Deformações e isotopiasde álgebras de Jordan
Maria Eugenia Martin
TESE APRESENTADA AO INSTITUTO DE
MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE
DOUTOR EM MATEMÁTICA
Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autorrecebeu auxílio financeiro da CAPES e do CNPq.
Universidade de São PauloSão Paulo, 10 de outubro de 2013
Universidade de São PauloInstituto de Matemática e Estatística
Deformações e isotopias de álgebras de Jordan
Maria Eugenia Martin
Orientadora: Profª. Drª. Iryna Kashuba
Esta versão da tese contém as correções e alteraçõessugeridas pela Comissão Julgadora durante a
defesa, realizada em 11/09/2013. O originalencontra-se disponível no Instituto de Matemática e
Estatística da Universidade de São Paulo.
Comissão Julgadora:
Profª. Drª. Iryna Kashuba (Orientadora) - IME - USP
Prof. Dr. Ivan Shestakov - IME - USP
Profª. Drª. Irina Sviridova - Universidade de Brasília
Profª. Drª. Maria Trushina - University State of Moscow
Prof. Dr. Roldão da Rocha - Universidade Federal do ABC
São Paulo, 10 de outubro de 2013
i
AGRADEC IMENTOS
Agradeço, primeiramente, à professora Iryna Kashuba por me introduzir nesta interes-
sante área da matemática, pela sua orientação, amizade e dedicação.Agradeço aos professores da banca pelas correções, comentários e sugestões. Aos pro-
fessores I. Shestakov IME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP pelos conselhos vali-osos e por me introduzir ao conceito de isotopias.
Agradeço ao CNPq e a CAPES por terem financiado este projeto.À minha família e amigos. Aos meus pais que sempre me incentivaram e estiveram
comigo apesar da distância. Aos meus sogros por cuidarem da minha filha enquantorealizava este trabalho.À minha filha Paloma pela paciência e compreensão dos momentos ausente.
E, por último, quero agradecer muito especialmente ao meu marido Daniel pela compa-nhia, infinitos conselhos, muitas revisões, ajuda com a língua portuguesa, em fim por
tudo o que ele fez para que seja possível a realização deste trabalho.
iii
RESUMO
Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-
dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2
e sobre o corpo dos números reais. A classificação algébrica foi realizada de duas ma-
neiras: a menos de isomorfismos e a menos de isotopias. Enquanto que a classificaçãogeométrica foi feita estudando as variedades de álgebras de Jordan Jorn para n 6 4 e
JorR
n para n 6 3. Provamos que Jor4 tem 73 órbitas sob a ação de GL(V) e que é a uniãodos fechos de Zariski das órbitas de 10 álgebras rígidas, cada um dos quais corresponde
a uma componente irredutível. Analogamente, mostramos que JorR
3 tem 26 órbitas e éa união dos fechos de Zariski das órbitas de 8 álgebras rígidas. Também obtivemos queo número de componentes irredutíveis em Jor5 é > 26. Construímos ainda três famí-
lias de álgebras rígidas não associativas, não semisimples e indecomponíveis as quaiscorrespondem a componentes irredutíveis de Jorn e JorR
n para todo n > 5.
Palavras-chaves: Álgebras de Jordan, Deformação, Isotopia
v
ABSTRACT
Deformations and isotopies of Jordan algebras
In this work we present the algebraic and geometric classification of Jordan algebrasof small dimensions over an algebraically closed field k of char k 6= 2 and over the
field of real numbers. The algebraic classification was accomplished in two ways: upto isomorphism and up to isotopy. On the other hand, the geometric classification
was obtained studying the varieties of Jordan algebras Jorn for n 6 4 and JorRn for
n 6 3. We prove that Jor4 has 73 orbits under the action of GL(V) and it is the union
of Zariski closures of the orbits of 10 rigid algebras, each of which corresponds to oneirreducible component. Analogously, we show that JorR
3 has 26 orbits and is the union
of Zariski closures of the orbits of 8 rigid algebras. Also we obtain that the number ofirreducible components in Jor5 is > 26. We construct three families of indecomposable
non-semisimple, non-associative rigid algebras which for any n > 5, correspond toirreducible components of Jorn and JorR
n.
Keywords: Jordan Algebras, Deformation, Isotopy
vii
SUMÁR IO
Introdução 1
1 Introdução às Álgebras de Jordan 7
1.1 Definições e Exemplos 7
1.2 Resultados Principais 12
1.3 Decomposição de Peirce 15
1.4 Extensões e Cohomologia 17
2 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 4 sobre um Corpo
Algebricamente Fechado 21
2.1 Álgebras de Jordan de Dimensão menor que 4 22
2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1 22
2.1.2 Álgebras de Jordan de Dimensão 2 22
2.1.3 Álgebras de Jordan de Dimensão 3 22
2.2 Álgebras de Jordan de Dimensão 4 23
2.2.1 Álgebras de Jordan Semissimples 24
2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1 25
2.2.3 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 2 27
2.2.4 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 3 30
2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes 42
2.2.6 Observações 44
3 Classificação Algébrica das Álgebras de Jordan de Dimensão 3 sobre o Corpodos Números Reais 45
3.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão menor que 3 46
3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1 46
3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2 46
3.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 3 46
3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semissimples 47
3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1 48
3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2 50
3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes 51
3.2.5 Observações 53
ix
4 Deformações 55
4.1 Introdução à Geometria Algébrica 56
4.1.1 Variedades Algébricas 56
4.1.2 Dimensão 58
4.1.3 Ação de Grupos 59
4.2 Deformações Infinitesimais de Álgebras de Jordan 60
4.3 A Variedade Algébrica Jorn 64
4.4 O Comportamento de uma Álgebra através de Deformação 74
4.5 Algumas Componentes Irredutíveis de Jorm para m > 2 79
5 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou iguala 4 sobre um Corpo Algebricamente Fechado 87
5.1 A Variedade Algébrica Jor1 87
5.2 A Variedade Algébrica Jor2 88
5.3 A Variedade Algébrica Jor3 90
5.4 A Variedade Algébrica Jor4 96
5.5 Algumas Propriedades da Variedade Algébrica Jor5 111
6 Classificação Geométrica das Álgebras de Jordan de Dimensão menor ou iguala 3 sobre o Corpo dos Números Reais 115
6.1 A Variedade Algébrica JorR
1 115
6.2 A Variedade Algébrica JorR2 115
6.3 A Variedade Algébrica JorR
3 117
6.4 Comparação das Variedades JorR
n e JorC
n 124
7 Álgebras Isotópicas 127
7.1 Introdução às Isotopias 127
7.2 Classificação Algébrica a menos de Isotopia das álgebras de Jordan Reaisde dimensão 3 130
8 Conclusões e Sugestões para Pesquisas Futuras 135
a Programas em Mathematica 139
a.1 Define o Produto de Jordan na Base Canônica 139
a.2 Verifica se duas Álgebras são Isomorfas 141
a.3 Verifica se uma Álgebra é de Jordan, Flexível, Associativa, e/ou Alterna-tiva. 142
a.4 Verifica se uma Álgebra é Unitária 144
a.5 Verifica se é Subálgebra. 145
x
a.6 Calcula a Dimensão do Aniquilador de uma Álgebra 146
a.7 Calcula a Dimensão das Potências 146
a.8 Calcula a Dimensão do Grupo de Automorfismo 147
a.9 Calcula a dimensão de H2. 149
a.10 Calcula a dimensão do Centro Associador 151
a.11 Realiza a Soma Direta de Álgebras de Jordan; 152
a.12 Decompõe uma Álgebra em Soma Direta 153
a.13 Exibe o Produto da Álgebra 154
a.14 Exibe Resumo das Propriedades da Álgebra 154
b Informações sobre as Álgebras de Jordan de Dimensão 4 157
c Informações sobre as Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 3 209
Bibliografia 222
xi
L I STA DE F IGURAS
Fig. 4.1 Equivalências entre os diversos conceitos de rigidez 71
Fig. 5.1 Descrição completa das órbitas de Jor2 89
Fig. 5.2 Descrição quase-completa das órbitas de Jor3 93
Fig. 5.3 Descrição das órbitas de Jor4 101
Fig. 5.4 Descrição mais completa das órbitas de Jor4 102
Fig. 6.1 Descrição completa das órbitas de JorR
2 116
Fig. 6.2 Descrição quase-completa das órbitas de JorR
3 123
xiii
L I STA DE TABELAS
Tabela 2.1 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 22
Tabela 2.2 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3 22
Tabela 2.3 k-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 4 25
Tabela 2.4 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional eparte semissimples ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 26
Tabela 2.5 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e
parte semissimples T5 27
Tabela 2.6 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2) 28
Tabela 2.7 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1) 29
Tabela 2.8 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3) 31
Tabela 2.9 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1) 32
Tabela 2.10 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =
N0 34
Tabela 2.11 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =
N1 35
Tabela 2.12 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N0 ⊕N 12
com dimN0 = 2 35
Tabela 2.13 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2 36
Tabela 2.14 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N0 ⊕N 12
com dimN 12= 2 37
Tabela 2.15 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N0 ⊕N 12⊕N1 39
Tabela 2.16 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2 40
Tabela 2.17 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N 12⊕N1 com dimN1 = 2 40
Tabela 2.18 k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e
N = N 12⊕N1 com dimN 1
2= 2 41
Tabela 2.19 k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 42
Tabela 3.1 R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 46
Tabela 3.2 R-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 3 48
xv
Tabela 3.3 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eparte semissimples Re1 ⊕ Re2 48
Tabela 3.4 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional eparte semissimples B ′
4 49
Tabela 3.5 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2) 50
Tabela 3.6 R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1) 51
Tabela 3.7 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3) 51
Tabela 3.8 R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1) 52
Tabela 3.9 R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1) 52
Tabela 5.1 Existência de deformações em Jor2 90
Tabela 5.2 Existência de deformações em Jor3 95
Tabela 5.3 Existência de deformações em Jor4 103
Tabela 5.4 Existência de deformação em Jor4 105
Tabela 5.5 Existência de deformação em Jor4 107
Tabela 5.6 Existência de deformações em Jor4 109
Tabela 5.7 Algumas álgebras de Jordan rígidas de dimensão 5 112
Tabela 6.1 Existência de deformações em JorR
2 117
Tabela 6.2 Existência de deformações em JorR
3 121
Tabela 6.3 Existência de deformações em JorR
3 122
Tabela 6.4 Existência de deformações em JorR
3 123
Tabela 6.5 Comparação das variedades JorC
n e JorR
n 125
Tabela 7.1 Comparação do número de álgebras de Jordan unitárias de dimen-
são 3 133
Tabela 8.1 Número de órbitas e de componentes irredutíveis de Jorn e JorR
n 137
Tabela B.1 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 157
Tabela B.2 k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3 157
Tabela C.1 R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2 209
xvi
I NTRODUÇÃO
Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jor-
dan de dimensões pequenas sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2 esobre o corpo dos números reais.
