DSP فرمولهای پردازش سیگنال دیجیتال

Signals & Systems Processing By: Ali.Alijani

2

جداولفهرست

شماره صفحهجدولعنوان

3ضرايب سري فوريه برخي سيگنال هاي مهم پيوسته در زمان

4- 5خواص سري فوريه پيوسته در زمان

6سيگنال هاي مهم پيوسته در زمانتبديل فوريه برخي

7- 8 خواص تبديل فوريه پيوسته در زمان

9 ضرايب سري فوريه برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان

10- 11خواص سري فوريه گسسته در زمان

12 تبديل فوريه برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان

13- 14 خواص تبديل فوريه گسسته در زمان

15معادالت سري و تبديل فوريه پيوسته و گسسته در زمانخالصه

16تبديل الپالس برخي سيگنال هاي مهم پيوسته در زمان

17خواص تبديل الپالس

18 برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان Zتبديل

Z 19خواص تبديل


3

ضرايب سري فوريه سيگنال

0jx (t) e tω= k

1 k 1a

0 k 1=⎧

= ⎨ ≠⎩

0x(t) cos ( t)ω= k

1 k = 1a 2

0 k 1

⎧ ±⎪= ⎨⎪ ≠ ±⎩

0x(t) sin ( t)ω= k

1 k 12j

1a k 12j

0 k 1

⎧ =⎪⎪⎪= − = −⎨⎪⎪ ≠ ±⎪⎩

x (t) 1= k

1 k 0a

0 k 0=⎧

= ⎨ ≠⎩

nx (t) (t n )δ

+∞

=−∞

= − Τ∑ T1ak =

1

1

1 t Tx (t) T0 T t

2x (t) x (t-T)

⎧ <⎪= ⎨

≤ <⎪⎩=

0 1 0 1 0 1k

T k T sin (k T )a sinck

ω ω ωπ π π

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

ضرايب سري فوريه برخي سيگنال هاي مهم پيوسته در زمان - 1جدول


4

ضرايب سري فوريه سيگنال متناوب خاصيت

x (t) 0متناوب با دوره تناوبT و فركانس پايه

00 T

2πω = ka

y(t) 0متناوب با دوره تناوبT و فركانس پايه

00 T

2πω = kb

Ax(t) By خطي بودن (t)+ kk BbAa +

جابجايي زماني 0x (t t )− 0 0-jk

ka e tω

0e جابجايي فركانسي x(t)jM tω M-ka

∗ ∗x(t) مزدوج گيري k-a

)x وارونگي زماني t)− k-a

زماني تغيير مقياس

x( t) 0α α >

0T متناوب با دوره تناوب اصلي α

ka

كانولوشن متناوب0T

x ( ) y (t ) dτ τ τ−∫ kk0 baT

y(t)x L(t) ضرب در حوزه زمان k-LL

a b+∞

=−∞∑

حوزه زمانمشتق در td(t)xd

k0 akj ω

x انتگرال در حوزه زمان (t) فاقد مؤلفه DC ∫∞

t

-

d)(x ττ 0kkja

0

k ≠ω

x (t)x)(t حقيقي x) t( تقارن سيگنال هاي حقيقي ∗=

{ } { }{ } { }

k -k

k -k

k -k

k -k

k -k

a aRe a Re a

Im a Im a

a a

a a

∗

∗

∗

=

=

= −

=

= −

x حقيقي و زوج t (x( تقارن سيگنال هاي حقيقي و زوج (t) x (t) x ( t)∗= = − kaحقيقي و زوج k-kk aaa == ∗

x فرد حقيقي و t (x( تقارن سيگنال هاي حقيقي و فرد (t) x (t) x ( t)∗= = − − kaموهومي و فرد k-kk aaa −=−= ∗

