Ensaios Econômicos
Escola de
Pós-Graduação
em Economia
da Fundação
Getulio Vargas
N◦ 345 ISSN 0104-8910
Um Modelo de Acumulação de Capital Físico
e Humano: Um Diálogo com a Economia do
Trabalho
Samuel de Abreu Pessoa
Abril de 1999
URL: http://hdl.handle.net/10438/361
Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. Asopiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista daFundação Getulio Vargas.
ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA
Diretor Geral: Renato Fragelli CardosoDiretor de Ensino: Luis Henrique Bertolino BraidoDiretor de Pesquisa: João Victor IsslerDiretor de Publicações Cientí�cas: Ricardo de Oliveira Cavalcanti
de Abreu Pessoa, Samuel
Um Modelo de Acumulação de Capital Físico e Humano: Um
Diálogo com a Economia do Trabalho/ Samuel de Abreu Pessoa � Rio
de Janeiro : FGV,EPGE, 2010
(Ensaios Econômicos; 345)
Inclui bibliografia.
CDD-330
Um M odelodeA cumulaç ãodeCapitalFísicoeH umano: umD iálogocomaEconomiado
Trabalho¤
SamueldeA breuPessôaFundaç ãoG etúlioVargas
EscoladePós G raduaç ãoemEconomiaPraiadeBotafogo, 19 0 - 11 andar
R iodeJaneiro(pessoa@ fgv.br)
VersãoPreliminar: A brilde9 9
A bstractN estetrabalhofaz-seum modelodegeraç ões sobrepostas em tempo
contínuodeacumulaç ã odecapitalfísicoehumanoem queocapitalhu-manoéincorporadodaformacomotratadopeloseconomistasdotrabalho:(i)éumfatorlimitado, (ii)embutidonotrabalhador, (iii)eacumuladonosprimeiros anos devida. M ostra-sequeaofertadeensinopúblicobá sicoegratuíto…nanciadaporimpostos nã odistorcivos nã oalteraaescolhaótimaindividualdeacumulaç ã odecapitalhumano. Também épossívelmostrarqueem geraloprogressotécnicopoupadordetrabalhotornaoretornomarginaldocapitalhumanomaiselevado. D esortequeépossivelqueoelevadoretornoà educaç ã osejaum fenômenorecenteequeparaum passadosu…cienteremotoaescolhaótimafossenã oseeducar.
1 Introduç ã oO objetivodestetrabalhoéestudaradecisãodeacumulaç ãodecapitalhu-manoem um contextodeequilíbriogeral, em quesecontempleadecisã odeacumulaç ã odecapitalfísicoedeconsumo. Pretende-se incorporarnadecisã odeacumulaç ãodecapitalhumanoalgumasespeci…cidadesaeleassociadas, emparticularcertas características docapitalhumanocomotratadasnos estudosdeeconomiadotrabalho. Sã oestas:¤Estetrabalhobene…ciou-sedeconversas com M arcos L isboa. Evidentementeerros sã ode
responsabilidadedoautor.
1
²A acumulaç ã odecapitalhumanoocorreantesdaentradadoindivíduonomercadodetrabalho. H á algumrendimentocrescentedeescalaà atividadedeestudarquefaz com queoótimo, enquantoseestudar, sejasomenteestudar;
²O capitalhumanoéum fatorembutidono indivíduo. N ã oéum fatorindependentedotrabalho. Elemodi…caotrabalho;
²O capitalhumanonãoétransferívelparaoutroindivíduo. N ã oépossíveldeixarumaherançanaformadecapitalhumano. D itodeoutraforma,quandooindivíduomorreoseucapitalhumanomorrecom ele.
²O capitalhumanopercapitaélimitado. U m indivíduopodeserdonodetodoocapitalfísicodeumaeconomia;omesmonãoocorrecomocapitalhumano.
D esteelencodecaracterísticas…caevidentequeparaestudaraacumulaç ã ode capitalhumanoénecessá riotrabalhar-se em um modelode geraç ões so-brepostas. H á pessoas jovens, estudando, epessoas adultas trabalhando. N oentantotem queserum modelodemuitosperíodos, umavezqueumadasde-cisões e, portantovariávelendógena, éotempodesaídadaescolae ingressonomercadodetrabalho. Trabalhar-se-á emummodelodegeraç õessobrepostasem tempocontínuo.
O modeloserá um modeloneoclá ssicodecrescimento. N eoclá ssiconosen-tidoem queaforçaaqualsustentaocrescimentonolongoprazo, oprogressotecnológico, éexógena. N estemodeloaeducaç ã onã oelevaataxadecresci-mentodestaeconomia. Estaformadetratarocapitalhumanocontrastacomosmodelosendógenosdotipohomogêneo-lineardanovateoriadocrescimento1.Essencialmenteestesmodelosadotamumatecnologiahomogênea-linearcomoaseguinte:
Y = F (K;HL ):
N estesocrescimentodelongoprazodá -sepormeiodeacumulaç ãodefatores.A s características das economias, determinandoas velocidadesdeacumulaç ã odeterminamavelocidadedecrescimento. Economiascomcaracterísticasdistin-tascrescerã oataxasdiferentes. Estefatoérejeitdoaomenosparaaevidênciaquecompreendeopós guerra2. M ais surpreendentemente, estes modelos sã ocontrafatuais com relaç ãoà remuneraç ãodos fatores. N estesmodelosarendadotrabalhocrescedeformailimitadadevidoà acumulaç ã oilimitadadecapitalhumano. Seguequearendadotrabalhadordesquali…cado, quetambém nãoéproprietá riodecapitalfísiconãocresce. Estefatoestá emtotaldesacordocomaevidênciadocomportamenteseculardarendadotrabalhadordesquali…cado.
1V erL ucas (19 8 8) eR ebelo(19 9 1) comoexemplosdestacados destaliteratura.2V erEasterlyetalli (19 9 4), Jones (19 9 5) eChari, Kehoee M cG rattan (19 9 8).
