1

A. PHẦN ĐẠI SỐ I. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax b 0+ <+ <+ <+ <

Điều kiện Kết quả tập nghiệm

a > 0 S = b

a;

−∞ −

a < 0 S = b

a;

− +∞

a = 0 b ≥ 0 S = ∅

b < 0 S = R

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập

nghiệm thu được

3. Dấu của nhị thức bậc nhất

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

x ∈ b

a;

−∞ −

a.f(x) < 0

x ∈ b

a;

− +∞

a.f(x) > 0

4. Bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn a. Bất phương trình tích

• Dạng: ( ) ( ). 0P x Q x > (1) (trong đó ( ) ( ),P x Q x là những nhị thức bậc nhất)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu, từ đó suy ra tập nghiệm

b. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Dạng: ( )( )

0P x

Q x> (2) (trong đó ( ) ( ),P x Q x là những nhị thức bậc nhất)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu rồi suy ra tập nghiệm. Chú ý không nên quy đồng và khử mẫu

• Chú ý: Khi xét dấu các biểu thức có dạng ( )k

f x (trong đó ( )f x là một nhị thức bậc nhất, *k N∈ )

- Khi k chẵn, tất cả các dấu là + - Khi k lẻ, xét dấu theo đúng quy tắc phải cùng, trái khác

c. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

• Ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

• Dạng 1: g x

f x g xg x f x g x( ) 0( ) ( )( ) ( ) ( )

>< ⇔

− < < � Dạng 2:

g xf x coù nghóa

f x g x g x

f x g xf x g x

( ) 0( )

( ) ( ) ( ) 0( ) ( )( ) ( )

<

> ⇔ ≥ < − >

• Chú ý: Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A B

A BA B < −

> ⇔ >

II. Bất phương trình bậc hai 1. Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax bx c2 + + (a ≠≠≠≠ 0)

∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R

∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ b

Ra

\2

−

∆ > 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞)

a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2)

LÝ THUYẾT TOÁN 10 HKII (2012 - 2013)

2

Nhận xét: � a

ax bx c x R2 00,0∆

>+ + > ∀ ∈ ⇔

< �

aax bx c x R2 00,

0∆ <

+ + < ∀ ∈ ⇔ <

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 2ax bx c 0+ + >+ + >+ + >+ + > (hoặc ≥≥≥≥ 0; < 0; ≤≤≤≤ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

3. Phương trình – bất phương trình quy về bậc hai a. Phương trình – bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc

tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

� Dạng 1:

C Cf x

g xf x g x

f x g x f x g xf x

f x g xf x g x

1 2

( ) 0( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )( ) ( )

≥ ≥ = = ⇔ ⇔ =

< = − = −

� Dạng 2: f x g x

f x g xf x g x( ) ( )( ) ( )( ) ( )

== ⇔ = −

� Dạng 3: g x

f x g xg x f x g x( ) 0( ) ( )( ) ( ) ( )

>< ⇔

− < <

� Dạng 4:

g xf x coù nghóa

f x g x g x

f x g xf x g x

( ) 0( )

( ) ( ) ( ) 0( ) ( )( ) ( )

<

> ⇔ ≥ < − >

Chú ý: � A A A 0= ⇔ ≥ ; A A A 0= − ⇔ ≤

� Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A B

A BA B < −

> ⇔ >.

� A B A B AB 0+ = + ⇔ ≥ ; A B A B AB 0− = + ⇔ ≤

b. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc

đặt ẩn phụ để khử dấu căn

� Dạng 1: [ ]

g xf x g x

f x g x2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

≥= ⇔

=

� Dạng 2: f x hoaëc g x

f x g xf x g x( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )( ) ( )

≥ ≥= ⇔

=

� Dạng 3: t f x t

a f x b f x cat bt c2

( ), 0. ( ) . ( ) 00

= ≥+ + = ⇔

+ + =

� Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )± = . Đặt u f x

u vv g x

( ) ; , 0( )

=≥

= đưa về hệ u, v

� Dạng 5:

[ ]

f xf x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

≥< ⇔ > <

� Dạng 6:

[ ]

g xf x

f x g x g x

f x g x2

( ) 0( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

< ≥> ⇔ ≥ >

III. Lượng giác

1. Đơn vị đo góc và cung:

Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0

0 30

0 45

0 60

0 90

0 120

0 135

0 150

0 180

0 360

0

Radian 0

2. Góc lượng giác & cung lượng giác: a. Định nghĩa:

b. Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

2k B 22

2k D - 22

, k B,D 2

A k

C k

A C k

ππ π

ππ π π

ππ π

→ → +

→ + → +

→ → +

3. Đường tròn lượng giác: � A: điểm gốc

� x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

� y'Oy : trục sin ( trục tung )

� t'At : trục tang

� u'Bu : trục cotang

4. Định nghĩa các giá trị lượng giác: a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y

'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u

'Bu

Ta định nghĩa:

6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

5π π π2

y

α M

(điểm gốc)

+

t

(điểm ngọn)

2AB kα π= +

+

−

x

y

OC A

B

D

+

−

x

y

OC A

B

D

1

1

1=R1−

1−

'x

'uu

t

't'y

xO

A

Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx

x

y

(tia gốc)

+

t

(tia ngọn)

O

α

α

α

α

α

=

=

=

=

cos

sin

tan

cot

OP

OQ

AT

BU

Trục cosin

Trục tang

Trục cotang

y t

'u

't

t

x

u

'y

'x O

t

1−

Q

B

T

α

M

α

AP

U

Trục sin

+

−

b. Các tính chất: Với mọi α ta có :

� 1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤

� 1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤

� π

α α π∀ ≠ +tan xaùc ñònh 2

k

� α α π∀ ≠cot xaùc ñònh k

5. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

Góc

Hslg

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

3600

0

6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

5π

π π2

sinα 0

2

1

2

2

2

3

1

2

3

2

2

2

1

0 0

cosα 1

2

3

2

2

2

1

0

2

1−

2

2−

2

3−

-1 1

tanα 0

3

3

1 3 kxđ 3− -1

3

3−

0 0

cotα kxđ 3 1

3

3

0

3

3−

-1 3− kxđ kxđ

- 3

-1

- 3 /3

(Ñieåm goác)

t

t'

y

y'

xx'

uu'

- 3 -1 - 3 /3

1

1

-1

-1-ππππ/2

ππππ

5π/6

3π/4

2π/3

-π/6

-π/4

-π/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2

3 /2

2 /2

1/2

A

π/3

π/4

π/63 /3

3

B ππππ/2 3 /3 1 3

O

+

−

5

6. Giá trị lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

a. Cung đối nhau : vaø -α α (tổng bằng 0) (Vd: 6

&6

ππ− ,…)

b. Cung bù nhau : vaø -α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6

5&

6

ππ,…)

c. Cung phụ nhau : vaø 2π

α α− ( tổng bằng 2π

) (Vd: 3

&6

ππ,…)

d. Cung hơn kém 2π

: vaø 2π

α α+ (Vd: 3

2&

6

ππ,…)

e. Cung hơn kém π : vaø α π α+ (Vd: 6

7&

6

ππ,…)

a. Cung đối nhau: b. Cung bù nhau :

α α

α α

α α

α α

− =

− = −

− = −

− = −

cos( ) cossin( ) sintan( ) tancot( ) cot

π α α

π α α

π α α

π α α

− = −

−

− −

− = −

cos( ) cossin( ) = sintan( ) = tancot( ) cot

c. Cung phụ nhau : d. Cung hơn kém 2π

πα α

πα α

πα α

πα α

− =

− =

− =

− =

cos( ) sin2

sin( ) cos2

tan( ) cot2

cot( ) tan2

πα α

πα α

πα α

πα α

+ = −

+ =

+ = −

+ = −

cos( ) sin2

sin( ) cos2

tan( ) cot2

cot( ) tan2

e. Cung hơn kém π :

π α α

π α α

π α α

π α α

+ = −

+ = −

+ =

+ =

cos( ) cossin( ) sintan( ) tancot( ) cot

7. Công thức lượng giác: a. Các hệ thức cơ bản:

α α

αα

αα

αα

+ =2 2cos sin 1sintan = cos

coscot = sin

α α

αα

αα

+

+

22

22

tan . cot = 1 11 tan =

cos11 cot =

sin

b. Công thức cộng:

α β α β α β

α β α β α β

α β α β β α

α β α β β α

+ = −

− = +

+ = +

− = −

cos( ) cos .cos sin .sincos( ) cos .cos sin .sinsin( ) sin .cos sin .cossin( ) sin .cos sin .cos

cos đối sin bù

Phụ chéo Hơn kém

2π

sin bằng cos

cos bằng trừ sin

Hơn kém π tang , cotang

6

α βα β

α β

α βα β

α β

−

−−

+

tan +tantan( + ) = 1 tan .tantan tantan( ) = 1 tan .tan

c. Công thức nhân đôi:

α α α α

α α α

α α α

αα

α

= − = −

= − = −

=

=−

2 2 2

2 4 4

2

cos2 cos sin 2cos 1

1 2sin cos sinsin2 2sin .cos

2 tantan2 1 tan

d. Công thức nhân ba:

3

3

cos3 4cos 3cos

sin 3 3sin 4sin

α α α

α α α

= −

= −

e. Công thức hạ bậc:

α

αα

αα

αα

2cos1

2cos1;

2

2cos1sin;

2

2cos1cos 222

+

−=

−=

+= tg

f. Công thức tính sin ,cos , tanα α α theo tan2

tα

=

22

2

2 1

2;

1

1cos;

1

2sin

t

ttg

t

t

t

t

+=

+

−=

+= ααα

g. Công thức biến đổi tích thành tổng :

[ ]

[ ]

[ ]

1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= + + −

= − − +

= + + −

h. Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2 cos .cos2 2

cos cos 2sin .sin2 2

sin sin 2sin .cos2 2

sin sin 2cos .sin2 2

sin( )cos cossin( )cos cos

tg tg

tg tg

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

α βα β

α β

α βα β

α β

+ −+ =

+ −− = −

+ −+ =

+ −− =

++ =

−− =

4

cos33coscos3 αα

α+

=

4

3sinsin3sin 3 αα

α−

=

2

2cos1cos2 α

α+

=

2

2cos1sin 2 α

α−

=

ααα 2sin2

1cossin =

A

B CH

OM

AB

C

D

T

R

B. PHẦN HÌNH HỌC I. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r

– nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1. Định lí côsin

a b c bc A2 2 2 2 .cos= + − ; b c a ca B2 2 2 2 .cos= + − ; c a b ab C2 2 2 2 .cos= + −

2. Định lí sin

a b cR

A B C2

sin sin sin= = =

3. Độ dài trung tuyến

a

b c am

2 2 22 2( )

4+ −

= ; b

a c bm

2 2 22 2( )

4+ −

= ; c

a b cm

2 2 22 2( )

4+ −

=

4. Diện tích tam giác

S = a b cah bh ch1 1 12 2 2

= =

= bc A ca B ab C1 1 1sin sin sin2 2 2

= =

= abc

R4

= pr

= p p a p b p c( )( )( )− − − (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.

• BC AB AC2 2 2= + (định lí Pi–ta–go)

• AB BC BH2 .= , AC BC CH2 .=

• AH BH CH2 .= , AH AB AC2 2 21 1 1

= +

• AH BC AB AC. .=

• b a B a C c B c C.sin .cos tan cot= = = = ; c a C a B b C b C.sin .cos tan cot= = = =

Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.

• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.

PM/(O) = MA MB MC MD MO R2 2. .= = −���� ���� ���� �����

• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.

PM/(O) = MT MO R2 2 2= −

II. Phương trình đường thẳng 1. Phương trình tham số – Phương trình tổng quát – Phương trình chính tắc

Dạng Hình Phương trình tham số Phương trình tổng quát

Qua 2 điểm M, N

0 0( ; )

:qua M x y

du MN

=������

0 0( ; )

:qua M x y

du MN n

= ⇒������ �

M N

Cạnh AB tam

giác

0 0( ; ):

qua A x yAB

u AB

=�����

0 0( ; ):

qua A x yAB

u AB n

= ⇒����� �

Trung tuyến AM

0 0( ; ):

qua A x yAM

u AM

=������

0 0( ; ):

qua A x yAM

u AM n

= ⇒������ �

Đường cao AH

0 0( ; ):

qua A x yAH

n BC u

= ⇒����� �

0 0( ; ):

qua A x yAH

n BC

=�����

Đường trung

trực ∆

;2 2:

B c B cx x y y

qua I

n BC u

+ +

∆ = ⇒

����� �

;2 2:

B c B cx x y y

qua I

n BC

+ +

∆ =

�����

Có hệ số góc k )(: 00 xxkyyd −=−

Song song với đt

'd du u=� �

'd dn n=� �

Vuông góc với đt

'd du n=� �

'd dn u=� �

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:)0;0(,0:

)0;0(,0:

222222

111111

≠≠=++

≠≠=++

bacybxad

bacybxad và hệ

−=+

−=+

222

111

cybxa

cybxa(*)

Vị trí tương đối Hình ảnh Tỉ số Số nghiệm của hệ (*)

Cắt nhau 2

1

2

1

b

b

a

a≠ Có nghiệm duy nhất

Song song

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a≠= Vô nghiệm

Cắt nhau 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a== Vô số nghiệm

3. Tính góc giữa hai đường thẳng

Hình ảnh Công thức

Góc giữa hai đường thẳng

0: 1111 =++ cybxad

và 0: 2222 =++ cybxad

( )2

2

2

2

2

1

2

1

2211

21 ,cosbaba

babadd

++

+=

Đặc biệt

d1

d2

d2

d1

d2

d1

d2

B C

C B M

B C H

A

B C I

∆

∆

d

d’

M

9

� ( )

0 1

1

0 11 2 1 2

1 2, 2 2 2 20 2 1 1 2 2

2 ,

0 2

:| |

cos ,.

:

x x a td

y y b t a a b bd d

x x a t a b a bd

y y b t

= +

= + +⇔ =

= + + + = +

� ( )1 1 1 1 21 2

2 2 2 1 2

:tan ,

: 1

d y k x m k kd d

d y k x m k k

= + −⇒ =

= + +

4. Khoảng cách

Yếu tố đã có Công thức

Khoảng cách giữa 2 điểm ( )AA yxA ; và ( )BB yxB ; 22 )()( ABAB yyxxAB −+−=

Khoảng cách từ một điểm

đến đường thẳng

Điểm );( 00 yxA

và 0: =++∆ cbyax 22

00);(

ba

cbyaxAd

+

++=∆

Nhận xét: � Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta phải đưa đường thẳng về phương trình tổng quát

- M, N nằm cùng phía đối với ( ) ( ) 0M M N Nax by c ax by c∆ ⇔ + + + + >

- M, N nằm khác phía đối với ( ) ( ) 0M M N Nax by c ax by c∆ ⇔ + + + + <

� Cho hai đường thẳng 1∆ và

2∆ cắt nhau với: 1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = và

2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = thì pt 2 đường

phân giác 1d và 2d của góc tạo bởi 1∆ và 2∆ là: 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + += ±

+ +

Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù

1 2 1 2 0a a b b+ > 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +=

+ + 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + += −

+ +

1 2 1 2 0a a b b+ < 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + += −

+ + 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +=

+ +

III. Phương trình đường tròn 1. Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát

� Phương trình đường tròn có ( );I a b

R

là: ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = (1)

� Phương trình: 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = là phương trình đường tròn tâm ( );I a b và bán kính

2 2R a b c= + − khi và chỉ khi 2 2 0a b c+ − >

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

� Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = . Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0;M x y C∈ :

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − =

� Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = . Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0;M x y C∈ :

( ) ( )0 0 0 0 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + =

� Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = . Đường thẳng : 0ax by c∆ + + = đi qua ( ) ( )0 0;A x y C∉

là tiếp tuyến của ( )C phải thỏa mãn hệ phương trình: ( )0 0 0

;

ax by c

d I R

+ + =

∆ =

3. Phương tíchCho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = và ( )0 0;M x y . Xét 2 2

0 0 0 02 2P x y ax by c= + − − +

� 0 :P M> nằm ngoài đường tròn

� 0 :P M< nằm trong đường tròn

� 0 :P M= nằm trên đường tròn

4. Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = và đường thẳng : 0d Ax By C+ + = .

10

Xét hệ phương trình: ( )2 2 2 2 0

0

x y ax by cI

Ax By C

+ − − + =

+ + =

Ta có thể giải hệ (I) bằng phương pháp thế.