x(t)x)(xt(t) حقيقي x) t( تجزيه زوج و فرد سيگنال هاي حقيقي 0e +=

{ } { } { } { }kkkkk aoddaveaImjaRea +=+=

} برابر است با t)(Xeضرايب فوريه } { }kk aveaRe =

oXفوريهضرايب (t) برابر است با{ } { }kk aoddaImj =


5

رابطه پارسوال براي سيگنال هاي

متناوب ∫ ∑

+∞

∞=

==0T -k

2k

2

0x atd(t)x

T1P

خواص سري فوريه پيوسته در زمان - 2جدول


6

تبديل فوريه سيگنال

0j tx (t) e ω= 0X(j ) 2 ( )ω πδ ω ω= −

t)(cos(t)x 0ω= [ ])()-()(jX 00 ωωδωωδπω ++=

t)(sin(t)x 0ω= ( ) ( )[ ]00j)(jX ωωδωωδπω +−−=

1(t)x = ( ) )(2jX ωπδω =

t)((t)x δ= ( ) 1jX =ω

0x (t) (t t )δ= − ( ) 0t-jejX ωω =

t)(u(t)x = ( ) )(j1jX ωπδω

ω +=

{ }-ax (t) e u(t) , Re a 0t= > ( )ω

ωja

1jX+

=

{ }n -a tx (t) t e u (t) , Re a 0= > 1n)j(a

!n)(jX ++=

ωω

n -

x (t) (t n T)δ+∞

= ∞

= −∑ ( ) ∑+∞

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

-k Tk2

T2jX πωδπω

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π=

Tt0

Tt1T2t(t)x ( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==πω

ωωω TcsinT2Tsin2jX

tt)(Wsin(t)x

π=

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

W0

W12W

)(jXω

ωωω

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ=

Tt0

TtTt

-1Tt(t)x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=π

ωω2

TcsinT)(jX 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ππ 2

Wtcsin2W(t)x 2 ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ=

W0

WW

-1W

jXω

ωω

ωω

0e(t)x t- >= αα ( ) 222jXωααω+

=

تبديل فوريه برخي سيگنال هاي مهم پيوسته در زمان -3جدول


7

تبديل فوريه سيگنال نامتناوب خاصيت

(t)x )(jX ω

(t)y )(jY ω

Ax خطي بودن (t) By (t)+ A ( ) ( )X j BY jω ω+

جابجايي زمان 0x (t t )− 0-j te X (j )ω ω

0je فركانسيجابجايي x(t)tω 0X (j( ))ω ω−

∗x(t) مزدوج گيري X ( j )ω∗ −

x وارونگي زماني ( t)− X ( j )ω−

x(t)*y كانولوشن در حوزه زمان (t)

)(jY)(jX ωω

y(t)x(t) ضرب در حوزه زمان 1 X (j )*Y (j )

2ω ω

π

تغيير مقياس زماني و

فركانسي t)(ax ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

aX

a1 ω

X 2(t) دوگاني ( )xπ ω−

مشتق در حوزه زمانtd(t)xd

)(jXj ωω

∫ انتگرال در حوزه زمان∞

t

-

d)(x ττ )((0)Xj

)(jX ωδπωω

+

−xtj(t) مشتق در حوزه فركانس

ωω

d)(jXd

x انتگرال در حوزه فركانس (t) x (0) (t)j t

π δ− + ∫+∞

ωud(u)X

تقارن سيگنال هاي

حقيقي )t (x حقيقي x (t) x (t)∗= { } { }

{ } { }

*

*

X (j ) X ( j )

Re X (j ) Re X( j ) X (j ) X ( j )

Im X (j ) Im X ( j ) X (j ) X ( j )