O problema de classificação algébrica foi abordado de duas maneiras: primeiramente
determinamos todas as estruturas algébricas de uma certa dimensão n a menos de iso-morfismo e posteriormente utilizaremos esses resultados para refinar esta classificação
ao determinar todas as estruturas algébricas a menos de isotopia.
Determinar as classes de isomorfismos de uma estrutura algébrica é um problema
amplamente estudado. Apesar disso, a única classe de álgebras (associativas, Jordan eLie) que foi completamente descrita é a classe das álgebras simples. Em geral, a lista
de todas as álgebras é conhecida somente em dimensões pequenas. Em 1975, P. Gabrielapresentou em [13] a lista de todas as álgebras associativas unitárias sobre um corpo
algebricamente fechado de dimensão menor ou igual a 4. Quatro anos mais tarde, G.Mazzola, em seu trabalho [31], estendeu a classificação para as álgebras de dimensão 5.
Por outro lado, no contexto de álgebras de Lie a classificação é conhecida até dimensão6, veja [26].
No que diz respeito às álgebras de Jordan, H. Wesseler em [48] descreveu as álgebras
unitárias sobre um corpo algebricamente fechado até dimensão 6. Em, particular elemostrou que essas álgebras são especiais. De modo mais geral, em 1989, H. Sherkulov
em [43] classificou todas as álgebras de Jordan não associativas de dimensão menor ouigual a 4 também sobre um corpo algebricamente fechado e em 2011, em seu artigo [4],
Ancochea Bermúdez e outros determinaram as leis das álgebras de Jordan nilpotentesde dimensão 3 e 4 sobre o corpo dos números complexos. Neste trabalho generaliza-
remos estes resultados e classificaremos a menos de isomorfismo todas as álgebras deJordan (unitárias e não unitárias, associativas e não associativas) de dimensão n para
n 6 4 sobre um corpo k algebricamente fechado de char k 6= 2.
Quando consideramos um corpo arbitrário o problema da classificação algébrica éainda mais complicado pois a classificação depende de maneira essencial do corpo que
estivermos considerando e, em geral, não é possível obter uma classificação. Para cor-pos bases especiais, como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números
reais o problema pode ser completamente resolvido mas mesmo com essas restriçõesa determinação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimen-
1
são fixa sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso deálgebras de Jordan semissimples. Os resultados na literatura para álgebras de Jordan
(e até mesmo Lie e associativas) sobre R são muito escassos, inclusive para dimensõespequenas. Em 2007, Ancochea Bermúdez e outros classificaram algebricamente as ál-
gebras associativas de dimensão 2 sobre R no trabalho [5] e posteriormente, em [3], asálgebras de Jordan de dimensão 2. Neste trabalho apresentaremos a lista de todas as
álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo dos números reais.
Tendo obtido esta classificação temos metade do caminho percorrido em relação àquestão de classificar álgebras de Jordan a menos de isotopia, pois se duas álgebras são
isomorfas então elas são isotópicas. Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordané, resumidamente, uma nova álgebra de Jordan cujo produto é definido a partir de
um elemento dado da álgebra original através do produto triplo de Jordan. Homotopiasomente define uma relação de equivalência se a álgebra original é unitária e o elemento
dado é invertível, em tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.
O conceito de isotopia foi introduzido em 1958 por N. Jacobson em [20] e em [19] eledeterminou as identidades fundamentais nas quais a teoria de isotopias se baseia, i.e.,
identidades relativas ao produto triplo de Jordan. Já, M. Koecher, em seu trabalho [27],utilizou as propriedades funtoriais do conceito de homotopia (por ele denominado de
“mutuação”) para explicitar uma construção de espaços simétricos Hermitianos de tipocompacto como uma compactificação de uma álgebra de Jordan semissimples complexade dimensão finita.
Neste trabalho determinamos todas as classes de equivalências dessa relação para as
álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3 sobre o corpo dos reais. A ideia de realizara classificação neste trabalho surgiu como uma sugestão dos professores I. Shestakov
IME-USP e P. Koshlukov IMECC-UNICAMP durante o exame de qualificação.
Ressaltamos que para álgebras associativas a noção de isotopia não desempenha pa-pel importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas coincidem. Prova-
remos que isso não acontece com as álgebras de Jordan reais e, assim, que o conceitode isotopia fornece uma relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomor-
fismo.
Nossa motivação para obter a classificação algébrica vem da intenção de entender avariedade das álgebras de Jordan, i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A
saber, seja k um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2 ou o corpo dos númerosreais. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n sobre k, com base e1, . . . , en
2
fixa, para introduzirmos uma estrutura de álgebra de Jordan em V especificamos n3
constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto na álgebra resultante é dado por
ei · ej =n∑
k=1
ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.
A escolha das constantes não é arbitrária e deve refletir os fatos que a álgebra é comu-
tativa e que satisfaz a identidade de Jordan. Estas restrições se manifestam através deequações polinomiais nas constantes estruturais, e assim podemos interpretar o espaço
das constantes estruturais como um subconjunto afim Zariski-fechado da variedade kn3
que chamaremos de variedade das álgebras de Jordan de dimensão n e denotaremos
por Jorn. Um ponto qualquer (ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra deJordan J de dimensão n.
O problema de determinar os pontos genéricos de Jorn ou, equivalentemente, ascomponentes irredutíveis da variedade algébrica pode ser formulado geometricamente
como segue: o grupo geral linear G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”,decompondo a variedade Jorn em G-órbitas as quais correspondem às classes de álge-bras de Jordan isomorfas. Se uma álgebra J pertence ao fecho de Zariski da órbita de
uma outra álgebra J ′ da variedade então dizemos que J ′ é uma deformação de J. Umaálgebra J cuja órbita sob a ação de G, JG, é aberta na topologia de Zariski de Jorn é
chamada de rígida. Álgebras rígidas são de particular interesse pois o fecho da órbitade tais álgebras gera uma componente irredutível da variedade.
Note que analogamente podemos definir a variedade das álgebras associativas e deLie. Denotaremos elas por Assocn e Lien, respetivamente. A geometria de ambas
é bastante complicada. Em 1890 E. Study em [45] considerou álgebras associativascomplexas de dimensão 4 e mostrou que é impossível achar uma álgebra genérica, o
equivalentemente, que Assoc4 tem mais de uma componente irredutível.
Em 1964, M. Gerstenhaber em seu trabalho [14] introduziu a noção formal de de-formação infinitesimal entre álgebras associativas. Seja A uma álgebra associativa de
dimensão n e considere uma n3-upla g = gijk(t) de series de potências na variável t,tal que g(t) defina uma multiplicação associativa na álgebra At = V⊗k(t) e gijk(0) coin-
cida com as constantes estruturais de A, então dizemos que At é uma deformação deA. É fácil ver que a definição analítica de deformação implica na geométrica, veja [11].
Em particular, uma álgebra de dimensão finita A é rígida se toda gijk(t) satisfazendoas condições anteriores define uma álgebra At isomorfa a A para todo t ∈ k. Também
foi provado por Gerstenhaber que se o segundo grupo de cohomologia de A ∈ Assocncom coeficientes em A, H2(A,A), é trivial então A é uma álgebra rígida. Quatro anos
3
depois, a teoria de deformação analítica introduzida por Gerstenhaber para álgebrasassociativas foi estendida a álgebras de Lie por Nijenhuis e Richardson em [36].
Em 1968, F. Flanigan em [11] comparou a estrutura de uma álgebra deformada At
com a estrutura da álgebra original, tal comparação é análoga para álgebras de Jordan.
Também em [12] ele mostrou que cada componente irredutível de Assocn ou é o fechoda órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho da união de uma família infinita de órbitas
de álgebras que chamou de semi-rígidas.
Em [13, 1975] P. Gabriel descreveu todas as álgebras genéricas da subvariedade fe-chada das álgebras associativas unitárias de Assocn para n 6 4. De fato, esta é umaboa referência para conferir as propriedades básicas que uma componente irredutível
deve ter, tais como a dimensão do radical das álgebras, a dimensão do grupo de auto-morfismos, etc. Alem disso, em [31, 1979] G. Mazzola, aluno de Gabriel, presentou o
diagrama de inclusão das órbitas das álgebras associativas unitárias de dimensão 5 eprovou que existem dez componentes irredutíveis nesta subvariedade de Assoc5. Outra
questão considerada por Mazzola é relacionada com a variedade das álgebras comutati-vas unitárias dentro de Assocn, ele provou que esta variedade é irredutível para n 6 7,
veja [32, 1980] e suas referências. Em [26, 1987] A. Kirillov e Y. Neretin descreveram ascomponentes da variedade das álgebras de Lien para n 6 6. Uma generalização recente
desta teoria ocorre quando consideramos a variedade de representações de álgebras aoinvés da variedade de álgebras.
Em relação à variedade Jorn as referencias são bastantes recentes. Em [25, 2005]
I. Kashuba e I. Shestakov descreveram as componentes irredutíveis de Jor3 e em [23,2006] o primeiro autor fez um estudo análogo considerando a subvariedade fechada
das álgebras de Jordan unitárias de Jorn para n 6 5. Nesse mesmo artigo, I. Kashubaestendeu para o caso de álgebras de Jordan algumas propriedades e fatos conhecidos
para Assocn e Lien. Finalmente, em [4, 2011] Ancochea Bermúdez e outros usaramdeformações infinitesimais para estudar as álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão4 sobre o corpo dos complexos. O objetivo deste trabalho foi generalizar estes resultados
para obter uma descrição completa das variedades Jorn para n 6 4 sobre um corpoalgebricamente fechado e para n 6 3 sobre o corpo dos números reais.
Dividimos esta tese em 8 capítulos. O primeiro capítulo constitui uma introdução
à teoria estrutural de álgebras de Jordan de dimensão finita, onde apresentaremos osprincipais conceitos e os resultados básicos.
No Capítulo 2 trabalhamos na classificação algébrica a menos de isomorfismo dasálgebras de Jordan de dimensão n para n 6 4 sob a suposição que o corpo de definição k
é algebricamente fechado e de char k 6= 2. Estes resultados nos forneceram os conjuntosde classes de álgebras não isomorfas em cada dimensão menor ou igual que 4 o que
4
nos permitiu determinar o número de órbitas sobre a ação de G na variedade Jorn quecorresponde a: 2 órbitas em Jor1, 6 órbitas em Jor2, 20 órbitas em Jor3 e finalmente 73
órbitas em Jor4. Os resultados deste capítulo foram publicados em International Journal
of Mathematics, Game Theory and Algebra, veja [30, 2013].
No Capítulo 3, analogamente ao capítulo anterior trabalhamos na classificação algé-brica das álgebras de Jordan a menos de isomorfismo, mas neste caso as álgebras foram
consideradas sobre o corpo dos números reais e com dimensão menor ou igual a 3.Denotamos a variedade de tais álgebras como sendo JorR
n. Obtivemos que o número
de G-órbitas na variedade JorR
n é: 2 órbitas em JorR
1 , 7 em JorR
2 e, por último, temos 26
órbitas em JorR
3 .
