Ensaios Econômicos

Escola de

Pós-Graduação

em Economia

da Fundação

Getulio Vargas

N◦ 345 ISSN 0104-8910

Um Modelo de Acumulação de Capital Físico

e Humano: Um Diálogo com a Economia do

Trabalho

Samuel de Abreu Pessoa

Abril de 1999

URL: http://hdl.handle.net/10438/361

Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. Asopiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista daFundação Getulio Vargas.

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA

Diretor Geral: Renato Fragelli CardosoDiretor de Ensino: Luis Henrique Bertolino BraidoDiretor de Pesquisa: João Victor IsslerDiretor de Publicações Cientí�cas: Ricardo de Oliveira Cavalcanti

de Abreu Pessoa, Samuel

Um Modelo de Acumulação de Capital Físico e Humano: Um

Diálogo com a Economia do Trabalho/ Samuel de Abreu Pessoa � Rio

de Janeiro : FGV,EPGE, 2010

(Ensaios Econômicos; 345)

Inclui bibliografia.

CDD-330

Um M odelodeA cumulaç ãodeCapitalFísicoeH umano: umD iálogocomaEconomiado

Trabalho¤

SamueldeA breuPessôaFundaç ãoG etúlioVargas

EscoladePós G raduaç ãoemEconomiaPraiadeBotafogo, 19 0 - 11 andar

R iodeJaneiro(pessoa@ fgv.br)

VersãoPreliminar: A brilde9 9

A bstractN estetrabalhofaz-seum modelodegeraç ões sobrepostas em tempo

contínuodeacumulaç ã odecapitalfísicoehumanoem queocapitalhu-manoéincorporadodaformacomotratadopeloseconomistasdotrabalho:(i)éumfatorlimitado, (ii)embutidonotrabalhador, (iii)eacumuladonosprimeiros anos devida. M ostra-sequeaofertadeensinopúblicobá sicoegratuíto…nanciadaporimpostos nã odistorcivos nã oalteraaescolhaótimaindividualdeacumulaç ã odecapitalhumano. Também épossívelmostrarqueem geraloprogressotécnicopoupadordetrabalhotornaoretornomarginaldocapitalhumanomaiselevado. D esortequeépossivelqueoelevadoretornoà educaç ã osejaum fenômenorecenteequeparaum passadosu…cienteremotoaescolhaótimafossenã oseeducar.

1 Introduç ã oO objetivodestetrabalhoéestudaradecisãodeacumulaç ãodecapitalhu-manoem um contextodeequilíbriogeral, em quesecontempleadecisã odeacumulaç ã odecapitalfísicoedeconsumo. Pretende-se incorporarnadecisã odeacumulaç ãodecapitalhumanoalgumasespeci…cidadesaeleassociadas, emparticularcertas características docapitalhumanocomotratadasnos estudosdeeconomiadotrabalho. Sã oestas:¤Estetrabalhobene…ciou-sedeconversas com M arcos L isboa. Evidentementeerros sã ode

responsabilidadedoautor.

1

²A acumulaç ã odecapitalhumanoocorreantesdaentradadoindivíduonomercadodetrabalho. H á algumrendimentocrescentedeescalaà atividadedeestudarquefaz com queoótimo, enquantoseestudar, sejasomenteestudar;

²O capitalhumanoéum fatorembutidono indivíduo. N ã oéum fatorindependentedotrabalho. Elemodi…caotrabalho;

²O capitalhumanonãoétransferívelparaoutroindivíduo. N ã oépossíveldeixarumaherançanaformadecapitalhumano. D itodeoutraforma,quandooindivíduomorreoseucapitalhumanomorrecom ele.

²O capitalhumanopercapitaélimitado. U m indivíduopodeserdonodetodoocapitalfísicodeumaeconomia;omesmonãoocorrecomocapitalhumano.

D esteelencodecaracterísticas…caevidentequeparaestudaraacumulaç ã ode capitalhumanoénecessá riotrabalhar-se em um modelode geraç ões so-brepostas. H á pessoas jovens, estudando, epessoas adultas trabalhando. N oentantotem queserum modelodemuitosperíodos, umavezqueumadasde-cisões e, portantovariávelendógena, éotempodesaídadaescolae ingressonomercadodetrabalho. Trabalhar-se-á emummodelodegeraç õessobrepostasem tempocontínuo.

O modeloserá um modeloneoclá ssicodecrescimento. N eoclá ssiconosen-tidoem queaforçaaqualsustentaocrescimentonolongoprazo, oprogressotecnológico, éexógena. N estemodeloaeducaç ã onã oelevaataxadecresci-mentodestaeconomia. Estaformadetratarocapitalhumanocontrastacomosmodelosendógenosdotipohomogêneo-lineardanovateoriadocrescimento1.Essencialmenteestesmodelosadotamumatecnologiahomogênea-linearcomoaseguinte:

Y = F (K;HL ):

N estesocrescimentodelongoprazodá -sepormeiodeacumulaç ãodefatores.A s características das economias, determinandoas velocidadesdeacumulaç ã odeterminamavelocidadedecrescimento. Economiascomcaracterísticasdistin-tascrescerã oataxasdiferentes. Estefatoérejeitdoaomenosparaaevidênciaquecompreendeopós guerra2. M ais surpreendentemente, estes modelos sã ocontrafatuais com relaç ãoà remuneraç ãodos fatores. N estesmodelosarendadotrabalhocrescedeformailimitadadevidoà acumulaç ã oilimitadadecapitalhumano. Seguequearendadotrabalhadordesquali…cado, quetambém nãoéproprietá riodecapitalfísiconãocresce. Estefatoestá emtotaldesacordocomaevidênciadocomportamenteseculardarendadotrabalhadordesquali…cado.

1V erL ucas (19 8 8) eR ebelo(19 9 1) comoexemplosdestacados destaliteratura.2V erEasterlyetalli (19 9 4), Jones (19 9 5) eChari, Kehoee M cG rattan (19 9 8).

