UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
ESTRUCTURA DE GRUPO
Grupos y subgrupos- Homomorfismos de grupos. Clases laterales. Teorema
de Lagrange Subgrupos normales. Grupo cociente. Homomorfismos de
grupos. Teorema de descomposición.
Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº1147-2018-D-FAC
Presentada por:
Tello Vilcapi, Antonio
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática
Lima, Perú
2018
3
Dedicatoria:
A mis padres Rosalbina y Jorge por haberme apoyado
en todo momento, por ser lo más importante en mi vida
y a todos aquellos que participaron en mi formación
académicos.
iii
4
Índice de contenidos
Portada………………………………………………………………………………..………….i
Hoja de firmas de jurado…………………………………………………………………...……ii
Dedicatoria……………………………………………………………………………….….….iii
Índice de contenidos……………………………………………………………………..……...iv
Lista de figuras…………………………………………………………………………..……..vii
Introducción……………………………………………………………………………..…….viii
Capítulo I. Conceptos previos……………………..……………………………………….…9
1.1 Ley de composición interna…………………………………………………………….…..9
1.2 Propiedades de la ley de composición interna……………………………………………..10
1.2.1 Propiedad commutativa………………………………………………………...….10
1.2.2 Propiedad asociativa………………………………………………………….…....11
1.2.3 Elemento neutro……………………………………………………….…….…......11
1.2.4 Leyes simplificables; elemento regulares………………………….……………....11
1.2.5 Elementos idempotentes……………………………...............................................12
1.2.6 Elementos absorbentes……………………….........................................................12
1.3 Estructura algebraica............................................................................................................12
1.3.1 Estructura de semigrupo..........................................................................................12
1.3.2 Estructura de monoide.............................................................................................13
iv
5
Capítulo II. Estructura de Grupos…………………..……………..………….……….…14
2.1 Introducción….....................................................................................................................14
2.1.1 Definición de grupo……………………….....………………………………..…..14
2.1.2 Propiedades de grupos…..……………………………………...............................15
2.1.2.1 Unicidad del inverso y el neutro…………………………………………...……15
2.1.2.2 Regularidad………………………………………………..……………..….….15
2.1.2.3 Ecuaciones de grupo…………….……………………….…..………………....16
2.1.2.4 Inverso de una composición…………………………………………………....17
2.2 Subgrupo……………………………………………..……………………….…….…….18
2.2.1 Definición…………………………………………..…………………...………..18
2.2.2 Teorema de subgrupos………………………………………………….....….......19
2.3 Las operaciones con subgrupos…………..……………………………………..…….......19
2.3.1 Intersección de subgrupos…………………………………..….………………....19
2.3.2 La unión de subgrupos………………………………………………...….............20
2.4 Homomorfismo de grupos………………………………………………………………...21
2.4.1 Definición…………………………………………………………………………21
2.4.2 Clasificación de homomorfismo………………………………………………….22
2.4.3 Propiedades de homomorfismo de grupos………………………………..............23
2.4.3.1 Proposición 1…………………………………………………………...……....23
2.4.3.2 Proposición 2…………………………………………………………………...24
2.4.3.3 Proposición 3……………………………………………………………….......24
2.4.4 Núcleo de un homomorfismo ……………………………………………………25
2.4.4.1 Definición…………………………………………………..…………….……25
2.4.4.2 Propiedades…………………………………………………………..…..…….26
2.5 Imagen de un homomorfismo ............................................................................................ 27
2.5.1 Definición……………………………………………..…………….…...……….27
v
6
2.5.2 Propiedad………………………………………………………………………….28
2.6 Clases laterales………………………………………………………………………….....29
2.7 Teorema de Lagrange……………………………………………………………………..30
2.7.1 Proposición…………………………………….....……………………………….30
2.8 Grupos cíclicos……………………………………………………………………….…...31
2.8.1 Teorema (clasificación de los grupos cíclicos) ..................................................... 32
2.8.2 Para todo subgrupo del grupo cíclico es cíclico…………………………..……...32
2.9 Subgrupos normales o invariantes ..................................................................................... 33
2.10 Grupo cociente ................................................................................................................. 35
2.11 Teorema de la descomposición........................................................................................ 37
Aplicación didáctica……………………………..………………………………………….....39
Sesión de aprendizaje…………………………...………………………..............................…39
Planificación de la sesión de aprendizaje………………………………………………...........40
Síntesis………………………………………………………………………………………...48
Apreciación crítica y sugerencias……………………………………………………………..52
Conclusiones…………………………………………………………………………………..53
Referencias…………………………………………………………………………..………..54
Apéndice(s)…………………………………………………………………………………...56
vi
7
Lista de figuras
Figura 1. Unión en subgrupos……………………………………………………………..20
Figura 2. f es un epimorfismos, pero no es monomorfismo………………………………27
Figura 3. Reloj de pared…………………………………………………………………...44
vii
ii
8
Introducción
Toda nuestra vida gira entorno a las matemáticas desde tiempos muy antiguos, desde los egipcios,
griegos que sus aportes a la humanidad hasta ahora perduran. Es ahí su gran importancia de
estudio por ser la ciencia madre de todas las demás, y por su gran aporte a las nuevas tecnologías
que día a día van avanzando a pasos agigantados.
Al comenzar a involucrarnos con los estudios de las matemáticas no podemos dejar de
lado lo fundamental, y que nos servirá de base para estudios posteriores como es la estructura
algebraica, específicamente el estudio de Estructura de grupo, los cuales nos ayudaran a entender
temas sobre campos, anillos, espacios vectoriales. En el presente proyecto se comienza a analizar
la ley de composición interna, subgrupo, grupo mostrando las más importantes propiedades y
teoremas que se mencionaran con respecto al estudio mencionado, como también
homomorfismos, grupo cociente y finalizando con una situación didáctica.
El tema de Estructura de grupo es estudiado por docentes en el campo de la matemática
por ello dilucidaremos una sesión de aprendizaje, para mostrar su aplicación didáctica en el aula,
lo cual los maestros podrán tomar como ejemplo para el desarrollo de sus clases.
La monografía está estructurada en 3 capítulos: El capítulo I, conceptos previos sobre el
tema principal; el capítulo II, estructuras de grupos; el capítulo III, presenta la aplicación
didáctica a través de una sesión. Finalmente, el compendio, sugerencias, referencias, apéndices
y la apreciación crítica. Recordando que la finalidad de la presente investigación es para afianzar
los conocimientos, contribuir al mejor entendimiento del tema y aportar en el desarrollo de la
ciencia.
viii
9
Capítulo I
Conceptos previos
1.1 Ley de composición interna
Sea B ≠ ø, un conjunto, llamaremos ley de composición interna definida en B, para toda la
aplicación de B x B en B (Espinoza, 1999).
Es decir F: B x B B
(a,b) F(a,b) = aFb
Ejemplo: la suma o la multiplicación en N, Z, Q, R o C.
De acuerdo a Ruiz (2004) afirma “una operación interna binaria en el conjunto T es una
aplicación” (p.20).
g: T x T T
Para reducir el lenguaje se dirá “operación” a cambio de “operación binaria interna”, tanto
no haya riesgo de equivocación. En donde la aplicación “g” es tanto una operación en T, la
imagen g ((U₁, U₂)) de cada par (U₁, U₂) ϵ T x T se anotarán (según los casos) de cierta forma:
U₁U₂, U₁. U₂, U₁+U₂, U₁* U₂, …
En las 2 primeras notaciones se dice que es multiplicativa y en la 3 se dirá que la notación
es aditiva.
10
La operación ° en el conjunto A es asociativa si w1 ° (w2 ° w3) = (w1 ° w2) ° w3 ; ∀ w1, w2,
w3 ϵ A.
En una operación ° el conjunto C será conmutativa si w1 * w2 = w2 * w1, ∀ w1, w2 ϵ C
Al utilizar el signo aditivo, se asume que aquella operación es conmutativa y, por
consiguiente, w1 + w2 = w2 + w1, ∀ w1, w2 ϵ C.
En una operación ° el conjunto C tiene elemento unicidad (neutro) si posee el elemento e
ϵ C cumpliendo: w * e = w = e * w, ∀ w ϵ C.
Cuando la notación sea aditiva se dirá “elemento neutro”, o multiplicativa (en general no
aditiva) se llamará “elemento unidad”. Verifíquese en las definiciones exige que pertenezca a un
elemento en el conjunto C (Ruiz, 2004).
Ejemplo:
Trujillo, Chirinos, Yauri, Giles y Davila (2014) aseguran que el conjunto A la diferencia
se le asigna con “-“y a la división le corresponde con “÷” no son OI, definidas totalmente. Son
operaciones definidas parcialmente.