2
A ssim, caminhou-separaaseguinteformulaç ã odatecnologia3:
Y =AF (K;H;egtL ):
Estemodelotambém échamadodemodeloneoclá ssicoestendido4. Essencial-menteéomodeloneoclá ssicoemqueaparticipaç ã onarendadosfatoresqueseacumulam pordecisã oeconômicaéelevada. N estecasoépossívelmostrarqueomodeloneoclá ssicoconseguetantoqualitativamentecomoquantitativamentedescreverosprincipaisfatosestilizadosassociados àstrajetóriasdaseconomiasnopósguerra5. Inclusiveépossíveldescreverodiferencialderendapercapitaobservadoentreas economias pormeiododiferencialdefatores deproduç ã oacumuladosnasdiversaseconomias. Sobestascondiç õesomodeloadimiteumaformulaç ã oneoclá ssicanosentidoestritodotermo: além doprogressotécnicoserexógenooníveldafunç ãodeproduç ã odecadaeconomia- istoéA - éomesmo. Em geralotermoH natecnologiaépensadocomocapitalhumano.Estaformulaç ã onã oapresentaosgraves problemasmensionadosnoparágrafoanteriorcom relaç ã oaosmodelos endógenos em geral6emais fortementecomrelaç ã oaosmodeloshomogênios-lineares.
D opontodevistaconceitualhá aomenosduasobjeç õesaestaformadein-corporarcapitalhumanoemmodelosdecrescimento. N adanomodeloimpedequeumagentesejaproprietá riodetodoocapital, físicoehumano, destaecono-mia. Conquantofazsentidoapossibilidadedeum indivíduoserproprietá riodetodoocapitalfísicodeumaeconomiaomesmorevela-seabsurdocomrelaç ãoaocapitalhumano7 . Também, nomodeloneoclá ssicoespandido- quersuponha-sequeapoupançasejaexógenaouendógena- há um estadoestacioná rio, emqueosestoquesdecapital- físicoehumano- medidoemunidadesdescontadaspelae…ciênciadotrabalhoestão…xados. Istoé:
HL egt
=cteeKL egt
=cte.
L ogo, oestoquedecapitalhumanopercapita cresceà taxadoprogressotec-nológico. O capitalhumanodecadaindivíduoéumavariá velilimitada. Estanã opareceserumaboadescriç ã odoqueseentendeporcapitalhumano. Espe-cialmentequandoseconsideraaformacomoocapitalhumanoétratadopelosmicroeconomistas doassunto, istoépelos pesquisadores deeconomiadotra-balho. Pormais quehajaprogressotécnicoonossohardware, océrebro, nã o
3V erB arro, M ankiwe X avierSala-I-M artin (19 9 5), P arente e P rescott(19 9 5) e Chari,Kehoee M acG rattan (19 9 8 ).
4V erM ankiw, R omereW eil(19 9 2) e M ankiw(19 9 5).5V erM ankiw(19 9 5) eespecialmenteChari, KehoeeM cG rattan (19 9 8).6O s modelos endógenos - tantoos homogêneos-lineares comoos neo-schumpterianos (por
exemplo R omer(19 9 0) e A ghion e H owitt(19 9 2)) - apresentam o resultado indesejadodedependênciadataxadecrescimentodelongoprazocom relaç ã oàscaracterísticasdaeconomia.O s modelos neo-schumpterianos nã ogeram ooutroresultadoindesejado: quearendadeumtrabalhadordesquali…cadonã ocresça.
7 É possívelqueapossedetodoocapitalfísicoem mã os deum indivíduogeredi…cílimosproblemas de agência. N o entantoa posse de todoocapitalhumanonas mã os de poucosindivíduos implicarianainstituíç ã odeumaeconomiaescravista.
3
sealterou nos últimos milhares deanos. A qualidadedoconhecimentopodemelhorar- eisteécaptadoporegt - masaquantidadedeconhecimentoqueumindivíduocarreganãodeveter-seelevado8 . Poroutrolado, dopontodevistaempírico, estaformadetratarcapitalhumanoefísicosugerequeaofazer-seexercíciosdedecomposiç ã odecrescimentoparacalcular-seaprodutividadeto-taldosfatoresambosapareçam deformasimétrica. Estefatoérejeitadopelaevidência, em particular, enquantográ …cos deespalhamentoapresentam umacorrelaç ã opositivaentreavariaç ã odologarítmicodarendaportrabalhadorcomavariaç ã odologarítimicodoestoquedecapitalportrabalhadorparadadosdeseç ãotranversaldepaíses, omesmonãoocorrecomocapitalhumano9 .
D estaformaparecequeocapitalhumanodeveserincorporadoemummod-elodecrescimentosobaformacomooseconomistasdotrabalhoofazem. Istoé
Y =AF (K;HegtL )
e
H=eÁ(T)
em que Á éalgumafunç ã o10 cujoargumentoT correspondeaos anos médiosdeescolaridadedapopulaç ã oeconomicamenteativadaeconomiaem questã o.N estaformulaç ã oocapitalhumanoélimitadoeaparticipaç ã odocapitalfísicona rendaédaordem de um terço. Estaéaforma pelaqualocapitalhu-manoserá tratadonesteartigo. Sabe-sequesobestascondiç õesnã oépossíveldescrever-setodaavariabilidadeobservadanarendapercapitaapartirsomentedosfatoresacumuláveis. Istoétem-sequesupordiferençasem A entreecono-miasem ummesmoinstanteparaquesejapossívelgerarodiferencialderendaobservadoapartirdodiferencialdefatores11. D estaformaesteartigonãopre-tendeproporum modeloquedescrevacompletamenteadiversidadederendaobservadae, portantonãoconstitui umadescriç ã ocompletadodiferencialdedesenvolvimentoentreaseconomias12.
8 Faz sentido imaginarqueem algumas atividades inclusiveaqualidadedoconhecimentonã odevetermudado. Segundoqualcritériopodemosa…rmarqueum …lósofocontemporâneosejamelhorqueA ristóteles?
9 V erB enhabib eSpeigel(19 9 4).10Em geralestafunç ã oéestimadadiretamentepalos economistas dotrabalho. Estas esti-
mativas recebem onomedeequaç ões de M incer. V erM incer(19 7 4) e W illis (19 86).11V erKlenoweR odriguéz eClaré(19 9 7 ) e H alleJones (19 9 8 ).12É possívelque e a estruturade incentivos tenhaum impacto sobre oprodutoque seja
equivalente aode umadistorç ã o está tica: istoé, menos produtocom amesmaquantidadede fatores implicando, portanto, em um menorvalorparaA. Q uando tenta-se descreverodiferencialderendaentreas economiassomenteatravézdediferencialdefatoresacumulá veis,implicitamenteestá seadmitindoquetodas as distorç ões sã odenaturezaintertemporal, istoé, distorç ões queafetam opreçorelativo intertemporalsem reduziroprodutocorrenteparaumadadoestoquedefatores. Chari, KehoeeM cG ratan (19 9 8) sã oexplícitos em a…rmaremfavordestaformadegerarosfatosestilizadosobservados. P araum modeloem quehá osdoistipos dedistorç ões (está ticas eintertemporais) verB arelli eP essôa(19 9 7 ).
