1
A. PHẦN ĐẠI SỐ I. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax b 0+ <+ <+ <+ <
Điều kiện Kết quả tập nghiệm
a > 0 S = b
a;
−∞ −
a < 0 S = b
a;
− +∞
a = 0 b ≥ 0 S = ∅
b < 0 S = R
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập
nghiệm thu được
3. Dấu của nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b (a ≠ 0)
x ∈ b
a;
−∞ −
a.f(x) < 0
x ∈ b
a;
− +∞
a.f(x) > 0
4. Bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn a. Bất phương trình tích
• Dạng: ( ) ( ). 0P x Q x > (1) (trong đó ( ) ( ),P x Q x là những nhị thức bậc nhất)
• Cách giải: Lập bảng xét dấu, từ đó suy ra tập nghiệm
b. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Dạng: ( )( )
0P x
Q x> (2) (trong đó ( ) ( ),P x Q x là những nhị thức bậc nhất)
• Cách giải: Lập bảng xét dấu rồi suy ra tập nghiệm. Chú ý không nên quy đồng và khử mẫu
• Chú ý: Khi xét dấu các biểu thức có dạng ( )k
f x (trong đó ( )f x là một nhị thức bậc nhất, *k N∈ )
- Khi k chẵn, tất cả các dấu là + - Khi k lẻ, xét dấu theo đúng quy tắc phải cùng, trái khác
c. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
• Ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ
• Dạng 1: g x
f x g xg x f x g x( ) 0( ) ( )( ) ( ) ( )
>< ⇔
− < < � Dạng 2:
g xf x coù nghóa
f x g x g x
f x g xf x g x
( ) 0( )
( ) ( ) ( ) 0( ) ( )( ) ( )
<
> ⇔ ≥ < − >
• Chú ý: Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A B
A BA B < −
> ⇔ >
II. Bất phương trình bậc hai 1. Dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax bx c2 + + (a ≠≠≠≠ 0)
∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R
∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ b
Ra
\2
−
∆ > 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞)
a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x1; x2)
LÝ THUYẾT TOÁN 10 HKII (2012 - 2013)
2
Nhận xét: � a
ax bx c x R2 00,0∆
>+ + > ∀ ∈ ⇔
< �
aax bx c x R2 00,
0∆ <
+ + < ∀ ∈ ⇔ <
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 2ax bx c 0+ + >+ + >+ + >+ + > (hoặc ≥≥≥≥ 0; < 0; ≤≤≤≤ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
3. Phương trình – bất phương trình quy về bậc hai a. Phương trình – bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc
tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ
� Dạng 1:
C Cf x
g xf x g x
f x g x f x g xf x
f x g xf x g x
1 2
( ) 0( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( )( ) ( )
≥ ≥ = = ⇔ ⇔ =
< = − = −
� Dạng 2: f x g x
f x g xf x g x( ) ( )( ) ( )( ) ( )
== ⇔ = −
� Dạng 3: g x
f x g xg x f x g x( ) 0( ) ( )( ) ( ) ( )
>< ⇔
− < <
� Dạng 4:
g xf x coù nghóa
f x g x g x
f x g xf x g x
( ) 0( )
( ) ( ) ( ) 0( ) ( )( ) ( )
<
> ⇔ ≥ < − >
Chú ý: � A A A 0= ⇔ ≥ ; A A A 0= − ⇔ ≤
� Với B > 0 ta có: A B B A B< ⇔ − < < ; A B
A BA B < −
> ⇔ >.