2

A ssim, caminhou-separaaseguinteformulaç ã odatecnologia3:

Y =AF (K;H;egtL ):

Estemodelotambém échamadodemodeloneoclá ssicoestendido4. Essencial-menteéomodeloneoclá ssicoemqueaparticipaç ã onarendadosfatoresqueseacumulam pordecisã oeconômicaéelevada. N estecasoépossívelmostrarqueomodeloneoclá ssicoconseguetantoqualitativamentecomoquantitativamentedescreverosprincipaisfatosestilizadosassociados àstrajetóriasdaseconomiasnopósguerra5. Inclusiveépossíveldescreverodiferencialderendapercapitaobservadoentreas economias pormeiododiferencialdefatores deproduç ã oacumuladosnasdiversaseconomias. Sobestascondiç õesomodeloadimiteumaformulaç ã oneoclá ssicanosentidoestritodotermo: além doprogressotécnicoserexógenooníveldafunç ãodeproduç ã odecadaeconomia- istoéA - éomesmo. Em geralotermoH natecnologiaépensadocomocapitalhumano.Estaformulaç ã onã oapresentaosgraves problemasmensionadosnoparágrafoanteriorcom relaç ã oaosmodelos endógenos em geral6emais fortementecomrelaç ã oaosmodeloshomogênios-lineares.

D opontodevistaconceitualhá aomenosduasobjeç õesaestaformadein-corporarcapitalhumanoemmodelosdecrescimento. N adanomodeloimpedequeumagentesejaproprietá riodetodoocapital, físicoehumano, destaecono-mia. Conquantofazsentidoapossibilidadedeum indivíduoserproprietá riodetodoocapitalfísicodeumaeconomiaomesmorevela-seabsurdocomrelaç ãoaocapitalhumano7 . Também, nomodeloneoclá ssicoespandido- quersuponha-sequeapoupançasejaexógenaouendógena- há um estadoestacioná rio, emqueosestoquesdecapital- físicoehumano- medidoemunidadesdescontadaspelae…ciênciadotrabalhoestão…xados. Istoé:

HL egt

=cteeKL egt

=cte.

L ogo, oestoquedecapitalhumanopercapita cresceà taxadoprogressotec-nológico. O capitalhumanodecadaindivíduoéumavariá velilimitada. Estanã opareceserumaboadescriç ã odoqueseentendeporcapitalhumano. Espe-cialmentequandoseconsideraaformacomoocapitalhumanoétratadopelosmicroeconomistas doassunto, istoépelos pesquisadores deeconomiadotra-balho. Pormais quehajaprogressotécnicoonossohardware, océrebro, nã o

3V erB arro, M ankiwe X avierSala-I-M artin (19 9 5), P arente e P rescott(19 9 5) e Chari,Kehoee M acG rattan (19 9 8 ).

4V erM ankiw, R omereW eil(19 9 2) e M ankiw(19 9 5).5V erM ankiw(19 9 5) eespecialmenteChari, KehoeeM cG rattan (19 9 8).6O s modelos endógenos - tantoos homogêneos-lineares comoos neo-schumpterianos (por

exemplo R omer(19 9 0) e A ghion e H owitt(19 9 2)) - apresentam o resultado indesejadodedependênciadataxadecrescimentodelongoprazocom relaç ã oàscaracterísticasdaeconomia.O s modelos neo-schumpterianos nã ogeram ooutroresultadoindesejado: quearendadeumtrabalhadordesquali…cadonã ocresça.

7 É possívelqueapossedetodoocapitalfísicoem mã os deum indivíduogeredi…cílimosproblemas de agência. N o entantoa posse de todoocapitalhumanonas mã os de poucosindivíduos implicarianainstituíç ã odeumaeconomiaescravista.

3

sealterou nos últimos milhares deanos. A qualidadedoconhecimentopodemelhorar- eisteécaptadoporegt - masaquantidadedeconhecimentoqueumindivíduocarreganãodeveter-seelevado8 . Poroutrolado, dopontodevistaempírico, estaformadetratarcapitalhumanoefísicosugerequeaofazer-seexercíciosdedecomposiç ã odecrescimentoparacalcular-seaprodutividadeto-taldosfatoresambosapareçam deformasimétrica. Estefatoérejeitadopelaevidência, em particular, enquantográ …cos deespalhamentoapresentam umacorrelaç ã opositivaentreavariaç ã odologarítmicodarendaportrabalhadorcomavariaç ã odologarítimicodoestoquedecapitalportrabalhadorparadadosdeseç ãotranversaldepaíses, omesmonãoocorrecomocapitalhumano9 .

D estaformaparecequeocapitalhumanodeveserincorporadoemummod-elodecrescimentosobaformacomooseconomistasdotrabalhoofazem. Istoé

Y =AF (K;HegtL )

e

H=eÁ(T)

em que Á éalgumafunç ã o10 cujoargumentoT correspondeaos anos médiosdeescolaridadedapopulaç ã oeconomicamenteativadaeconomiaem questã o.N estaformulaç ã oocapitalhumanoélimitadoeaparticipaç ã odocapitalfísicona rendaédaordem de um terço. Estaéaforma pelaqualocapitalhu-manoserá tratadonesteartigo. Sabe-sequesobestascondiç õesnã oépossíveldescrever-setodaavariabilidadeobservadanarendapercapitaapartirsomentedosfatoresacumuláveis. Istoétem-sequesupordiferençasem A entreecono-miasem ummesmoinstanteparaquesejapossívelgerarodiferencialderendaobservadoapartirdodiferencialdefatores11. D estaformaesteartigonãopre-tendeproporum modeloquedescrevacompletamenteadiversidadederendaobservadae, portantonãoconstitui umadescriç ã ocompletadodiferencialdedesenvolvimentoentreaseconomias12.

8 Faz sentido imaginarqueem algumas atividades inclusiveaqualidadedoconhecimentonã odevetermudado. Segundoqualcritériopodemosa…rmarqueum …lósofocontemporâneosejamelhorqueA ristóteles?

9 V erB enhabib eSpeigel(19 9 4).10Em geralestafunç ã oéestimadadiretamentepalos economistas dotrabalho. Estas esti-

mativas recebem onomedeequaç ões de M incer. V erM incer(19 7 4) e W illis (19 86).11V erKlenoweR odriguéz eClaré(19 9 7 ) e H alleJones (19 9 8 ).12É possívelque e a estruturade incentivos tenhaum impacto sobre oprodutoque seja

equivalente aode umadistorç ã o está tica: istoé, menos produtocom amesmaquantidadede fatores implicando, portanto, em um menorvalorparaA. Q uando tenta-se descreverodiferencialderendaentreas economiassomenteatravézdediferencialdefatoresacumulá veis,implicitamenteestá seadmitindoquetodas as distorç ões sã odenaturezaintertemporal, istoé, distorç ões queafetam opreçorelativo intertemporalsem reduziroprodutocorrenteparaumadadoestoquedefatores. Chari, KehoeeM cG ratan (19 9 8) sã oexplícitos em a…rmaremfavordestaformadegerarosfatosestilizadosobservados. P araum modeloem quehá osdoistipos dedistorç ões (está ticas eintertemporais) verB arelli eP essôa(19 9 7 ).