4
2 O M odelo2.1 FirmasH á doissetoresnestaeconomia. O primeiroproduzum bem, pormeiodeumafunç ãohomogêneadoprimeirograu, quepodeserconsumidoouacumuladonaformade capital. O segundoproduz um serviço, também pormeiodeumafunç ãohomogêneadoprimeirograu, chamadodeserviçoeducacional. O s indi-víduosquandovãoà escolacompram umacertaquantidadedestes serviços. Afunç ãodeproduç ã odoi-ésimosetorserá :
Yi=A iF i(Ki;̧ iHL i) (1)
emque:
Yi-... produtodoi-ésimosetor;
Ki-... capitalempregadopeloi-ésimosetor;
¸i-... progessotécnicoexógenopoupadordemãodeobranoi-ésimosetor;
H-... capitalhumanodapopulaç ã oeconomicamenteativa;
L i-... empregonoi-ésimosetor.
Q uandoataxadeevoluç ã otecnológicanãoforamesmaentreossetores, paraobter-seumatrajetóriadecrescimentobalanceadoénecessá rioqueas funç õesdeproduç ã oapresentemelasticidadedesubstituíç ã ocapitaletrabalhounitária.N estascircunstânciaafunç ã odeproduç ãoparacadasetorédaformafuncionalCobb-D ouglas:
Yi=A iK®ii (̧ iHL i)1¡® i: (2)
O setoreducacionalproduz um serviço. Em geraloprogressotécnicoémenornosserviços13. Portanto, porhipóteseadota-se:
¸1 =egt¸e(g¡¡)t=¸2 (3)
ouseja¡¸ 0 . D e‡acionandoas variá veis peloíndicedeprogressotécnicodoprimeirosetorsegue:
y1 ´ Y 1¸1HL
e y2 ´Y2
¸1HL,
k1 ´ K1
¸1HL 1e k2 ´
K2
¸1HL 2emque:
13O bserva-seum maiorcrescimentodaprodutividadenos setores debens comercializá veisdoquenos setores debens domésticos. V erO bstfeldeR ogo¤ (19 9 6) cap. 4.
5
L -... populaç ã oeconomicamenteativa.
Paraoprodutopercapitadecadasetortem-se:
y1 =l1 A 1k® 11 e y2 =µ¸2¸1
¶1¡®2l2A 2k®22 (4)
emque:
li-... fraç ã odoempregototalalocadoaoi-ésimosetor.
Paraasremuneraç õesdosfatoressegue:
r1 = ® 1 A 1k® 1¡11 e w1 =(1 ¡® 1 )̧ 1 A 1k® 11 ,
r2 = qµ¸2¸1
¶1¡®2®2A 2k®2¡12 e w2 =q
µ¸2¸1
¶1¡®2(1 ¡®2)̧ 1 A 2k®22 (5)
emque:
q-... éopreçorelativodamensalidadedaescolaemunidadesdebens.
Paraque estaeconomiatenhaumatrajetóriade crescimentobalanceadaem queataxadejuros seigualeentreos setores esejaconstanteénecessá rioqueopreçorelativodaeducaç ã ocresçadeformaacompensarodiferencialdeprogressotecnológico. Se:
qµ¸2¸1
¶1¡®2=cte
oqueéequivalentea:
^q=(1 ¡®2)¡, (6)
oprodutodecadasetor, medidoemunidadesdebens, será constantesemprequeki forconstante. Seguede(5)quesobestascondiç õesaremuneraç ã odocapitalemcadasetor, medidaemunidadesdebens, será constanteearemuneraç ã odotrabalhoemcadasetor, medidaemunidadesdebens, estará crescendoà taxag.É fácilveri…carquenestascondiç õeski será constante. L ogo, há umatrajetóriadecrescimentobalanceadocom respeitoà produç ã o.
2.2 EscolhaIndividual2.2.1 EscolhadoConsumo
Imediatamenteapósonascimentooindivíduoingressanaescola. D ecidequantotempoestudare entã o, quado chega este momento ingressa nomercadodetrabalho. Formalmenteoproblemaserá tratadoemduasetapas. Paraumdadoinstantedesaídadaescolaeparaumadadariquezaqueoindivíduocarregada primeira etapa de sua vida para a segunda etapa, o indivíduoescolhe a
6
trajetóriadoconsumo. Substitui-seentã oatrajetóriadeconsumonautilidadeintertemporalobtendo-seumautilidadeindireta. Estadependerá donívelinicialde consumoem cada etapa de vida14 que, porsua vez depende da riquezadeixadaparaasegundaetapadesuavidaedotempodeingressonomercadodetrabalho15. Segueamaximizaç ãodautilidadeindiretacom relaç ã oaestasduasvariáveis.
Supõe-sequeatecnologiadeeducaç ã osejatalqueouoindivíduoestudaoutrabalha. Estahipótesepareceestardeacordocom aevidênciaempírica: emgeralaspessoasestudamedepoisdirigem-seaomercadodetrabalho. Poroutroladoquantoà intensidadedoconsumodeserviços deeducaç ã oparecequehárendimentosdeescalaatéumcertolimite. A ssimotempogastoemsaladeaula,quandoestudando, nãosealteramuito. N omodelosupõe-sequeaidaà escolaimpliquenoconsumodeumacertaquantidadedeserviçosdeeducaç ã o, equeestaquantidadenã oéescolhidapeloindivíduo. Porsuavez, quandonaescolaocapitalhumanocresceeumataxa'(t¡s)quedependedequantotempodeescolaoindivíduotêm. Estafunç ãoéestimadapelos estudosdeeconomiadotrabalho.