Las diferencias solo se cumplirán en las parejas (c, d) ϵ AxA donde c ≥ d, es decir: (c – d) ϵ A ⇔
c ≥ d.
Para la división solo se cumplirán para aquellos pares (r, t) ϵ AxA siendo r múltiplo de t,
logrando así:
(r ÷ t) ϵ A si y solo si ∃ n ϵ A / r = nt
1.2 Propiedades de la ley de composición interna
1.2.1 Propiedad conmutativa.
Si un conjunto C se ha definido una operación siendo una ley de composición interna, ∀
par (a, b) ϵ C x C su imagen es la misma que la del par (b, a), se dice que la operación es
conmutativa (Aizpun, 1970).
11
Simbolicamente: ∀ (a, b) ϵ C x C, a $ b = b $ a
La adición es conmutativa en todo conjunto numérico.
1.2.2 Propiedad asociativa.
Si una operación está definida en todo el conjunto C y para toda terna a, b, c, de elementos
de C es (a $ b) $c=a $ (b $ c), diremos que la operación es asociativa (Aizpun, 1970).
Simbolicamente: ∀ (a, b, c) ϵ C3, a $ (b $ c) = (a $ b) $ c
Ejemplo:
La adición y la multiplicación en N, Z, Q, R, son asociativas.
1.2.3 Elemento neutro.
“Si la operación $ está definida en todo el conjunto C y existe un elemento h ϵ C tal que
para todo a ϵ C es a $ h = h $ a = a, este h se llama elemento neutro para $” (Aizpun, 1970, p.82).
Simbolicamente: ∃ h ϵ C, ∀ a ϵ C, h $ a = a $ h = a
Ejempló:
En a $ b = a + b +ab, definida sobre Z, 0 es neutro.
1.2.4 Leyes simplificables; elemento regulares.
Un elemento a ϵ C, es regular a la izquierda respecto a la operación $, definida en C si:
∀ b, c ϵ C a $ b = a $ c ⇒ b = c
“Análogamente definición cabe para elementos regulares a la derecha. Si un elemento es
regular a derecha e izquierda, se llama, simplemente, regular para esa operación o a esta
simplificable por ese elemento” (Aizpun, 1970, p.83).
Ejemplo:
En a $ b = a + 2b, definida en N, todo n es regular, pues de n + 2b = n + 2c, se deduce
b = c y también b + 2n = c + 2n ⇒ b = c
12
1.2.5 Elementos idempotentes.
En la multiplicación numérica 1 x 1 = 1 y este es el único número tal que a x a = a. También
es 0 + 0 = 0 y este es el único número tal que a + a = a.
Por analogía, o mejor como generalización, puede darse:
“Si el conjunto C está definida una operación $, se dice que el elemento h ϵ C es
idempotente para $, cuando h $ h = h” (Aizpun, 1970, p.84).
Ejemplo:
En P(C), para todo X ϵ P(C), es X U X = X
Y también
X ∩ X = X
1.2.6 Elementos absorbentes.
S un conjunto C está definida una ley, y existe un elemento a ϵ C tal que para todo x ϵ C,
es a $ x = a diremos que a es absorbente a la izquierda.
Una definición análoga se hace para elementos absorbentes a la derecha. Cuando se trate
de un elemento absorbente a ambos lados, se llamará, sin más, absorbente para la operación de
que se trate.
Ejemplo:
En la potenciación, 1 es absorbente a la izquierda, pues 1a = 1 para todo a.
1.3 Estructura algebraica
1.3.1. Estructura de semigrupo.
Si A un conjunto aleatorio y siendo * una ley de definida composición interna de
A x A A. Por consiguiente, se dice que [A, *] un semigrupo si, * es asociativo
(Hernández, 2007).
13
Ejemplos:
1. [Z, +] es un Semigrupo
2. [Z, .] es un Semigrupo
1.3.2 Estructura de monoide.
Un monoide se dice a un semigrupo N = (N, °) con un elemento neutro claramente (Ruiz,
2004).
Ejemplo:
1. (A, +) es un conjunto de números N con adición y su elementó neutro es el numeral
natural cero.
2. (B, .) es el conjunto de naturales con multiplicación; siendo su elemento neutro el número
natural uno.
14
Capítulo II
Estructura de grupos
2.1 Introducción
La estructura de un grupo de sistema axiomático y matemáticamente fundamental, puede ser
afrontada imponiéndose su condición de estructuras de semigrupo o monoide, introducidas
anteriormente. Después de confrontar las propiedades y dar ejemplos, se estudia los grupos
finitos, subgrupos, los homomorfismos de grupos, grupos cíclicos y conceptos de grupos
cocientes (Rojo, 1996).
2.1.1 Definición de grupo.
Si un conjunto A distinto del vacío y teniendo una función °. El par (A, °) tiene estructura
de grupo ⇔ ° es una ley de composición interna en A, con neutro, asociativa, y tal que para todo
elemento de A tiene su inverso respecto de ° (Rojo, 1996).
En forma simbólica se tiene:
Definición:
(B, *) es un grupo si y solo si se verifican los axiomas
G1: *: B2 B
G2: Asociatividad
15
Para todo r, t, p : r, t, p ϵ B ⇒ (r * t) * p = r* (t * p)
G3: Existencia del elemento identidad o neutro
Existe e ϵ B / ∀ r: r ϵ B ⇒ r * e = e * r = r
G4: Existencia del inverso
Para todo r ϵ B, ∃ r' ϵ B / r * r' = r' * r = e
Tambien se verifica:
G5. Conmutatividad
∀ r, ∀ t: r, t ϵ B ⇒ r * t = t * r
Como resultado el grupo se llama abeliano o conmutativo.
De acuerdo al autor Aizpun (1970) afirma ejemplos de grupo:
1. “El par (z, +) es un grupo conmutativo, porque además de formar semigrupo tiene 0 como
elemento neutro y cada entero tiene un simétrico. En particular, cuando se trata del grupo (Z, +)
los elementos simétricos se llaman opuestos y este nombre se da más adelante a los simétricos
de todo grupo cuya ley se designe por +, así como es designa por 0 al elemento neutro de tal
grupo” (p.88).
2. Si es C = {+1, -1}, el par (C, X) es un grupo.
2.1.2 Propiedades de grupos.
2.1.2.1 Unicidad del inverso y el neutro.
El inverso de cada elemento es único y el neutro también es único.
2.1.2.2 Regularidad.
En todo grupo sus elementos son regulares.
Hipótesis (A, °) es grupo
p ° q = p ° r
16
q ° p = r ° p
Tesis q = r
Demostración
De la hipótesis
p ° q = p ° r
Componiendo a izquierda con p', inverso de p
p' ° (p ° q) = p' ° (p ° r)
Tenemos asociatividad
(p' * p) * q = (p' * p) * r
Según G4
e * q = e * r
q = r
La regularidad a derecha se prueba análogamente.
La regularidad connota que según la ley canceladita es válida para los elementos sin
excepción del grupo (Rojo, 1996).
2.1.2.3 Ecuaciones de grupo.
Sea (A, °) un grupo. Entonces, para cada ecuaciones q ° x = p y x ° q = p tiene solución
única (Rojo, 1996).
Componiendo los dos miembros de la primera ecuación a izquierda con b' se tiene
q' ° (p ° x) = q' ° p
Por G2
(q' ° q) ° x = q' ° p
Por G4
e ° x = q' ° p
17
Por G3
x = q' ° p
La unicidad de la solución se deba la unicidad del inverso y dado que ° es una función de
A2 en A.
Considerando la segunda ecuación el trabajo es análogo.
Supongamos el grupo multiplicativo y la segunda ecuación, que se convierte en
x.q = p
Al componer en la derecha con el inverso multiplicativo de q, da la solución
x = p .q-1
El producto en un elemento del grupo por el inverso multiplicativo se llama cociente
denotándose (Rojo, 1996).
x = 𝑝
𝑞
2.1.2.4 Inverso de una composición.
∀ grupo, el inverso de una composición que tiene dos elementos es igual a la composición
de los permutado de sus inversos en ese orden.
Se trata de demostrar que (p * q) ' = q' * p'
Antes de comenzar en detalles de la demostración, proponemos algunos resultados.
i) Alguna de las ecuaciones p * x = p o x * p = p tiene la solución x = e.
Si estimamos la primera después de componer a izquierda con p' se llega a x = e y
similarmente en el segundo caso componiendo a derecha con el mismo p'.
ii) En alguna de las ecuaciones p * x = e o x * p = e tiene la solución
x = p'
Sea p * x = e; después de componer a izquierda con p', se concluye x = p'. Igual resultado
se consigue a partir de la ecuación segunda, luego de componer a derecha con p' (Rojo, 1996).