� A B A B AB 0+ = + ⇔ ≥ ; A B A B AB 0− = + ⇔ ≤
b. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc
đặt ẩn phụ để khử dấu căn
� Dạng 1: [ ]
g xf x g x
f x g x2
( ) 0( ) ( )
( ) ( )
≥= ⇔
=
� Dạng 2: f x hoaëc g x
f x g xf x g x( ) 0 ( ( ) 0)( ) ( )( ) ( )
≥ ≥= ⇔
=
� Dạng 3: t f x t
a f x b f x cat bt c2
( ), 0. ( ) . ( ) 00
= ≥+ + = ⇔
+ + =
� Dạng 4: f x g x h x( ) ( ) ( )± = . Đặt u f x
u vv g x
( ) ; , 0( )
=≥
= đưa về hệ u, v
� Dạng 5:
[ ]
f xf x g x g x
f x g x2
( ) 0( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
≥< ⇔ > <
� Dạng 6:
[ ]
g xf x
f x g x g x
f x g x2
( ) 0( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
< ≥> ⇔ ≥ >
III. Lượng giác
1. Đơn vị đo góc và cung:
Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng: Độ 0
0 30
0 45
0 60
0 90
0 120
0 135
0 150
0 180
0 360
0
Radian 0
2. Góc lượng giác & cung lượng giác: a. Định nghĩa:
b. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
2k B 22
2k D - 22
, k B,D 2
A k
C k
A C k
ππ π
ππ π π
ππ π
→ → +
→ + → +
→ → +
3. Đường tròn lượng giác: � A: điểm gốc
� x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
� y'Oy : trục sin ( trục tung )
� t'At : trục tang
� u'Bu : trục cotang
4. Định nghĩa các giá trị lượng giác: a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y
'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u
'Bu
Ta định nghĩa:
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
y
α M
(điểm gốc)
+
t
(điểm ngọn)
2AB kα π= +
+
−
x
y
OC A
B
D
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'uu
t
't'y
xO
A
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
x
y
(tia gốc)
+
t
(tia ngọn)
O
α
α
α
α
α
=
=
=
=
cos
sin
tan
cot
OP
OQ
AT
BU
Trục cosin
Trục tang
Trục cotang
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục sin
+
−
b. Các tính chất: Với mọi α ta có :
� 1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤
� 1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤
� π
α α π∀ ≠ +tan xaùc ñònh 2
k
� α α π∀ ≠cot xaùc ñònh k
5. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
Góc
Hslg
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
3600
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
π π2
sinα 0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0 0
cosα 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1−
2
2−
2
3−
-1 1
tanα 0
3
3
1 3 kxđ 3− -1
3
3−
0 0
cotα kxđ 3 1
3
3
0
3
3−
-1 3− kxđ kxđ
- 3
-1
- 3 /3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1-ππππ/2
ππππ
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/63 /3
3
B ππππ/2 3 /3 1 3
O
+
−
5
6. Giá trị lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
a. Cung đối nhau : vaø -α α (tổng bằng 0) (Vd: 6
&6
ππ− ,…)
b. Cung bù nhau : vaø -α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6
5&
6
ππ,…)
c. Cung phụ nhau : vaø 2π
α α− ( tổng bằng 2π
) (Vd: 3
&6
ππ,…)
d. Cung hơn kém 2π
: vaø 2π
α α+ (Vd: 3
2&
6
ππ,…)
e. Cung hơn kém π : vaø α π α+ (Vd: 6
7&
6
ππ,…)
a. Cung đối nhau: b. Cung bù nhau :
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cossin( ) sintan( ) tancot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
−
− −
− = −
cos( ) cossin( ) = sintan( ) = tancot( ) cot
c. Cung phụ nhau : d. Cung hơn kém 2π
πα α
πα α
πα α
πα α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin2
sin( ) cos2
tan( ) cot2
cot( ) tan2
πα α
πα α
πα α
πα α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
cos( ) sin2
sin( ) cos2
tan( ) cot2
cot( ) tan2
e. Cung hơn kém π :
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
cos( ) cossin( ) sintan( ) tancot( ) cot
7. Công thức lượng giác: a. Các hệ thức cơ bản:
α α
αα
αα
αα
+ =2 2cos sin 1sintan = cos
coscot = sin
α α
αα
αα
+
+
22
22
tan . cot = 1 11 tan =
cos11 cot =
sin
b. Công thức cộng:
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
+ = −
− = +
+ = +
− = −
cos( ) cos .cos sin .sincos( ) cos .cos sin .sinsin( ) sin .cos sin .cossin( ) sin .cos sin .cos
cos đối sin bù
Phụ chéo Hơn kém
2π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém π tang , cotang
6
α βα β
α β
α βα β
α β
−
−−
+
tan +tantan( + ) = 1 tan .tantan tantan( ) = 1 tan .tan
c. Công thức nhân đôi:
α α α α
α α α
α α α
αα
α
= − = −
= − = −
=
=−
2 2 2
2 4 4
2
cos2 cos sin 2cos 1
1 2sin cos sinsin2 2sin .cos
2 tantan2 1 tan
d. Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
e. Công thức hạ bậc:
α
αα
αα
αα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222
+
−=
−=
+= tg
f. Công thức tính sin ,cos , tanα α α theo tan2
tα
=
22
2
2 1
2;
1
1cos;
1
2sin
t
ttg
t
t
t
t
+=
+
−=
+= ααα
g. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )21sin .sin cos( ) cos( )21sin .cos sin( ) sin( )2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
h. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos2 2
cos cos 2sin .sin2 2
sin sin 2sin .cos2 2
sin sin 2cos .sin2 2
sin( )cos cossin( )cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β
α β
α βα β
α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 αα
α+
=
4
3sinsin3sin 3 αα
α−
=
2
2cos1cos2 α
α+
=
2
2cos1sin 2 α
α−
=
ααα 2sin2
1cossin =
A
B CH
OM
AB
C
D
T
R
B. PHẦN HÌNH HỌC I. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin
a b c bc A2 2 2 2 .cos= + − ; b c a ca B2 2 2 2 .cos= + − ; c a b ab C2 2 2 2 .cos= + −
2. Định lí sin
a b cR
A B C2
sin sin sin= = =
3. Độ dài trung tuyến
a
b c am
2 2 22 2( )
4+ −
= ; b
a c bm
2 2 22 2( )
4+ −
= ; c
a b cm
2 2 22 2( )
4+ −
=
4. Diện tích tam giác
S = a b cah bh ch1 1 12 2 2
= =
= bc A ca B ab C1 1 1sin sin sin2 2 2
= =
= abc
R4
= pr
= p p a p b p c( )( )( )− − − (công thức Hê–rông)
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao.
• BC AB AC2 2 2= + (định lí Pi–ta–go)
• AB BC BH2 .= , AC BC CH2 .=
• AH BH CH2 .= , AH AB AC2 2 21 1 1
= +
• AH BC AB AC. .=
• b a B a C c B c C.sin .cos tan cot= = = = ; c a C a B b C b C.sin .cos tan cot= = = =
Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
PM/(O) = MA MB MC MD MO R2 2. .= = −���� ���� ���� �����
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) = MT MO R2 2 2= −
II. Phương trình đường thẳng 1. Phương trình tham số – Phương trình tổng quát – Phương trình chính tắc
Dạng Hình Phương trình tham số Phương trình tổng quát
Qua 2 điểm M, N
0 0( ; )
:qua M x y
du MN
=������
0 0( ; )
:qua M x y
du MN n
= ⇒������ �
M N
Cạnh AB tam
giác
0 0( ; ):
qua A x yAB
u AB
=�����
0 0( ; ):
qua A x yAB
u AB n
= ⇒����� �
Trung tuyến AM
0 0( ; ):
qua A x yAM
u AM
=������
0 0( ; ):
qua A x yAM
u AM n
= ⇒������ �
Đường cao AH
0 0( ; ):
qua A x yAH
n BC u
= ⇒����� �
0 0( ; ):
qua A x yAH
n BC
=�����
Đường trung
trực ∆
;2 2:
B c B cx x y y
qua I
n BC u
+ +
∆ = ⇒
����� �
;2 2:
B c B cx x y y
qua I
n BC
+ +
∆ =
�����
Có hệ số góc k )(: 00 xxkyyd −=−
Song song với đt
'd du u=� �
'd dn n=� �
Vuông góc với đt
'd du n=� �
'd dn u=� �
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:)0;0(,0:
)0;0(,0:
222222
111111
≠≠=++
≠≠=++
bacybxad
bacybxad và hệ
−=+
−=+
222
111
cybxa
cybxa(*)
Vị trí tương đối Hình ảnh Tỉ số Số nghiệm của hệ (*)
Cắt nhau 2
1
2
1
b
b
a
a≠ Có nghiệm duy nhất
Song song
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a≠= Vô nghiệm
Cắt nhau 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a== Vô số nghiệm
3. Tính góc giữa hai đường thẳng
Hình ảnh Công thức
Góc giữa hai đường thẳng
0: 1111 =++ cybxad
và 0: 2222 =++ cybxad
( )2
2
2
2
2
1
2
1
2211
21 ,cosbaba
babadd
++
+=
Đặc biệt
d1
d2
d2
d1
d2
d1
d2
B C
C B M
B C H
A
B C I
∆
∆
d
d’
M
9
� ( )
0 1
1
0 11 2 1 2
1 2, 2 2 2 20 2 1 1 2 2
2 ,
0 2
:| |
cos ,.
