Deformations and isotopies of Jordan algebras / Deformações e isotopias de álgebras de Jordan

Deformações e isotopiasde álgebras de Jordan

Maria Eugenia Martin

TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE

MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

DOUTOR EM MATEMÁTICA

Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autorrecebeu auxílio financeiro da CAPES e do CNPq.

Universidade de São PauloSão Paulo, 10 de outubro de 2013

Universidade de São PauloInstituto de Matemática e Estatística

Deformações e isotopias de álgebras de Jordan

Maria Eugenia Martin

Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba

Esta versão da tese contém as correções e alteraçõessugeridas pela Comissão Julgadora durante a

defesa, realizada em 11/09/2013. O originalencontra-se disponível no Instituto de Matemática e

Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

Profª. Drª. Iryna Kashuba (Orientadora) - IME - USP

Prof. Dr. Ivan Shestakov - IME - USP

Profª. Drª. Irina Sviridova - Universidade de Brasília

Profª. Drª. Maria Trushina - University State of Moscow

Prof. Dr. Roldão da Rocha - Universidade Federal do ABC

São Paulo, 10 de outubro de 2013

i

AGRADEC IMENTOS

Agradeço, primeiramente, à professora Iryna Kashuba por me introduzir nesta interes-

sante área da matemática, pela sua orientação, amizade e dedicação.Agradeço aos professores da banca pelas correções, comentários e sugestões. Aos pro-

fessores I. Shestakov IME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP pelos conselhos vali-osos e por me introduzir ao conceito de isotopias.

Agradeço ao CNPq e a CAPES por terem financiado este projeto.À minha família e amigos. Aos meus pais que sempre me incentivaram e estiveram

comigo apesar da distância. Aos meus sogros por cuidarem da minha filha enquantorealizava este trabalho.À minha filha Paloma pela paciência e compreensão dos momentos ausente.

E, por último, quero agradecer muito especialmente ao meu marido Daniel pela compa-nhia, infinitos conselhos, muitas revisões, ajuda com a língua portuguesa, em fim por

tudo o que ele fez para que seja possível a realização deste trabalho.

iii

RESUMO

Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-

dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2

e sobre o corpo dos números reais. A classificação algébrica foi realizada de duas ma-

neiras: a menos de isomorfismos e a menos de isotopias. Enquanto que a classificaçãogeométrica foi feita estudando as variedades de álgebras de Jordan Jorn para n 6 4 e

JorR

n para n 6 3. Provamos que Jor4 tem 73 órbitas sob a ação de GL(V) e que é a uniãodos fechos de Zariski das órbitas de 10 álgebras rígidas, cada um dos quais corresponde

a uma componente irredutível. Analogamente, mostramos que JorR

3 tem 26 órbitas e éa união dos fechos de Zariski das órbitas de 8 álgebras rígidas. Também obtivemos queo número de componentes irredutíveis em Jor5 é > 26. Construímos ainda três famí-

lias de álgebras rígidas não associativas, não semisimples e indecomponíveis as quaiscorrespondem a componentes irredutíveis de Jorn e JorR

n para todo n > 5.

Palavras-chaves: Álgebras de Jordan, Deformação, Isotopia

v

ABSTRACT

Deformations and isotopies of Jordan algebras

In this work we present the algebraic and geometric classification of Jordan algebrasof small dimensions over an algebraically closed field k of char k 6= 2 and over the

field of real numbers. The algebraic classification was accomplished in two ways: upto isomorphism and up to isotopy. On the other hand, the geometric classification

was obtained studying the varieties of Jordan algebras Jorn for n 6 4 and JorRn for

n 6 3. We prove that Jor4 has 73 orbits under the action of GL(V) and it is the union

of Zariski closures of the orbits of 10 rigid algebras, each of which corresponds to oneirreducible component. Analogously, we show that JorR

3 has 26 orbits and is the union

of Zariski closures of the orbits of 8 rigid algebras. Also we obtain that the number ofirreducible components in Jor5 is > 26. We construct three families of indecomposable

non-semisimple, non-associative rigid algebras which for any n > 5, correspond toirreducible components of Jorn and JorR

n.

Keywords: Jordan Algebras, Deformation, Isotopy

vii

SUMÁR IO

Introdução 1

1 Introdução às Álgebras de Jordan 7

1.1 Definições e Exemplos 7

1.2 Resultados Principais 12

1.3 Decomposição de Peirce 15

1.4 Extensões e Cohomologia 17

2 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 4 sobre um Corpo

Algebricamente Fechado 21

2.1 Álgebras de Jordan de Dimensão menor que 4 22

2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1 22



2.2 Álgebras de Jordan de Dimensão 4 23

2.2.1 Álgebras de Jordan Semissimples 24

2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1 25



2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes 42

2.2.6 Observações 44

3 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 3 sobre o Corpodos Números Reais 45

3.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão menor que 3 46

3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1 46

3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2 46

3.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 3 46

3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semissimples 47

3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1 48

3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2 50

3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes 51

3.2.5 Observações 53

ix

4 Deformações 55

4.1 Introdução à Geometria Algébrica 56

4.1.1 Variedades Algébricas 56

4.1.2 Dimensão 58

4.1.3 Ação de Grupos 59

4.2 Deformações Infinitesimais de Álgebras de Jordan 60

4.3 A Variedade Algébrica Jorn 64

4.4 O Comportamento de uma Álgebra através de Deformação 74

4.5 Algumas Componentes Irredutíveis de Jorm para m > 2 79

5 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou iguala 4 sobre um Corpo Algebricamente Fechado 87

5.1 A Variedade Algébrica Jor1 87




5.5 Algumas Propriedades da Variedade Algébrica Jor5 111

6 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou iguala 3 sobre o Corpo dos Números Reais 115

6.1 A Variedade Algébrica JorR

1 115

6.2 A Variedade Algébrica JorR2 115

6.3 A Variedade Algébrica JorR

3 117

6.4 Comparação das Variedades JorR

n e JorC

n 124

7 Álgebras Isotópicas 127

7.1 Introdução às Isotopias 127

7.2 Classificação Algébrica a menos de Isotopia das álgebras de Jordan Reaisde dimensão 3 130

8 Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras 135

a Programas em Mathematica 139

a.1 Define o Produto de Jordan na Base Canônica 139

a.2 Verifica se duas Álgebras são Isomorfas 141

a.3 Verifica se uma Álgebra é de Jordan, Flexível, Associativa, e/ou Alterna-tiva. 142

a.4 Verifica se uma Álgebra é Unitária 144

a.5 Verifica se é Subálgebra. 145

x

a.6 Calcula a Dimensão do Aniquilador de uma Álgebra 146

a.7 Calcula a Dimensão das Potências 146

a.8 Calcula a Dimensão do Grupo de Automorfismo 147

a.9 Calcula a dimensão de H2. 149

a.10 Calcula a dimensão do Centro Associador 151

a.11 Realiza a Soma Direta de Álgebras de Jordan; 152

a.12 Decompõe uma Álgebra em Soma Direta 153

a.13 Exibe o Produto da Álgebra 154

a.14 Exibe Resumo das Propriedades da Álgebra 154

b Informações sobre as Álgebras de Jordan de Dimensão 4 157

c Informações sobre as Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 3 209

Bibliografia 222

xi

L I STA DE F IGURAS

Fig. 4.1 Equivalências entre os diversos conceitos de rigidez 71

Fig. 5.1 Descrição completa das órbitas de Jor2 89

Fig. 5.2 Descrição quase-completa das órbitas de Jor3 93

Fig. 5.3 Descrição das órbitas de Jor4 101

Fig. 5.4 Descrição mais completa das órbitas de Jor4 102

Fig. 6.1 Descrição completa das órbitas de JorR

2 116

Fig. 6.2 Descrição quase-completa das órbitas de JorR

3 123

xiii

L I STA DE TABELAS

Tabela 2.1 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 22

Tabela 2.2 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3 22

Tabela 2.3 k-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 4 25

Tabela 2.4 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional eparte semissimples ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 26

Tabela 2.5 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e

parte semissimples T5 27

Tabela 2.6 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2) 28

Tabela 2.7 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1) 29

Tabela 2.8 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3) 31

Tabela 2.9 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1) 32

Tabela 2.10 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N0 34

Tabela 2.11 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N1 35

Tabela 2.12 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e

N = N0 ⊕N 12

com dimN0 = 2 35


N = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2 36


N = N0 ⊕N 12

com dimN 12= 2 37


N = N0 ⊕N 12⊕N1 39


N = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2 40


N = N 12⊕N1 com dimN1 = 2 40


N = N 12⊕N1 com dimN 1

2= 2 41

Tabela 2.19 k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 42

Tabela 3.1 R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 46

Tabela 3.2 R-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 3 48

xv

Tabela 3.3 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eparte semissimples Re1 ⊕ Re2 48

Tabela 3.4 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eparte semissimples B ′

4 49

Tabela 3.5 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2) 50

Tabela 3.6 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1) 51

Tabela 3.7 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3) 51

Tabela 3.8 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1) 52

Tabela 3.9 R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1) 52

Tabela 5.1 Existência de deformações em Jor2 90



Tabela 5.4 Existência de deformação em Jor4 105

Tabela 5.5 Existência de deformação em Jor4 107


Tabela 5.7 Algumas álgebras de Jordan rígidas de dimensão 5 112

Tabela 6.1 Existência de deformações em JorR

2 117


3 121


3 122


3 123

Tabela 6.5 Comparação das variedades JorC

n e JorR

n 125

Tabela 7.1 Comparação do número de álgebras de Jordan unitárias de dimen-

são 3 133

Tabela 8.1 Número de órbitas e de componentes irredutíveis de Jorn e JorR

n 137

Tabela B.1 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 157

Tabela B.2 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3 157

Tabela C.1 R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 209

xvi

I NTRODUÇÃO

Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-

dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2 esobre o corpo dos números reais.

O problema de classificação algébrica foi abordado de duas maneiras: primeiramente

determinamos todas as estruturas algébricas de uma certa dimensão n a menos de iso-morfismo e posteriormente utilizaremos esses resultados para refinar esta classificação

ao determinar todas as estruturas algébricas a menos de isotopia.

Determinar as classes de isomorfismos de uma estrutura algébrica é um problema

amplamente estudado. Apesar disso, a única classe de álgebras (associativas, Jordan eLie) que foi completamente descrita é a classe das álgebras simples. Em geral, a lista

de todas as álgebras é conhecida somente em dimensões pequenas. Em 1975, P. Gabrielapresentou em [13] a lista de todas as álgebras associativas unitárias sobre um corpo

algebricamente fechado de dimensão menor ou igual a 4. Quatro anos mais tarde, G.Mazzola, em seu trabalho [31], estendeu a classificação para as álgebras de dimensão 5.

Por outro lado, no contexto de álgebras de Lie a classificação é conhecida até dimensão6, veja [26].

No que diz respeito às álgebras de Jordan, H. Wesseler em [48] descreveu as álgebras

unitárias sobre um corpo algebricamente fechado até dimensão 6. Em, particular elemostrou que essas álgebras são especiais. De modo mais geral, em 1989, H. Sherkulov

em [43] classificou todas as álgebras de Jordan não associativas de dimensão menor ouigual a 4 também sobre um corpo algebricamente fechado e em 2011, em seu artigo [4],

Ancochea Bermúdez e outros determinaram as leis das álgebras de Jordan nilpotentesde dimensão 3 e 4 sobre o corpo dos números complexos. Neste trabalho generaliza-

remos estes resultados e classificaremos a menos de isomorfismo todas as álgebras deJordan (unitárias e não unitárias, associativas e não associativas) de dimensão n para

n 6 4 sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2.

Quando consideramos um corpo arbitrário o problema da classificação algébrica éainda mais complicado pois a classificação depende de maneira essencial do corpo que

estivermos considerando e, em geral, não é possível obter uma classificação. Para cor-pos bases especiais, como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números

reais o problema pode ser completamente resolvido mas mesmo com essas restriçõesa determinação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimen-

1

são fixa sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso deálgebras de Jordan semissimples. Os resultados na literatura para álgebras de Jordan

(e até mesmo Lie e associativas) sobre R são muito escassos, inclusive para dimensõespequenas. Em 2007, Ancochea Bermúdez e outros classificaram algebricamente as ál-

gebras associativas de dimensão 2 sobre R no trabalho [5] e posteriormente, em [3], asálgebras de Jordan de dimensão 2. Neste trabalho apresentaremos a lista de todas as

álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo dos números reais.

Tendo obtido esta classificação temos metade do caminho percorrido em relação àquestão de classificar álgebras de Jordan a menos de isotopia, pois se duas álgebras são

isomorfas então elas são isotópicas. Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordané, resumidamente, uma nova álgebra de Jordan cujo produto é definido a partir de

um elemento dado da álgebra original através do produto triplo de Jordan. Homotopiasomente define uma relação de equivalência se a álgebra original é unitária e o elemento

dado é invertível, em tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.

O conceito de isotopia foi introduzido em 1958 por N. Jacobson em [20] e em [19] eledeterminou as identidades fundamentais nas quais a teoria de isotopias se baseia, i.e.,

identidades relativas ao produto triplo de Jordan. Já, M. Koecher, em seu trabalho [27],utilizou as propriedades funtoriais do conceito de homotopia (por ele denominado de

“mutuação”) para explicitar uma construção de espaços simétricos Hermitianos de tipocompacto como uma compactificação de uma álgebra de Jordan semissimples complexade dimensão finita.

Neste trabalho determinamos todas as classes de equivalências dessa relação para as

álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3 sobre o corpo dos reais. A ideia de realizara classificação neste trabalho surgiu como uma sugestão dos professores I. Shestakov

IME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP durante o exame de qualificação.

Ressaltamos que para álgebras associativas a noção de isotopia não desempenha pa-pel importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas coincidem. Prova-

remos que isso não acontece com as álgebras de Jordan reais e, assim, que o conceitode isotopia fornece uma relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomor-

fismo.

Nossa motivação para obter a classificação algébrica vem da intenção de entender avariedade das álgebras de Jordan, i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A

saber, seja k um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2 ou o corpo dos númerosreais. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre k, com base e1, . . . , en

2

fixa, para introduzirmos uma estrutura de álgebra de Jordan em V especificamos n3

constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto na álgebra resultante é dado por

ei · ej =n∑

k=1

ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.

A escolha das constantes não é arbitrária e deve refletir os fatos que a álgebra é comu-

tativa e que satisfaz a identidade de Jordan. Estas restrições se manifestam através deequações polinomiais nas constantes estruturais, e assim podemos interpretar o espaço

das constantes estruturais como um subconjunto afim Zariski-fechado da variedade kn3

que chamaremos de variedade das álgebras de Jordan de dimensão n e denotaremos

por Jorn. Um ponto qualquer (ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra deJordan J de dimensão n.

O problema de determinar os pontos genéricos de Jorn ou, equivalentemente, ascomponentes irredutíveis da variedade algébrica pode ser formulado geometricamente

como segue: o grupo geral linear G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”,decompondo a variedade Jorn em G-órbitas as quais correspondem às classes de álge-bras de Jordan isomorfas. Se uma álgebra J pertence ao fecho de Zariski da órbita de

uma outra álgebra J ′ da variedade então dizemos que J ′ é uma deformação de J. Umaálgebra J cuja órbita sob a ação de G, JG, é aberta na topologia de Zariski de Jorn é

chamada de rígida. Álgebras rígidas são de particular interesse pois o fecho da órbitade tais álgebras gera uma componente irredutível da variedade.

Note que analogamente podemos definir a variedade das álgebras associativas e deLie. Denotaremos elas por Assocn e Lien, respetivamente. A geometria de ambas

é bastante complicada. Em 1890 E. Study em [45] considerou álgebras associativascomplexas de dimensão 4 e mostrou que é impossível achar uma álgebra genérica, o

equivalentemente, que Assoc4 tem mais de uma componente irredutível.

Em 1964, M. Gerstenhaber em seu trabalho [14] introduziu a noção formal de de-formação infinitesimal entre álgebras associativas. Seja A uma álgebra associativa de

dimensão n e considere uma n3-upla g = gijk(t) de series de potências na variável t,tal que g(t) defina uma multiplicação associativa na álgebra At = V⊗k(t) e gijk(0) coin-

cida com as constantes estruturais de A, então dizemos que At é uma deformação deA. É fácil ver que a definição analítica de deformação implica na geométrica, veja [11].

Em particular, uma álgebra de dimensão finita A é rígida se toda gijk(t) satisfazendoas condições anteriores define uma álgebra At isomorfa a A para todo t ∈ k. Também

foi provado por Gerstenhaber que se o segundo grupo de cohomologia de A ∈ Assocncom coeficientes em A, H2(A,A), é trivial então A é uma álgebra rígida. Quatro anos

3

depois, a teoria de deformação analítica introduzida por Gerstenhaber para álgebrasassociativas foi estendida a álgebras de Lie por Nijenhuis e Richardson em [36].

Em 1968, F. Flanigan em [11] comparou a estrutura de uma álgebra deformada At

com a estrutura da álgebra original, tal comparação é análoga para álgebras de Jordan.

Também em [12] ele mostrou que cada componente irredutível de Assocn ou é o fechoda órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho da união de uma família infinita de órbitas

de álgebras que chamou de semi-rígidas.

Em [13, 1975] P. Gabriel descreveu todas as álgebras genéricas da subvariedade fe-chada das álgebras associativas unitárias de Assocn para n 6 4. De fato, esta é umaboa referência para conferir as propriedades básicas que uma componente irredutível

deve ter, tais como a dimensão do radical das álgebras, a dimensão do grupo de auto-morfismos, etc. Alem disso, em [31, 1979] G. Mazzola, aluno de Gabriel, presentou o

diagrama de inclusão das órbitas das álgebras associativas unitárias de dimensão 5 eprovou que existem dez componentes irredutíveis nesta subvariedade de Assoc5. Outra

questão considerada por Mazzola é relacionada com a variedade das álgebras comutati-vas unitárias dentro de Assocn, ele provou que esta variedade é irredutível para n 6 7,

veja [32, 1980] e suas referências. Em [26, 1987] A. Kirillov e Y. Neretin descreveram ascomponentes da variedade das álgebras de Lien para n 6 6. Uma generalização recente

desta teoria ocorre quando consideramos a variedade de representações de álgebras aoinvés da variedade de álgebras.

Em relação à variedade Jorn as referencias são bastantes recentes. Em [25, 2005]

I. Kashuba e I. Shestakov descreveram as componentes irredutíveis de Jor3 e em [23,2006] o primeiro autor fez um estudo análogo considerando a subvariedade fechada

das álgebras de Jordan unitárias de Jorn para n 6 5. Nesse mesmo artigo, I. Kashubaestendeu para o caso de álgebras de Jordan algumas propriedades e fatos conhecidos

para Assocn e Lien. Finalmente, em [4, 2011] Ancochea Bermúdez e outros usaramdeformações infinitesimais para estudar as álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão4 sobre o corpo dos complexos. O objetivo deste trabalho foi generalizar estes resultados

para obter uma descrição completa das variedades Jorn para n 6 4 sobre um corpoalgebricamente fechado e para n 6 3 sobre o corpo dos números reais.

Dividimos esta tese em 8 capítulos. O primeiro capítulo constitui uma introdução

à teoria estrutural de álgebras de Jordan de dimensão finita, onde apresentaremos osprincipais conceitos e os resultados básicos.

No Capítulo 2 trabalhamos na classificação algébrica a menos de isomorfismo dasálgebras de Jordan de dimensão n para n 6 4 sob a suposição que o corpo de definição k

é algebricamente fechado e de char k 6= 2. Estes resultados nos forneceram os conjuntosde classes de álgebras não isomorfas em cada dimensão menor ou igual que 4 o que

4

nos permitiu determinar o número de órbitas sobre a ação de G na variedade Jorn quecorresponde a: 2 órbitas em Jor1, 6 órbitas em Jor2, 20 órbitas em Jor3 e finalmente 73

órbitas em Jor4. Os resultados deste capítulo foram publicados em International Journal

of Mathematics, Game Theory and Algebra, veja [30, 2013].

No Capítulo 3, analogamente ao capítulo anterior trabalhamos na classificação algé-brica das álgebras de Jordan a menos de isomorfismo, mas neste caso as álgebras foram

consideradas sobre o corpo dos números reais e com dimensão menor ou igual a 3.Denotamos a variedade de tais álgebras como sendo JorR

n. Obtivemos que o número

de G-órbitas na variedade JorR

n é: 2 órbitas em JorR

1 , 7 em JorR

2 e, por último, temos 26

órbitas em JorR

3 .

O Capítulo 4 contém as principais ferramentas que serão necessárias para o objetivoda classificação geométrica. Começamos com uma rápida revisão de alguns conceitose terminologia da geometria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua

ação em variedades. Definimos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n

e apresentamos os métodos usados nos capítulos seguintes para descrever as compo-

nentes irredutíveis assim como também as deformações entre as álgebras de Jordan,além de introduzir critérios que determinarão a não existência de deformação entre um

par de álgebras dadas. Em particular, mostraremos como se comportam as dimensõesdo centro associador e do segundo grupo de cohomologia de uma álgebra através de

uma deformação assim como também a dimensão de uma subálgebra associativa ounula maximal. Provamos que rigidez é um conceito local e que não é preservada por

adjunção formal de um elemento identidade. Mostraremos também que em toda va-riedade de álgebras de Jordan de dimensão n maior ou igual a 5 existem pelo menos

3 componentes irredutíveis que provêm de álgebras rígidas que são indecomponíveis,não associativas e não semissimples. Faremos isso construindo as três famílias de tais

álgebras rígidas. Para n suficientemente grande esta família nos permite determinar nomínimo 12 novas álgebras rígidas.

No Capítulo 5 aplicamos os resultados do capítulo anterior para determinar e daruma descrição completa das componentes irredutíveis de Jorn, para n 6 4 e provamos

que as variedades consideradas são conexas e têm dimensão n2. Concluímos que avariedade Jor1 é irredutível, que a variedade Jor2 tem 2 componentes irredutíveis e

que a variedade Jor4 tem 10 componentes irredutíveis. Foi provado em [25] que avariedade Jor3 tem 5 componentes irredutíveis, nos completamos esse trabalho dando

uma descrição mais detalhada de tais componentes. Também mostramos que o númerode componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26 e que rigidez é preservada

por soma direta em Jorn para n 6 5. Os resultados deste capítulo foram apresentadosno artigo [24], aceito para publicação no Journal of Algebra.

5

Um estudo análogo ao do Capítulo 5 foi feito no Capítulo 6 onde foram determinadasas componentes irredutíveis da variedade JorR

n para n 6 3, concluindo que a variedade

JorR3 tem 8 componentes irredutíveis. No final do capítulo foram comparados os resul-

tados obtidos para Jorn e JorR

n.

No Capítulo 7 foram dadas as definições e os resultados básicos relativos à teoriade álgebras isotópicas além da classificação algébrica das álgebras de Jordan reais de

dimensão 3 a menos de isotopia. Provamos assim que o conceito de isotopia define umarelação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo pois encontramos

álgebras isotópicas que não são isomorfas.Por último, no Capítulo 8 foram apresentadas as conclusões e considerações finais

deste trabalho assim como também sugestões e perspectivas para pesquisas futuras.Este trabalho também conta com três apêndices: o Apêndice A reúne os códigos

de vários programas de computação simbólica elaborados pela autora, os quais foramutilizados para calcular os invariantes geométricos das álgebras, i.e., os invariantes pre-

servados por deformações, tais como: as dimensões dos grupos de automorfismos, asdimensões dos aniquiladores, as dimensões dos radicais nilpotentes, as dimensões das

diferentes potências, subálgebras de dimensão 2 e 3, as identidades satisfeitas assimcomo também a dimensão do segundo grupo de cohomologia e do centro associador

de cada álgebra. E nos Apêndices B e C apresentamos uma lista das propriedadesdas álgebras de Jordan de dimensão 4 e das álgebras de Jordan reais de dimensão 3,

respetivamente, as quais foram obtidas utilizando os programas do Apêndice A.

6

1 I NTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS DE JORDAN

Neste capítulo apresentaremos, com a finalidade de fixar notação, os conceitos e osresultados básicos da teoria estrutural das álgebras de Jordan. Esta introdução será

dividida em 4 seções, na primeira delas introduziremos os conceitos de álgebras de Jor-dan especiais e excepcionais e apresentaremos exemplos de tais álgebras. Lembraremos

a definição de álgebra de Jordan nilpotente e definiremos o tipo de nilpotência destasálgebras, conceito que será de crucial para a classificação algébrica. Relacionados à de-

finição de álgebras nilpotentes temos os conceitos de álgebras simples, semi-simples ede radical nilpotente.

Na segunda seção enunciaremos duas versões do teorema de Wedderburn para álge-

bras de Jordan de dimensão finita e os teoremas de classificação de álgebras de Jordansimples de dimensão finita, primeiramente sobre um corpo algebricamente fechado e

logo após para um corpo arbitrário.

Outro resultado de suma importância para levar a cabo a classificação algébrica das

álgebras de Jordan é a decomposição em subespaços de Peirce para álgebras que pos-suem um sistema de elementos idempotentes ortogonais um a um, este resultado será

apresentado na seção 1.3.

Na quarta e última seção apresentaremos os conceitos de extensão nula e segundo

grupo de cohomologia de uma álgebra de Jordan sobre um bimódulo e enunciaremosuma relação entre ambos no teorema 1.25.

Salientamos que as álgebras consideradas neste capítulo serão definidas sobre um

corpo arbitrário de característica diferente de 2 e reservamos o símbolo k para denotartal corpo.

1.1 definições e exemplos

As álgebras de Jordan são uma classe importante de álgebras não associativas e foramintroduzidas em 1932 pelo físico alemão Pascual Jordan em uma tentativa de formular

o cenário da mecânica quântica, em termos do produto de Jordan em vez do produtoassociativo. A teoria estrutural das álgebras de Jordan iniciou-se com o trabalho [49] de

7

P. Jordan, J. von Neumann e E. Wigner e foi desenvolvida por Albert em [2] onde foramintroduzidos os conceitos que apresentaremos a seguir.

Definição 1.1. Um conjunto A é chamado de uma álgebra sobre o corpo k, se A possuiuma estrutura de k-espaço vetorial e um produto · que satisfaz:

x · (y+ z) = x · y+ x · z(x+ y) · z = x · z+ y · zα(x · y) = (αx) · y = x · (αy)

para x, y, z ∈ A e α ∈ k.

Chamaremos “álgebra sobre o corpo k” de k-álgebra ou, simplesmente, de álgebra edenotaremos o produto x · y simplesmente por xy quando não houver ambiguidade.

Definição 1.2. Uma k-álgebra J é chamada de k-álgebra de Jordan (ou, simplesmente,álgebra de Jordan) se seu produto satisfaz a condição de comutatividade:

xy = yx, (1.1)

para todo x, y ∈ J e uma versão debilitada da associatividade, chamada de identidade

de Jordan:

(x2y)x = x2(yx), (1.2)

para todo x, y ∈ J.

Um subespaço vetorial S ⊆ J que satisfaz SS ⊆ S é chamado de subálgebra de J. Seum subespaço I ⊆ J satisfaz a condição mais forte JI ⊆ I então I é chamado de ideal

da álgebra de Jordan J.

Podemos reescrever a identidade de Jordan 1.2 em termos do associador (x,y, z) :=(xy)z− x(yz), como sendo

(x2,y, x) = 0.

Linearizando completamente esta última identidade e usando o fato que a álgebra écomutativa, obtemos:

(xy, z, t) + (xt, z,y) + (yt, z, x) = 0, (1.3)

para todos x, y, z, t ∈ J (veja [50, eq.22, p.67]).

8

Seja A uma k-álgebra associativa (i.e., (x,y, z) = 0 para todo x, y, z ∈ A). No espaçovetorial subjacente a A podemos definir uma nova operação de produto ⊙ dada pela

fórmula

x⊙ y =1

2(xy+ yx),

para todo x, y ∈ A, onde xy denota o produto em A. Ao substituir o produto originalde A por ⊙, obtemos uma nova álgebra que será denotada por A(+). É imediato ver

que A(+) é uma álgebra de Jordan.

Definição 1.3. Uma álgebra de Jordan que é isomorfa a uma subálgebra de A(+) paraalguma álgebra associativa A é chamada de especial.

As álgebras de Jordan que não são especiais são chamadas de excepcionais.

Observamos que a álgebra A(+) pode ser definida, analogamente, para uma k-álgebraA não necessariamente associativa, mas neste caso a álgebra resultante A(+) não neces-

sariamente será de Jordan, veja o Exemplo 1.7.

Exemplo 1.4. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k que possui uma forma bili-near simétrica f = f(x,y) definida em V. Consideramos a soma direta J(V, f) = k · 1⊕V

do espaço vetorial V com o espaço vetorial unidimensional k · 1 = α1 | α ∈ k e defini-mos o produto em J(V, f) dado pela regra:

(α · 1+ x)⊡ (β · 1+ y) = (αβ+ f(x,y)) · 1+ (βx+ αy),

onde α, β ∈ k e x, y ∈ V. A álgebra (J(V, f),⊡) é uma álgebra de Jordan e é uma

subálgebra de A(+) onde A é a álgebra (associativa) de Clifford de f (veja [21, Cap.VII.1,Teo.1, p.261]). Logo (J(V, f),⊡) é uma álgebra de Jordan especial, chamada de álgebra

de Jordan da forma bilinear simétrica f. Se, além disso, a forma f for não degeneradae a dimk V > 1, a álgebra é também simples (veja [50, Ex. 2, pág. 57]).

Exemplo 1.5. Seja U uma álgebra e seja i uma involução em U (i.e., um endomorfismo

do espaço vetorial U que satisfaz i(i(u)) = u e i(uv) = i(v)i(u) para todo u,v ∈ U). Oconjunto

H(U, i) = u ∈ U | u = i(u),

dos elementos de U fixos pela ação de i, é fechado em relação ao produto ⊙ e é uma

subálgebra da álgebra U(+). Se U for associativa, então U(+) é de Jordan e (H(U, i),⊙)

é uma álgebra de Jordan especial.

9

Definição 1.6. Um elemento e de uma álgebra A é chamado de identidade ou unidade

no caso que ex = xe = x para todo x ∈ A. Se uma álgebra possui um elemento

identidade então será chamada de álgebra unitária.

Uma k-álgebra unitária D é chamada de álgebra de composição se ela possui uma

aplicação n : D → k que satisfaz:

1. n(αx) = α2n(x), onde x ∈ D e α ∈ k;

2. a função f(x,y) = n(x + y) − n(x) − n(y) é uma forma bilinear simétrica não

degenerada em D; e

3. n(xy) = n(x)n(y) para todo x,y ∈ D.

Esta definição nos permite compreender o seguinte exemplo de uma álgebra de Jordanespecial.

Exemplo 1.7. Seja D uma álgebra de composição com involução i e seja Dn = Matn(D)

a álgebra das matrizes de ordem n sobre D. A aplicação j : X 7→ i(X)t que leva uma

matriz X em uma outra matriz obtida da anterior aplicando a involução i a cada entradade X e transpondo, é uma involução da álgebra Dn chamada de involução padrão1 em

Dn associada a i. Como Dn é associativa se D é associativa então, é claro que se D éassociativa então (H(Dn, j),⊙) é uma álgebra de Jordan especial. Mas se D for a álgebra

de Cayley-Dickson C (i.e., uma álgebra de tipo IV no Teorema de Classificação dasÁlgebras de Composição de [50, Teo.1, p.32]), a qual não é associativa mas é alternativa,

então a álgebra (H(Cn, j),⊙) só é de Jordan para n 6 3 (uma prova disto quando n = 3

pode ser encontrada em [50, Teorema 1, p. 54 ]) e (H(C3, j),⊙) é uma álgebra de Jordan

excepcional (veja [1], [50, Teorema 2, p. 55]).

Se J é uma álgebra de Jordan sem unidade, então podemos considerar a soma direta

J# = J⊕ k · 1,

onde 1 é o elemento identidade de k. O produto em J# é definido por

(x+α · 1)(y+β · 1) = (xy+αy+βx) + αβ · 1, (1.4)

onde α, β ∈ k e x, y ∈ J. Chamaremos a álgebra J# de álgebra obtida pela adjunção

formal de um elemento identidade à álgebra J. É fácil ver que 1 é um elemento

identidade para a álgebra J# e J é uma subálgebra de J#. De [21, Teorema 6, p. 30]temos que J# também é uma álgebra de Jordan.

1 A definição de involução padrão é válida para qualquer álgebra D com elemento identidade 1 e involução.

10

Definição 1.8. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan sobre o corpo k. O produto de

Kronecker J⊗k J ′ é o produto tensorial J⊗k J ′ dos espaços vetoriais J, J ′ onde todos

os elementos são somas∑

x⊗ y, com x ∈ J e y ∈ J ′ e a multiplicação é definida porlinearidade e

(x1 ⊗ y1) (x2 ⊗ y2) = (x1x2)⊗ (y1y2) , onde xi ∈ J, yi ∈ J ′.

Se J e J ′ têm dimensão finita sobre k, então dim (J⊗k J ′) = (dim J) (dim J ′).

Em numerosas ocasiões depararemos-nos com o caso em que J ′ é um corpo, geral-

mente uma extensão K de k. Então K contém 1, logo JK = J⊗k K contém J como umasubálgebra sobre k. Além disso, JK é visto como uma álgebra sobre K a qual é cha-

mada de extensão escalar de J a uma álgebra sobre K. Pode-se verificar que a álgebraJK também é de Jordan.

Uma álgebra associativa é chamada de nilpotente se para algum número natural n oproduto de quaisquer n elementos da álgebra é zero. Para álgebras não associativas, e

em particular para álgebras de Jordan, deveríamos também indicar a ordem na qual osprodutos são considerados, i.e., a distribuição dos parêntesis.

Definição 1.9. Uma álgebra de Jordan J é chamada de nilpotente se existe um númeronatural n tal que o produto de quaisquer n elementos da álgebra, com quaisquer distri-

buição de parêntesis seja igual a zero.

O menor de tais números é denominado índice de nilpotência da álgebra J.

Em J definimos indutivamente uma serie de subconjuntos

J1 = J〈1〉 = J,

Jn = Jn−1J+ Jn−2J2 + · · ·+ JJn−1,

J〈n〉 = J〈n−1〉J.

O subconjunto Jn é chamado de n-ésima potência da álgebra J. Segue de imediato dadefinição de potência que J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ · · · onde todos os membros desta cadeia são

ideais da álgebra J. Como J é comutativa a cadeia de subconjuntos J〈1〉 ⊇ J〈2〉 ⊇ · · · ⊇J〈n〉 ⊇ · · · também consiste de ideais da álgebra J e é chamada de série central inferior

de J.

Se existir um s ∈ N tal que J〈s〉 = 0 então, como J2s ⊆ J〈s〉 para qualquer s > 1 ([50,

Prop. 1, p.82 ]), a álgebra J é nilpotente. O mínimo s para o qual J〈s〉 = 0 será chamadode nil-índice de J.

11

Se s é o nil-índice de uma álgebra de Jordan nilpotente J, definimos o tipo de nilpo-

tência de J como sendo a sequência (n1,n2,n3, · · · ,ns−1) onde ni = dim(

J〈i〉/J〈i+1〉).

Observamos que ni > 0 para todo i. De fato, suponha que existe um i ∈ N, 1 6

i 6 s − 1 tal que ni = 0 então dim J〈i〉 = dim J〈i+1〉 e como J〈i+1〉 ⊆ J〈i〉 temos

J〈i〉 = J〈i+1〉. Consequentemente J〈i+2〉 = J〈i〉 · J = J〈i〉, por indução J〈i〉 = J〈k〉 paratodo k ∈ N, k > i. Em particular isto acontece para k = s, então J〈i〉 = J〈s〉 = 0 o que

impossível já que s é o nil-índice de J.

Definição 1.10. Uma k-álgebra de Jordan de dimensão finita J é chamada de:

1. Simples se 0 e J são os únicos ideais de J e além disso J2 6= 0.

2. Semissimples se J é uma soma direta finita de álgebras simples.

3. Simples Central se JK é simples para toda extensão K de k.

4. Separável se JK é semissimples para toda extensão K de k.

Observamos que toda álgebra J simples central é simples e toda álgebra J separável ésemissimples.

1.2 resultados principais

Nesta seção apresentaremos alguns resultados importantes da teoria estrutural das álge-bras de Jordan que serão ferramentas necessárias na classificação algébrica. Omitiremos

as provas de tales fatos que podem ser facilmente encontradas na literatura.

Começaremos enunciando o teorema que K. McCrimmon, em seu livro “A Taste of

Jordan Algebras”, chama de “Enlightenment Structure Theorem”. Este teorema reúne aspropriedades principais de uma álgebra de Jordan cuja dimensão sobre um corpo arbi-

trário (de char 6= 2) é finita.

Teorema 1.11. [33, Teo. 3.10, p. 79] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um

corpo k de característica 6= 2.

1. Existe um único ideal nilpotente maximal de J, que chamaremos de radical (ou radical

nilpotente) de J e será denotado por Rad(J).

2. O quociente J/Rad(J) é uma álgebra de Jordan semissimples, à qual chamaremos de parte

semissimples de J e será denotado por Jss.

12

3. Se J é semissimples então ela possui um elemento identidade e sua decomposição em álge-

bras simples é única.

A seguir enunciaremos um teorema conhecido como “Teorema Principal de Wedder-

burn” o qual tem sido provado para várias classes de álgebras. Uma prova da seguinte

versão para álgebras de Jordan de dimensão finita pode ser encontrada em [46].

Teorema 1.12. [46] Se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k tal que

Jss é separável então J contém uma subálgebra C tal que J = C+Rad(J) com C∩Rad(J) = 0

e C ≃ Jss.

Em [38] foi provado que quando o corpo tem char k = 0 o teorema de Wedderburn

vale para toda álgebra de Jordan de dimensão finita, i.e., não é necessária a condição deJss ser separável:

Teorema 1.13. [38] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k com

char k = 0 então existe uma subálgebra C de J tal que J = C+ Rad(J) com C∩ Rad(J) = 0 e

C ≃ Jss.

Observamos que se o corpo for algebricamente fechado então toda álgebra de Jordande dimensão finita semissimples é separável [21, p.246], logo segue do Teorema 1.11

que Jss é separável e portanto (Teorema 1.12) J admite decomposição J = Jss ⊕ Rad(J)como soma direta de subespaços.

Lembramos agora o teorema de Albert que fornece a classificação completa das álge-bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado.

Teorema 1.14. [21, Corolário 2, pág. 204] Seja J uma álgebra de Jordan simples de dimensão

finita sobre um corpo algebricamente fechado k. Então temos as seguintes possibilidades para J:

1. J = k;

2. J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degenerada f

sobre um espaço vetorial de dimensão finita V tal que dim V > 1;

3. J = (H(Dn, j),⊙), n > 3, onde (D, i) é uma álgebra de composição de dimensão 1, 2 ou

4 se n > 4 e de dimensão 1, 2, 4 ou 8 se n = 3 e j é a involução padrão de Dn associada

a i.

Seja J uma k-álgebra de Jordan, podemos associar a ela duas álgebras associativas de

transformações lineares. Para isso considere a um elemento qualquer de J. Definimosuma aplicação da álgebra J em si mesma:

Ma : x 7→ xa para todo x ∈ J.

13

Esta aplicação é um endomorfismo do espaço vetorial J e é chamada de operador de

multiplicação pelo elemento a. A subálgebra da álgebra de endomorfismos do espaço

vetorial J gerada por todos os possíveis operadores Ma onde a ∈ J, é chamada deálgebra de multiplicação da álgebra J e será denotada por M(J). Os elementos S ∈M(J) são da forma S =

∑Ma1

Ma2· · ·Man

com ai ∈ J.

A segunda álgebra que associaremos a J é o centroide C(J) de J o qual é o centrali-zador de M(J) em Homk(J, J), ou seja C(J) é o conjunto de aplicações lineares T de J

tais que TS = ST para cada S ∈ M(J).

No caso em que J tenha dimensão finita sobre k então o centroide C(J) coincide com

o centro de M(J) ([42, Cap. II, p.13] ), i.e.,

C(J) = S ∈ M(J) | TS = ST para todo T ∈ M(J)

Teorema 1.15. [42, Cap. II, p.13] Se J é uma k-álgebra de Jordan simples então o centroide

C(J) de J é um corpo (que contém k). E quando consideramos J como uma álgebra sobre seu

centroide é simples central.