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

∗= −

= − = −

= − − = − −


حقيقي و زوج

)t (x و زوج حقيقي

x (t) x ( t) x ( t)∗= = −

)(jX ω حقيقي و زوج X (j ) X ( j ) X ( j )ω ω ω∗= = −


حقيقي و فرد

)t (x و فرد حقيقي

x (t) x (t) x ( t)∗= = − −

)(jX ωموهومي و فرد X (j ) X ( j ) X( j )ω ω ω∗= − = − −


8

تجزيه زوج و فرد سيگنال

هاي حقيقي

)t(xحقيقي

t)(xt)(x(t)x 0e +=

{ } { } )j(X)j(X)(jXImj)(jXRe)(jX 0e ωωωωω +=+=

برابر است با t)(Xeتبديل فوريه

{ } )j(X)(jXRe e ωω =

برابر است با t)(X0تبديل فوريه

{ } )j(X)(jXImj 0 ωω =

سطح زيرمنحني سيگنال ∫+∞

∞=

-td(t)x(0)X

سطح زير منحني تبديل

فوريه ∫+∞

∞=

-d)(jX(0)x2 ωωπ

رابطه پارسوال براي

سيگنال هاي نامتناوب∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−== ωω

πd)(jX

21td(t)xE 22

x

خواص تبديل فوريه پيوسته در زمان - 4جدول


9

ضرايب سري فوريه گسسته سيگنال

[ ] nj 0enx ω=

πمضرب گويا از 0ω: فرض k 0

1 k m,m N, m 2N,...2ma

N0 other k

πω

= ± ±⎧⎪⎪= =⎨⎪⎪⎩

[ ] ( )ncosnx 0ω=


1 k m, m N, m 2N,...2

2maN

0 other k

πω

⎧ = ± ± ± ± ±⎪⎪⎪= =⎨⎪⎪⎪⎩

[ ] ( )nsinnx 0ω=


1 k m,m N,m 2N,...2

1 2ma k m, m N, m 2N,...2 j N

0 other k

πω

⎧ = ± ±⎪⎪⎪= − =− − ± − ± =⎨⎪⎪⎪⎩

[ ] 1nx = k

1 k 0, N, 2N,...a

0 other k

= ± ±⎧⎪= ⎨⎪⎩

موج مربعي متناوب

[ ]

[ ] [ ]nxNnx2NnN0

Nn1nx

1

1

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<

≤=

1

k

1k

12k N2sin

N

a k 0, N, 2 N,....2kNsin2 N

2 N 1a k 0, N, 2 N,....N

π

π

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ≠ ± ±

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+= = ± ±

[ ]k -

n k Nδ+∞

= ∞

−∑ k1aN

for all k=

ضرايب سري فوريه برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان -5جدول


10

ضرايب سري فوريه سيگنال متناوب خاصيت

[ ]x n 0 متناوب با دوره تناوبN و فركانس پايه

00 N

2πω = ka 0 متناوب با دوره تناوبN

[ ]ny و فركانس پايه0N متناوب با دوره تناوب

00 N

2πω = kb 0 متناوب با دوره تناوبN

] خطي بودن ] [ ]nyBnxA + kk bBaA +

] جابجايي زماني ]0x n n− 00nk-jk ea ω

] جابجايي فركانسي ]0jM ne x nω M-ka

] مزدوج گيري ]nx∗ ∗−ka

] وارونگي زماني ]x n− k-a

] انبساط زماني ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=nm0

nmmnx

nx m)(

مضرب

مضرب

kam1

و فركانس پايه 0mN تابع فوق متناوب با دوره تناوب0Nm

2πاست

] كانولوشن متناوب ] [ ]0: (N )

x r y n rr

−∑ kk0 baN

] ضرب ] [ ]nynx 0

L k-L:(N )

a bL∑

] تفاضل اول ] [ ]x n x n 1− − ( ) kk-j ae1 0ω−

جمع انباره اي[ ]∑

∞=

n

-kkx

[ ]nx فاقد مؤلفهDC )0a( 0 = 0kj-

k

e-1a

ω


حقيقي[ ]x n حقيقي [ ] [ ]nxnx ∗= { } { }

{ } { }

k -k

*k -k k -k

*k -k k -k

a a

Re a Re a a a

Im a Im a a a

∗=

= =

= − = −


حقيقي و زوج [ ]nx حقيقي و زوج [ ] [ ] [ ]x n x n x n∗= = − ka حقيقي و زوج k-kk aaa == ∗