:
x x a td
y y b t a a b bd d
x x a t a b a bd
y y b t
= +
= + +⇔ =
= + + + = +
� ( )1 1 1 1 21 2
2 2 2 1 2
:tan ,
: 1
d y k x m k kd d
d y k x m k k
= + −⇒ =
= + +
4. Khoảng cách
Yếu tố đã có Công thức
Khoảng cách giữa 2 điểm ( )AA yxA ; và ( )BB yxB ; 22 )()( ABAB yyxxAB −+−=
Khoảng cách từ một điểm
đến đường thẳng
Điểm );( 00 yxA
và 0: =++∆ cbyax 22
00);(
ba
cbyaxAd
+
++=∆
Nhận xét: � Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta phải đưa đường thẳng về phương trình tổng quát
- M, N nằm cùng phía đối với ( ) ( ) 0M M N Nax by c ax by c∆ ⇔ + + + + >
- M, N nằm khác phía đối với ( ) ( ) 0M M N Nax by c ax by c∆ ⇔ + + + + <
� Cho hai đường thẳng 1∆ và
2∆ cắt nhau với: 1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = và
2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = thì pt 2 đường
phân giác 1d và 2d của góc tạo bởi 1∆ và 2∆ là: 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + += ±
+ +
Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù
1 2 1 2 0a a b b+ > 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +=
+ + 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + += −
+ +
1 2 1 2 0a a b b+ < 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + += −
+ + 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
+ + + +=
+ +
III. Phương trình đường tròn 1. Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát
� Phương trình đường tròn có ( );I a b
R
là: ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = (1)
� Phương trình: 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = là phương trình đường tròn tâm ( );I a b và bán kính
2 2R a b c= + − khi và chỉ khi 2 2 0a b c+ − >
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
� Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = . Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0;M x y C∈ :
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − =
� Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = . Tiếp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0;M x y C∈ :
( ) ( )0 0 0 0 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + =
� Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = . Đường thẳng : 0ax by c∆ + + = đi qua ( ) ( )0 0;A x y C∉
là tiếp tuyến của ( )C phải thỏa mãn hệ phương trình: ( )0 0 0
;
ax by c
d I R
+ + =
∆ =
3. Phương tíchCho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = và ( )0 0;M x y . Xét 2 2
0 0 0 02 2P x y ax by c= + − − +
� 0 :P M> nằm ngoài đường tròn
� 0 :P M< nằm trong đường tròn
� 0 :P M= nằm trên đường tròn
4. Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn Cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = và đường thẳng : 0d Ax By C+ + = .
10
Xét hệ phương trình: ( )2 2 2 2 0
0
x y ax by cI
Ax By C
+ − − + =
+ + =
Ta có thể giải hệ (I) bằng phương pháp thế.
� vô nghiệm: đường thẳng d không cắt đường tròn ( )C
� có 1 nghiệm ( );x y : đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( )C
� có 2 nghiệm ( );x y : đường thẳng d cắt đường tròn ( )C tại 2 điểm phân biệt
5. Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn Cho đường tròn ( )1C có ( )1 1;I R ; đường tròn ( )2C có ( )2 2;I R . Gọi 1 2d I I= . Ta có:
� 1 2 1 2R R d R R− < < + → ( ) ( )1 2;C C cắt nhau tại 2 điểm
� 1 2d R R= + → ( ) ( )1 2;C C tiếp xúc ngoài
� 1 2d R R= − → ( ) ( )1 2;C C tiếp xúc trong
� 1 2d R R> + → ( ) ( )1 2;C C ngoài nhau
� 1 2d R R< − → ( ) ( )1 2;C C chứa nhau
ĐỀ 1
Bài 1: Giải bpt
a/ 2 2
2 55 4 7 10x x x x
<− + − +
b/ 2 5 1x x− ≤ + .