18
iii) Demostremos a continuación la proposición inicial.
Hipótesis (A, °) es grupo
Tesis (p ° q) ' = q' ° p'
Demostración
Una traducción de la propiedad ii) es la siguiente: si la composición de dos elementos es
el neutro, entonces para cada uno es el inverso del tercero.
Por consiguiente, entonces
(p ° q) ° (p' ° q')
Aplicando de manera sucesivamente G2, G4, G3 y G4, resulta
(p * q) * (q' * p') = p * (q * q') * p' * e * p = p' * p = e
Por ii) se tiene
(p * q)' = p' * q'
Y también
(p' * q') ' = p * q
2.2 Subgrupo
2.2.1 Definición.
Es atrayente considerar los subconjuntos de un grupo que también tienen una estructura
de grupos.
Un subconjunto distinto del vacío S de un grupo es un subgrupo (de A) si, con respecto a
la misma operación de A, S también es grupo” (Palacios, 1996, p.5).
Ejemplos:
1) El conjunto 3 Z es un subgrupo de (Z, +)
19
2) Sea (A, *) un grupo cualquiera; el conjuntó S= {x ϵ A/ x = a * … * a = ap , p ϵ Z} es un
subgrupo de A, llamado subgrupo monógeno de generador a.
Se tiene verificado que no toda parte distinta del vacío de un grupo es un subgrupo.
Además de ser una parte distinta del vacío, la definición pide que tenga estructura de grupo
a partir de la misma ley de composición. Ahora, bien, esto exige la investigación de los 4
axiomas y resulta propicio disponer de alguna condición más económica, que permita
decidir si también se trata de un subgrupo (Rojo, 1996, p.231).
2.2.2 Teorema de subgrupos.
Sea S un subgrupo de un grupo (G, *). Definimos la relación binaria R en G mediante
c R b ⇔ c * b' ϵ S, c, b ϵ S
Entonces se verifica que R es una relación de equivalencia
[c] = S * c = {x ϵ G/ x = s * c, s ϵ S} ( Palacios, 2002).
Demostración:
Reflexiva: c R c ⇔ c * c' = e ϵ S (por ser S subgrupo)
Simétrica: c R b ⇔ c * b' ϵ S ⇔ (c * b')' = b * c' ϵ S ⇔ b R c
Transitiva: c R b y b R d ⇔ c * b' ϵ S, b * d' ϵ S ⇒ (c * b') * (b * d') = a * d' ϵ S ⇔
c R d.
2.3 Las operaciones con subgrupos
2.3.1 Intersección de subgrupos.
Sean (G, *) un grupo y {Gi} i ϵ I una familia de subgrupo de (G, *).
Teorema
La intersección de toda familia no vacía de subgrupo de (G, *) es un subgrupo.
Hipótesis (A, °) es grupo.
20
{Ai} es tal que (Ai, *) es subgrupo de A, ∀ i ϵ I
Tesis ( Ai = ∩ M, * ) es subgrupo de ( A, *)
Demostración
i) ∀ i, e ϵ Ai, pues (Ai, *) es grupo, por consiguiente, la definición de intersección
e ϵ ∩ M ⇒∩ M ≠ø
ii) ∩ M ⊂ G por definición de la inclusión
iii) Sean q y r ϵ ∩ M ⇒ q ϵ Gi ∧ r ϵ Ai , ∀ i ⇒ q * r' ϵ Gi, ∀ I ⇒ q * r' ϵ ∩ M
Por las definiciones de intersección y de subgrupos (Rojo, 1996).
2.3.2 La unión de subgrupos.
La propiedad antecedente no se verifica al tener el caso de la unión. Por consiguiente,
bastara en darse un contra ejemplo sean H1 y H2 dos subgrupos diferentes de (R2, +) y no nulos
como lo demuestra la figura siguiente.
Figura 1. La figura ilustra la unión en subgrupos. Fuente: Rojo, 1996.
21
Si x ϵ H1 ∧ y ϵ H2, entonces
x ϵ H1 ∪ H2 ∧ y ϵ H1 ∪ H2
y sin embargo
x + y ∉ H1 ∪ H2
Es decir, la unión no siempre es cerrada para la suma de pares y por consiguiente no es
subgrupo de (R2, +) (Rojo, 1996).
2.4 Homomorfismo de grupos
2.4.1 Definición.
Sean (G1, *) y (G2, °) dos grupos y f una aplicación de G1 en G2,
f: G1 G2. f es una aplicación, un homomorfismo de grupos si ∀ r, z ϵ G1, tenemos que
(Tijiani, 2003).
f(r * z) = f(r) ° f(z)
Ejemplo:
La siguiente aplicación
f: (R, +) (R – {0}, .)
x 𝑒𝑥
es un monomorfismo, ya que
f(x + y) =𝑒𝑥+𝑦 =𝑒𝑥. 𝑒𝑦 = f(x) . f(y)
Para todo x, y ϵ R.
Ejemplo:
Sean los grupos aditivos (R2x2, +) y (R, +)
22
La función f: R2x2 R definida por
f(𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) = 𝑎 + 𝑑 es un homomorfismo, pues
f(A+B)= f((𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) + ( 𝑚 𝑛𝑝 𝑞)) =
f((𝑎 + 𝑚 𝑏 + 𝑛𝑐 + 𝑝 𝑑 + 𝑞
)) = 𝑎 + 𝑚 + 𝑑 + 𝑞 =
=(a+d) +(m+q) = f((𝑎 𝑏𝑐 𝑑
)) + 𝑓(( 𝑚 𝑛𝑝 𝑞)) =
f(A) + f(B)
2.4.2 Clasificación de homomorfismo.
La función f homomorfismo entre los grupos tendrá los siguientes nombres:
1) Si f es una función inyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de monomorfismo
2) Si f es una función sobreyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de epimorfismo
3) Si f es una función biyectiva, por consiguiente, f tiene estructura de isomorfismo
4) Un isomorfismo entre un mismo grupo se llama automorfismo
5) 2 grupos son isomorfos entonces se puede decretar un isomorfismo entre los grupos
Ejemplos: La siguiente aplicación
g: (R, +) (R+, .)
x 𝑒𝑥
Tiene estructura de un homomorfismo y como además g es inyectiva, entonces es un
monomorfismo.
Ejemplo. Si los grupos A1 = (R-{0}, .) y A2 = (R-{0}, .). Tendremos la aplicación f(r) = r2.
Como f(r.z)=(r.z)2 =r2.z2 = f(r).f(z), entonces f tiene estructura de un homomorfismo, en
este caso f no es ni sobre ni tampoco inyectiva.
23
2.4.3 Propiedades de homomorfismo de grupos.
2.4.3.1 Proposición 1. Sea (G1, *) grupo y (G2, .) con solo un conjunto y operación interna.
La funcion h: G1 G2 cumple que
h(g1 * g2) = h(g1) . h(g2) ∀ g1, g2 ϵ G1 (Tijiani,2003)
entonces (h(G1), .) es un grupo, donde h(G1) = {h(g) ϵ G2: g ϵG1}
Demostramos que cumplan las propiedades de un grupo:
1) Operación interna
Dado h(g1), h(g2) ϵ h(G1), entonces h(g1) . h(g2) ϵ h(G1) ⊂ G2 ya que h(g1). h(g2) = h(g1* g2) y
g1* g2 ϵ G1 puesto que (G1, *) tiene estructura de un grupo.
2) Propiedad asociatividad
(h(g1) . h(g2)) . h(g3) = h(g1 * g2) . h(g3) = h((g1 * g2)* g3)
= h(g1 * (g2*g3)) = h(g1) . h(g2*g3)
= h(g1) . (h(g2)*f(g3))
3) Elemento neutro
Dado e' = h(e). Sea r ϵ G1, tenemos que
h(r) . e' = h(r) . h(e) = h(r*e) = h(r)
y
e'. h(r) = h(e) . h(r) = h(e*r) = h(r)
en conclusión e' es el elemento neutro de (h(G1), .).
4) Elemento inverso:
Si r ϵ G1. Si tenemos h = g(r-1) donde r-1 ϵ G1 es el inverso de r en (G1, *) lograremos que
g(r) . h = g(r) . g(r-1) = g(r* r-1) = g(e) = e'
y
h . g(r) = g(r-1) . g(r) = g(r-1 * r) = g(e) = e'
24
Por lo tanto g(r-1) es el inverso de g(r) en (g(G1), .)