O Capítulo 4 contém as principais ferramentas que serão necessárias para o objetivoda classificação geométrica. Começamos com uma rápida revisão de alguns conceitose terminologia da geometria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua
ação em variedades. Definimos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n
e apresentamos os métodos usados nos capítulos seguintes para descrever as compo-
nentes irredutíveis assim como também as deformações entre as álgebras de Jordan,além de introduzir critérios que determinarão a não existência de deformação entre um
par de álgebras dadas. Em particular, mostraremos como se comportam as dimensõesdo centro associador e do segundo grupo de cohomologia de uma álgebra através de
uma deformação assim como também a dimensão de uma subálgebra associativa ounula maximal. Provamos que rigidez é um conceito local e que não é preservada por
adjunção formal de um elemento identidade. Mostraremos também que em toda va-riedade de álgebras de Jordan de dimensão n maior ou igual a 5 existem pelo menos
3 componentes irredutíveis que provêm de álgebras rígidas que são indecomponíveis,não associativas e não semissimples. Faremos isso construindo as três famílias de tais
álgebras rígidas. Para n suficientemente grande esta família nos permite determinar nomínimo 12 novas álgebras rígidas.
No Capítulo 5 aplicamos os resultados do capítulo anterior para determinar e daruma descrição completa das componentes irredutíveis de Jorn, para n 6 4 e provamos
que as variedades consideradas são conexas e têm dimensão n2. Concluímos que avariedade Jor1 é irredutível, que a variedade Jor2 tem 2 componentes irredutíveis e
que a variedade Jor4 tem 10 componentes irredutíveis. Foi provado em [25] que avariedade Jor3 tem 5 componentes irredutíveis, nos completamos esse trabalho dando
uma descrição mais detalhada de tais componentes. Também mostramos que o númerode componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26 e que rigidez é preservada
por soma direta em Jorn para n 6 5. Os resultados deste capítulo foram apresentadosno artigo [24], aceito para publicação no Journal of Algebra.
5
Um estudo análogo ao do Capítulo 5 foi feito no Capítulo 6 onde foram determinadasas componentes irredutíveis da variedade JorR
n para n 6 3, concluindo que a variedade
JorR3 tem 8 componentes irredutíveis. No final do capítulo foram comparados os resul-
tados obtidos para Jorn e JorR
n.
No Capítulo 7 foram dadas as definições e os resultados básicos relativos à teoriade álgebras isotópicas além da classificação algébrica das álgebras de Jordan reais de
dimensão 3 a menos de isotopia. Provamos assim que o conceito de isotopia define umarelação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo pois encontramos
álgebras isotópicas que não são isomorfas.Por último, no Capítulo 8 foram apresentadas as conclusões e considerações finais
deste trabalho assim como também sugestões e perspectivas para pesquisas futuras.Este trabalho também conta com três apêndices: o Apêndice A reúne os códigos
de vários programas de computação simbólica elaborados pela autora, os quais foramutilizados para calcular os invariantes geométricos das álgebras, i.e., os invariantes pre-
servados por deformações, tais como: as dimensões dos grupos de automorfismos, asdimensões dos aniquiladores, as dimensões dos radicais nilpotentes, as dimensões das
diferentes potências, subálgebras de dimensão 2 e 3, as identidades satisfeitas assimcomo também a dimensão do segundo grupo de cohomologia e do centro associador
de cada álgebra. E nos Apêndices B e C apresentamos uma lista das propriedadesdas álgebras de Jordan de dimensão 4 e das álgebras de Jordan reais de dimensão 3,
respetivamente, as quais foram obtidas utilizando os programas do Apêndice A.
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1 I NTRODUÇÃO ÀS ÁLGEBRAS DE JORDAN
Neste capítulo apresentaremos, com a finalidade de fixar notação, os conceitos e osresultados básicos da teoria estrutural das álgebras de Jordan. Esta introdução será
dividida em 4 seções, na primeira delas introduziremos os conceitos de álgebras de Jor-dan especiais e excepcionais e apresentaremos exemplos de tais álgebras. Lembraremos
a definição de álgebra de Jordan nilpotente e definiremos o tipo de nilpotência destasálgebras, conceito que será de crucial para a classificação algébrica. Relacionados à de-
finição de álgebras nilpotentes temos os conceitos de álgebras simples, semi-simples ede radical nilpotente.
Na segunda seção enunciaremos duas versões do teorema de Wedderburn para álge-
bras de Jordan de dimensão finita e os teoremas de classificação de álgebras de Jordansimples de dimensão finita, primeiramente sobre um corpo algebricamente fechado e
logo após para um corpo arbitrário.
Outro resultado de suma importância para levar a cabo a classificação algébrica das
álgebras de Jordan é a decomposição em subespaços de Peirce para álgebras que pos-suem um sistema de elementos idempotentes ortogonais um a um, este resultado será
apresentado na seção 1.3.
Na quarta e última seção apresentaremos os conceitos de extensão nula e segundo
grupo de cohomologia de uma álgebra de Jordan sobre um bimódulo e enunciaremosuma relação entre ambos no teorema 1.25.
Salientamos que as álgebras consideradas neste capítulo serão definidas sobre um
corpo arbitrário de característica diferente de 2 e reservamos o símbolo k para denotartal corpo.
1.1 definições e exemplos
As álgebras de Jordan são uma classe importante de álgebras não associativas e foramintroduzidas em 1932 pelo físico alemão Pascual Jordan em uma tentativa de formular
o cenário da mecânica quântica, em termos do produto de Jordan em vez do produtoassociativo. A teoria estrutural das álgebras de Jordan iniciou-se com o trabalho [49] de
7
P. Jordan, J. von Neumann e E. Wigner e foi desenvolvida por Albert em [2] onde foramintroduzidos os conceitos que apresentaremos a seguir.
Definição 1.1. Um conjunto A é chamado de uma álgebra sobre o corpo k, se A possuiuma estrutura de k-espaço vetorial e um produto · que satisfaz:
x · (y+ z) = x · y+ x · z(x+ y) · z = x · z+ y · zα(x · y) = (αx) · y = x · (αy)
para x, y, z ∈ A e α ∈ k.
Chamaremos “álgebra sobre o corpo k” de k-álgebra ou, simplesmente, de álgebra edenotaremos o produto x · y simplesmente por xy quando não houver ambiguidade.
Definição 1.2. Uma k-álgebra J é chamada de k-álgebra de Jordan (ou, simplesmente,álgebra de Jordan) se seu produto satisfaz a condição de comutatividade:
xy = yx, (1.1)
para todo x, y ∈ J e uma versão debilitada da associatividade, chamada de identidade
de Jordan:
(x2y)x = x2(yx), (1.2)
para todo x, y ∈ J.
Um subespaço vetorial S ⊆ J que satisfaz SS ⊆ S é chamado de subálgebra de J. Seum subespaço I ⊆ J satisfaz a condição mais forte JI ⊆ I então I é chamado de ideal
da álgebra de Jordan J.
Podemos reescrever a identidade de Jordan 1.2 em termos do associador (x,y, z) :=(xy)z− x(yz), como sendo
(x2,y, x) = 0.
Linearizando completamente esta última identidade e usando o fato que a álgebra écomutativa, obtemos:
(xy, z, t) + (xt, z,y) + (yt, z, x) = 0, (1.3)
para todos x, y, z, t ∈ J (veja [50, eq.22, p.67]).
8
Seja A uma k-álgebra associativa (i.e., (x,y, z) = 0 para todo x, y, z ∈ A). No espaçovetorial subjacente a A podemos definir uma nova operação de produto ⊙ dada pela
fórmula
x⊙ y =1
2(xy+ yx),
para todo x, y ∈ A, onde xy denota o produto em A. Ao substituir o produto originalde A por ⊙, obtemos uma nova álgebra que será denotada por A(+). É imediato ver
que A(+) é uma álgebra de Jordan.
Definição 1.3. Uma álgebra de Jordan que é isomorfa a uma subálgebra de A(+) paraalguma álgebra associativa A é chamada de especial.
As álgebras de Jordan que não são especiais são chamadas de excepcionais.
Observamos que a álgebra A(+) pode ser definida, analogamente, para uma k-álgebraA não necessariamente associativa, mas neste caso a álgebra resultante A(+) não neces-
sariamente será de Jordan, veja o Exemplo 1.7.
Exemplo 1.4. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k que possui uma forma bili-near simétrica f = f(x,y) definida em V. Consideramos a soma direta J(V, f) = k · 1⊕V
do espaço vetorial V com o espaço vetorial unidimensional k · 1 = α1 | α ∈ k e defini-mos o produto em J(V, f) dado pela regra:
(α · 1+ x)⊡ (β · 1+ y) = (αβ+ f(x,y)) · 1+ (βx+ αy),
onde α, β ∈ k e x, y ∈ V. A álgebra (J(V, f),⊡) é uma álgebra de Jordan e é uma
subálgebra de A(+) onde A é a álgebra (associativa) de Clifford de f (veja [21, Cap.VII.1,Teo.1, p.261]). Logo (J(V, f),⊡) é uma álgebra de Jordan especial, chamada de álgebra
de Jordan da forma bilinear simétrica f. Se, além disso, a forma f for não degeneradae a dimk V > 1, a álgebra é também simples (veja [50, Ex. 2, pág. 57]).
Exemplo 1.5. Seja U uma álgebra e seja i uma involução em U (i.e., um endomorfismo
do espaço vetorial U que satisfaz i(i(u)) = u e i(uv) = i(v)i(u) para todo u,v ∈ U). Oconjunto
H(U, i) = u ∈ U | u = i(u),
dos elementos de U fixos pela ação de i, é fechado em relação ao produto ⊙ e é uma
subálgebra da álgebra U(+). Se U for associativa, então U(+) é de Jordan e (H(U, i),⊙)
é uma álgebra de Jordan especial.
9
Definição 1.6. Um elemento e de uma álgebra A é chamado de identidade ou unidade
no caso que ex = xe = x para todo x ∈ A. Se uma álgebra possui um elemento
identidade então será chamada de álgebra unitária.
Uma k-álgebra unitária D é chamada de álgebra de composição se ela possui uma
aplicação n : D → k que satisfaz:
1. n(αx) = α2n(x), onde x ∈ D e α ∈ k;
2. a função f(x,y) = n(x + y) − n(x) − n(y) é uma forma bilinear simétrica não
degenerada em D; e
3. n(xy) = n(x)n(y) para todo x,y ∈ D.
Esta definição nos permite compreender o seguinte exemplo de uma álgebra de Jordanespecial.