Como consequência do Teorema 1.15 podemos reduzir o problema de classificar álge-bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo arbitrário k ao problema de

classificar álgebras de Jordan simples central (de dimensão finita sobre uma extensãodo corpo arbitrário k). Para isso, seja J uma tal álgebra e seja k o fecho algébrico do

corpo base k, então Jk é uma álgebra de Jordan simples de dimensão finita sobre umcorpo algebricamente fechado e logo Jk é uma das álgebras listadas no Teorema 1.14,

usando essa informação para determinar J obtemos:

Teorema 1.16. [21, V.7][42, Cap.IV, p.36] Seja J uma álgebra de Jordan simples central de

dimensão finita sobre um corpo k arbitrário. Então temos as seguintes possibilidades para J:

1. J = k,

2. J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degene-

rada f num espaço vetorial V de dimensão finita tal que dim V > 1,

3. J = (H(A, J),⊙) onde (A, J) é uma álgebra associativa simples central de dimensãofinita com involução J de grau2 n > 3 , ou

4. J é uma álgebra tal que existe uma extensão finita K do corpo base k tal queJK ≃ (H((CK)3, j),⊙) onde (CK)3 é a álgebra das matrizes 3× 3 com elementos

2 Chamamos de grau de (A, J) sobre k ao inteiro n tal que(

Ak, J)

≃ (Dn, j) onde (D, i) é uma álgebra decomposição associativa, veja [21, Cap.V.7, p.209].

14

numa álgebra de Cayley C sobre K e j é a involução padrão de (CK)3 associadacom a involução de C.

As únicas álgebras excepcionais na lista são as álgebras de Albert de dimensão 27 (detipo 4) como prova Schafer em [42, Cap.IV, Teo.9, p.38]. Estas últimas foram determina-

das em [41].

1.3 decomposição de peirce

Nesta seção vamos desenvolver algumas das principais ferramentas para a teoria es-trutural das álgebras de Jordan. Estamos falando da decomposição de uma álgebra

de Jordan em subespaços de Peirce relativa a um conjunto finito de elementos idem-potentes ortogonais dois a dois. Estes subespaços têm propriedades multiplicativas

importantes que serão apresentadas nos Teoremas 1.18 e 1.19.

Definição 1.17. Um elemento e de uma álgebra de Jordan J é chamado de elemento

idempotente se e2 = e. Um idempotente próprio é um elemento idempotente e 6= 0, 1.Dois idempotentes e, f são ditos ortogonais se ef = 0.

Como em uma álgebra de Jordan J de dimensão finita (sobre um corpo k algebrica-

mente fechado ou de char k = 0) temos decomposição J = Jss ⊕ Rad(J) com Jss umaálgebra de Jordan semissimples, pelo Teorema 1.11, existe um elemento identidade e

em Jss que pode ser “levantado” a um idempotente e da álgebra J. Então, sem perdade generalidade, podemos considerar que toda álgebra de Jordan a ser obtida nas clas-

sificações dos Capítulos 2 e 3, ou é nilpotente ou contém um elemento idempotentee.

Pela linearização da identidade de Jordan (1.3) temos que para qualquer elementoidempotente e ∈ J e qualquer elemento x ∈ J

0 = (xe, e, e) + (xe, e, e) + (e2, e, x)

= 2(xe, e, e) + (e, e, x)

= 2((xe)e)e− 3(xe)e+ xe

=[

2M3e − 3M2

e +Me

]

(x),

o que implica que 2M3e − 3M2

e +Me = 0, isto é se f(x) = (x− 1)(2x− 1)x então f(Me) =

0. Logo o polinômio minimal de Me divide f(x) e as únicas possibilidades para as raízes

características de Me são 0, 12 , 1 . Observe que 1 é com certeza uma raiz característica já

que Me(e) = e2 = e 6= 0. Também podemos deduzir que o polinômio minimal de Me

15

tem raízes simples. Logo, pelo Teorema da Decomposição Primária [40, Teo.7.6,p.168],J é a soma direta de espaços vetoriais

J = P1 ⊕P 12⊕ P0, onde Pi = x ∈ J | xe = ixcom i = 0, 1

2, 1.

Esta decomposição em soma de subespaços é chamada decomposição de Peirce da

álgebra de Jordan J relativa ao idempotente e . Os subespaços Pi são chamados decomponentes (ou subespaços) de Peirce da álgebra J e suas propriedades multiplicati-

vas são enunciadas no seguinte teorema.

Teorema 1.18. [50, Teo. 4, p. 334] Seja J uma álgebra de Jordan com idempotente e. Então a

tabela de multiplicação para a decomposição de Peirce de J é dada por:

P21 ⊆ P1, P1P0 = (0), P2

0 ⊆ P0,

P0P 12⊆ P 1

2, P1P 1

2⊆ P 1

2, P2

12

⊆ P0 + P1.

Observamos que a decomposição de Peirce é “herdada” por ideais ou por subálgebrasde J contendo e, ou seja se I é um ideal de J ou uma subálgebra contendo e então

I = I0 ⊕ I 12⊕ I1 onde Ii = I∩ Pi, veja [33, Teo.8.1.2, p. 236].

Mais geralmente, no caso em que J seja uma álgebra de Jordan com unidade 1 a qual

é soma de idempotentes ei dois a dois ortogonais, 1 =∑n

i=1 ei, então:

Teorema 1.19. [21, Lema 2, p. 120] J se decompõe em soma direta de subespaços

J =⊕

16i6j6n

Pij

onde Pii = x ∈ J | xei = x, Pij =x ∈ J | xei = xej =

12x

e as componentes Pij satisfazem

as seguintes relações:

P2ii ⊆ Pii, PijPii ⊆ Pij, P2

ij ⊆ Pii + Pjj,

PijPjk ⊆ Pik, PiiPjj = PiiPjk = PijPkl = (0)

onde os índices i, j, k, l são todos distintos.

Neste caso a decomposição recebe o nome de decomposição de Peirce da álgebra

de Jordan J relativa ao sistema de idempotentes e1, . . . , en e também é herdada por

ideais ou subálgebras de J contendo o sistema de idempotentes ortogonais ([33, Teo.13.1.4, p.280]).

Segue do fato da soma ser direta que se x ∈ Pij então xek = 0 para todo k ∈1, · · · , n \ i, j.

16

Suponha agora que J não tenha unidade mas possua um número finito e1, . . . , ende elementos idempotentes dois a dois ortogonais, então vamos considerar a álgebra

J# = J⊕ k · 1 obtida pela adjunção formal de um elemento identidade à álgebra J, paraa qual temos garantida a decomposição de Peirce

J# =⊕

06i6j6n

Pij

relativa ao sistema de idempotentes e0, e1, . . . , en onde e0 = 1− e1 − · · ·− en. Obser-vamos que mesmo J sendo subálgebra de J# não podemos aplicar a herda da decomposi-ção pois e0 /∈ J, mas a decomposição de Peirce de J# implica na seguinte decomposição

de J em subespaços:

J =⊕

06i6j6n

P ′ij (1.5)

onde P ′ii = x ∈ J | xei = x para i 6= 0, P ′

00 = x ∈ J | xek = 0, para todo 1 6 k 6 n,

P ′ij =

x ∈ J | xei = xej =

12x

para 0 6= i < j e P ′

0j =x ∈ J | xej =

12x

para j 6= 0. É

importante destacar que se x é um elemento de J que pertence a P ′ij então é conhecida

a ação dos idempotentes e1, . . . , en em x e isto determina a ação de e0 considerandox como um elemento de J#, logo x ∈ Pij quando considerado como um elemento daálgebra com unidade. É claro que a recíproca é também verdadeira. Como consequência

disso temos que a tabela de multiplicação dos P ′ij é análoga à tabela de multiplicação

dos Pij dada no Teorema 1.19.

Todo ideal K de J é claramente um ideal de J#, então K herda a decomposição dePeirce K =

⊕

06i6j6n Kij onde Kij = K∩Pij quando considerado como um ideal de J#

o que leva à decomposição K =⊕

06i6j6n K ′ij onde K ′

ij = K∩P ′ij quando considerado

como ideal de J. Novamente não podemos aplicar a herda a subálgebras de J já que

estas ao igual que J não contém o idempotente e0.

1.4 extensões e cohomologia

Nesta seção apresentaremos e relacionaremos os conceitos de extensões de uma álge-

bra de Jordan J por um bimódulo de Jordan M, considerando M como uma álgebra deJordan com multiplicação trivial e de segundo grupo de cohomologia de J com coefici-

entes em M. Uma referência para esta seção é o livro de N. Jacobson [21, Cap. II, seção5 e 8].

17

Começamos lembrando a definição de bimódulo de Jordan. Seja J uma álgebra deJordan sobre um corpo k, M um espaço vetorial sobre k e suponha que temos um par

de aplicações bilineares (a,m) → am e (a,m) → ma de J⊗M em M, onde a ∈ J em ∈ M. Logo temos

(a1 + a2)m = a1m+ a2m, a(m1 +m2) = am1 + am2,

α(am) = (αa)m = a(αm), α(ma) = (αm)a = m(αa)

para a, a1, a2 ∈ J, m, m1, m2 ∈ M e α ∈ k. Agora seja F = J⊕M o espaço vetorialda soma direta de J com M e defina em F um produto dado por

(a1 +m1) ⋆ (a2 +m2) = a1a2 + a1m2 +m1a2.

É imediato ver que este produto é bilinear, então F é uma álgebra. Mais ainda, J é uma

subálgebra e M é um ideal de F tal que M2 = 0.

Definição 1.20. M e as duas aplicações bilineares constituem um bimódulo de Jordan

para J se (F, ⋆) é uma álgebra de Jordan.

Definição 1.21. Seja J uma álgebra de Jordan e seja M um bimódulo de Jordan para J.Uma aplicação bilinear h : J× J → M a qual, para todo a, b ∈ J, satisfaz

h(a,b) = h(b,a)

(h(a,a)b)a+ h(a2,b)a+ h(a2b,a) = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba) (1.6)

é chamada de 2-cociclo de J com coeficientes em M. Denotamos o conjunto de todosos 2-cociclos de J com coeficientes em M por Z2(J,M).

Definição 1.22. Dizemos que dois 2-cociclos h e h ′ de J com coeficientes em M são

equivalentes se existe uma aplicação linear µ : J → M tal que para todo a, b ∈ J:

h ′(a,b) = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b. (1.7)

Esta é uma relação de equivalência no conjunto de todos os 2-cociclos de J com coe-ficientes em M. O conjunto das classes de equivalências determinado por esta relação

é denotado por H2(J,M) e é denominado segundo grupo de cohomologia da álgebra

J com coeficientes em M. Chamaremos de 2-cobordos de J com coeficientes em M

aos 2-cociclos equivalentes a 0. Denotaremos o conjunto de todos os 2-cobordos porB2(J,M).

Por outro lado vamos considerar as seguintes definições que veremos no final daseção como se relacionam com os conceitos de 2-cociclos e cohomologia.

18

Definição 1.23. Sejam J e M duas álgebras de Jordan então definimos uma extensão de

J por M como sendo uma sequência exata curta

0 → Mα→ F

β→ J → 0 (1.8)

tal que F é também uma álgebra de Jordan e α e β são homomorfismos de álgebras.

Definição 1.24. Duas extensões são chamadas de equivalentes se existe um diagrama

comutativo

F

γ

β

0 // M

α

>>⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

α ′

J // 0.

F ′β ′

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

Segue da definição que γ é um isomorfismo de F em F ′.

Dizemos que a extensão (1.8) cinde se existe um homomorfismo δ : J → F tal queβδ = IdJ seja a aplicação identidade em J. Se este for o caso temos a decomposição em

espaços vetoriais F = δ(J)⊕α(M) e δ(J) é uma subálgebra de F isomorfa a J.

Se M é uma álgebra nula, no sentido que M2 = 0, então a extensão de J por M será

chamada de extensão nula.

Consideremos este tipo de extensões. Notemos primeiro que (1.8) implica que α é

injetora, logo podemos identificar M com α(M) e considerar α como sendo a inclusãode M em F. Como M tem um subespaço vetorial complementar em F, existe uma

transformação linear δ : J → F tal que βδ = IdJ. Assim temos a decomposição emespaços vetoriais F = M⊕ δ(J). Se a, b ∈ J então

β(δ(a)δ(b) − δ(ab)) = ab− ab = 0.

Como a sequência (1.8) é exata isto implica que δ(a)δ(b) − δ(ab) ∈ M. Logo temos

δ(a)δ(b) = δ(ab) + h(a,b)

onde (a,b) → h(a,b) é uma aplicação bilinear de J× J em M.

Observamos que M tem estrutura de bimódulo de Jordan para J relativa ao produtobilinear

am = ma = δ(a)m (1.9)

19

onde a ∈ J, m ∈ M e o produto do lado direito é o produto de F (para uma prova destefato veja [21, p. 92]) e destacamos que h definida por h(a,b) = δ(a)δ(b) − δ(ab) é um

2-cociclo de J com coeficientes em M (considerando M como um bimódulo de Jordanpara J via (1.9)) como consequência das condições impostas pela comutatividade e a

identidade de Jordan (1.2) de J.Reciprocamente, seja J é uma álgebra de Jordan, M um bimódulo de Jordan para J e

h um 2-cociclo de J com coeficientes em M. Seja F um espaço vetorial contendo M talque existe um isomorfismo linear δ : J → F que satisfaz F = δ(J)⊕M. Então F com a

multiplicação definida por:

(δ(a) +m)• (δ(b) + n) = δ (ab)+h(a,b)+an+mb, a,b ∈ J e m,n ∈ M,

é uma álgebra de Jordan e M é um ideal em F tal que M2 = 0 e a estrutura de bimódulode M dada por (1.9) coincide com a original.

Estes fatos se resumem no seguinte teorema.

Teorema 1.25. [21, Teorema 12, p. 94] Seja J uma álgebra de Jordan e M um bimódulo de

Jordan para J, então existe uma bijeção de H2(J,M) no conjunto das classes de equivalências de

extensões nulas de J por M tal que a estrutura de bimódulo em M dada por (1.9) coincide com a

original. Nesta correspondência a classe de equivalência do 0 em H2(J,M) corresponde à classe

de isomorfismos de extensões cindidas.

20

2 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO 4 SOBRE UM CORPO ALGEBR I -

CAMENTE FECHADO

Entendemos por “classificação algébrica” a determinação de todas as classes de iso-morfismos de álgebras de Jordan de dimensão fixa. O primeiro passo na classificação

algébrica de álgebras de Jordan foi dado por A. Albert quem determinou todas as ál-gebras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado.

Mas, exceto para dimensões baixas, uma classificação algébrica completa só é conhecidano caso de álgebras de Jordan semissimples.

Neste capítulo k denotará um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2. A seguirapresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan1 (unitárias e não unitárias, asso-

ciativas e não associativas) de dimensão 4 sobre k. Faremos isto em duas seções, naprimeira introduzimos as álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão menor que

4, com o fim de fixar e simplificar a notação. Na segunda descrevemos as álgebras dedimensão 4 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos possíveis valores

do tipo de nilpotência.

Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-

ver a variedade Jor4 no Capítulo 5 deste texto.

Como foi visto no capítulo anterior toda álgebra de Jordan de dimensão finita sobreum corpo algebricamente fechado pode-se decompor como soma direta de espaços

vetoriais como J = Jss ⊕ Rad(J), onde Jss = J/Rad(J) é semissimples ou 0 e Rad(J) éo radical de J. Consequentemente denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni

aqueles elementos que pertencem a Rad(J).

1 A classificação foi realizada inspirada no trabalho feito por H. Sherkulov em [43] onde o autor somenteapresentou a lista das álgebras de Jordan não associativas.

21

2.1 álgebras de jordan de dimensão menor que 4

2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1

Existem somente duas k-álgebras de Jordan de dimensão 1 não isomorfas: a álgebra

simples ke com e2 = e e a álgebra nilpotente kn com n2 = 0.


Do teorema de Albert temos que a única álgebra de Jordan semissimples de dimensão

2 é ke1 ⊕ ke2. Se dim Rad(J) = 1 então J tem um elemento idempotente e1, Rad(J)é gerado por n1 e a ação de e1 em n1 é dada pelo Teorema 1.18, logo temos que

e1n1 = in1 para i = 0, 12 , 1. Isto define 3 álgebras não isomorfas. Finalmente, existem

duas álgebras nilpotentes: a álgebra “nula”, isto é com multiplicação 0 e a álgebra

gerada por n1, com n31 = 0. Portanto obtemos as seguintes três k-álgebras de Jordan

indecomponíveis de dimensão 2, que denotaremos por Bi:

Tabela 2.1: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B Tabela de Multiplicação Observação

B1 e21 = e1 e1n1 = n1 n21 = 0 Associativa

B2 e21 = e1 e1n1 = 12n1 n2

1 = 0 Não Associativa

B3 n12 = n2 n1n2 = 0 n2

2 = 0 Nilpotente, Associativa


Em [25] foram descritas todas as álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo

algebricamente fechado. Dessa lista obtemos as seguintes 10 álgebras indecomponíveisde dimensão 3, que denotaremos por Ti:

Tabela 2.2: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3

T Tabela de Multiplicação Observação

T1e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

UnitáriaAssociativa

T2e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Unitária

Associativa

22

T Tabela de Multiplicação Observação

T3n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = n3 n1n3 = 0 n2n3 = 0

Associativa,Nilpotente

T4n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = 0 n1n3 = n2 n2n3 = 0

Associativa,

Nilpotente

T5e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2

e1e2 = 0 e1e3 = 12e3 e2e3 = 1

2e3

Unitária,

Não Associativa,Simples

T6e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Não Associativa

T7e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 1

2n2 n1n2 = 0Não Associativa

T8e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 0 n1n2 = 0

Não Associativa

T9e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

Não Associativa

T10e21 = e1 e22 = e2 n2

1 = 0

e1e2 = 0 e1n1 = 12n1 e2n1 = 1

2n1

Unitária,

Não Associativa

2.2 álgebras de jordan de dimensão 4

Nesta seção descreveremos todas as 73 álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um

corpo k algebricamente fechado. A descrição será organizada de acordo com a dimen-são do radical Rad(J) e subsequentemente com os possíveis valores de seu tipo denilpotência. Durante a descrição será provado que qualquer outra álgebra de Jordan

de dimensão 4 sobre um corpo algebricamente fechado é isomorfa a uma das 73 e porúltimo no Teorema 2.2 veremos que as álgebras J1 a J73 são duas a duas não isomorfas.

Quando não houver ambiguidade em relação à álgebra J chamaremos de N ao radical

nilpotente de J a fim de simplificar a notação. Também observamos que como Ji = J〈i〉

para i = 1, 2, 3 usaremos somente a notação de i-ésima potência nestes casos.

Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos Aut(J) =g ∈ GL(J) | g é um endomorfismo de J, de seu aniquilador Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0

e de sua segunda potência J2. Para uma lista mais detalhada das propriedades de cadaálgebra veja o Apêndice B.

23

2.2.1 Álgebras de Jordan Semissimples

Para obter a classificação das álgebras semissimples é suficiente, por definição, conhecer

as simples. Para um corpo algebricamente fechado e uma álgebra de dimensão finitaestas últimas foram totalmente determinadas por A. Albert. Segue então do Teorema

1.14 que se J é uma álgebra de Jordan simples de dimensão menor ou igual a 4 sobreum corpo k algebricamente fechado então, ou J = k ou J é a álgebra de Jordan de uma

forma bilinear simétrica não degenerada. Observamos que desprezamos as álgebras deJordan J = (H(Dn, j),⊙) dos elementos de Dn para n > 3, onde (D, i) é uma álgebra de

composição, simétricos com respeito à involução padrão j associada a i, pois no mínimoestas álgebras tem dimensão 6.

Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a 4,fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas

sobre espaços vetoriais de dimensão finita.Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre k, que possui uma forma

bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), de [40, Teo. 11.23, p.287] existe uma basee1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1 e f(ei, ej) = 0 para i 6= j. Então a álgebra de Jordan

(J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base 1, e1, . . . , en e é definida pelos produtos

1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ei = 1, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j

Logo existem somente 3 álgebras de Jordan simples não isomorfas de dimensão me-nor ou igual a 4:

1. ke1 de dimensão 1,

2. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 2, de dimensão 3 e

3. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 3, de dimensão 4.

Note que a álgebra do item 2 é isomorfa à álgebra tridimensional T5 via isomorfismo

T : (T5, ·) →(J(V, f),⊡) dado por

T(e1) =1

2· 1+ 1

2e1, T(e2) =

1

2· 1− 1

2e1, T(e3) = e2.

Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordan

semissimples de dimensão 4 sobre k:

24

Tabela 2.3: k-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 4

J Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J1 T5 ⊕ ke4 1 0 4Unitária,

Semissimples

J2

e21 = e1 e22 = e2

e1e3 = 12e3 e1e4 = 1

2e4

e2e3 = 12e3 e2e4 = 1

2e4

e3e4 = 12(e1 + e2)

3 0 4Unitária,

Simples

J3 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 0 0 4

Unitária,

Semissimples,Associativa

Novamente, note que a álgebra do item 3 é isomorfa à álgebra J2 via isomorfismoT : (J2, ·) →(J(V, f),⊡) dado por

T(e1) =1

2· 1− 1

2e1, T(e2) =

1

2· 1+ 1

2e1, T(e3) = −ie2+ e3, T(e4) =

i

4e2+

1

4e3.

No que segue usaremos o produto dado por J2 já que estamos interessados em conhecer

os elementos idempotentes ortogonais de cada álgebra que nos fornecem a correspon-dente decomposição de Peirce.

2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1

Considere J uma k-álgebra de Jordan tal que dimN = 1, logo a parte semissimples Jss

tem dimensão 3 e pelo Teorema 1.14 temos as seguintes possibilidades:

ou Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ou Jss = T5.

Quando não houver ambiguidade denotaremos as componentes de Peirce de J e N,P ′ij e N′

ij, simplesmente por Pij e Nij para simplificar a notação.

1) Suponha que Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 4 idem-

potentes ortogonais e1, e2, e3 e e0 = 1− e1 − e2 − e3, logo da decomposição de Peirce(1.5) temos:

J = P00 ⊕P01 ⊕ P02 ⊕P03 ⊕ P11 ⊕P12 ⊕ P13 ⊕P22 ⊕ P23 ⊕P33,

25

e como o radical N é um ideal de J este herda a decomposição:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N03 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N13 ⊕N22 ⊕N23 ⊕N33,

onde Nij = N ∩ Pij. Seja n1 uma base de N, então J é completamente definida pelosubespaço de Peirce ao qual n1 pertence. Assim obtemos as seguintes álgebras não

isomorfas:

Tabela 2.4: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e partesemissimples ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J4 B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 1 0 4

Unitária,Associativa,

n1 ∈ N11

J5 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ kn1 1 1 3Associativa,

n1 ∈ N00

J6 B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 2 0 4 n1 ∈ N01

J7 T10 ⊕ ke3 2 0 4Unitária,

n1 ∈ N12

Observamos que no caso em que n1 pertença aos subespaços Nii para i = 2, 3 temosum elemento idempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida é

isomorfa a J4. Se n1 ∈ N0i para i = 2, 3 temos um elemento idempotente na álgebraagindo como 1

2 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a J6. Por último se n1 pertence

a algum dos subespaços Ni3 temos dois elementos idempotentes na álgebra que agemcomo 1

2 em n1, portanto a álgebra correspondente é isomorfa a J7.

2) Suponha que Jss = T5. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempo-tentes ortogonais e1, e2, e0 = 1− e1 − e2 o que implica na decomposição de Peirce do

radical N

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.

Seja n1 uma base de N então a ação dos elementos idempotentes em n1 fica definidapela componente Nij à qual n1 pertence. Só resta estabelecer como age e3 em n1.

Da tabela de multiplicação de T5 (veja a Tabela 2.2) deduzimos que e3 ∈ P12. Suponha

que n1 ∈ N00, então do Teorema 1.19 e3n1 ∈ P12P00 = 0 é zero. Agora se n1 ∈ N12,então e3n1 ∈ P2

12 ⊆ P11 ⊕ P22 e também e3n1 ∈ N = N12 ⊆ P12 logo e3n1 = 0.

26

Analogamente prova-se que se n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 então e3n1 = 0 masnestes casos existem elementos de J que não satisfazem a identidade (1.3)

(n1e3, e3, e2) + (n1e2, e3, e3) + (e3e2, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N01 ou n1 ∈ N11,(n1e3, e3, e1) + (n1e1, e3, e3) + (e3e1, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N02 ou n1 ∈ N22.

Logo as álgebras resultantes dos casos n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 não são

álgebras de Jordan, portanto só temos duas álgebras de Jordan não isomorfas:

Tabela 2.5: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e partesemissimples T5


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J8 T5 ⊕ kn1 2 1 3 n1 ∈ N00

J9

e21 = e1 e22 = e2

e23 = e1 + e2

e1e3 = 12e3 e1n1 = 1

2n1

e2e3 = 12e3 e2n1 = 1

2n1

4 0 4Unitária,

n1 ∈ N12


Seja J uma k-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. Do Teorema de Alberttemos que a única álgebra de Jordan semissimples de dimensão 2 é Jss = ke1 ⊕ ke2,

logo a álgebra unitária J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempotentes ortogonais e1,e2, e0 = 1− e1 − e2 o que implica na seguinte decomposição de N em subespaços de

Peirce:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.

O ideal nilpotente maximal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo, pela definição de tipo de nilpo-

tência, N2 = 0. Seja n1, n2 uma base de N então, novamente, J fica completamentedefinida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 e n2 pertencem. Assim obtemos 36

possíveis álgebras das quais as seguintes 13 são não isomorfas:

27

Tabela 2.6: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2)


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J10 B2 ⊕ ke2 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N01, n2 ∈ N00

J11 T10 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N12, n2 ∈ N00

J12 T7 ⊕ ke2 6 0 4 n1, n2 ∈ N01

J13 B2 ⊕B2 4 0 4 n1 ∈ N02, n2 ∈ N01

J14 T6 ⊕ ke2 3 0 4 n1 ∈ N01, n2 ∈ N11

J15 B2 ⊕B1 3 0 4 n1 ∈ N11, n2 ∈ N02

J16

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1

e1n2 = 12n2 e2n1 = 1

2n1

4 0 4n1 ∈ N12,

n2 ∈ N01

J17

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1

e1n2 = n2 e2n1 = 12n1

3 0 4Unitária,

n1 ∈ N12, n2 ∈ N11

J18

e21 = e1 e22 = e2

e1n1 = 12n1 e1n2 = 1

2n2

e2n1 = 12n1 e2n2 = 1

2n2

6 0 4Unitária,

n1, n2 ∈ N12

J19 ke1 ⊕ kn1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 4 2 2Associativa

n1, n2 ∈ N00

J20 B1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 2 1 3Associativa

n1 ∈ N11, n2 ∈ N00

J21 T2 ⊕ ke2 4 0 4

Unitária,

Associativan1, n2 ∈ N11

J22 B1 ⊕B1 2 0 4

Unitária,Associativa

n1 ∈ N11, n2 ∈ N22

Qualquer outra das 26 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma das

álgebras J10 a J22, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2 ou e1 com e2

ou que realiza ambas trocas.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Vamos provar que neste caso existen ∈ N tal que N = kn+ kn2 com n3 = 0. Como dimN2 = 1 existe m ∈ N tal que

28

N2 = km, completando a uma base de N então N = km+ kn. Agora como m ∈ N2

existem n1,n2 ∈ N tal que m = n1n2, logo

0 6= m = n1n2 = (αm+ βn)(α ′m+ β ′n)

= αα ′m2 + (αβ ′ + α ′β)mn+ββ ′n2

como m2, mn ∈ N3 = 0 temos que m = ββ ′n2 logo N = kn2 + kn.Suponha primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimen-

são 2, a saber N = Nij então do Teorema 1.19 N2ij ⊆ Nii ⊕Njj. Se i 6= j então N2 = 0 o

que é uma contradição, isto implica que i = j e logo N = Nii, i = 0, 1, 2.

Suponha, agora, que N = Nij ⊕Nkl com (i, j) 6= (k, l) e dimNij = dimNkl = 1. Anali-saremos os seguintes casos no quais consideraremos os índices i, j, k todos diferentes.

Se N = Nii ⊕Nij, podemos escolher o n da base como sendo um elemento de Nij. Defato se Nii = ka e Nij = kb, então temos b2 ∈ Nii ⊕Njj, mas Njj = 0, logo b2 = αa

para algum α ∈ k. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência já temos que a2 = ab = 0 e N2

tem dimensão 1. Consequentemente N = kb2 + kb.

Para qualquer outro par de índices i, j e k, l obtemos uma contradição ao fato de queo tipo de nilpotência de N é (1, 1).

i. Se N = Nii ⊕Njj, então pela nilpotência N2ii = N2

jj = 0 e da tabela de multipli-

cação das componentes de Peirce NiiNjj = 0. Logo N2 = 0 o que leva a umacontradição.

ii. Analogamente se N = Nii ⊕Njk, novamente pela nilpotência N2ii = 0 e da tabela

de multiplicação do Teorema 1.19 N2jk ⊆ Njj ⊕Nkk = 0 e NiiNjk = 0, o que é

uma contradição.

iii. Finalmente se N = Nij ⊕Nik então N2 ⊆ Nii ⊕Njj ⊕Njk ⊕Nkk = 0.

Assim temos que só existem 9 possíveis k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radicalcom tipo de nilpotência (1, 1) das quais as seguintes 5 álgebras são não isomorfas. Em

todas elas n21 = n2.

Tabela 2.7: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1)


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J23 T8 ⊕ ke2 2 1 4n1 ∈ N01,

n2 ∈ N00

29


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J24 T9 ⊕ ke2 2 0 4n1 ∈ N01,n2 ∈ N11

J25

e21 = e1 e22 = e2

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

e2n1 = 12n1 n2

1 = n2

2 0 4

Unitária,n1 ∈ N12,

n2 ∈ N11

J26 B3 ⊕ ke1 ⊕ ke2 2 1 3Associativa,n1, n2 ∈ N00

J27 T1 ⊕ ke2 2 0 4


n1, n2 ∈ N11

As outras 4 possibilidades: n1 ∈ N02 e n2 ∈ N00, n1 ∈ N02 e n2 ∈ N22, n1 e

n2 ∈ N22, n1 ∈ N12 e n2 ∈ N22, resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra J23, J24,J27 e J25 respetivamente, com isomorfismo que permuta e1 com e2.


No caso em que J seja uma álgebra de Jordan de dimensão 4 sobre k, com radical

nilpotente N de dimensão 3, então Jss é uma álgebra simples unidimensional, logoJss = ke1 e J só tem um elemento idempotente e1 ∈ J que implica na decomposição

de Peirce de N:

N = N0 ⊕N 12⊕N1.

Primeiramente, provaremos o seguinte lema que será frequentemente usado no queresta da classificação.

Lema 2.1. Se dimNi = 1 então N2i = 0, para i = 0, 1. Se dimN 1

2= 1 então N 1

2Ni = 0 para

i = 0, 1.

Demonstração. Como para i = 1, 2 temos N2i ⊆ Ni, pela nilpotência esta inclusão é

estrita N2i ( Ni. Pela hipóteses temos que dimNi = 1 logo N2

i = 0. Para a segundaparte note que N 1

2Ni ⊆ N 1

2. Suponha que acontece a igualdade, então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12Ni)Ni)Ni = N 1

26= 0,

logo devemos ter N 12Ni ( N 1

2. Finalmente, pela hipóteses temos que dimN 1

2= 1 segue

que N 12Ni = 0.

30

O radical N pode ter os seguintes tipos de nilpotência: (3), (1, 1, 1) ou (2, 1).

1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (3). Logo, pela definição de tipo de nilpotên-cia, N2 = 0. Seja n1, n2, n3 uma base de N então, mais uma vez J fica completamente

definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1, n2 e n3 pertencem. Assim obtemos27 possíveis álgebras das quais as seguintes 10 são não isomorfas:

Tabela 2.8: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3)


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J28 B2 ⊕ kn2 ⊕ kn3 6 2 2 n1 ∈ N 12, n2, n3 ∈ N0

J29 T6 ⊕ kn3 4 1 3n1 ∈ N 1

2,

n2 ∈ N1,n3 ∈ N0

J30 T7 ⊕ kn3 7 1 3 n1, n2 ∈ N 12

, n3 ∈ N0

J31e21 = e1 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

6 0 4 n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N 12

J32e21 = e1 e1n1 = 1

2n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = n3

7 0 4 n1, n2 ∈ N 12

, n3 ∈ N1

J33e21 = e1 e1n1 = 1

2n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

12 0 4 n1, n2, n3 ∈ N 12

J34 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 9 3 1Associativa,

n1, n2, n3 ∈ N0

J35 B1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,

n1 ∈ N1, n2, n3 ∈ N0

J36e21 = e1 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = n3

9 0 4Unitária, Associativa,

n1, n2, n3 ∈ N1

J37 T2 ⊕ kn3 5 1 3Associativa,

n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0

Qualquer outra das 17 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma dasálgebras J28 a J37, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1, n2 e n3.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Lembramos, pela definição de tipode nilpotência, que isto significa que dimN2 = 2, dimN3 = 1 e N〈4〉 = 0.

Só existe uma (a menos de isomorfismo) álgebra de Jordan de dimensão 3 nilpotentecom tipo de nilpotência (1, 1, 1) logo N = T3 e somente temos duas álgebras de Jordan

de dimensão 4 não isomorfas com esse radical:

31

Tabela 2.9: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1)


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J38 T3 ⊕ ke1 3 1 3Associativa,N = N0

J39

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3 n1n2 = n3

3 0 4


N = N1

Todos os outros casos levam a uma contradição, a saber:

i. Suponha que N = N 12

então, da tabela de multiplicação das componentes dePeirce do Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato de N2 ter

dimensão 2.

ii. Suponha agora que N = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N21 = 0 e

pela tabela de multiplicação do Teorema 1.18 temos que N0N1 = 0 logo N2 ⊆ N0.

Como dimN2 = 2 = dimN0 eles coincidem, N2 = N0. Como consequência, existeum elemento n0 ∈ N0 que gera N3, i.e., N3 = kn0, escolhendo algum m0 ∈ N0 e

n1 ∈ N1 obtemos que N2 = kn0 + km0. Logo obtemos os seguintes produtos emN:

N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0,

n21 = n0n1 = m0n1 = 0,

restando somente m20 não nulo, o que contradiz o fato de dimN2 = 2. Ana-

logamente chegamos a uma contradição se consideramos N = N0 ⊕N1, com

dimN1 = 2.

iii. Suponha que N = N0 ⊕N 12

onde dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N2 ⊆ N0 e como

dimN2 = 2 = dimN0, temos N2 = N0. Consequentemente, existe n0 ∈ N0 talque N3 = kn0, completando a uma base de N0 temos que existe m0 ∈ N0 tal que

N2 = kn0 + km0. Completando mais uma vez a uma base de N temos que existen 1

2∈ N 1

2tal que temos os seguintes produtos em N:

N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0, N3 ∋ m2

0 = αn0

n0n 12= m0n 1

2= 0, N2 ∋ n2

12

= α ′n0 + β ′m0.

32

Obtemos uma álgebra de Jordan somente se α = 0 ou β ′ = 0, mas em ambosos casos isto contradiz o fato de dimN2 = 2. Analogamente a prova leva a uma

contradição se considerarmos N = N1 ⊕N 12, com dimN1 = 2.

iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12, onde dimN 1

2= 2. Primeiramente mostraremos que,

neste caso,

(N 12N0)N0 = (N0N 1

2)N 1

2= 0. (2.1)

Da tabela de multiplicação das componentes de Peirce do Teorema 1.18 temos que(N 1

2N0)N0 ⊆ N 1

2N0 ⊆ N 1

2. Suponha que aconteça a igualdade N 1

2N0 = N 1

2então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1

26= 0,

logo a inclusão é estrita N 12N0 ( N 1

2. Considere agora a igualdade (N 1

2N0)N0 =

N 12N0, neste caso

0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1

2N0,

o que implica que N2 = N20+N2

12

⊆ N0 mas dimN2 = 2 enquanto que dimN0 = 1.Portanto, ambas inclusões são estritas: (N 1

2N0)N0 ( N 1

2N0 ( N 1

2e, consequente-

mente,

dim[(N 12N0)N0] < dim(N 1

2N0) < dimN 1

2= 2,

logo dim(N 12N0) = 1 e (N 1

2N0)N0 = 0 como queríamos provar.

Para provar a segunda igualdade de (2.1), procedemos de maneira análoga. DoTeorema 1.18 (N0N 1

2)N 1

2⊆ N2

12

⊆ N0. Suponha que (N0N 12)N 1

2= N0 então

0 = N〈4〉 ⊇ ((N0N 12)N 1

2)N 1

2= N0N 1

26= 0,

o que contradiz o fato de dim(N0N 12) = 1. Então, novamente a inclusão é estrita

(N0N 12)N 1

2( N0 e como por hipóteses dimN0 = 1, temos que (N0N 1

2)N 1

2= 0.

Agora, lembrando que N = T3, para o elemento n1 da base dada na Tabela 2.2temos n1 = m0 +m 1

2, onde mi ∈ Ni e i = 0, 1

2. Logo, usando que N2

12

⊆ N0,

o Lema 2.1 e as identidades (2.1) obtemos que n21 = m ′

0m 12+m2

12

e n31 = m3

12

.Portanto,

(m212

, e1,m 12) = (m2

12

e1)m 12−m2

12

(e1m 12) = −

1

2n31 6= 0,

33

e logo a álgebra J não é de Jordan.

Uma prova análoga mostra que não existe álgebra de Jordan de dimensão 4 comradical de tipo (1, 1, 1) e N = N1 ⊕N 1

2, onde dimN 1

2= 2.

v. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 onde dimNi = 1 para i = 0, 1

2, 1. Do Lema 2.1

e do Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 o que implica que N3 ⊆ (N0 ⊕N1)N = 0

o que é uma contradição ao fato de N3 ter dimensão 1.

3) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2, 1). Lembramos que isto significa que

dimN2 = 1 e N3 = 0. Existem duas (a menos de isomorfismo) álgebras de Jordan dedimensão 3 nilpotente com tipo de nilpotência (2, 1) logo ou N = B3 ⊕ kn3 ou N = T4.

Para provar que as únicas álgebras de Jordan neste caso são J40 a J60, considerare-mos (J, ·) uma k-álgebra de Jordan com base E1,N1,N2,N3 cujo radical tem tipo de

nilpotência (2, 1) e cujo produto satisfaz as condições obtidas em cada caso. Concluire-mos que J é isomorfa a uma das álgebras J40 a J60 exibindo um isomorfismo (J, ·) → Ji

para algum 40 6 i 6 60 que leva a base E1,N1,N2,N3 de J na base e1,n1,n2,n3 deJi. Para simplificar a notação obviaremos os casos em que o isomorfismo leva E1 7→ e1

e Ni 7→ ni, para i = 1, 2, 3.Analisaremos os seguintes casos dependendo da dimensão dos subespaços Ni.

i. Suponha que N = N0. Isto implica que e1x = 0 para todo x ∈ N, logo J = ke1⊕N

como soma direta de álgebras. Portanto obtemos duas álgebras não isomorfas:

Tabela 2.10: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N0


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J40 B3 ⊕ ke1 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,

N = B3 ⊕ kn3

J41 T4 ⊕ ke1 4 1 2Associativa,N = T4

ii. Suponha que N = N1. Isto implica que e1x = x para todo x ∈ N, logo obtemos

duas álgebras unitárias e associativas não isomorfas:

34

Tabela 2.11: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =

N1


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J42

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3

5 0 4


N = B3 ⊕ kn3

J43

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1 e1n2 = n2

e1n3 = n3 n1n3 = n2

4 0 4

Unitária,

Associativa,N = T4

iii. Suponha que N = N 12

. Então N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato dedimN2 = 1 quando N tem tipo de nilpotência (2, 1).

iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,

N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando auma base de N temos que existem n1 ∈ N 1

2e n3 ∈ N0 tal que

n22, n2n3 ∈ N3 = 0, n1n2 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,

n23 = αn2 e n2

1 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.2)

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se amboscoeficientes fossem nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo

de nilpotência (2, 1). Logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assimobtemos as seguintes álgebras:

Tabela 2.12: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N 1

2com dimN0 = 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J44 T8 ⊕ kn3 4 2 3 α = 0,β 6= 0

J45e21 = e1 n2

1 = n2

n23 = n2 e1n1 = 1

2n1

3 1 3 α 6= 0,β 6= 0

J46 B2 ⊕B3 4 1 3 α 6= 0,β = 0

35

Provaremos a seguir que para quaisquer outros valores de α e β a álgebra obtidaé isomorfa a uma das anteriores. Para isso suponha que o produto · de J satisfaz

(2.2) para alguns α e β tal que pelo menos um deles é não nulo.