حقيقي و فرد [ ]nx فردحقيقي و [ ] [ ] [ ]x n x n x n∗= = − − ka موهومي و فرد k-kk aaa −=−= ∗


11

تجزيه زوج و فرد

سيگنال هاي حقيقي

رابطه پارسوال براي

سيگنال هاي متناوب

[ ]x n حقيقي

[ ] [ ] [ ]e ox n x n x n= +

{ } { } { } { }kkkkk aoddaevaImjaRea +=+=

] ضرايب سري فوريه ]nXe برابر است با:

{ } { }kk aevaRe =

] ضرايب سري فوريه ]oX n برابر است با:

{ } { }kk a oddajIm =

مجموع ضرايب سري

فوريه

[ ] ∑=)(N:k

k0

a0x

مجموع نمونه هاي سيگنال

[ ]∑=)(N:n0

00

nxN1a

ضريب 2

N0 0به ازاءN زوج

( ) [ ]∑ −=)(N:n

n

02N

0

0nx1

N1a

] رابطه پارسوال براي سيگنال هاي متناوب ]∑ ∑=)(N:n )(N:k

2k

2

0 0 0

anxN

1

خواص سري فوريه گسسته در زمان -6جدول


12

تبديل فوريه سيگنال

[ ] nj 0enx ω= ( ) ∑+∞

∞=

−−=-k

0j )k2(2eX πωωδπω

[ ] n)(cosnx 0ω= ( ) ( ) ( ){ }∑+∞

∞=

−++−−=-k

00j k2k2eX πωωδπωωδπω

[ ] n)(sinnx 0ω= ( ) ( ) ( ){ }∑+∞

∞=

−+−−−=-k

00j k2k2

jeX πωωδπωωδπω

[ ] 1nx = ( ) ( )j

k -X e 2 2kω π δ ω π

+∞

= ∞

= −∑

موج مربعي متناوب

[ ]

[ ] [ ]nxNnx2NnN0

Nn1nx

1

1

=+

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤

≤=

( ) ∑

+∞

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

-kk

j

Nk2a2eX πωδπω

[ ] [ ]k -

x n n k Nδ+∞

= ∞

= −∑ ( )j

k -

2 2 kX eN N

ω π πδ ω+∞

= ∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

1

1

Nn0

Nn1nx

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

21Nsin

eX1

j

ω

ωω

[ ]

ππππ

<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

W0

nWcsinWn

(Wn)sinnx ( )ωjeX متناوب با دوره تناوب π2 ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤<

≤≤=

πω

ωω

W0

W01eX j

[ ] [ ]nnx δ= ( ) 1eX j =ω

[ ] [ ]nunx = ( )j-j

k -n

1X e ( 2 k )1 e

ωω π δ ω π

+∞

=

= + −− ∑

[ ] [ ]0x n n nδ= − ( ) 0n-jj eeX ωω =

[ ] [ ]nx n u n 1α α= < ( ) ωω

α j-j

e11eX

−=

[ ] [ ]n(n r l)!x n u n 1n!(r l)!

α α+ −= <

− ( )