N aprimeiraetapadesuavidaoconsumidorsoluciona:
maxZT +s
se¡(½+p)(t¡s)
c(s;t)1¡1¾ ¡1
1 ¡ 1¾
dt; (7 )
sujeitoa:
¢a(s;t)=(r(t)+ p)a(s;t)¡c(s;t)¡q(t)́(s¡t); (8)
dH(s;t)dt
=H(s;t)'(t¡s); (9 )
H(s;s) = 1 ; (10)a(s;s) = 0 ea(s;T + s)=E . (11)
emque:
s-... instantedenascimento;
T -... instantedesaídadaescola;
p-... probabilidadedemorte;
a(s;t)-... riquezaem tdeum indivíduoquenasceuem s;
r-... remuneraç ã odosativos;14A equaç ã odeEulersomentedeterminaoper…ldoconsumo.15 A onascerariquezadoindivíduoénula.
7
c(s;t)-... consumotdeum indivíduoquenasceuem s;
´(t¡s)-... serviços deeducaç ã oadquiridos juntoàs escolasdeum indivíduocom t¡sanosdeeducaç ã o;
H(s;t)-... produtividadedotrabalhodeum individioquenasceuem seestu-dout¡speríodosrelativaà deum indivíduoiletrado;
Q uandooindivíduoestá naescolaelenãotrabalha. A comprade´(t¡s)unidades deserviços educacionais garantequeocapitalhumanodoindivíduocresçaà taxa'(t¡s). A qui éfeitaahipótesedequeatecnlogiadeeducaç ã oapresentadescontinuídade: ouoalunoadquireas´(t¡s)unidadesdeserviçodeeducaç ãoquandojá estudout¡sanosouretira-sedaescola. A dependênciadosserviços deeducaç ãocom relaç ã oaotempodeescolacaptaofatoquequantomaiseducadoum alunofor, mais serviçosdeeducaç ãotem queconsumirparaelevarseucapitalhumano. Istoé:
d́d(t¡s)
¸0 :
Seguede(9 ) quequandonaescolaocapitalhumanoevolui segundo:
H(s;t)=H(s;s)eRts '(t
0¡s)dt0: (12)
Portanto, aosairdaescolaoindivíduoacumulou
H(s;T + s)=eRT + ss '(t0¡s)dt0=eÁ(T) (13)
unidadesdecapitalhumano, emque:
Á(t¡s)́Zt
0'(t0¡s)dt0: (14)
Carregará estasatéo…m desuavida.A expressã oqueestabeleceoganhodeprodutividadeassociadoaeducaç ã o
éestimadapelosetudosdeeconomiadotrabalho. Supõe-seque:
Á(0 )=0 , limh¡! 1
Á(h)=G < 1 , Á0(h)> 0 eÁ(h)00< 0 : (15)
Paraafunç ã odeganhomarginalsupõe-seque:
'(0)= B ·1 , limh! 1
'(h)=0 , '0(h)< 0 , limh! 0
'0(h)=¡1 :
H á umaprobabilidadedemorteehá um seguro. O contratocom asegu-radorarezaqueem trocaderecebertodariquezadoindivíduoem casodeseufalecimento, a seguradorapagaaoindivíduoumataxade juros acimadademercado. A diferençaentreambaséaprobabilidadedemorte. Esteéomotivodataxadejurosefetivaaosolhosdoindivíduoserr(t)+ p16.
16Estaformadetratarincertezaquantoà datademorteencontra-seem Y aari (19 65).
8
N asegundaetapadevidaoindivíduoresolve:
maxZ1
T +se¡(½+p)(t¡(T +s))
c(s;t)1¡1¾ ¡1
1 ¡ 1¾
dt; (16)
sujeitoa:
¢a(s;t)=(r(t)+ p)a(s;t)¡c(s;t)¡H(s;T + s)I(s;t); (17 )
a(s;T + s)=E
emque:
I(s;t)-... éarendadeum trabalhordesquali…cado, nascidoem snoinstantet.
Paracadaumadasetapasdevidaoper…ldoconsumoserá omesmo, dadopelaequaç ãodeEuler17 :
c(s;t) = c(s;s)e¾Rts(r(t
0)¡½)dt; (18)
c(s;t) = c(s;T + s)e¾RtT + s(r(t
0)¡½)dt: (19 )
Paraqueatrajetóriadoconsumo…quebemdeterminadaénecessá rioconhecer-seoconsumoincialemcadaumdasetapasdevida. Substituindo-seatrajetóriadoconsumonarestriç ã oorçamentáriaitertemporalparacadaetapasegue:
c(s;s) = A¡11 [¡a(s;T + s)R (s;T + s)¡g(s;T + s)]; (20)c(s;T + s) = A¡12 [a(s;T + s)+ eÁ(T)h(s;T + s)]; (21)
A 1 ´ZT +s
se¡
Rts((1¡¾)r(t
0)+¾½+p)dt0dt; (22)
A 2 ´Z1
T + se¡
RtT + s((1¡¾)r(t
0)+ ¾½+p)dt0dt; (23)
g(s;T + s) ´ZT +s
s´(t¡s)q(t)R (s;t)dt; (24)
h(s;T + s) ´Z1
T + sI(s;t)R (s;t)dt e (25)
R (s;t) ´ e¡Rts(r(t
0)+p)dt0: (26)
L embrandoqueoindivíduodeixaumadívidaparaasegundaetapadevida,istoé, que a(s;T + s) < 0 segue da equaç ã o (20) que o consumo inicialéa propenç ã omarginala consumir(istoéA¡11 ) da riqueza que gastará comconsumonestaetapade suavida. Estaporsuavez éadívidaque deixará
1 7 EstaescolhatomaT ea(s;T + s)= E dados. Em umasegundaetapaencontrar-se-á estasvariá veis.
9
menos os gastos com aescolaem valorpresente(expressã o(24)). A equaç ã o(21) tem interpretaç ã oaná logaem queaexpressã o(25) representaariquezahumanadeum trabalhadoriletradoequivalente. A equaç ã o(26) determinaopreçorelativointertemporal, aosolhosdoconsumidor, deumaunidadederendaem tem unidadesderendaem s.