Finalmente (g(G1), .) tiene estructura de grupo.
2.4.3.2 Proposición 2. Si h es un homomorfismo entre los grupos (G1, *) y (G2, .), se tiene
1) h(e1) = e2, donde e1 elemento neutro de G1 y e2 neutro de G2
2) h(g-1) = (h(g))-1 ∀ g de G1 (Tijiani,2003).
Demostración.
1) h(g1) . h(e1) = h(g1 * e1) =h(g1) = h(g1) . e2 ⇒ h(e1) = e2
2) ∀ g ϵ G1, h(g) . h(g-1) = h(g * g-1) = h(e1) = e2
⇒ h(g-1) = (h(g-1))
2.4.3.3 Proposición 3. Si h un homomorfismo de los grupos (G1, *) y (G2, .), se tiene:
1) Dado H1 es un subgrupo de G1, entonces h(H1) es un subgrupo de G2.
2) Dado H2 es un subgrupo de G2, entonces h-1(H2) es un subgrupo de G1 (Tijiani,2003).
Demostración.
1) Como e1 ϵ H1 implica que
h(e1) = e2 ϵ h(H1)
se tiene que h(H1) ≠ ø
Sean x, y ϵ h(H1), entonces existen a,b ϵ H1 tales que
x = h(a), y = h(b).
Así que:
x . y-1 = h(a) . (h(b))-1) = h(a) . h(b-1) = h(a * b-1) ϵ h(H1)
ya que a * b-1 ϵ H1.
25
2) Como h(e1) = e2 ϵ H2 se tiene que e1 ϵ h-1(H2).
Sean x, y ϵ h-1(H2) = {a ϵ G1 : h(a) ϵ H2} entonces
h(x), h(y) ϵ H2
por lo tanto, h(x) . (h(y))-1 ϵ H2 ya que H2 es un subgrupo.
Así que:
h(x) . (h(y))-1 = h(x) . h(y-1) = h(x * y-1)
luego x * y-1 ϵ h(H2).
2.4.4 Núcleo de un homomorfismo.
2.4.4.1 Definición.
Sea f: G H un homomorfismo de grupos. El conjunto
Ker f : = {g ϵ G / f(g) =1H}
Se llama el núcleo de f.
A priori f es un subconjunto de, pero en revalidas es su subgrupo.
Observación: para todo homomorfismo f: G H el núcleo Ker f es un subgrupo de G
(Cadad.org, 2018).
Demostración. Primero, f(1G) = 1H, entonces 1G ϵ Ker f. Luego, f (g1g2) f(g1)f(g2), asi g1,
g2 ϵ Ker f ⇒ g1g2 ϵ Ker f.
Por último, para todo x ϵ Ker f tenemos:
f(g-1) = f(g)-1=(1H)-1=1H
así que también g-1 ϵ Ker f.
Observación. Un homomorfismo f:G H es mono si y solamente si Ker f = {1G} (Cadad.org,
2018).
Demostración. Tenemos que ver que f es una aplicación inyectiva. Primero notamos que
si Ker f contiene otro elemento g = 1G, entonces:
26
f(g) =f(1G) = 1H,
Así que f no es inyectiva, entonces la condición Ker f = {1G} es necesaria. Para ver que
es también suficiente. Notamos que si f(g1) = f(g2) para g1, g2 ϵ G, entonces
f(g1 g2-1) = f(g1) f(g2
-1) = f(g1) f(g2)-1 = 1H
Así que g1 = g2.
2.4.4.2 Propiedades.
Propiedad
“El núcleo en todo homomorfismo de un grupo es un subgrupo del primero” (Rojo, 1996,
p.240).
Hipótesis (A, *) y (A', *') son grupos.
g: A A' es homomorfismo.
Tesis (N(g), *) es subgrupo de (A, *).
Demostración
i) g( e) = e' ⇒ e ϵ N(g) ⇒ N(g) ≠ ø
ii) N(g) ⊂ A por definición de núcleo
iii) Si
p y q ϵ N(g) ⇒ g(p) =e' ∧ g(q) = e ⇒
⇒ g(p) = e' ∧ [g(q)]-1 = e'-1⇒
⇒ g(p) = e' ∧ g(q-1) = e' ⇒g(p) * g(q-1) = e' ⇒
⇒g(p * q-1) = e' ⇒ p * q-1 ϵ N(g)
Por la definición de un núcleo, inverso del neutro, composición en A', definición de
núcleo y homomorfismo.
Dado como resultado (N(g), *) un subgrupo de (A, *).
27
Propiedad
Un homomorfismo f: A A' es inyectivo, por consiguiente, es un monomorfismo si y solo si
el núcleo tiene un único elemento (Rojo, 1996).
2.5 Imagen de un homomorfismo
2.5.1 Definición.
Sea g: A A' un morfismo que tiene estructura de grupos.
La imagen de un morfismo de grupos es la totalidad de las imágenes de los elementos del
primer grupo.
La imagen de un morfismo de grupos es la imagen de la función que lo define:
I(g) ={g(x) ϵ A' / x ϵ A}
O tambien:
I(g) = {r ϵ A' / ∃ x ϵ A ∧ g(x) = r}
“Es claramente, si el morfismo es un epimorfismo, es decir, si g es sobreyectiuva, por
consiguiente I(f) = A'. En el posterior diagrama se representará el N(f) y de I(f)” (Rojo, 1996,
p.242).
Figura 2. La figura ilustra f es un epimorfismos, pero no es monomorfismo. Fuente: Rojo, 1996.
28
2.5.2 Propiedad.
“La imagen en todo homomorfismo de grupos es también subgrupo del segundo” (Rojo,
1996, p.243).
Hipótesis (A, °) y (A', °') son grupos.
g: A A' es homomorfismo.
Tesis (I(g), °') es subgrupo de (A', °')
Demostración:
i) Si g(e) = e' ⇒ e' ϵ I(g) ⇒ I(g) ≠ ø
ii) I(g) ⊂ A' por la definición de I(f)
iii) Sean y1 ∧ y2 ϵ I(g)
Por consiguiente, de la definición de imagen, ∃ x1 y x2 en G, tales que
g(x1)=y1 ∧ g(x2)=y2
Por inversos de A'
g(x1)=y1 ∧ (g(x2))-1=y2
-1
por inverso de la imagen
g(x1)=y1 ∧ (g(x2-1))=y2
-1
por composición en A'
g(x1) °' g(x2-1) = y1 °' y2
-1
por homomorfismo
g(x1 ° x2-1) = y1 °' y2
-1
y como x1 ° x2-1 ϵ A, de la definición de imagen, se concluye
29
y1 *' y2 -1 ϵ I(g)
en consecuencia, se concluye
(I(g), °')
Tiene estructura de un subgrupo de (A', °')
2.6 Clases laterales
Si A un grupo y H ≤ A. Se definirán la siguiente relación derecha en A, dada por, si p, q ϵ A
p ∼H q ⇔ pq-1 ϵ H
∼H tiene una relación de equivalencia (Jimenez, 2017).
Demostración sean p, q, r ϵ G
1. ∼H es reflexiva
Por demostrar p ∼H p, eso es, si y solo si pp-1= e ϵ H ya que H es un subgrupo de A
2. ∼H es simétrica.
Por demostrar p ∼H q ⇒ p ∼H q. Como pq-1 ϵ H, y también H es grupo dado que (pq-1)-1=
pq-1 ϵ H.
3. ∼H es transitiva
Tenemos que demostrar (p ∼H q ∧ q ∼H r) ⇒ p ∼H r. Como (pq-1 ϵ H) ∧ (qr-1 ϵ H), y
además h es grupo, dado que (pq-1)( qr-1) = pr-1 ϵ H. lo cual probara que ∼H es transitiva.
Por consiguiente, de 1, 2 y 3 queda probado que ∼H es una relación de equivalencia así ∼H define
la partición sobre A, dada por sus clases que están definidas del siguiente modo:
cl(p)={ q ϵ A/ q ∼H p}
={q ϵ A/ qp-1 ϵ H }
={q ϵ A/ (∃ h ϵ H) (qp-1 =h) }
={q ϵ A/(∃ h ϵ H) q= hp)}
=Hp
30
Luego:
p∼H q ⇔ Hp= Hq
por lo tanto A= 𝑈⏟𝑎ϵ R
𝐻𝑝
siendo en R un sistema de representante de las clases.
Definición sea B ≤ A, g ϵ A
1. gB se llama clase lateral por izquierda de g
2. Bg se llama clase lateral por derecha de g
denotaremos:
A/B = {pB / p ϵ A}
B \A={Bp/ p ϵ A}
El conjunto de todas las clases laterales por izquierdas y el conjunto de las clases laterales
por derecha respectivamente (Jiménez, 2017).