( )j

-j

1 X e1 e

rω

ωα=

−

تبديل فوريه برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان - 7جدول


13

تبديل فوريه سيگنال نامتناوب خاصيت

[ ]nx )(eX jω متناوب با دوره تناوب π2

[ ]ny ( )ωjeY متناوب با دوره تناوب π2

] خطي بودن ] [ ]Ax n By n+ ( ) ( )j jAX e BY eω ω+

] جابجايي زماني ]0x n n− ( )ωω jn-j eXe 0

] جابجايي فركانسي ]nxe nj 0ω ( ))-(j 0eX ωω

] مزدوج گيري ]nx∗ ( )ω-jeX∗

] وارونگي زماني ]x n− ( )ω-jeX

] انبساط زماني ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=nk0

nkknx

nx k)(

مضرب

مضرب

( )ωkjeX

] انقباض زماني ]nMx ( )j 2kM-1M

k 0

1 X eM

ω π+

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

كانولوشن در حوزه

زمان

[ ] [ ]x n *y n ( ) ( )ωω jj eYeX

ضرب در حوزه

زمان

[ ] [ ]nynx ( ) ( )( )∫π

θωθ θπ 2

-jj deYeX21

تفاضل گيري زماني [ ] [ ]x n x n 1− −

( ) ( )-j j1 e X eω ω−

] جمع انباره اي ]kxn

-k∑

∞=

( ) ( ) ( )∑

∞+

∞=

−+− -k

jj-

j

k2eXe1eX

0 πωδπω

ω

مشتق گيري

فركانسي[ ]nxn

( )ω

ω

deXdj

j


حقيقي

[ ]x n حقيقي

[ ] [ ]nxnx ∗=

( ) ( )( ){ } ( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ){ } ( ) ( )

j -j

j -j j * -j

j -j j * -j

X e X e

Re X e Re X e X e X e

Im X e Im X e X e X e

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

∗=

= =

= − = −


حقيقي و زوج

[ ]x n وزوج حقيقي

[ ] [ ] [ ]*x n x n x n= = − ( )ωjeX زوج حقيقي و ( ) ( ) ( )ωωω -jjj eXeXeX == ∗


14


حقيقي و فرد

[ ]nx حقيقي و فرد

[ ] [ ] [ ]*x n x n x n= = − − ( )ωjeX موهومي و فرد ( ) ( ) ( )ωωω -jjj eXeXeX −=−= ∗

سيگنال هاي تجزيه زوج و فرد

حقيقي

[ ]nx حقيقي

[ ] [ ] [ ]e ox n x n x n= +

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( )j j j j je oX e Re X e jIm X e X e X eω ω ω ω ω= + = +

) :برابر است با t)(Xeتبديل فوريه ){ } ( )ωω je

j eXeXRe =

oXتبديل فوريه (t) است با برابر: ( ){ } ( )j jojIm X e X eω ω=

رابطه پارسوال براي سيگنال هاي

نامتناوب

[ ] ( )∑ ∫+∞

∞=

=-n 2

2j2 deX21nx

π

ω ωπ

جمع نمونه هاي يك سيگنال

( ) [ ]∑+∞

∞=

=-n

0j nxeX

πω درمقدار تبديل فوريه =

( ) ( ) [ ]∑+∞

∞=

=-n

nj nx1-eX π

سطح زير منحني تبديل فوريه

[ ] ( )∫=π

ω ωπ 2

j deX210x

خواص تبديل فوريه گسسته در زمان - 8جدول


15

گسسته در زمان پيوسته در زمان

ركانسفحوزه حوزه زمان ركانسفحوزه حوزه زمان

سري

فوريه0jk

kk -

x (t) a e tω+∞

= ∞

= ∑

پيوسته در زمان

متناوب در زمان

0

0

-jk tk

0 T

1a x (t)e d tT

ω= ∫

گسسته در فركانس

نامتناوب در فركانس

[ ] 0jk nk

k:(N)x n a e ω= ∑

گسسته در زمان

متناوب در زمان

[ ] 0-jk nk

n:(N)