2.2.2 EscolhadaEducaç ã o
Substituíndo-se(18) e(19 ) nautilidadeintertemporaldeum indivíduonascidoem s:
U s=ZT + s
se¡(½+p)(t¡s)
c(s;t)1¡1¾ ¡1
1 ¡ 1¾
dt+ e¡(½+p)TZ1
T +se¡(½+p)(t¡(T + s))
c(s;t)1¡1¾ ¡1
1 ¡ 1¾
dt
(27 )
segue:
Vs=¾
¾¡1
hc(s;s)
¾¡1¾ A 1 + e¡(½+p)T c(s;T + s)
¾¡1¾ A 2
i: (28)
Substituíndo-se(20)e(21)em (28)emaximizandocomrelaç ã oaa(s;T + s)eT segue:
a(s;T + s)R (s;T + s)=»T2»Tw(s;s)¡R (s;T + s)eÁ(T)h(s;T + s) (29 )
e:
'(T)eÁ(T)h(s;T + s)=eÁ(T )I(s;T + s)+ ´(T )q(T + s) (30)
emque:
»T ´
»T 1 +
»T2; (31)
»T 1 ´ A 1 ; (32)»T2 ´ e¡(½+p)¾T R 1¡¾(s;T + s)A 2; (33)
e:
w(s;s)́ R (s;T + s)eÁ(T)h(s;T + s)¡g(s;T + s): (34)
A equaç ã o(29 ) estabalecequeovalorótimodadívidadeixadaparaase-gundaetapadevidaéafraç ã odariquezatotalaonascer(w(s;s)de…nidaem
(34)) quedesejagastarnestaetapadesuavida(»T2»T)menosaquiloqueganhará
quandoativo. Em (34) ariquezatotalaonasceréovalorpresentedasrendasfuturasdotrabalhomenosovalorpresentedosgastoscomaescola.
10
Substituíndo-se(29 ) em (20) elembrando-sede(34) segue:
c(s;s)=w(s;s)»T
:
Portantoatrajetóriadoconsumonãoapresentadescontinuidade. Segue:
c(s;t)=w(s;s)»T
e¾Rts(r(t
0)¡½)dt0, paratodot> s: (35)
A condiç ã omarginal(30) estabalece queotempoótimode estudodá -sequandoovalorpresentedosbenefíciosdeumaunidadeadicionaldeeducaç ã o
'(T)eÁ(T)h(s;T + s)
forigualaocustomargianal, que, porsuavezécompostodedoistermos: ocustodeoportunidadedotempomaisamensalidadedaescola, amboscalculadosnotempodeparada:
eÁ(T )I(s;T + s)+ ´(T)q(T + s):
U maoutraformadeinterpretaroresultado(30) écom oauxíliodanoç ã odetaxainternaderetornodaeducaç ão. D e…ne-seataxainternaderetornodaeducaç ãoentretet+ ¢ tcomoataxadedescontoqueigualaovalorpresentedarendadotrabalhoapartirdet, líquidadoscustodaeducaç ãoatét, com ovalorpresentedarendadotrabalhoapartirdet+ ¢ t, líquidados custos daeducaç ãoatét+ ¢ t18 . Istoé, ataxaR paraaqual:
Z1
T +se¡R (t¡(T +s))eÁ(T)I(s;t)dt¡
ZT +s
se¡R (t¡s)́ (t¡s)q(t)dt
=Z1
(T +¢T)+se¡R (t¡((T +¢T)+ s))eÁ(T +¢T)I(s;t)dt¡
Z(T +¢T)+s
se¡R (t¡s)́ (t¡s)q(t)dt:
Tomandoolimitepara¢ ttendendoà zeronestaúltimaequaç ã oeimpondo-se
e¡R (t¡t0)´R (t;t0)
obtém-se(30). Portanto, nomomentodeparadaataxainternaderetornodaeducaç ãoéigualà taxadejurosdemercado19 .
1 8 V erW illis, pag. 531.1 9 N as palavras de M incer: “Investments in people are time consuming. Each additional
periodofschoolingorjob trainingpostpones thetimeofthe individual’s receiptofearningsandreduces thespanofworkinglife, ifheretireata…xedage. T hedeferralofearnings andthepossiblereduction ofearninglifearecostly. T hesetimecosts plus directmoneyoutlaysmake up the totalcostofinvestment. B ecause ofthese costs investmentis notundertakenunless itraises the levelofthedeferred income stream. H ence, atthetime itis undertaken,thepresentvalueofrealearnings streams with andwithoutinvestmentareequalonly atapositive discountrate. T his rate is the internalrate ofreturn on the investment.” (19 7 4,pg.7 ).
11
Finalmenteépossívelobter(30)apartirdarestriç ã oorçamentáriaintertem-poral. U m cá lculodiretomostraque(30) ésoluç ãodoseguinteproblema20 :
maxT
"Z1
T +sR (T + s;t)eÁ(T)I(s;t)dt¡
ZT + s
sR (s;t)́(t¡s)q(t)dt
#:
Valeressaltarqueacondiç ã o(30)estabaleceumacomparaç ã oentreumcustoinstatâneo(nomomentodeparada) com um benefíciofuturo(destemomentoem diante). Seguequeahistóriapassadadoprocessoeducacionalnãodesem-penhapapelalgumnadecisãodoindivíduo. Porexemplo, seogovernosubsidiaraeducaç ã oatéum instantequeantecedeoinstanteT escolhidopeloconsumi-dorporumaquantidadearbitrariamentepequena, aexistênciadosubsídionã oalteraaescolhaótimadoconsumidor. A ssim, umensinopúblico…nanciadoporimpostosnã odistorcivosatéosecundá rionã odistorcerá aeconomiaseoindi-víduoescolher, naausênciadosubsídio, um níveldecapitalhumanosuperioraosecundá rio. D estaforma, fazmais sentidoqueogovernosubsidieos níveismaisbá sicosdeeducaç ã odoqueonívelsuperior.
2.3 D iscussãoEm geralnã oépossívelencontraranaliticamenteasoluç ã odadinâmicatran-sitória. Istoporquenestemodelodegeraç ões sobrepostas cadageraç ã oteráumaescolhaótimadistintadecapitalhumano. Estasomenteserá amesmanoestadoestacioná rio. Portantodeseja-sesabersobquecircunstâncias omodeloapresentaumasoluç ã odecrescimentobalanceado. U matrajetóriadecresci-mentobalanceadacaracteriza-sepelaconstânciadataxadejuros21. Seguequenoestadoestacioná riosehouver, (30) podeserescrita:
'(T)eÁ(T)+gsZ1
T +sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T + s))dt=eÁ(T)+gsI¤(s;T + s)+ q(T + s)́(T)
(36)
em queotermoI(s;t)foi substituidoporegsI¤(s;t)eotermoI(s;T + s)poregsI¤(s;T + s).