4

2 O M odelo2.1 FirmasH á doissetoresnestaeconomia. O primeiroproduzum bem, pormeiodeumafunç ãohomogêneadoprimeirograu, quepodeserconsumidoouacumuladonaformade capital. O segundoproduz um serviço, também pormeiodeumafunç ãohomogêneadoprimeirograu, chamadodeserviçoeducacional. O s indi-víduosquandovãoà escolacompram umacertaquantidadedestes serviços. Afunç ãodeproduç ã odoi-ésimosetorserá :

Yi=A iF i(Ki;̧ iHL i) (1)

emque:

Yi-... produtodoi-ésimosetor;

Ki-... capitalempregadopeloi-ésimosetor;

¸i-... progessotécnicoexógenopoupadordemãodeobranoi-ésimosetor;

H-... capitalhumanodapopulaç ã oeconomicamenteativa;

L i-... empregonoi-ésimosetor.

Q uandoataxadeevoluç ã otecnológicanãoforamesmaentreossetores, paraobter-seumatrajetóriadecrescimentobalanceadoénecessá rioqueas funç õesdeproduç ã oapresentemelasticidadedesubstituíç ã ocapitaletrabalhounitária.N estascircunstânciaafunç ã odeproduç ãoparacadasetorédaformafuncionalCobb-D ouglas:

Yi=A iK®ii (̧ iHL i)1¡® i: (2)

O setoreducacionalproduz um serviço. Em geraloprogressotécnicoémenornosserviços13. Portanto, porhipóteseadota-se:

¸1 =egt¸e(g¡¡)t=¸2 (3)

ouseja¡¸ 0 . D e‡acionandoas variá veis peloíndicedeprogressotécnicodoprimeirosetorsegue:

y1 ´ Y 1¸1HL

e y2 ´Y2

¸1HL,

k1 ´ K1

¸1HL 1e k2 ´

K2

¸1HL 2emque:

13O bserva-seum maiorcrescimentodaprodutividadenos setores debens comercializá veisdoquenos setores debens domésticos. V erO bstfeldeR ogo¤ (19 9 6) cap. 4.

5

L -... populaç ã oeconomicamenteativa.

Paraoprodutopercapitadecadasetortem-se:

y1 =l1 A 1k® 11 e y2 =µ¸2¸1

¶1¡®2l2A 2k®22 (4)

emque:

li-... fraç ã odoempregototalalocadoaoi-ésimosetor.

Paraasremuneraç õesdosfatoressegue:

r1 = ® 1 A 1k® 1¡11 e w1 =(1 ¡® 1 )̧ 1 A 1k® 11 ,

r2 = qµ¸2¸1

¶1¡®2®2A 2k®2¡12 e w2 =q

µ¸2¸1

¶1¡®2(1 ¡®2)̧ 1 A 2k®22 (5)

emque:

q-... éopreçorelativodamensalidadedaescolaemunidadesdebens.

Paraque estaeconomiatenhaumatrajetóriade crescimentobalanceadaem queataxadejuros seigualeentreos setores esejaconstanteénecessá rioqueopreçorelativodaeducaç ã ocresçadeformaacompensarodiferencialdeprogressotecnológico. Se:

qµ¸2¸1

¶1¡®2=cte

oqueéequivalentea:

^q=(1 ¡®2)¡, (6)

oprodutodecadasetor, medidoemunidadesdebens, será constantesemprequeki forconstante. Seguede(5)quesobestascondiç õesaremuneraç ã odocapitalemcadasetor, medidaemunidadesdebens, será constanteearemuneraç ã odotrabalhoemcadasetor, medidaemunidadesdebens, estará crescendoà taxag.É fácilveri…carquenestascondiç õeski será constante. L ogo, há umatrajetóriadecrescimentobalanceadocom respeitoà produç ã o.

2.2 EscolhaIndividual2.2.1 EscolhadoConsumo

Imediatamenteapósonascimentooindivíduoingressanaescola. D ecidequantotempoestudare entã o, quado chega este momento ingressa nomercadodetrabalho. Formalmenteoproblemaserá tratadoemduasetapas. Paraumdadoinstantedesaídadaescolaeparaumadadariquezaqueoindivíduocarregada primeira etapa de sua vida para a segunda etapa, o indivíduoescolhe a

6

trajetóriadoconsumo. Substitui-seentã oatrajetóriadeconsumonautilidadeintertemporalobtendo-seumautilidadeindireta. Estadependerá donívelinicialde consumoem cada etapa de vida14 que, porsua vez depende da riquezadeixadaparaasegundaetapadesuavidaedotempodeingressonomercadodetrabalho15. Segueamaximizaç ãodautilidadeindiretacom relaç ã oaestasduasvariáveis.

Supõe-sequeatecnologiadeeducaç ã osejatalqueouoindivíduoestudaoutrabalha. Estahipótesepareceestardeacordocom aevidênciaempírica: emgeralaspessoasestudamedepoisdirigem-seaomercadodetrabalho. Poroutroladoquantoà intensidadedoconsumodeserviços deeducaç ã oparecequehárendimentosdeescalaatéumcertolimite. A ssimotempogastoemsaladeaula,quandoestudando, nãosealteramuito. N omodelosupõe-sequeaidaà escolaimpliquenoconsumodeumacertaquantidadedeserviçosdeeducaç ã o, equeestaquantidadenã oéescolhidapeloindivíduo. Porsuavez, quandonaescolaocapitalhumanocresceeumataxa'(t¡s)quedependedequantotempodeescolaoindivíduotêm. Estafunç ãoéestimadapelos estudosdeeconomiadotrabalho.