1a x n eN

ω= ∑

گسسته در فركانس

متناوب در فركانس تبديل

فوريه

j t1x(t) X(j )e d2

ωω ωπ

+∞

−∞= ∫

پيوسته در زمان

نامتناوب در زمان

-j t

-X (j ) x (t) e d tωω

+∞

∞= ∫

پيوسته در فركانس

نامتناوب در فركانس

[ ] j j n

2

1x n X(e )e d2

ω ω

π

ωπ

= ∫

گسسته در زمان

نامتناوب در زمان

( ) [ ]j -j n

n -

e X n eX ω ω+∞

= ∞

= ∑

پيوسته در فركانس

متناوب در فركانس

خالصه معادالت سري و تبديل فوريه پيوسته و گسسته در زمان -9جدول

.عالمت پيكان در جدول به معناي دوگاني مي باشد: توجه


16

ROC تبديل الپالس سيگنال

(t)(t)x δ= 1(s)X sتمام صفحه =

(t)u(t)x = s1(s)X = { } 0sRe >

x (t) u ( t)= − − s1(s)X = { } 0sRe <

(t)ut(t)x n= 1nsn!(s)X += { } 0sRe >

nx (t) t u ( t)= − − 1nsn!(s)X += { } 0sRe <

- tx (t) e u (t)α= α+

=s

1(s)X { } α−>sRe

- t x (t) e u ( t)α= − − α+

=s

1(s)X { } α−<sRe

- tx (t) e u(t)nt α= 1n)(sn!(s)X ++

=α

{ } α−>sRe

- tx (t) e u( t)nt α= − − 1n)(sn!(s)X ++

=α

{ } α−<sRe

x (t) (t T)δ= − T-se(s)X sتمام صفحه =

( )[ ] (t)utcos(t)x 0ω= 20

2ss(s)Xω+

= { } 0sRe >

[ ] (t)ut)(sin(t)x 0ω= 20

20

s(s)X

ωω+

= { } 0sRe >

- t0x (t) e cos ( t) u (t)α ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦ 2

02)(s

s(s)Xωα

α++

+= { } α−>sRe

( )[ ] (t)utsine(t)x 0t- ωα= 2

020

)(s(s)X

ωαω

++= { } α−>sRe

n

n

tdt)(d(t)x δ

= ns(s)X sتمام صفحه =

-nx (t) u (t) u (t)* *u (t)ار nب

= = … ns

1(s)X = { } 0sRe >

تبديل الپالس برخي سيگنال هاي مهم پيوسته در زمان -10جدول


17

ROC تبديل الپالس سيگنال خاصيت

(t)x (s)X { } βα << sRe:R

(t)x1 s)(X1 1R

(t)x2 s)(X2 2R

t)(bxt)(ax خطي بودن 21 + s)(bXs)(aX 21 21 حداقل + RR ∩

0x جابجائي زماني (t t )− (s)Xe 0-st R

s (t)xeجابجايي در حوزه ts0 )s-(sX 0 { } { } { }00 sResResRe +<<+ βα

⎟ x(at) تغيير مقياس زماني⎠⎞

⎜⎝⎛

asX

a1

{ }{ }

a Re s a a 0

a Re s a a 0

α β

β α

< < >

< < <

t)(x∗ )s(X مزدوج گيري ∗∗ R

1 كانولوشن 2x (t)*x (t) s)(Xs)(X 21 حداقل 21 RR ∩

مشتق گيري زمانيdt

(t)dx (s)Xs حداقل R

−s (t)txمشتق گيري در حوزه ds

(s)dX R

∞∫ انتگرال گيري زمانيt

-d)(x ττ

s(s)X

} حداقل } 0)s(ReR >∩

0tاگر در : قضاياي مقدار اوليه و مقدار نهايي x(t)0داشته باشيم > 0tدر x(t)و = ضربه و توابع تكين مرتبه باالتر نداشته =

:آنگاه باشد،

0lim ( ) lim ( )t s

x t sX s→ →∞

=

0lim ( ) lim ( )t s

x t sX s→∞ →

=

.شودچون ناپايدار مي يا سمت راست آن قطب داشته باشد ωjنبايد روي محور s(sx(در قضيه مقدار نهايي