� vô nghiệm: đường thẳng d không cắt đường tròn ( )C

� có 1 nghiệm ( );x y : đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( )C

� có 2 nghiệm ( );x y : đường thẳng d cắt đường tròn ( )C tại 2 điểm phân biệt

5. Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn Cho đường tròn ( )1C có ( )1 1;I R ; đường tròn ( )2C có ( )2 2;I R . Gọi 1 2d I I= . Ta có:

� 1 2 1 2R R d R R− < < + → ( ) ( )1 2;C C cắt nhau tại 2 điểm

� 1 2d R R= + → ( ) ( )1 2;C C tiếp xúc ngoài

� 1 2d R R= − → ( ) ( )1 2;C C tiếp xúc trong

� 1 2d R R> + → ( ) ( )1 2;C C ngoài nhau

� 1 2d R R< − → ( ) ( )1 2;C C chứa nhau

ĐỀ 1

Bài 1: Giải bpt

a/ 2 2

2 55 4 7 10x x x x

<− + − +

b/ 2 5 1x x− ≤ + .

Bài 2: Cho phương trình:

-x2 + 2 (m+1)x + m

2 – 7m +10 = 0.

a/ CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt với

mọi m.

b/ Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu.

Bài 3: cho cota = 1/3.

Tính A = 2 2

3sin sin cos cosa a a a− −

.

Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A (2;3)

B(4;7), C(-3;6).

1/Viết phương trình đường trung tuyến BK của

tam giác ABC.

2/Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến

trung tuyến BK.

3/Tính diện tích tam giác ABK.

4/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC.

Bài 5: Giải bất phương trình: 2 4 3 1x x x− + ≤ + .

ĐỀ 2

Bài 1: Giải bất phương trình

++ ≤

+

2/ 22

x xa

x x

+ −<

−

2 2 3/ 01 2

x xb

x

Bài 2: cho phương trình mx2 – 2(m-2)x +m – 3 =0.

a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.

b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2: x1

+ x2 + x1. x2 ≥ 2.

Bài 3: Cho tam giác ABC.

CMR sinA = sin(B+C).

Bài 4: A(4;-2), B(2;-2), C(1;1).

1/ Viết phương trình tham số của d qua A và

song song BC.

2/ Tính khoảng cách từ A đến BC.

3/ Tính góc �BAC

4/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC.

Bài 5: CMR 0 0 0 0

0 0

sin20 .sin40 .sin50 .sin70 14cos10 .cos50

=

ĐỀ 3

Bài 1:

1. Tìm TXĐ của hàm số:1

xy

x=

−

2. Giải bất phương trình: 2 12 1x x x− − ≤ −

3. Giải bất phương trình: 5 12

xx

x

++ ≥

−

Bài 2: Cho tam thức bậc hai: f(x) = –x2 + (m + 2)x

– 4. Tìm các giá trị của tham số m để:

a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt .

BỘ ĐỀ ÔN THI HKII TOÁN 10 (2012 - 2013)

11

b). Tam thức f(x) < 0 với mọi x.

Bài 3: Cho tam giác ABC biết AB=12cm ,

BC=16cm , CA=20cm

a).Tính cosA và tính diện tích tam giác ABC.

b).Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

tam giác ABC.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + =

a) Định tâm và tính bán kính của đường tròn

(C).

b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến

với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi 2

tiếp tuyến đó.

Bài 5: Chứng minh rằng

4 4 2si sin 2sin 12

n x x xπ

− − = −

Bài 6: Cho tam giác ABC

(đặt BC=a, AB=c, AC=b) a) Biết b=8, c=5, A=60

0. Tính S, R

b) Chứng minh rằng: 2 2 2

2 2 2

tantan

A a c b

B b c a

+ −=

+ −

ĐỀ 4 Bài 1: Giải bất phương trình:

a). 2

2

8 8 15 6

x x

x x

+ −≥ −

− + b).

2 3 1 22

x x

x

− +>

+

Bài 2: Cho phương trình ( )2 4 1 3 0mx m x m− + + + =

.

a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái

dấu.

b) Định m để phương trình có nghiệm này gấp

3 lần nghiệm kia.