N aprimeiraetapadesuavidaoconsumidorsoluciona:

maxZT +s

se¡(½+p)(t¡s)

c(s;t)1¡1¾ ¡1

1 ¡ 1¾

dt; (7 )

sujeitoa:

¢a(s;t)=(r(t)+ p)a(s;t)¡c(s;t)¡q(t)́(s¡t); (8)

dH(s;t)dt

=H(s;t)'(t¡s); (9 )

H(s;s) = 1 ; (10)a(s;s) = 0 ea(s;T + s)=E . (11)

emque:

s-... instantedenascimento;

T -... instantedesaídadaescola;

p-... probabilidadedemorte;

a(s;t)-... riquezaem tdeum indivíduoquenasceuem s;

r-... remuneraç ã odosativos;14A equaç ã odeEulersomentedeterminaoper…ldoconsumo.15 A onascerariquezadoindivíduoénula.

7

c(s;t)-... consumotdeum indivíduoquenasceuem s;

´(t¡s)-... serviços deeducaç ã oadquiridos juntoàs escolasdeum indivíduocom t¡sanosdeeducaç ã o;

H(s;t)-... produtividadedotrabalhodeum individioquenasceuem seestu-dout¡speríodosrelativaà deum indivíduoiletrado;

Q uandooindivíduoestá naescolaelenãotrabalha. A comprade´(t¡s)unidades deserviços educacionais garantequeocapitalhumanodoindivíduocresçaà taxa'(t¡s). A qui éfeitaahipótesedequeatecnlogiadeeducaç ã oapresentadescontinuídade: ouoalunoadquireas´(t¡s)unidadesdeserviçodeeducaç ãoquandojá estudout¡sanosouretira-sedaescola. A dependênciadosserviços deeducaç ãocom relaç ã oaotempodeescolacaptaofatoquequantomaiseducadoum alunofor, mais serviçosdeeducaç ãotem queconsumirparaelevarseucapitalhumano. Istoé:

d́d(t¡s)

¸0 :

Seguede(9 ) quequandonaescolaocapitalhumanoevolui segundo:

H(s;t)=H(s;s)eRts '(t

0¡s)dt0: (12)

Portanto, aosairdaescolaoindivíduoacumulou

H(s;T + s)=eRT + ss '(t0¡s)dt0=eÁ(T) (13)

unidadesdecapitalhumano, emque:

Á(t¡s)́Zt

0'(t0¡s)dt0: (14)

Carregará estasatéo…m desuavida.A expressã oqueestabeleceoganhodeprodutividadeassociadoaeducaç ã o

éestimadapelosetudosdeeconomiadotrabalho. Supõe-seque:

Á(0 )=0 , limh¡! 1

Á(h)=G < 1 , Á0(h)> 0 eÁ(h)00< 0 : (15)

Paraafunç ã odeganhomarginalsupõe-seque:

'(0)= B ·1 , limh! 1

'(h)=0 , '0(h)< 0 , limh! 0

'0(h)=¡1 :

H á umaprobabilidadedemorteehá um seguro. O contratocom asegu-radorarezaqueem trocaderecebertodariquezadoindivíduoem casodeseufalecimento, a seguradorapagaaoindivíduoumataxade juros acimadademercado. A diferençaentreambaséaprobabilidadedemorte. Esteéomotivodataxadejurosefetivaaosolhosdoindivíduoserr(t)+ p16.

16Estaformadetratarincertezaquantoà datademorteencontra-seem Y aari (19 65).

8

N asegundaetapadevidaoindivíduoresolve:

maxZ1

T +se¡(½+p)(t¡(T +s))

c(s;t)1¡1¾ ¡1

1 ¡ 1¾

dt; (16)

sujeitoa:

¢a(s;t)=(r(t)+ p)a(s;t)¡c(s;t)¡H(s;T + s)I(s;t); (17 )

a(s;T + s)=E

emque:

I(s;t)-... éarendadeum trabalhordesquali…cado, nascidoem snoinstantet.

Paracadaumadasetapasdevidaoper…ldoconsumoserá omesmo, dadopelaequaç ãodeEuler17 :

c(s;t) = c(s;s)e¾Rts(r(t

0)¡½)dt; (18)

c(s;t) = c(s;T + s)e¾RtT + s(r(t

0)¡½)dt: (19 )

Paraqueatrajetóriadoconsumo…quebemdeterminadaénecessá rioconhecer-seoconsumoincialemcadaumdasetapasdevida. Substituindo-seatrajetóriadoconsumonarestriç ã oorçamentáriaitertemporalparacadaetapasegue:

c(s;s) = A¡11 [¡a(s;T + s)R (s;T + s)¡g(s;T + s)]; (20)c(s;T + s) = A¡12 [a(s;T + s)+ eÁ(T)h(s;T + s)]; (21)

A 1 ´ZT +s

se¡

Rts((1¡¾)r(t

0)+¾½+p)dt0dt; (22)

A 2 ´Z1

T + se¡

RtT + s((1¡¾)r(t

0)+ ¾½+p)dt0dt; (23)

g(s;T + s) ´ZT +s

s´(t¡s)q(t)R (s;t)dt; (24)

h(s;T + s) ´Z1

T + sI(s;t)R (s;t)dt e (25)

R (s;t) ´ e¡Rts(r(t

0)+p)dt0: (26)

L embrandoqueoindivíduodeixaumadívidaparaasegundaetapadevida,istoé, que a(s;T + s) < 0 segue da equaç ã o (20) que o consumo inicialéa propenç ã omarginala consumir(istoéA¡11 ) da riqueza que gastará comconsumonestaetapade suavida. Estaporsuavez éadívidaque deixará

1 7 EstaescolhatomaT ea(s;T + s)= E dados. Em umasegundaetapaencontrar-se-á estasvariá veis.

9

menos os gastos com aescolaem valorpresente(expressã o(24)). A equaç ã o(21) tem interpretaç ã oaná logaem queaexpressã o(25) representaariquezahumanadeum trabalhadoriletradoequivalente. A equaç ã o(26) determinaopreçorelativointertemporal, aosolhosdoconsumidor, deumaunidadederendaem tem unidadesderendaem s.

