigrupo

Clausura

Asociatividad

Elemento neutro

Elemento simétrico

48

Síntesis

Operaciones internas. Definición. - se llama operación interna de un conjunto A distinto

devacío, a toda función de T de AxA en A.

Notaciones:

1) Si T es una operación interna en A, lo representamos

T: AxA A

(p, q) p T q

Donde p T q resultado de operar p con q mediante la operación interna T considerando el

orden, ese tiene, p es el elemento de la izquierda y q es el elemento de la derecha.

Estructura algebraica. Se tiene T es una ley de interna de composición en A, entonces

(A, T) se llama una estructura algebraica.

Es decir afirmamos que T provee de una estructura algebraica al conjunto A≠ ø

Algunos autores, a estas estructuras algebraicas le llaman monoide.

Semigrupo. Definición: si T es una operación interna en A y T es asociativa, entonces se

se tiene que T define en A la estructura de semigrupo, es decir se afirma que (A, T) es un

semigrupo.

Estructura de grupo. Si B un conjunto y T es la ley de composición interna en B. Se

dice que (B, T) tiene la estructura de grupo, si se cumple

G1) T es asociativa

G2) Existe el neutro

G3) T tiene elemento simétrico

Subgrupos. Definición. - un subconjunto A distinto de vacío de G es un subgrupo del

grupo (G, T), si y solo si A es un grupo con la operación T en G, restringida sobre A.

49

Teorema. Un subconjunto A diferente de vacío de G, es un subgrupo de (G, T) si y solo si

(1) ∀ a, b ϵ H, a T b ϵ H

(2) ∀ a ϵ H, a-1 ϵ H

Clases laterales

Se tiene:

Sea (A, T) es un grupo, ∀ a, b elementos de A el resultado a T b de A, lo vamos a

simbolizar en forma multiplicativa, es decir, en vez de escribir a T b escribiremos a b para tratar

los demás conceptos que se estudian más adelante sobre grupos y subgrupos.

Clases laterales por la izquierda y por la derecha

Definición. - Si (A, T) un grupo y W un subgrupo de A. Dado un elemento a de A

Las clases laterales de a por la izquierda respecto a A, es el siguiente conjunto:

aW= {a w ϵ A/ w ϵ W}

La clase lateral de a por la derecha respecto de A, es el siguiente conjunto:

Wa= { w a ϵ A/ w ϵ W}

Relación de equivalencia en un grupo (B, T)

Si (B, T) un grupo y W un subgrupo de B. En B se define una relación denotado con ≡

con la condición para a, b en B. a ≡ b (modw) ⇔ a-1 b ϵ W

Donde se tiene que esta relación ≡ es de equivalencia en B.

Clases de equivalencia. Sea ≡ una relación de equivalencia en el grupo A, para cualquier

elemento a de A, en la clase de equivalencia de a cierta relación ≡, se define con [a]

[a]={x ϵ A/ a ≡ x mod(W)}

Finalmente, para a ϵ A, daremos la definición de su clase lateral por la izquierda aW= {a

w ϵ A/ w ϵ W}.

50

Teorema:

Si H es un subgrupo de G y la relación ≡ anterior en el grupo G de equivalencia para a ϵ

A, se verifica [a] = a W

Conjunto cociente. Tenemos H un subgrupo de A. El conjunto cociente A por las

relaciones anteriores se denota con A/H y por tanto definimos

A/H = {[a] ⊂ A/ a ϵ A}

Luego:

(1) A/H ={aH ⊂ A/ a ϵ A} (por la izquierda)

(2) A/H ={Ha ⊂ A/ a ϵ A} (por la derecha)

Teorema de Lagrange. En A grupo de n elementos y W es um subgrupo de A, entonces el

cardinal de W divide a n, en símbolos: card(W)/n.

Grupo cociente

Sea (A, T) un grupo y W un subgrupo normal de A, en el conjunto cociente A/W ={aW ⊂ A/

a ϵ A} se define la operación * como sigue ∀ aW, bW en A/W aW * bW = abW

Veamos que (A/W, *) es un grupo.

Homomorfimos de grupos

Definición.- Si (A, T) y (A1, T1) 2 grupos. En la función f: A A1 se tiene que es un

homomorfismo de grupos, si y solo si, para todo a, b en A se verifica

f(a T b) = f(a) T1 f(b)

Teorema

Si A y A1, son grupos y f: A A1 un homomorfismo, se verifica.

(1) Sea W es un subgrupo de A, entonces f(W) es subgrupo de A1

51

(2) Sea B es un subgrupo de A1, entonces f-1(B) es subgrupo de A

Núcleo de homomorfimo de grupos

Si f: B B1, homomorfismo de grupos.

Definición: llamamos núcleo de f y se denotara con N(f) al subconjunto de B, donde sus

elementos tienen como imagen al elemento neutro e1 de B1, en símbolos:

N(f)= {y ϵ B/f(y) = e1}.

52

Apreciación crítica y sugerencias

Hoy en día nuestro país se apuesta poco o nada por la educación, es por ello que espero que la

presente monografía contribuya a incentivar a muchas personas apostar por una buena educación.

El mundo de la matemática y en especial a las estructuras algebraicas forman parte del currículo

para la formación de futuros docentes de la especialidad de matemática, siendo de carácter

obligatorio, para lograr así una mejor comprensión de las matemáticas, porque en la actualidad

no basta con dominar los contenidos temáticos del área de razonamiento, y actitudes que les

permitan una educación interdisciplinaria para poder alcanzar las metas propuestas.