Vamos supor primeiro que o coeficiente não nulo seja β. Então se α = 0 a álgebraJ é isomorfa a J44 com isomorfismo definido por N2 7→ β−1n2. Mas se α for

também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J45 com isomorfismo dado porN2 7→ β−1n2 e N3 7→

√α√βn3 cujo determinante

√α

(√β)

3 é bem definido e não nulo

para todo β 6= 0 e α 6= 0. Suponha agora que o coeficiente não nulo seja α. Se

β = 0 o isomorfismo definido por N2 7→ α−1n2 mostra que J ≃ J46.

v. Suponha que N = N0 ⊕N1, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,

N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando auma base de N existem n1 ∈ N0 e n3 ∈ N1 tal que

n22, n2n1, n2n3 ∈ N3 = 0, n2

3 = n1n3 = 0, (2.3)

n21 = αn2 pois n2

1 ∈ N2.

Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas se α = 0 entãoN2 = 0 o que contradiz o fato de N ter tipo de nilpotência (2, 1). Logo α deve ser

não nulo e obtemos uma única álgebra:

Tabela 2.13: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J47 B1 ⊕B3 3 1 3 Associativa

Vejamos que para quaisquer outros valores de α a álgebra obtida é isomorfa a J47.

Analogamente ao caso anterior suponha que o produto · de J satisfaz (2.3) paraalgum α 6= 0 então o isomorfismo é definido por N2 7→ α−1n2.

vi. Suponha que N = N0 ⊕N 12, com dimN 1

2= 2. Considere n1 ∈ N0, n2, n3 ∈ N 1

2.

Do Lema 2.1 segue que n21 = 0. Por outro lado n2

2, n23, n2n3 ∈ N2

12

⊆ N0 logo

n22 = αn1, n2

3 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈ N0N 12⊆ N 1

2

temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.

Verificando que a base e1, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) ob-

temos condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemossão isomorfas a uma das seguintes álgebras:

36


2com dimN 1

2= 2


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J48e21 = e1 n2

3 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 1 4

J49

e21 = e1 n23 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

n2n3 = n1

4 1 4

J50e21 = e1 e1n2 = 1

2n2

e1n3 = 12n3 n1n2 = n3

5 0 3

Vejamos isso com mais detalhes, para isso considere que (J, ·) satisfaz as condi-ções de nosso problema para certos coeficientes α, β, γ, δ, δ1, θ e θ1. Suponha,

primeiramente, que char k 6= 3, então obtemos2 6 condições que as constantesdevem satisfazer para a álgebra ser de Jordan, a saber:

a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 o isomorfismo definido porN1 7→ β−1n1 e N2 7→ −γβ−1n2 + 2γβ−1n3 cujo determinante −γβ−2 é bem

definido e não nulo, nos da J ≃ J49. Mas se γ = 0 então J ≃ J48 comisomorfismo N1 7→ β−1n1.

b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrárioN2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J50 com

isomorfismo N1 7→ δn1.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem não nulas,

temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J49 com iso-

morfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ −

√−αβ+γ2

α n2 +γ+

√−αβ+γ2

α n3

de det =

√−αβ+γ2

α2 , ou −αβ + γ2 = 0 e então J ≃ J48 com isomorfismoN1 7→ α−1n1, N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 de det = α−2γ. Agora,

se β = γ = 0 então J ≃ J48 com isomorfismo dado por N1 7→ α−1n1,N2 7→ n3 e N3 7→ n2 com det = −α−1. Se somente um deles for nulo

então a álgebra obtida é J49 com isomorfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 eN3 7→ −γα−1n2 + 2γα−1n3 de det = γα−2 se β = 0, e com isomorfismo

N1 7→ −β−1n1, N2 7→ i√α√βn3 e N3 7→ −n2 + n3 de det = −i

√α

(√β)

3 se γ = 0.

2 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora, veja Apêndice A.

37

d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J50

com isomorfismo N1 7→ −θ2

θ1n1 e N3 7→ θ1

θn2 + n3 cujo determinante −θ2

θ1é

bem definido e não nulo.

e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J50 com isomorfismoN1 7→ θ1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −θ1 é não nulo.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J49 com isomorfismoN1 7→ γ−1n1, N2 7→ −1

2n2 + n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −γ−1 é bem

definido e não nulo.

Suponha agora que k é um corpo algebricamente fechado de característica 3, então

as condições dadas pela identidade (1.3) mudam. Assim obtemos as seguintes 7

condições sobre as constantes:

a) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e αβ + 2γ2 6= 0. Então considerando as diferentes

possibilidades para α, β e γ caímos nos casos a), c) e f) anteriores.

b) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Então temos duas possibilidades para

β: ou β = 0 e caímos no caso e) de char k 6= 3 ou β 6= 0 mas neste caso(N2

3,E1,N3) = −12βθ1N2 6= 0 então J não é de Jordan.

c) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Então temos duas possibilidades paraα: ou α = 0 e caímos no caso b) de char k 6= 3 ou α 6= 0 mas neste caso

(N22,E1,N2) = −1

2αδN3 6= 0 então J não é de Jordan.

d) θ1 = θ = δ1 = δ = β = γ = 0. Então necessariamente α 6= 0 (caso contrário

N2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e caímos no caso c) dechar k 6= 3.

e) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Idem caso d) de

char k 6= 3.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2

βcom β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que

−2 = 1 temos que α = γ2

βe logo J ≃ J48 com isomorfismo N1 7→ α−1n1,

N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 cujo determinante α−2γ é bem definido enão nulo. É interessante observar que se char k for diferente de 3 neste caso

a álgebra seria J49.

g) θ1 = θ = δ1 = δ = α = γ = 0 com β 6= 0. Idem caso a) de char k 6= 3 quandoγ = 0.

38

vii. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 com dimNi = 1 para i = 0, 1

2 , 1. Consideren1 ∈ N 1

2, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0 então temos os seguintes produtos em N:

n23 = n2

2 = n1n3 = n1n2 = 0 pelo Lema 2.1, n2n3 ∈ N0N1 = 0,

n21 = αn3 +βn2 pois n2

1 ∈ N212

⊆ N0 ⊕N1. (2.4)

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se amboscoeficientes fossem nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo

de nilpotência (2, 1). Logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assimobtemos as seguintes álgebras:


2⊕N1


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J51 T9 ⊕ kn3 3 1 3α = 0

β 6= 0

J52e21 = e1 n2

1 = n3

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

3 1 4α 6= 0

β = 0

J53e21 = e1 n2

1 = n2 +n3

e1n2 = n2 e1n1 = 12n1

2 1 4α 6= 0

β 6= 0

Para provar que não existe outra álgebra suponha que o produto · de J satisfaz(2.4) e que o coeficiente não nulo é β. Então se α = 0 o isomorfismo que leva

N2 7→ β−1n2 nos dá J ≃ J51, mas se α 6= 0 então o isomorfismo dado porN2 7→ β−1n2 e N3 7→ α−1n3 prova que J ≃ J53. Caso o coeficiente não nulo seja

α e β = 0 então J é J52 com isomorfismo N3 7→ α−1n3.

viii. Suponha que N = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2. Do Lema 2.1 e do Teorema 1.18

segue que N2 ⊆ N1. Consequentemente, existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2,

completando a uma base de N existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N0 tal que

n22, n1n2 ∈ N3 = 0, n2

3 = n2n3 = n1n3 = 0,

n21 = αn2 pois n2

1 ∈ N2. (2.5)

Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas devido ao tipo de

nilpotência que estamos considerando α deve ser não nulo. Consequentementeobtemos a seguinte álgebra:

39

Tabela 2.16: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J54 T1 ⊕ kn3 3 1 3 Associativa

Se J satisfaz (2.5) para algum α 6= 0 então J é isomorfa a J54 com isomorfismo

N2 → α−1n2.

ix. Suponha que N = N 12⊕N1 com dimN1 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema

1.18 segue que N2 ⊆ N1. Consequentemente existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2,completando a uma base de N temos que existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N 1

2tal que

n22, n2n1 ∈ N3 = 0, n2n3 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,

n21 = αn2 e n2

3 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.6)

Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas devido aotipo de nilpotência que estamos considerando não podem ser ambos nulos. Logo

obtemos as seguintes álgebras:

Tabela 2.17: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N 1

2⊕N1 com dimN1 = 2


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J55

e21 = e1 n23 = n2

e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

4 0 4α = 0

β 6= 0

J56

e21 = e1 n21 = n2

e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

4 0 4α 6= 0

β = 0

J57

e21 = e1 n21 = n2

n23 = n2 e1n1 = n1

e1n2 = n2 e1n3 = 12n3

3 0 4α 6= 0

β 6= 0

Suponha que J satisfaz (2.6) para alguns α e β, então se o coeficiente não nulo é

β e α = 0 a álgebra J é isomorfa a J55 com isomorfismo que leva N2 7→ β−1n2 .Mas se α for também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J57 neste caso com

40

isomorfismo N1 7→√α√βn1 e N2 7→ β−1n2 cujo determinante

√α

(√β)

3 é bem definido

e não nulo. Por último se o coeficiente não nulo é α e β = 0 o isomorfismo

N2 7→ α−1n2 prova que J ≃ J56.

x. Suponha, por último, que N = N 12⊕N1 com dimN 1

2= 2. Considere n1 ∈ N1,

n2, n3 ∈ N 12. Do Lema 2.1 segue que n2

1 = 0. Por outro lado n22, n2

3, n2n3 ∈N2

12

⊆ N1 logo n22 = αn1, n2

3 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈N1N 1

2⊆ N 1

2, temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.

Verificando que a base e1, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) ob-

temos condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemossão isomorfas a uma das seguintes álgebras:

Tabela 2.18: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N 1

2⊕N1 com dimN 1

2= 2


Aut(J)

dim

Ann(J)

dim

J2Observação

J58e21 = e1 n2

3 = n1 e1n1 = n1

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 0 4

J59

e21 = e1 n23 = n1

e1n1 = n1 e1n2 = 12n2

e1n3 = 12n3 n2n3 = n1

4 0 4

J60e21 = e1 e1n1 = n1 n1n2 = n3

e1n2 = 12n2 e1n3 = 1

2n3

5 0 4

Vejamos que só existem essas álgebras. Suponha, primeiramente, que char k 6= 3,

então obtemos3 6 condições que as constantes devem satisfazer para a álgebra serde Jordan, que são as mesmas condições do caso vi. onde N = N 1

2⊕N0 com

dimN 12= 2. Quando o isomorfismo não seja dado explicitamente se entenderá

que é análogo ao isomorfismo correspondente do caso vi.

a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 então J ≃ J59, mas se γ = 0 entãoJ ≃ J58.

b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrário

N2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J60 comisomorfismo que leva N3 7→ δ−1n3.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem nãonulas, temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J59, ou


41

−αβ + γ2 = 0 e então J ≃ J58. Agora, se β = γ = 0 então J ≃ J58. Sesomente um deles for nulo então a álgebra obtida é J59.

d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2

θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J60

com isomorfismo N3 7→ θ1

θ n2 −θ1

θ2n3 cujo determinante −θ1

θ2 é bem definidoe não nulo.

e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J60 com isomorfismoN2 7→ θ−1

1 n3 e N3 7→ n2 + n3 cujo determinante −θ−11 é bem definido e não

nulo.

f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J59.

Suponha agora que k tem característica 3, então obtemos as mesmas 7 condiçõessobre as constantes que obtivemos no caso (vi). quando char k = 3, por isso só

explicitaremos aquelas condições que não impliquem em algum dos casos anteri-ores.

a) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Se β 6= 0 então (N23,E1,N3) =

12βθ1N2 6= 0

logo J não é de Jordan.

b) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Se α 6= 0 então (N22,E1,N2) =

12αδN3 6= 0

logo J não é de Jordan.

c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2

β com β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que −2 = 1

temos que α = γ2

β e logo J ≃ J58. É interessante observar que se char k fordiferente de 3 neste caso a álgebra seria J59.

2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes

As álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 sobre o corpo dos números complexosforam descritas em [4]. Observamos que esta classificação é ainda válida para um

corpo algebricamente fechado de char 6= 2, veja [17]. Temos as seguintes álgebras nãoisomorfas:

Tabela 2.19: k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J61n21 = n2 n2

2 = n4

n1n2 = n3 n1n3 = n4

4 1 3

Associativa,

tipo de nilpotência(1, 1, 1, 1)

42


Aut(J)dim

Ann(J)dimJ2

Observação

J62n21 = n2 n2

4 = n2

n1n2 = n3

3 1 2tipo de nilpotência

(2, 1, 1)

J63n21 = n2 n2

4 = −n2 − n3

n1n2 = n3 n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J64n21 = n2 n2

4 = −n2

n1n2 = n3 n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J65n21 = n2 n1n2 = n3

n2n4 = n3


(2, 1, 1)

J66n21 = n2 n2

4 = n3

n1n2 = n3

5 1 2

Associativa,tipo de nilpotência

(2, 1, 1)

J67 T3 ⊕ kn4 6 2 2


(2, 1, 1)

J68 B3 ⊕B3 6 2 2

Associativa,

tipo de nilpotência(2, 2)

J69n21 = n2

n1n3 = n4

7 2 2

Associativa,

tipo de nilpotência(2, 2)

J70n21 = n2

n3n4 = n2

7 1 1


(3, 1)

J71 T4 ⊕ kn4 8 2 1


(3, 1)

J72 B3 ⊕ kn3 ⊕ kn4 10 3 1


(3, 1)

J73 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ⊕ kn4 16 4 0

Associativa,

tipo de nilpotência(4)

43

2.2.6 Observações

Vimos em cada caso que dada qualquer álgebra de Jordan J de dimensão 4 sobre um

corpo algebricamente fechado k de char k 6= 2 então J é uma das álgebras J1 a J73. Parafinalizar a classificação algébrica só resta provar que todas elas são diferentes.

Teorema 2.2. As álgebras J1 a J73 são duas a duas não isomorfas.

Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(J), tipo de nilpotência de Rad(J),dim Ann(J), dim Aut(J) e dim J2, junto com as propriedades de J ser indecomponí-

vel, associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existeisomorfismo entre J55, J56, J59 e entre J58 e J60.

Primeiro observe que a álgebra de Jordan não associativa B2 de dimensão 2, é umasubálgebra de J56 mas não é subálgebra de J55 (veja Apêndice B), então J55 6≃ J56.

Mais ainda, o segundo grupo de cohomologia H2(J59, J59) = 0 enquanto que ambosH2(J55, J55) e H2(J56, J56) são não nulos, logo temos J59 6≃ J55 e J59 6≃ J56.

Por último veja que Rad(J58) = B3 ⊕ kn2 enquanto que Rad(J60) = T4, portantoJ58 6≃ J60.

Como última observação temos o seguinte teorema.

Teorema 2.3. Todas as álgebras de este capítulo são especiais.

Demonstração. Em 1979, A. M. Slin’ko em [44] provou que álgebras de Jordan nilpoten-tes sobre um corpo arbitrário até dimensão 5 são especiais e em 1989, H. Sherkulov

em [43] mostrou que as álgebras de Jordan não associativas e não nilpotentes sobre umcorpo arbitrário até dimensão 4 são especiais.

44

3 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE

JORDAN DE D IMENSÃO 3 SOBRE O CORPO DOS NÚME-

ROS REA I S

O problema de classificar álgebras sobre um corpo arbitrário não é simples e a classifica-

ção depende de maneira essencial do corpo que estivermos considerando. Para corposbases especiais, como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números reais,

como é o nosso caso, o problema pode ser resolvido e podemos obter uma classificaçãocompleta das correspondentes álgebras de Jordan.

A determinação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimen-

são fixa sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso deálgebras de Jordan semissimples. Os resultados conhecidos para álgebras de Jordan

sobre R são muito escassos, inclusive para dimensões pequenas.

Neste capítulo apresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan (unitárias e

não unitárias, associativas e não associativas) de dimensão 3 sobre R. Analogamenteao Capítulo 2, faremos isto em duas seções: na primeira introduzimos as álgebras

de Jordan indecomponíveis de dimensão menor que 3 e na segunda descrevemos asálgebras de dimensão 3 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos

possíveis valores do tipo de nilpotência.

Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-ver a variedade JorR

3 das álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo dos números

reais no Capítulo 6 deste texto.

Como foi visto no Teorema 1.13 toda álgebra de Jordan de dimensão finita sobreum corpo de característica zero pode-se decompor em soma direta de espaços vetoriais

como sendo J = Jss ⊕ Rad(J), logo denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni

aqueles elementos que pertencem a Rad(J).

45

3.1 álgebras de jordan reais de dimensão menor que

3

3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1

Existem somente duas R-álgebras de Jordan de dimensão 1: a álgebra simples Re, ondee2 = e e a álgebra nilpotente Rn, onde n2 = 0.

3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2

Em [3] Ancochea Bermúdez e outros descreveram todas as álgebras de Jordan de di-mensão 2 sobre R. Dessa lista obtemos as seguintes 4 álgebras indecomponíveis, que

denotaremos por B ′i:

Tabela 3.1: R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B ′ Tabela de Multiplicação Observação

B ′1 e21 = e1 e1n1 = n1 n2

1 = 0 Associativa

B ′2 e21 = e1 e1n1 = 1

2n1 n2

1 = 0

B ′3 n2

1 = n2 n1n2 = 0 n22 = 0 Associativa, Nilpotente

B ′4 e21 = e1 e1e2 = e2 e22 = −e1 Associativa, Simples

Note que a álgebra B ′4 é na verdade a álgebra dos números complexos C.

3.2 álgebras de jordan reais de dimensão 3

Nesta seção descreveremos todas as 26 álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre R. Adescrição será organizada de acordo com a dimensão do radical nilpotente N e sub-

sequentemente com os possíveis valores de seu tipo de nilpotência. Analogamente aocapítulo anterior, provaremos durante a descrição que qualquer outra R-álgebra de Jor-

dan de dimensão 3 é isomorfa a uma das 26 e por último no Teorema 3.1 veremos queas álgebras T ′

1 a T ′26 são duas a duas não isomorfas.

Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos Aut(T),

de seu aniquilador Ann(T) e de sua segunda potência T2. Para uma lista mais detalhadadas propriedades de cada álgebra veja o Apêndice C.

46

3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semissimples

Para obter a classificação das álgebras de Jordan semissimples sobre R é suficiente

conhecer as álgebras simples. Como consequência do Teorema 1.15 do Capítulo 1 po-demos reduzir o problema de classificar álgebras de Jordan simples de dimensão finita

sobre R ao problema de classificar álgebras de Jordan simples centrais sobre uma exten-são K de R. Segue, então, do Teorema 1.16 que se T é uma álgebra de Jordan simples

de dimensão menor ou igual a 3 sobre R então ou T = R ou T = C ou T é a álgebrade Jordan de uma forma bilinear simétrica não degenerada. Observamos que despre-

zamos as álgebras de Jordan (H (A, J) ,⊙) dos elementos de uma álgebra A associativasimples central de grau n > 3, fixos pela ação da involução J de A, pois no mínimo es-

tas álgebras tem dimensão 6. Por um argumento análogo podemos eliminar as formasbilineares definidas sobre espaços vetoriais sobre o corpo dos complexos.

Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a 3,fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas

sobre espaços vetoriais de dimensão finita sobre R.Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre R, que possui uma forma

bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), pela Lei de inercia de Sylvester [40, Teo.11.25, p.287] existe uma base e1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1, para 1 6 i 6 p,

f(ei, ei) = −1 para p + 1 6 i 6 n e f(ei, ej) = 0 para todo i 6= j. Então a álgebrade Jordan (J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base 1, e1, . . . , en e é definida pelos

produtos

1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j

ei ⊡ ei = 1 para 1 6 i 6 p, ei ⊡ ei = −1 para p+ 1 6 i 6 n

Logo existem somente 5 álgebras de Jordan reais simples não isomorfas de dimensão

menor ou igual a 3:

i. R de dimensão 1,

ii. C de dimensão 2,

iii. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2, f(e1, e1) = 1 e f(e2, e2) = −1 de dimensão 3,

iv. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = −1 para i = 1, 2, de dimensão 3 e

v. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = 1 para i = 1, 2, de dimensão 3.

Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordan se-missimples de dimensão 3 sobre R:

47

Tabela 3.2: R-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 3

T Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′1 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3 0 0 3

Associativa,Unitária

T ′2 B ′

4 ⊕ Re3 0 0 3Associativa,

Unitária

T ′3 e22 = e1 e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,

item iii

T ′4 e22 = e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,item iv

T ′5 e22 = e23 = e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3

Unitária,item v

3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1

Considere T uma álgebra de Jordan real tal que dimN = 1, logo a parte semissimplesTss tem dimensão 2 e da seção anterior temos as seguintes possibilidades:

ou Tss = Re1 ⊕ Re2 ou Tss = B ′4.

1) Suponha que Tss = Re1⊕Re2. Então a álgebra T# = T⊕R ·1 contem 3 idempotentes

ortogonais e1, e2 e e0 = 1− e1 − e2 o que implica na decomposição de Peirce do radicalN:

N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.

Seja n1 uma base de N, então T fica completamente definida pelo subespaço de Peirce

ao qual n1 pertence. Das 6 possíveis álgebras obtemos as seguintes 4 não isomorfas:

Tabela 3.3: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e partesemissimples Re1 ⊕ Re2


Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′6 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Rn1 1 1 2

Associativa

n1 ∈ N00

T ′7 B ′

2 ⊕ Re2 2 0 3 n1 ∈ N01

48


Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′8 e2i = ei ein1 = 1

2n1 i = 1,2 2 0 3Unitárian1 ∈ N12

T ′9 B ′

1 ⊕ Re2 1 0 3

Associativa,Unitária

n1 ∈ N11

Observamos que no caso em que n1 pertença ao subespaço N22 temos um elementoidempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a T ′

9.

Se n1 ∈ N02 temos somente um elemento idempotente na álgebra agindo como 12 em

n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a T ′7.

2) Suponha que Tss = B ′4. Então, somente temos um elemento idempotente e1 que

determina a seguinte decomposição de N:

N = N0 ⊕N1 ⊕N 12

.

Seja n1 uma base de N então a ação de e1 em n1 fica definida pela componente Ni àqual n1 pertence. Só resta estabelecer como age e2 em n1. Da tabela de multiplicação

de B ′4 (veja Tabela 3.1) deduzimos que e2 ∈ P1. Suponha que n1 ∈ N0, então temos

do Teorema 1.18 que e2n1 ∈ P1P0 = 0. Agora se n1 ∈ N1 como e2n1 ∈ N temos

que e2n1 = αn1 para algum α ∈ R. Verificando que a base e1, e2, n1 satisfaça aidentidade de Jordan (1.3) obtemos que a única condição real para a constante é α = 0.

No último caso, quando n1 ∈ N 12, não obtemos uma álgebra de Jordan real já que as

únicas soluções de e2n1 = βn1 são β = ± i2

.

Logo obtemos as seguintes álgebras não isomorfas:

Tabela 3.4: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e partesemissimples B ′

4


Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′10 B ′

4 ⊕ Rn1 1 1 2Associativa

n1 ∈ N0

T ′11

e22 = −e1 e1n1 = n1

e1ei = ei i = 1,22 0 3

Unitária

n1 ∈ N1

49

3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2

Suponha agora que T seja uma R-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. A

única álgebra de Jordan semissimples de dimensão 1 é Tss = Re1, o que implica naseguinte decomposição de Peirce de N:

N = N0 ⊕N 12⊕N1.

O ideal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).

1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo N2 = 0. Seja n1, n2 uma base

de N, então T fica completamente definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 en2 pertencem. Assim obtemos 9 possíveis álgebras das quais as seguintes 6 são não

isomorfas:

Tabela 3.5: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2)


Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′12 e21 = e1 e1ni =

12ni i = 1,2 6 0 3 n1, n2 ∈ N 1

2

T ′13 e21 = e1 e1ni = ni i = 1,2 4 0 3

Associativa,

Unitária,n1, n2 ∈ N1

T ′14 B ′

2 ⊕ Rn2 3 1 2 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N0

T ′15 B ′

1 ⊕ Rn2 2 1 2Associativa,

n1 ∈ N1, n2 ∈ N0

T ′16

e21 = e1 e1n1 = 12n1

e1n2 = n2

3 0 3 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N1

T ′17 Re1 ⊕ Rn1 ⊕ Rn2 4 2 1

Associativa,n1, n2 ∈ N0

As outras 3 possibilidades: n1 ∈ N0 e n2 ∈ N 12, n1 ∈ N0 e n2 ∈ N1 e n1 ∈ N1 e

n2 ∈ N 12

resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra T ′14, T ′

15 e T ′16 respetivamente,

basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2.

2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Analogamente ao caso sobre um

corpo algebricamente fechado existe n ∈ N tal que N = Rn+ Rn2 com n3 = 0. Supo-nha primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimensão 2,

isto é N = Ni então N2i ⊆ N0 ⊕N1. Se i = 1

2 então N2 = 0 o que contradiz o fato deN ter tipo de nilpotência (1, 1), logo i = 0 ou i = 1. Agora suponha que N = Ni ⊕N 1

2

com dimNi = dimN 12= 1 para i = 0, 1 então podemos escolher o n da base como

50

sendo um elemento de N 12

. De fato se Ni = Ra e N 12= Rb, então temos b2 ∈ Ni

logo b2 = αa para algum α ∈ R. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência a2 = ab = 0.

Consequentemente N = Rb⊕ Rb2.Por último se N = N0 ⊕N1, então da nilpotência de N temos que N2

0 = N21 = 0 e da

tabela de multiplicação das componentes de Peirce N0N1 = 0 logo N2 = 0 o que é umacontradição.

Assim obtemos as seguintes álgebras não isomorfas, onde n21 = n2.

Tabela 3.6: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1)


Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′18

e21 = e1 n21 = n2

e1ni = ni i = 1,22 0 3

Associativa,

Unitária,n1, n2 ∈ N1

T ′19 e21 = e1 n2

1 = n2 e1n1 = 12n1 2 1 3

n1 ∈ N 12,

n2 ∈ N0

T ′20

e21 = e1 n21 = e1n2 = n2

e1n1 = 12n1

2 0 3n1 ∈ N 1

2,

n2 ∈ N1

T ′21 B ′

3 ⊕ Re1 2 1 2Associativa,

n1, n2 ∈ N0

3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes

Seja T uma álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 sobre R, então T pode ter os

seguintes tipos de nilpotência:

1) Suponha que T tem tipo de nilpotência (3). Isto significa que T2 = 0, logo só temosuma álgebra que satisfaz essa condição:

Tabela 3.7: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3)

TTabela de

Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′22 Rn1 ⊕ Rn2 ⊕ Rn3 9 3 0 Associativa

2) Suponha que T tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Então por definição T〈4〉 = 0,dimT3 = 1 e dimT2 = 2. Seja n1 uma base de T3, completando a uma base de T2 e de

51

T temos que existem n2 ∈ T2 e n3 ∈ T tal que T2 = Rn1+Rn2 e T = Rn1+Rn2+Rn3

com produtos

n21, n1n2, n1n3 ∈ T〈4〉 = 0 n2

3 = αn1 + βn2 pois n23 ∈ T2

n2n3 = γn1 e n22 = δn1 pois n2n3, n2

2 ∈ T3. (3.1)

Verificando que a base n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos1

condições para as constantes: ou β = 0 ou δ = 0. Mas se β = 0 então isto implicaria

que dimT2 = 1 o que é uma contradição, logo temos que β 6= 0 e, portanto, δ = 0.Pelo mesmo argumento concluímos que γ 6= 0. Assim neste caso somente existe uma

álgebra:

Tabela 3.8: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1)

TTabela de

Multiplicação

dim

Aut(T)

dim

Ann(T)

dim

T2Observação

T ′23 n2n3 = n1 n2

3 = n2 3 1 2 Associativa

Considere uma álgebra (T, ·) com base N1, N2, N3 tal que o produto satisfaz (3.1)para certos coeficientes α, β 6= 0, γ 6= 0 e δ = 0. Então T é isomorfa a T ′

23 com

isomorfismo dado por N1 7→ β−1γ−1n1 e N2 7→ − αβ2γ

n1 + β−1n2 cujo determinante1

β2γé bem definido e não nulo.

3) Suponha que T tem tipo de nilpotência (2, 1). Então T3 = 0 e dimT2 = 1. Seja n3

uma base de T2, completando a uma base de T temos que existem n1, n2 ∈ T tal queT = Rn1 + Rn2 + Rn3 com produtos

n23, n1n3, n2n3 ∈ N3 = 0

n21 = αn3, n2

2 = βn3, n1n2 = γn3 (3.2)

Para quaisquer valores de α, β e γ a álgebra obtida T é de Jordan, mas é claro que pelomenos um deles deve ser não nulo para T ter tipo de nilpotência (2, 1). Provaremos a

seguir que se (T, ·) é uma álgebra com base N1, N2, N3 tal que o produto · satisfaz (3.2)para certos coeficientes α,β,γ ∈ R então T é isomorfa a uma das seguintes álgebras:

Tabela 3.9: R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1)

TTabela de

Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação


52

TTabela de

Multiplicaçãodim

Aut(T)dim

Ann(T)dimT2

Observação

T ′24 n2

1 = n22 = n3 4 1 1 Associativa

T ′25 B ′

3 ⊕ Rn3 5 2 1 Associativa

T ′26 n1n2 = n3 4 1 1 Associativa

Suponha que β = 0 então, se γ 6= 0 temos que T ≃ T26 com isomorfismo N1 7→n1 +

α2γn2 e N3 7→ γ−1n3 de determinante γ−1. Mas se γ = 0, então necessariamente

α 6= 0 e neste caso T é isomorfa a T25 com isomorfismo definido por N2 7→ n3 e

N3 = α−1n2.

Por outro lado, se consideramos β 6= 0 temos três possibilidades. Vamos denotar−αβ+ γ2 por ∆ para simplificar a notação, então:

i. Se ∆ > 0, novamente T é T26 com isomorfismo dado por N1 7→(

12 + γ

2√∆

)

n1 +(

−12 + γ

2√∆

)

n2, N2 7→ β

2√∆n1 +

β

2√∆n2 e N3 7→ β

2∆n3 cujo determinante β2

4∆32

ébem definido a não nulo.

ii. Se ∆ < 0, neste caso T ≃ T24 com isomorfismo N1 7→ n1 +γ√−∆

n2, N2 7→ β√−∆

n2

e N3 7→ −β∆n3 de determinante β2

(−∆)32

.

iii. Por último, se ∆ = 0 então α = γ2

β e T ≃ T25. Se considerarmos que γ = 0 (elogo α = 0) então o isomorfismo é dado por N1 7→ n3, N2 7→ n1 e N3 7→ β−1n2,

mas se supomos γ 6= 0 (e portanto α 6= 0) então o isomorfismo é definido porN1 7→ n1 + n3, N2 7→ α−1γn1 e N3 7→ α−1n2 cujo determinante γ

α2 é bem

definido e não nulo.

3.2.5 Observações

Vimos em cada caso que dada qualquer álgebra de Jordan T de dimensão 3 sobre R

então T é uma das álgebras T ′1 a T ′

26. Para finalizar a classificação algébrica só resta

provar que todas elas são diferentes.

Teorema 3.1. As álgebras T ′1 a T ′

26 são duas a duas não isomorfas.

Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(T), tipo de nilpotência de Rad(T),dim Ann(T), dim Aut(T) e dimT2, junto com as propriedades de T ser indecomponí-

vel, associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existeisomorfismo entre T ′

3, T ′4, T ′

5 e entre T ′24 e T ′

26.

53

Primeiro observamos que as álgebras T ′3, T ′

4 e T ′5 proveem de formas bilineares si-

métricas não degeneradas não isomorfas as quais geram álgebras de Jordan não são

isomorfas.Por último veja que a álgebra nula Rn1 ⊕ Rn2 de dimensão 2, é uma subálgebra de

T ′26 mas não é subálgebra de T ′

24 (veja Apêndice C), portanto T ′24 6≃ T ′

26.

Analogamente ao Teorema 2.3 temos o seguinte fato:

Teorema 3.2. Todas as álgebras de este capítulo são especiais.

54

4 DEFORMAÇÕES

Nossa principal motivação para realizar a classificação algébrica das álgebras de Jor-dan nos capítulos anteriores vem da intenção de entender a variedade das álgebras de

Jordan, i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A classificação geométrica éo problema de entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan ,i.e., de de-

terminar a lista completa das estruturas que denominaremos de rígidas (pois veremosque estas álgebras gerarão as componentes irredutíveis da variedade), de determinar o

número de órbitas sob a ação do grupo geral linear G = GL(V) e de encontrar todas aspossíveis deformações entre tais álgebras.

Este capítulo foi dividido em 5 seções. Na primeira seção apresentaremos uma rápidarevisão de alguns conceitos e terminologia da geometria algébrica que serão necessáriospara entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan. Na segunda seção apre-

sentaremos o conceito de deformação a um parâmetro introduzido por Gerstenhaberem [14] e os conceitos de rigidez analítica e infinitesimal. Provaremos que rigidez infi-

nitesimal implica em rigidez analítica.

Na terceira seção introduziremos a definição de variedade das álgebras de Jordan de

dimensão n, Jorn, assim como também as noções de deformação de uma álgebra e derigidez geométrica. Reuniremos os resultados existentes na literatura que relacionam os

três conceitos de rigidez. Provaremos que, sempre que a variedade tenha um númerofinito de G-órbitas, cada componente irredutível é determinada pelo fecho de Zariski

da órbita de uma álgebra (geometricamente) rígida. Apresentaremos também certas“operações” que preservam algum dos tipos de rigidez e daremos contraexemplos de

outras em que isso não acontece.

Na quarta seção introduziremos uma lista de critérios que determinarão a não existên-cia de deformação entre um par de álgebras dadas, os quais nos permitirão determinar

as álgebras rígidas e logo as componentes irredutíveis de uma variedade. Por último,na Seção 4.5 mostraremos que em toda variedade de álgebras de Jordan de dimensão

maior ou igual a 5 existem pelo menos 3 componentes irredutíveis que provêm deálgebras rígidas que são indecomponíveis, não associativas e não semissimples.

55

4.1 introdução à geometria algébrica

Nesta seção daremos uma rápida revisão de alguns conceitos e terminologia da geome-tria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua ação em variedades. No

que se segue consideraremos que o corpo k de char k 6= 2 é algebricamente fechado ouR.

Como referências para os resultados que apresentaremos recomendamos os trabalhos[16], [8], [29] e [6].

4.1.1 Variedades Algébricas

Seja P = k[x1, . . . , xn] o anel dos polinômios em n variáveis sobre k. Um polinômiof ∈ P define uma função f : kn → k, o valor de f em um ponto (a1, . . . ,an) ∈ kn

é obtido substituindo os xi pelos ai em f, i.e., f leva (a1, . . . ,an) 7→ f(a1, . . . ,an).A função definida por f é chamada de função polinomial no espaço vetorial kn de

dimensão n sobre k, com valores em k.Diremos que f se anula em (a1, . . . ,an) ou, equivalentemente, que (a1, . . . ,an) é um

zero de f se f(a1, . . . ,an) = 0.Dado S ⊆ P um subconjunto do anel dos polinômios definimos o anulador de S como

sendo

V(S) = (a1, . . . ,an) ∈ kn | f(a1, . . . ,an) = 0 ∀f ∈ S .

Note que se I é o ideal de P gerado por S então V(I) = V(S). Mais ainda, como P é

um anel noetheriano, todo ideal I tem um número finito de geradores. Logo V(S) podeser expressado como os zeros comuns de um conjunto finito de polinômios f1, . . . , fr.

Definição 4.1. Um subconjunto de kn, é dito algébrico se ele é o anulador V(S) de

algum conjunto de polinômios S.

Como⋂

i V(Si) = V(⋃

i Si), a interseção de qualquer coleção de conjuntos algébri-

cos é um conjunto algébrico. Mais ainda, se definimos S1S2 como sendo o conjuntoconsistindo de todos os produtos de um elemento de S1 por um elemento de S2 então

V(S1) ∪ V(S2) = V(S1S2) ou seja a união de dois conjuntos algébricos é de novo umconjunto algébrico. Por último ∅ = V(1) e kn = V(0) são ambos conjuntos algébricos.

Para a demostração destes fatos veja [16, Prop. 1.1 p.2].As propriedades anteriores nos permitem definir uma topologia em kn considerando

os conjuntos fechados como sendo os conjuntos algébricos de kn. Esta topologia échamada de topologia de Zariski.

56

Definição 4.2. Um n-espaço afim An é um espaço topológico, o qual é kn como con-junto dotado da topologia de Zariski.

O nosso objetivo é definir uma variedade algébrica, para isso precisaremos das se-guintes duas definições:

Definição 4.3. Em um espaço topológico, um subconjunto é localmente fechado se éaberto no seu fecho ou, equivalentemente, se é a interseção de um conjunto aberto e

um fechado.

Definição 4.4. Se X ⊆ An é localmente fechado, uma função f : X → k é dita regular no

ponto p ∈ X se existe uma vizinhança aberta U com p ∈ U ⊆ X e polinômios g,h ∈ P

tal que h nunca se anula em U e f = g/h em U. Denotamos o conjunto das funções

regulares em p por Op. Dizemos que f é regular em X se é regular em todo ponto de X.O conjunto de aplicações regulares em X é denotado por

O(X) = f : X → k | f é regular em X .

Ou seja, funções regulares são funções que são localmente quocientes de polinômios.

Definição 4.5. Um subconjunto não vazio X de um espaço topológico Y é chamado deirredutível se não pode ser decomposto como a união de dois subconjuntos fechados

próprios (onde a topologia de X é a topologia induzida da topologia de Y). Ou seja, Xé irredutível se ∅ 6= X = X1 ∪X2 com X1 e X2 fechados, implica X1 = X ou X2 = X.

Todo subconjunto aberto não vazio de um espaço irredutível é irredutível e denso.Além disso, se X é um subconjunto irredutível de Y então seu fecho X em Y é também

irredutível, [16, p. 3].

Definição 4.6. Uma variedade algébrica (ou simplesmente variedade) X é um subcon-

junto localmente fechado de An dotado de sua topologia e da coleção O(U) para todoU aberto em X.

Claramente uma subvariedade de uma variedade algébrica X é um subconjunto de X

que é uma variedade. Todo subconjunto fechado de uma variedade é uma subvariedade

[29, p.12].

Definição 4.7. Um morfismo φ : X → Y entre variedades é uma aplicação contínua tal

que para todo U ⊆ Y e toda aplicação regular θ : U → k a composição

φ−1(U)φ

// Uθ // k

é regular.

57

Observamos que um isomorfismo neste caso é um morfismo com uma inversa, o quenão é o mesmo que um morfismo bijetivo.

Conjuntos algébricos são exemplos de um tipo especial de variedade que definiremosa seguir.

Definição 4.8. Uma variedade afim é uma variedade que é isomorfa a um subconjunto

fechado de An para algum n.

Definição 4.9. Seja Y um subconjunto fechado de um espaço topológico X. Um pontox ∈ Y é chamado de ponto genérico de Y se Y = x, o fecho de x em X.

Se Y tem um ponto genérico então Y é irredutível [29, p.25].

Toda variedade afim admite uma decomposição em um número finito de componen-tes irredutíveis, i.e., subconjuntos fechados irredutíveis maximais ([16, Prop.1.5, p.5],

[29, Cor. 2.15, p.13]). Como as componentes irredutíveis são fechadas elas são subva-riedades. Observamos que neste trabalho a definição de variedade algébrica não é a

padrão. Geralmente, variedades são definidas como sendo irredutíveis, no entanto, deacordo com a literatura de classificação geométrica de estruturas algébricas, não im-

pomos esta condição pois um dos objetivos do problema da classificação geométrica édeterminar as componentes irredutíveis de uma variedade algébrica.

4.1.2 Dimensão

Nesta seção daremos um significado algébrico preciso à noção geométrica de dimensão.