Bài 2: Cho phương trình:
-x2 + 2 (m+1)x + m
2 – 7m +10 = 0.
a/ CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt với
mọi m.
b/ Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 3: cho cota = 1/3.
Tính A = 2 2
3sin sin cos cosa a a a− −
.
Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A (2;3)
B(4;7), C(-3;6).
1/Viết phương trình đường trung tuyến BK của
tam giác ABC.
2/Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến
trung tuyến BK.
3/Tính diện tích tam giác ABK.
4/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Bài 5: Giải bất phương trình: 2 4 3 1x x x− + ≤ + .
ĐỀ 2
Bài 1: Giải bất phương trình
++ ≤
+
2/ 22
x xa
x x
+ −<
−
2 2 3/ 01 2
x xb
x
Bài 2: cho phương trình mx2 – 2(m-2)x +m – 3 =0.
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2: x1
+ x2 + x1. x2 ≥ 2.
Bài 3: Cho tam giác ABC.
CMR sinA = sin(B+C).
Bài 4: A(4;-2), B(2;-2), C(1;1).
1/ Viết phương trình tham số của d qua A và
song song BC.
2/ Tính khoảng cách từ A đến BC.
3/ Tính góc �BAC
4/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Bài 5: CMR 0 0 0 0
0 0
sin20 .sin40 .sin50 .sin70 14cos10 .cos50
=
ĐỀ 3
Bài 1:
1. Tìm TXĐ của hàm số:1
xy
x=
−
2. Giải bất phương trình: 2 12 1x x x− − ≤ −
3. Giải bất phương trình: 5 12
xx
x
++ ≥
−
Bài 2: Cho tam thức bậc hai: f(x) = –x2 + (m + 2)x
– 4. Tìm các giá trị của tham số m để:
a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt .
BỘ ĐỀ ÔN THI HKII TOÁN 10 (2012 - 2013)
11
b). Tam thức f(x) < 0 với mọi x.
Bài 3: Cho tam giác ABC biết AB=12cm ,
BC=16cm , CA=20cm
a).Tính cosA và tính diện tích tam giác ABC.
b).Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
tam giác ABC.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):2 2 2 4 4 0x y x y+ − − + =
a) Định tâm và tính bán kính của đường tròn
(C).
b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến
với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi 2
tiếp tuyến đó.
Bài 5: Chứng minh rằng
4 4 2si sin 2sin 12
n x x xπ
− − = −
Bài 6: Cho tam giác ABC
(đặt BC=a, AB=c, AC=b) a) Biết b=8, c=5, A=60
0. Tính S, R
b) Chứng minh rằng: 2 2 2
2 2 2
tantan
A a c b
B b c a
+ −=
+ −
ĐỀ 4 Bài 1: Giải bất phương trình:
a). 2
2
8 8 15 6
x x
x x
+ −≥ −
− + b).
2 3 1 22
x x
x
− +>
+
Bài 2: Cho phương trình ( )2 4 1 3 0mx m x m− + + + =
.
a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái
dấu.
b) Định m để phương trình có nghiệm này gấp
3 lần nghiệm kia.
Bài 3:
a) Cho 1cot3
a = . Tính
2 2
3sin sin cos cos
Aa a a a
=− −
b) Rút gọn biểu thức: 3 3sin cos sin cos
sin cosx x
B x xx x
+= +
+
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có
A(2;3), B(4;7), C(-3;6)
a) Viết phương trình đường trung tuyến BK
của tam giác ABC.
b) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ
từ A đến trung tuyến BK.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Tìm tâm và bán kính của đường
tròn này.