خواص تبديل الپالس -11جدول


18

z ROCتبديل سيگنال

[ ] [ ]nnx δ= 1(z)X تمام صفحه مختلط =

[ ] [ ]nunx = -1

1X (z)1 z

=−

1z >

[ ] [ ]x n u n 1= − − − -1

1X (z)1 z

=−

1z <

[ ] [ ]x n n mδ= − -mz(z)X =

تمام صفحه مختلط

<0mغير از صفر اگر

>0m اگر ∞غير از

[ ] [ ]nunx nα= -11X (z)

1 zα=

− α>z

[ ] [ ]nx n u n 1α= − − − 1-z11(z)Xα−

= α<z

[ ] [ ]nunnx nα= 21-

-1

)z1(z(z)Xαα−

= α>z

[ ] [ ]nx n n u n 1α= − − − 21-

-1

)z1(z(z)Xαα−

= α<z

[ ] ( )[ ] [ ]nuncosnx 0ω= ( )[ ]( )[ ] 2-1-

0

-10

zzcos21zcos1(z)X+−

−=

ωω 1z >

[ ] ( )[ ] [ ]nunsinnx 0ω= ( )[ ]( )[ ] 2-1-

0

-10

zzcos21zsin(z)X

+−=

ωω 1z >

[ ] ( )[ ] [ ]nuncosrnx 0n ω= ( )[ ]

( )[ ] 2-21-0

-10

zrzcosr21zcosr1(z)X+−

−=

ωω rz >

[ ] ( )[ ] [ ]nunsinrnx 0n ω= ( )[ ]

( )[ ] 2-20

-10

zrcosr21zsinr(z)X+−

=ωω rz >

برخي سيگنال هاي مهم گسسته در زمان zتبديل - 12جدول


19

z ROCتبديل سيگنال گسسته خاصيت

[ ]nx ( )zX R : zα β≺ ≺

[ ]nx1 z)(X1 1R

[ ]nx2 z)(X2 2R

] خطي بودن ] [ ]nxbnxa 21 + z)(Xbz)(Xa 21 21حداقل + RR ∩

] جابجايي زماني ]0x n n− (z)Xz 0-n z 0

Rz=⎧ ⎫

± ⎨ ⎬= ∞⎩ ⎭

تغيير مقياس در حوزه

z

[ ]nxe nj 0ω z)(eX 0-jω R

[ ]nxzn0 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0zzX 0 0z z zα β< <

[ ]nxan ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

azX a z aα β< <

] زمانيوارونگي ]x n− ( )-1zX 1 1zβ α< <

] انبساط زماني ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠=

=krn0

krnrxnx k)( ( )kzX

kzα β< <

] انقباض زماني ]nMx

( )

1 2kM-1 jM M

k 0

jc

1 X zM

X e 0

eπ

ω ω ω π

−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= < <

∑ Mzα β< <

] مزدوج گيري ]nx∗ ( )∗∗ zX R

كانولوشن در حوزه

زمان

[ ] [ ]1 2x n *x n z)(Xz)(X 21 21R حداقل R∩

] تفاضل اول ] [ ]x n x n 1− − -1(1 z ) X (z)− حداقل { }R 0z >∩

] جمع انباره اي ]∑∞=

n

-kkx -1

X (z)1 z−

} حداقل }R 1z >∩

] zمشتق در حوزه ]nxn zd(z)Xdz− R

] اگر: قضاياي مقدار اوليه ] 0nx :آنگاه n>0به ازاء، =

2 1[0] lim ( ) , [1] lim ( ( ) [0]) , [2] lim ( ( ) [0] [1]) , ...z z z

x X z x z X z x x z X z x z x−

→ ∞ → ∞ → ∞= = − = − −

]: مجموع نمونه هاي سيگنال ]1

)(=

+∞

−∞=

=∑zn

zXnx

zخواص تبديل - 13جدول

DSP فرمولهای پردازش سیگنال دیجیتال

Documents

Transcript of DSP فرمولهای پردازش سیگنال دیجیتال