Se X é um espaço topológico, definimos a dimensão de X, que denotamos dimX,como sendo o supremo dos comprimentos das cadeias X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn de sub-

conjuntos fechados irredutíveis não vazios distintos de X. Em particular, definimos adimensão de uma variedade algébrica como sendo sua dimensão como espaço topoló-gico.

A dimensão de uma variedade algébrica possui as seguintes propriedades:

i. Se X ⊆ Y então dimX 6 dim Y. A desigualdade é estrita se Y é irredutível e X é

fechado.

ii. dim An = n.

iii. dim ∅ = −∞.

iv. Se U 6= ∅ é aberto em uma variedade irredutível X então dimU = dimX.

v. Se X e Y são variedades irredutíveis então dimX× Y = dimX+ dim Y.

58

vi. Se Xi são localmente fechados em Y então dim∪ni=1Xi = max16i6n dimXi.

vii. dimX é independente da escolha do corpo de definição k.

viii. Se X é uma variedade algébrica afim então dimX é finita.

Para a demostração destes fatos consulte [29, Prop.II.3.11] e [8, Cap.3]

4.1.3 Ação de Grupos

Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre grupos algébricos, em especial so-bre a ação desses grupos em variedades algébricas. Esses resultados serão importantes

para a caracterização geométrica da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, que apre-sentaremos na Seção 4.3.

Para maiores informações sobre os resultados aqui apresentados, veja [7, 18, 9, 10].

Definição 4.10. Um grupo algébrico é uma variedade G junto com:

i. um elemento e ∈ G;

ii. um morfismo µ : G×G → G denotado por (x,y) 7→ xy;

iii. um morfismo i : G×G → G denotado por x 7→ x−1,

em relação aos quais (o conjunto) G é um grupo.

Um morfismo de grupos algébricos é um morfismo de variedades que é também umhomomorfismo de grupos. Denominaremos isomorfismos os morfismos que possuam

inversas e estas também sejam morfismos.

Exemplo 4.11. [18, Cap II.7.1 e II.7.3] O conjunto Matn(k) de todas as matrizes n× n

com entradas em k pode ser identificado com An2e o grupo geral linear GLn(k), i.e., o

conjunto das matrizes invertíveis n× n com entradas em k, com o subconjunto abertodefinido pelo não-anulamento do polinômio det, visto assim como uma variedade afim,

mais ainda GLn(k) é uma variedade irredutível. As expressões para a multiplicação einversão de matrizes deixam claro que GLn(k) é um grupo algébrico.

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo k dimensão finita n. O grupo geral linearde V, i.e., o conjunto de todas as transformações lineares bijetivas de V em V, denotado

por GL(V), junto com a composição de funções como operação de grupo, é isomorfo aGLn(k) e, portanto, é também um grupo algébrico.

Por simplicidade, doravante, vamos assumir que o grupo G é uma variedade irre-

dutível pois nosso principal interesse está na ação do grupo algébrico GL(V) que éirredutível.

59

Definição 4.12. Dizemos que um grupo algébrico G age numa variedade algébrica X

se existe um morfismo ϕ : G× X → X que é uma ação de grupo.

Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X. Para cada ponto x em X

definimos a órbita de x sobre a ação de G como sendo o conjunto xG = g · x | g ∈ G eo subgrupo estabilizador de x como sendo o conjunto de todos os elementos em G que

fixam x, i.e., StabG(x) = g ∈ G | g · x = x.

As propriedades de grupo garantem que a relação definida por “x ∼ y se e somentese existe g ∈ G tal que g · x = y” seja uma relação de equivalência. As órbitas são então

as classes de equivalência sob essa relação. Logo dois elementos x e y são equivalentesse e somente se suas órbitas são as mesmas, i.e., xG = yG.

Lema 4.13. [8, 18, Cap.8.2,8.3] Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X, então:

i. Cada órbita xG é localmente fechada e irredutível.

ii. dim xG = dim G−dim StabG(x).

iii. xG \ xG é uma união de órbitas de dimensão estritamente menor que dim xG, onde

xG representa o fecho algébrico da órbita de x na topologia de Zariski. Em parti-cular, órbitas de dimensão minimal são fechadas.

iv. O conjuntox ∈ X | dim xG 6 s

é fechado e o conjunto

x ∈ X | dim xG = s

é

localmente fechado.

v. Se Y é uma componente irredutível de X então Y é invariante sob a ação de G, i.e.,Y = YG = g · y | y ∈ Y e g ∈ G.

Segue do item iii. que se a variedade X tem um número finito de órbitas então xG =

xG ∪(⋃n

i=1 xGi

)

com dim xGi < dim xG para todo 1 6 i 6 n. Então dos resultados da

Seção 4.1.2 temos

dim xG = max16i6n

dim xG, dim xG

i

= dim xG.

4.2 deformações infinitesimais de álgebras de jor-

dan

Seja J uma álgebra de Jordan sobre um corpo k de char k 6= 2 e V o espaço vetorialsubjacente a J. Denotamos por R = k[[t]] ao anel das séries de potências formais em uma

60

variável t, por K = k((t)) ao corpo de frações de R e por VK ao espaço vetorial obtidode V estendendo o domínio de coeficientes de k a K, i.e., VK = V⊗kK. Observamos

que qualquer função bilinear f : V×V → V (em particular o produto de J) pode serestendida a uma função bilinear sobre K de VK ×VK em VK.

Suponha que é dada uma função bilinear ft : VK×VK → VK expressa na forma

ft(a,b) = ab+ tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · , (4.1)

onde Fi é uma função bilinear definida sobre k e F0(a,b) = ab é o produto em J.

Suponha ainda que ft é um produto de Jordan, i.e.,

ft(a,b) = ft(b,a),

ft(ft(a,a), ft(b,a)) = ft(ft(ft(a,a),b),a), (4.2)

para todo a, b ∈ VK (ou equivalentemente, para todo a, b ∈ V). Então podemos

considerar a álgebra de Jordan Jt cujo espaço vetorial subjacente é VK e cujo produto éft.

Definição 4.14. Nas condições acima dizemos que Jt = (VK, ft) (ou, quando for neces-

sário fazer referencia à multiplicação, diremos que ft) é um elemento genérico de umafamília de deformações a um parâmetro de J.

Definição 4.15. Se J1 e J2 são duas k-álgebras de Jordan dizemos que J1 deforma-

se em J2 se existir um elemento genérico (J1)t de uma família de deformações a um

parâmetro de J1 o qual é K-isomorfo a (J2)K = J2 ⊗k K.

A condição (4.2) de que ft seja um produto de Jordan é equivalente às seguintes

relações, para todo a, b ∈ V e todo ν inteiro não negativo:

Fν(a,b) = Fν(b,a),∑

λ+µ+γ=νλ,µ,γ>0

Fγ(Fµ(a,a), Fλ(b,a)) − Fγ(Fµ(Fλ(a,a),b),a) = 0. (4.3)

Observe que para ν = 0 obtemos a comutatividade e a identidade de Jordan do produtooriginal.

A primeira aplicação bilinear Fn não nula logo após o produto de J na expressão (4.1)

de ft, considerada como uma aplicação de V×V em V, é chamada de diferencial dafamília.

61

Para ν = n, a relação (4.3) pode ser expressa da forma

Fn(a,b) = Fn(b,a),

Fn(a2,ba) − Fn(a

2b,a) + a2Fn(b,a) − Fn(a2,b)a+ Fn(a,b)(ba) − (Fn(a,a)b)a = 0,

ou seja Fn é um elemento do grupo Z2(J, J) de 2-cociclos de J com coeficientes em J

(veja Definição 1.21).

Observamos que um elemento arbitrário h ∈ Z2(J, J) não necessariamente é o diferen-

cial de uma família de deformações a um parâmetro de J. Se esse for o caso, dizemosque h é integrável.

Definição 4.16. Uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de Jor-dan definida pelo produto gt é chamada de trivial se existe uma aplicação linear não-

singular Φt : VK → VK (um automorfismo de VK) da forma:

Φt(a) = a+ tφ1(a) + t2φ2(a) + · · · , (4.4)

onde todos os φi : VK → VK são aplicações lineais definidas sobre k, tais que

gt(a,b) = Φ−1t (Φt(a) ·Φt(b)).

A álgebra então obtida Jt é claramente isomorfa à álgebra JK = J⊗k K, de fato oisomorfismo é dado pela aplicação linear Φt considerada como uma aplicação de Jt em

JK.

Definição 4.17. Duas famílias ft e gt de deformações a um parâmetro de uma álgebra

de Jordan J serão chamadas de equivalentes se existir um automorfismo Φt : VK → VK

da forma (4.4) tal que

gt(a,b) = Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)).

Da última definição temos que a família ft é trivial se é equivalente à deformação

identidade gt definida por gt(a,b) = ab.

Definição 4.18. Uma álgebra de Jordan é chamada de analiticamente rígida se ela

somente possui as deformações a um parâmetro triviais.

Em [14], Gerstenhaber denominou tais álgebras de “rígidas” mas, por precisão, nós

utilizaremos o termo “analiticamente rígida” para diferenciar os três conceitos de rigi-dez, como feito em [15].

62

Diremos que uma álgebra de Jordan J é infinitesimalmente rígida se H2(J, J) = 0.Para álgebras de dimensão finita existe ainda um terceiro conceito de rigidez o qual

será apresentado na Seção 4.3.A seguinte proposição é um dos resultados fundamentais na teoria de deformações.

Proposição 4.19. [14] Seja ft uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de

Jordan J. Então ft é equivalente a uma família

gt(a,b) = ab+ tnFn(a,b) + tn+1Fn+1(a,b) + · · · ,

onde o primeiro termo não nulo Fn não é cohomólogo a zero.

Demonstração. Seja ft(a,b) = ab + tnFn(a,b) + · · · . Se Fn ∈ B2(J, J) ou seja Fn éum 2-cociclo equivalente a 0, i.e., Fn = −δφn para alguma aplicação linear φn, então

escolhendo Φt(x) = x+ tnφn(x) temos que

ft(Φt(a),Φt(b)) = ft(a+ tnφn(a),b+ tnφn(b))

= (a+ tnφn(a)) (b+ tnφn(b)) + tnFn (a+ tnφn(a),b+ tnφn(b)) + · · ·= ab+ tn (bφn(a) + aφn(b) + Fn(a,b)) + tn+1(· · · ) + · · ·

e que

Φt(ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ) = ab+ tnφn(ab) + tn+1(· · · ) + · · · ,

e portanto

Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)) = ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ;

e de novo Fn+1 ∈ Z2(J, J).

Agora, observe que se H2(J, J) = 0 então Z2(J, J) = B2(J, J) e se ft é uma família dedeformações a um parâmetro de J então, procedendo indutivamente como na prova da

proposição anterior, ft é equivalente à deformação trivial. Logo temos:

Proposição 4.20. Se uma álgebra de Jordan sobre um corpo k é infinitesimalmente rígida então

ela é analiticamente rígida.

Este resultado foi originalmente obtido em [14, Cor, p.65] para álgebras associativas

e de Lie.Em particular segue de [47, Teo. 9.2.11 p. 310] que para qualquer álgebra separável

de dimensão finita A e qualquer bimódulo M de A, Hn(A,M) = 0 para n > 0, istoimplica que:

63

Corolário 4.21. Toda álgebra de Jordan semissimples de dimensão finita sobre um corpo algebri-

camente fechado é analiticamente rígida.

Exemplo 4.22. Considere B2 ∈ Jor2 (veja 2.1.2) e seja h : B2 ×B2 → B2 uma aplicação

bilinear satisfazendo (1.6) ou seja, h é um 2-cociclo de B2 com coeficientes em B2, entãoresolvendo as linearizações das equações (1.6) nos elementos da base de B2 obtemos:

h(e1, e1) = αe1, h(e1,n1) = βe1 +α

2n1, h(n1,n1) = 2βn1

para quaisquer α,β ∈ k. Defina uma aplicação linear µ : B2 → B2 como sendo µ(e1) =

−αe1 +n1 e µ(n1) = −2βe1 + n1, logo temos que

0 = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b,

para todo a, b ∈ B2, i.e., h é equivalente a 0, portanto H2(B2,B2) = 0 o que implica

que B2 é analiticamente rígida.

Vamos agora comparar a estrutura da álgebra deformada Jt com a de J, mais pre-cisamente com a de JK. Do Teorema 1.12 temos que qualquer álgebra de Jordan de

dimensão finita (sobre um corpo algebricamente fechado ou R) admite decomposição:J = Jss ⊕ Rad(J). Seja Jt um elemento genérico de uma família de deformações a um

parâmetro de J, com produto ft. Então podemos construir uma deformação equiva-lente à dada tal que a nova deformação preserva tanto o produto original em (JK)ss

como a ação de (JK)ss em Rad(J).

Teorema 4.23. [23, Teorema 2.3, p. 66] Seja Jt um elemento genérico de uma família a um

parâmetro de deformações de J com multiplicação ft. Então existe Gt um elemento genérico de

uma família de deformações a um parâmetro de J, com produto gt o qual é equivalente a ft e

tal que o radical da álgebra Gt é Rad(Gt) = R⊗k K, onde R é um ideal nilpotente de J. Mais

ainda, para todo x, y ∈ (JK)ss, gt(x,y) = x · y e para todo x ∈ (JK)ss e z ∈ Rad(JK),gt(x, z) = x · z.

4.3 a variedade algébrica Jorn

Nesta seção definiremos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n. O corpode definição será denotado por k e representará um corpo algebricamente fechado de

char k 6= 2 ou R. Denotaremos tal variedade por Jorn ou por JorRn quando pretendamos

enfatizar que o corpo base que estamos considerando é R.

64

Também explicaremos os métodos usados nos Capítulos 5 e 6 para descrever as com-ponentes irredutíveis de Jorn para n 6 4 e de JorR

n para n 6 3, assim como também as

deformações entre as álgebras de Jordan.

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo k com base e1, . . . , en fixa.O nosso objetivo é introduzir uma estrutura de álgebra de Jordan em V, o que pode

ser feito especificando n3 constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto naálgebra resultante seja definido como:

ei · ej =n∑

k=1

ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.

A escolha das constantes estruturais não é arbitrária pois deve refletir os fatos que a

álgebra é comutativa, isto é:

ckij = ckji, (4.5)

e que satisfaz a identidade de Jordan (1.2):

n∑

a=1

caij

n∑

b=1

cbklcpab −

n∑

a=1

cakl

n∑

b=1

cbjacpib +

n∑

a=1

calj

n∑

b=1

cbkicpab−

−

n∑

a=1

caki

n∑

b=1

cblacplb +

n∑

a=1

cakj

n∑

b=1

cbilcpab −

n∑

a=1

cail

n∑

b=1

cbjacpkb = 0, (4.6)

para todos i, j, k, l, p ∈ 1, . . . ,n.

Estas restrições se manifestam através de equações polinomiais nas constantes es-truturais, e assim podemos interpretar o espaço das constantes estruturais como uma

variedade em An3definida pelas equações (4.5) e (4.6) que chamaremos de variedade

das álgebras de Jordan de dimensão n e que denotaremos por Jorn. Um ponto qual-

quer (ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra de Jordan J de dimensãon.

As afirmações acima provam que:

Lema 4.24. A variedade Jorn é um conjunto algébrico e logo uma variedade afim.

O grupo G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”, i.e.,

G× Jorn → Jorn

(g, (J, ·)) 7→ (J, ·g), onde x ·g y = g(g−1x · g−1y), (4.7)

65

para toda J ∈ Jorn, g ∈ G e x, y ∈ V. As órbitas desta ação são dadas por

JG = (J, ·g) ∈ Jorn | g ∈ G

e o estabilizador de uma álgebra sob a ação de G,

StabG(J) = g ∈ G | (J, ·g) = (J, ·) ,

coincide com o grupo de automorfismos da álgebra

Aut(J) = g ∈ G | g é um endomorfismo (de álgebras) de J .

De fato g ∈ StabG(J) se e somente se a álgebra J com o produto ·g coincide com a

álgebra J com o produto original, i.e., g−1(x · y) = g−1(x) · g−1(y) se e somente se g−1

é um endomorfismo se e somente se g ∈ Aut(J).

Dois conjuntos de constantes estruturais geram álgebras isomorfas se e somente seexiste um elemento de G que leva uma álgebra na outra como em (4.7), assim temos o

seguinte lema:

Lema 4.25. Sejam (J, ·) e (J1, •) ∈ Jorn. Então J ≃ J1 se e somente se JG = JG1 .

Como consequência deste lema temos que as órbitas de Jorn sob a ação de G podem

ser identificadas com a classe de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimensão n.Agora introduziremos um conceito muito importante no estudo da variedade Jorn, a

ideia de deformação, a qual nos permitirá determinar as componentes irredutíveis dessavariedade.

Definição 4.26. Dizemos que a álgebra de Jordan J1 de dimensão n, é uma deformação

da álgebra de Jordan da mesma dimensão J2 ou, equivalentemente, que J1 domina J2

ou, ainda, que J2 deforma-se em J1, se a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da

órbita JG1 e denotamos tal fato por J1 → J2.

Claramente sempre que J2 ∈ JG1 então JG

2 = JG1 ou seja J2 ≃ J1 e também JG

2 ⊆ JG1

logo J1 → J2. Nos referiremos a uma deformação deste tipo como uma deformação

trivial, caso contrário será denominada de deformação não trivial.

Proposição 4.27. A relação J1 → J2 é uma relação de ordem parcial em Jorn.

Demonstração. Para cada J ∈ Jorn temos a deformação trivial J → J. Por outro lado se

J → J1 e J1 → J2 então JG2 ⊆ JG

1 ⊆ JG o que implica que J → J2. Por último, se J → J1

e J1 → J então JG1 ⊆ JG e JG ⊆ JG

1 . Suponha que J 6≃ J1 então JG 6= JG1 o que significa

que JG ∩ JG1 = ∅, logo JG

1 ⊆ JG \ JG. Pelo Lema 4.13 dim JG1 < dim JG e analogamente

dim JG < dim JG1 o que é uma contradição. Logo J ≃ J1.

66

O seguinte lema é uma ferramenta básica para a determinação da existência de umadeformação entre duas álgebras. A prova segue diretamente da definição de deforma-

ção.

Lema 4.28. [31, p.13] A existência de uma curva γ em Jorn que mora genericamente numa

subvariedade U e a qual corta JG em um ponto especial implica que J ∈ U e reciprocamente.

Para ilustrar o lema vamos dar um exemplo considerando a variedade Jor4:

Exemplo 4.29. Seja e1, e2, e3, e4 a base da álgebra de Jordan J1 de dimensão 4 obtida

na classificação algébrica da Seção 2.2. Considere a curva At = e1 + e4, Bt = e2,Ct = te3 e Dt = t2e1. Para qualquer t 6= 0 álgebra Jt com base At,Bt,Ct,Dt e

produtos

A2t = At B2

t = Bt C2t = Dt + t2Bt D2

t = t2Dt

AtBt = 0 AtCt =1

2Ct AtDt = Dt

BtCt =1

2Ct BtDt = 0 CtDt =

1

2t2Ct

é isomorfa a J1, i.e., Jt ∈ JG1 mas quando t = 0 obtemos

A2t = At B2

t = Bt C2t = Dt D2

t = 0

AtBt = 0 AtCt =1

2Ct AtDt = Dt

BtCt =1

2Ct BtDt = 0 CtDt = 0

que é o produto na álgebra J25. Logo do lema anterior J1 → J25.

O seguinte lema relaciona as definições de deformações a um parâmetro (Definição4.15) e de deformação (Definição 4.26) quando o corpo é algebricamente fechado.

Lema 4.30. [11, Lema 7a, p. 77] Seja k um corpo algebricamente fechado. Se J1 e J2 são

duas k-álgebras de Jordan tal que J1 é uma deformação de J2 no sentido da Definição 4.15, i.e.,

existe um elemento genérico (J2)t de uma família de deformações a um parâmetro de J2 o qual

é K-isomorfo a (J1)K, onde K = k((t)). Então a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da

órbita JG1 .

Definição 4.31. Chamaremos de álgebras de Jordan geometricamente rígidas ou sim-plesmente de álgebras de Jordan rígidas, às álgebras para as quais sua órbita sob a ação

de G é um subconjunto Zariski-aberto em Jorn.

Proposição 4.32. [15, p. 61] As seguintes condições são equivalentes:

67

i. J é geometricamente rígida.

ii. J tem uma vizinhança na qual todo ponto representa uma álgebra isomorfa a J sobre

alguma extensão de k.

iii. A componente de Jorn que contém J tem um ponto genérico o qual representa uma álgebra

isomorfa a J sobre alguma extensão de k (a componente deve então ser única).

Uma das questões que nos perguntamos na hora da classificação geométrica sobre um

corpo k algebricamente fechado e sobre R é se toda álgebra rígida permanece rígidasob uma extensão escalar, a resposta é consequência direta da proposição anterior:

Lema 4.33. [15, p. 61] J é geometricamente rígida se e somente se J⊗k L é geometricamente

rígida sempre que L é uma extensão de k.

Uma das perguntas que surgem ao respeito de rigidez é como se relacionam os trêsconceitos de rigidez introduzidos neste capítulo. A resposta é dada nos Teoremas 4.34

e 4.35 a seguir:

Teorema 4.34. [15, Teo. 3.2,p.61] Para uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um

corpo k rigidez analítica implica rigidez geométrica.

Demonstração. Do lema anterior podemos assumir que k é algebricamente fechado. Seja(c) = (ckij) um ponto em Jorn representando uma álgebra J analiticamente rígida e seja

(c(t)) um ponto genérico com coeficientes em k[[t]] de uma componente irredutível deJorn contendo (c). Agora, o produto em Jk[[t]] definido pelas estruturas constantes

(c(t)) é uma deformação a um parâmetro ft de J; denote a álgebra resultante por Jt.Pela hipótese, ft é equivalente ao produto original de J. Mas isto nos diz que Jt é

isomorfa a J sobre k[[t]] e, logo, Jt e J são isomorfas sobre o corpo k((t)). Ou seja, ésatisfeita a condição (iii) da Proposição (4.32).

Ou seja, quando consideramos álgebras de dimensão finita temos:

rigidez infinitesimal ⇒ rigidez analítica ⇒rigidez geométrica

Estas implicâncias se aplicam igualmente bem a qualquer categoria de álgebras defi-

nidas por equações com as apropriadas modificações. Em característica positiva foimostrado que todas as implicações inversas são falsas para álgebras associativas de

dimensão finita. Em [15] M. Gerstenhaber e S. Schack construíram álgebras analitica-mente rígidas associativas A de dimensão alta sobre um corpo de característica positiva

tendo H2(A,A) 6= 0 e álgebras associativas geometricamente rígidas que não são anali-ticamente rígidas.

68

O cenário muda quando assumimos que o corpo tem característica 0, neste caso temosque os conceitos de rigidez geométrica e rigidez analítica coincidem:

Teorema 4.35. [15, Teo 7.1,p.73] Seja k um corpo de característica zero e seja J uma k-álgebra

de Jordan de dimensão finita. Suponha que J é geometricamente rígida e seja ft(a,b) = ab+

tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · uma deformação a um parâmetro de J. Então ft é trivial. Logo J é

analiticamente rígida.

Surpreendentemente, a questão de quando existem álgebras associativas A analiti-

camente rígidas em char = 0 com H2(A,A) 6= 0 é ainda uma questão aberta. Emcontrapartida, Richardson em [39] mostrou que existem álgebras de Lie complexas em

toda dimensão par maior que 16 que são geometricamente rígidas mas não são infinite-simalmente rígidas.

Já para as álgebras associativas com unidade sobre um corpo algebricamente fechadoP. Gabriel provou em [13, Corolário 2.5, p.142] que os conceitos de rigidez geométrica

e rigidez infinitesimal coincidem. Uma outra prova desse fato pode ser encontrada em[37, Teo. 3, p.238].

Vimos na Seção 4.1 que toda variedade afim admite uma decomposição em um nú-mero finito de componentes irredutíveis, i.e., subconjuntos fechados irredutíveis maxi-

mais. É nessa hora, quando pretendemos decompor a variedade afim Jorn em compo-nentes irredutíveis, que as álgebras rígidas demostram sua importância pois provare-

mos na seguinte proposição que cada álgebra rígida é um ponto genérico (veja Definição4.9) de alguma componente irredutível de Jorn.

Proposição 4.36. Se J ∈ Jorn é uma álgebra rígida então existe uma componente irredutível T

tal que T = JG.

Demonstração. Se J é uma álgebra rígida, então a órbita JG é um subconjunto Zariski-aberto (não vazio) de Jorn. Por outro lado

∅ 6= JG ⊆ Jorn =

p⋃

i=1

Ti

onde Ti são as componentes irredutíveis de Jorn. Logo existe Ti tal que J ∈ Ti e do Lema4.13 segue que Ti é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ Ti. Como Ti é irredutível todo

aberto é denso, assim o fecho de JG em Ti é Ti o que implica que

Ti = Ti ∩ JG logo Ti ⊆ JG.

Agora, do Lema 4.13 cada órbita é irredutível, ou seja JG é um subconjunto fechadoe irredutível de Jorn que contém Ti logo Ti = JG.

69

A recíproca não é sempre verdadeira, i.e., não toda componente irredutível vem deuma álgebra rígida quando isto não acontece a componente é o fecho de uma família

infinita de órbitas, como prova a seguinte proposição:

Proposição 4.37. Cada componente irredutível da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, ou é

o fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho de uma família infinita de órbitas.

Demonstração. Seja T uma componente irredutível de Jorn e seja J ∈ T . Segue do Lema4.13 que T é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ T e portanto T = ∪J∈TJ

G.

Suponha que a família de órbitas seja finita, i.e. T = ∪Ni=1J

Gi , então

m = dim(T) = dim(

N⋃

i=1

JGi ) = max

16i6N(dim(JG

i )) = dim JGi0

.

Em particular, JGi0

⊆ T e logo JGi0

⊆ T , i.e., um conjunto fechado está contido num

conjunto irredutível e segue da observação do Lema 4.13 que ambos tem a mesmadimensão, logo T = JG

i0. Por outro lado, órbitas são localmente fechadas logo JG

i0é

aberto em T .

É importante destacar que as variedades que queremos descrever geometricamente

tem um número finito de órbitas. Se o corpo for algebricamente fechado temos 2 órbitasem Jor1, 6 em Jor2, 20 em Jor3 e 73 em Jor4. No caso de álgebras sobre R temos 2 órbitas

em Jor1, 7 em Jor2 e 26 em Jor3. Então o seguinte corolário será útil no objetivo destetrabalho.

Corolário 4.38. Se Jorn se decompõe como um número finito de órbitas então cada componente

irredutível da variedade é o fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida.

Em [11], Flanigan mostra que a segunda alternativa da Proposição 4.37 de fato ocorre,

exibindo uma componente de Assoc3 que consiste inteiramente das órbitas de uma fa-mília de álgebras nilpotentes. Outros exemplos para álgebras associativas com unidade

sobre um corpo algebricamente fechado foram obtidos em [13] por Gabriel (a famí-lia infinita denominada por (18) dependendo continuamente do parâmetro λ 6= 1) em

dimensão 4 e em [31] por Mazzola em dimensão 5.Como consequência dos resultados anteriores temos:

Proposição 4.39. Seja J ∈ Jorn então:

i. Se J é rígida então qualquer deformação de J é isomorfa a J.

ii. Se Jorn se decompõe como um número finito de órbitas e toda deformação de J é isomorfa

a J então J é rígida.

70

iii. Se k é algebricamente fechado e toda deformação de J é isomorfa a J então J é rígida.

Demonstração. i. Seja J1 uma deformação de uma álgebra rígida J, então por defi-nição JG ⊆ JG

1 . Seja J2 ∈ JG então como J2 pertence ao fecho de JG1 para toda

vizinhança U de J2 temos que U∩ JG1 6= ∅. Em particular, JG é uma vizinhança de

J2, logo JG1 ∩ JG 6= ∅ o que implica que JG = JG

1 e do Lema 4.25 temos J ≃ J1.

ii. Seja T uma componente irredutível de Jorn que contém J, como T é G-invarianteJG ⊆ T . Do Corolário 4.38 existe uma álgebra rígida J1 tal que T = JG

1 , ou seja

JG ⊆ JG1 o que implica por hipóteses que J ≃ J1 e portanto J é rígida.

iii. Do Lema 4.30 J somente tem as deformações a um parâmetro triviais, então éanaliticamente rígida. Logo, do Teorema 4.34, segue que J é geometricamente

rígida.

Resumimos os resultados até aqui obtidos no seguinte diagrama (Figura 4.1) querelaciona os três conceitos de rigidez e as noções de deformação e deformação a umparâmetro1.

Geometricamente Rígida

Não existe Deformação Geométrica

Analiticamente Rígida

char=0 Alg. Fech.

Infinitesimalmente Rígida

NFO Alg. Fech.

char=0 e NFO Alg. Fech.

Fig. 4.1: Equivalências entre os diversos conceitos de rigidez

O seguinte lema é análogo à Proposição 2.2 de [13] enunciada no caso da variedadedas álgebras associativas unitárias sobre um corpo algebricamente fechado. Mostrare-

1 No diagrama, a sigla NFO significa “Número Finito de Órbitas”.

71

mos que em Jorn existe uma única órbita fechada que consiste de álgebras isomorfas a⊕n

i=1kni .

Lema 4.40. Seja J ∈ Jorn uma k-álgebra de Jordan de dimensão n. A órbita de J em Jorn é

fechada sob a ação de G se e somente se J ≃ ⊕ni=1kni. Logo a variedade Jorn é conexa para todo

n.

Demonstração. Mostraremos primeiramente que cada álgebra em Jorn é uma defor-

mação da álgebra ⊕ni=1kni. Para isso, seja J ∈ Jorn com base e1, · · · , en tal que

eiej =∑n

k=1 ckijek onde os coeficientes ckij ∈ k são as constantes estruturais. Considere

para t ∈ k \ 0 a nova base de J: fi = tei para i = 1, · · · ,n em relação à qual as novasconstantes estruturais são dk

ij = tckij. Estas constantes estruturais definem uma álgebra

Jt a qual tende a ⊕ni=1kni quando t tende a 0.

Isto implica que(

⊕ni=1kni

)G ⊆ JG para toda J ∈ Jorn. Logo de Lema 4.13 iii temos

que dim(

⊕ni=1kni

)G6 dim JG para toda J ∈ Jorn. Portanto a órbita de ⊕n

i=1kni temdimensão minimal logo é fechada. Reciprocamente, suponha agora que J tem órbita

fechada, i.e., JG = JG logo J ≃ ⊕ni=1kni.

A seguinte proposição, apesar de ser simples é muito útil e nos da uma condiçãosuficiente para a existência de uma deformação entre álgebras decomponíveis.

Proposição 4.41. Sejam Ji, J ′i ∈ Jorni

para i = 1, 2. Se Ji → J ′i então J1 ⊕ J2 → J ′

1 ⊕ J ′2.

De fato, pelo Lema 4.28 temos que existem curvas γi que moram genericamente em

JiGi tais que estas curvas cortam J ′G

i , então a curva γ1 ×γ2 está genericamente contidaem J1

G1 × J2G2 ⊆ (J1 ⊕ J2)

G e, claramente, essa curva corta J ′1 ⊕ J ′

2.

Exemplo 4.42. Em Jor2, a deformação ke1 ⊕ ke2 → B1 é dada pela mudança de base

At = e1 + e2 e Bt = te2 que para qualquer t 6= 0 tem det = t 6= 0 e logo a álgebraobtida pertence à órbita de ke1 ⊕ ke2 enquanto que uma conta simples mostra que

para t = 0 pertence à órbita de B1. Segue da Proposição 4.41 que J4 → J22 poisJ4 = B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J22 = B1 ⊕B1.

Em seu trabalho [32] G. Mazzola provou a recíproca da proposição anterior na varie-

dade das álgebras associativas unitárias de dimensão n sobre um corpo algebricamentefechado, Assoc1n. A saber,

Teorema 4.43. [32, Teo. p.291] Sejam A, A ′ ∈ Assoc1n tal que A ≃ A1 ⊕ A2 com Ai ∈Assoc1ni

para i = 1, 2. Se A ′ → A então existem A ′i ∈ Assoc1ni

satisfazendo A ′i → Ai para

i = 1, 2 e tal que A ′ ≃ A ′1 ⊕A ′

2.

Observamos que o teorema anterior não é válido na variedade das álgebras de Jordan:

72

Exemplo 4.44. Considere as álgebras T5 e T8 da variedade Jor3, segue de [25] que T5 →T8. Somando diretamente a álgebra unidimensional kn obtemos então da Proposição

4.41 que T5 ⊕kn → T8 ⊕kn, isto é J8 → J44 na variedade Jor4. Mas existe uma álgebraindecomponível, J45 ∈ Jor4, tal que

J8 ≃ T5 ⊕ kn → J45 → T8 ⊕ kn ≃ J44,

veja a Seção 5.4 para uma descrição de tais deformações.

Mais ainda, a condição da existência da unidade é essencial no teorema de Mazzola,

pois existem álgebras decomponíveis na variedade das álgebras associativas Assocn(sem unidade) tal que uma é deformação da outra mas os somandos da mesma dimen-

são não o são, veja o seguinte exemplo onde as álgebras envolvidas, J37 e J67, sãoálgebras de Jordan associativas:

Exemplo 4.45. Considere para t 6= 0 a mudança de base de J37 = T2 ⊕ kn3 dada por

At = te1 + n2 +n3

Bt = t2e1 + 2tn2

Ct = t3e1 + 3t2n2

Dt = n1.

Calculado os produtos e fazendo t = 0 obtemos a estrutura da álgebra J67 = T3 ⊕ kn4,logo T2 ⊕ kn3 → T3 ⊕ kn4. Mas T2 6→ T3 pois

dim Aut(T2) = 4 > 3 = dim Aut(T3)

e isto representa uma violação à Proposição 4.51 da próxima seção.

Uma das perguntas que surge quando consideramos soma direta de álgebras é o que

acontece se as álgebras somadas são rígidas, a rigidez é preservada? Para dar respostasa essas questões enunciaremos o seguinte teorema cuja prova para o caso geral, i.e., o

caso quando k é um anel comutativo, J e J ′ são k-álgebras arbitrárias e M e M ′ são J eJ ′-bimódulos respetivamente, pode ser encontrada em [47].

Teorema 4.46. [47, Teorema 9.1.8, p.305] Sejam J e J ′ duas k-álgebras de Jordan, seja M

um bimódulo de Jordan para J e respetivamente M ′ um bimódulo de Jordan para J ′. Então

Hn(J⊕ J ′,M⊕M ′) ≃ Hn(J,M)⊕Hn(J ′,M ′).

Como corolário imediato do teorema anterior temos que:

73

Corolário 4.47. Soma direta de álgebras infinitesimalmente rígidas é infinitesimalmente rígida.

E, como consequência, soma direta de álgebras de dimensão finita infinitesimalmenterígidas é analiticamente rígida e geometricamente rígida. Provaremos no Teorema 5.3

da Seção 5.5 que soma direta de álgebras geometricamente rígidas é geometricamenterígida em Jorn para n 6 5.

No contexto das álgebras de Lie, Yu. Neretin em seu trabalho [35] mostrou que asálgebras de Lie (sl(2) ⊕ C)⋌ V2 e sl(2) ⋌ V2 são analiticamente rígidas e indecompo-

níveis mas sua soma direta não é analiticamente rígida. Onde ⋌ designa o produtosemi-direto, Vα é o sl(2)-módulo irredutível de dimensão α e C é uma álgebra abeliana.

Por último provaremos a seguinte proposição:

Proposição 4.48. Seja Jorn uma variedade com um número finito de órbitas sob a ação de Gou uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado. Seja J ∈ Jorn uma álgebra rígida tal

que J = J1 ⊕ J2 com Ji ∈ Jornipara i = 1, 2. Então J1 e J2 devem ser álgebras rígidas.

Demonstração. Suponha que uma delas J1 não é rígida, então da Proposição 4.39 segue

que existe uma deformação não trivial, i.e., existe J ′1 ∈ Jorn1

, J ′1 6≃ J1 e tal que J ′

1 → J1.Logo da Proposição 4.41 J ′

1 ⊕ J2 → J1 ⊕ J2 e J ′1 ⊕ J2 6≃ J1 ⊕ J2 contradizendo a rigidez

de J.

Finalizaremos esta seção com um exemplo que mostra que rigidez é um conceitolocal, i.e., que depende da variedade que estivermos considerando. Mostraremos que

o fato de uma álgebra ser rígida na interseção de duas variedades não implica que sejarígida em cada uma das variedades independentemente.

Exemplo 4.49. Foi provado em [4] que as álgebras J61 e J62 são álgebras rígidas na

variedade das álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4. Mas, como veremos noCapítulo 5, a álgebra J47 é uma deformação de J61 o que implica que J61 não é uma

álgebra rígida na variedade das álgebras associativas de dimensão 4. Por outro lado, aálgebra J53 é uma deformação de J62 logo J62 não é uma álgebra rígida na variedade

das álgebras de Jordan de dimensão 4.

4.4 o comportamento de uma álgebra através de de-

formação

A não existência de deformação entre um par de álgebras dadas, J1 9 J, pode ser

obtida da violação de uma das condições que apresentamos a seguir. De modo para-digmático, essas condições são definidas de tal modo que as álgebras que as satisfaçam

74

formem subconjuntos fechados invariantes de Jorn e assim qualquer deformação de J

deve satisfazer a mesma condição.

Proposição 4.50. [23] Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim JG > dim JG1 .

Demonstração. Da definição de deformação não trivial temos que JG1 ⊆ JG \ JG. Do

Lema 4.13 iii segue que dim(JG \ JG) < dim JG.

Segue do Lema 4.13 ii. que dim JG = dim G−dim StabG(J) e como provamos no iní-

cio da Seção 4.3, quando G = GL(V), StabG(J) coincide com o grupo de automorfismode J, logo como consequência da proposição anterior segue que:

Proposição 4.51. [23] Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim Aut(J) < dim Aut(J1).

A seguinte proposição relaciona as dimensões dos radicais nilpotentes de uma ál-gebra e de sua deformação e mostra que tal dimensão não aumenta através de uma

deformação.

Proposição 4.52. [23] Se J → J1, então dim Rad(J) 6 dim Rad(J1).

Demonstração. É suficiente provar que os conjuntos J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s são fe-chados na topologia de Zariski em Jorn para todo s ∈ N. Isto implicará que se J1 → J2

e dim Rad(J1) = s então JG2 ⊆ JG

1 ⊆ J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s logo dim Rad(J2) >

dim Rad(J1).

Considere para qualquer número natural m 6 n a Grassmaniana Gr(m,n), i.e., oconjunto dos subespaços de dimensão m de um k-espaço vetorial V ≃ kn. Considere

também os pares (J, I) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde I é um idealnilpotente de dimensão m de J. Tais pares formam um conjunto fechado Ωm em

Jorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa como uma variedade algébrica (i.e., paraqualquer variedade Y o morfismo projeção Gr(m,n)× Y → Y é uma aplicação fechada)

a projeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de

J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s =⋃

s6m6n

Fm

que o conjunto J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s é Zariski-fechado.

Observamos que a desigualdade não é estrita no caso da dimensão do radical nil-potente como é no caso da dimensão do grupo de automorfismos ou da dimensão da

órbita, pois de fato em [4] foram obtidas deformações entre álgebras nilpotentes nãoisomorfas.

Analogamente ao que acontece com Rad(J) temos o seguinte resultado que relacionaas dimensões dos aniquiladores das álgebras. Lembrando que Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0.

75

Proposição 4.53. [22] Se J → J1, então dim Ann(J) 6 dim Ann(J1).

Demonstração. Procederemos de maneira análoga à prova da Proposição 4.52, mos-trando que o conjunto J ∈ Jorn | dim Ann(J) > s é fechado. Vamos descrever o

que é dim Ann(J). Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e seja a =∑n

i=1 αiei

um elemento arbitrário de Ann(J), logo aJ = 0 ou seja aej = 0 para todo j = 1, · · · ,n.As equações aej = 0 se escrevem como aej =

∑nk=1 β

jkek = 0 onde cada βj

k é uma

combinação linear dos αi e é um polinômio nas constantes estruturais. Ou seja cadauma das n equações aej = 0 resulta em n novas equações βj

k = 0 para k = 1, · · · ,n

com os αi como incógnitas. Seja então Pn2,n a matriz deste sistema de n2 equa-ções com n incógnitas. Então dim Ann(J) = n − rank(Pn2,n), logo dim Ann(J) > s

é equivalente a n − s + 1 > rank(Pn2,n) o que a sua vez é equivalente ao fato deque todos os menores de ordem n − s+ 1 de Pn2,n sejam nulos. Ou seja o conjuntoJ ∈ Jorn | dim Ann(J) > s fica definido por um número finito de identidades polino-miais logo é Zariski-fechado.