Bài 5:
1) Định m để hàm số
( ) ( )21 2 1 3 3y m x m x m= + − − + − xác định
với mọi x.
2) Giải phương trình ( )2 22 3 1 3 3x x x x+ − ≤ +
3) Giải hệ phương trình 2 2 2
1x y x y
xy x y
+ − + =
+ − = −
ĐỀ 5
Bài 1: 1). Giải bất phương trình và hệ bất phương
trình sau
a. ( )− + < − +2 21 4 3 5x x x b.
2 3 3 14 553 8
3
x x
xx
x
− +<
+ < −
Bài 2: Cho 12 3sin 213 2
a aπ
π−
= < <
a. Tính cosa, tana, cota
b. Tính cos3
aπ
−
Bài 3: Cho tam giác ABC có 0ˆ2 3, 2, 30a b C= = = .
a. Tính các cạnh, góc A và diện tích của tam
giác
b. Tính chiều cao ha và trung tuyến ma
Bài 4: Cho ( )1, 2A − và đường thẳng
( ) : 2 3 18 0d x y− + =
a. Tìm tọa độ hình chiếu của A xuống
đường thẳng (d).
b. Tìm điểm đối xứng của A qua (d).
Bài 5: a).Viết phương trình đường tròn đường kính
AB với ( ) ( )3,2 , 7,6A B−
b) Giải và biện luận ( )1 1 0mx x+ − = Bài 6: Cho đường cong
( ) 2 2: 4 2 0mC x y mx y m+ − − − + =
a. Chứng tỏ ( )mC luôn luôn là đường tròn.
b. Tìm m để ( )mC có bán kính nhỏ nhất.
\ĐỀ 6
Bài 1: Giải bất phương trình 2
2
1 03 10
x
x x
+<
+ −
Bài 2: 1). Tính 13cos6π
, 5sin12π
, 11 5cos cos12 12
π π
2). Rút gọn 3 3cos sin sin cosA a a a a= −
3) Tính 0 0 0 0103cos , sin5 .sin15 ...sin75 sin8512
π
12
Bài 3: Cho tam giác ABC có 37, 5, cos5
b c A= = =
a. Tính a, sinA và diện tích của tam giác ABC
b. Tính đường cao xuất phát từ A
c. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác
Bài 4: 1. Cho ( ) ( )1 2: 0, : 2 3 0d x y d x y− = + + =
a) Tìm giao điểm A của (d1) và (d2)
b) Viết phương trình đường thẳng qua A và
vuông góc với ( )3 : 4 2 1 0d x y+ − =
2. Viết phương trính đường tròn qua hai điểm
( ) ( )2,3 , 1,1M N − và có tâm trên đường thẳng
3 11 0x y− − =
Bài 5: CMR đường thẳng
( ) ( ) ( ): 2 1 2 3 4 0m m x m y m∆ + − − − − =
luôn qua một điểm cố định với mọi m
ĐỀ 7
Bài 1: a)Cho 3sin ( 0)4 2
πα α= − − < < .Tính các
giá trị lượng giác còn lại
b) Xác định miền nghiệm của hệ bpt: 2 3 0
3 0x y
y
+ − ≤
− ≤
Bài 2 : a) Xét dấu biểu thức sau: 2
2
(2 5 )( )5 4
x xf x
x x
−=
− −
b) Giải bpt : 2 2 3 0 3 41 2
x xx
x
+ −• < • − <
−
c) Xác định m để phương trình:
mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai nghiệm dương
Bài 3: 1) Tính giá trị biểu thức
sin cos vôùi tan = -2 vaø cos 2sin 2
Pα α π
α α πα α
+= < <
−
2). Cho tam giác ABC có
1 3( 4;4), (1; ), ( ; 1)4 2
A B C− − − . Viết phương trình tổng
quát đường thẳng AB và tính khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB
Bài 4: Cho tam giác ABC có độ dài ba
cạchAB=10cm, AC=14cm, BC= 12cm . Tính diện
tích , bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Bài 5: 1).Cho tam thức bậc hai 2( ) ( 3) 10( 2) 25 24f x m x m x m= − − − + −
Xác định m để ( ) 0,f x x≤ ∀ ∈�
2). Rút gọn biểu thức 2 2(tan cot ) (tan cot )P α α α α= + − −
ĐỀ 8
BÀI 1: a) Tính 3 72sin 6cos tan
6 2 6P
π π π= + −
b) Tính giá trị lượng giác của góc 150
c) Tìm nghiệm nguyên thỏa hệ bpt sau
42 5 28 498 3 2 252
x x
xx
+ > + +
< +
BÀI 2: a) Giải bpt :
2
2
( 1)(3 2 ) 20 224
24 3 1 21
x x x x
x xx
xx x x
x
− − +• ≤ • + ≤
++
−• − + ≤ + • ≥
+
b) Xác định m để pt:mx2-2(m-2)x + m-3 =0 có hai
nghiệm thỏa 1 2 1 2 2x x x x+ + ≥
BÀI 3: a) Chứng tỏ đt d: 3x-4y-17=0 tiếp xúc với
đường tròn (C): x2 + y
2 -4x -2y -4 =0 .