Exemplo 1.7. Seja D uma álgebra de composição com involução i e seja Dn = Matn(D)
a álgebra das matrizes de ordem n sobre D. A aplicação j : X 7→ i(X)t que leva uma
matriz X em uma outra matriz obtida da anterior aplicando a involução i a cada entradade X e transpondo, é uma involução da álgebra Dn chamada de involução padrão1 em
Dn associada a i. Como Dn é associativa se D é associativa então, é claro que se D éassociativa então (H(Dn, j),⊙) é uma álgebra de Jordan especial. Mas se D for a álgebra
de Cayley-Dickson C (i.e., uma álgebra de tipo IV no Teorema de Classificação dasÁlgebras de Composição de [50, Teo.1, p.32]), a qual não é associativa mas é alternativa,
então a álgebra (H(Cn, j),⊙) só é de Jordan para n 6 3 (uma prova disto quando n = 3
pode ser encontrada em [50, Teorema 1, p. 54 ]) e (H(C3, j),⊙) é uma álgebra de Jordan
excepcional (veja [1], [50, Teorema 2, p. 55]).
Se J é uma álgebra de Jordan sem unidade, então podemos considerar a soma direta
J# = J⊕ k · 1,
onde 1 é o elemento identidade de k. O produto em J# é definido por
(x+α · 1)(y+β · 1) = (xy+αy+βx) + αβ · 1, (1.4)
onde α, β ∈ k e x, y ∈ J. Chamaremos a álgebra J# de álgebra obtida pela adjunção
formal de um elemento identidade à álgebra J. É fácil ver que 1 é um elemento
identidade para a álgebra J# e J é uma subálgebra de J#. De [21, Teorema 6, p. 30]temos que J# também é uma álgebra de Jordan.
1 A definição de involução padrão é válida para qualquer álgebra D com elemento identidade 1 e involução.
10
Definição 1.8. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan sobre o corpo k. O produto de
Kronecker J⊗k J ′ é o produto tensorial J⊗k J ′ dos espaços vetoriais J, J ′ onde todos
os elementos são somas∑
x⊗ y, com x ∈ J e y ∈ J ′ e a multiplicação é definida porlinearidade e
(x1 ⊗ y1) (x2 ⊗ y2) = (x1x2)⊗ (y1y2) , onde xi ∈ J, yi ∈ J ′.
Se J e J ′ têm dimensão finita sobre k, então dim (J⊗k J ′) = (dim J) (dim J ′).
Em numerosas ocasiões depararemos-nos com o caso em que J ′ é um corpo, geral-
mente uma extensão K de k. Então K contém 1, logo JK = J⊗k K contém J como umasubálgebra sobre k. Além disso, JK é visto como uma álgebra sobre K a qual é cha-
mada de extensão escalar de J a uma álgebra sobre K. Pode-se verificar que a álgebraJK também é de Jordan.
Uma álgebra associativa é chamada de nilpotente se para algum número natural n oproduto de quaisquer n elementos da álgebra é zero. Para álgebras não associativas, e
em particular para álgebras de Jordan, deveríamos também indicar a ordem na qual osprodutos são considerados, i.e., a distribuição dos parêntesis.
Definição 1.9. Uma álgebra de Jordan J é chamada de nilpotente se existe um númeronatural n tal que o produto de quaisquer n elementos da álgebra, com quaisquer distri-
buição de parêntesis seja igual a zero.
O menor de tais números é denominado índice de nilpotência da álgebra J.
Em J definimos indutivamente uma serie de subconjuntos
J1 = J〈1〉 = J,
Jn = Jn−1J+ Jn−2J2 + · · ·+ JJn−1,
J〈n〉 = J〈n−1〉J.
O subconjunto Jn é chamado de n-ésima potência da álgebra J. Segue de imediato dadefinição de potência que J ⊇ J2 ⊇ J3 ⊇ · · · onde todos os membros desta cadeia são
ideais da álgebra J. Como J é comutativa a cadeia de subconjuntos J〈1〉 ⊇ J〈2〉 ⊇ · · · ⊇J〈n〉 ⊇ · · · também consiste de ideais da álgebra J e é chamada de série central inferior
de J.
Se existir um s ∈ N tal que J〈s〉 = 0 então, como J2s ⊆ J〈s〉 para qualquer s > 1 ([50,
Prop. 1, p.82 ]), a álgebra J é nilpotente. O mínimo s para o qual J〈s〉 = 0 será chamadode nil-índice de J.
11
Se s é o nil-índice de uma álgebra de Jordan nilpotente J, definimos o tipo de nilpo-
tência de J como sendo a sequência (n1,n2,n3, · · · ,ns−1) onde ni = dim(
J〈i〉/J〈i+1〉).
Observamos que ni > 0 para todo i. De fato, suponha que existe um i ∈ N, 1 6
i 6 s − 1 tal que ni = 0 então dim J〈i〉 = dim J〈i+1〉 e como J〈i+1〉 ⊆ J〈i〉 temos
J〈i〉 = J〈i+1〉. Consequentemente J〈i+2〉 = J〈i〉 · J = J〈i〉, por indução J〈i〉 = J〈k〉 paratodo k ∈ N, k > i. Em particular isto acontece para k = s, então J〈i〉 = J〈s〉 = 0 o que
impossível já que s é o nil-índice de J.
Definição 1.10. Uma k-álgebra de Jordan de dimensão finita J é chamada de:
1. Simples se 0 e J são os únicos ideais de J e além disso J2 6= 0.
2. Semissimples se J é uma soma direta finita de álgebras simples.
3. Simples Central se JK é simples para toda extensão K de k.
4. Separável se JK é semissimples para toda extensão K de k.
Observamos que toda álgebra J simples central é simples e toda álgebra J separável ésemissimples.
1.2 resultados principais
Nesta seção apresentaremos alguns resultados importantes da teoria estrutural das álge-bras de Jordan que serão ferramentas necessárias na classificação algébrica. Omitiremos
as provas de tales fatos que podem ser facilmente encontradas na literatura.
Começaremos enunciando o teorema que K. McCrimmon, em seu livro “A Taste of
Jordan Algebras”, chama de “Enlightenment Structure Theorem”. Este teorema reúne aspropriedades principais de uma álgebra de Jordan cuja dimensão sobre um corpo arbi-
trário (de char 6= 2) é finita.
Teorema 1.11. [33, Teo. 3.10, p. 79] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um
corpo k de característica 6= 2.
1. Existe um único ideal nilpotente maximal de J, que chamaremos de radical (ou radical
nilpotente) de J e será denotado por Rad(J).
2. O quociente J/Rad(J) é uma álgebra de Jordan semissimples, à qual chamaremos de parte
semissimples de J e será denotado por Jss.
12
3. Se J é semissimples então ela possui um elemento identidade e sua decomposição em álge-
bras simples é única.
A seguir enunciaremos um teorema conhecido como “Teorema Principal de Wedder-
burn” o qual tem sido provado para várias classes de álgebras. Uma prova da seguinte
versão para álgebras de Jordan de dimensão finita pode ser encontrada em [46].
Teorema 1.12. [46] Se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k tal que
Jss é separável então J contém uma subálgebra C tal que J = C+Rad(J) com C∩Rad(J) = 0
e C ≃ Jss.
Em [38] foi provado que quando o corpo tem char k = 0 o teorema de Wedderburn
vale para toda álgebra de Jordan de dimensão finita, i.e., não é necessária a condição deJss ser separável:
Teorema 1.13. [38] Seja J uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um corpo k com
char k = 0 então existe uma subálgebra C de J tal que J = C+ Rad(J) com C∩ Rad(J) = 0 e
C ≃ Jss.
Observamos que se o corpo for algebricamente fechado então toda álgebra de Jordande dimensão finita semissimples é separável [21, p.246], logo segue do Teorema 1.11
que Jss é separável e portanto (Teorema 1.12) J admite decomposição J = Jss ⊕ Rad(J)como soma direta de subespaços.
Lembramos agora o teorema de Albert que fornece a classificação completa das álge-bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado.
Teorema 1.14. [21, Corolário 2, pág. 204] Seja J uma álgebra de Jordan simples de dimensão
finita sobre um corpo algebricamente fechado k. Então temos as seguintes possibilidades para J:
1. J = k;
2. J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degenerada f
sobre um espaço vetorial de dimensão finita V tal que dim V > 1;
3. J = (H(Dn, j),⊙), n > 3, onde (D, i) é uma álgebra de composição de dimensão 1, 2 ou
4 se n > 4 e de dimensão 1, 2, 4 ou 8 se n = 3 e j é a involução padrão de Dn associada
a i.
Seja J uma k-álgebra de Jordan, podemos associar a ela duas álgebras associativas de
transformações lineares. Para isso considere a um elemento qualquer de J. Definimosuma aplicação da álgebra J em si mesma:
Ma : x 7→ xa para todo x ∈ J.
13
Esta aplicação é um endomorfismo do espaço vetorial J e é chamada de operador de
multiplicação pelo elemento a. A subálgebra da álgebra de endomorfismos do espaço
vetorial J gerada por todos os possíveis operadores Ma onde a ∈ J, é chamada deálgebra de multiplicação da álgebra J e será denotada por M(J). Os elementos S ∈M(J) são da forma S =
∑Ma1
Ma2· · ·Man
com ai ∈ J.
A segunda álgebra que associaremos a J é o centroide C(J) de J o qual é o centrali-zador de M(J) em Homk(J, J), ou seja C(J) é o conjunto de aplicações lineares T de J
tais que TS = ST para cada S ∈ M(J).
No caso em que J tenha dimensão finita sobre k então o centroide C(J) coincide com
o centro de M(J) ([42, Cap. II, p.13] ), i.e.,
C(J) = S ∈ M(J) | TS = ST para todo T ∈ M(J)
Teorema 1.15. [42, Cap. II, p.13] Se J é uma k-álgebra de Jordan simples então o centroide
C(J) de J é um corpo (que contém k). E quando consideramos J como uma álgebra sobre seu
centroide é simples central.
Como consequência do Teorema 1.15 podemos reduzir o problema de classificar álge-bras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo arbitrário k ao problema de
classificar álgebras de Jordan simples central (de dimensão finita sobre uma extensãodo corpo arbitrário k). Para isso, seja J uma tal álgebra e seja k o fecho algébrico do
corpo base k, então Jk é uma álgebra de Jordan simples de dimensão finita sobre umcorpo algebricamente fechado e logo Jk é uma das álgebras listadas no Teorema 1.14,
usando essa informação para determinar J obtemos:
Teorema 1.16. [21, V.7][42, Cap.IV, p.36] Seja J uma álgebra de Jordan simples central de
dimensão finita sobre um corpo k arbitrário. Então temos as seguintes possibilidades para J:
1. J = k,
2. J = (J(V, f),⊡) a álgebra de Jordan de uma forma bilinear simétrica não degene-
rada f num espaço vetorial V de dimensão finita tal que dim V > 1,
3. J = (H(A, J),⊙) onde (A, J) é uma álgebra associativa simples central de dimensãofinita com involução J de grau2 n > 3 , ou
4. J é uma álgebra tal que existe uma extensão finita K do corpo base k tal queJK ≃ (H((CK)3, j),⊙) onde (CK)3 é a álgebra das matrizes 3× 3 com elementos
2 Chamamos de grau de (A, J) sobre k ao inteiro n tal que(
Ak, J)
≃ (Dn, j) onde (D, i) é uma álgebra decomposição associativa, veja [21, Cap.V.7, p.209].