2.7 Teorema de Lagrange
Dado el teorema de Lagrange la cual pone en relación la teoría de grupos con divisibilidad entre
los números enteros.
“Definición. Si tenemos un grupo (A, °) y un subgrupo de él N≤A, se definirá una relación
∼N sobre A por:
f ∼N f' ⇔ f ° f'-1 ϵ N ∀ f, f' ϵ A” (Complutense, 2014, p .1).
2.7.1 Proposición.
Si tenemos un grupo (B, °) y un subgrupo de él N≤B, la relación ∼N es una relación de
equivalencia.
31
Demostraremos:
f ° f-1 = e ϵ N( reflexiva)
Dado f ° f'-1 ϵ N, entonces (f ° f'-1)-1 = f' ° f-1 ϵ N (simétrica)
Dado f ° f'-1 ϵ N y f' * f''-1 ϵ N, entonces f ° f''-1= f ° f'-1 °f' ° f''-1 ϵ N (transitiva)
Vamos a llamar el conjunto cociente respecto a de esta relación de equivalencia ∼N y lo
denotaremos:
B/∼N =B/N
Ejemplo. Si a B = Z un grupo, tomaremos como subgrupo N = Nz, el subgrupo
multiplicativo de m ϵ N. Es este caso la relación dado de equivalencia ∼N es la congruencia
modulo m habitual:
k1 ≡ k2 mod m ⇔ k1 - k2 ϵ Z ⇔ m/ k1 - k2
En este caso, como sabemos, el conjunto cociente es Z/mZ = Zm
Observación. Si la relación ∼N es una congruencia, ya sea porque el grupo es abeliano o para que
el subgrupo sea normal, por consiguiente, el conjunto cociente B/N tiene estructura natural de
grupo (Complutense, 2014).
2.8 Grupos cíclicos
Un grupo es cíclico si esta es generada por un solo elemento, es decir existen un elemento
g del grupo tal que todos los demás se obtiene operando este elemento repetidas veces con
sí mismo; en notación multiplicativa todos los elementos del grupo son de la forma gn con
un número entero; si la operación del grupo es la adición, todos los elementos son de la
forma ng. Recordemos que (Z, +) y (Zn, +) tienen estructura de grupos cíclicos con
generados por 1 y [1] respectivamente (Dorronsoro, 1996, p.108).
32
2.8.1 Teorema (clasificación de los grupos cíclicos).
i) Si G es un grupo cíclico con infinitos elementos, G es isomorfo a (Z, +)
ii) Si G es un grupo cíclico con n elementos, G es isomorfo a (Zn, +)
Demostración. Comenzamos demostrar la parte i) del teorema. Si g es un generador de
G, definimos f: Z G mediante f(k) = gk. se tiene que f es un homomorfismo puesto que para
cualquier par de numeros enteros k y s se tiene:
f(k + s) = gk+s =gkgs=f(k)f(s)
El homomorfismo f es suprayectivo puesto que G es ciclico y es inyectivo ya que si gk =
e para algun entero k, k = 0 debido a que g posee infinito elementos ( en caso contrario G=<g>
no podria poseer mas de k elementos). Esto prueba que G es isomorfo a (Z,+)
Demostraremos ahora la segunda parte del teorema; la demostracion se basa en el priemr
teorema de isomorfia. Escribir G=<g> ={g,g2,…,gn-1,gn=e} con gj ≠ gk si j ≠ k. La aplicación:
f: Z G dada por f(k) =gk es un homomorfismo suprayectivo al igual que en la parte primera.
Sin embargo, f no es inyectiva ya que:
N(I)= {k ϵ Z: f(k) = e} = { k ϵ Z: gk = e}={m: m es múltiplo de n} = nZ
Utilizamos el primer teorema de isomorfia deducimos que G = Z/nZ se tiene que Z/nZ
=Zn, que era lo que queríamos demostrar.
2.8.2 Para todo subgrupo del grupo cíclico es cíclico.
Sea G grupo generado por el elemento g y H un subgrupo de G, consideremos m como el
más pequeño de los enteros positivos k tal que g es un elemento de h, observar que este ínfimo
existe al principio del mínimo. Demostraremos que H coincide con el subgrupo generado por gm.
Como gm ϵ H y H es un subgrupo de G, se deduce inmediatamente que <gm> ⊂H. Para
demostrar la otra inclusión consideremos un elemento h de H; como h es también un elemento
de G y G es cíclico, existe un entero s tal que h=gs, por el algoritmo dela división podemos
33
escribir s = cm+r con 0 ≤ r < m; entonces h= gs= gcm gr, de donde se deduce gr=gs(gm)-c=h(gm)-c,
como tanto h como gm son elementos de H, deducimos que gr es también un elemento de H. Como
r es un entero no negativo más pequeño que m, de la definición de m se deduce que r=0, por tanto
h= gs = gcm =(gm)c ϵ <gm> esto demuestra que H= <gm> y en consecuencia, H es cíclico
(Dorronsoro, 1996).
2.9 Subgrupos normales o invariantes
Definimos:
“El subgrupo (A, *) de (B, *) es normal, si y solo si se tiene
x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x*y*x-1 ϵ A” (Rojo, 1996, pág. 252).
Ejemplo:
Para todo subgrupo de un grupo abeliano, es invariante.
Sea (A, *) es un subgrupo de (B, *), y este conmutativo. Por consiguiente
∀ y ∀ x : x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x * y* x-1=x*x-1*y = e * y= y ϵ A
Y de la definición:
(A, *) es invariante
“Teorema. El subgrupo será distinguido si y solo si es invariante” (Rojo, 1996, p.253).
I) (A, °) es distinguido ⇒ (A, °) es invariante:
Sea ∼ una relación de equivalencia en B, compatible con °, asociada al subgrupo
distinguido H.
A=N(g) ={x ϵ B/f(g) =e'} = { x ϵ B/ x ∼ e} (1)
Por 1)
y ϵ A entonces y ∼ e
Por la compatibilidad
34
x ϵ B entonces x ° y ∼ x ° e entonces x ° y ∼ x
⇒ x ° y ° x-1 ∼ x ° x-1 entonces x ° y ° x-1 ∼ e
⇒ x ° y ° x-1 ϵ A
Entonces (A, *) es un grupo distinguido.
II) (A, *) es invariante ⇒ (A, *) es distinguido.
Como (A, *) es invariante entonces sabemos que
x ϵ B ∧ y ϵ A ⇒ x * y * x -1 ϵ A
a) Definimos en A la relación ∼ mediante
x1 ∼ x2 ⇔ x1 * x2-1 ϵ A ∧ x1
-1 * x2 ϵ A (2)
Se verifica:
i) Reflexividad
x ϵ B ⇒ x * x-1 ϵ A ∧ x1-1 * x ϵ A ⇒ x∼x
ii) Simetria
x1 ∼ x2 ⇒ x1 * x2-1 ϵ A ∧ x1
-1 * x2 ϵ A ⇒
⇒ x2-1 * x1* x2
-1* x2 ϵ A ∧ x2 * x1-1 * x2 * x2
-1 ϵ A
⇒ x2 * x1-1 ϵ A ∧ x2
-1 * x1 ϵ A ⇒ x2∼ x1
iii) Transitividad
x1 ∼ x2 ∧ x2 ∼ x3 ⇒
⇒ x1 * x2-1 ϵ H ∧ x1
-1 * x2 ϵ H ∧ x2 * x3
-1 ϵ H ∧ x2-1
* x3 ϵ H
⇒ x1 * x2-1 * x2 * x3
-1 ϵ H ∧ x1-1 * x2 * x2
-1 * x3 ϵ H
⇒ x1* x3-1 ϵ H ∧ x1
-1 * x3 ϵ H ⇒ x1∼ x3
b) ∼ es compatible con * en G, pues
x1 ∼ x2 ⇒ x1 ∼ x2-1 ϵ H (3) por (2)
x1' ∼ x2' ⇒ x1' ∼ x2'-1 ϵ H ⇒ x1* (x1' * x2'
-1) * x1-1 ϵ H
por (2) y por ser h invariante.
35
De (3) y (4)
x1 * (x1' * x2'-1) * x1
-1 * x1 * x2-1 ϵ H
⇒ x1 * (x1' * x2'-1) * x2
-1 ϵ H
⇒ (x1 * x1') * (x2'-1 * x2
-1 )ϵ H
⇒ (x1 * x1') * (x2 * x2' )
-1ϵ H
Análogamente se prueba que:
(x1 * x1')-1
* (x2 * x2')
ϵ H
Luego:
x1 * x1' ∼ x2 * x2'
c) Tenemos que E es coordinable a Q, existe el subgrupo distinguido Q', asociado a ∼ tal que
Q' = N(f) = {x ϵ Q/ x ∼ e} = H
Concluyendo H es distinguido (Rojo, 1996).