b) Tìm m để hai đường thẳng
( )1 2
1 2: : 5 0
2x t
d t d mx yy t
= +∈ − + =
= − −�
song song nhau
BÀI 4: Không dùng máy tính cầm tay tính : sin
3150 , tan405
0 , cos750
0
ĐỀ 9 1. Xét dấu biểu thức
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7). g(x)= 1 1
3 3x x−
− + h(x) = -3x
2 + 2x – 7
2. Giải bpt a) (5 -x)(x - 7)
1x − > 0 b) –x
2 + 6x - 9 > 0;
c)3 1 22 1x
x
− +≤ −
+
3. a) Cho sinα = 35
; và 2π
α π< < .
Tính cosα, tanα, cotα.
b) Tính: cos105°; tan15°.
4. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(4;4)
a) Tìm độ dài các cạnh và các góc của tam giác
ABC.
b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp
tam giác ABC.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A. Xác
định tọa độ điểm M thuộc tiếp tuyến này để tỉ số
giữa tung
độ và hoành độ có trị tuyệt đối là 9.
5. Trong mp0xy cho A(1;1); B(7;1); C(5;5), và dm:
3x-4y + m =0
a) Xác định m để dm cắt canh AB của tam giác
ABC.
b) Biện luận theo m vị trí tương đối của dm và
đường tròn(C) ngoại tiếp tam giác ABC.
13
c) Khi dm là tiếp tuyến của (C) hãy tìm trên dm
những điểm M để diện tích tam giác MDI là 8 với
D tiếp điểm, I tâm của (C).
ĐỀ 10
1. Giải bất phương trình
a/ 3 1x − ≥ − b/ 5 8 11x − ≤
c/ 1 22 3 5
x
x x
+≥
+ −
2) Giải hệ bất phương trình sau
a)
56 4 77
8 3 2 52
x x
xx
+ < +
+ < +
. b)
2 3 11
( 2)(3 ) 01
x
x
x x
x
+> −
+ − <
−
3) Cho phương trình : 2( 5) 4 2 0m x mx m− − + − = . Với giá trị nào của m thì
a) Phương trình vô nghiệm
b) Phương trình có các nghiệm trái dấu
4) Trong tam giác ABC cho a=8, B=60o , C=75
0
a) Xác định các góc và các cạnh còn lại của
tam giác ABC.
b) Tìm độ dài đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
tam giác ABC.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
5) Cho đường tròn (C): x2 + y
2 +8x -4y + 2 =0.
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
A(-1;5).
c) Viết phương trình đường thẳng trung
trực của AI (I là tâm của (C)).
6) Cho sina =1/4 với 0<a<900. Tìm các giá trị
lượng giác của góc 2a.
7) Chứng minh rằng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)
2 = 4;
b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
8). a) Chứng minh có ít nhất một phương trình có
nghiệm trong hai phương trình sau x
2 - 2ax + 1 - 2b = 0
x2 - 2bx + 1 - 2a = 0
b) Tính
2 2 2 2 22 3 22 23sin sin sin ... sin sin24 24 24 24 24π π π π π
+ + + + +
ĐỀ 11 Bài 1: Cho phương trình
( )2 22 3 2 2 0x m x m m− + + + + = (1)
a. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2,x x thỏa 1 22x x=
b. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x
, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
độc lập đối với tham số m.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình 2 2 1 0x x m+ + + ≥
có nghiệm.