Em contrapartida do que acontece com Rad(J) e Ann(J) temos que a dimensão dequalquer potência de J não diminui através de uma deformação.

Proposição 4.54. [23] Se J → J1 então dim Jr > dim Jr1, para qualquer inteiro positivo r.

Demonstração. Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e considere Ωn,r o con-junto de todas as palavras não associativas de comprimento r nas variáveis e1, . . . , en.

Denotemos por l(r) = |Ωn,r| a cardinalidade de Ωn,r. Qualquer tal palavra pode ser es-crita como fl1e1+ · · ·+ flnen onde cada fli é um polinômio nas constantes estruturais ckijde J. Considere a matriz Pl(r),n, onde cada linha consiste das n coordenadas da palavracorrespondente. Então dim Jr = rank(Pl(r),n) e o fato de dim Jr 6 s é equivalente ao

fato que todos os menores de ordem s+ 1 sejam nulos e portanto J ∈ Jorn | dim Jr 6 s

é fechado.

Como corolário da proposição anterior temos:

Corolário 4.55. Se J e J1 são álgebras de Jordan nilpotentes tal que J → J1 então o índice de

nilpotência de J deve ser maior ou igual ao índice de nilpotência de J1.

Provaremos a seguir que as identidades polinomiais de J são preservadas quando J

domina uma outra álgebra J1:

Proposição 4.56. [25] Se J → J1 então toda identidade polinomial de J é válida em J1. Em

particular, qualquer deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebra não associativa.

76

Demonstração. Seja S um conjunto de identidades polinomiais satisfeitas por J. EntãoV(S) é um conjunto algébrico e logo é fechado na topologia de Zariski de An3

o que

implica que V(S)⋂

Jorn é um subconjunto fechado de Jorn, G-invariante e tal que J ∈V(S)

⋂

Jorn, logo JG1 ⊆ JG ⊆ V(S)

⋂

Jorne portanto J1 também satisfaz as identidades

polinomiais S.

Seja I um conjunto finito de identidades polinomiais. Denote por

MI(J) = max dim S | S é uma subálgebra de J que satisfaz I .

Então usando um argumento análogo à prova da Proposição 4.52 temos o seguinte

resultado:

Proposição 4.57. Se J → J1 então MI(J) 6 MI(J1).

Demonstração. Considere, para qualquer número natural m 6 n, a Grassmaniana Gr(m,n).

Considere também os pares (J, S) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde S éuma subálgebra de dimensão m de J satisfazendo I. Tais pares formam um conjunto

fechado que denotaremos por Ωm em Jorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa aprojeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de

J ∈ Jorn | MI(J) > s =⋃

s6m6n

Fm

que o conjunto J ∈ Jorn | MI(J) > s é Zariski-fechado.

Em particular, o resultado vale para subálgebras associativas, nilpotentes e nulas, i.e.,

subálgebras que satisfazem a identidade xy = 0 para todo x e y. Denotaremos MI(J)

nesses casos particulares como sendo MA(J), MN(J) e MNul(J) respetivamente.

Considere a subálgebra dos elementos de J que “associam” com todos os outros, i.e.,o conjunto definido por

Z(J) = a ∈ J | (a, J, J) = (J,a, J) = (J, J,a) = 0

que chamaremos de centro associativo de J. Então temos:

Proposição 4.58. Se J → J1 então dimZ(J) 6 dimZ(J1).

Demonstração. Seja e1, · · · , en uma base de J ∈ Jorn e a =∑n

i=1 αiei um elemento deZ(J), logo cada uma das 3n2 equações (a, ei, ej) = 0, (ei,a, ej) = 0, (ei, ej,a) = 0 para

i, j = 1, · · · ,n resulta em n novas equações tendo os αi como incógnitas. Seja entãoP3n3,n a matriz deste sistema de 3n3 equações com n incógnitas. Então dimZ(J) =

77

n− rank(P3n3,n), logo dimZ(J) > s é equivalente a n− s+ 1 > rank(P3n3,n) o que asua vez é equivalente ao fato de que todos os menores de ordem n− s+ 1 de P3n3,n

sejam nulos. Ou seja o conjunto J ∈ Jorn | dimZ(J) > s fica definido por um númerofinito de identidades polinomiais logo é Zariski-fechado.

Usaremos frequentemente o fato que deformação preserva tanto o produto originalem Jss como a ação de Jss em Rad(J). Este resultado é análogo ao Teorema 4.23

enunciado para família de deformações a um parâmetro. A saber,

Proposição 4.59. [25, Prop.2.2] Para uma álgebra de Jordan não nilpotente J considere o par

(Jss, Γ(J)) , onde Γ(J) é J como espaço vetorial e tem estrutura de Jss-bimódulo. Então para

qualquer componente irredutível T de Jorn, (Jss, Γ(J)) é constante em um subconjunto aberto

de T . Se J1 ∈ T então (J1)ss é uma subálgebra de Jss e Γ(J1) é a restrição de Γ(J) em

(J1)ss.

Como consequências diretas da proposição anterior temos os seguintes dois resulta-

dos:

Proposição 4.60. Se J → J1 e J1 admite decomposição de Peirce em relação a um sistema de

r idempotentes ortogonais então em J existem r idempotentes ortogonais tal que a decomposição

de Peirce de J em relação a esse sistema coincide com a de J1.

Proposição 4.61. Se J → J1 e J1 é uma álgebra unitária, então J deve ser também uma álgebra

unitária.

Provaremos a seguir que a dimensão do conjunto dos 2-cociclos de J com coeficientes

em J não aumenta através de uma deformação.

Proposição 4.62. Se J → J1 então dimZ2(J, J) 6 dimZ2(J1, J1).

Demonstração. Seja h : J× J → J um 2-cociclo de J com coeficientes em J. Então h fica

definida pelas n3 constantes αkij ∈ k dadas por h(ei, ej) =

∑nk=1 α

kijek. Linearizando

completamente as identidades de 2-cociclo (1.6) obtemos

(h(x,y)w)z+ (h(x, z)w)y+ (h(y, z)w)x+ h((xy)w, z) + h((xz)w,y) + h((yz)w, x)++h(xy,w)z+ h(xz,w)y+ h(yz,w)x = (xy)h(w, z) + (xz)h(w,y) + (yz)h(w, x)+

+h(x,y)(wz) + h(x, z)(wy) + h(y, z)(wx) + h(xy,wz) + h(xz,wy) + h(yz,wx).Calcular essas equações e a condição de comutatividade de h nos elementos da base

resulta em l(n) =(

n4 +n(n−1)

2

)

n equações tendo os αkij como incógnitas. Então

dimZ2(J, J) = n3 − rank(Pl(n),n3), onde como antes Pl(n),n3 representa a matriz do sis-

tema de equações, assim dimZ2(J, J) > s é equivalente ao fato de que todos os menoresde ordem n− s+1 de Pl(n),n3 sejam nulos. Logo o conjunto

J ∈ Jorn | dimZ2(J, J) > s

é Zariski-fechado.

78

E analogamente,

Proposição 4.63. Se J → J1 então dimB2(J, J) > dimB2(J1, J1).

Demonstração. Seja f ∈ B2(J, J) um 2-cobordo de J com coeficientes em J então existe

uma aplicação linear Φ : J → J tal que f = δΦ. Assim f fica definida por f(ei, ej) =

Φ(eiej)−eiΦ(ej)−Φ(ei)ej dependendo das n2 constantes αij ∈ k que definem Φ(ei) =∑n

j=1 αijej.

Calcular essas condições nos elementos da base resulta em n3 equações tendo os αij

como incógnitas. Então dimB2(J, J) = rank(Pn3,n2), onde Pn3,n2 representa a matriz do

sistema de equações, assim dimB2(J, J) 6 s é equivalente ao fato de que todos os meno-res de ordem s+ 1 de Pn3,n2 sejam nulos. Logo o conjunto

J ∈ Jorn | dimB2(J, J) 6 s

é Zariski-fechado.

Combinando as Proposições 4.62 e 4.63 obtemos o seguinte resultado:

Proposição 4.64. Se J → J1 então dimH2(J, J) 6 dimH2(J1, J1).

4.5 algumas componentes irredutíveis de Jorm para

m > 2

Provamos na Proposição 4.36 que toda álgebra rígida gera uma componente irredutí-

vel. Os seguintes teoremas mostram que em toda variedade de álgebras de Jordan dedimensão maior ou igual a 5 temos pelo menos 3 componentes irredutíveis que provem

de álgebras infinitesimalmente rígidas que são indecomponíveis, não associativas e nãosemissimples.

Teorema 4.65. Seja m ∈ N finito e m > 2. A álgebra de Jordan Am ∈ Jorm sobre um corpo k

com char k 6= 2, que possui base e1,n1, · · · ,nm−1 tal que ei é idempotente e e1ni = nie1 =12ni e ninj = 0 para todo i, j = 1, · · · ,m− 1 é uma álgebra rígida e a componente irredutível

por ela determinada tem dimensão m.

Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra Am assim definida éde Jordan, i.e., satisfaz a identidade (1.2) para todo x,y ∈ Am pois já é comutativa

79

por definição. Sejam então x = αe1 +∑m−1

i=1 βini e y = α ′e1 +∑m−1

i=1 β ′ini para

α,α ′,βi,β ′i ∈ k, logo temos

(x2,y, x) =

(

α2e1 +

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1 +m−1∑

i=1

β ′ini,αe1 +

m−1∑

i=1

βini

)

=(

α2e1,α ′e1,αe1)

+

(

α2e1,α ′e1,m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

α2e1,m−1∑

i=1

β ′ini,αe1

)

+

(

α2e1,m−1∑

i=1

β ′ini,

m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1,αe1

)

+

(

m−1∑

i=1

αβini,α ′e1 +m−1∑

i=1

βini

)

+

+

(

m−1∑

i=1

αβini,m−1∑

i=1

β ′ini,αe1

)

+

(

m−1∑

i=1

αβini,m−1∑

i=1

β ′ini,

m−1∑

i=1

βini

)

=

m−1∑

i=1

1

4α2α ′βini −

m−1∑

i=1

1

4α2α ′βini = 0

Agora, seja T ∈ Aut(Am) então T é definido por T(e1) = e1 +∑m−1

i=1 a0ini coma0i ∈ k e T(ni) =

∑m−1j=1 aijnj para i = 1, · · · ,m − 1 e com aij ∈ k. Ou seja dos

m2 coeficientes que definem T temos (m− 1) + (m− 1)2 livres. Isto é dim Aut(Am) =

m2 −m logo

dimAGm = m2 − dim Aut(Am) = m.

Considere h ∈ Z2(Am,Am) um 2-cociclo de Am com coeficientes em Am, então h :

Am ×Am → Am é uma aplicação bilinear satisfazendo (1.6). Resolvendo as equaçõesde 2-cociclos linearizadas (veja Proposição 4.62) nos elementos da base de Am obtemos:

h(e1, e1) = αe1 h(e1,ni) = βie1 +α

2ni h(ni,nj) = βjni +βinj

para quaisquer α,βi ∈ k e 1 6 i, j 6 m − 1. Ou seja temos 1+ (m − 1) coeficienteslivres definindo um 2-cociclo arbitrário, logo dimZ2(Am,Am) = m. Seja, agora f ∈B2(Am,Am) um 2-cobordo de Am com coeficientes em Am então existe uma aplicaçãolinear Φ : Am → Am tal que f = δΦ. Então f deve ser definido por:

f(e1, e1) = −α ′e1 f(e1,ni) = −1

2β ′ie1 −

1

2α ′ni f(ni,nj) = −

1

2β ′jni −

1

2β ′inj

80

para quaisquer α ′,β ′i ∈ k e 1 6 i, j 6 m− 1. Logo f depende de 1+ (m− 1) parâmetros

e portanto dimB2(Am,Am) = m o que implica que H2(Am,Am) = 0.

Uma das questões que surgiu durante a realização deste trabalho foi o que acontece

com uma álgebra rígida à qual adjuntamos formalmente um elemento identidade, aresposta foi que nem sempre ela permanece rígida:

Lema 4.66. Rigidez não é preservada por adjunção formal de um elemento identidade.

Demonstração. Seja n > 3 e seja An−1 ∈ Jorn−1 a álgebra rígida do Teorema 4.65. En-

tão a álgebra A#n−1 ∈ Jorn é uma álgebra de Jordan unitária que resulta de adjuntar

formalmente o elemento identidade de k a An−1 e tem produto definido por (1.4).

Seja J(V, f) ∈ Jorn a álgebra de Jordan da forma bilinear simétrica não degeneradaf : V×V → k, com V um k-espaço vetorial de dimk V = n− 1 e base e2, · · · , en, dada

por f(ei, ei) = 1 e f(ei, ej) = 0 para i 6= j e 2 6 i, j 6 n. Claramente J(V, f) 6≃ A#n−1

pois J(V, f) é uma álgebra simples enquanto que dim Rad(A#n−1) = n− 2 > 1. Logo

A#n−1 não é uma álgebra rígida pois J(V, f) é uma deformação (não trivial) de A#

n−1

dada pela curva

Et1 = e1

Et2 =

1

2e1 +

1

2e2

Eti = tei i = 3, · · · ,n.

Uma outra família de álgebras rígidas é descrita no seguinte teorema:

Teorema 4.67. Seja m ∈ N finito e m > 4. A álgebra de Jordan Bm ∈ Jorm sobre um

corpo k com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 onde e1 e e2 são idempotentes

ortogonais e o produto comutativo é definido por

e1nj =1

2nj ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2

e2n1 =1

2n1 e2nk = 0 para k = 2, · · · ,m− 2

é uma álgebra rígida.

81

Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra Bm assim definidaé uma álgebra de Jordan. Sejam x =

∑2i=1 αiei +

∑m−2i=1 βini e y =

∑2i=1 α

′iei +∑m−2

i=1 β ′ini para αi,α ′

i,βi,β ′i ∈ k, logo temos

(x2,y, x) =

(

2∑

i=1

α2i ei +

m−2∑

i=1

α1βini +α2β1n1,y, x

)

=

(

2∑

i=1

α2i ei,y, x

)

+

(

m−2∑

i=1

α1βini,y, x

)

+ (α2β1n1,y, x)

=1

4

(

(

−α22α

′1 +α2

2α′2 −α2

1α′2

)

β1n1 +

m−2∑

i=1

α21α

′1βini

)

−

−1

4

(

(

−α2α1α′1 +α2α1α

′2 −α2

1α′2

)

β1n1 +

m−2∑

i=1

α21α

′1βini

)

+

+1

4

(

−α2α1α′1 +α2α1α

′2 +α2

2α′1 −α2

2α′2

)

β1n1

= 0

Seja, agora f ∈ B2(Bm,Bm) um 2-cobordo de Bm com coeficientes em Bm então existeuma aplicação linear Φ : Bm → Bm tal que f = δΦ. Então f deve ser definido por:

f(e1, e1) = −u11e1 +u12e2

f(e2, e2) = u21e1 −u22e2 +

m−2∑

i=2

u2,(i+2)ni

f(n1,n1) = −(u31 +u32)n1

f(ni,ni) = −u(i+2),1ni

f(e1, e2) = −u21e1 −u12e2 −1

2(u13 + u23)n1 −

1

2

m−2∑

i=2

u2,(i+2)ni

f(e1,n1) = −1

2u31e1 +

1

2u32e2 −

1

2(u11 +u12)n1

f(e2,n1) =1

2u31e1 −

1

2u32e2 −

1

2(u21 + u22)n1 +

1

2

m−2∑

i=2

u3,(i+2)ni

f(e1,ni) = −1

2u(i+2),1e1 +

1

2u(i+2),2e2 −

1

2u11ni

f(e2,ni) = −u(i+2)2e2 −1

2u(i+2),3n1 −

1

2u21ni

f(n1,ni) = −1

2(u(i+2),1 +u(i+2),2)n1 −

1

2u31ni

82

f(ni,nj) = −1

2u(j+2),1ni −

1

2u(i+2),1nj

onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo f depende de 1 + 3 · 2+ 5(m − 3) parâmetrosuij ∈ k e portanto dimB2(Bm,Bm) = 7+ 5(m− 3).

Considere h ∈ Z2(Bm,Bm), resolvendo as equações de 2-cociclos linearizadas nos

elementos da base de Bm obtemos:

h(e1, e1) = a111e1 + a2

11e2

h(e2, e2) = −a112e1 + 2a2

22e2 − 2

m−2∑

i=2

a(i+2)12 ni

h(n1,n1) = 2(a113 − a2

13)n1

h(ni,ni) = 2a11,(i+2),1ni

h(e1, e2) = a112e1 − a2

11e2 + a312n1 +

m−2∑

i=2

a(i+2)12 ni

h(e1,n1) = a113e1 + a2

13e2 +1

2(a1

11 − a211)n1

h(e2,n1) = −a113e1 − a2

13e2 +1

2(a1

12 + a222)n1 +

m−2∑

i=2

a(i+2)23 ni

h(e1,ni) = a11,(i+2)e1 + a2

1,(i+2)e2 +1

2a111ni

h(e2,ni) = −2a21,(i+2)e2 + a3

2,(i+2)n1 +1

2a112ni

h(n1,ni) = (a11,(i+2) − a2

1,(i+2))n1 + a113ni

h(ni,nj) = a11,(j+2)ni + a1

1(i+2)nj

onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo h depende de 1 + 3 · 2+ 5(m − 3) parâmetros

akij ∈ k e portanto dimZ2(Bm,Bm) = 7+ 5(m− 3), segue que H2(Bm,Bm) = 0.

Teorema 4.68. Seja m ∈ N finito e m > 4. A álgebra de Jordan Cm ∈ Jorm sobre um

corpo k com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 onde e1 e e2 são idempotentes

ortogonais e o produto comutativo é definido por

e1nj =1

2nj ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2

e2n1 = 0 e2nk =1

2nk para k = 2, · · · ,m− 2

83

é uma álgebra rígida.

Demonstração. Uma conta longa, análoga à do teorema anterior mostra que a álgebraCm assim definida é uma álgebra de Jordan. Suponha agora que f ∈ B2(Cm,Cm).

Então f deve ser definido por:

f(e1, e1) = −u11e1 +u12e2

f(e2, e2) = u21e1 −u22e2 +u23n1

f(n1,n1) = −u31n1

f(ni,ni) = −(u(i+2),1 + u(i+2),2)ni

f(e1, e2) = −u21e1 −u12e2 −1

2u23n1 −

1

2

m−2∑

i=2

(u1,(i+2) +u2,(i+2))ni

f(e1,n1) = −1

2u31e1 +

1

2u32e2 −

1

2u11n1

f(e2,n1) = −u32e2 −1

2u21n1 −

1

2

m−2∑

i=2

u3,(i+2)ni

f(e1,ni) = −1

2u(i+2),1e1 +

1

2u(i+2),2e2 −

1

2(u11 +u12)ni

f(e2,ni) =1

2u(i+2),1e1 −

1

2u(i+2)2e2 +

1

2u(i+2),3n1 −

1

2(u21 + u22)ni

f(n1,ni) = −1

2u(i+2),1n1 −

1

2(u31 +u32)ni

f(ni,nj) = −1

2(u(j+2),1 + u(j+2),2ni −

1

2(u(i+2),1 + u(i+2),2)nj

onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo f depende de 1+ 3 · 2 + 5(m − 3) parâmetros

uij ∈ k e portanto dimB2(Cm,Cm) = 7+ 5(m− 3). Considere agora h ∈ Z2(Cm,Cm)

então:

h(e1, e1) = a111e1 + a2

11e2

h(e2, e2) = −a112e1 + a2

22e2 − 2a312n1

h(n1,n1) = 2a113n1

h(ni,ni) = 2(a11,(i+2),1 − a2

1,(i+2))ni

h(e1, e2) = a112e1 − a2

11e2 + a312n1 +

m−2∑

i=2

a(i+2)12 ni

h(e1,n1) = a113e1 + a2

13e2 +1

2a111n1

84

h(e2,n1) = −2a213e2 +

1

2a112n1 +

m−2∑

i=2

a(i+2)23 ni

h(e1,ni) = a11,(i+2)e1 + a2

1,(i+2)e2 +1

2(a1

11 − a211)ni

h(e2,ni) = −a11,(i+2)e1 − a2

1,(i+2)e2 + a32,(i+2)n1 +

1

2(a1

12 + a222)ni

h(n1,ni) = a11,(i+2)n1 + (a1

13 − a213)ni

h(ni,nj) = (a11,(j+2) − a2

1,(j+2))ni + (a11(i+2) − a2

1,(i+2))nj

onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m− 2. Logo dimZ2(Cm,Cm) = 7+ 5(m − 3) portanto segueque H2(Cm,Cm) = 0.

Para finalizar observamos que se m = 4 a álgebra B4 coincide com a álgebra C4 mas,para cada m > 5, a álgebra de Jordan J12 é uma subálgebra de dimensão 4 de Bm

mas não é subálgebra de Cm, logo elas não são isomorfas. Assim, sempre que m formaior ou igual a 5 os teoremas anteriores nos fornecem 3 álgebras rígidas não isomorfas,

não semissimples, não associativas e indecomponíveis que determinam 3 componentesirredutíveis em Jorm. Agora, como estas álgebras são infinitesimalmente rígidas, param suficientemente grande, podemos considerar somas diretas em diferentes dimensões

e obter, no mínimo, 12 novas álgebras rígidas.De modo análogo, uma estimativa, a grosso modo, do número de componentes ir-

redutíveis de Jorm pode ser obtida do fato que em cada dimensão temos pelo menosuma álgebra infinitesimalmente rígida e que somas diretas de tais álgebras também são

rígidas. Assim temos pelo menos tantas componentes irredutíveis quanto o númerode partições p(m) do inteiro positivo m, o qual satisfaz (veja [34, Cap. 15]) a fórmula

assintótica:

p(m) ∼eπ

√23m

4√3m

.

85

5 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS

DE JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 4 SO -

BRE UM CORPO ALGEBR ICAMENTE FECHADO

Neste capítulo classificaremos geometricamente as álgebras de Jordan de dimensão 4.Consideraremos tais álgebras definidas sobre um corpo k algebricamente fechado de

char k 6= 2. O objetivo principal deste capítulo é determinar as componentes irredutí-veis da variedade Jor4. Para isso primeiramente descreveremos as álgebras rígidas das

variedades Jorn para n 6 3 e, sempre que possível, daremos uma descrição completadas órbitas e componentes irredutíveis em cada caso.

A lista completa das 73 órbitas de Jor4 sobre a ação de GL(V), i.e., as 73 álgebras de

Jordan de dimensão 4 não isomorfas, foi obtida no Capítulo 2. Para cada uma destasálgebras foram calculados os invariantes: grupo de automorfismos, dimensão do grupo

de automorfismos, dimensão do aniquilador, dimensão do radical nilpotente, dimen-são da segunda, terceira e quarta potência, dimensão do grupo de 2-cociclos, dimensão

do grupo de 2-cobordos, dimensão do segundo grupo de cohomologia, subálgebras dedimensões 2 e 3 e as dimensões das subálgebras associativas, nilpotentes e nulas maxi-

mais. Para levar a cabo tais contas foram programados diferentes algoritmos usandoo aplicativo Mathematica, os respectivos códigos se encontram no Apêndice A. Toda a

informação obtida para cada uma das 73 álgebras se encontra disponível no ApêndiceB e segundo, os resultados da Seção 4.4, nos fornecerá as ferramentas necessárias para

determinar a não existência de deformação entre um par de álgebras dadas e logo nospermitirá descrever as álgebras rígidas.

5.1 a variedade algébrica Jor1

Em Jor1 a única álgebra rígida é a álgebra simples ke e é claro que ke → kn. Logosó temos uma componente irredutível em Jor1 dada pelo fecho de Zariski da órbita da

álgebra ke, portanto Jor1 é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com2 órbitas sob a ação de GL(V).

87


Existem seis k-álgebras de Jordan de dimensão 2 não isomorfas, a saber: B1, B2, B3

indecomponíveis, descritas na Tabela 2.1, e as álgebras decomponíveis ke1⊕ke2, ke1⊕kn1 e kn1 ⊕ kn2.

Teorema 5.1. A variedade algébrica Jor2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 6

órbitas sob a ação de GL(V) e 2 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das

órbitas das álgebras ke1 ⊕ ke2 e B2. A primeira determina uma componente de dimensão 4 e a

segunda uma componente de dimensão 2.

Demonstração. A álgebra ke1 ⊕ ke2 é rígida por ser uma álgebra semissimples e a álge-

bra B2 é rígida pois foi provado no Exemplo 4.22 que H2(B2,B2) = 0.

Todas as álgebras associativas de dimensão 2 podem ser deformadas em ke1 ⊕ ke2,de fato: ke1 ⊕ ke2 → ke1 ⊕ kn1 pela Proposição 4.41 e do Exemplo 4.42 segue queke1 ⊕ ke2 → B1. Para ver que B1 → B3, para t 6= 0 escolha a base At = te1 + n1 e

Bt = −t2e1 de B1, então obtemos a álgebra B3 quando t = 0. A mudança de baseAt = te1 + n1 e Bt = t2e1 de ke1 ⊕ kn1 mostra que ke1 ⊕ kn1 → B3. Lembramos do

Lema 4.40 que a órbita de kn1 ⊕ kn2 é fechada e logo toda B ∈ Jor2 é uma deformaçãode kn1 ⊕ kn2 o que implica que Jor2 é uma variedade afim conexa.

Como Jor2 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimen-

são da variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que

dim Jor2 = dim(ke1 ⊕ ke2)G = 22 − dim Aut(ke1 ⊕ ke2) = 4.

Por último, a dimensão da componente é determinada pela dimensão da órbita daálgebra rígida que a gera, logo as componentes irredutíveis de Jor2 têm dimensão:

dim(ke1 ⊕ ke2)G = 4 dimBG

2 = 4− dim Aut(B2) = 2.

Finalmente, para completar a descrição geométrica de Jor2 falta mostrar que essas são

as únicas deformações não triviais que existem. Para isso observe que dim Aut(ke1 ⊕kn1) = dim Aut(B1) = 1 logo, pela Proposição 4.51, temos ke1 ⊕ kn1 6→ B1 e B1 6→ke1 ⊕ kn1. Analogamente dim Aut(B2) = dim Aut(B3) = 2 logo B2 6→ B3 e, tambémpela Proposição 4.51 B2 6→ ke1 ⊕ kn1 nem B2 6→ B1. O restante das existências ou não

existências de deformações segue das propriedades de transitividade e antissimetria darelação de ordem parcial “→”.

88

Uma completa descrição das órbitas de Jor2 é dada na Tabela 5.1 e o diagrama dasálgebras de Jordan de dimensão 2 é dado na Figura 5.1.

dim AutB = 0 ke1 ⊕ ke2

ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

%%

dim AutB = 1 ke1 ⊕ kn1

''

B1

yysssssssssss

dim AutB = 2 B2

++❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱ B3

dim AutB = 4 kn1 ⊕ kn2

Fig. 5.1: Descrição completa das órbitas de Jor2

Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela, onde → repre-

senta que a álgebra da linha é uma deformação da álgebra na coluna e 6→ representaque a álgebra da linha não é uma deformação da álgebra na coluna. Os símbolos estão

acompanhados de siglas que justificam tales fatos, i.e.:

i. →DT : existe deformação trivial;

ii. →T : existe deformação pela propriedade transitiva da relação de ordem parcial

→;

iii. →: existe deformação e foi exibida anteriormente;

iv. 6→H2 : não existe deformação, pois a álgebra na coluna tem segundo grupo de

cohomologia nulo;

v. 6→SS: não existe deformação, pois a álgebra na coluna é semissimples;

vi. 6→AS: não existe deformação pela propriedade antissimétrica da relação de ordem

parcial →;

vii. 6→Aut: não existe deformação pela Proposição 4.51 que relaciona a dimensão dosgrupos de automorfismos das álgebras envolvidas.

89

Tabela 5.1: Existência de deformações em Jor2→ ke1 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1 B1 B2 B3 kn1 ⊕ kn2

ke1 ⊕ ke2 →DT → → 6→H2 →T →T

ke1 ⊕ kn1 6→SS →DT 6→Aut 6→H2 → →T

B1 6→SS 6→Aut →DT 6→H2 → →T

B2 6→SS 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →B3 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 →DT →

kn1 ⊕ kn2 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 6→AS →DT


Em [25] I. Kashuba e I. Shestakov determinaram que Jor3 é uma variedade afim co-nexa de dimensão 9 com 5 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das

órbitas das álgebras ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T5, T7, T9 e B2 ⊕ ke2. Cada álgebra gera umacomponente irredutível de dimensão 9, 8, 3, 7 e 7, respetivamente.

Daremos aqui uma descrição quase-completa das órbitas de Jor3. Com quase-completaqueremos dizer que conseguimos determinar em um 98, 5% das vezes se uma álgebra

de Jordan de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de uma outraálgebra.

Sabemos que em Jor3 existem 20 órbitas representadas pelas 10 álgebras indecom-

poníveis Ti para 1 6 i 6 10 dadas na Tabela 2.2 e as 10 álgebras que são somadireta de álgebras de dimensões menores: T11 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T12 = B1 ⊕ ke2,

T13 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, T14 = B1 ⊕ kn2, T15 = B3 ⊕ ke1, T16 = ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2,T17 = B3 ⊕ kn3, T18 = kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T19 = B2 ⊕ ke2 e T20 = B2 ⊕ kn2.

Por ser soma direta de alguma álgebra de Jor2 com ke ou kn, segue da Proposição4.41 e da classificação geométrica da seção anterior que:

T11 → T12; T11 → T13; T13 → T15; T15 → T16;

T12 → T14 T12 → T15; T13 → T14; T16 → T17;

T17 → T18; T19 → T16; T19 → T20.

Segue de [25] e [22] que existem as seguintes deformações:

T12 → T1; T1 → T2; T14 → T3; T5 → T10;

T3 → T4; T4 → T17; T5 → T8; T9 → T6; T10 → T20.

90

E das seguintes transformações obtemos as respectivas deformações:

i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = n2 e Ct = tn1 de T8.Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T20. Logo T8 → T20.

ii. Analogamente se consideramos a base At = te1 + tn1, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 +

t3n1+n2 de T2 obtemos a álgebra T17 quando t tende a zero. Portanto, T2 → T17.

iii. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = te2 e Ct = n1 de T10 , nos da T10 → T2.

iv. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = n1 e Ct = te2 de T19 tende a T6 quandot → 0 o que implica que T19 → T6.

v. Para o caso da deformação T1 → T3 considere a família de automorfismo At =

te1 + n1, Bt = −t2e1 + n2 e Ct = t3e1 de T1, fazendo t tender a 0 obtemos aálgebra T3.

vi. A família de automorfismos At = te1 + n1, Bt = t2e1 + t3n1 +n2 e Ct = t3e1 deT15 nos da T15 → T3.

vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1 + n2, Bt = t2e1 + 2tn2 e Ct =

n1 + 2n2 de T6, fazendo t = 0 temos a álgebra T4 e portanto T6 → T4.

viii. Por último, a mudança de base At = te1 + n1, Bt = t2e1 e Ct = 2n1 + n2 de T20

nos da T20 → T4.

Para completar a descrição geométrica de Jor3 provaremos que não existem outras

deformações.

Da Proposição 4.56 toda deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebranão associativa, logo Ti 6→ Tj para i = 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e j = 6, 8, 10, 20. Segue

da Proposição 4.59 que a ação da parte semissimples TSS é preservada através de umadeformação, logo:

T1 6→ T16; T5 6→ Ti para i = 6, 14, 15, 16; T6 6→ Ti para i = 2, 16

T8 6→ T16; T9 6→ Ti para i = 2, 16, 20; T10 6→ Ti para i = 6, 16

T14 6→ T16; T19 6→ T2; T20 6→ T16.

As álgebras T3 e T4 são nilpotentes logo elas não podem ser deformações de álgebras

não nilpotentes, assim temos T3,T4 6→ T2,T16 e como dim Rad(T8) = dim Rad(T9) = 2

e dim Rad(T10) = 1 da Proposição 4.52 segue que T8,T9 6→ T10.

91

Da Proposição 4.53 segue que a dimensão do aniquilador de uma álgebra não au-menta sob deformação, portanto temos:

T8 6→ T1,T2T6; T13 6→ T1,T12; T14,T15 6→ T1,T2;

T16 6→ T2,T4; T20 6→ T2,T6

pois dim Ann(Ti) = 0 para i = 1, 2, 6, 12, dim Ann(Ti) = 1 para i = 4, 8, 13, 14, 15, 20 edim Ann(T16) = 2.

Segue da Proposição 4.51 que a dimensão do grupo de automorfismos diminui atra-vés de uma deformação não trivial, logo dado que

dim Aut(Ti) =

1, i = 5, 12, 13

2, i = 1, 8, 9, 10, 14, 15, 19

3, i = 3, 6, 20

4, i = 2, 4, 16

5, i = 17

6, i = 6

temos:

T1 6→ Ti para i = 13, 14, 15; T2 6→ Ti para i = 3, 4, 14, 15, 16;

T5 6→ Ti para i = 12, 13; T6 6→ Ti para i = 1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 20;

T7 6→ Ti para i = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20;

T8 6→ Ti para i = 12, 13, 14, 15; T9 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15;

T10 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15; T12 6→ T13; T14 6→ T15;

T15 6→ T14; T16 6→ Ti para i = 1, 3, 14;

T19 6→ Ti para i = 1, 8, 10, 12, 13, 14, 15; T20 6→ Ti para i = 1, 3, 12, 13, 14, 15;

Por último não pôde ser determinado se existem ou não as seguintes deformações:

T5?

99K T1 e T5,T8,T9,T10,T19?

99K T3. O restante das existências ou não existências

de deformações segue das propriedades de transitividade e antissimetria da relação deordem parcial “→”.

O diagrama completo das álgebras de Jordan de dimensão 3, a menos de 6 deforma-ções, é dado na Figura 5.2. Os super-índices A, S, U e N nos nomes das álgebras re-

presentam que Ti é Associativa, Semissimples, Unitária ou Nilpotente, respetivamente.Isto nos permitirá enxergar como se comportam estas características sob deformações.

92

0

1

2

3

4

5

6

9

dim Aut(T)

TSAU11

TAU12 TA

13

TA14 TA

15

TA16

TAN17

TAN18

T19

T20

TAU1

TAU2

TAN3

TAN4

TSU5

T6

T7

T8 T9TU10

Fig. 5.2: Descrição quase-completa das órbitas de Jor3

Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela. Observamos

que não foram colocadas as colunas das álgebras rígidas T5, T7, T9, T11 e T19 com opropósito de ganhar espaço, já que a tabela ficou muito grande. Nessas colunas só teria

o símbolo “6→R” o qual representa que “não existe deformação, pois foi provado em [25]

que a álgebra da coluna é rígida”, além de obviamente “→DT ” a existência da deformação

trivial.

Os símbolos → e 6→ estão acompanhados de siglas que justificam tales fatos de acordocom a seção anterior e adicionamos os seguintes:

i. 6→Ass: não existe deformação pela Proposição 4.56, pois a álgebra da linha é asso-ciativa e a álgebra da coluna não o é.

93

ii. 6→npa: não existe deformação pois não é preservada a ação da parte semissimples,Proposição 4.59.

iii. 6→Rad: não existe deformação pela Proposição 4.52 que relaciona as dimensões dos

radicais nilpotentes das álgebras envolvidas.

iv. 6→Ann: não existe deformação pela Proposição 4.53 que relaciona as dimensões

dos aniquiladores das álgebras envolvidas.

v.?

99K: não foi possível determinar a existência ou não existência de deformação.

94

Tabela 5.2: Existência de deformações em Jor3→ T1 T2 T3 T4 T6 T8 T10 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T20

T1 →DT → → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass

T2 6→AS →DT 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Ass

T3 6→AS 6→Rad →DT → 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad →T →T 6→Ass

T4 6→AS 6→Rad 6→AS →DT 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad → →T 6→AS

T5?

99K →T?

99K →T 6→npa → → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→npa →T →T →T

T6 6→Aut 6→npa 6→Aut → →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Aut

T7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T8 6→Ann 6→Ann?

99K →T 6→Ann →DT 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →T9 6→Aut 6→npa

?99K →T → 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→npa

T10 6→Aut → ?99K →T 6→npa 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →

T11 →T →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass → → →T →T →T →T →T 6→Ass

T12 → →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass →DT 6→Aut → → →T →T →T 6→Ass

T13 6→Ann → →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT → → →T →T →T 6→Ass

T14 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS →DT 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass

T15 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut →DT → →T →T 6→Ass

T16 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut 6→AS →DT → →T 6→Ass

T17 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS 6→AS

T18 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS

T19 6→Aut 6→npa?

99K →T → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T →T20 6→Aut 6→Ann 6→Aut → 6→Ann 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →DT

95


Agora estamos prontos para enunciar o principal teorema deste capítulo.

Teorema 5.2. A variedade algébrica Jor4 é uma variedade afim conexa de dimensão 16 com 73


órbitas das álgebras

Ω = J1, J2, J3, J6, J12, J13, J16, J24, J33, J59 ,

as quais determinam componentes de dimensões: 15, 11, 16, 14, 10, 12, 12, 14, 4 e 12, respetiva-

mente.

Demonstração. Vamos dividir a prova em duas partes: primeiramente, mostraremos queas álgebras em Ω são rígidas e depois provaremos que elas são as únicas rígidas, i.e.,

provaremos que toda outra álgebra de J1 a J73 da classificação algébrica do Capítulo 2

pode ser deformada em uma das álgebras anteriores.

Existem três álgebras semissimples J1, J2 e J3 logo pelo Corolário 4.21 elas são rígidas.Note que as álgebras J16 e J33 pertencem às famílias de álgebras dos Teoremas 4.67 e

4.65 (B4 e A4 respetivamente). Portanto J16 e J33 são rígidas.Nenhuma álgebra em Jor4 domina J6: Da Proposição 4.52 as únicas possíveis candi-

datas a serem deformação de J6 são J1 a J9, pela Proposição 4.51 podemos excluir J2,J7 e J9 da lista, enquanto que as álgebras J5 e J8 não dominam J6 devido à Proposição

4.53. Uma álgebra não associativa não pode ser deformada em uma álgebra associativa,portanto J3 9 J6 e J4 9 J6. Finalmente, a dimensão do grupo de 2-cociclos de J1 é 15

enquanto que para J6 é 14, logo J1 não domina J6 pela Proposição 4.62. Isto prova queJ6 é rígida.

Considere J ∈ Jor4, tal que J → J12, então pela Proposição 4.59 em uma base ade-quada (J12)ss é uma subálgebra de Jss tal que a ação da parte semissimples é preser-

vada. Escolhemos a base a, b, c, d de J onde os produtos são a2 = a, b2 = b, ac = 12c,

ad = 12d e ab = bc = bd = 0 logo, usando a tabela de multiplicação para a decompo-

sição de Peirce (veja o Teorema 1.19) temos c2 = αa, d2 = βa e cd = γa para certosα,β,γ ∈ k. Como a base deve satisfazer a versão linearizada da identidade de Jordan

(1.3) obtemos que α = β = γ = 0. Logo J ≃ J12 e J12 é rígida.Verificaremos que J13 é rígida. Como dim Rad(J13) = 2 temos que se Ji → J13 então

1 6 i 6 27. Mais ainda, Ji tem que ser não associativa logo i 6= 3, 4, 22 e 27, enquantoque usando o argumento da dimensão do grupo de automorfismo e da dimensão do

aniquilador, deduzimos que J13 não se deforma em J9, J12, J16, J18, J19 e J21, res-petivamente em J5, J8, J10, J11, J20, J23 e J26. As álgebras J14, J15 e J17 não são

96

deformações de J13 pela Proposição 4.59. A álgebra J2 não domina J13 pela Proposi-ção 4.58 pois a dimensão do centro associador Z(J2) é 1 enquanto que dimZ(J13) = 0.

Finalmente, note que J13 não tem nenhuma subálgebra associativa de dimensão 3, logonenhuma das álgebras restantes poderia dominar J13 pela Proposição 4.57.

Observe que não existe álgebra em Jor4 que deforme-se em J24: J24 é não associativae ambas dimensões do aniquilador e do radical coincidem com as dimensões de J13, o

que reduz a lista de possíveis deformações a

∆ = J1, J2J6, J7, J9, J12, J13, J14, J15, J16, J17, J18, J19, J25.