14
numa álgebra de Cayley C sobre K e j é a involução padrão de (CK)3 associadacom a involução de C.
As únicas álgebras excepcionais na lista são as álgebras de Albert de dimensão 27 (detipo 4) como prova Schafer em [42, Cap.IV, Teo.9, p.38]. Estas últimas foram determina-
das em [41].
1.3 decomposição de peirce
Nesta seção vamos desenvolver algumas das principais ferramentas para a teoria es-trutural das álgebras de Jordan. Estamos falando da decomposição de uma álgebra
de Jordan em subespaços de Peirce relativa a um conjunto finito de elementos idem-potentes ortogonais dois a dois. Estes subespaços têm propriedades multiplicativas
importantes que serão apresentadas nos Teoremas 1.18 e 1.19.
Definição 1.17. Um elemento e de uma álgebra de Jordan J é chamado de elemento
idempotente se e2 = e. Um idempotente próprio é um elemento idempotente e 6= 0, 1.Dois idempotentes e, f são ditos ortogonais se ef = 0.
Como em uma álgebra de Jordan J de dimensão finita (sobre um corpo k algebrica-
mente fechado ou de char k = 0) temos decomposição J = Jss ⊕ Rad(J) com Jss umaálgebra de Jordan semissimples, pelo Teorema 1.11, existe um elemento identidade e
em Jss que pode ser “levantado” a um idempotente e da álgebra J. Então, sem perdade generalidade, podemos considerar que toda álgebra de Jordan a ser obtida nas clas-
sificações dos Capítulos 2 e 3, ou é nilpotente ou contém um elemento idempotentee.
Pela linearização da identidade de Jordan (1.3) temos que para qualquer elementoidempotente e ∈ J e qualquer elemento x ∈ J
0 = (xe, e, e) + (xe, e, e) + (e2, e, x)
= 2(xe, e, e) + (e, e, x)
= 2((xe)e)e− 3(xe)e+ xe
=[
2M3e − 3M2
e +Me
]
(x),
o que implica que 2M3e − 3M2
e +Me = 0, isto é se f(x) = (x− 1)(2x− 1)x então f(Me) =
0. Logo o polinômio minimal de Me divide f(x) e as únicas possibilidades para as raízes
características de Me são 0, 12 , 1 . Observe que 1 é com certeza uma raiz característica já
que Me(e) = e2 = e 6= 0. Também podemos deduzir que o polinômio minimal de Me
15
tem raízes simples. Logo, pelo Teorema da Decomposição Primária [40, Teo.7.6,p.168],J é a soma direta de espaços vetoriais
J = P1 ⊕P 12⊕ P0, onde Pi = x ∈ J | xe = ixcom i = 0, 1
2, 1.
Esta decomposição em soma de subespaços é chamada decomposição de Peirce da
álgebra de Jordan J relativa ao idempotente e . Os subespaços Pi são chamados decomponentes (ou subespaços) de Peirce da álgebra J e suas propriedades multiplicati-
vas são enunciadas no seguinte teorema.
Teorema 1.18. [50, Teo. 4, p. 334] Seja J uma álgebra de Jordan com idempotente e. Então a
tabela de multiplicação para a decomposição de Peirce de J é dada por:
P21 ⊆ P1, P1P0 = (0), P2
0 ⊆ P0,
P0P 12⊆ P 1
2, P1P 1
2⊆ P 1
2, P2
12
⊆ P0 + P1.
Observamos que a decomposição de Peirce é “herdada” por ideais ou por subálgebrasde J contendo e, ou seja se I é um ideal de J ou uma subálgebra contendo e então
I = I0 ⊕ I 12⊕ I1 onde Ii = I∩ Pi, veja [33, Teo.8.1.2, p. 236].
Mais geralmente, no caso em que J seja uma álgebra de Jordan com unidade 1 a qual
é soma de idempotentes ei dois a dois ortogonais, 1 =∑n
i=1 ei, então:
Teorema 1.19. [21, Lema 2, p. 120] J se decompõe em soma direta de subespaços
J =⊕
16i6j6n
Pij
onde Pii = x ∈ J | xei = x, Pij =x ∈ J | xei = xej =
12x
e as componentes Pij satisfazem
as seguintes relações:
P2ii ⊆ Pii, PijPii ⊆ Pij, P2
ij ⊆ Pii + Pjj,
PijPjk ⊆ Pik, PiiPjj = PiiPjk = PijPkl = (0)
onde os índices i, j, k, l são todos distintos.
Neste caso a decomposição recebe o nome de decomposição de Peirce da álgebra
de Jordan J relativa ao sistema de idempotentes e1, . . . , en e também é herdada por
ideais ou subálgebras de J contendo o sistema de idempotentes ortogonais ([33, Teo.13.1.4, p.280]).
Segue do fato da soma ser direta que se x ∈ Pij então xek = 0 para todo k ∈1, · · · , n \ i, j.
16
Suponha agora que J não tenha unidade mas possua um número finito e1, . . . , ende elementos idempotentes dois a dois ortogonais, então vamos considerar a álgebra
J# = J⊕ k · 1 obtida pela adjunção formal de um elemento identidade à álgebra J, paraa qual temos garantida a decomposição de Peirce
J# =⊕
06i6j6n
Pij
relativa ao sistema de idempotentes e0, e1, . . . , en onde e0 = 1− e1 − · · ·− en. Obser-vamos que mesmo J sendo subálgebra de J# não podemos aplicar a herda da decomposi-ção pois e0 /∈ J, mas a decomposição de Peirce de J# implica na seguinte decomposição
de J em subespaços:
J =⊕
06i6j6n
P ′ij (1.5)
onde P ′ii = x ∈ J | xei = x para i 6= 0, P ′
00 = x ∈ J | xek = 0, para todo 1 6 k 6 n,
P ′ij =
x ∈ J | xei = xej =
12x
para 0 6= i < j e P ′
0j =x ∈ J | xej =
12x
para j 6= 0. É
importante destacar que se x é um elemento de J que pertence a P ′ij então é conhecida
a ação dos idempotentes e1, . . . , en em x e isto determina a ação de e0 considerandox como um elemento de J#, logo x ∈ Pij quando considerado como um elemento daálgebra com unidade. É claro que a recíproca é também verdadeira. Como consequência
disso temos que a tabela de multiplicação dos P ′ij é análoga à tabela de multiplicação
dos Pij dada no Teorema 1.19.
Todo ideal K de J é claramente um ideal de J#, então K herda a decomposição dePeirce K =
⊕
06i6j6n Kij onde Kij = K∩Pij quando considerado como um ideal de J#
o que leva à decomposição K =⊕
06i6j6n K ′ij onde K ′
ij = K∩P ′ij quando considerado
como ideal de J. Novamente não podemos aplicar a herda a subálgebras de J já que
estas ao igual que J não contém o idempotente e0.
1.4 extensões e cohomologia
Nesta seção apresentaremos e relacionaremos os conceitos de extensões de uma álge-
bra de Jordan J por um bimódulo de Jordan M, considerando M como uma álgebra deJordan com multiplicação trivial e de segundo grupo de cohomologia de J com coefici-
entes em M. Uma referência para esta seção é o livro de N. Jacobson [21, Cap. II, seção5 e 8].
17
Começamos lembrando a definição de bimódulo de Jordan. Seja J uma álgebra deJordan sobre um corpo k, M um espaço vetorial sobre k e suponha que temos um par
de aplicações bilineares (a,m) → am e (a,m) → ma de J⊗M em M, onde a ∈ J em ∈ M. Logo temos
(a1 + a2)m = a1m+ a2m, a(m1 +m2) = am1 + am2,
α(am) = (αa)m = a(αm), α(ma) = (αm)a = m(αa)
para a, a1, a2 ∈ J, m, m1, m2 ∈ M e α ∈ k. Agora seja F = J⊕M o espaço vetorialda soma direta de J com M e defina em F um produto dado por
(a1 +m1) ⋆ (a2 +m2) = a1a2 + a1m2 +m1a2.
É imediato ver que este produto é bilinear, então F é uma álgebra. Mais ainda, J é uma
subálgebra e M é um ideal de F tal que M2 = 0.
Definição 1.20. M e as duas aplicações bilineares constituem um bimódulo de Jordan
para J se (F, ⋆) é uma álgebra de Jordan.
Definição 1.21. Seja J uma álgebra de Jordan e seja M um bimódulo de Jordan para J.Uma aplicação bilinear h : J× J → M a qual, para todo a, b ∈ J, satisfaz
h(a,b) = h(b,a)
(h(a,a)b)a+ h(a2,b)a+ h(a2b,a) = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba) (1.6)
é chamada de 2-cociclo de J com coeficientes em M. Denotamos o conjunto de todosos 2-cociclos de J com coeficientes em M por Z2(J,M).
Definição 1.22. Dizemos que dois 2-cociclos h e h ′ de J com coeficientes em M são
equivalentes se existe uma aplicação linear µ : J → M tal que para todo a, b ∈ J:
h ′(a,b) = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b. (1.7)
Esta é uma relação de equivalência no conjunto de todos os 2-cociclos de J com coe-ficientes em M. O conjunto das classes de equivalências determinado por esta relação
é denotado por H2(J,M) e é denominado segundo grupo de cohomologia da álgebra
J com coeficientes em M. Chamaremos de 2-cobordos de J com coeficientes em M
aos 2-cociclos equivalentes a 0. Denotaremos o conjunto de todos os 2-cobordos porB2(J,M).
Por outro lado vamos considerar as seguintes definições que veremos no final daseção como se relacionam com os conceitos de 2-cociclos e cohomologia.
18
Definição 1.23. Sejam J e M duas álgebras de Jordan então definimos uma extensão de
J por M como sendo uma sequência exata curta
0 → Mα→ F
β→ J → 0 (1.8)
tal que F é também uma álgebra de Jordan e α e β são homomorfismos de álgebras.
Definição 1.24. Duas extensões são chamadas de equivalentes se existe um diagrama
comutativo
F
γ
β
0 // M
α
>>⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥
α ′
J // 0.
F ′β ′
??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧
Segue da definição que γ é um isomorfismo de F em F ′.
Dizemos que a extensão (1.8) cinde se existe um homomorfismo δ : J → F tal queβδ = IdJ seja a aplicação identidade em J. Se este for o caso temos a decomposição em
espaços vetoriais F = δ(J)⊕α(M) e δ(J) é uma subálgebra de F isomorfa a J.