2.2.2 EscolhadaEducaç ã o

Substituíndo-se(18) e(19 ) nautilidadeintertemporaldeum indivíduonascidoem s:

U s=ZT + s

se¡(½+p)(t¡s)

c(s;t)1¡1¾ ¡1

1 ¡ 1¾

dt+ e¡(½+p)TZ1

T +se¡(½+p)(t¡(T + s))

c(s;t)1¡1¾ ¡1

1 ¡ 1¾

dt

(27 )

segue:

Vs=¾

¾¡1

hc(s;s)

¾¡1¾ A 1 + e¡(½+p)T c(s;T + s)

¾¡1¾ A 2

i: (28)

Substituíndo-se(20)e(21)em (28)emaximizandocomrelaç ã oaa(s;T + s)eT segue:

a(s;T + s)R (s;T + s)=»T2»Tw(s;s)¡R (s;T + s)eÁ(T)h(s;T + s) (29 )

e:

'(T)eÁ(T)h(s;T + s)=eÁ(T )I(s;T + s)+ ´(T )q(T + s) (30)

emque:

»T ´

»T 1 +

»T2; (31)

»T 1 ´ A 1 ; (32)»T2 ´ e¡(½+p)¾T R 1¡¾(s;T + s)A 2; (33)

e:

w(s;s)́ R (s;T + s)eÁ(T)h(s;T + s)¡g(s;T + s): (34)

A equaç ã o(29 ) estabalecequeovalorótimodadívidadeixadaparaase-gundaetapadevidaéafraç ã odariquezatotalaonascer(w(s;s)de…nidaem

(34)) quedesejagastarnestaetapadesuavida(»T2»T)menosaquiloqueganhará

quandoativo. Em (34) ariquezatotalaonasceréovalorpresentedasrendasfuturasdotrabalhomenosovalorpresentedosgastoscomaescola.

10

Substituíndo-se(29 ) em (20) elembrando-sede(34) segue:

c(s;s)=w(s;s)»T

:

Portantoatrajetóriadoconsumonãoapresentadescontinuidade. Segue:

c(s;t)=w(s;s)»T

e¾Rts(r(t

0)¡½)dt0, paratodot> s: (35)

A condiç ã omarginal(30) estabalece queotempoótimode estudodá -sequandoovalorpresentedosbenefíciosdeumaunidadeadicionaldeeducaç ã o

'(T)eÁ(T)h(s;T + s)

forigualaocustomargianal, que, porsuavezécompostodedoistermos: ocustodeoportunidadedotempomaisamensalidadedaescola, amboscalculadosnotempodeparada:

eÁ(T )I(s;T + s)+ ´(T)q(T + s):

U maoutraformadeinterpretaroresultado(30) écom oauxíliodanoç ã odetaxainternaderetornodaeducaç ão. D e…ne-seataxainternaderetornodaeducaç ãoentretet+ ¢ tcomoataxadedescontoqueigualaovalorpresentedarendadotrabalhoapartirdet, líquidadoscustodaeducaç ãoatét, com ovalorpresentedarendadotrabalhoapartirdet+ ¢ t, líquidados custos daeducaç ãoatét+ ¢ t18 . Istoé, ataxaR paraaqual:

Z1

T +se¡R (t¡(T +s))eÁ(T)I(s;t)dt¡

ZT +s

se¡R (t¡s)́ (t¡s)q(t)dt

=Z1

(T +¢T)+se¡R (t¡((T +¢T)+ s))eÁ(T +¢T)I(s;t)dt¡

Z(T +¢T)+s

se¡R (t¡s)́ (t¡s)q(t)dt:

Tomandoolimitepara¢ ttendendoà zeronestaúltimaequaç ã oeimpondo-se

e¡R (t¡t0)´R (t;t0)

obtém-se(30). Portanto, nomomentodeparadaataxainternaderetornodaeducaç ãoéigualà taxadejurosdemercado19 .

1 8 V erW illis, pag. 531.1 9 N as palavras de M incer: “Investments in people are time consuming. Each additional

periodofschoolingorjob trainingpostpones thetimeofthe individual’s receiptofearningsandreduces thespanofworkinglife, ifheretireata…xedage. T hedeferralofearnings andthepossiblereduction ofearninglifearecostly. T hesetimecosts plus directmoneyoutlaysmake up the totalcostofinvestment. B ecause ofthese costs investmentis notundertakenunless itraises the levelofthedeferred income stream. H ence, atthetime itis undertaken,thepresentvalueofrealearnings streams with andwithoutinvestmentareequalonly atapositive discountrate. T his rate is the internalrate ofreturn on the investment.” (19 7 4,pg.7 ).

11

Finalmenteépossívelobter(30)apartirdarestriç ã oorçamentáriaintertem-poral. U m cá lculodiretomostraque(30) ésoluç ãodoseguinteproblema20 :

maxT

"Z1

T +sR (T + s;t)eÁ(T)I(s;t)dt¡

ZT + s

sR (s;t)́(t¡s)q(t)dt

#:

Valeressaltarqueacondiç ã o(30)estabaleceumacomparaç ã oentreumcustoinstatâneo(nomomentodeparada) com um benefíciofuturo(destemomentoem diante). Seguequeahistóriapassadadoprocessoeducacionalnãodesem-penhapapelalgumnadecisãodoindivíduo. Porexemplo, seogovernosubsidiaraeducaç ã oatéum instantequeantecedeoinstanteT escolhidopeloconsumi-dorporumaquantidadearbitrariamentepequena, aexistênciadosubsídionã oalteraaescolhaótimadoconsumidor. A ssim, umensinopúblico…nanciadoporimpostosnã odistorcivosatéosecundá rionã odistorcerá aeconomiaseoindi-víduoescolher, naausênciadosubsídio, um níveldecapitalhumanosuperioraosecundá rio. D estaforma, fazmais sentidoqueogovernosubsidieos níveismaisbá sicosdeeducaç ã odoqueonívelsuperior.

2.3 D iscussãoEm geralnã oépossívelencontraranaliticamenteasoluç ã odadinâmicatran-sitória. Istoporquenestemodelodegeraç ões sobrepostas cadageraç ã oteráumaescolhaótimadistintadecapitalhumano. Estasomenteserá amesmanoestadoestacioná rio. Portantodeseja-sesabersobquecircunstâncias omodeloapresentaumasoluç ã odecrescimentobalanceado. U matrajetóriadecresci-mentobalanceadacaracteriza-sepelaconstânciadataxadejuros21. Seguequenoestadoestacioná riosehouver, (30) podeserescrita:

'(T)eÁ(T)+gsZ1

T +sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T + s))dt=eÁ(T)+gsI¤(s;T + s)+ q(T + s)́(T)

(36)

em queotermoI(s;t)foi substituidoporegsI¤(s;t)eotermoI(s;T + s)poregsI¤(s;T + s).