Emgeralestaeconomianã oapresentará trajetóriadecrescimentobalanceado.O benefíciodaeducaç ã oestá acrescerà taxag, omesmoocorrendocomocustodeoportunidadedotempo. N oentantooscustos com aescolanã onecessaria-mente. Seoprogressotécniconosetoreducacionalfornuloeseesteempregarsomentetrabalho(istoé, se®2 = 0 ) seguede(6) queopreçodamensalidadeda escola estará crescendo à taxag. N esta condiç ã oobtém-se umadecisã oconstanteparaT . N oentanto, em geralotermo
q(T + s)́(T)
20B ils eKlenow(19 9 8) obtiveram umaexpressã opróximaaestaporesteprocedimento.21V erKongsamut, R ebeloeX ie (19 9 7 ).
12
estará crescendoataxa(1¡®2)¡< g. Sobestascondiç õesasgeraç õesmaisnovasestarã oescolhendoacumularmais capitalhumanodoqueas geraç ões aelasanteriores. N estasituaç ã ootempoótimodeestudoestará assimptoticamentetendendoa:
'(T)eÁ(T)Z1
T + sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T +s))dt=eÁ(T)I¤(s;T + s) (37 )
porvaloresmenoresdoqueT umavezqueotermo
q(T + s)́(T)e¡gt
está tendendoà zero. Istoé, ocustodamensalidadedaescolanomomentodeingressonomercadodetrabalhoserá muitopequenoem comparaç ã oaoganhomarginalesperadodocapitalhumano, ou em comparaç ã oaocustode opor-tunidadedotempo. A pesardos serviços deeducaç ã oem comparaç ã oà mer-cadoriaestarem…candomaiscaros, obenefíciodaeducaç ã olíquidodocustodeoportunidadedotempocresceà taxadoprogressotecnológicoenquantoqueamensalidadedaescolacresceaumataxamenor. D itodeoutraforma, há nomodeloumaassimetriaentreobemdeconsumoeocapitalhumano: apesardeambosseremproduzidosportecnologiassemelhantes, oprimeiroconstitui umavariá velilimitadaenquantoqueosegundoumavariávellimitada. Conformeaeconomiacrescepormeiodoprogressotécnicopoupadordetrabalhooprodutodosetorqueproduz amercadoriadeconsumolimitadorelativamenteaopro-dutodooutrosetortendeazero. Paraque istonã oocorraénecessá rioqueastecnologiasfaçam com queavariaç ã odopreçotorneoconsumodeserviçosdecapitalhumanoumavariá velque, medidaem unidades debens, cresça àmesmavelocidadedoproduto. U maoutramaneiradegerarumatrajetóriadecrescimentobalanceadoseriaconsiderarquecom opassardotempoaquanti-dadedeserviçoseducacionaisconsumidosparaelevarocapitalhumanodeumindivíduo, istoé´, estajaacrescerà taxag¡(1 ¡®2)¡, desortequeotermoq́ cresçaà taxag.
Seguequeomodelopodesersolucionadosob duas hipóteses com relaç ã oaocomportamentodopreçorelativoda educaç ã o. Se nã ohouverprogressotecnológiconasescolaseseestassomenteempregaremtrabalho, otempoótimodepermanêncianaescolaserá determinadoapartirde:
'(T)eÁ(T)Z1
T + sI¤(s;t)e¡(r+p)(t¡(T +s))dt=eÁ(T )I¤(s;T + s)+ q¤́ (T) (38)
emqueq¤egt´q(T + s). Casocontrá rioemprega-seaexpressã o(37 ).Todaaaná lisefeitaatéomomentoconsiderouqueoproblemadeescolha
doindivíduoestivessebemdeterminado. Istoé:
d2
dT 2
"Z1
T + sR (T + s;t)eÁ(T)I(s;t)dt¡
ZT + s
sR (s;t)́(t¡s)q(t)dt
#·0 (39 )
aomenosquandocalculadanoestadoestacioná rio, istoé, tomandoataxadejurosconstante. A condiç ã o(39 ) énecesssá riaparaqueoextremoencontrado
13
pormeiode(30) sejadefatoum máximolocal. N oentantoistonem sempreéverdade. Seja:
ª(T )́ '(T)eÁ(T)h(s;T + s)¡eÁ(T)I(s;T + s):
Como d́ (T)dT ¸ 0 22 umacondiç ã o su…ciente paraquea escolha sejabem
de…nidaéque dªdT < 0 . É fá cilveri…carque:
1 > ª(0 )> 0 > ª(_T)> ¡1 , ª0(0 )< 0 e ª0(
_T)< 0
emque:_T -... instanteapartirdoqualoindivíduoretira-sedomercadodetrabalho.
N oentantoépossívelqueparaalgum 0 < T <_T osinaldaderivadadeª
sejapositivo. Paraocasoem queocustodaescolasejamuitobaixo(nolimitenulo) aescolhaserá bem comportada, poiséfá cilmostrarque:
dªdT
< 0 se ª=0 .
Em geral, mesmoquandohouvermais de uma soluç ã oparaª(T)= q́ (T)haverá ummáximolocallocalmentebemcomportado. Todaaanáliseserá feitaconsiderandoestasoluç ã o23.
A téaqui nã oseconsiderou estetempode saídadomercadodetrabalho.N estecontextodegeraç õessobrepostasfazsentidosuporqueaspessoasaposentam-se. Tambémérazoávelsuporqueestetemposerá maior, tã omenorforaprob-abilidadedemorteou, oqueéomesmo, tãomaiorforaexpectativadevidaaonascer. Istoé, emgeral
_T =
_T (+p).
Supondoasoluç ãodecrescimentobalanceadoesupondoextremoregularseguequeotempodeingressonomercadodetrabalhoserá maiorquantomaiselevadoforoper…lde salários (I¤(s;t)), quantomenorfora taxade juros,quantomenorforaprobabilidadedemorteequantomais barataforaescola.Estaestá ticacomparativaem um dadoinstanteserá amesmaparaocasodeausênciadecrescimentobalanceado.