2.10 Grupo cociente
El modelo de cómo se construye del grupo cociente lo podemos ubicar en los grupos (Zn, +) que
estudiamos antes. En Z, fijado un n ϵ N \ {0}, tenemos la relación de congruencia x1 R x2 si y
solo si n|x1 – x2 o equivalentemente decimos que x1 ≡ x2 mod n.
o también podemos decir que x1 R x2 si y solo si x1 - x2 ϵ nZ. Un grupo cociente asociado a esta
relación equivalente:
Zn=Z/R = Z/ nZ
Igualmente, estas formas lo podemos denotar. Además, es fácil de notar que con la adición
en congruencia tendríamos un grupo, (Zn, +).
De forma similar, pero idealmente, podemos decirnos si dados un grupo (A, °), una
relación sobre el de equivalencia, ∼, y le pertenece el conjunto cociente (Ruiz, 2004).
A/ ∼ = {[g]:[g]={h ϵ G: g ∼ h } }
36
Ejemplo. ∀ n ϵ N \{0}, (Zn, +) un grupo.
Si el grupo aditivo de números enteros (Z, +) y tenga una relación n ∼ m si y solo si |𝑛|
= |𝑚|. Se ve claramente una relación de equivalencia. Cuya relación podemos mirar que:
3 ∼ 3 y 4 ∼ -4
Y luego:
7= 3 +4 ≠ 3 + (-4) = -1
Así, si tendríamos la suma de equivalencia de la clase como [n] + [k] = [n+k], tendríamos
entonces:
[3] +[4] =[7]≠ [1]= [3] + [-4]
Esta suma bien definida no estaría.
El ejemplo anterior muestra que no es tan preciso que el conjunto cociente de un grupo
A/∼ pueda ser de nuevo un grupo. De hecho, para que esto sea así hay que pedir condiciones
adicionales a la relación de equivalencia.
Definición 1. Si (A, *) un grupo y una relación de equivalencia ∼ sobre A. se tiene que
la relación ∼ es compatible como también siendo una relación de congruencia (o simplemente
que es una congruencia) si para todo r, r', p, p' ϵ A con:
r ∼ r' y p ∼ p' ⇒ r * p ∼ r' * p'
Con esta condición adicional se puede asegurar que el conjunto cociente tiene estructura
de grupo.
Teorema 1. Si ∼ es una relación de congruencia sobre un grupo (B, *). Sobre un conjunto
cociente B/ ∼ se establece la operación ° por
° : B/ ∼ x B/ ∼ B/ ∼
([r] , [p]) [r] ° [p] = [r * p]
37
Finalmente (B/ ∼, °) es un grupo que denominares grupo cociente de (B, *) con respecto
a la congruencia ∼.
Declaración: Por ser ∼ una relación de congruencia la operación ° bien definida. También
Como [(r * p) * q ] = [r * ( p * q)] la operación ° es asociativa
Si e ϵ B es el elemento neutro, es claro que [e] ϵ B/∼ es el elemento neutro de (B/∼, °)
Si [r] ϵ B/∼, entonces [r-1] ϵ B/∼ es su inverso (Ruiz, 2004).
2.11 Teorema de la descomposición
Definición: uno de la tesis del algebra lineal de las formas canónicas es la tesis de descomposición
que estudiaremos en la siguiente lección. Para su demostración necesitamos algunos
conocimientos iniciales relacionadas con el subespacio cíclico generado por un vector.
Sea W un espacio vectorial de dimensión finita n ≥ 1, T: W W una transformación
lineal y v un vector cualquiera de W. El conjunto [w]T= < TK(w)|0 ≥ 0 >
Más precisamente [w]T = < TK(w)|0 ≤ k ≤ m-1 > , donde m es el grado del polinomio
mínimo de la transformación T. el vector v se dice que es un vector cíclico de T si [w]T =W. de
manera análogo se define el subespacio [α]A =Kn.
Proposición: Si T: W W es transformación lineal de un espacio W de dimensión
finita n ≥ 1 y sea Y= {v1,…, vn} una base de W. Entonces, el vector W= C1.W1+…+ Cn.Wn es un
vector cíclico de T si y solo si α= (C1,…, Cn) es un vector cíclico de la matriz de T en la base Y.
(Jimenez A. , 2015)
Demostración:
A continuación, presentamos algunas propiedades evidentes de [v]:
a) [0] = 0
b) Dim ([v]) = 1
38
c) Si w ≠ 0 y qw(x) su polinomio anulador. Entonces dim([w]) = grado (qv(x)). Más
exactamente, si grado (qw(Y)) = k
Finalmente {w, T(w), …, TK-1(w) } es una base de [w]
d) Si T[w] la restricción de T a [w]. por consiguiente, el polinomio mínimo de T[w] coincide
con el anulador de qv(x) del vector v.
e) Sea w es un vector cíclico de T, entonces qw(Y) = qT(Y) = pT(Y)
39
Aplicación didáctica
Sesión de aprendizaje
Los conocimientos matemáticos nos permiten solucionar ciertos problemas de la vida cotidiana.
Hoy en día el tratamiento de los temas de matemática en las escuelas debe darse de manera
didáctica con la intención de que los estudiantes puedan hacer uso de cada conocimiento en la
resolución de problemas y situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
La aplicación didáctica para este tema de Estructura de grupos, lo realizaremos mediante
una sesión de aprendizaje, haciendo la observación de que el desarrollo de todo el tema de
GRUPOS requiere de una planificación de varias sesiones, pero nos enfocaremos en un concepto,
pero reiteramos que, para comprender todo el tema, es necesario hacer un estudio completo.
40
Planificación de sesión de aprendizaje planificación
I. DATOS INFORMATIVOS:
UNIDAD
1. UGEL : Nº 01
2. NIVEL/TURNO : Secundario/ Tarde 6
3. DIRECTOR : Juan MARCELINO TARMEÑO
4. PROF.
RESPONSABLE : Antonio TELLO VILCAPI
SESIÓN 5. AREA : Matemática
6. GRADO Y SECCIÓN : 2 ° A 3
7. DURACIÓN : 90 Minutos.
II. TÍTULO DE LA SESIÓN:
Reconocemos una ley de composición interna y su estructura de semigrupo o monoide.
III. APRENDIZAJES ESPERADOS:
Competencia Capacidades Indicadores Instrumento de
Evaluación
Actúa y piensa
matemáticamente en
situaciones de
cantidad
Matematiza
situaciones
- Reconocer relaciones de ley
de composición interna en
problemas multiplicativos y
de adición
- Diferencia y usa modelos
basados en un monoide y
semigrupo, al plantear y
resolver problemas.
Ficha de trabajo
Ficha de evaluación
Ficha de tarea
Lista de cotejo
Propósito de la sesión:
Desarrollar ciudadanos con pensamiento productivo, crítico y reflexivo que puedan entender
mediante la matemática los diferentes aspectos del mundo que lo rodea. Como Aprendiendo a
reconocer LCI, semigrupo y monoide que involucran en un clima de respeto y responsabilidad.
Serán de utilidad para su presente y futuro personal, social, productivo y profesional.
Producto de la sesión
Propone una ley de composición interna en el cuaderno de actividades
Justifica cuando una estructura es semigrupo o monoide dependiendo de su definición.
41
IV. SECUENCIA DIDÁCTICA:
Inicio:(20minutos)
• El profesor da la bienvenida a los alumnos. Además de comunicar las reglas de trabajo y
propósito que tienen la actividad del día.
El docente rescata y resalta los saberes previos serán de utilidad para resolver la situación
problemática además se utilizarán de base para los nuevos aprendizajes obtenidos por los
estudiantes.
Desarrollo: (50 minutos)
Los estudiantes de forma individual intentaran resolver el problema de manera
heurística:
- Comprende el problema:
El estudiante debe realizar la decodificación y entendimiento tomando en cuenta sus saberes previos a
cerca del problema, donde se halla la incógnita, los datos, la condición (es), entre otros términos que
se encuentra en el problema de manera implícita y/o explicitas que proporciona el problema en cuestión
- Concebir un plan: El objetivo de este paso es que el estudiante establezca un plan estratégico que le conduzca a la solución
del problema, este plan sugiere el uso de la intuición y creativo del estudiante, quien pone a prueba su
agudeza y habilidad en búsqueda de una idea brillante en procura dar solución al problema.