Emgeralestaeconomianã oapresentará trajetóriadecrescimentobalanceado.O benefíciodaeducaç ã oestá acrescerà taxag, omesmoocorrendocomocustodeoportunidadedotempo. N oentantooscustos com aescolanã onecessaria-mente. Seoprogressotécniconosetoreducacionalfornuloeseesteempregarsomentetrabalho(istoé, se®2 = 0 ) seguede(6) queopreçodamensalidadeda escola estará crescendo à taxag. N esta condiç ã oobtém-se umadecisã oconstanteparaT . N oentanto, em geralotermo

q(T + s)́(T)

20B ils eKlenow(19 9 8) obtiveram umaexpressã opróximaaestaporesteprocedimento.21V erKongsamut, R ebeloeX ie (19 9 7 ).

12

estará crescendoataxa(1¡®2)¡< g. Sobestascondiç õesasgeraç õesmaisnovasestarã oescolhendoacumularmais capitalhumanodoqueas geraç ões aelasanteriores. N estasituaç ã ootempoótimodeestudoestará assimptoticamentetendendoa:

'(T)eÁ(T)Z1

T + sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T +s))dt=eÁ(T)I¤(s;T + s) (37 )

porvaloresmenoresdoqueT umavezqueotermo

q(T + s)́(T)e¡gt

está tendendoà zero. Istoé, ocustodamensalidadedaescolanomomentodeingressonomercadodetrabalhoserá muitopequenoem comparaç ã oaoganhomarginalesperadodocapitalhumano, ou em comparaç ã oaocustode opor-tunidadedotempo. A pesardos serviços deeducaç ã oem comparaç ã oà mer-cadoriaestarem…candomaiscaros, obenefíciodaeducaç ã olíquidodocustodeoportunidadedotempocresceà taxadoprogressotecnológicoenquantoqueamensalidadedaescolacresceaumataxamenor. D itodeoutraforma, há nomodeloumaassimetriaentreobemdeconsumoeocapitalhumano: apesardeambosseremproduzidosportecnologiassemelhantes, oprimeiroconstitui umavariá velilimitadaenquantoqueosegundoumavariávellimitada. Conformeaeconomiacrescepormeiodoprogressotécnicopoupadordetrabalhooprodutodosetorqueproduz amercadoriadeconsumolimitadorelativamenteaopro-dutodooutrosetortendeazero. Paraque istonã oocorraénecessá rioqueastecnologiasfaçam com queavariaç ã odopreçotorneoconsumodeserviçosdecapitalhumanoumavariá velque, medidaem unidades debens, cresça àmesmavelocidadedoproduto. U maoutramaneiradegerarumatrajetóriadecrescimentobalanceadoseriaconsiderarquecom opassardotempoaquanti-dadedeserviçoseducacionaisconsumidosparaelevarocapitalhumanodeumindivíduo, istoé´, estajaacrescerà taxag¡(1 ¡®2)¡, desortequeotermoq́ cresçaà taxag.

Seguequeomodelopodesersolucionadosob duas hipóteses com relaç ã oaocomportamentodopreçorelativoda educaç ã o. Se nã ohouverprogressotecnológiconasescolaseseestassomenteempregaremtrabalho, otempoótimodepermanêncianaescolaserá determinadoapartirde:

'(T)eÁ(T)Z1

T + sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T +s))dt=eÁ(T )I¤(s;T + s)+ q¤́ (T) (38)

emqueq¤egt´q(T + s). Casocontrá rioemprega-seaexpressã o(37 ).Todaaaná lisefeitaatéomomentoconsiderouqueoproblemadeescolha

doindivíduoestivessebemdeterminado. Istoé:

d2

dT 2

"Z1

T + sR (T + s;t)eÁ(T)I(s;t)dt¡

ZT + s

sR (s;t)́(t¡s)q(t)dt

#·0 (39 )

aomenosquandocalculadanoestadoestacioná rio, istoé, tomandoataxadejurosconstante. A condiç ã o(39 ) énecesssá riaparaqueoextremoencontrado

13

pormeiode(30) sejadefatoum máximolocal. N oentantoistonem sempreéverdade. Seja:

ª(T )́ '(T)eÁ(T)h(s;T + s)¡eÁ(T)I(s;T + s):

Como d́ (T)dT ¸ 0 22 umacondiç ã o su…ciente paraquea escolha sejabem

de…nidaéque dªdT < 0 . É fá cilveri…carque:

1 > ª(0 )> 0 > ª(_T)> ¡1 , ª0(0 )< 0 e ª0(

_T)< 0

emque:_T -... instanteapartirdoqualoindivíduoretira-sedomercadodetrabalho.

N oentantoépossívelqueparaalgum 0 < T <_T osinaldaderivadadeª

sejapositivo. Paraocasoem queocustodaescolasejamuitobaixo(nolimitenulo) aescolhaserá bem comportada, poiséfá cilmostrarque:

dªdT

< 0 se ª=0 .

Em geral, mesmoquandohouvermais de uma soluç ã oparaª(T)= q́ (T)haverá ummáximolocallocalmentebemcomportado. Todaaanáliseserá feitaconsiderandoestasoluç ã o23.

A téaqui nã oseconsiderou estetempode saídadomercadodetrabalho.N estecontextodegeraç õessobrepostasfazsentidosuporqueaspessoasaposentam-se. Tambémérazoávelsuporqueestetemposerá maior, tã omenorforaprob-abilidadedemorteou, oqueéomesmo, tãomaiorforaexpectativadevidaaonascer. Istoé, emgeral

_T =

_T (+p).

Supondoasoluç ãodecrescimentobalanceadoesupondoextremoregularseguequeotempodeingressonomercadodetrabalhoserá maiorquantomaiselevadoforoper…lde salários (I¤(s;t)), quantomenorfora taxade juros,quantomenorforaprobabilidadedemorteequantomais barataforaescola.Estaestá ticacomparativaem um dadoinstanteserá amesmaparaocasodeausênciadecrescimentobalanceado.