Paraocasoemquenã ohá crescimentobalanceado, ocustodaescolafrenteaobenefíciodaeducaç ã oestará acairaolongodotempo. Portantoomod-eloprevê que para um passado su…ciente remotoos salá rios dotrabalhadordesquali…cadoeratã obaixofrenteaoscustosdaescolaqueaescolhaótimaeranãoestudar. (Istoéª(0 )< ´(0 ).) Com opassardotempoabalançapen-deuparaoladodaeducaç ã oepassouasereconomicamenteviá veleducar-se.Estahistóriaestá deacordocom aevoluç ã odopapeldaeducaç ão. A noç ã odaeducaç ãocomoumbem econômicoébemrecente. D eve-seaostrabalhosda
22Seos serviç os deeducaç ã oalterarem-secom otempoorazoá veléquecresç am.23Comoapontá do, paraocasoemqueamensalidadedaescolasejasu…cientementepequena
asoluç ã oserá sempreúnicaebem comportada.
14
décadadesessentadeSchultzeB ecker. A ntesdestesautoresacreditava-sequeaprincipalfunç ã odaeducaç ã ofosserelacionadaaquestões decidadaniaedeintegraç ãodapopulaç ã oà sociedadeouaum certopadrãodesociabilidadeouaindacomocondiç ã oparafazer-separtedealgumgrupoouestamento. N ota-sequenomodeloesteresultadonãosedeveà umaelevaç ã odoprêmiosalarialdaeducaç ão. Esteganho, comomedidopelafunç ão', ésupostonã osealterarcomopassardotempo. O importanteéoimpactodiferencialdoprogressotécnicopoupadordetrabalhosobreoscustosebenefíciosdaeducaç ão.
2.4 ConsumonoEstadoEstacionárioA téestepontodeixou-sedefazerdiversas hipóteses simpli…cadoras. H aviaanecessidadedeentendermelhoroproblema, emparticulardeestudarsobquaiscondiç õesestaeconomiaapresntariacrescimentobalanceadoounão. Tendojáentendidoestaquestã odeagoraem diante:
(i) oper…ldesalá rios, istoé, afunç ã oI¤(s;t)será constante. O useja, I´egtI¤, em queI¤éconstante24;
(ii) após_T períodosdonascimentooindivíduoaposenta-se25;
(iii)osserviçosdeeducaç ã onã ocrescerã ocomograudeescolaridadedoaluno(́ 0(t¡s)=0 , ´=cte).
Seguede(35) queoconsumonoestadoestacioná riocomporta-se:
c(s;t)=w(s;s)»T
e¾(r¡½)(t¡s) (40)
emque26:
w(s;s)=egs"e¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)
1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)
r+ p¡g¡q¤́
1 ¡e¡((r+p)¡g)T
r+ p¡g
#
(41)24O seconomistasdotrabalhoidenti…cam um comportamentoparabóliconologarítmicodos
salá rios devido à experiêncianotrabalho. Experiência notrabalhoémedidopeloganhodesalá rioobtidopelotempoadicionalnoemprego. N ota-sequeesteefeitonã oestá associadoàidadedotrabalhador. (V erM incer(19 7 4), cap. 4, pg.7 0.) Esteefeitopoderiasercaptadopelomodelofazendo-seI ¤(s;t)variarcom aexperiência, istoécom t¡(T + s). Evidentemente, sobestahipótese, aescolhaótimadoinstantedeingressonomercadodetrabalhoaltera-se, vistoquesurgeum custoadicionalà educaç ã o: oadiamentodoprocessodeaquisiç ã odeexperiêncianotrabalho.
25P otanto, cadaanoadicionalnaescolareduz avidaativadeum período. É possívelquepessoas queestudam mais retiram-sedavidaativadepois. P orexemploM incer(19 7 4), pg8argumentanestas linhas. Esteaspéctoprecisa sermelhorinvestigadoem versões posterioresdesteestudo. Pormomentomantém-seahipótesedequeaidadederetiradadomercadodetrabalhonã oéafetadapelocapitalhumano. É possívelqueestaidadeestejamais associadaà probabilidadedemortee, queos indivíduos queestudem mais sejam os quetenham maiorexpectativadevida. Se este forocaso, comoeste émodeloque supõe indivíduotípico, fazsentidotomarestadatacomo…xaumavez que p está …xada.
26Seguede(34).
15
e27 :»T =
1(1 ¡¾)r+ ¾½ + p
: (42)
Paracalcular-se(41) faz-seI¤(s;T + s)=I¤eg(T + s)eq¤(s)= q¤egs. Seomodelonãoapresentarsoluç ã odecrescimentobalanceadosegue:
w(s;s)=egse¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)1 ¡e¡((r+p)¡g)(
_T¡T )
r+ p¡g(43)
vistoqueocustodaescolaassiptoticamentetendeà zero.
3 A gregaç ã o3.1 D emogra…aO s indivíduosnascem em s, estudam desatéT + seaposentam-seem
_T .
A cadainstantenascem (n+ p)entpessoas. Seja:
N (t)-... populaç ã ototal;
N (s;t)-... apopulaç ã odosnascidosem svivosem t;
N 1 (t)-...populaç ãonaescola;
N 2(t)-...populaç ãoeconomicamenteativa;
N 3(t)-...populaç ãoaposentada.
A téaqui apopulaç ã oeconomicamenteativahaviasidorepresentadaporL .D istinguia-se oempregopelosetor: L 1 e L 2. Segue, portantoaconvenç ã o:L ´N 2.
O s indivíduosdeparam-secom umaprobabilidadedemortep, desorteque
N (s;t)=(n+ p)enste¡p(t¡s): (44)
Somandoentregeraç õesobtém-se:
N 1 (t) = ent(1 ¡e¡(n+p)T); (45)
N 2(t) = ent(e¡(n+p)T ¡e¡(n+p)_T)
N 3(t) = ente¡(n+p)_T :
Evidentemente:
N 1 (t)+ N 2(t)+ N 3(t)=N (t)=ent: (46)2 7 Seguede(33).
16
3.2 ConsumoSomandooconsumoindividualparatodasas geraç ões, substituíndo-se(40) e(44) em:
C(t)=Zt
¡1N (s;t)c(s;t)ds (47 )
segue:
C(t)=w»T
n+ pn+ p¡¾(r¡½)
ent (48)
desdeque:
n+ p¡¾(r¡½)> 0 (49 )
paraqueaintegralimprópriaem (47 ) possasercalculada. Em (48)we»T sã o
dadospor(41) e(42).