Buscar la relación de los dato y la incógnita mediante la condición o condiciones propuestas por el
problema, para relacionar estos elementos se tendrá que utilizar un argumento lógico o conjunto de
argumentos derivado de algún teorema, axioma, definición, concepto de un saber previo matemático
que garantice la concepción del plan, además tiene que adecuarse a los datos recogidos y satisfacer la
condición(es) para la ejecución del plan. Caso contrario el docente; presenta un problema más sencillo
donde el docente con ayuda de los estudiantes lo resolverán con el objetivo que el estudiante gane
confianza y extraiga el conjunto de argumento lógico para que lo emplee en la solución al primer
problema.
- Ejecución del plan
El profesor dará una situación de la vida real para ser
resuelta por los estudiantes de forma individual a cada
integrante que conforman los grupos. La situación se puede
presentar en una pizarra (anexo 01).
42
Estando ya el estudiante en posesión de un plan y la estrategia requerida para resolver el problema, La
aplicación de la estrategia heurística implica procesos algorítmicos para la solución al problema.
Los procesos algorítmicos deben estar previamente sustentados por alguna tecnología matemática y
conlleva a una técnica matemática o acción algorítmica que satisface la condición del problema en
relación a los datos obtenidos.
- Examinar la solución obtenida solución
Es necesario que el estudiante requiera la convicción de que la solución encontrada es la correcta,
efectuando una revisión crítica y autocrítica del problema desarrollado.
Este último paso es donde prima la reflexión sobre los procedimientos ejecutados y sobre el resultado
obtenido, teniendo en cuenta la verificación y consolidación de los conocimientos previos y nuevos,
que fueron necesarios para lograr el resultado del problema y esperado.
En conclusión es el momento en donde se va desarrollar la metacognición de lo aprendido.
El estudiante ya, con la solución al problema. Comunica a los demás integrantes de su
grupo sobre la solución y los procedimientos para la solución.
La estudiante valida su respuesta exponiendo en la pizarra ante
los demás grupos, la solución del problema planteado por el docente.
El docente formaliza algunos puntos del tema de la sesión para disipar las dudas de los
estudiantes.
Cierre: (20 minutos)
El estudiante de forma individual resuelve una práctica calificada, para que el docente
obtenga un indicio sobre el éxito de la trasferencia del aprendizaje.
El estudiante realizan metacognición mediante las siguientes preguntas:
¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?, ¿Cómo he decidido de lo que digo es cierto?
El docente deja una tarea domiciliaria para reforzar el aprendizaje obtenido.
Desarrollan la práctica calificada o anexo (2) que
será calificada la momento para que el docente
pueda percatarse si los estudiante aprendieron el
tema del día y resuelven el anexo (3) que será
como tarea domiciliaria el cual reforzara lo aprendido
en clases.
Los estudiantes discuten sobre cuál de las soluciones
obtenidas es la correcta, hasta llegar a un consenso,
para que una conclusión a la solución del problema.
Los estudiantes pregunta como también prestan
atención a las argumento lógico o conjunto de
argumentos derivado de algún teorema, axioma,
definición, concepto. Para luego dominar las técnicas
matemáticas que serán validadas por tales argumentos.
43
V. TAREA A TRABAJAR EN CASA:
Efectuar los ejercicios y problemas referidos al tema. Anexo (3)
VI. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR:
- Regla
- Información
- Materiales: plumón de pizarra, plumón de papel, mota.
- Papeles y papelote.
TÉCNICAS
- Prueba escrita
- Informe
- Cuestionario
- Tarea domiciliaria
REFERENCIAS
Para profesor:
Ministerio de Educación (2016). Currículo Nacional. (2 ed). Lima.: Editorial Ministerio de Educación
. y Ciencias, Subdirección General de Información y publicación.
Para alumno:
Ministerio de educación (2015). Libro segundo año de matemática (1 ed). Lima.: Editorial Editorial
. Ministerio de Educación y Ciencias, Subdirección General de Información y publicación.
44
Ficha de inicio
Propósito: Encontrar los valores de las horas transcurridas y dar a conocer
intuitivamente el elemento neutro.
El reloj
Consideremos el conjunto A formado por todos los numero que figuran en los clásicos
relojes como se muestra.
Figura 3. La figura ilustra un reloj de pared. Fuente: Chirinos, 2014.
Se pregunta a los alumnos:
1) ¿Qué hora serán tres horas después de las 10 horas?
2) Se verifica, 4 + 10 = 10 + 4
3) ¿Cuánto es? 7 + 12 =………, 12 + 11=………..
4) ¿Tiene la forma de una ley de composición interna? Justifique su respuesta
45
Ficha de trabajo
Propósito: Registrar la cantidad de horas transcurridas en cada cuadrado.
Integrantes:
Actividad 01: En la siguiente tabla completa todas las sumas, usando los números del reloj,
que denotaremos por A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
1. Considerando el reloj clásico (Anexo 01) completa las siguientes tablas de valores:
+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 10
2 10
3 10 3
4 10 3 4
5 10 3
6 10 3
7 10 3
8 10 3
9 10 3
10 3
11 3
46
12 3
2. Según la tabla; ¿7+9=16?...........................................................
¿Para qué valor de x en A se cumple que 2 + x = 15?
Justifique……………………………………………………………
2. . Observando la tabla, ¿Qué propiedades de la suma se cumplen? (notase las líneas vertical y
horizontal sombreadas ¿Y la diagonal sombreada?)
¿∀ a, b ϵ A; será, siempre: a + b = b + a?.......................................
Si x + 12= x; ¿Cuál es el valor de x?.............................................
3. . Considerando los números del reloj; en la ecuación: x + 7 = 6, ¿Cuál es la hora que representa
x? justifique su respuesta……………………………………………………..
47
Actividad: Autoevaluación
1. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
a) La adición de 2 y 3 en N es 5. ( )
b) El 1 es elemento neutro de la adición en N. ( )
c) El producto cartesiano es una operación interna. ( )
2. Indicar la propiedad que se han empleado en cada una;
a) (a + b) + c = b + (c + a)……………………………………………………
b) 0 + 205 = 205 ……………………………………………………
c) 20=x ⇒ x = 20 …………………………………………………………………..
3. Marca con una “x” en los espacios donde corresponda.
Propiedad Estructura
Monoide Semigrupo
Clausura
Asociatividad
Elemento neutro
Elemento simétrico
48
Síntesis
Operaciones internas. Definición. - se llama operación interna de un conjunto A distinto
devacío, a toda función de T de AxA en A.
Notaciones:
1) Si T es una operación interna en A, lo representamos
T: AxA A
(p, q) p T q
Donde p T q resultado de operar p con q mediante la operación interna T considerando el
orden, ese tiene, p es el elemento de la izquierda y q es el elemento de la derecha.
Estructura algebraica. Se tiene T es una ley de interna de composición en A, entonces
(A, T) se llama una estructura algebraica.
Es decir afirmamos que T provee de una estructura algebraica al conjunto A≠ ø
Algunos autores, a estas estructuras algebraicas le llaman monoide.
Semigrupo. Definición: si T es una operación interna en A y T es asociativa, entonces se
se tiene que T define en A la estructura de semigrupo, es decir se afirma que (A, T) es un
semigrupo.
Estructura de grupo. Si B un conjunto y T es la ley de composición interna en B. Se
dice que (B, T) tiene la estructura de grupo, si se cumple
G1) T es asociativa
G2) Existe el neutro
G3) T tiene elemento simétrico
Subgrupos. Definición. - un subconjunto A distinto de vacío de G es un subgrupo del
grupo (G, T), si y solo si A es un grupo con la operación T en G, restringida sobre A.
49
Teorema. Un subconjunto A diferente de vacío de G, es un subgrupo de (G, T) si y solo si
(1) ∀ a, b ϵ H, a T b ϵ H
(2) ∀ a ϵ H, a-1 ϵ H
Clases laterales
Se tiene:
Sea (A, T) es un grupo, ∀ a, b elementos de A el resultado a T b de A, lo vamos a
simbolizar en forma multiplicativa, es decir, en vez de escribir a T b escribiremos a b para tratar
los demás conceptos que se estudian más adelante sobre grupos y subgrupos.
Clases laterales por la izquierda y por la derecha
Definición. - Si (A, T) un grupo y W un subgrupo de A. Dado un elemento a de A
Las clases laterales de a por la izquierda respecto a A, es el siguiente conjunto:
aW= {a w ϵ A/ w ϵ W}
La clase lateral de a por la derecha respecto de A, es el siguiente conjunto:
Wa= { w a ϵ A/ w ϵ W}
Relación de equivalencia en un grupo (B, T)
Si (B, T) un grupo y W un subgrupo de B. En B se define una relación denotado con ≡
con la condición para a, b en B. a ≡ b (modw) ⇔ a-1 b ϵ W
Donde se tiene que esta relación ≡ es de equivalencia en B.