A dim Aut J24 = 2 portanto as possíveis álgebras J que podem dominar J24 são aquelasque pertencem a ∆ e que dim Aut J < 2, o que leva somente a J1. Mas dimZ2(J1, J1) =

15 enquanto que dimZ2(J24, J24) = 14 logo, Proposição 4.62, J1 9 J24 e J24 é rígida.

Finalmente, suponha que J ∈ Jor4 e J → J59 então pela Proposição 4.59 podemosescolher uma base tal que (J59)ss ⊆ Jss e a ação de (J59)ss deveria ser preservada, entãoJ somente poderia ser J12, J13, J32, J58 ou J60 mas então dim Aut(J) > 4, portanto J59

é rígida.

Resta mostrar que para qualquer álgebra J ∈ Jor4 existe uma álgebra J ′ ∈ Ω tal queJ ′ é uma deformação de J. No que segue todas as transformações serão dadas usando

as bases do Capítulo 2 na ordemei,nj

onde 1 6 i, j 6 4.

Mostraremos que J1 domina J7, J8, J10, J11, J17, J23, J25, J28, J44, J45, J46, J52,

J53, J62, J63, J64 e J65. Do Exemplo 4.29 temos J1 → J25. Além disso J25 → J17, defato para t 6= 0 escolhemos a base At = e1, Bt = e2, Ct = tn1 e Dt = n2 de J25, em

particular C2t = t2Dt e logo J25 → J17 quando t → 0. A deformação J1 → J53 é dada

pela curva At = e1 + e4, Bt = te3, Ct = t2e1 e Dt = t2e2, e a deformação J53 → J62 é

dada por At = te1 + tn2 − tn3, Bt = t2n2 + t2n3, Ct = −t3n3 e Dt = tn1.

Em [4] foram descritas as “contrações” entre as álgebras de Jordan nilpotentes, mas

se J é uma contração de J ′ então J corresponde a um ponto no fecho da órbita de J ′,ou seja J ′ é uma deformação de J. Logo de [4] temos as seguintes deformações entre

álgebras nilpotentes: J62 → J65, J62 → J63 e J63 → J64.

Por outro lado, combinando os resultados para álgebras de Jordan de dimensão 3 da

Seção 5.3 com a Proposição 4.41 obtemos J1 → J23, J1 → J7, J7 → J10, J1 → J8 eJ8 → J11. Para mostrar que J11 → J46, considere a mudança de base At = e1, Bt = n1,

Ct = te2 − n2 e Dt = tn2, para t 6= 0, de J11. Como BtCt = tBt

2 e C2t = Dt + tCt

obtemos a estrutura de J46 quando t tende a zero.

Para a deformação J8 → J45, considere a base At = e1, Bt = te3, Ct = t2e2 eDt = te2 + n1 de J8, então quando t = 0 obtemos J45. A mudança de base At = e1,

97

Bt = n1, Ct = n2 e Dt = tn3 de J45 funciona para J45 → J44, enquanto J44 → J28

tomando At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 em J44.

Finalmente, para ver que J23 → J52, considere a mudança de base At = e1 + e2,Bt = n1, Ct = te2 e Dt = n2 de J23.

Agora mostraremos que J2 domina J9, J18, J48 e J49. Para ver que J2 → J9 considere,para t 6= 0, a base At = e1, Bt = e2, Ct = e3 + e4 e Dt = te4 de J2. Como C2

t = At+Bt,

CtDt = t(At+Bt

2 ) e D2t = 0 obtemos a álgebra J9 quando t = 0. Para a deformação

J9 → J18, é suficiente considerar a base At = e1, Bt = e2, Ct = te3 e Dt = n1 de J9.

Então, como C2t = t2(At + Bt), fazendo t tender a zero obtemos J18. Analogamente

J2 → J49 com base At = e1, Bt = te2, Ct = 2te3 e Dt = te3 + e4 e J49 → J48 com base

At = e1, Bt = n1, Ct = tn2 e Dt = n3.

Todas as álgebras associativas, ou seja J4, J5, J19, J20, J21, J22, J26, J27, J34, J35, J36,

J37, J38, J39, J40, J41, J42, J43, J47, J54, J61, J66, J67, J68, J69, J70, J71, J72 e J73 sãodominadas por J3.

Combinando a Proposição 4.41 com a descrição geométrica de Jor2 dada na Seção 5.2obtemos J3 → J4, J3 → J5, J5 → J20, J5 → J26, J26 → J19, J19 → J35, J40 → J34,

J72 → J73, J4 → J22 e J26 → J47. Novamente, usando a Proposição 4.41 e a descriçãogeométrica de Jor3 dada na seção anterior temos J4 → J27, J27 → J21, J21 → J37,J20 → J54, J38 → J41, J41 → J40 e J71 → J72. Finalmente, de [4] temos as seguintes

deformações entre álgebras nilpotentes J61 → J67, J66 → J68, J66 → J70, J68 → J69 eJ69 → J71.

Para ver que J20 → J38, para t 6= 0 consideramos a mudança de base At = e2,Bt = te1 + n1 + n2, Ct = tn1 − tn2 e Dt = t2n1 de J20. Analogamente a dominância

J38 → J66 é dada pela base At = tn1, Bt = t2n2, Ct = t3n3 e Dt = te1 − t2n3 deJ38. Para a deformação J47 → J61 tome t 6= 0 e considere a base At = te1 + n1 + n2,

Bt = tn1 − tn2 +n3, Ct = t2n1 − tn3 e Dt = t2n3 de J47, então quando t = 0 obtemosJ61.

Para mostrar que J22 → J39, para t 6= 0 usamos a base At = e1 + e2, Bt = te2 +n1 +

n2, Ct = −tn1 + tn2 e Dt = t2n2 de J22. Como B2t = Ct + tBt e BtDt = tDt obtemos

a estrutura da álgebra J39 quando t tende a zero. No caso de J39 → J43 consideramosa base At = e1, Bt = −tn1, Ct = −t2n3 e Dt = tn2 + tn3 de J39. Analogamente, para

mostrar que J43 → J42 é suficiente considerar a mudança de base At = e1, Bt = n1,Ct = n2 e Dt = tn1 − tn3 de J43.

Por último, para completar a dominância de J3 só resta provar que J42 → J36. Parat 6= 0 considere a mudança de base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 de J42.

A dominância das álgebras rígidas J6 sobre J15 e J12 sobre J30 segue da Proposição4.41. Mostraremos a seguir que J12 → J32, para isso considere a base At = e1 + e2,

98

Bt = n1, Ct = n2 e Dt = te2, para t 6= 0, de J12. Como D2t = tDt obtemos a estrutura

da álgebra J32 quando t = 0.

Agora, vejamos que J13 domina J60. Para t 6= 0, é suficiente considerar a baseAt = e1 + e2, Bt = −2te1, Ct = n1 + n2 e Dt = tn2 de J13 e então quando fazemos

t tender a zero obtemos J60. Analogamente J16 domina J50, usando a base At = e1,Bt = te2, Ct = 2n1 +n2 e Dt = tn1 de J16.

As álgebras J14, J29, J31, J51, J55, J56 e J57 são dominadas por J24. Uma vez maiscombinamos a Proposição 4.41 e as deformações obtidas na Seção 5.3 e obtemos que

J24 → J51, J51 → J29 e J24 → J14. No caso de J14 → J56 e J24 → J57 usamos, paraambas álgebras, a base At = e1 + e2, Bt = t2e1 + n2, Ct = t2n2 e Dt = tn1, então

quando t = 0 temos J56 e J57 respetivamente. Para provar que J56 → J31 e J57 → J55

considere a base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3, t 6= 0 de J56 e J57, como em

ambos casos B2t = t2Ct, fazendo t = 0 obtemos J31 e J55, respetivamente.

Para completar a descrição das componentes irredutíveis da variedade Jor4 só restamostrar que J59 domina J58. Para t 6= 0, é suficiente considerar a base: At = e1,

Bt = n1, Ct = tn2 e Dt = n3 de J59. Como CtDt = tBt é claro que as contantesestruturais desta base tendem a aquelas de J58 quando fazemos t = 0.

A órbita de J73 é fechada (Lema 4.40) e logo toda J ∈ Jor4 é uma deformação de J73

o que implica que Jor4 é uma variedade afim conexa.

Como Jor4 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimen-são da variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que

dim Jor4 = max16i673

dim JG

i

= dim JG

3 = 42 − dim Aut(J3) = 16.

Por último, a dimensão de cada componente é determinada pela dimensão da órbita da

álgebra rígida que a gera, segue então das informações do Apêndice B que as dimen-sões das componentes irredutíveis de Jor4 são: 15, 11, 16, 10, 4, duas componentes de

dimensão 14 e três componentes de dimensão 12.

Um diagrama das álgebras de Jordan de dimensão 4 no qual é possível compreender

a prova do Teorema 5.2 é dado na Figura 5.3. Uma descrição quase-completa (e assimmenos compreensível) das órbitas e, portanto, das componentes irredutíveis de Jor4 é

dado na Figura 5.4. Com quase-completa queremos dizer que conseguimos determinarem um 96, 53% das vezes se uma álgebra de Jordan de dimensão 4 pertence ou não ao

fecho de Zariski da órbita de uma outra álgebra. Novamente, usamos os super-índicesA, S, U e N nos nomes das álgebras para fazer referência a que Ji é Associativa, Semis-

simples, Unitária e Nilpotente respetivamente, com o fim de poder enxergar melhor ocomportamento dessas características sob deformações.

99

Resumimos a existência ou não existência de deformações em várias tabelas. A sim-bologia utilizada respeita o padrão das tabelas das seções anteriores e adicionamos os

seguintes:

i. 6→1: não existe deformação pela Proposição 4.61, pois a álgebra da linha não éunitária e a álgebra da coluna sim o é.

ii. 6→Jm : não existe deformação pela Proposição 4.54 que relaciona as dimensões daspotencias das álgebras envolvidas.

iii. 6→Z2 : não existe deformação pela Proposição 4.62 que relaciona as dimensões dos

grupos de 2-cociclos das álgebras envolvidas.

iv. 6→MA: não existe deformação pela Proposição 4.57 que relaciona as dimensões

das subálgebras associativas maximais das álgebras envolvidas.

v. 6→MNul : não existe deformação pela Proposição 4.57 que relaciona as dimensõesdas subálgebras nulas maximais das álgebras envolvidas.

vi. →⊕: existe deformação pela Proposição 4.41, pois as álgebras envolvidas são soma

direta de álgebras de dimensões menores, tal que uma é uma deformação daoutra.

vii. →Anc: existe deformação e a contração foi dada em [4].

Observamos que propositalmente as álgebras não aparecem na ordem lexicográfica. Co-locamos separadamente álgebras associativas de não associativas e álgebras nilpotentes

de não nilpotentes com o fim de poupar um pouco de espaço. Desse modo não foicolocada uma tabela de 1020 células onde todas elas só teriam o símbolo “6→Ass” o qual

representa que “Associativa 6→ Não-Associativa”.

100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

16

dim Aut(J)

JUS1

JUS2

JAUS3

JAU4 JA5

J6JU7 J8

JU9

J10 J11

J12

J13

J14 J15

J16

JU17

JU18

JA19

JA20

JAU21

JAU22 J23 J24JU25JA26JAU

27

J28

J29

J30

J31

J32

J33

JA34

JA35

JAU36

JA37

JA38JAU39

JA40

JA41

JAU42

JAU43 J44

J45

J46

JA47

J48

J49

J50

J51J52

J53

JA54

J55J56

J57

J58

J59

J60

JAN61

JN62

JN63

JN64

JN65

JAN66

JAN67JAN

68

JAN69 JAN

70

JAN71

JAN72

JAN73

Fig

.5.3

:Descrição

das

órbitasd

eJor

4

101

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

16

dim Aut(J)

JUS1

JUS2

JAUS3

JAU4 JA5

J6 JU7J8

JU9

J10J11

J12

J13

J14J15

J16

JU17

JU18

JA19

JA20

JAU21

JAU22 J23 J24JU25JA26JAU

27

J28

J29

J30

J31

J32

J33

JA34

JA35

JAU36

JA37

JA38JAU39

JA40

JA41

JAU42

JAU43 J44

J45

J46

JA47

J48

J49

J50

J51 J52

J53

JA54

J55J56

J57

J58

J59

J60

JAN61

JN62

JN63

JN64

JN65

JAN66

JAN67 JAN

68

JAN69 JAN

70

JAN71

JAN72

JAN73

Fig

.5.4

:Descrição

mais

comp

letad

asórbitas

deJor

4

102

Tabela 5.3: Existência de deformações em Jor4J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47

J61 →DT 6→Anc →Anc 6→Anc →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J66 6→Aut →DT →Anc →Anc →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J67 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →Anc 6→Ann →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J68 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →Anc 6→Ann →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J69 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J70 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J71 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J72 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J73 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T →DT → → →T →T →T →T →T →T

J4 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut →DT 6→Aut →T →T →T →T →T →T

J5 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann →T →T 6→Ann →T →T

J39 → →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa → 6→npa 6→Aut

J38 → →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ 6→Ann →T 6→Aut

J41 6→Aut → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →⊕ 6→Aut

J43 6→Aut → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut

J40 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

J47 → → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa →DT

J54 → → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut

J42 6→Aut 6→Aut → → →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J34 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J35 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→MNul→T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J37 6→Aut 6→Aut → 6→MNul→T 6→MNul

→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J19 6→Aut 6→Ann →T →T →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut

J20 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann →⊕ →T 6→Ann →T →⊕

J21 6→Aut?

99K →T →T →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut

J22 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→npa 6→npa →T 6→npa →⊕J26 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann →⊕ →T 6→Ann →T →⊕J27 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →⊕ →T →T →T 6→npa

J10?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Ann →T 6→Aut

J11?

99K → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut

103

J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47

J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K?


J13 6→Aut?

99K?

99K?

99K →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut

J14?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→1 →T 6→Aut

J15?

99K?

99K →T?

99K →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut

J16 6→Aut?

99K?

99K?

99K →T?


J17?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→npa 6→Aut

J18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K?


J23?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann?

99K →T 6→Ann →T 6→npa

J24?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1?

99K →T 6→1 →T 6→npa

J25?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa

J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→MNul→T 6→MNul

→T 6→MNul→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→MNul

6→Aut

J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→MNul→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J51?

99K?

99K →T → →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut

J52?

99K?

99K →T?

99K →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut

J53?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa

J44 6→Aut 6→Ann?

99K?

99K →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut

J45?

99K?

99K?

99K?

99K →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut

J46 6→Aut?

99K?

99K?

99K →T?


J55 6→Aut?

99K?

99K?

99K →T?


J56 6→Aut?

99K?

99K?

99K →T?


J57?

99K?

99K?

99K?

99K →T?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut

J48 6→Aut 6→Aut?

99K?

99K?

99K?


J49 6→Aut?

99K?

99K?

99K?

99K?



99K?

99K?

99K?



99K?

99K?

99K?


104


J59 6→Aut?

99K?

99K?

99K?

99K?



99K?

99K?

99K?


J6?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1?

99K →T 6→1 →T?

99K

J7?


99K?

99K →T →T →T 6→npa

J8?

99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa

J9 6→Aut?

99K?

99K?

99K?

99K?


J1?


99K?

99K →T →T →T 6→npa

J2?

99K?

99K?

99K?

99K?

99K?

99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa?

99K 6→npa 6→Aut

J62 6→J2 →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J63 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J64 6→Aut 6→Aut →Anc 6→MNul→T 6→MNul

→T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J65 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

Tabela 5.4: Existência de deformação em Jor4J54 J42 J34 J35 J36 J37 J19 J20 J21 J22 J26 J27 J10 J11 J12 J13 J14 J15

J61 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Ass 6→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass









J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J4 →T →T →T →T →T →T →T →⊕ →T →⊕ →⊕ →⊕ 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J5 →T 6→Ann →T →T 6→Ann →T →T →⊕ 6→1 6→1 →⊕ 6→1 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J39 6→Aut →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J38 6→Aut 6→1 →T 6→J4 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J41 6→Aut 6→1 →T 6→Z2 6→Ann 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J43 6→Aut → 6→npa 6→Z2 →T 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

105


J40 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J47 6→Aut 6→1 6→npa →⊕ 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J54 →DT 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →⊕ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J42 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J34 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J35 6→Aut 6→Aut 6→npa →DT 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J37 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J19 6→Aut 6→1 →T →⊕ 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J20 →⊕ 6→1 →T →T 6→Ann →T 6→npa →DT 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J21 6→Aut → →T 6→Z2 →T →⊕ 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J22 6→npa →T 6→npa →T →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa →DT 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J26 6→npa 6→1 →T →T 6→Ann 6→npa →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut →DT 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J27 →⊕ →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut →DT 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass

J10 6→Aut 6→1 →T 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut

J11 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →⊕ 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut

J12 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 →DT 6→Aut 6→Aut

J14 6→Aut 6→1 →T 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z →DT 6→Aut

J15 6→Aut 6→1 6→npa →⊕ 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut →DT

J16 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J17 6→Aut →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut

J18 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J23 6→npa 6→1 →T 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→npa 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann

J24 6→npa 6→1 →T 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z 6→Z →⊕ 6→npa

J25 6→npa →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2

J28 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→MNul6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J30 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J31 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J32 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J51 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut


106


J53 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad

J44 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut


J46 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J55 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut


J57 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut

J48 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J49 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J50 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J58 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut


J60 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J6 6→npa 6→1 →T →T 6→1 6→npa →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→npa 6→Z 6→Z →⊕ →⊕

J7?

99K →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2

J8?

99K 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →T 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann

J9 6→Aut?

99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J1?

99K →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa?

99K →T →T 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2

J2 6→Aut?

99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Z 6→Aut 6→Aut

J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad




Tabela 5.5: Existência de deformação em Jor4J16 J17 J18 J23 J24 J25 J28 J29 J30 J31 J32 J33 J51 J52 J53 J44 J45 J46

J10 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →⊕ 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut →⊕

J11 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut →J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J14 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa

107


J15 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut →⊕J16 →DT 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut →T → 6→npa 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J17 6→Z →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T → 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut →J18 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J23 6→Ann 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→npa → 6→Aut →T → →T

J24 6→Z 6→1 6→Z 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa →T 6→Z →T 6→Z 6→Z →⊕?

99K 6→Aut 6→npa 6→npa 6→npa

J25 6→Z → 6→Z 6→Aut 6→Aut →DT →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z → ?99K 6→Aut →T → →T

J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J29 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →DT 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z →DT 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J51 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa

J52 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa

J53 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann → → →DT 6→npa 6→npa 6→npa

J44 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut

J45 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →DT →J46 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT

J55 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J56 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J57 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa

J48 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J49 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut →T 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J50 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→J2 6→J2 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J58 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J59 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J60 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa → 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J6 6→Z 6→1 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z →T 6→Z 6→Z?

99K?

99K 6→Aut?

99K?

99K →T

J7 6→Z → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z?

99K?

99K 6→Aut?

99K?

99K →T

J8 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→npa 6→J2 6→Aut →T → →T

J9 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut →T 6→npa 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J1 6→Z →T 6→Z →⊕ 6→Z2 → →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z →T →T → →T →T →T

108


J2 6→Z 6→Aut →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa





Tabela 5.6: Existência de deformações em Jor4J55 J56 J57 J48 J49 J50 J58 J59 J60 J6 J7 J8 J9 J1 J2 J62 J63 J64 J65

J10 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K →T?

99K


99K?

99K?

99K

J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J13 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa?

99K 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J14 6→Z2 → 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K →T?

99K

J15?

99K → 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K?

99K?

99K

J16 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut → 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J17 6→Z2 6→npa 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K →T?

99K


J23 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K →T?

99K

J24 →T →T → 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K →T?

99K

J25 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K →T?

99K


J29 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut






99K →T?

99K


99K →T?

99K

J53 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad → →T →T →T

J44 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut

109

J55 J56 J57 J48 J49 J50 J58 J59 J60 J6 J7 J8 J9 J1 J2 J62 J63 J64 J65


99K?

99K?

99K

J46 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J55 →DT 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J56 6→Aut →DT 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J57 → → →DT 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K?

99K?

99K

J48 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J49 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →DT 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J50 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J58 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J59 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J60 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

J6?

99K →T?

99K 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z →DT 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K →T?

99K

J7 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut →DT 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K →T?

99K

J8 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann 6→Aut 6→Rad?

99K?

99K?

99K?

99K

J9 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Z 6→Z2 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?

99K 6→Aut

J1 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z2 →⊕ →⊕ 6→Z →DT 6→Z →T →T →T →T

J2 6→npa 6→npa 6→Aut →T → 6→Z 6→Z2 6→Z2 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut →DT 6→Aut?

99K?

99K?

99K

J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad →DT →Anc →T →Anc

J63 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut →DT →Anc 6→Aut

J64 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

J65 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut?

99K →DT

110

5.5 algumas propriedades da variedade algébrica

Jor5

Nesta pequena seção provaremos, essencialmente, que soma direta de álgebras (geome-

tricamente) rígidas é rígida em Jorn para n 6 5 e daremos uma (boa) estimativa donúmero de componentes irredutíveis de Jor5.

Teorema 5.3. Soma direta de álgebras rígidas é de novo uma álgebra rígida em Jorn para n 6 5.

Demonstração. Vimos nas Seções 5.1, 5.2 e 5.3 e no Teorema 5.2 que ke é a única álgebra

rígida em Jor1 e que a álgebra soma direta ke1 ⊕ ke2 é rígida em Jor2, T11 = ke1 ⊕ke2 ⊕ ke3 é rígida em Jor3 e J3 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 é rígida em Jor4. Além disso

B2 é rígida em Jor2 e as álgebras decomponíveis T19 = B2 ⊕ ke2 é rígida em Jor3 eJ6 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J13 = B2 ⊕B2 são rígidas em Jor4. Mais ainda em ˙Jor3 temos

as álgebras rígidas indecomponíveis T5, T7 e T9 das quais derivam as álgebras rígidasde Jor4: J1 = T5 ⊕ ke4, J12 = T7 ⊕ ke2 e J24 = T9 ⊕ ke2. Fazendo as somas diretas das

álgebras rígidas de dimensões 1, 2, 3 e 4 com o fim de gerar uma álgebra de dimensão5 obtemos as seguintes 13 álgebras decomponíveis de Jor5:

C1 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C2 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4;

C3 = B2 ⊕B2 ⊕ ke3; C4 = T5 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C5 = T7 ⊕ ke2 ⊕ ke3;

C6 = T9 ⊕ ke2 ⊕ ke3; C7 = J2 ⊕ ke5; C8 = J16 ⊕ ke3;

C9 = J33 ⊕ ke2; C10 = J59 ⊕ ke2; C11 = B2 ⊕ T5;

C12 = B2 ⊕ T7; C13 = B2 ⊕ T9;

Verificamos utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora(veja Apêndice A) que H2(Ci,Ci) = 0 para todo 1 6 i 6 13 e portanto Ci é rígida.

Teorema 5.4. O número de componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26.

Demonstração. Sabemos da Proposição 4.36 que cada álgebra rígida de uma variedade

gera uma componente irredutível. Vejamos que em Jor5 temos no mínimo 26 álgebrasrígidas.

Foi provado no Teorema 5.3 que as 13 álgebras de Jordan decomponíveis de dimensão5, Ci com 1 6 i 6 13, são álgebras rígidas e claramente não isomorfas. Temos mais 3

álgebras rígidas não isomorfas provenientes dos Teoremas 4.65, 4.67 e 4.68: A5, B5 e C5.Como elas são indecomponíveis, não são isomorfas às álgebras de Teorema 5.3.

As seguintes 10 álgebras de Jordan de dimensão 5 indecomponíveis têm segundogrupo de cohomologia nulo, isso foi calculado usando um programa de computação

111

simbólica elaborado pela autora (veja Apêndice A) assim como também as dimensõesdos respectivos grupos de automorfismos e aniquilador. O produto nas álgebras será

dado em todos os casos na base e1, e2, e3, e4, e5.

Tabela 5.7: Algumas álgebras de Jordan rígidas de dimensão 5

C Tabela de Multiplicaçãodim

Aut(C)

dim

Ann(C)

dim

Rad(C)Obs.

C17

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e3

e1e5 = e2e5 = 12e5

e2e4 = e3e4 = 12e4

4 0 2 Unitária

C18

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2

e1e3 = e2e3 = 12e3 e3e4 = 1

2e5

e3e5 = e1e4 = 12e4 e2e5 = 1

2e5

4 0 2

C19e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5

e24 = e5 e1e3 = 12e3 e2e4 = 1

2e43 1 3

C20

e21 = e1 e22 = e2 e3e4 = e5

e1e3 = 12e3 e2e4 = 1

2e4

e1e5 = e2e5 = 12e5

5 0 3

C21

e21 = e1 e22 = e2 e23 = e4

e25 = e4 e1e3 = 12e3 e1e4 = e4

e1e5 = e2e5 = 12e5

3 0 3

C22

e21 = e1 e22 = e2 e24 = e5

e1e3 = 12e3 e2e5 = e5

e1e4 = e2e4 = 12e4

4 0 3

C23e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5

e1e3 = 12e3 e1e4 = e2e4 = 1

2e4

4 1 3

C24

e21 = e1 e1e5 = 12e5

e1e2 = e23 = e4e5 = e2

e1e3 = 12e3 e1e4 = 1

2e4

7 0 4

C25

e21 = e1 e1e5 = 12e5

e1e2 = e25 = e2 e1e4 = 12e4

e1e3 = e24 = e4e5 = e3

4 0 4

C26

e21 = e22 = e23 = e24 = e25 = e1

e1e2 = e2 e1e3 = e3

e1e4 = e4 e1e5 = e5

6 0 0UnitáriaSimples

112

Do Teorema 4.65 temos que dim Aut(A5) = 20 enquanto que

dim Aut(B5) = dim Aut(C5) = 8,

logo fica claro pelas dimensões e pelo fato das álgebras serem decomponíveis ou inde-componíveis que todas as 26 álgebras são não isomorfas, logo em Jor5 temos no mínimo

26 componentes irredutíveis.

113

6 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS

DE JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 3 SO -

BRE O CORPO DOS NÚMEROS REA I S

Neste capítulo JorRn denotará a variedade algébrica das álgebra de Jordan de dimensão

n sobre o corpo dos números reais R.

É pouco o que se conhece em relação a deformações e álgebras rígidas sobre R. Em2007, Ancochea Bermúdez e outros classificaram algébrica e geometricamente as álge-

bras associativas reais de dimensão 2 no trabalho [5] e, posteriormente, as álgebras deJordan reais de dimensão 2 em [3].

6.1 a variedade algébrica JorR

1

Analogamente ao caso sobre um corpo algebricamente fechado, em JorR

1 a única álgebra

rígida é a álgebra simples Re e é claro que Re → Rn. Logo somente temos umacomponente irredutível em JorR

1 dada pelo fecho de Zariski da órbita da álgebra Re,

portanto JorR1 é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com 2 órbitas

sob a ação de GL(V).


2

No trabalho [3] os autores determinaram todas as contrações1 das álgebras de Jordanreais de dimensão 2, isto nos permitiu determinar a existência de deformações entre taisálgebras e junto com os critérios de invariância através de deformações conseguimos

dar uma descrição geométrica completa da variedade das álgebras de Jordan reais dedimensão 2.

Teorema 6.1. A variedade algébrica JorR

2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 7

órbitas sob a ação de GL(V) e 3 componentes irredutíveis, duas de dimensão 4 dadas pelos fechos

1 Lembramos que se J é uma contração de J ′ então J corresponde a um ponto no fecho da órbita de J ′, logoJ ′ → J.

115

de Zariski das órbitas das álgebras B ′4 e Re1 ⊕ Re2 e outra componente de dimensão 2 dada

pelo fecho de Zariski da órbita da álgebra B ′2.

Demonstração. Segue do Lema 4.24 que JorR

2 é uma variedade afim e do Lema 4.40 sabe-

mos que a variedade é conexa. Foi provado na Seção 3.1.2 que tem 7 órbitas sob a açãode GL(V), elas são as órbitas representadas pelas álgebras B ′

1, B ′2, B ′

3, B ′4, Re1 ⊕ Re2,

Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2. Logo JorR2 é uma união finita de órbitas que são conjuntos

localmente fechados então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suas

órbitas

dim JorR

2 = dim(

B ′4

)G= 22 − dim Aut(B ′

4) = 4.

Em [3, Prop.6] foi provado que as órbitas das álgebras B ′2, B ′

4 e Re1 ⊕ Re2 são abertas,

logo seus fechos geram as componentes irredutíveis. Segue da Proposição 7 de [3] queB ′

2, B ′4 e Re1 ⊕ Re2 são as únicas álgebras rígidas de JorR

2 .

As deformações entre as álgebras de JorR

2 são descritas na Figura 6.1.

dim Aut(B ′) = 0 Re1 ⊕ Re2

ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

%%

B ′4

~~⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥

dim Aut(B ′) = 1 Re1 ⊕ Rn1

''

B ′

1

yyttttttttttt

dim Aut(B ′) = 2 B ′2

++❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱

❱❱❱❱❱❱ B ′

3

dim Aut(B ′) = 4 Rn1 ⊕ Rn2

Fig. 6.1: Descrição completa das órbitas de JorR

2

Um resumo da existência de deformações é dado na Tabela 6.1 e a simbologia respeita

o padrão das tabelas do Capítulo 2 a menos de:

i. 6→R: não existe deformação, pois foi provado em [3] que a álgebra da coluna é

rígida;

ii. →: existe deformação e uma contração foi exibida em [3].

116

Tabela 6.1: Existência de deformações em JorR

2

B ′1 B ′

2 B ′3 B ′

4 Re1 ⊕ Re2 Re1 ⊕ Rn1 Rn1 ⊕ Rn2

B ′1 →DT 6→R → 6→R 6→R 6→Aut →T

B ′2 6→Aut →DT 6→Aut 6→R 6→R 6→Aut →

B ′3 6→AS 6→R →DT 6→R 6→R 6→AS →

B ′4 → 6→R →T →DT 6→R 6→npa →T

Re1 ⊕ Re2 → 6→R → 6→R →DT → →T

Re1 ⊕ Rn1 6→Aut 6→R → 6→R 6→R →DT →T

Rn1 ⊕ Rn2 6→AS 6→R 6→AS 6→R 6→R 6→AS →DT


3

Daremos a seguir uma descrição geométrica quase-completa das álgebras de Jordan reais

de dimensão 3. Conseguimos determinar em um 97, 6% das vezes se uma álgebra deJordan real de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de uma outra

álgebra.

Teorema 6.2. A variedade algébrica JorR3 é uma variedade afim conexa de dimensão 9 com 26


órbitas das álgebras

Ω =T ′1,T ′

2,T ′3,T ′

4,T ′5,T ′

7,T ′12,T ′

20

,

as quais determinam componentes de dimensões: 9, 9, 8, 8, 8, 7, 3 e 7, respetivamente.

Demonstração. Sabemos que JorR

3 é uma variedade afim pelo Lema 4.24, que é conexa

segue do Lema 4.40 e que tem 26 órbitas sob a ação de G foi provado na Seção 3.2.Assim temos que JorR

3 =⋃26

i=1

(

T ′i

)G é uma união finita de órbitas que são conjuntos

localmente fechados então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suasórbitas

dim JorR

3 = max16i626

dimT ′G

i

= dimT ′G

1 = 32 − dim Aut(T ′1) = 9.

Analogamente à prova do Teorema 5.2, dividiremos o resto da prova em duas partes.

Primeiramente, mostraremos que as álgebras em Ω são rígidas e depois provaremosque não existe outra álgebra rígida em JorR

3 .

117

As álgebras T ′1 e T ′

2 têm dimAut(T ′i) = 0 logo, da Proposição 4.51, nenhuma outra

álgebra pode ser uma deformação delas. Portanto T ′1 e T ′

2 são álgebras rígidas. Pelo

mesmo critério as únicas álgebras que podem ser deformação de T ′3, T ′

4 e T ′5 são as

álgebras T ′1 e T ′

2 mas, da Proposição 4.56, uma álgebra associativa não pode ser uma

deformação de uma álgebra não associativa. Logo T ′3, T ′

4 e T ′5 também são as álgebras

rígidas.

Nenhuma álgebra em JorR

3 domina T ′7: pela Proposição 4.52 as únicas candidatas a

serem deformação de T ′7 são as álgebras para as quais dim Rad(T ′

i) 6 1, i.e., as álgebras

T ′1 a T ′

11. Uma álgebra associativa não pode ser uma deformação de uma álgebra nãoassociativa pela Proposição 4.56, logo podemos excluir da lista as álgebras T ′

1, T ′2, T ′

6,

T ′9 e T ′

10. Como a dim Aut(T ′i) = 2, para i = 7, 8, 11 nem T ′

8 nem T ′11 podem ser

deformações de T ′7 pois esta dimensão diminui através de deformações não triviais. A

dimensão dos grupos de 2-cociclos das três álgebras restantes, T ′i com i = 3, 4, 5, é 8

enquanto que dimZ2(T ′7,T ′

7) = 7, logo da Proposição 4.62 nenhuma delas domina T ′7.

Concluímos que T ′7 somente tem as deformações triviais logo, da Proposição 4.39, T ′

7 érígida.

Observamos que a álgebra T ′12 é a álgebra A3 do Teorema 4.65 logo é rígida.

Por último, vejamos que não existe uma álgebra em JorR

3 que deforme-se em T ′20:

Como dim Rad(T ′20) = 2 nenhuma álgebra nilpotente, i.e., T ′

i para 22 6 i 6 26, é de-

formação de T ′20. Pelo argumento da dimensão do grupo de automorfismos, nenhuma

das álgebras T ′i para i = 7, 8, 11, · · · , 21 domina T ′

20. Também podemos excluir da lista

as álgebras associativas T ′1, T ′

2, T ′6, T ′

9 e T ′10 pois T ′

20 não é associativa. Por fim, T ′20

tem dimZ2(T ′20,T ′

20) = 7 o que implica que T ′i para i = 3, 4, 5 não é deformação de T ′

20

portanto a álgebra T ′20 é rígida.

Vejamos agora que para cada álgebra T ′i para i = 1, · · · , 26 da lista da Seção 3.2

existe uma álgebra T ′ ∈ Ω tal que T ′ é uma deformação de T ′i. No que segue todas as

deformações entre as álgebras serão dadas usando as bases do Capítulo 3, respeitando

a ordem ei,nj onde 1 6 i, j 6 3.

Primeiramente, as órbitas das álgebras T ′6, T ′

21 e T ′24, pertencem a T ′G

1 : combinando

as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2 obtidas na Seção 6.2 coma Proposição 4.41 temos: T ′

1 → T ′6 e T ′

6 → T ′21. Se consideramos a família de automor-

fismos de T ′21 dada por At = tn1, Bt = t2e1 − n2 e Ct = t2n2 fazendo t tender a 0

obtemos a álgebra T ′24. Logo T ′

21 → T ′24.

As órbitas das álgebras T ′9, T ′

10, T ′13, T ′

15, T ′18, T ′

23, T ′25, e T ′

26, pertencem a T ′G2 :

novamente, combinando as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2

obtidas na Seção 6.2 com a Proposição 4.41 temos: T ′2 → T ′

9, T ′2 → T ′

10 e T ′10 → T ′

15.Observamos que as deformações entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um

118

corpo algebricamente fechado obtidas na Seção 5.3 servem para as álgebras considera-das sobre R pois as famílias de automorfismos que dão tais deformações pertencem na

verdade a GL(R3) ⊆ GL(C3). Logo temos T ′9 → T ′

18, T ′18 → T ′

13, T ′15 → T ′

23, T ′23 → T ′

26

e T ′26 → T ′

25.

A álgebra rígida T ′3 domina T ′

8 e T ′14: considere, para t 6= 0, a família de automor-

fismos de T ′3 dada por At = 1

2e1 +

12e2, Bt = 1

2e1 −

12e2 e Ct = te3 quando fazemos t

tender a 0 obtemos a álgebra T ′8, logo T ′

3 → T ′8. Da Seção 5.3 obtemos T ′

8 → T ′14.

A álgebra T ′11 pertence ao fecho da órbita de T ′

4. Para ver isso considere a família de

automorfismos de T4 dada por At = e1, Bt = e2 e Ct = te3 quando fazemos t tendera 0 obtemos a álgebra T ′

11. Da Seção 5.3 temos que a álgebra rígida T ′5 domina T ′

19,

analogamente T ′20 domina T ′

16 e da Seção 6.2 segue que T ′7 → T ′

17.

Por último, segue do Lema 4.40 que todo T ′ ∈ JorR

3 é uma deformação de T ′22. Isto

completa a prova.

Para dar uma classificação geométrica o mais completa possível das álgebras de Jor-

dan reais de dimensão 3 descreveremos a seguir todas as deformações que conseguimosachar em JorR

3 :

Da combinação das deformações obtida na Seção 6.2 com a Proposição 4.41 temosas seguintes deformações dado que as álgebras envolvidas são soma direta de uma

álgebra de Jordan real de dimensão 2 e Re ou Rn:

T ′1 → T ′

9; T ′6 → T ′

15; T ′7 → T ′

14; T ′21 → T ′

17

T ′9 → T ′

15; T ′9 → T ′

21; T ′17 → T ′

25.

Da Seção 5.3 temos as seguintes deformações sobre R:

T ′5 → T ′

8; T ′8 → T ′

13; T ′19 → T ′

14;

T ′18 → T ′

23; T ′7 → T ′

16; T ′21 → T ′

23;

T ′14 → T ′

26; T ′16 → T ′

26; T ′13 → T ′

25.

E das seguintes famílias de automorfismos obtemos as respectivas deformações:

i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = te2 e Ct = tn1 de T ′11.

Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T ′13. Logo T ′

11 → T ′13.

ii. Analogamente se consideramos a base At = 12e1 +

12e2, Bt = te3 e Ct = −t2

2e1 +

t2

2 e2 de T ′3 obtemos a álgebra T ′

19 quando t tende a zero. Portanto, T ′3 → T ′

19.

iii. A mudança de base At = n1, Bt = n3 e Ct = tn2 de T ′24 , nos da T ′

24 → T ′25.

119

iv. A mudança de base At =t2e1−

t2e2, Bt =

t2e1+

t2e2+ 2t2n1 e Ct =

t2

2 e1−t2

2 e2+

t3n1 de T ′11 tende a T ′

24 quando t → 0 o que implica que T ′11 → T ′

24.

v. Para o caso da deformação T ′20 → T ′

24 considere a família de automorfismo At =

te1 + t3n2, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 + 2t4n2 de T ′20, passando o limite quando

t → 0 obtemos a álgebra T ′24.

vi. A família de automorfismos At = te1 +−tn2, Bt = tn1 + n2 e Ct = t2e1 de T ′19

nos da T ′19 → T ′

24.

vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1 + tn2, Bt = tn1 e Ct = t2e1 +

2t2n2 de T ′18, fazendo t → 0 temos a álgebra T ′

24 e portanto T ′18 → T ′

24.

viii. Por último, a mudança de base At = e1, Bt = e2 +√2e3 e Ct = te2 +

t√2e3 de T ′

3

nos da T ′3 → T ′

11.

Mais uma vez resumimos a existência ou não existência de deformações em 3 tabelas.A simbologia utilizada respeita o padrão das tabelas dos capítulos e seções anteriores.