Paraocasoemquenã ohá crescimentobalanceado, ocustodaescolafrenteaobenefíciodaeducaç ã oestará acairaolongodotempo. Portantoomod-eloprevê que para um passado su…ciente remotoos salá rios dotrabalhadordesquali…cadoeratã obaixofrenteaoscustosdaescolaqueaescolhaótimaeranãoestudar. (Istoéª(0 )< ´(0 ).) Com opassardotempoabalançapen-deuparaoladodaeducaç ã oepassouasereconomicamenteviá veleducar-se.Estahistóriaestá deacordocom aevoluç ã odopapeldaeducaç ão. A noç ã odaeducaç ãocomoumbem econômicoébemrecente. D eve-seaostrabalhosda

22Seos serviç os deeducaç ã oalterarem-secom otempoorazoá veléquecresç am.23Comoapontá do, paraocasoemqueamensalidadedaescolasejasu…cientementepequena

asoluç ã oserá sempreúnicaebem comportada.

14

décadadesessentadeSchultzeB ecker. A ntesdestesautoresacreditava-sequeaprincipalfunç ã odaeducaç ã ofosserelacionadaaquestões decidadaniaedeintegraç ãodapopulaç ã oà sociedadeouaum certopadrãodesociabilidadeouaindacomocondiç ã oparafazer-separtedealgumgrupoouestamento. N ota-sequenomodeloesteresultadonãosedeveà umaelevaç ã odoprêmiosalarialdaeducaç ão. Esteganho, comomedidopelafunç ão', ésupostonã osealterarcomopassardotempo. O importanteéoimpactodiferencialdoprogressotécnicopoupadordetrabalhosobreoscustosebenefíciosdaeducaç ão.

2.4 ConsumonoEstadoEstacionárioA téestepontodeixou-sedefazerdiversas hipóteses simpli…cadoras. H aviaanecessidadedeentendermelhoroproblema, emparticulardeestudarsobquaiscondiç õesestaeconomiaapresntariacrescimentobalanceadoounão. Tendojáentendidoestaquestã odeagoraem diante:

(i) oper…ldesalá rios, istoé, afunç ã oI¤(s;t)será constante. O useja, I´egtI¤, em queI¤éconstante24;

(ii) após_T períodosdonascimentooindivíduoaposenta-se25;

(iii)osserviçosdeeducaç ã onã ocrescerã ocomograudeescolaridadedoaluno(́ 0(t¡s)=0 , ´=cte).

Seguede(35) queoconsumonoestadoestacioná riocomporta-se:

c(s;t)=w(s;s)»T

e¾(r¡½)(t¡s) (40)

emque26:

w(s;s)=egs"e¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)

1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)

r+ p¡g¡q¤́

1 ¡e¡((r+p)¡g)T

r+ p¡g

#

(41)24O seconomistasdotrabalhoidenti…cam um comportamentoparabóliconologarítmicodos

salá rios devido à experiêncianotrabalho. Experiência notrabalhoémedidopeloganhodesalá rioobtidopelotempoadicionalnoemprego. N ota-sequeesteefeitonã oestá associadoàidadedotrabalhador. (V erM incer(19 7 4), cap. 4, pg.7 0.) Esteefeitopoderiasercaptadopelomodelofazendo-seI ¤(s;t)variarcom aexperiência, istoécom t¡(T + s). Evidentemente, sobestahipótese, aescolhaótimadoinstantedeingressonomercadodetrabalhoaltera-se, vistoquesurgeum custoadicionalà educaç ã o: oadiamentodoprocessodeaquisiç ã odeexperiêncianotrabalho.

25P otanto, cadaanoadicionalnaescolareduz avidaativadeum período. É possívelquepessoas queestudam mais retiram-sedavidaativadepois. P orexemploM incer(19 7 4), pg8argumentanestas linhas. Esteaspéctoprecisa sermelhorinvestigadoem versões posterioresdesteestudo. Pormomentomantém-seahipótesedequeaidadederetiradadomercadodetrabalhonã oéafetadapelocapitalhumano. É possívelqueestaidadeestejamais associadaà probabilidadedemortee, queos indivíduos queestudem mais sejam os quetenham maiorexpectativadevida. Se este forocaso, comoeste émodeloque supõe indivíduotípico, fazsentidotomarestadatacomo…xaumavez que p está …xada.

26Seguede(34).

15

e27 :»T =

1(1 ¡¾)r+ ¾½ + p

: (42)

Paracalcular-se(41) faz-seI¤(s;T + s)=I¤eg(T + s)eq¤(s)= q¤egs. Seomodelonãoapresentarsoluç ã odecrescimentobalanceadosegue:

w(s;s)=egse¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)1 ¡e¡((r+p)¡g)(

_T¡T )

r+ p¡g(43)

vistoqueocustodaescolaassiptoticamentetendeà zero.

3 A gregaç ã o3.1 D emogra…aO s indivíduosnascem em s, estudam desatéT + seaposentam-seem

_T .

A cadainstantenascem (n+ p)entpessoas. Seja:

N (t)-... populaç ã ototal;

N (s;t)-... apopulaç ã odosnascidosem svivosem t;

N 1 (t)-...populaç ãonaescola;

N 2(t)-...populaç ãoeconomicamenteativa;

N 3(t)-...populaç ãoaposentada.

A téaqui apopulaç ã oeconomicamenteativahaviasidorepresentadaporL .D istinguia-se oempregopelosetor: L 1 e L 2. Segue, portantoaconvenç ã o:L ´N 2.

O s indivíduosdeparam-secom umaprobabilidadedemortep, desorteque

N (s;t)=(n+ p)enste¡p(t¡s): (44)

Somandoentregeraç õesobtém-se:

N 1 (t) = ent(1 ¡e¡(n+p)T); (45)

N 2(t) = ent(e¡(n+p)T ¡e¡(n+p)_T)

N 3(t) = ente¡(n+p)_T :

Evidentemente:

N 1 (t)+ N 2(t)+ N 3(t)=N (t)=ent: (46)2 7 Seguede(33).