Se M é uma álgebra nula, no sentido que M2 = 0, então a extensão de J por M será
chamada de extensão nula.
Consideremos este tipo de extensões. Notemos primeiro que (1.8) implica que α é
injetora, logo podemos identificar M com α(M) e considerar α como sendo a inclusãode M em F. Como M tem um subespaço vetorial complementar em F, existe uma
transformação linear δ : J → F tal que βδ = IdJ. Assim temos a decomposição emespaços vetoriais F = M⊕ δ(J). Se a, b ∈ J então
β(δ(a)δ(b) − δ(ab)) = ab− ab = 0.
Como a sequência (1.8) é exata isto implica que δ(a)δ(b) − δ(ab) ∈ M. Logo temos
δ(a)δ(b) = δ(ab) + h(a,b)
onde (a,b) → h(a,b) é uma aplicação bilinear de J× J em M.
Observamos que M tem estrutura de bimódulo de Jordan para J relativa ao produtobilinear
am = ma = δ(a)m (1.9)
19
onde a ∈ J, m ∈ M e o produto do lado direito é o produto de F (para uma prova destefato veja [21, p. 92]) e destacamos que h definida por h(a,b) = δ(a)δ(b) − δ(ab) é um
2-cociclo de J com coeficientes em M (considerando M como um bimódulo de Jordanpara J via (1.9)) como consequência das condições impostas pela comutatividade e a
identidade de Jordan (1.2) de J.Reciprocamente, seja J é uma álgebra de Jordan, M um bimódulo de Jordan para J e
h um 2-cociclo de J com coeficientes em M. Seja F um espaço vetorial contendo M talque existe um isomorfismo linear δ : J → F que satisfaz F = δ(J)⊕M. Então F com a
multiplicação definida por:
(δ(a) +m)• (δ(b) + n) = δ (ab)+h(a,b)+an+mb, a,b ∈ J e m,n ∈ M,
é uma álgebra de Jordan e M é um ideal em F tal que M2 = 0 e a estrutura de bimódulode M dada por (1.9) coincide com a original.
Estes fatos se resumem no seguinte teorema.
Teorema 1.25. [21, Teorema 12, p. 94] Seja J uma álgebra de Jordan e M um bimódulo de
Jordan para J, então existe uma bijeção de H2(J,M) no conjunto das classes de equivalências de
extensões nulas de J por M tal que a estrutura de bimódulo em M dada por (1.9) coincide com a
original. Nesta correspondência a classe de equivalência do 0 em H2(J,M) corresponde à classe
de isomorfismos de extensões cindidas.
20
2 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE
JORDAN DE D IMENSÃO 4 SOBRE UM CORPO ALGEBR I -
CAMENTE FECHADO
Entendemos por “classificação algébrica” a determinação de todas as classes de iso-morfismos de álgebras de Jordan de dimensão fixa. O primeiro passo na classificação
algébrica de álgebras de Jordan foi dado por A. Albert quem determinou todas as ál-gebras de Jordan simples de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado.
Mas, exceto para dimensões baixas, uma classificação algébrica completa só é conhecidano caso de álgebras de Jordan semissimples.
Neste capítulo k denotará um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2. A seguirapresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan1 (unitárias e não unitárias, asso-
ciativas e não associativas) de dimensão 4 sobre k. Faremos isto em duas seções, naprimeira introduzimos as álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão menor que
4, com o fim de fixar e simplificar a notação. Na segunda descrevemos as álgebras dedimensão 4 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos possíveis valores
do tipo de nilpotência.
Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-
ver a variedade Jor4 no Capítulo 5 deste texto.
Como foi visto no capítulo anterior toda álgebra de Jordan de dimensão finita sobreum corpo algebricamente fechado pode-se decompor como soma direta de espaços
vetoriais como J = Jss ⊕ Rad(J), onde Jss = J/Rad(J) é semissimples ou 0 e Rad(J) éo radical de J. Consequentemente denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni
aqueles elementos que pertencem a Rad(J).
1 A classificação foi realizada inspirada no trabalho feito por H. Sherkulov em [43] onde o autor somenteapresentou a lista das álgebras de Jordan não associativas.
21
2.1 álgebras de jordan de dimensão menor que 4
2.1.1 Álgebras de Jordan de Dimensão 1
Existem somente duas k-álgebras de Jordan de dimensão 1 não isomorfas: a álgebra
simples ke com e2 = e e a álgebra nilpotente kn com n2 = 0.
2.1.2 Álgebras de Jordan de Dimensão 2
Do teorema de Albert temos que a única álgebra de Jordan semissimples de dimensão
2 é ke1 ⊕ ke2. Se dim Rad(J) = 1 então J tem um elemento idempotente e1, Rad(J)é gerado por n1 e a ação de e1 em n1 é dada pelo Teorema 1.18, logo temos que
e1n1 = in1 para i = 0, 12 , 1. Isto define 3 álgebras não isomorfas. Finalmente, existem
duas álgebras nilpotentes: a álgebra “nula”, isto é com multiplicação 0 e a álgebra
gerada por n1, com n31 = 0. Portanto obtemos as seguintes três k-álgebras de Jordan
indecomponíveis de dimensão 2, que denotaremos por Bi:
Tabela 2.1: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2
B Tabela de Multiplicação Observação
B1 e21 = e1 e1n1 = n1 n21 = 0 Associativa
B2 e21 = e1 e1n1 = 12n1 n2
1 = 0 Não Associativa
B3 n12 = n2 n1n2 = 0 n2
2 = 0 Nilpotente, Associativa
2.1.3 Álgebras de Jordan de Dimensão 3
Em [25] foram descritas todas as álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo
algebricamente fechado. Dessa lista obtemos as seguintes 10 álgebras indecomponíveisde dimensão 3, que denotaremos por Ti:
Tabela 2.2: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3
T Tabela de Multiplicação Observação
T1e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
UnitáriaAssociativa
T2e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
Unitária
Associativa
22
T Tabela de Multiplicação Observação
T3n21 = n2 n2
2 = 0 n23 = 0
n1n2 = n3 n1n3 = 0 n2n3 = 0
Associativa,Nilpotente
T4n21 = n2 n2
2 = 0 n23 = 0
n1n2 = 0 n1n3 = n2 n2n3 = 0
Associativa,
Nilpotente
T5e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2
e1e2 = 0 e1e3 = 12e3 e2e3 = 1
2e3
Unitária,
Não Associativa,Simples
T6e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
Não Associativa
T7e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = 1
2n2 n1n2 = 0Não Associativa
T8e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = 0 n1n2 = 0
Não Associativa
T9e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
Não Associativa
T10e21 = e1 e22 = e2 n2
1 = 0
e1e2 = 0 e1n1 = 12n1 e2n1 = 1
2n1
Unitária,
Não Associativa
2.2 álgebras de jordan de dimensão 4
Nesta seção descreveremos todas as 73 álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um
corpo k algebricamente fechado. A descrição será organizada de acordo com a dimen-são do radical Rad(J) e subsequentemente com os possíveis valores de seu tipo denilpotência. Durante a descrição será provado que qualquer outra álgebra de Jordan
de dimensão 4 sobre um corpo algebricamente fechado é isomorfa a uma das 73 e porúltimo no Teorema 2.2 veremos que as álgebras J1 a J73 são duas a duas não isomorfas.
Quando não houver ambiguidade em relação à álgebra J chamaremos de N ao radical
nilpotente de J a fim de simplificar a notação. Também observamos que como Ji = J〈i〉
para i = 1, 2, 3 usaremos somente a notação de i-ésima potência nestes casos.
Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos Aut(J) =g ∈ GL(J) | g é um endomorfismo de J, de seu aniquilador Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0
e de sua segunda potência J2. Para uma lista mais detalhada das propriedades de cadaálgebra veja o Apêndice B.
23
2.2.1 Álgebras de Jordan Semissimples
Para obter a classificação das álgebras semissimples é suficiente, por definição, conhecer
as simples. Para um corpo algebricamente fechado e uma álgebra de dimensão finitaestas últimas foram totalmente determinadas por A. Albert. Segue então do Teorema
1.14 que se J é uma álgebra de Jordan simples de dimensão menor ou igual a 4 sobreum corpo k algebricamente fechado então, ou J = k ou J é a álgebra de Jordan de uma
forma bilinear simétrica não degenerada. Observamos que desprezamos as álgebras deJordan J = (H(Dn, j),⊙) dos elementos de Dn para n > 3, onde (D, i) é uma álgebra de
composição, simétricos com respeito à involução padrão j associada a i, pois no mínimoestas álgebras tem dimensão 6.
Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a 4,fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas
sobre espaços vetoriais de dimensão finita.Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre k, que possui uma forma
bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), de [40, Teo. 11.23, p.287] existe uma basee1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1 e f(ei, ej) = 0 para i 6= j. Então a álgebra de Jordan
(J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base 1, e1, . . . , en e é definida pelos produtos
1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ei = 1, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j
Logo existem somente 3 álgebras de Jordan simples não isomorfas de dimensão me-nor ou igual a 4:
1. ke1 de dimensão 1,
2. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 2, de dimensão 3 e
3. (J(V, f),⊡) onde dimk V = 3, de dimensão 4.
Note que a álgebra do item 2 é isomorfa à álgebra tridimensional T5 via isomorfismo
T : (T5, ·) →(J(V, f),⊡) dado por
T(e1) =1
2· 1+ 1
2e1, T(e2) =
1
2· 1− 1
2e1, T(e3) = e2.
Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordan
semissimples de dimensão 4 sobre k:
24
Tabela 2.3: k-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 4
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J1 T5 ⊕ ke4 1 0 4Unitária,
Semissimples
J2
e21 = e1 e22 = e2
e1e3 = 12e3 e1e4 = 1
2e4
e2e3 = 12e3 e2e4 = 1
2e4
e3e4 = 12(e1 + e2)
3 0 4Unitária,
Simples
J3 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 0 0 4
Unitária,
Semissimples,Associativa
Novamente, note que a álgebra do item 3 é isomorfa à álgebra J2 via isomorfismoT : (J2, ·) →(J(V, f),⊡) dado por
T(e1) =1
2· 1− 1
2e1, T(e2) =
1
2· 1+ 1
2e1, T(e3) = −ie2+ e3, T(e4) =
i
4e2+
1
4e3.
No que segue usaremos o produto dado por J2 já que estamos interessados em conhecer
os elementos idempotentes ortogonais de cada álgebra que nos fornecem a correspon-dente decomposição de Peirce.
2.2.2 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 1
Considere J uma k-álgebra de Jordan tal que dimN = 1, logo a parte semissimples Jss
tem dimensão 3 e pelo Teorema 1.14 temos as seguintes possibilidades:
ou Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ou Jss = T5.
Quando não houver ambiguidade denotaremos as componentes de Peirce de J e N,P ′ij e N′
ij, simplesmente por Pij e Nij para simplificar a notação.