Bài 3:

a) Cho 1cot3

a = . Tính

2 2

3sin sin cos cos

Aa a a a

=− −

b) Rút gọn biểu thức: 3 3sin cos sin cos

sin cosx x

B x xx x

+= +

+

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

A(2;3), B(4;7), C(-3;6)

a) Viết phương trình đường trung tuyến BK

của tam giác ABC.

b) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ

từ A đến trung tuyến BK.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC. Tìm tâm và bán kính của đường

tròn này.

Bài 5:

1) Định m để hàm số

( ) ( )21 2 1 3 3y m x m x m= + − − + − xác định

với mọi x.

2) Giải phương trình ( )2 22 3 1 3 3x x x x+ − ≤ +

3) Giải hệ phương trình 2 2 2

1x y x y

xy x y

+ − + =

+ − = −

ĐỀ 5

Bài 1: 1). Giải bất phương trình và hệ bất phương

trình sau

a. ( )− + < − +2 21 4 3 5x x x b.

2 3 3 14 553 8

3

x x

xx

x

− +<

+ < −

Bài 2: Cho 12 3sin 213 2

a aπ

π−

= < <

a. Tính cosa, tana, cota

b. Tính cos3

aπ

−

Bài 3: Cho tam giác ABC có 0ˆ2 3, 2, 30a b C= = = .

a. Tính các cạnh, góc A và diện tích của tam

giác

b. Tính chiều cao ha và trung tuyến ma

Bài 4: Cho ( )1, 2A − và đường thẳng

( ) : 2 3 18 0d x y− + =

a. Tìm tọa độ hình chiếu của A xuống

đường thẳng (d).

b. Tìm điểm đối xứng của A qua (d).

Bài 5: a).Viết phương trình đường tròn đường kính

AB với ( ) ( )3,2 , 7,6A B−

b) Giải và biện luận ( )1 1 0mx x+ − = Bài 6: Cho đường cong

( ) 2 2: 4 2 0mC x y mx y m+ − − − + =

a. Chứng tỏ ( )mC luôn luôn là đường tròn.

b. Tìm m để ( )mC có bán kính nhỏ nhất.

\ĐỀ 6

Bài 1: Giải bất phương trình 2

2

1 03 10

x

x x

+<

+ −

Bài 2: 1). Tính 13cos6π

, 5sin12π

, 11 5cos cos12 12

π π

2). Rút gọn 3 3cos sin sin cosA a a a a= −

3) Tính 0 0 0 0103cos , sin5 .sin15 ...sin75 sin8512

π

12

Bài 3: Cho tam giác ABC có 37, 5, cos5

b c A= = =

a. Tính a, sinA và diện tích của tam giác ABC

b. Tính đường cao xuất phát từ A

c. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác

Bài 4: 1. Cho ( ) ( )1 2: 0, : 2 3 0d x y d x y− = + + =

a) Tìm giao điểm A của (d1) và (d2)

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và

vuông góc với ( )3 : 4 2 1 0d x y+ − =

2. Viết phương trính đường tròn qua hai điểm

( ) ( )2,3 , 1,1M N − và có tâm trên đường thẳng

3 11 0x y− − =

Bài 5: CMR đường thẳng

( ) ( ) ( ): 2 1 2 3 4 0m m x m y m∆ + − − − − =

luôn qua một điểm cố định với mọi m

ĐỀ 7

Bài 1: a)Cho 3sin ( 0)4 2

πα α= − − < < .Tính các

giá trị lượng giác còn lại

b) Xác định miền nghiệm của hệ bpt: 2 3 0

3 0x y

y

+ − ≤

− ≤

Bài 2 : a) Xét dấu biểu thức sau: 2

2

(2 5 )( )5 4

x xf x

x x

−=

− −

b) Giải bpt : 2 2 3 0 3 41 2

x xx

x

+ −• < • − <

−

c) Xác định m để phương trình:

mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai nghiệm dương

Bài 3: 1) Tính giá trị biểu thức

sin cos vôùi tan = -2 vaø cos 2sin 2

Pα α π

α α πα α

+= < <

−

2). Cho tam giác ABC có

1 3( 4;4), (1; ), ( ; 1)4 2

A B C− − − . Viết phương trình tổng

quát đường thẳng AB và tính khoảng cách từ C đến

đường thẳng AB

Bài 4: Cho tam giác ABC có độ dài ba

cạchAB=10cm, AC=14cm, BC= 12cm . Tính diện

tích , bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Bài 5: 1).Cho tam thức bậc hai 2( ) ( 3) 10( 2) 25 24f x m x m x m= − − − + −