16

3.2 ConsumoSomandooconsumoindividualparatodasas geraç ões, substituíndo-se(40) e(44) em:

C(t)=Zt

¡1N (s;t)c(s;t)ds (47 )

segue:

C(t)=w»T

n+ pn+ p¡¾(r¡½)

ent (48)

desdeque:

n+ p¡¾(r¡½)> 0 (49 )

paraqueaintegralimprópriaem (47 ) possasercalculada. Em (48)we»T sã o

dadospor(41) e(42).

4 EquilíbrioG eraldeL ongoPrazoComovisto, estemodeloapresentaparaumaparticularsuposiç ã oquantoàstecnologiasumatrajetóriadecrescimentobalanceada. Istoocorrequandonãohá progressotécnicono setoreducacionale este somente emprega trabalho.Segundoestashipótesesparaquehajaumatrajetóriadecrescimentobalanceadodopontodevistadaproduç ã oénecessá rioqueopreçorelativodaeducaç ã oestejaacrescerà taxadeprogressotécnicodosetordebens28 . D opontodevistadademandadoindivíduoestaéacondiç ã oparaqueadecisã odoquantidadeótimadeeducaç ã onã osealterecom opassardotempo29 . Istoporquenestacondiç ã oobenefíciodaeducaç ã olíquidodocustodeoportunidadedotempoestá crescendoà taxadeprogressotécnicodosetordebens - pois os salá riosestá acrescerà estataxa- enquantoqueooutrocustodaeducaç ã o, qualseja,amensalidadedaescola, tambémestá acresceraestataxa.

N estaseç ã osoluciona-seomodeloparaoequilíbriodelongoprazosobestashipóteses quantoaoprogressotécnico: énulonosetoreducacionaleestenã oempregatrabalho. A primeiraequaç ãodeequilíbrioéacondiç ã odeequilíbrionomercadodebens: noestadoestacioná riooconsumoéigualaoprodutomenosadepreciaç ã oefetivadocapital. Segueaequaç ãodeequilíbrionomercadodeed-ucaç ã o. Sobahipótesedequeestesetorsomenteempregatrabalhoestaequaç ã odeterminaoempregonosetoreducacionale, consequentemente, oempregonosetordebens. A terceiraequaç ã oéacondiç ã omarginaldotempoótimodesaídadaescola. Finalmentesegueaequaç ãodeequalizaç ãodos salá rios entreossetores, quandomedidosnamesmaunidade.

2 8 V erequaç ã o(6).2 9 V er, porexemplo, equaç ã o(36).

17

A equaç ã odeequilíbrionomercadodebensseguede:¢K=A 1 F 1 (K1 ;egtHL 1)¡C(t)¡±K: (50)

D ividindoambososladospelaquantidadetotaldetrabalhoL H(T)egt, lembrando-

sedequek´ K(t)L (t)H(T )egt,

¢k=0 , equec¤= C(t)

N (t)H(T)egt segue:

c¤=LN[L 1LA 1 f1(k1)¡(n+ g+ ±)k]: (51)

A equaç ã o(51) éaofertadebensnolongoprazo. Paraobter-seaequaç ã odeequilíbrionomercadodebensseguede(48), (42) e(41) que:

c¤=1»T

n+ pn+ p¡¾(r¡p)

"e¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)

1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)

r+ p¡g¡q¤́

1 ¡e¡((r+p)¡g)T

r+ p¡g

#:

(52)

A igualdadede(51)e(52)constituiaprimeiracondiç ã odeequilíbrio. A segundaequaç ã odeequilíbrioéaequaç ã odeequilíbrionomercadodeeducaç ã o. Ademandatotalporeducaç ã oéoprodutodonúmerodealunos com os seviçoseducacionaisconsumidoporcadaestudante(N 1 ´), enquantoqueaofetaédadapeloempregonestesetor30 (A 2H(T)L 2). Segue:

l2 =N 1

L´

A 2H(T). (53)

A terceiracondiç ã odeequilíbrioseguede(38):

eÁ(T)I¤"'(T)

1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)

r+ p¡g¡1

#=´q¤: (54)

A quartacondiç ã oseguede(5):

q¤A 2 =(1 ¡® 1)A 1k® 1¡11 . (55)

Finalmentedascondiç õesdeequilíbrionomecadodefatoressegue:

k1 =KL 1

=kl1, (56)

l1 + l2 = 1 ,I¤ = (1 ¡¿L )(1 ¡® 1)A 1k® 1¡11 er = (1 ¡¿K)® 1 A 1k® 1¡11 ¡±.

N as equaç ões (56) os impostos distorcivos sobre os fatores de produç ã o sã odevolvidosdeformalumpsum às famílias.

30 N estepontotem-se que lembrarque nã ohá progressotecnológiconeste setore que elenã oempregacapital.

18

O modelopodeserresolvidonumericamenteparaasvariá veisk(our), T ,q¤el1 . Estemodelopodeserempregadoparadiversosexercícios. Porexemploépossívelencontrarqualéoefeitosobreoestímuloà acumulaç ãodecapitalhumanodeumareduç ã odoimpostosobreotrabalho.

Paraocasoem queomodelonãoadmite trajetória de crescimentobal-anceadoa soluç ã oobtém-seapartirdas mesmaequaç ões com ligeiras alter-aç ões: ariquezadoindivíduonãotem otermoassociadoaocustodaescola(queassimptoticamenteénulo), oprodutodaescolaénulo(portantotodosocapitaletrabalhoestá alocadonosetorprodutordebens) eaescolhaótimadaquantidadedeestudoédadapor(37 ).

5 ConclusãoEstetrabalhoapresentouum modelodeacumulaç ã oqueintegraadecisãodeacumularcapitalcom adecisã odeacumularcapitalhumano, esteúltimocomotratadopalocampodeeconomiadotrabalho. Sabe-sequeadotaç ã odecapitalhumanoéum elementoimportanteparadescreveradiversidadeabservadaderendapercapita entreas economias31. Poroutrolado, pormotivos teóricos econceituais, bem comoporquestões empíricas, aformadefaze-loqueparecemaisconvenienteépormeioderegressõesdeM incer32. Faltavaum modelodecrescimentoqueestudasseadecisãodeestudarem um contextodeequilíbriogeral, comocapitalfísicodeterminadoendogenamente. Estetrabalhopretendeupreencheresta lacuna. A creditoque estemodelopossa serempregadoparadiversosexercícios, comoporexemplooestudodoimpá ctodepolíticassobreadecisã odeacumulaç ã odecapitalhumano.

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