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a. 2 3 2 0
1x x
x
+ +≥
+
b. 2 3 4 2x x x− + ≥ +
c) 2 22 3 2x x x x+ − ≤ − +
Bài 4: a) Tính sin(3750).
b) Cho sinx=0.6, tính tan cottan cot
x xA
x x
−=
+ và
cos2B x=
c) Chứng minh rằng:
( )0 0 0 04 cos24 cos48 cos84 cos12 2+ − − =
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC =
6. Tính cosA, đường cao AH, bán kính đường tròn
ngoại tiếp ABC.
Bài 6: Cho A(1;-3) và đường thẳng d: 3x+4y-5=0.
a. Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và
vuông góc với d.
b. Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp
xúc với d.
ĐỀ 12 Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a. 2 4 3 13 2
x xx
x
− +< −
− b) 2 3 2 3x x x− + ≥ −
c) 2 24 1 1x x x− + > −
Bài 2: Cho phương trình
( )2 22 1 3 0x m x m m− − + − =
a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái
dấu.
b. Tìm m để phương trình có tổng bình phương
các nghiệm bằng 2.
Bài 3: Tìm m để ( ) ( )21 1 3 2 0m x m x m− + + + − ≥ vô
nghiệm.
Bài 4: a) Rút gọn: 1 sin4 cos41 4 sin4
x xA
cos x x
+ −=
+ +
b) Chứng minh:
96 3sin cos cos cos cos 948 48 24 12 6π π π π π
=
c) Cho phương trình 2 22 2 sin 2 cosx x xα α+ = + . Chứng minh
rằng phương trình luôn có hai nghiệm 1 2,x x
với mọi α . Tìm hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm 1 2,x x không phụ thuộc vào α
Bài 5: Cho tam giác ABC có 6a = , 2b = ,
3 1c = + . Tính các góc A, B, C và đường cao ah
Bài 6: Cho ( )0;1A , ( )2; 1B −
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn đường kính
AB.
14
ĐỀ 13 Bài 1: Giải các bất phương trình và hệ bpt sau:
a). ( )( )
( )1 2
02 3
x x
x
− − +≥
−. b). 5 9 6x − ≥ .
c)
56 4 77
8 3 2 52
x x
xx
+ < +
+ < +
Bài 2: Cho f(x) = x2 - 2(m+2) x + 2m
2 + 10m +
12. Tìm m để:
a). Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b). Bất phương trình f(x) ≥ 0 có tập nghiệm R
Bài 3:
a).
( )
α αα α α
α
α π
+= + + +
≠ ∈�
2 33
cos sin 1 cot cot cotsin
, k .k
α α
α
πα
2
tan2 +cot2b). Rót gän biÓu thøc : A = , sau ®ã tÝnh
1+cot 2
gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi = .8
Bài 4 : Cho tam giác ABC có A = 600; AB = 5, AC
= 8. Tính diện tích S, đường cao AH và bán kính
đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC. Bài 5 : Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1;
2), B(2; –3), C(3; 5).
a). Viết phương trình tổng quát của đường cao
kẻ từ A.
b). Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp
xúc với đường thẳng AC.
c). Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc
với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam giác có
diện tích bằng 10.
Bài 6: a) Rút gọn: A=
sin( ) sin( ) sin( ) sin( )2 2
x x x xπ π
π− + − + + + −
b) Chứng minh biểu thức sau đây không phụ
thuộc vào α .
2 2
2
cot 2 cos 2 sin2 .cos2cot 2cot 2
Aα α α α
αα
−= +
Bài 7: Cho tam giác ABC có a = 5 , b = 6 , c = 7 .
Tính:
a. Diện tích S của tam giác.
b. Tính các bán kính R,r.
c. Tính các đường cao ha, hb, hc.
Top Related