Xác định m để ( ) 0,f x x≤ ∀ ∈�

2). Rút gọn biểu thức 2 2(tan cot ) (tan cot )P α α α α= + − −

ĐỀ 8

BÀI 1: a) Tính 3 72sin 6cos tan

6 2 6P

π π π= + −

b) Tính giá trị lượng giác của góc 150

c) Tìm nghiệm nguyên thỏa hệ bpt sau

42 5 28 498 3 2 252

x x

xx

+ > + +

< +

BÀI 2: a) Giải bpt :

2

2

( 1)(3 2 ) 20 224

24 3 1 21

x x x x

x xx

xx x x

x

− − +• ≤ • + ≤

++

−• − + ≤ + • ≥

+

b) Xác định m để pt:mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai

nghiệm thỏa 1 2 1 2 2x x x x+ + ≥

BÀI 3: a) Chứng tỏ đt d: 3x-4y-17=0 tiếp xúc với

đường tròn (C): x2 + y

2 -4x -2y -4 =0 .

b) Tìm m để hai đường thẳng

( )1 2

1 2: : 5 0

2x t

d t d mx yy t

= +∈ − + =

= − −�

song song nhau

BÀI 4: Không dùng máy tính cầm tay tính : sin

3150 , tan405

0 , cos750

0

ĐỀ 9 1. Xét dấu biểu thức

f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7). g(x)= 1 1

3 3x x−

− + h(x) = -3x

2 + 2x – 7

2. Giải bpt a) (5 -x)(x - 7)

1x − > 0 b) –x

2 + 6x - 9 > 0;

c)3 1 22 1x

x

− +≤ −

+

3. a) Cho sinα = 35

; và 2π

α π< < .

Tính cosα, tanα, cotα.

b) Tính: cos105°; tan15°.

4. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(4;4)

a) Tìm độ dài các cạnh và các góc của tam giác

ABC.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp

tam giác ABC.

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Xác

định tọa độ điểm M thuộc tiếp tuyến này để tỉ số

giữa tung

độ và hoành độ có trị tuyệt đối là 9.

5. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(5;5), và dm:

3x-4y + m =0

a) Xác định m để dm cắt canh AB của tam giác

ABC.

b) Biện luận theo m vị trí tương đối của dm và

đường tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC.

13

c) Khi dm là tiếp tuyến của (C) hãy tìm trên dm

những điểm M để diện tích tam giác MDI là 8 với

D tiếp điểm, I tâm của (C).

ĐỀ 10

1. Giải bất phương trình

a/ 3 1x − ≥ − b/ 5 8 11x − ≤

c/ 1 22 3 5

x

x x

+≥

+ −

2) Giải hệ bất phương trình sau

a)

56 4 77

8 3 2 52

x x

xx

+ < +

+ < +

. b)

2 3 11

( 2)(3 ) 01

x

x

x x

x

+> −

+ − <

−

3) Cho phương trình : 2( 5) 4 2 0m x mx m− − + − = . Với giá trị nào của m thì

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có các nghiệm trái dấu

4) Trong tam giác ABC cho a=8, B=60o , C=75

0

a) Xác định các góc và các cạnh còn lại của

tam giác ABC.

b) Tìm độ dài đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp

tam giác ABC.

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

5) Cho đường tròn (C): x2 + y

2 +8x -4y + 2 =0.

a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại

A(-1;5).

c) Viết phương trình đường thẳng trung

trực của AI (I là tâm của (C)).

6) Cho sina =1/4 với 0<a<900. Tìm các giá trị

lượng giác của góc 2a.