Clases de equivalencia. Sea ≡ una relación de equivalencia en el grupo A, para cualquier
elemento a de A, en la clase de equivalencia de a cierta relación ≡, se define con [a]
[a]={x ϵ A/ a ≡ x mod(W)}
Finalmente, para a ϵ A, daremos la definición de su clase lateral por la izquierda aW= {a
w ϵ A/ w ϵ W}.
50
Teorema:
Si H es un subgrupo de G y la relación ≡ anterior en el grupo G de equivalencia para a ϵ
A, se verifica [a] = a W
Conjunto cociente. Tenemos H un subgrupo de A. El conjunto cociente A por las
relaciones anteriores se denota con A/H y por tanto definimos
A/H = {[a] ⊂ A/ a ϵ A}
Luego:
(1) A/H ={aH ⊂ A/ a ϵ A} (por la izquierda)
(2) A/H ={Ha ⊂ A/ a ϵ A} (por la derecha)
Teorema de Lagrange. En A grupo de n elementos y W es um subgrupo de A, entonces el
cardinal de W divide a n, en símbolos: card(W)/n.
Grupo cociente
Sea (A, T) un grupo y W un subgrupo normal de A, en el conjunto cociente A/W ={aW ⊂ A/
a ϵ A} se define la operación * como sigue ∀ aW, bW en A/W aW * bW = abW
Veamos que (A/W, *) es un grupo.
Homomorfimos de grupos
Definición.- Si (A, T) y (A1, T1) 2 grupos. En la función f: A A1 se tiene que es un
homomorfismo de grupos, si y solo si, para todo a, b en A se verifica
f(a T b) = f(a) T1 f(b)
Teorema
Si A y A1, son grupos y f: A A1 un homomorfismo, se verifica.
(1) Sea W es un subgrupo de A, entonces f(W) es subgrupo de A1
51
(2) Sea B es un subgrupo de A1, entonces f-1(B) es subgrupo de A
Núcleo de homomorfimo de grupos
Si f: B B1, homomorfismo de grupos.
Definición: llamamos núcleo de f y se denotara con N(f) al subconjunto de B, donde sus
elementos tienen como imagen al elemento neutro e1 de B1, en símbolos:
N(f)= {y ϵ B/f(y) = e1}.
52
Apreciación crítica y sugerencias
Hoy en día nuestro país se apuesta poco o nada por la educación, es por ello que espero que la
presente monografía contribuya a incentivar a muchas personas apostar por una buena educación.
El mundo de la matemática y en especial a las estructuras algebraicas forman parte del currículo
para la formación de futuros docentes de la especialidad de matemática, siendo de carácter
obligatorio, para lograr así una mejor comprensión de las matemáticas, porque en la actualidad
no basta con dominar los contenidos temáticos del área de razonamiento, y actitudes que les
permitan una educación interdisciplinaria para poder alcanzar las metas propuestas.
Estos criterios exigen que los profesores y como toda persona que realiza trabajos en la
docencia a poder actualizarse continuamente, teniendo en cuenta aspectos curriculares, vigencia
de contenidos y metodologías.
En el caso del programa de régimen regular pedagógico y universitaria de la especialidad
de matemática, del cual yo provengo, sugiero se ponga énfasis en temas que ayuden a mejor
nuestro nivel académico para poder desarrollarnos como buenos profesionales competentes,
teniendo como un gran valor la ética y morales que correspondan a nuestra quería y amada
profesión.
53
Conclusiones
Los enunciados que se mostraron en el presente proyecto evidencian, lo importante que es el
tema de Estructuras algebraicas. Por ser un tema de formación académica que todo docente
dedicado a la labor pedagógica en el área de matemática debe conocer. Por estas razones se
enfatiza en un contenido del tema entendible, adecuado, logrando una situación didáctica que
contribuirá a un buen desempeño del docente en el aula.
Logrando concluir que nuestra formación académica ha sido mejorada, en nuestras
habilidades matemáticas en distintos temas, incluyendo nuestra capacidad de reflexión. Todos
estos capítulos son importantes y muy aplicados a la vida cotidiana, un correcto desempeño en
estos conocimientos nos facilitaría diversos problemas que se dan en la vida cotidiana.
Añadiendo que si favorece en nuestra vida diaria también lo hará en nuestra vida futura
profesionalmente.
Tras el estudio mencionado se puede concluir, lo tan importante que es las matemáticas
como para muchas otras ciencias. El objetivo planteado de dar una situación didáctica que facilite
el aprendizaje de los alumnos se menciona en la aplicación didáctica.
Los resultados obtenidos fueron positivos en el presente proyecto, ya que se logró la
consigna en cuanto información teórica y situación didáctica, logrando así una contribución para
mis colegas y futuros docentes en su arda labor del día a día.
54
Referencias
Aizpun, F. (1970). Teoría y didactica de la matematica actual. Madrid.
Cadad.org. (2018). Homomorfismo. Recuperado de http://cadadr.org/san-salvador/2018-
algebra/5-homomorfismos.pdf.
Complutense, U. (2014). Aplicacion de matematicas. Recuperado el 25 de 11 de 2018, de
http://www.mat.ucm.es/~cruizb/2-AM/Apuntes-i/Apuntes-14/Grupos-6.pdf.
Dorronsoro, J. (1996). Número, grupo y anillos. Madrid.
Espinoza, E. (1999). Algebra Lineal. Lima.
Hernandez, L. (24 de 05 de 2007). Estructuras Algebraicas. Recuperado de: https://
www.researchgate.net/publication/264496538_Estructuras_Algebraicas_Guia_de_apoy
o_para_estudiantes_de_Matematicas_Discretas_No_terminada.
JimeneZ, A. (2015). Estructura de Grupo. Lima.
Jimenez, D. (03 de 2017). Teoria de grupo. Recuperado de:https://matematica.uv.cl/
djimenez/archivo/grupo.pdf?fbclid=IwAR2_RuzofOcNEey28nT4lAykf_k8gXzJve_xGj
e93S7MIfdnS0r_2QLUIM4.
Pajello, O. (2015). Estructura Algebraica. Recuperado el 9 de 11 de 2018, de
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:hhMZP5u1ftwJ:www.ing.unrc.
edu.ar/publicaciones/doc_de_trabajo/archivos/estructuras_algebraicas.doc+&cd=15&hl
=es&ct=clnk&gl=pe.
Palacios, M. (2002). Grupo, anillo y cuerpo. Recuperado de: http://pcmap.unizar.es/
~mpala/A_L_lecci/3grupos.pdf.
Rojo, A. (1996). Algebra I. Buenos Aires.
Ruiz. (24 de 5 de 2004). Semigrupo y monoide. Recuperado de: file://C:/Users/Tello/Do
wnloads/Grupos%20I.%20Semigrupos%20y%20monoides.%20Definici%C3%B3n.%2
55
0Una%20operaci%C3%B3n%20binaria%20interna%20en%20un%20conjunto%20X%
20es%20una%20aplicaci%C3%B3n.%20f%20_%20X%20X%20X.pdf).
Ruiz, C. (s.f.). Aplicacion de matematicas. Recuperado de: http://www.mat.ucm.es/ ~cruizb/2-
AM/Apuntes-i/Apuntes-14/Grupos-4.pdf).
Tijani, P. (s.f.). Algebra II. Recuperado de: https://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/26435
/1/Algebra%20II.pdf).
Trujillo, C., F., Chirinos M., D., Yauri, V., A., Giles N., M., & Davila H., V. (2014).
Introduccion a la estructuras algebraicas. Lima: UNE.
56
Apéndice(s)
Apéndice A: Lista de cotejo
SECCIÓN: A
Docente responsable: ……………………………………………………………….
N°
Área
Fecha
Reconoce e identifica una ley de
composición interna
Estudiantes
Hecho Pendiente No realizo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
57
Apéndice B: Ficha de evaluación
Grupo Nº: ……………
Apellidos y nombres
Autoevaluación Coevaluación Heteroevaluación(*)
¿Comprendí
la intención
de la
situación
planteada?
¿Aporté al
desarrollo
de la
actividad?
¿Describió y
realizó
procesos para
llegar a la
solución del
problema?
¿Relacionó y aplicó
conceptos de
estructura de grupos
para resolver la
situación?
(*): Esta calificación lo realiza el docente.