Estos criterios exigen que los profesores y como toda persona que realiza trabajos en la

docencia a poder actualizarse continuamente, teniendo en cuenta aspectos curriculares, vigencia

de contenidos y metodologías.

En el caso del programa de régimen regular pedagógico y universitaria de la especialidad

de matemática, del cual yo provengo, sugiero se ponga énfasis en temas que ayuden a mejor

nuestro nivel académico para poder desarrollarnos como buenos profesionales competentes,

teniendo como un gran valor la ética y morales que correspondan a nuestra quería y amada

profesión.

53

Conclusiones

Los enunciados que se mostraron en el presente proyecto evidencian, lo importante que es el

tema de Estructuras algebraicas. Por ser un tema de formación académica que todo docente

dedicado a la labor pedagógica en el área de matemática debe conocer. Por estas razones se

enfatiza en un contenido del tema entendible, adecuado, logrando una situación didáctica que

contribuirá a un buen desempeño del docente en el aula.

Logrando concluir que nuestra formación académica ha sido mejorada, en nuestras

habilidades matemáticas en distintos temas, incluyendo nuestra capacidad de reflexión. Todos

estos capítulos son importantes y muy aplicados a la vida cotidiana, un correcto desempeño en

estos conocimientos nos facilitaría diversos problemas que se dan en la vida cotidiana.

Añadiendo que si favorece en nuestra vida diaria también lo hará en nuestra vida futura

profesionalmente.

Tras el estudio mencionado se puede concluir, lo tan importante que es las matemáticas

como para muchas otras ciencias. El objetivo planteado de dar una situación didáctica que facilite

el aprendizaje de los alumnos se menciona en la aplicación didáctica.

Los resultados obtenidos fueron positivos en el presente proyecto, ya que se logró la

consigna en cuanto información teórica y situación didáctica, logrando así una contribución para

mis colegas y futuros docentes en su arda labor del día a día.

54

Referencias

Aizpun, F. (1970). Teoría y didactica de la matematica actual. Madrid.

Cadad.org. (2018). Homomorfismo. Recuperado de http://cadadr.org/san-salvador/2018-

algebra/5-homomorfismos.pdf.

Complutense, U. (2014). Aplicacion de matematicas. Recuperado el 25 de 11 de 2018, de

http://www.mat.ucm.es/~cruizb/2-AM/Apuntes-i/Apuntes-14/Grupos-6.pdf.

Dorronsoro, J. (1996). Número, grupo y anillos. Madrid.

Espinoza, E. (1999). Algebra Lineal. Lima.

Hernandez, L. (24 de 05 de 2007). Estructuras Algebraicas. Recuperado de: https://

www.researchgate.net/publication/264496538_Estructuras_Algebraicas_Guia_de_apoy

o_para_estudiantes_de_Matematicas_Discretas_No_terminada.

JimeneZ, A. (2015). Estructura de Grupo. Lima.

Jimenez, D. (03 de 2017). Teoria de grupo. Recuperado de:https://matematica.uv.cl/

djimenez/archivo/grupo.pdf?fbclid=IwAR2_RuzofOcNEey28nT4lAykf_k8gXzJve_xGj

e93S7MIfdnS0r_2QLUIM4.

Pajello, O. (2015). Estructura Algebraica. Recuperado el 9 de 11 de 2018, de

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:hhMZP5u1ftwJ:www.ing.unrc.

edu.ar/publicaciones/doc_de_trabajo/archivos/estructuras_algebraicas.doc+&cd=15&hl

=es&ct=clnk&gl=pe.

Palacios, M. (2002). Grupo, anillo y cuerpo. Recuperado de: http://pcmap.unizar.es/

~mpala/A_L_lecci/3grupos.pdf.

Rojo, A. (1996). Algebra I. Buenos Aires.

Ruiz. (24 de 5 de 2004). Semigrupo y monoide. Recuperado de: file://C:/Users/Tello/Do

wnloads/Grupos%20I.%20Semigrupos%20y%20monoides.%20Definici%C3%B3n.%2

55

0Una%20operaci%C3%B3n%20binaria%20interna%20en%20un%20conjunto%20X%

20es%20una%20aplicaci%C3%B3n.%20f%20_%20X%20X%20X.pdf).

Ruiz, C. (s.f.). Aplicacion de matematicas. Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/ ~cruizb/2-

AM/Apuntes-i/Apuntes-14/Grupos-4.pdf).

Tijani, P. (s.f.). Algebra II. Recuperado de: https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/26435

/1/Algebra%20II.pdf).

Trujillo, C., F., Chirinos M., D., Yauri, V., A., Giles N., M., & Davila H., V. (2014).

Introduccion a la estructuras algebraicas. Lima: UNE.

56

Apéndice(s)

Apéndice A: Lista de cotejo

SECCIÓN: A

Docente responsable: ……………………………………………………………….

N°

Área

Fecha

Reconoce e identifica una ley de

composición interna

Estudiantes

Hecho Pendiente No realizo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

57

Apéndice B: Ficha de evaluación

Grupo Nº: ……………

Apellidos y nombres

Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación(*)

¿Comprendí

la intención

de la

situación

planteada?

¿Aporté al

desarrollo

de la

actividad?

¿Describió y

realizó

procesos para

llegar a la

solución del

problema?

¿Relacionó y aplicó

conceptos de

estructura de grupos

para resolver la

situación?

(*): Esta calificación lo realiza el docente.