7) Chứng minh rằng:

a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)

2 = 4;

b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x

8). a) Chứng minh có ít nhất một phương trình có

nghiệm trong hai phương trình sau x

2 - 2ax + 1 - 2b = 0

x2 - 2bx + 1 - 2a = 0

b) Tính

2 2 2 2 22 3 22 23sin sin sin ... sin sin24 24 24 24 24π π π π π

+ + + + +

ĐỀ 11 Bài 1: Cho phương trình

( )2 22 3 2 2 0x m x m m− + + + + = (1)

a. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm

1 2,x x thỏa 1 22x x=

b. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x

, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm

độc lập đối với tham số m.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình 2 2 1 0x x m+ + + ≥

có nghiệm.

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a. 2 3 2 0

1x x

x

+ +≥

+

b. 2 3 4 2x x x− + ≥ +

c) 2 22 3 2x x x x+ − ≤ − +

Bài 4: a) Tính sin(3750).

b) Cho sinx=0.6, tính tan cottan cot

x xA

x x

−=

+ và

cos2B x=

c) Chứng minh rằng:

( )0 0 0 04 cos24 cos48 cos84 cos12 2+ − − =

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC =

6. Tính cosA, đường cao AH, bán kính đường tròn

ngoại tiếp ABC.

Bài 6: Cho A(1;-3) và đường thẳng d: 3x+4y-5=0.

a. Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và

vuông góc với d.

b. Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp

xúc với d.

ĐỀ 12 Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a. 2 4 3 13 2

x xx

x

− +< −

− b) 2 3 2 3x x x− + ≥ −

c) 2 24 1 1x x x− + > −

Bài 2: Cho phương trình

( )2 22 1 3 0x m x m m− − + − =

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái

dấu.

b. Tìm m để phương trình có tổng bình phương

các nghiệm bằng 2.

Bài 3: Tìm m để ( ) ( )21 1 3 2 0m x m x m− + + + − ≥ vô

nghiệm.

Bài 4: a) Rút gọn: 1 sin4 cos41 4 sin4

x xA

cos x x

+ −=

+ +

b) Chứng minh:

96 3sin cos cos cos cos 948 48 24 12 6π π π π π

=

c) Cho phương trình 2 22 2 sin 2 cosx x xα α+ = + . Chứng minh

rằng phương trình luôn có hai nghiệm 1 2,x x

với mọi α . Tìm hệ thức liên hệ giữa các

nghiệm 1 2,x x không phụ thuộc vào α

Bài 5: Cho tam giác ABC có 6a = , 2b = ,

3 1c = + . Tính các góc A, B, C và đường cao ah

Bài 6: Cho ( )0;1A , ( )2; 1B −

a. Viết phương trình đường thẳng AB.

b. Viết phương trình đường tròn đường kính

AB.

14

ĐỀ 13 Bài 1: Giải các bất phương trình và hệ bpt sau:

a). ( )( )

( )1 2

02 3

x x

x

− − +≥

−. b). 5 9 6x − ≥ .

c)

56 4 77

8 3 2 52

x x

xx

+ < +

+ < +

Bài 2: Cho f(x) = x2 - 2(m+2) x + 2m

2 + 10m +

12. Tìm m để:

a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b). Bất phương trình f(x) ≥ 0 có tập nghiệm R

Bài 3:

a).

( )

α αα α α

α

α π

+= + + +

≠ ∈�

2 33

cos sin 1 cot cot cotsin

, k .k

α α

α

πα

2

tan2 +cot2b). Rót gän biÓu thøc : A = , sau ®ã tÝnh

1+cot 2

gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi = .8

Bài 4 : Cho tam giác ABC có A = 600; AB = 5, AC

= 8. Tính diện tích S, đường cao AH và bán kính

đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC. Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1;

2), B(2; –3), C(3; 5).

a). Viết phương trình tổng quát của đường cao

kẻ từ A.

b). Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp

xúc với đường thẳng AC.

c). Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc

với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có

diện tích bằng 10.

Bài 6: a) Rút gọn: A=

sin( ) sin( ) sin( ) sin( )2 2

x x x xπ π

π− + − + + + −

b) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ

thuộc vào α .

2 2

2

cot 2 cos 2 sin2 .cos2cot 2cot 2

Aα α α α

αα

−= +

Bài 7: Cho tam giác ABC có a = 5 , b = 6 , c = 7 .

Tính:

a. Diện tích S của tam giác.

b. Tính các bán kính R,r.

c. Tính các đường cao ha, hb, hc.