120

→ T ′1 T ′

2 T ′3 T ′

4 T ′5 T ′

6 T ′7 T ′

8 T ′9 T ′

10 T ′11 T ′

12 T ′13

T ′1 →DT 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ass → 6→Ass 6→Ass → 6→npa 6→Ass 6→Ass →T

T ′2 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→Ass → → 6→Ass 6→Ass →T

T ′3 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T

T ′4 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T

T ′5 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa →T

T ′6 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa

T ′8 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →

T ′9 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass →DT 6→npa 6→Ass 6→Ass →T

T ′10 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′11 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa →

T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

T ′13 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →DT

T ′14 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Ann

T ′15 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann

T ′16 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa

T ′17 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut

T ′18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →

T ′19 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Ann 6→Ann

T ′20 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→npa 6→npa

T ′21 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann

Tabela 6.2: Existência de deformações em JorR

3

121

→ T ′14 T ′

15 T ′16 T ′

17 T ′18 T ′

19 T ′20 T ′

21 T ′22 T ′

23 T ′24 T ′

25 T ′26

T ′1 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T

T ′2 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T

T ′3 →T 6→npa 6→npa 6→npa

?99K → 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T →T

T ′4 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa

?99K 6→npa 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T

?99K

T ′5 →T 6→npa 6→npa 6→npa

?99K → 6→npa 6→npa →T

?99K →T →T →T

T ′6 6→Ass → 6→Ass →T 6→Ann 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T

T ′7 → 6→Aut → → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T

?99K

?99K →T →T

T ′8 → 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T

?99K

?99K →T →T

T ′9 6→Ass → 6→Ass →T → 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T

T ′10 6→Ass → 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→npa →T →T

?99K →T →T

T ′11 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa →T

?99K → →T

?99K

T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

T ′13 6→Ass 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T ′14 →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→MNul →T →

T ′15 6→Ass →DT 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → 6→MNul →T →T

T ′16 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→MNul →T →

T ′17 6→Ass 6→Aut 6→Ass →DT 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut →T 6→Aut 6→Aut → 6→Aut

T ′18 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→npa →DT 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → → →T →T

T ′19 → 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Ann →DT 6→Aut 6→npa → ?

99K → →T →T

T ′20 6→npa 6→npa → 6→npa 6→npa 6→npa →DT 6→npa →T

?99K → →T →T

T ′21 6→Ass 6→npa 6→Ass → 6→Ann 6→Ass 6→Aut →DT →T → → →T →T

Tabela 6.3: Existência de deformações em JorR3

122

Na seguinte tabela colocaremos a relação de existência de deformações somente entreas álgebras nilpotentes, pois nas colunas que omitimos só teria o símbolo “6→Rad” o

qual representa que “não existe deformação pela Proposição 4.52 que relaciona as dimensões

dos radicais das álgebras envolvidas”.

T ′22 T ′

23 T ′24 T ′

25 T ′26

T ′22 →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut

T ′23 →T →DT 6→MNul →T →

T ′24 →T 6→Aut →DT → 6→Aut

T ′25 → 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut

T ′26 →T 6→Aut 6→Aut → →DT

Tabela 6.4: Existência de deformações em JorR3

O diagrama quase-completo das álgebras de Jordan reais de dimensão 3 é dado naFigura 6.2.

0

1

2

3

4

5

6

9

dim Aut(T ′)

T ′11

T ′12

T ′13

T ′14

T ′15

T ′16

T ′17

T ′18 T ′

19 T ′20

T ′1 T ′

2

T ′3T ′

4 T ′5 T ′

6

T ′7T ′

8

T ′9 T ′

10

T ′21

T ′22

T ′23

T ′24

T ′25

T ′26

Fig. 6.2: Descrição quase-completa das órbitas de JorR

3

123

6.4 comparação das variedades JorR

n e JorC

n

Nesta seção daremos uma rápida comparação das propriedades obtidas neste capítulo

para a variedade das álgebras de Jordan reais com as propriedades obtidas no Capítulo5 para álgebras de Jordan sobre um corpo algebricamente fechado, especificamente

sobre o corpo C dos números complexos.

Tal como enuncia Gerstenhaber no seu trabalho [15] “uma k-álgebra J é rígida se esomente se J ⊗k L é rígida sempre que L é uma extensão de k”, as 8 R-álgebras de

Jordan rígidas de dimensão 3: T ′1, T ′

2, T ′3, T ′

4, T ′5, T ′

7, T ′12, e T ′

20 são também rígidasquando consideradas como álgebras sobre C, pois

T ′1 ⊗R C ≃C T ′

2 ⊗R C ≃C T11

T ′3 ⊗R C ≃C T ′

4 ⊗R C ≃C T ′5 ⊗R C ≃C T5

T ′7 ⊗R C ≃C T19 T ′

12 ⊗R C ≃C T7 T ′20 ⊗R C ≃C T9.

Vimos nas Tabelas 6.2 a 6.4 da seção anterior que pelo fato da ação da parte semissim-ples não ser preservada (Proposição 4.59) não existem as seguintes deformações entre

R-álgebras:

T ′2 6→ T ′

6 T ′1 6→ T ′

10 T ′4 6→ T ′

8 T ′5 6→ T ′

11

T ′4 6→ T ′

19 T ′10 6→ T ′

21 T ′10 6→ T ′

17 T ′11 6→ T ′

14.

Mas da Seção 5.3 sabemos que sim existem as deformações das respectivas extensõesdas álgebras sobre C:

T11 ≃C T ′2 ⊗R C → T ′

6 ⊗R C ≃C T13 T11 ≃C T ′1 ⊗R C → T ′

10 ⊗R C ≃C T13

T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′

8 ⊗R C ≃C T10 T5 ≃C T ′5 ⊗R C → T ′

11 ⊗R C ≃C T10

T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′

19 ⊗R C ≃C T8 T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′

21 ⊗R C ≃C T15

T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′

17 ⊗R C ≃C T16 T10 ≃C T ′11 ⊗R C → T ′

14 ⊗R C ≃C T20.

Isso nos diz que J⊗R C pode estar contido no fecho da órbita de J1 ⊗R C sobre a

ação de GL(Cn) mesmo quando JGL(Rn) * JGL(Rn)1 .

A seguinte tabela reúne e compara as informações obtidas nas seções anteriores sobre

o número de órbitas e número de componentes irredutíveis das variedades Jorn e JorRn

em dimensões pequenas.

124

JorRn JorC

n

n nº órbitas nº componentes nº órbitas nº componentes1 2 1 2 1

2 7 3 6 2

3 26 8 20 5

4 > 109 > 18 73 10

5 - - ≫ 223 > 26

Tabela 6.5: Comparação das variedades JorCn e JorR

n

125

7 ÁLGEBRAS I SOTÓP ICAS

Neste capítulo as álgebras de Jordan serão consideradas sobre um corpo k arbitrário de

char k 6= 2. Como referências para este capítulo citamos [21, Cap.I.12], [33, Cap.3.2, 4.6e 7] e [28, Cap. IV.2].

Na Seção 7.1 trabalharemos majoritariamente com álgebras de Jordan unitárias e

daremos as definições e resultados relativos a álgebras isotópicas. Omitiremos as provasdos resultados, mas elas podem ser facilmente encontradas na literatura.

Se duas álgebras são isomorfas então elas são isotópicas. Para álgebras associativas

ou para álgebras sobre corpos algebricamente fechados a noção de isotopia não de-sempenha um papel importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas

coincidem. Provaremos na Seção 7.2 que isso não acontece com as álgebras de Jor-dan, onde o conceito de isotopia fornece uma relação de equivalência mais ampla que

o conceito de isomorfismo. Faremos isso classificando as álgebras de Jordan reais dedimensão 3 a menos de isotopia.

7.1 introdução às isotopias

Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordan é resumidamente uma nova álgebrade Jordan definida a partir de um elemento dado da álgebra original. A homótopa éunitária se e somente se a álgebra original é unitária e o elemento dado é invertível, em

tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.

Definição 7.1. Seja J uma álgebra de Jordan com um elemento identidade 1. Então um

elemento a ∈ J é chamado de invertível (ou Jordan invertível) se existe um elementob ∈ J tal que

ab = 1 e a2b = a.

Se o elemento b existe ele é único e o chamaremos de elemento inverso de a e será

denotado por a−1.

Uma álgebra de Jordan unitária na qual todo elemento não nulo é um elementoinvertível é chamada de álgebra de divisão.

127

Em J definimos o produto triplo de Jordan como sendo a identidade

a,b, c = (ab)c+ (cb)a− (ac)b. (7.1)

Denotaremos a aplicação linear que leva x 7→ a, x,b por Ua,b e abreviaremos Ua,a =

Ua.

Definição 7.2. Um elemento x de uma álgebra de Jordan J é chamado de trivial seUx(J) = 0 e x2 = 0.

A identidade (7.1) nos permite definir, para um elemento qualquer a ∈ J, o que

chamaremos de a-multiplicação em J

x ·a y = x,a,y.

Esta multiplicação é claramente bilinear em x e em y, é comutativa e satisfaz a identi-

dade de Jordan (1.2). Logo a álgebra J com produto ·a é uma álgebra de Jordan quedenotaremos por (J,a) e chamaremos de a-homótopa de J.

Observamos que homotopia é reflexiva pois (J, 1) = J e transitiva já que a b-homótopada a-homótopa da álgebra de Jordan J é a a,b,a-homótopa de J. Mas em geral não

é simétrica, e portanto não é uma relação de equivalência. Então, se a não é invertívelnão podemos recuperar J de (J,a) e perdermos informação ao passar à homótopa.

Vamos a assumir agora que J tem um elemento identidade 1 e que a ∈ J é invertível.Então chamaremos (J,a) de a-isótopa1 de J. A álgebra (J,a) é também uma álgebra

unitária com elemento identidade a−1 já quea−1,a, x

= x. É imediato ver que 1 e

a−2 são inversos em (J,a) e também satisfazema,a−2,a

= 1 logo J é a a−2-isótopa

de (J,a).

Definição 7.3. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan. Então uma aplicação α : J → J ′ échamada de homotopia se α é linear e existe a ∈ J ′ tal que α(xy) = α(x),a,α(y). Se J

e J ′ têm elementos identidades e α é um isomorfismo linear do espaço vetorial J sobreJ ′ e a é invertível, então chamaremos α de uma isotopia de J sobre J ′ e diremos que J

e J ′ são isotópicas.

Esta definição de homotopia corresponde à definição de um homomorfismo de J naa-homótopa de J ′ e a definição de isotopia corresponde à definição de um isomorfismo

de J sobre a a-isótopa de J ′.

Proposição 7.4. [33, Prop.7.2.1, p.223] Isotopia é uma relação de equivalência na classe das

álgebras de Jordan unitárias.

1 A noção de isótopa é também chamada de mutação por alguns autores.

128

Observamos que se J e J ′ são isomorfas, então o isomorfismo entre elas é uma isoto-pia com a = 1, logo J e J ′ são isotópicas.

A noção de isotopia não desempenha um papel importante na teoria de álgebras asso-ciativas pois álgebras associativas isotópicas são isomorfas. A saber, se A é uma álgebra

associativa unitária e a um elemento invertível de A, então definimos a a-multiplicaçãoem A como sendo x ·a y = xay. Segue que a a-isótopa (A,a) de A é isomorfa a A já

que a aplicação α : A → (A,a) dada por x 7→ xa−1 satisfaz:

α(x) ·a α(y) = (xa−1) ·a (ya−1) = xa−1aya−1 = xya−1 = α(xy)

é um isomorfismo. Quando considerarmos uma álgebra de Jordan associativa então aa-multiplicação é dada por

x ·a y = x,a,y = (xa)y+ x(ay) − a(xy) = xay+ xay− axy = xay

ou seja é a a-multiplicação definida para álgebras associativas, assim toda álgebra deJordan associativa e sua a-isótopa são isomorfas.

No contexto de álgebras de Jordan não associativas as isotopias fornecem uma rela-ção de equivalência mais ampla que isomorfismos. Veremos na Seção 7.2 que existemálgebras isotópicas que não são isomorfas.

A seguinte proposição fornece uma condição suficiente para álgebras isótopas seremisomorfas.

Proposição 7.5. [21, p.60] Se a é o quadrado de um elemento invertível então J e sua a-isótopa

(J,a) são isomorfas.

Em particular, se o corpo for algebricamente fechado todo elemento invertível temuma raiz quadrada:

Lema 7.6. [21, p.242] Se k é um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2 e k[a] é a álgebra

associativa e comutativa com unidade gerada por 1 e um elemento invertível a, então existe um

elemento invertível b em k[a] tal que b2 = a.

Combinando a Proposição 7.5 e o Lema 7.6 segue que se J é uma álgebra de Jordan

de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J éisomorfa a J.

O seguinte teorema fornece uma caracterização de quando uma aplicação é umaisotopia.

Teorema 7.7. [21, p.59] Uma aplicação α : J → J ′ é uma isotopia se e somente se α é bijetiva

e linear e existe um β ∈ Homk(J, J ′) tal que αUc = Uα(c)β para c ∈ J. Em particular, a

129

restrição de α ao conjunto dos elementos invertíveis de J é uma bijeção linear deste conjunto

sobre o conjunto de elementos invertíveis de J ′.

Considere o conjunto Γ(J) das isotopias de J sobre si mesma. Claramente Γ(J) é umgrupo de transformações lineares no espaço vetorial subjacente a J a qual chamaremos

de grupo de estrutura de J. Pode-se provar que Γ(J) é na realidade um grupo algébrico,veja [28, p.79]

Teorema 7.8. [21, p.60] J e qualquer isótopa (J,a) têm o mesmo grupo de estrutura.

Se α ∈ Γ(J) tal que α(1) = 1 então α é um isomorfismo de J sobre (J, 1) = J, logo α éum automorfismo de J. Segue que o grupo de automorfismo Aut(J) de J é o subgrupo

do grupo de estrutura Γ(J) que consiste de elementos que tem 1 como ponto fixo, i.e.,Aut(J) = StabΓ(J)(1).

Proposição 7.9. [33, Prop.7.2.1, p.223] Uma isótopa tem exatamente os mesmos elementos

triviais e invertíveis que a álgebra original:

x é trivial em (J,a) ⇔ x é trivial em J;

x é invertível em (J,a) ⇔ x é invertível em J,

com x(−1,a) = U−1a x−1.

Em particular, (J,a) é uma álgebra de divisão se e somente se J é uma álgebra de divisão.

7.2 classificação algébrica a menos de isotopia das

álgebras de jordan reais de dimensão 3

Nesta seção classificaremos as álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3 a menosde isotopia. Veremos que o número de álgebras obtidas é 9 estritamente menor ao

número de álgebras unitárias quando a classificação é feita a menos de isomorfismo.Isto prova que no cenário da álgebras de Jordan o conceito de isotopia fornece uma

relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo, a diferença do queacontece com as álgebras associativas onde ambos conceitos coincidem.

Se J e J ′ são duas álgebras de Jordan unitárias e isomorfas, então o isomorfismoentre elas é uma isotopia com elemento invertível a = 1, logo J e J ′ são isotópicas.

Então, a classificação algébrica feita no Capítulo 3 reduz o nosso problema a buscarisotopias entre as 10 álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3. Assim, dada T ′

uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica a alguma (nãonecessariamente uma) das álgebras T ′

i para i = 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 18.

130

Agora, segue do fato que álgebras associativas isotópicas são isomorfas que as álge-bras T ′

i para i = 1, 2, 9, 13, 18 são duas a duas não isotópicas e também não são isotópicas

a nenhuma das álgebras restantes.

Resta somente verificar se as álgebrasT ′3,T ′

4,T ′5,T ′

8,T ′11

são duas a duas isotópicas.

Segue da Proposição 7.5 que se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre

um corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J é isomorfa a J. Por outrolado, toda isotopia de R-álgebras pode ser estendida a uma isotopia de C-álgebras.

Logo, se duas R-álgebras de dimensão finita T e T ′ são isotópicas então as C-álgebrasT⊗R C e T ′ ⊗R C são isomorfas. Isto implica que as R-álgebras T ′

i e T ′j para i = 3, 4, 5 e

j = 8, 11 não são isotópicas, restando somente comparar os seguintes pares de álgebras:

T ′3 e T ′

5 T ′3 e T ′

4 T ′4 e T ′

5 T ′8 e T ′

11

Em T ′5 considere o elemento invertível a = e2 + e3 cujo inverso é b = e2

2 + e3

2 . Então aálgebra a-isótopa a T ′

5 é dada pelo produto

(

T ′5,a)

e1 e2 e3

e1 e2 + e3 e1 e1

e2 e1 e2 − e3 e2 + e3

e3 e1 e2 + e3 −e2 + e3

e é isomorfa a T ′3 com isomorfismo T : T ′

3 →(

T ′5,a)

dado por T(e1) = 12e2 + 1

2e3,T(e2) = − 1√

2e1 e T(e3) = −1

2e2+

12e3. Logo T e uma isotopia de T ′

3 sobre T ′5 e portanto

as álgebras T ′3 e T ′

5 são isotópicas e não-isomorfas.

Vamos agora comparar T ′3 (ou, equivalentemente, T ′

5) com T ′4. Observamos primei-

ramente que T ′4 é uma álgebra de divisão, i.e., é uma álgebra unitária cujos elementos

não nulos são todos invertíveis. Seja, então, a = αe1+βe2 +γe3 um elemento não nulo

de T ′4 com α,β,γ ∈ R e pelo menos um deles é não nulo, então a−1 = αe1

∆ − βe2

∆ − γe3

∆

onde ∆ = α2 +β2 + γ2 6= 0.

A álgebra a-isótopa a T ′4 é dada pelo produto

(

T ′4,a)

e1 e2 e3

e1 αe1 +βe2 + γe3 −βe1 + αe2 αe3 − γe1

e2 −βe1 +αe2 −αe1 −βe2 + γe3 −βe3 − γe2

e3 αe3 − γe1 −βe3 − γe2 −αe1 + βe2 − γe3

131


4 →(

T ′4,a)

dado por

T(e1) =α

∆e1 −

β

∆e2 −

γ

∆e3,

T(e2) =γ

√

(

β2 + γ2)

∆e2 −

β√

(

β2 + γ2)

∆e3,

T(e3) =

√

β2 + γ2

∆e1 +

αβ

∆√

β2 + γ2e2 +

αγ

∆√

β2 + γ2e3,

cujo determinante 1√∆3

é bem definido e não nulo. Logo toda isótopa de T ′4 é isomorfa

a T ′4. Portanto T ′

3 e T ′5 não são isotópicas a T ′

4.

Vejamos que também toda isótopa de T ′11 é isomorfa a T ′

11. Seja a = αe1 +βe2 +γe3

com α,β,γ ∈ R um elemento invertível de T ′11 então α e β não são ambos nulos. O

inverso de a é a−1 = αe1

∆− βe2

∆− γe3

∆onde ∆ = α2 +β2 6= 0.

A álgebra a-isótopa a T ′11 é dada pelo produto

(

T ′11,a

)

e1 e2 e3

e1 αe1 +βe2 + γe3 −βe1 + αe2 αe3

e2 −βe1 +αe2 −αe1 − βe2 + γe3 −βe3

e3 αe3 −βe3 0


11 →(

T ′11,a

)

dado por

T(e1) =α

∆e1 −

β

∆e2 −

γ

∆e3,

T(e2) =β

∆e1 +

α

∆e2,

T(e3) = e3,

cujo determinante é 1∆

que é não nulo e está bem definido já que ∆ 6= 0. Isto implica

que T ′8 não é isotópica a T ′

11.

Assim, provamos o seguinte resultado:

Teorema 7.10. Seja T ′ uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica

a uma e somente uma das álgebras T ′i para i = 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 18.

Na seguinte tabela reunimos e comparamos os resultados obtidos em relação à clas-

sificação algébrica das álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3, seja a menos deisomorfismo ou a menos de isotopia, sobre R ou sobre C.

132

nº de álgebras a menos de: sobre R sobre C

isomorfismo 10 6

isotopia 9 6

Tabela 7.1: Comparação do número de álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3

133

8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQU ISAS

FUTURAS

Durante a elaboração deste trabalho nos deparamos com novas questões ainda à se-rem respondidas. Neste capítulo indicaremos algumas possíveis direções para futuras

pesquisas nesta área.Primeiramente, acreditamos que seria interessante obter a classificação geométrica

completa das variedades Jor3, Jor4 e JorR3 . Se bem neste trabalho foram determinadas

todas as componentes irredutíveis de tais variedades, ainda resta determinar em média

2, 5% dos casos a existência ou não existência de deformação entre pares de álgebras.Estes casos são:

Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo

algebricamente fechado

T5?

99K T1, T5?

99K T3

T8?

99K T3

T9?

99K T3

T10?

99K T3

T19?

99K T3.

Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um corpo

algebricamente fechado

J42?

99K J70,J21

?99K J66, J21

?99K J70,

J10?

99K J61, J10?

99K J44, J10?

99K J63, J10?

99K J65,J11

?99K J61, J11

?99K J44, J11

?99K J63, J11

?99K J64, J11

?99K J65,

J12?

99K J69, J12?

99K J70,J13

?99K J66, J13

?99K J67, J13

?99K J68, J13

?99K J70, J13

?99K J58, J13

?99K J64,

J14?

99K J61, J14?

99K J63, J14?

99K J65,J15

?99K J61, J15

?99K J66, J15

?99K J68, J15

?99K J70, J15

?99K J44, J15

?99K J55,

J15?

99K J63, J15?

99K J64, J15?

99K J65,J16

?99K J66, J16

?99K J67, J16

?99K J68, J16

?99K J70, J16

?99K J48, J16

?99K J64,

135

J17?

99K J61, J17?

99K J44, J17?

99K J63, J17?

99K J65,J18

?99K J69, J18

?99K J70,

J23?

99K J61, J23?

99K J38, J23?

99K J62, J23?

99K J63, J23?

99K J65,J24

?99K J61, J24

?99K J38, J24

?99K J52, J24

?99K J62, J24

?99K J63, J24

?99K J65,

J25?

99K J61, J25?

99K J39, J25?

99K J52, J25?

99K J62, J25?

99K J63, J25?

99K J65,J51

?99K J61, J51

?99K J66, J51

?99K J63, J51

?99K J65,

J52?

99K J61, J52?

99K J66, J52?

99K J68, J52?

99K J63, J52?

99K J65,J53

?99K J61,

J44?

99K J67, J44?

99K J68,J45

?99K J61, J45

?99K J66, J45

?99K J67, J45

?99K J68, J45

?99K J70, J45

?99K J63,

J45?

99K J64, J45?

99K J65,J46

?99K J66, J46

?99K J67, J46

?99K J68, J46

?99K J70, J46

?99K J64,

J55?

99K J66, J55?

99K J67, J55?

99K J68, J55?

99K J70, J55?

99K J64,J56

?99K J66, J56

?99K J67, J56

?99K J68, J56

?99K J70, J56

?99K J64,

J57?

99K J61, J57?

99K J66, J57?

99K J67, J57?

99K J68, J57?

99K J70, J57?

99K J63,J57

?99K J64, J57

?99K J65,

J48?

99K J67, J48?

99K J68, J48?

99K J69, J48?

99K J70,J49

?99K J66, J49

?99K J67, J49

?99K J68, J49

?99K J69, J49

?99K J70, J49

?99K J64,

J50?

99K J67, J50?

99K J68, J50?

99K J69, J50?

99K J70,J58

?99K J67, J58

?99K J68, J58

?99K J69, J58

?99K J70,

J59?

99K J66, J59?

99K J67, J59?

99K J68, J59?

99K J69, J59?

99K J70, J59?

99K J64,J60

?99K J67, J60

?99K J68, J60

?99K J69, J60

?99K J70,

J6?

99K J61, J6?

99K J38, J6?

99K J47, J6?

99K J51, J6?

99K J52, J6?

99K J44,J6

?99K J45, J6

?99K J55, J6

?99K J57, J6

?99K J62, J6

?99K J63, J6

?99K J65,

J7?

99K J61, J7?

99K J39, J7?

99K J38, J7?

99K J54, J7?

99K J51, J7?

99K J52,J7

?99K J44, J7

?99K J45, J7

?99K J62, J7

?99K J63, J7

?99K J65,

J8?

99K J61, J8?

99K J54, J8?

99K J62, J8?

99K J63, J8?

99K J64, J8?

99K J65,J9

?99K J66, J9

?99K J67, J9

?99K J68, J9

?99K J69, J9

?99K J70, J9

?99K J42,

J9?

99K J64,

J1?

99K J61, J1?

99K J39, J1?

99K J38, J1?

99K J54, J1?

99K J27,J2

?99K J61, J2

?99K J66, J2

?99K J67, J2

?99K J68, J2

?99K J69, J2

?99K J70,

J2?

99K J43, J2?

99K J42, J2?

99K J63, J2?

99K J64, J2?

99K J65,J65

?99K J64.

Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo

dos números reais

T ′3

?99K T ′

18, T ′3

?99K T ′

23,

136

T ′4

?99K T ′

18, T ′4

?99K T ′

23, T ′4

?99K T ′

26

T ′5

?99K T ′

18, T ′5

?99K T ′

23,

T ′7

?99K T ′

23, T ′7

?99K T ′

24,

T ′8

?99K T ′

23, T ′8

?99K T ′

24,

T ′10

?99K T ′

24,

T ′11

?99K T ′

23, T ′11

?99K T ′

26,

T ′19

?99K T ′

23,

T ′20

?99K T ′

23.

Outra questão que surge naturalmente ao tentar determinar a não existência de de-

formação está relacionada aos invariantes geométricos. Sabemos como se comportam adimensão do grupo de automorfismos, do radical, aniquilador e das potências através

de uma deformação. Isto nos levou a pesquisar o comportamento de outros invariantestais como a dimensão do centro associador, do espaço dos 2-cociclos, dos 2-cobordos,

da segunda cohomologia e da subálgebra maximal satisfazendo uma identidade. O quenos motiva a perguntar se seria possível determinar outros invariantes.

No final do Capítulo 5 obtivemos algumas propriedades da variedade algébrica Jor5.

Conseguimos determinar que o número de componentes irredutíveis é maior ou iguala 26. Isto nos leva a questionarmos sobre a possibilidade de melhorar esta estimativa.

Mais ainda, seria possível obter a classificação algébrica e geométrica das álgebras deJordan de dimensão 5 sobre um corpo algebricamente fechado? Qual seria a dificuldade

que isto pode apresentar em relação ao número de álgebras e ao tempo computacionaldos programas desenvolvidos neste trabalho em dimensão 5? E também, será possível

classificar algébrica e geometricamente as álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre ocorpo dos números reais? Uma estimativa do número de álgebras e do número de

componentes irredutíveis em cada caso é dado na seguinte tabela.

JorR

n Jornn nº órbitas nº componentes nº órbitas nº componentes1 2 1 2 1

2 7 3 6 2

3 26 8 20 5

4 > 109 > 18 73 10

5 - - ≫ 223 > 26

Tabela 8.1: Número de órbitas e de componentes irredutíveis de Jorn e JorR

n

137

Outra propriedade apresentada no Capítulo 5 é o fato da soma direta de álgebrasrígidas ser rígida em Jorn para n 6 5. E ainda provamos que soma direta de álgebras

infinitesimalmente rígidas é infinitesimalmente rígida, em qualquer dimensão. Isto nosmotiva a perguntarmos se rigidez geométrica (respetivamente, analítica) é preservada

por soma direta em todas as dimensões. Mais ainda, quais operações preservam rigi-dez?

Por outro lado, varias das proposições apresentadas no Capítulo 4 tem como hipóte-ses o fato da variedade ter um número finito de órbitas. De fato as variedades Jorn tem

uma quantidade finita de órbitas para todo n 6 4. Isto nos leva a questionarmos se avariedade das álgebras de Jordan sempre apresenta um número finito de órbitas ou se

seria possível encontrar uma família infinita.Por último, quando consideramos álgebras de dimensão finita:

rigidez infinitesimal ⇒ rigidez analítica ⇒ rigidez geométrica,

e ainda se o corpo tiver característica zero então rigidez geométrica ⇒ rigidez analítica.

Na categoria das álgebras associativas, para corpos de característica positiva, todas asimplicações inversas foram provadas serem falsas mas, ainda permanece aberta a ques-

tão de se existe uma álgebra associativa, em char = 0, que seja analiticamente rígidamas tenha segundo grupo de cohomologia não nulo. Enquanto que, esta última sen-

tença, é verdadeira para álgebras de Lie. Mas, até o momento, nada se conhece emrelação ás álgebras de Jordan. A pergunta que surge naturalmente é se seria possí-

vel provar ou achar contraexemplos para álgebras de Jordan de dimensão finita dasseguintes implicações:

para um corpo k com char k > 0, rigidez geométrica ⇒ rigidez analítica?

sobre quais hipóteses rigidez analítica ⇒ rigidez infinitesimal?

sobre quais hipóteses rigidez geométrica ⇒ rigidez infinitesimal?

138

A PROGRAMAS EM MATHEMATICA

A seguir serão apresentados os algoritmos os quais são implementados utilizando osoftware Wolfram Mathematica versão 9.0.1.

a.1 define o produto de jordan na base canônica

Para o funcionamento dos seguintes programas devemos definir o produto de todas as

álgebras de dimensão 4, numa base fixa e1, e2, e3, e4, como feito no exemplo a seguir:

Álgebra J19

g[e1,e1,J19]= e1;

g[e2,e2,J19]=e2;

g[e3,e3,J19]= 0;

g[e4,e4,J19]=0;

g[e1,e2,J19]=g[e2,e1,J19]=0;

g[e1,e3,J19]=g[e3,e1,J19]=0;

g[e1,e4,J19]=g[e4,e1,J19]=0;

g[e2,e3,J19]=g[e3,e2,J19]=0;

g[e2,e4,J19]=g[e4,e2,J19]=0;

g[e3,e4,J19]=g[e4,e3,J19]=0;

Nomeamos as álgebras e as listamos de acordo com sua dimensão.

algdim1 = U1, U2;

algdim2 = B1, B2, B3, B4, B5, B6;

algdim3 = T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,

T12,T13,T14,T15,T16,T17,T18,T19,T20;

algdim4=J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7,J8,J9,J10,J11,J12

J14,J15,J16,J17,J18,J19,J20,J21,J22,J23,J24,J25,J26,J27,

J28,J29,J30,J31,J32,J33,J34,J35,J36,J37,J38,J39,J40,J41,

J42,J43,J44,J45,J46,J47,J48,J49,J50,J51,J52,J53,J54,J55,

139

J56,J57,J58,J59,J60,J61,J62,J63,J64,J65,J66,J67,J68,J69,

J70,J71,J72,J73;

A função dimensao[z] retorna a dimensão da álgebra z.

dimensao[z_] := Which[MemberQ[algdim1, z], 1,

MemberQ[algdim2, z], 2, MemberQ[algdim3, z], 3,

MemberQ[algdim4, z], 4]

Definimos a base da álgebra.

base = e1, e2, e3, e4;

Ingressando um elemento z da forma ae1 + be2 + ce3 + de4, a função paracan[z] re-torna um vetor da forma a,b, c,d. As funções paracan3 e paracan2 fazem o procedi-

mento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.

basecan=e1->1,0,0,0, e2->0,1,0,0,e3->0,0,1,0,

e4->0,0,0,1,0->0,0,0,0;

paracan[z_]:=z/.basecan;

basecan3=e1->1,0,0, e2->0,1,0,e3->0,0,1,0->0,0,0;

paracan3[z_]:=z/.basecan3;

basecan2=e1->1,0, e2->0,1,0->0,0;

paracan2[z_]:=z/.basecan2;

Reciprocamente, ingressando um vetor z da forma a,b, c,d, a função decan[z] retorna

um elemento da forma ae1 + be2 + ce3 + de4. As funções decan3 e decan2 fazem oprocedimento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.

decan[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,4],0];

decan3[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,3],0];

decan2[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,2],0];

Estendendo o Produto da Álgebra por Linearidade.

Ingressando dois elementos v e w da forma ae1+be2+ce3+de4, a função g[v,w,algebra]

retorna o produto deles na álgebra “algebra” na forma a,b, c,d. Analogamente g3 eg2 em dimensão 3 e 2 respetivamente.

140

g[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],

algebra],i,1,4,j,1,4]];

g3[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],

algebra],i,1,3,j,1,3]];

g2[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],

algebra],i,1,2,j,1,2]];

Ingressando dois elementos v e w da forma ae1+be2+ce3+de4, a função G[v,w,algebra]

retorna o produto deles na álgebra “algebra” na forma ae1 + be2 + ce3 + de4. Analo-gamente G3 e G2 em dimensão 3 e 2 respetivamente.

G[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,

decan[g[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

G3[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,

decan[g3[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

G2[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,

decan[g2[paracan[v],paracan[w],algebra]]];

a.2 verifica se duas álgebras são isomorfas

Ingressando um elemento z da forma ae1 + be2 + ce3 + de4, a função TEF[z] troca a

base ei por fi.

TEF[z_]:=z/.e1->f1, e2->f2,e3->f3,e4->f4;

Ingressando duas álgebras de dimensão 4 z e w, a função Relacoes[z,w] gera as condi-ções nos elementos da base para duas álgebras serem isomorfas. As funções Relacoes3

e Relacoes2 realizam um procedimento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.

Relacoes[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+

G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],w]],i,1,4,j,1,4],2]]]]

141

Relacoes3[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G3[base[[i]],base[[j]],z]]+


Relacoes2[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[

Table[Simplify[-TEF[G2[base[[i]],base[[j]],z]]+


A função isomorfismo[z,w] retorna um isomorfismo entre as álgebras z e w, se existir.

isomorfismo[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes[alg1,alg2]==0,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];matriz=a11,a12,a13,a14,

a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];

grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];

grupodeisomorfismo=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeisomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeisomorfismo]]]]

A função Qisomorfas[z,w] retorna True ou False se duas álgebras z e w são ou não

isomorfas.

Qisomorfas[z1_,z2_]:=Block[,

sol=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes[z1,z2]==0,

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,

a41,a42,a43,a44]]];

matriz=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,

a41,a42,a43,a44;

semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];

grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];

grupodeisomorfismo2=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];

If[grupodeisomorfismo2===,False,True]]

a.3 verifica se uma álgebra é de jordan, flexível,

associativa, e/ou alternativa.

Definimos quatro elementos arbitrários de uma álgebra.

142

um=a1*e1+a2*e2+a3*e3+a4*e4;

dois=b1*e1+b2*e2+b3*e3+b4*e4;

tres=c1*e1+c2*e2+c3*e3+c4*e4;

quatro=d1*e1+d2*e2+d3*e3+d4*e4;

Definimos o associador dos elementos x, y e z de uma álgebra alg.

Ass[x_,y_,z_,alg_]:=G[G[x,y,alg],z,alg]-G[x,G[y,z,alg],alg]

A função Jor[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é deJordan.

Jor[alg_]:=Block[z=alg,bla4=Simplify[Ass[G[um,um,z],dois,um,z]];

If[bla4===0,Print[ToString["É uma álgebra de Jordan."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra de Jordan."]]]]

A função LinearJord[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg

satisfaz a linearização da identidade de Jordan.

LinearJord[alg_]:=Block[z=alg,

ba6=Simplify[Ass[G[um,dois,z],tres,quatro,z]+

Ass[G[um,quatro,z],tres,dois,z]+Ass[G[dois,quatro,z],tres,um,z]];

If[ba6===0,Print[ToString["Satisfaz a linearização

da identidade de Jordan."]],

Print[ToString["NÃO satisfaz a linearização da identidade

de Jordan."]]]]

A função Asso[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é asso-

ciativa.

Asso[alg_]:=Block[z=alg,bla5=Simplify[Ass[um,dois,tres,z]];

If[bla5===0, Print[ToString["É uma álgebra associativa."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra associativa."]]]]

A função AltD[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é alter-

nativa à direita.

AltD[alg_]:=Block[z=alg,bla1=Simplify[Ass[um,um,dois,z]];

If[bla1===0,

Print[ToString["É uma álgebra alternativa à direita."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à direita."]]]]

143

A função AltE[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é alter-nativa à esquerda.

AltE[alg_]:=Block[z=alg,bla2=Simplify[Ass[um,dois,dois,z]];

If[bla2===0,Print[ToString["É uma álgebra alternativa à esquerda."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à esquerda."]]]]

A função Flex[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é flexí-

vel.

Flex[alg_]:=Block[z=alg,bla3=Simplify[Ass[um,dois,um,z]];

If[bla3===0,Print[ToString["É uma álgebra flexível."]],

Print[ToString["NÃO é uma álgebra flexível."]]]]

No caso que a álgebra z não seja de Jordan, a função Jor2[z] mostra quais produtos(x2,y, x) são não nulos

Jor2[z_] := Table[Simplify[ Ass[G[base[[i]], base[[i]], z],

base[[j]], base[[i]], z]], i, 1, 4, j, 1, 4]

A função Jordan[z] resolve as condições (RelacoesJor[z]) para que a álgebra z satis-faça a linearização da identidade de Jordan

RelacoesJor[z_] := DeleteDuplicates[ Flatten[paracan[ Flatten[

Table[ Simplify[ Ass[G[base[[i]], base[[j]], z],

base[[k]], base[[l]], z] + Ass[G[base[[i]], base[[l]], z],

base[[k]], base[[j]], z] + Ass[G[base[[j]], base[[l]], z],

base[[k]], base[[i]], z]], i, 1, 4, j, 1, 4, k, 1, 4,

l, 1, 4], 2]]]]

Jordan[z_] := Simplify[DeleteDuplicates[Solve[RelacoesJor[z] == 0]]]

a.4 verifica se uma álgebra é unitária

A função Unidade[alg] verifica se a álgebra alg possui o não uma unidade, no caso

que possua retorna a unidade.

Unidade[alg_]:=Block[vet=a1,a2,a3,a4,

unidade:=Solve[Table[paracan[G[decan[vet],

144

base[[i]],alg]]-

paracan[base[[i]]]==0,i,1,4],vet],

If[unidade===,

Print["A álgebra não possui unidades."];,

Print["É uma álgebra Unitária.

Unidade:"<>ToString[decan[

Flatten[vet/.unidade,1]]]];]];

a.5 verifica se é subálgebra.

A função subalgebradim34[z,w] retorna se a álgebra z de dimensão 3 é uma subálgebrada álgebra w de dimensão 4.

subalgebradim34[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol1=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes3[alg1,alg2]==0,

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];

matriz1=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34;

semdup1=DeleteDuplicates[Simplify[matriz1/.sol1]];

esubalgebra=Select[semdup1,MatrixRank[#]==3&];];

A função sub34[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 3 da álgebra z

de dimensão 4.

sub34[z_]:=Table[Block[alg=z,

subalgebradim34[algdim3[[i]],alg];

If[esubalgebra=!=,Print[Style["A álgebra

"<>ToString[algdim3[[i]]]<>

"é uma subálgebra de dimensão 3 da álgebra "<>

ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]], i,1,Length[algdim3]]

DeleteCases[listasub34[z_]:=Table[Block[alg=z,


If[esubalgebra=!=,algdim3[[i]],0]],i,1,Length[algdim3]],0]

A função subalgebradim24[z,w] retorna se a álgebra z de dimensão 2 é uma subálgebrada álgebra w de dimensão 4.

subalgebradim24[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,

sol2=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes2[alg1,alg2]==0,

145

a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,

a44]]];

matriz2=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24;


esubalgebra2=Select[semdup2,MatrixRank[#]==2&];];

A função sub24[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 2 da álgebra z

de dimensão 4.

sub24[z_]:=Table[Block[alg=z,


If[esubalgebra2=!=,

Print[Style["A álgebra "<>ToString[algdim2[[i]]]<>

"é uma subálgebra de dimensão 2 da álgebra "

<>ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]],i,1,Length[algdim2]]

a.6 calcula a dimensão do aniquilador de uma ál-

gebra

A função ann[alg] retorna a dimensão do aniquilador da álgebra alg.

ann[alg_]:=4-Length[Flatten[Solve[Table[paracan[

Simplify[G[um,base[[i]],alg]]],i,1,4]==0,

a1,a2,a3,a4]]]

a.7 calcula a dimensão das potências

A função produto2[u1,u2,w] retorna todas as palavras de comprimento 2 que podem-

se formar com os elementos u1 e u2 na álgebra w.

produto2[u1_,u2_,w_]:=paracan[G[u1,u2,w]];

A função produto3[u1,u2,u3,w] retorna todas as palavras de comprimento 3 que podem-

se formar com os elementos u1, u2 e u3 na álgebra w.

produto3[u1_,u2_,u3_,w_]:=paracan[G[G[u1,u2,w],u3,w]],

paracan[G[u3,G[u1,u2,w],w]];

146

A função produto4[u1,u2,u3,u4,w] retorna todas as palavras de comprimento 4 quepodem-se formar com os elementos u1, u2, u3 e u4 na álgebra w.

produto4[u1_,u2_,u3_,u4_,w_]:=paracan[G[G[G[u1,u2,w],u3,w],u4,w]],

paracan[G[G[u3,G[u1,u2,w],w],u4,w]],

paracan[G[u4,G[G[u1,u2,w],u3,w],w]],

paracan[G[u4,G[u3,G[u1,u2,w],w],w]],

paracan[G[G[u1,u2,w],G[u3,u4,w],w]]

A função Potencia2[w] retorna a dimensão da segunda potencia da álgebra w.