4 EquilíbrioG eraldeL ongoPrazoComovisto, estemodeloapresentaparaumaparticularsuposiç ã oquantoàstecnologiasumatrajetóriadecrescimentobalanceada. Istoocorrequandonãohá progressotécnicono setoreducacionale este somente emprega trabalho.Segundoestashipótesesparaquehajaumatrajetóriadecrescimentobalanceadodopontodevistadaproduç ã oénecessá rioqueopreçorelativodaeducaç ã oestejaacrescerà taxadeprogressotécnicodosetordebens28 . D opontodevistadademandadoindivíduoestaéacondiç ã oparaqueadecisã odoquantidadeótimadeeducaç ã onã osealterecom opassardotempo29 . Istoporquenestacondiç ã oobenefíciodaeducaç ã olíquidodocustodeoportunidadedotempoestá crescendoà taxadeprogressotécnicodosetordebens - pois os salá riosestá acrescerà estataxa- enquantoqueooutrocustodaeducaç ã o, qualseja,amensalidadedaescola, tambémestá acresceraestataxa.
N estaseç ã osoluciona-seomodeloparaoequilíbriodelongoprazosobestashipóteses quantoaoprogressotécnico: énulonosetoreducacionaleestenã oempregatrabalho. A primeiraequaç ãodeequilíbrioéacondiç ã odeequilíbrionomercadodebens: noestadoestacioná riooconsumoéigualaoprodutomenosadepreciaç ã oefetivadocapital. Segueaequaç ãodeequilíbrionomercadodeed-ucaç ã o. Sobahipótesedequeestesetorsomenteempregatrabalhoestaequaç ã odeterminaoempregonosetoreducacionale, consequentemente, oempregonosetordebens. A terceiraequaç ã oéacondiç ã omarginaldotempoótimodesaídadaescola. Finalmentesegueaequaç ãodeequalizaç ãodos salá rios entreossetores, quandomedidosnamesmaunidade.
2 8 V erequaç ã o(6).2 9 V er, porexemplo, equaç ã o(36).
17
A equaç ã odeequilíbrionomercadodebensseguede:¢K=A 1 F 1 (K1 ;egtHL 1)¡C(t)¡±K: (50)
D ividindoambososladospelaquantidadetotaldetrabalhoL H(T)egt, lembrando-
sedequek´ K(t)L (t)H(T )egt,
¢k=0 , equec¤= C(t)
N (t)H(T)egt segue:
c¤=LN[L 1LA 1 f1(k1)¡(n+ g+ ±)k]: (51)
A equaç ã o(51) éaofertadebensnolongoprazo. Paraobter-seaequaç ã odeequilíbrionomercadodebensseguede(48), (42) e(41) que:
c¤=1»T
n+ pn+ p¡¾(r¡p)
"e¡((r+p)¡g)TI¤eÁ(T)
1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)
r+ p¡g¡q¤́
1 ¡e¡((r+p)¡g)T
r+ p¡g
#:
(52)
A igualdadede(51)e(52)constituiaprimeiracondiç ã odeequilíbrio. A segundaequaç ã odeequilíbrioéaequaç ã odeequilíbrionomercadodeeducaç ã o. Ademandatotalporeducaç ã oéoprodutodonúmerodealunos com os seviçoseducacionaisconsumidoporcadaestudante(N 1 ´), enquantoqueaofetaédadapeloempregonestesetor30 (A 2H(T)L 2). Segue:
l2 =N 1
L´
A 2H(T). (53)
A terceiracondiç ã odeequilíbrioseguede(38):
eÁ(T)I¤"'(T)
1 ¡e¡((r+p)¡g)(_T¡T)
r+ p¡g¡1
#=´q¤: (54)
A quartacondiç ã oseguede(5):
q¤A 2 =(1 ¡® 1)A 1k® 1¡11 . (55)
Finalmentedascondiç õesdeequilíbrionomecadodefatoressegue:
k1 =KL 1
=kl1, (56)
l1 + l2 = 1 ,I¤ = (1 ¡¿L )(1 ¡® 1)A 1k® 1¡11 er = (1 ¡¿K)® 1 A 1k® 1¡11 ¡±.
N as equaç ões (56) os impostos distorcivos sobre os fatores de produç ã o sã odevolvidosdeformalumpsum às famílias.
30 N estepontotem-se que lembrarque nã ohá progressotecnológiconeste setore que elenã oempregacapital.
18
O modelopodeserresolvidonumericamenteparaasvariá veisk(our), T ,q¤el1 . Estemodelopodeserempregadoparadiversosexercícios. Porexemploépossívelencontrarqualéoefeitosobreoestímuloà acumulaç ãodecapitalhumanodeumareduç ã odoimpostosobreotrabalho.
Paraocasoem queomodelonãoadmite trajetória de crescimentobal-anceadoa soluç ã oobtém-seapartirdas mesmaequaç ões com ligeiras alter-aç ões: ariquezadoindivíduonãotem otermoassociadoaocustodaescola(queassimptoticamenteénulo), oprodutodaescolaénulo(portantotodosocapitaletrabalhoestá alocadonosetorprodutordebens) eaescolhaótimadaquantidadedeestudoédadapor(37 ).
5 ConclusãoEstetrabalhoapresentouum modelodeacumulaç ã oqueintegraadecisãodeacumularcapitalcom adecisã odeacumularcapitalhumano, esteúltimocomotratadopalocampodeeconomiadotrabalho. Sabe-sequeadotaç ã odecapitalhumanoéum elementoimportanteparadescreveradiversidadeabservadaderendapercapita entreas economias31. Poroutrolado, pormotivos teóricos econceituais, bem comoporquestões empíricas, aformadefaze-loqueparecemaisconvenienteépormeioderegressõesdeM incer32. Faltavaum modelodecrescimentoqueestudasseadecisãodeestudarem um contextodeequilíbriogeral, comocapitalfísicodeterminadoendogenamente. Estetrabalhopretendeupreencheresta lacuna. A creditoque estemodelopossa serempregadoparadiversosexercícios, comoporexemplooestudodoimpá ctodepolíticassobreadecisã odeacumulaç ã odecapitalhumano.
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21
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