1) Suponha que Jss = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 4 idem-
potentes ortogonais e1, e2, e3 e e0 = 1− e1 − e2 − e3, logo da decomposição de Peirce(1.5) temos:
J = P00 ⊕P01 ⊕ P02 ⊕P03 ⊕ P11 ⊕P12 ⊕ P13 ⊕P22 ⊕ P23 ⊕P33,
25
e como o radical N é um ideal de J este herda a decomposição:
N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N03 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N13 ⊕N22 ⊕N23 ⊕N33,
onde Nij = N ∩ Pij. Seja n1 uma base de N, então J é completamente definida pelosubespaço de Peirce ao qual n1 pertence. Assim obtemos as seguintes álgebras não
isomorfas:
Tabela 2.4: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e partesemissimples ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J4 B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 1 0 4
Unitária,Associativa,
n1 ∈ N11
J5 ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ kn1 1 1 3Associativa,
n1 ∈ N00
J6 B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 2 0 4 n1 ∈ N01
J7 T10 ⊕ ke3 2 0 4Unitária,
n1 ∈ N12
Observamos que no caso em que n1 pertença aos subespaços Nii para i = 2, 3 temosum elemento idempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida é
isomorfa a J4. Se n1 ∈ N0i para i = 2, 3 temos um elemento idempotente na álgebraagindo como 1
2 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a J6. Por último se n1 pertence
a algum dos subespaços Ni3 temos dois elementos idempotentes na álgebra que agemcomo 1
2 em n1, portanto a álgebra correspondente é isomorfa a J7.
2) Suponha que Jss = T5. Então a álgebra J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempo-tentes ortogonais e1, e2, e0 = 1− e1 − e2 o que implica na decomposição de Peirce do
radical N
N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.
Seja n1 uma base de N então a ação dos elementos idempotentes em n1 fica definidapela componente Nij à qual n1 pertence. Só resta estabelecer como age e3 em n1.
Da tabela de multiplicação de T5 (veja a Tabela 2.2) deduzimos que e3 ∈ P12. Suponha
que n1 ∈ N00, então do Teorema 1.19 e3n1 ∈ P12P00 = 0 é zero. Agora se n1 ∈ N12,então e3n1 ∈ P2
12 ⊆ P11 ⊕ P22 e também e3n1 ∈ N = N12 ⊆ P12 logo e3n1 = 0.
26
Analogamente prova-se que se n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 então e3n1 = 0 masnestes casos existem elementos de J que não satisfazem a identidade (1.3)
(n1e3, e3, e2) + (n1e2, e3, e3) + (e3e2, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N01 ou n1 ∈ N11,(n1e3, e3, e1) + (n1e1, e3, e3) + (e3e1, e3,n1) 6= 0 se n1 ∈ N02 ou n1 ∈ N22.
Logo as álgebras resultantes dos casos n1 ∈ N0i ou n1 ∈ Nii para i = 1, 2 não são
álgebras de Jordan, portanto só temos duas álgebras de Jordan não isomorfas:
Tabela 2.5: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical unidimensional e partesemissimples T5
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J8 T5 ⊕ kn1 2 1 3 n1 ∈ N00
J9
e21 = e1 e22 = e2
e23 = e1 + e2
e1e3 = 12e3 e1n1 = 1
2n1
e2e3 = 12e3 e2n1 = 1
2n1
4 0 4Unitária,
n1 ∈ N12
2.2.3 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 2
Seja J uma k-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. Do Teorema de Alberttemos que a única álgebra de Jordan semissimples de dimensão 2 é Jss = ke1 ⊕ ke2,
logo a álgebra unitária J# = J⊕ k · 1 contém 3 elementos idempotentes ortogonais e1,e2, e0 = 1− e1 − e2 o que implica na seguinte decomposição de N em subespaços de
Peirce:
N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.
O ideal nilpotente maximal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo, pela definição de tipo de nilpo-
tência, N2 = 0. Seja n1, n2 uma base de N então, novamente, J fica completamentedefinida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 e n2 pertencem. Assim obtemos 36
possíveis álgebras das quais as seguintes 13 são não isomorfas:
27
Tabela 2.6: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2)
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J10 B2 ⊕ ke2 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N01, n2 ∈ N00
J11 T10 ⊕ kn2 3 1 3 n1 ∈ N12, n2 ∈ N00
J12 T7 ⊕ ke2 6 0 4 n1, n2 ∈ N01
J13 B2 ⊕B2 4 0 4 n1 ∈ N02, n2 ∈ N01
J14 T6 ⊕ ke2 3 0 4 n1 ∈ N01, n2 ∈ N11
J15 B2 ⊕B1 3 0 4 n1 ∈ N11, n2 ∈ N02
J16
e21 = e1 e22 = e2
e1n1 = 12n1
e1n2 = 12n2 e2n1 = 1
2n1
4 0 4n1 ∈ N12,
n2 ∈ N01
J17
e21 = e1 e22 = e2
e1n1 = 12n1
e1n2 = n2 e2n1 = 12n1
3 0 4Unitária,
n1 ∈ N12, n2 ∈ N11
J18
e21 = e1 e22 = e2
e1n1 = 12n1 e1n2 = 1
2n2
e2n1 = 12n1 e2n2 = 1
2n2
6 0 4Unitária,
n1, n2 ∈ N12
J19 ke1 ⊕ kn1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 4 2 2Associativa
n1, n2 ∈ N00
J20 B1 ⊕ ke2 ⊕ kn2 2 1 3Associativa
n1 ∈ N11, n2 ∈ N00
J21 T2 ⊕ ke2 4 0 4
Unitária,
Associativan1, n2 ∈ N11
J22 B1 ⊕B1 2 0 4
Unitária,Associativa
n1 ∈ N11, n2 ∈ N22
Qualquer outra das 26 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma das
álgebras J10 a J22, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2 ou e1 com e2
ou que realiza ambas trocas.
2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Vamos provar que neste caso existen ∈ N tal que N = kn+ kn2 com n3 = 0. Como dimN2 = 1 existe m ∈ N tal que
28
N2 = km, completando a uma base de N então N = km+ kn. Agora como m ∈ N2
existem n1,n2 ∈ N tal que m = n1n2, logo
0 6= m = n1n2 = (αm+ βn)(α ′m+ β ′n)
= αα ′m2 + (αβ ′ + α ′β)mn+ββ ′n2
como m2, mn ∈ N3 = 0 temos que m = ββ ′n2 logo N = kn2 + kn.Suponha primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimen-
são 2, a saber N = Nij então do Teorema 1.19 N2ij ⊆ Nii ⊕Njj. Se i 6= j então N2 = 0 o
que é uma contradição, isto implica que i = j e logo N = Nii, i = 0, 1, 2.
Suponha, agora, que N = Nij ⊕Nkl com (i, j) 6= (k, l) e dimNij = dimNkl = 1. Anali-saremos os seguintes casos no quais consideraremos os índices i, j, k todos diferentes.
Se N = Nii ⊕Nij, podemos escolher o n da base como sendo um elemento de Nij. Defato se Nii = ka e Nij = kb, então temos b2 ∈ Nii ⊕Njj, mas Njj = 0, logo b2 = αa
para algum α ∈ k. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência já temos que a2 = ab = 0 e N2
tem dimensão 1. Consequentemente N = kb2 + kb.
Para qualquer outro par de índices i, j e k, l obtemos uma contradição ao fato de queo tipo de nilpotência de N é (1, 1).
i. Se N = Nii ⊕Njj, então pela nilpotência N2ii = N2
jj = 0 e da tabela de multipli-
cação das componentes de Peirce NiiNjj = 0. Logo N2 = 0 o que leva a umacontradição.
ii. Analogamente se N = Nii ⊕Njk, novamente pela nilpotência N2ii = 0 e da tabela
de multiplicação do Teorema 1.19 N2jk ⊆ Njj ⊕Nkk = 0 e NiiNjk = 0, o que é
uma contradição.
iii. Finalmente se N = Nij ⊕Nik então N2 ⊆ Nii ⊕Njj ⊕Njk ⊕Nkk = 0.
Assim temos que só existem 9 possíveis k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radicalcom tipo de nilpotência (1, 1) das quais as seguintes 5 álgebras são não isomorfas. Em
todas elas n21 = n2.
Tabela 2.7: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1)
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J23 T8 ⊕ ke2 2 1 4n1 ∈ N01,
n2 ∈ N00
29
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J24 T9 ⊕ ke2 2 0 4n1 ∈ N01,n2 ∈ N11
J25
e21 = e1 e22 = e2
e1n2 = n2 e1n1 = 12n1
e2n1 = 12n1 n2
1 = n2
2 0 4
Unitária,n1 ∈ N12,
n2 ∈ N11
J26 B3 ⊕ ke1 ⊕ ke2 2 1 3Associativa,n1, n2 ∈ N00
J27 T1 ⊕ ke2 2 0 4
Unitária,Associativa,
n1, n2 ∈ N11
As outras 4 possibilidades: n1 ∈ N02 e n2 ∈ N00, n1 ∈ N02 e n2 ∈ N22, n1 e
n2 ∈ N22, n1 ∈ N12 e n2 ∈ N22, resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra J23, J24,J27 e J25 respetivamente, com isomorfismo que permuta e1 com e2.
2.2.4 Álgebras de Jordan com Radical de Dimensão 3
No caso em que J seja uma álgebra de Jordan de dimensão 4 sobre k, com radical
nilpotente N de dimensão 3, então Jss é uma álgebra simples unidimensional, logoJss = ke1 e J só tem um elemento idempotente e1 ∈ J que implica na decomposição
de Peirce de N:
N = N0 ⊕N 12⊕N1.
Primeiramente, provaremos o seguinte lema que será frequentemente usado no queresta da classificação.
Lema 2.1. Se dimNi = 1 então N2i = 0, para i = 0, 1. Se dimN 1
2= 1 então N 1
2Ni = 0 para
i = 0, 1.
Demonstração. Como para i = 1, 2 temos N2i ⊆ Ni, pela nilpotência esta inclusão é
estrita N2i ( Ni. Pela hipóteses temos que dimNi = 1 logo N2
i = 0. Para a segundaparte note que N 1
2Ni ⊆ N 1
2. Suponha que acontece a igualdade, então
0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12Ni)Ni)Ni = N 1
26= 0,
logo devemos ter N 12Ni ( N 1
2. Finalmente, pela hipóteses temos que dimN 1
2= 1 segue
que N 12Ni = 0.
30
O radical N pode ter os seguintes tipos de nilpotência: (3), (1, 1, 1) ou (2, 1).