Potencia2[w_]:=MatrixRank[Flatten[Table[Simplify[

produto2[base[[i]],base[[j]],w]],

i,1,4,j,1,4],1]];

A função Potencia3[w] retorna a dimensão da terceira potencia da álgebra w.


produto3[base[[i]],base[[j]],base[[k]],w]],

i,1,4,j,1,4,k,1,4],3]];

A função Potencia4[w] retorna a dimensão da quarta potencia da álgebra w.


produto4[base[[i]],base[[j]],base[[k]],base[[l]],w]],

i,1,4,j,1,4,k,1,4,l,1,4],4]];

a.8 calcula a dimensão do grupo de automorfismo

A função Relacoes7[z] gera as condições para uma aplicação ser um automorfismo da

álgebra z.

Relacoes7[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[

paracan[Flatten[Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+

G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],z]],i,1,4,j,1,4],2]]]]]

Testemono[x_]:=If[Length[Variables[x]]==1,

147

If[Length[MonomialList[x]]==1,Variables[x][[1]],0],0]

nul[z_]:=DeleteCases[DeleteDuplicates[Table[

Testemono[Relacoes7[z][[i]]],i,1,Length[Relacoes7[z]]]],0]

anul[z_]:=DeleteDuplicates[Table[Testemono[Relacoes7[z][[i]]]->0,

i,1,Length[Relacoes7[z]]]]

Relacoes8[z_]:=Union[Relacoes7[z]/.anul[z],nul[z]]

A função dim[z] retorna a dimensão do grupo de automorfismos da álgebra z.

dim[z_]:=Block[alg=z,sol5=DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes7[alg]==0]];

matriz5=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

solnot0=Select[sol5,Det[matriz5/.#]=!=0&];

dimensao=Max[Table[16-Length[solnot0[[i]]],

i,1,Length[solnot0]]];

dim2[z_]:=Block[alg=z,sol7=DeleteDuplicates[

Simplify[Solve[Relacoes8[alg]==0]]];

matriz7=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;

solnot02=Select[sol7,Simplify[Det[matriz7/.#]]=!=0&];

dimensao2=Max[Table[16-Length[solnot02[[i]]],

i,1,Length[solnot02]]];

A função grupo[z] retorna o grupo de automorfismos da álgebra z.

grupo[z_]:=If[z===J43,

Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes7[alg]==0]]];

matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;


grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],

i,1,Length[semdup6]];

grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]],

Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[

148

Solve[Relacoes8[alg]==0]]];

matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,

a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;


grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],

i,1,Length[semdup6]];

grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];

Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],

i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]]]

a.9 calcula a dimensão de h2 .

Definimos genericamente um 2-cociclo h : J× J → J nos elementos da base.

g[e1,e1,H]=a111*e1+a112*e2+a113*e3+a114*e4;

g[e2,e2,H]=a221*e1+a222*e2+a223*e3+a224*e4;

g[e3,e3,H]=a331*e1+a332*e2+a333*e3+a334*e4;

g[e4,e4,H]=a441*e1+a442*e2+a443*e3+a444*e4;

g[e1,e2,H]=g[e2,e1,H]=a121*e1+a122*e2+a123*e3+a124*e4;






Definimos genericamente uma aplicação linear U : J → J que implica que um 2-cociclo

é equivalente a 0, nos elementos da base.

u[e1,J]=u11*e1+u12*e2+u13*e3+u14*e4;

u[e2,J]=u21*e1+u22*e2+u23*e3+u24*e4;

u[e3,J]=u31*e1+u32*e2+u33*e3+u34*e4;

u[e4,J]=u41*e1+u42*e2+u43*e3+u44*e4;

Estendemos U por linearidade.

u[v_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*u[base[[i]],

algebra],i,1,4]];

U[v_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ,0,decan[u[paracan[v],algebra]]];

149

As condições para uma aplicação bilinear h ser um 2-cociclo de Jordan são:

h(a,b) = h(b,a)

(h(a,a)b)a+ h(a2b,a) + h(a2,b)a = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba)Linearizando completamente estas condições temos:

(h(x,y)b)z+(h(x, z)b)y+(h(y, z)b)x+h((xy)b, z)+h((xz)b,y)+h((yz)b, x)+h(xy,b)z+

h(xz,b)y+h(yz,b)x = (xy)h(b, z)+ (xz)h(b,y)+ (yz)h(b, x)+h(x,y)(bz)+h(x, z)(by)+h(y, z)(bx) + h(xy,bz) + h(xz,by) + h(yz,bx)

A função Relacoes5[z] gera as condições linearizadas (nos elementos da base) quedeve satisfazer a aplicação bilinear h para ser um 2-cociclo de Jordan da álgebra z.

Relacoes5[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[

paracan[Flatten[Table[Simplify[G[G[G[base[[i]],base[[j]],H],

base[[l]],z],base[[m]],z]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[j]],z]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[i]],z]+

G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],z],base[[m]],H]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[j]],H]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[i]],H]+

G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],H],base[[m]],z]+

G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[j]],z]+

G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[i]],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],H],z]-

G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],H],z]-

G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],H],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],H],G[base[[l]],base[[m]],z],z]-

G[G[base[[i]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[j]],z],z]-

G[G[base[[j]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[i]],z],z]-

G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],z],H]-

G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],z],H]-

G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],z],H]],

i,1,4,j,1,4,m,1,4,l,1,4],2]]]]];

A função Relacoes71[z] gera as relações que deve satisfazer um 2-cociclo da álgebra z

para ser equivalente a 0, ou seja para ser um 2-cobordo.

Relacoes71[z_] := Simplify[DeleteDuplicates[ Flatten[paracan[

Flatten[Table[ Simplify[+U[G[base[[i]], base[[j]], z], J] -

G[base[[i]], U[base[[j]], J], z] - G[U[base[[i]],J],base[[j]],z]],

i, 1, 4, j, 1, 4], 2]]]]];

150

Calcula a dimensão dos 2-cobordos

A função dimB2[z] retorna a dimensão do espaço dos 2-cobordos da álgebra z com

coeficientes em z.

dimB2[z_] := Length[Flatten[ Simplify[ DeleteDuplicates[ Solve[

Relacoes71[z] == 0, u11, u12, u13, u14, u21, u22, u23, u24,

u31, u32, u33, u34, u41, u42, u43, u44]]], 1]]

Calcula a dimensão dos 2-cociclos

A função dimZ2[z] retorna a dimensão do espaço dos 2-cociclos da álgebra z com

coeficientes em z.

dimZ2[z_] := 40 - Length[ Flatten[Simplify[ DeleteDuplicates[

Solve[Relacoes5[z] == 0, a111, a112, a113, a114, a121, a122, a123,

a124, a131, a132, a133, a134, a141, a142, a143, a144, a211, a212,

a213, a214, a221, a222, a223, a224, a231, a232, a233, a234, a241,

a242, a243, a244, a311, a312, a313, a314, a321, a322, a323, a324,

a331, a332, a333, a334, a341, a342, a343, a344, a411, a412, a413,

a414, a421, a422, a423, a424, a431, a432, a433, a434, a441, a442,

a443, a444]]]]]

Calcula a dimensão de H2

A função dimH2[z] retorna a dimensão do segundo grupo de cohomologia da álgebra

z com coeficientes em z.

dimH2[z_] := dimZ2[z] - dimB2[z]

a.10 calcula a dimensão do centro associador

A função ZAssociador[alg] retorna a dimensão do centro associador da álgebra alg.

ZAssociador[alg_] := 4 - Length[ Flatten[Solve[ Table[paracan[

Simplify[Ass[um, base[[i]], base[[j]], alg],

Ass[base[[i]], um, base[[j]], alg],

151

Ass[base[[i]], base[[j]], um, alg]]],

i, 1, 4, j, 1, 4] == 0, a1, a2, a3, a4]]]

a.11 realiza a soma direta de álgebras de jordan;

A função Soma31[x,y] gera uma nova álgebra que é a soma direta da álgebra x de

dimensão 3 e a álgebra y de dimensão 1.

mais[x_,y_]:=ToString[x]<>"+"<>ToString[y];

Soma31[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==3)

&&(dimensao[y]==1),

g[e1,e1,mais[x,y]]=g[e1,e1,x];



g[e4,e4,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e4];







g[e1,e4,mais[x,y]]=g[e4,e1,mais[x,y]]=0;

g[e2,e4,mais[x,y]]=g[e4,e2,mais[x,y]]=0;

g[e3,e4,mais[x,y]]=g[e4,e3,mais[x,y]]=0;]

A função Soma22[x,y] gera uma nova álgebra que é a soma direta da álgebra x dedimensão 2 e a álgebra y de dimensão 2.

Soma22[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==2)&&(dimensao[y]==2),



g[e3,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e3,e2->e4];




g[e1,e3,mais[x,y]]=0;


152








g[e4,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e2,e1,y],e1->e3,e2->e4];]

Geramos todas as álgebras que são soma direta de uma álgebra de dimensão 3 com

uma álgebra de dimensão 1.

algebras31=Flatten[Table[mais[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],

i,1,Length[algdim3],j,1,Length[algdim1]]];

geraalgebras31=Flatten[Table[Soma31[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],


Geramos todas as álgebras que são soma direta de duas álgebras de dimensão 2.

algebras22=Flatten[Table[mais[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],


geraalgebras22=Flatten[Table[Soma22[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],


Geramos uma lista de todas as álgebras decomponíveis de dimensão 4.

algebradim4soma=Union[algebras31,algebras22];

a.12 decompõe uma álgebra em soma direta

A função Decomp2[z] compara a álgebra z com todas as álgebras decomponíveis de

dimensão 4 procurando isomorfismos entre elas.

Decomp2[z_]:=DeleteCases[Table[If[

Qisomorfas[z,algebradim4soma[[i]]],algebradim4soma[[i]],0],

i,1,Length[algebradim4soma]],0]

A função Decomp[z] retorna se a álgebra z é decomponível ou indecomponível. No casoque seja decomponível retorna sua decomposição.

153

Decomp[z_]:=Block[dec=Decomp2[z], If[dec===,

Print["A álgebra é indecomponível"],

Print["A álgebra se decompoe como:" ]

Print[dec]]]

a.13 exibe o produto da álgebra

A função Exibir[z] exibe o produto da álgebra z na forma matricial.

Exibir[z_]:=Which[MemberQ[Union[algdim4,algebradim4soma],z],

Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,4,j,1,4],

MemberQ[algdim3,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,3,j,1,3],

MemberQ[algdim2,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,2,j,1,2],

MemberQ[algdim1,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,1,j,1,1]]

//MatrixForm

a.14 exibe resumo das propriedades da álgebra

A função Todo[z] exibe o resumo de todas as propriedades da álgebra z:produto na

forma matricial, se é de Jordan, associativa, não associativa, unitária, qual é a unidade,indecomponível, decomponível e qual é a sua decomposição, a dimensão do grupo de

automorfismos, o grupo de automorfismos, a dimensão do aniquilador, subálgebras dedimensão 2 e 3, dimensão do centro associador, dimensão de J2, J3 e J4, dimensão do

espaço de 2-cociclos, 2-cobordos e da segunda cohomologia.

Todo[z_]:=Block[alg=z,

Print[Style["Álgebra "<>ToString[alg],"Section"]];

Print[Style["O produto na álgebra é "produtomatricial[alg],

"SubSection"]];

Jor[alg];

Asso[alg];

AltD[alg];

AltE[alg];

Flex[alg];

Unidade[alg];

Print[Style["A dimensão do grupo de automorfismos é

154

"<>ToString[dim2[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["O grupo de automorfismos é ","SubSection"]];grupo[alg]

Print[Style["A dimensão do aniquilador da álgebra é

"<>ToString[ann[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão de "<>ToString[alg]<>"^2 é

"<>ToString[Potencia2[alg]]<>".","SubSection"]];





Decomp[alg];

sub34[alg];

sub24[alg];

Print[Style["A dimensão do centro associador é

"<>ToString[ZAssociador[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão do grupo de 2-cociclos é

"<>ToString[dimZ2[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão do grupo de 2-cobordos é

"<>ToString[dimB2[alg]]<>".","SubSection"]];

Print[Style["A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é

"<>ToString[dimH2[alg]]<>".","SubSection"]];]

155

B I NFORMAÇÕES SOBRE AS ÁLGEBRAS DE JOR-

DAN DE D IMENSÃO 4

Lembramos que as álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um corpo k algebricamentefechado, Ji, foram obtidas na Seção 2.2 e que as álgebras de Jordan indecomponíveis

de dimensão 2 e 3 são:

Tabela B.1: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B Tabela de Multiplicação

B1 e21 = e1 e1n1 = n1 n21 = 0

B2 e21 = e1 e1n1 = 12n1 n2

1 = 0

B3 n12 = n2 n1n2 = 0 n2

2 = 0

Tabela B.2: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3

T Tabela de Multiplicação

T1e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

T2e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

T3n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = n3 n1n3 = 0 n2n3 = 0

T4n21 = n2 n2

2 = 0 n23 = 0

n1n2 = 0 n1n3 = n2 n2n3 = 0

T5e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2

e1e2 = 0 e1e3 = 12e3 e2e3 = 1

2e3

T6e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

T7e21 = e1 n2

1 = 0 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 1

2n2 n1n2 = 0

T8e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = 0 n1n2 = 0

157

T Tabela de Multiplicação

T9e21 = e1 n2

1 = n2 n22 = 0

e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0

T10e21 = e1 e22 = e2 n2

1 = 0

e1e2 = 0 e1n1 = 12n1 e2n1 = 1

2n1

Todas as álgebras desta seção são apresentadas na base e1, e2, e3, e4.

álgebra J1

O produto na álgebra é:

J1 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0e42

e3 0 0 e3 0

e4e42

e42 0 e1 + e2

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3. A dimensão dogrupo de automorfismos é 1. O grupo de automorfismos é:

1+a44

21−a44

2 0

√

1−a244

21−a44

21+a44

2 0 − 12

√

1−a244

0 0 1 0

−√

1−a244

√

1−a244 0 a44

,

1+a44

21−a44

2 0 − 12

√

1−a244

1−a44

21+a44

2 0

√

1−a244

2

0 0 1 0√

1−a244 −

√

1−a244 0 a44

,

1−a44

21+a44

2 0 − 12

√

1−a244

1+a44

21−a44

2 0

√

1−a244

2

0 0 1 0

−√

1−a244

√

1−a244 0 a44

,

1−a44

21+a44

2 0

√

1−a244

21+a44

21−a44

2 0 − 12

√

1−a244

0 0 1 0√

1−a244 −

√

1−a244 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T5 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, B1 ⊕ ke2, T5,

158

ke1⊕kn1, B1 e ke1⊕ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da órbitaé 15. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4.

A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupode 2-cobordos é 15. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão

da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximalé 0. A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.

álgebra J2


J2 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 0

e1+e22

e4e42

e42

e1+e22 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 3. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra

rígida. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T5, T10, B1, B2

e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da órbita é 13. Adimensão do centro associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A

dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da

subálgebra associativa maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0.A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.

álgebra J3


J3 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4 0 0 0 e4

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3 + e4. A dimensão dogrupo de automorfismos é 0. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra

rígida. A álgebra se decompõe como: ke1⊕ke2 ⊕ke3 ⊕ke4. Subálgebras de dimensão:2 e 3 : ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão

da órbita é 16. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensãode J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão

159

do grupo de 2-cobordos é 16. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. Adimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente

maximal é 0. A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.

álgebra J4


J4 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 e4

e4 0 0 e4 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1+e2+e3. A dimensão do grupo deautomorfismos é 1. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe

como: B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, B1 ⊕ ke2,ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1, B1 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A

dimensão da órbita é 15. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos

é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 15. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da

subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.

álgebra J5


J5 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 1.

O grupo de automorfismos é:

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 a44

,

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

0 0 0 a44

,

160

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ ke2 ⊕ke3⊕kn1. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕ke3, ke1⊕ke2⊕kn1, ke1⊕kn1

e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da órbita é 15. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A



álgebra J6


J6 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e3 0

e4e42 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra

se decompõe como: B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3,ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 ,B2 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpo-

tente é 1. A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 2. A dimensãode J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-

cociclos é 14. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupode Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão

da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.

álgebra J7


J7 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0e42

e3 0 0 e3 0

e4e42

e42 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3. A dimensão do

161

grupo de automorfismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra sedecompõe como: T10 ⊕ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ke2⊕ke3, B1 ⊕ke2,

T10, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1, B1, B2 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1.A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é

4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de

Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.

álgebra J8


J8 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 e1 + e2 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-

fismos é 2.


1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 01−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 0√

1−a233 −

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 01+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

,

162

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T5 ⊕ kn1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕kn1, B1⊕kn2, T5, ke1⊕kn1, B1, ke1⊕ke2

e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da órbita é 14. Adimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A



álgebra J9


J9 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 e1 + e2 0

e4e42

e42 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 4.


1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 −a24

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 a24

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 −a24

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 a24

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 −a24

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 a24

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 −a24

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 a24√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

163

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 01+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2

√

1−a233

2 01−a33

21+a33

2 − 12

√

1−a233 0

−

√

1−a233

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

1+a33

21−a33

2 − 12

√

1−a233 0

1−a33

21+a33

2

√

1−a233

2 0√

1−a233 −

√

1−a233 a33 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 a34

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 a34

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras

de dimensão 2 e 3: T2, T5,T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radicalnilpotente é 1. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 1. A

dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do

segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula

maximal é 2.

álgebra J10


J10 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2 0 0

e3e32 0 0 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 3.

164


1 0 a13 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ ke2 ⊕kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B2 ⊕ ke2,

B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é2. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2

é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de


álgebra J11


J11 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 0

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4 0 0 0 0


fismos é 3.O grupo de automorfismos é:

0 1 −a23 0

1 0 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T10 ⊕ kn2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B1 ⊕ kn2, T10, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,

B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão

de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A

165

dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.

álgebra J12


J12 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2 0 0

e3e32 0 0 0

e4e42 0 0 0



1 0 a13 a14

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T7 ⊕ ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T7, B2 ⊕ ke2,

ke1 ⊕ kn1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A di-mensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A

dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 10. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão do segundo grupo de Cohomolo-

gia é 0. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebranilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.

álgebra J13


J13 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2e32 0

e3 0e32 0 0

e4e42 0 0 0


166


0 1 a13 0

1 0 0 a24

0 0 0 a34

0 0 a43 0

,

1 0 0 a14

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-

põe como: B2⊕B2. Subálgebras de dimensão: 2 e 3: T7, B2⊕ke2, B2⊕kn2, ke1⊕kn1,B2, ke1⊕ke2 e kn1⊕kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita

é 12. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4.A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo

de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensãoda subálgebra associativa maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal

é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.

álgebra J14


J14 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 3.


1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T6 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T6, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1,




167

álgebra J15


J15 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 e3 0

e3 0 e3 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 3.


1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ B1.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, B1⊕kn2, T6, B2⊕ke2, B2 ⊕kn2, ke1⊕kn1,B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da

órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensãode J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 14. A dimensão

do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. Adimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente

maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.

álgebra J16


J16 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 4.


1 0 −a23 a14

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 a14

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

168

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é indecom-ponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T6, T7, T10, B2 ⊕ ke2, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,




álgebra J17


J17 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32 e4

e2 0 e2e32 0

e3e32

e32 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo

de automorfismos é 3.


1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T2, T6, T10, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, B2, ke1 ⊕ ke2




169

álgebra J18


J18 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0e32

e42

e2 0 e2e32

e42

e3e32

e32 0 0

e4e42

e42 0 0


de automorfismos é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 6.O grupo de automorfismos é:

0 1 −a23 −a24

1 0 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 −a23 −a24

0 1 a23 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 0 −a24

1 0 0 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 −a24

0 1 0 a24

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 −a23 0

1 0 a23 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 −a23 0

0 1 a23 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, T7, T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical

nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é 1. Adimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do

grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é

3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.

álgebra J19


J19 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0

170



0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ ke2 ⊕kn1 ⊕ kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, ke1 ⊕kn1, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão



álgebra J20


J20 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 e4

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4 e4 0 0 0



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ ke2 ⊕kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, ke1⊕ke2⊕kn1, B1⊕kn2, ke1⊕kn1⊕kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. Adimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é


171


álgebra J21


J21 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 e4

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 4.


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T2 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, T2, ke1⊕kn1⊕kn2, ke1⊕kn1, B1, ke1⊕ke2




álgebra J22


J22 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 e2 0 e4

e3 e3 0 0 0

e4 0 e4 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 2.

172


0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 a34

0 0 a43 0

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ B1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T2, B1 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2




álgebra J23


J23 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 a214 a14

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T8 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B3 ⊕ ke1, T8, ke1 ⊕ kn1, ke1 ⊕ ke2

e B3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensãodo centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão

de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da


173

álgebra J24


J24 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3

É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de auto-morfismos é 2.


1 0 −a214 a14

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 −2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T9 ⊕ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, B3⊕ke1, T9, ke1 ⊕kn1,

B1, ke1 ⊕ ke2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14.A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A



álgebra J25


J25 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3e42

e2 0 e2 0e42

e3 e3 0 0 0

e4e42

e42 0 e3


de automorfismos é 2.


1 0 −a224 −a24

0 1 a224 a24

0 0 a244 0

0 0 2a24a44 a44

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

174

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T1, T8, T9, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 e B3. A dimensão

do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associadoré 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão

do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é


álgebra J26


J26 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 e2 0 0

e3 0 0 e4 0

e4 0 0 0 0

É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-

mos é 2.


0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ ke1 ⊕ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1, ke1 ⊕ ke2




175

álgebra J27


J27 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 e4

e2 0 e2 0 0

e3 e3 0 e4 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo de

automorfismos é 2.


1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 a33 a34

0 0 0 a233

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ ke2.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T1, B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 eB3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensão

do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensãode J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-

cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão dasubálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.

A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.

álgebra J28


J28 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 6.


1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

176

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ kn2 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, B2 ⊕ kn2,

ke1 ⊕ kn1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão daórbita é 10. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 2. A dimensão



álgebra J29


J29 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 4.


1 0 0 a14

0 a22 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T6 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,

B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12.A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A



177

álgebra J30


J30 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 7.


1 a12 0 a14

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T7 ⊕ kn3.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T7, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2 ekn1⊕kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 9. A dimensão




álgebra J31


J31 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 6.


1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

178

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do

radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão



álgebra J32


J32 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 7.


1 a12 0 a14

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, T7, B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do




179

álgebra J33


J33 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22

e32

e42

e2e22 0 0 0

e3e32 0 0 0

e4e42 0 0 0



1 a12 a13 a14

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é inde-componível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T7, B2 e kn1 ⊕ kn2. A

dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 4. A dimensão do centroassociador é 0. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4.

A dimensão do grupo de 2-cociclos é 4. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 4. Adimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associa-

tiva maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 3.

álgebra J34


J34 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0



1 0 0 0

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

180

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ kn1 ⊕kn2 ⊕ kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, ke1 ⊕kn1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 7. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 1. A



álgebra J35


J35 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 5.


1 0 0 0

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ kn2 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3,

ke1 ⊕ kn1, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão daórbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão



181

álgebra J36


J36 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 0

É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1. A dimensão do grupo de auto-

morfismos é 9.


1 0 0 0

0 a22 a23 a24

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44


de dimensão 2 e 3: T2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 7. A dimensão do centro associador é 4. A



maximal é 3.

álgebra J37


J37 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 0

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 5.


1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

182

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T2 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T2, B1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1 e

kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A



álgebra J38


J38 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 e2


mos é 3.


1 0 0 0

0 a244 2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T3 ⊕ ke1. Su-bálgebras de dimensão 2 e 3: T3, ke1⊕kn1 ⊕kn2, ke1 ⊕kn1 e kn1⊕kn2. A dimensão




183

álgebra J39


J39 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 e3

e3 e3 0 0 0

e4 e4 e3 0 e2


morfismos é 3.O grupo de automorfismos é:

1 0 0 0

0 a244 2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, T3, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A

dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos



álgebra J40


J40 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e2


mos é 5.O grupo de automorfismos é:

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ ke1 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1,

184

kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A



álgebra J41


J41 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 e2 0

e4 0 0 0 e2



1 0 0 0

0 a243 +a2

44 0 0

0 a32 −a44 a43

0 a42 a43 a44

,

1 0 0 0

0 a243 +a2

44 0 0

0 a32 a44 −a43

0 a42 a43 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 −a44 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a44 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: T4 ⊕ ke1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T4, ke1 ⊕ kn1, kn1 ⊕ kn2




185

álgebra J42


J42 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 e4 0 0 e2


morfismos é 5.


1 0 0 0

0 a244 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 a43 a44


de dimensão 2 e 3: T1, T2, B3 ⊕ kn3, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A



maximal é 2.

álgebra J43


J43 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 e4

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 e2 0

e4 e4 0 0 e2


morfismos é 4.


1 0 0 0

0 a233 +a2

34 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 a34 −a33

,

1 0 0 0

0 a233 +a2

34 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 −a34 a33

,

186

1 0 0 0

0 a233 +a2

43 0 0

0 a32 a33 −a43

0 a42 a43 a33

,

1 0 0 0

0 a233 +a2

43 0 0

0 a32 a33 a43

0 a42 a43 −a33

1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 0 −a33

,

1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 a42 0 a33

,

1 0 0 0

0 a243 0 0

0 a32 0 −a43

0 a42 a43 0

,

1 0 0 0

0 a243 0 0

0 a32 0 a43

0 a42 a43 0

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T1, T2, T4, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é

3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2

é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos



álgebra J44


J44 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T8, ke1 ⊕ kn1, kn1 ⊕ kn2

e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão


187



álgebra J45


J45 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e3 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 3.O grupo de automorfismos é:

1 0 a214 a14

0 −a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 a214 a14

0 a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 −a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

,

1 0 0 0

0 a44 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B3⊕ke1, T4, T8, ke1⊕kn1, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical




álgebra J46


J46 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 0e42

e2 0 e3 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 0

188



1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, B3 ⊕ kn3, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. Adimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A



álgebra J47


J47 e1 e2 e3 e4

e1 e1 0 e3 0

e2 0 e4 0 0

e3 e3 0 0 0

e4 0 0 0 0



1 0 0 0

0 a22 0 a24

0 0 a33 0

0 0 0 a222

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ ke1, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A


189


álgebra J48


J48 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 a12 a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 2a14a44 a44

,

1 a12 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, T8, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão




álgebra J49


J49 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4e42 e3 0 e3


190


1 a12 a14(2a12 +a14) a14

0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 a14(2a12 +a14) a14

0 −a44 2(2a12 +a14)a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a12a44 a44

,

1 a12 0 0

0 −a44 4a12a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a12a44 a44

,

1 0 a214 a14

0 −a44 2a14a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 a214 a14

0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 0 0

0 −a44 0 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T4, T8, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do




álgebra J50


J50 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 0

e42

e2e22 0 0 0

e3 0 0 0 e2

e4e42 0 e2 0


191


1 a12 0 a14

0 a33a44 0 0

0 −2a14a33 a33 0

0 a42 0 a44

,

1 a12 0 0

0 a33a44 0 0

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T4, T7, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do




álgebra J51


J51 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e2



1 −a214 0 a14

0 a244 0 0

0 0 a33 0

0 −2a14a44 0 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 0 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T9 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T9, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e

B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensãodo centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão



192

álgebra J52


J52 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 3.


1 0 a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 0 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de

dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T8, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensãodo radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador

é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensãodo grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do


maximal é 2.

álgebra J53


J53 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 0e42

e2 e2 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4e42 0 0 e2 + e3


fismos é 2.


1 −a214 a2

14 a14

0 a244 0 0

0 0 a244 0

0 −2a14a44 2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a244 0 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44

193

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão




álgebra J54


J54 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3 0

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 e2 0

e4 0 0 0 0


mos é 3.


1 0 0 0

0 a233 0 0

0 a32 a33 0

0 0 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T1, B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e

B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensãodo centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão



194

álgebra J55


J55 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 4.


1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 −2a14a44 a44

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a244 0

0 0 0 a44


de dimensão 2 e 3: T2, B3 ⊕ kn3, T9, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 2. A



maximal é 2.

álgebra J56


J56 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 e3 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 0


fismos é 4.


1 0 0 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a44

195

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T1, B3 ⊕ kn3, T6, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical




álgebra J57


J57 e1 e2 e3 e4

e1 e1 e2 e3e42

e2 e2 e3 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3



1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 −2a14a22 a22

,

1 0 −a214 a14

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 2a14a22 −a22

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 −a22

,

1 0 0 0

0 a22 a23 0

0 0 a222 0

0 0 0 a22


de dimensão 2 e 3: T1, T4, T9, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2



196

álgebra J58


J58 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 0

e4e42 0 0 e3


fismos é 5.


1 a12 −a214 a14

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 −2a14a44 a44

,

1 a12 0 0

0 a22 0 0

0 0 a244 0

0 a42 0 a44


de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, T6, T9, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 1. A



maximal é 2.

álgebra J59


J59 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 e3

e3 e3 0 0 0

e4e42 e3 0 e3


fismos é 4.


1 a12 −a14(2a12 +a14) a14

0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

197

1 a12 −a14(2a12 +a14) a14

0 −a44 −2(2a12 +a14)a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44

,

1 a12 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a12a44 a44

,

1 a12 0 0

0 −a44 −4a12a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a12a44 a44

,

1 0 −a214 a14

0 −a44 −2a14a44 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 −a214 a14

0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 −2a14(a42 +a44) a44

,

1 0 0 0

0 −a44 0 2a44

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

,

1 0 0 0

0 2a42 +a44 0 0

0 0 a44(2a42 +a44) 0

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é inde-

componível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, T6, T9, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. Adimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro

associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4.A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A

dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associa-tiva maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da

subálgebra nula maximal é 2.

álgebra J60


J60 e1 e2 e3 e4

e1 e1e22 e3

e42

e2e22 0 0 0

e3 e3 0 0 e2

e4e42 0 e2 0


fismos é 5.


1 a12 0 a14

0 a33a44 0 0

0 2a14a33 a33 0

0 a42 0 a44

,

1 a12 0 0

0 a33a44 0 0

0 0 a33 0

0 a42 0 a44

198

A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T4, T6, T7, B1, B2, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é

3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de J2




álgebra J61


J61 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 e4 0

e2 e3 e4 0 0

e3 e4 0 0 0

e4 0 0 0 0



a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 a2

12 + 2a11a13

0 0 a311 3a2

11a12

0 0 0 a411


de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 4.A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é



álgebra J62


J62 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e2

199



a11 0 a13 0

0 a211 0 0

0 0 a311 0

0 0 a43 −a11

,

a11 0 a13 0

0 a211 0 0

0 0 a311 0

0 0 a43 a11


de dimensão 2 e 3: T3, T4, B3⊕kn3, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotenteé 4. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2



álgebra J63


J63 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 −e2 − e3


fismos é 4. A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3, T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do




200

álgebra J64


J64 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 −e2


fismos é 5.


a44 −a42 a13 a41

0 −a241 +a2

44 −2a42(a41 +a44) 0

0 0 −(a41 −a44)(a41 +a44)2 0

a41 a42 a43 a44

,

a44 −a42 a13 0

0 a244 −2a42a44 0

0 0 a344 0

0 a42 a43 a44


de dimensão 2 e 3: T3, T4, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 4. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 2. A



maximal é 3.

álgebra J65


J65 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 e3

e3 0 0 0 0

e4 0 e3 0 0


201


a11 0 a13 a14

0 a211 0 0

0 0 a211(a11 +a14) 0

0 0 a43 a11 +a14

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T3, T4, B3⊕kn3, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente

é 4. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2




álgebra J66


J66 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3



a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 +a2

14 0

0 0 a311 0

0 −√a11a14 a43 a

3/211

,

a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 +a2

14 0

0 0 a311 0

0√a11a14 a43 −a

3/211


de dimensão 2 e 3: T3, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é4. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2



202

álgebra J67


J67 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3


mos é 6.


a11 a12 a13 a14

0 a211 2a11a12 0

0 0 a311 0

0 0 a43 a44


Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão doradical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é

4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensãodo grupo de 2-cociclos é 21. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão do


maximal é 3.

álgebra J68


J68 e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 0 0

e2 e3 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 e3


mos é 6.


0 a12 a13 a14

0 0 0 a213

a31 a32 0 a34

0 a231 0 0

,

a11 a12 0 a14

0 a211 0 0

0 a32 a33 a34

0 0 0 a233

203

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical




álgebra J69


J69 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 e4 0

e2 0 0 0 0

e3 e4 0 0 0

e4 0 0 0 0


mos é 7.


a11 a12 a13 a14

0 a211 0 2a11a13

0 a32 a33 a34

0 0 0 a11a33

A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do




204

álgebra J70


J70 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 e2

e4 0 0 e2 0

É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 7. A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra é indecomponível.

Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 4. A dimensão da órbita é 9. A dimensão do centro associador é 4. A



maximal é 2.

álgebra J71


J71 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 e2 0

e4 0 0 0 0



−a33 a12 a31 a14

0 a231 +a2

33 0 0

a31 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

a33 a12 −a31 a14

0 a231 +a2

33 0 0

a31 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

−a33 a12 0 a14

0 a233 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

,

a33 a12 0 a14

0 a233 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 0 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: T4 ⊕ kn4

. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3.

A dimensão do radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 8. A dimensão docentro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 0. A dimensão

205



álgebra J72


J72 e1 e2 e3 e4

e1 e2 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0



a11 a12 a13 a14

0 a211 0 0

0 a32 a33 a34

0 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ kn3 ⊕kn4. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3.A dimensão do radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 6. A dimensão do

centro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 0. A dimensãode J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 34. A dimensão do grupo de 2-



álgebra J73


J73 e1 e2 e3 e4

e1 0 0 0 0

e2 0 0 0 0

e3 0 0 0 0

e4 0 0 0 0


206


a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

A dimensão do aniquilador da álgebra é 4. A álgebra se decompõe como: kn1 ⊕ kn2 ⊕kn3 ⊕kn4. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1⊕kn2 ⊕kn3 e kn1⊕kn2. A dimensão




207

C I NFORMAÇÕES SOBRE AS ÁLGEBRAS DE JOR-

DAN REA I S DE D IMENSÃO 3

Lembramos que as álgebras de Jordan reais de dimensão 3, T ′i, foram obtidas na Seção

3.2 e que as álgebras de Jordan reais de dimensão 2 indecomponíveis são:

Tabela C.1: R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2

B ′ Tabela de Multiplicação

B ′1 e21 = e1 e1n1 = n1 n2

1 = 0

B ′2 e21 = e1 e1n1 = 1

2n1 n2

1 = 0

B ′3 n2

1 = n2 n1n2 = 0 n22 = 0

B ′4 e21 = e1 e1e2 = e2 e22 = −e1

álgebra T ′1

A dimensão da órbita é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 0. A dimensão

do aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. Adimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. A

dimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão do segundo grupo de Cohomologiaé 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativa

maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra associativa, unitária, semisimples. A

álgebra se decompõe como: Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2.

álgebra T ′2

A dimensão da órbita é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 0. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. A

dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia

209

é 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão da

subálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra associativa, unitária, semisimples. Aálgebra se decompõe como: B ′

4 ⊕ Re3. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2 e B ′4.

álgebra T ′3




subálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′

4 e B ′1.

álgebra T ′4




maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.

Subálgebras de dimensão 2: B ′4.

álgebra T ′5




210

maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.

Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2.

álgebra T ′6




maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:

Re1 ⊕ Re2 ⊕ Rn1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2 e Re1 ⊕ Rn1.

álgebra T ′7




subálgebra nula maximal é 1. A álgebra se decompõe como: B ′2 ⊕ Re2. Subálgebras de

dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, Re1 ⊕ Rn1 e B ′2.

álgebra T ′8




211

subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra unitária, indecomponível. Subálgebras dedimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′

1 e B ′2.

álgebra T ′9



é 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativa maxi-mal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra

nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, unitária. A álgebra se decompõe como:B ′

1 ⊕ Re2. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′1 e Re1 ⊕ Rn1.

álgebra T ′10




subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:B ′

4 ⊕ Rn1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′4.

álgebra T ′11




212

subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra unitária, indecomponível. Subálgebras dedimensão 2: B ′

1 e B ′4.

álgebra T ′12




subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′

2.

álgebra T ′13




subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, unitária, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′

1 e Rn1 ⊕ Rn2.

álgebra T ′14




213

subálgebra nula maximal é 2. A álgebra se decompõe como: B ′2 ⊕Rn2. Subálgebras de

dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1, Rn1 ⊕ Rn2 e B ′2.

álgebra T ′15





1 ⊕ Rn2. Subálgebras de dimensão 2: B ′1, Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2.

álgebra T ′16




subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: B ′

1, Rn1 ⊕ Rn2 e B ′2.

álgebra T ′17




214

subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:Re1 ⊕ Rn1 ⊕ Rn2. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2.

álgebra T ′18




subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, unitária, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′

1 e B ′3.

álgebra T ′19




subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′

3.

álgebra T ′20




215

subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: B ′

1 e B ′3.

álgebra T ′21





3 ⊕ Re1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′3.

álgebra T ′22




subálgebra nula maximal é 3. É uma álgebra associativa, nilpotente. A álgebra sedecompõe como: Rn1 ⊕ Rn2 ⊕ Rn3. Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2.

álgebra T ′23




216

subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2.

álgebra T ′24




subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′

3.

álgebra T ′25




subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente. A álgebra sedecompõe como: B ′

3 ⊕ Rn3. Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′3.

álgebra T ′26




217

subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′

3.

218

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222

Í ND ICE REMISS IVO

2-cobordos, 18

2-cociclo, 18

equivalentes, 18

a-homótopa, 134

a-isótopa, 134

a-multiplicação, 134

n-espaço afim, 59

álgebra, 8

analiticamente rígida, 66

associativa, 9

nilpotente, 11

de composição, 10

de divisão, 134

de Jordan, 8

de uma forma bilinear simétrica,

9

especial, 9

excepcional, 9

ideal, 8

subálgebra, 8

de multiplicação, 14

geometricamente rígida, 71

infinitesimalmente rígida, 66

nilpotente, 11

rígida, 71

semissimples, 12

separável, 12

simples, 12

central, 12

unitária, 10

órbita, 62

índicede nilpotência, 11

adjunção formal, 10

analiticamente rígida, 66

aniquilador, 23

anulador, 58

associador, 8

bimódulo de Jordan, 18

centro associativo, 82

centroide, 14

cobordos, 18

cociclo, 18

componentesde Peirce, 16

conjunto algébrico, 58

constantesestruturais, 68

decomposiçãode Peirce, 16

deformação, 70

a um parâmetro, 63

trivial, 64

trivial, 70

deformaçõesequivalentes, 65

diferencial, 64

dimensão, 60

elementoidempotente, 15

223

inverso, 133

invertível, 133

trivial, 134

espaço afim, 59

estabilizador, 62

excepcional, 9

extensão

cinde, 19

de álgebras, 19

nula, 19

extensão escalar, 11

extensões

equivalentes, 19

função polinomial, 58

função regular, 59

geometricamente rígida, 71

grupode estrutura, 135

grupo algébrico, 61

ação, 62

morfismo, 61

homótopa, 134

homotopia, 134

ideal, 8

idempotente

próprio, 15

idempotentes ortogonais, 15

identidade, 10

identidade de Jordan, 8

infinitesimalmente rígida, 66

integrável, 64

involução, 9

padrão, 10

irredutível, 59

isótopa, 134

isotópicas, 134

isotopia, 134

localmente fechado, 59

morfismo, 60

nil-índice, 11

nilpotente, 11

operadorde multiplicação, 14

parte semissimples, 12

ponto genérico, 60

potência, 11

produto

de Kronecker, 11

produto triplo de Jordan, 134

rígidaanaliticamente, 66

geometricamente, 71

infinitesimalmente, 66

radical, 12

nilpotente, 12

série central inferior, 11

segundo grupo de cohomologia, 18

subálgebra, 8

subvariedade, 59

tipo de nilpotência, 12

topologia de Zariski, 59

transporte de estrutura, 69

unidade, 10

unitária, 10

variedade, 59

afim, 60

algébrica, 59

das álgebras de Jordan, 69

224

Deformations and isotopies of Jordan algebras / Deformações e isotopias de álgebras de Jordan

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