1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (3). Logo, pela definição de tipo de nilpotên-cia, N2 = 0. Seja n1, n2, n3 uma base de N então, mais uma vez J fica completamente
definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1, n2 e n3 pertencem. Assim obtemos27 possíveis álgebras das quais as seguintes 10 são não isomorfas:
Tabela 2.8: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (3)
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J28 B2 ⊕ kn2 ⊕ kn3 6 2 2 n1 ∈ N 12, n2, n3 ∈ N0
J29 T6 ⊕ kn3 4 1 3n1 ∈ N 1
2,
n2 ∈ N1,n3 ∈ N0
J30 T7 ⊕ kn3 7 1 3 n1, n2 ∈ N 12
, n3 ∈ N0
J31e21 = e1 e1n1 = n1
e1n2 = n2 e1n3 = 12n3
6 0 4 n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N 12
J32e21 = e1 e1n1 = 1
2n1
e1n2 = 12n2 e1n3 = n3
7 0 4 n1, n2 ∈ N 12
, n3 ∈ N1
J33e21 = e1 e1n1 = 1
2n1
e1n2 = 12n2 e1n3 = 1
2n3
12 0 4 n1, n2, n3 ∈ N 12
J34 ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 9 3 1Associativa,
n1, n2, n3 ∈ N0
J35 B1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,
n1 ∈ N1, n2, n3 ∈ N0
J36e21 = e1 e1n1 = n1
e1n2 = n2 e1n3 = n3
9 0 4Unitária, Associativa,
n1, n2, n3 ∈ N1
J37 T2 ⊕ kn3 5 1 3Associativa,
n1, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0
Qualquer outra das 17 possibilidades resulta em uma álgebra isomorfa a uma dasálgebras J28 a J37, só basta aplicar o isomorfismo que troca n1, n2 e n3.
2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Lembramos, pela definição de tipode nilpotência, que isto significa que dimN2 = 2, dimN3 = 1 e N〈4〉 = 0.
Só existe uma (a menos de isomorfismo) álgebra de Jordan de dimensão 3 nilpotentecom tipo de nilpotência (1, 1, 1) logo N = T3 e somente temos duas álgebras de Jordan
de dimensão 4 não isomorfas com esse radical:
31
Tabela 2.9: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (1, 1, 1)
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J38 T3 ⊕ ke1 3 1 3Associativa,N = N0
J39
e21 = e1 n21 = n2
e1n1 = n1 e1n2 = n2
e1n3 = n3 n1n2 = n3
3 0 4
Unitária,Associativa,
N = N1
Todos os outros casos levam a uma contradição, a saber:
i. Suponha que N = N 12
então, da tabela de multiplicação das componentes dePeirce do Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato de N2 ter
dimensão 2.
ii. Suponha agora que N = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N21 = 0 e
pela tabela de multiplicação do Teorema 1.18 temos que N0N1 = 0 logo N2 ⊆ N0.
Como dimN2 = 2 = dimN0 eles coincidem, N2 = N0. Como consequência, existeum elemento n0 ∈ N0 que gera N3, i.e., N3 = kn0, escolhendo algum m0 ∈ N0 e
n1 ∈ N1 obtemos que N2 = kn0 + km0. Logo obtemos os seguintes produtos emN:
N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0,
n21 = n0n1 = m0n1 = 0,
restando somente m20 não nulo, o que contradiz o fato de dimN2 = 2. Ana-
logamente chegamos a uma contradição se consideramos N = N0 ⊕N1, com
dimN1 = 2.
iii. Suponha que N = N0 ⊕N 12
onde dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 N2 ⊆ N0 e como
dimN2 = 2 = dimN0, temos N2 = N0. Consequentemente, existe n0 ∈ N0 talque N3 = kn0, completando a uma base de N0 temos que existe m0 ∈ N0 tal que
N2 = kn0 + km0. Completando mais uma vez a uma base de N temos que existen 1
2∈ N 1
2tal que temos os seguintes produtos em N:
N〈4〉 ∋ n20 = n0m0 = 0, N3 ∋ m2
0 = αn0
n0n 12= m0n 1
2= 0, N2 ∋ n2
12
= α ′n0 + β ′m0.
32
Obtemos uma álgebra de Jordan somente se α = 0 ou β ′ = 0, mas em ambosos casos isto contradiz o fato de dimN2 = 2. Analogamente a prova leva a uma
contradição se considerarmos N = N1 ⊕N 12, com dimN1 = 2.
iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12, onde dimN 1
2= 2. Primeiramente mostraremos que,
neste caso,
(N 12N0)N0 = (N0N 1
2)N 1
2= 0. (2.1)
Da tabela de multiplicação das componentes de Peirce do Teorema 1.18 temos que(N 1
2N0)N0 ⊆ N 1
2N0 ⊆ N 1
2. Suponha que aconteça a igualdade N 1
2N0 = N 1
2então
0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1
26= 0,
logo a inclusão é estrita N 12N0 ( N 1
2. Considere agora a igualdade (N 1
2N0)N0 =
N 12N0, neste caso
0 = N〈4〉 ⊇ ((N 12N0)N0)N0 = N 1
2N0,
o que implica que N2 = N20+N2
12
⊆ N0 mas dimN2 = 2 enquanto que dimN0 = 1.Portanto, ambas inclusões são estritas: (N 1
2N0)N0 ( N 1
2N0 ( N 1
2e, consequente-
mente,
dim[(N 12N0)N0] < dim(N 1
2N0) < dimN 1
2= 2,
logo dim(N 12N0) = 1 e (N 1
2N0)N0 = 0 como queríamos provar.
Para provar a segunda igualdade de (2.1), procedemos de maneira análoga. DoTeorema 1.18 (N0N 1
2)N 1
2⊆ N2
12
⊆ N0. Suponha que (N0N 12)N 1
2= N0 então
0 = N〈4〉 ⊇ ((N0N 12)N 1
2)N 1
2= N0N 1
26= 0,
o que contradiz o fato de dim(N0N 12) = 1. Então, novamente a inclusão é estrita
(N0N 12)N 1
2( N0 e como por hipóteses dimN0 = 1, temos que (N0N 1
2)N 1
2= 0.
Agora, lembrando que N = T3, para o elemento n1 da base dada na Tabela 2.2temos n1 = m0 +m 1
2, onde mi ∈ Ni e i = 0, 1
2. Logo, usando que N2
12
⊆ N0,
o Lema 2.1 e as identidades (2.1) obtemos que n21 = m ′
0m 12+m2
12
e n31 = m3
12
.Portanto,
(m212
, e1,m 12) = (m2
12
e1)m 12−m2
12
(e1m 12) = −
1
2n31 6= 0,
33
e logo a álgebra J não é de Jordan.
Uma prova análoga mostra que não existe álgebra de Jordan de dimensão 4 comradical de tipo (1, 1, 1) e N = N1 ⊕N 1
2, onde dimN 1
2= 2.
v. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 onde dimNi = 1 para i = 0, 1
2, 1. Do Lema 2.1
e do Teorema 1.18 temos N2 ⊆ N0 ⊕N1 o que implica que N3 ⊆ (N0 ⊕N1)N = 0
o que é uma contradição ao fato de N3 ter dimensão 1.
3) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2, 1). Lembramos que isto significa que
dimN2 = 1 e N3 = 0. Existem duas (a menos de isomorfismo) álgebras de Jordan dedimensão 3 nilpotente com tipo de nilpotência (2, 1) logo ou N = B3 ⊕ kn3 ou N = T4.
Para provar que as únicas álgebras de Jordan neste caso são J40 a J60, considerare-mos (J, ·) uma k-álgebra de Jordan com base E1,N1,N2,N3 cujo radical tem tipo de
nilpotência (2, 1) e cujo produto satisfaz as condições obtidas em cada caso. Concluire-mos que J é isomorfa a uma das álgebras J40 a J60 exibindo um isomorfismo (J, ·) → Ji
para algum 40 6 i 6 60 que leva a base E1,N1,N2,N3 de J na base e1,n1,n2,n3 deJi. Para simplificar a notação obviaremos os casos em que o isomorfismo leva E1 7→ e1
e Ni 7→ ni, para i = 1, 2, 3.Analisaremos os seguintes casos dependendo da dimensão dos subespaços Ni.
i. Suponha que N = N0. Isto implica que e1x = 0 para todo x ∈ N, logo J = ke1⊕N
como soma direta de álgebras. Portanto obtemos duas álgebras não isomorfas:
Tabela 2.10: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =
N0
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J40 B3 ⊕ ke1 ⊕ kn3 5 2 2Associativa,
N = B3 ⊕ kn3
J41 T4 ⊕ ke1 4 1 2Associativa,N = T4
ii. Suponha que N = N1. Isto implica que e1x = x para todo x ∈ N, logo obtemos
duas álgebras unitárias e associativas não isomorfas:
34
Tabela 2.11: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) e N =
N1
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J42
e21 = e1 n21 = n2
e1n1 = n1 e1n2 = n2
e1n3 = n3
5 0 4
Unitária,Associativa,
N = B3 ⊕ kn3
J43
e21 = e1 n21 = n2
e1n1 = n1 e1n2 = n2
e1n3 = n3 n1n3 = n2
4 0 4
Unitária,
Associativa,N = T4
iii. Suponha que N = N 12
. Então N2 ⊆ N0 ⊕N1 = 0 o que contradiz o fato dedimN2 = 1 quando N tem tipo de nilpotência (2, 1).
iv. Suponha que N = N0 ⊕N 12, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,
N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando auma base de N temos que existem n1 ∈ N 1
2e n3 ∈ N0 tal que
n22, n2n3 ∈ N3 = 0, n1n2 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,
n23 = αn2 e n2
1 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.2)
Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se amboscoeficientes fossem nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo
de nilpotência (2, 1). Logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assimobtemos as seguintes álgebras:
Tabela 2.12: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N 1
2com dimN0 = 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J44 T8 ⊕ kn3 4 2 3 α = 0,β 6= 0
J45e21 = e1 n2
1 = n2
n23 = n2 e1n1 = 1
2n1
3 1 3 α 6= 0,β 6= 0
J46 B2 ⊕B3 4 1 3 α 6= 0,β = 0
35
Provaremos a seguir que para quaisquer outros valores de α e β a álgebra obtidaé isomorfa a uma das anteriores. Para isso suponha que o produto · de J satisfaz
(2.2) para alguns α e β tal que pelo menos um deles é não nulo.
Vamos supor primeiro que o coeficiente não nulo seja β. Então se α = 0 a álgebraJ é isomorfa a J44 com isomorfismo definido por N2 7→ β−1n2. Mas se α for
também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J45 com isomorfismo dado porN2 7→ β−1n2 e N3 7→
√α√βn3 cujo determinante
√α
(√β)
3 é bem definido e não nulo
para todo β 6= 0 e α 6= 0. Suponha agora que o coeficiente não nulo seja α. Se
β = 0 o isomorfismo definido por N2 7→ α−1n2 mostra que J ≃ J46.
v. Suponha que N = N0 ⊕N1, com dimN0 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema 1.18,
N2 ⊆ N0. Consequentemente, existe n2 ∈ N0 tal que N2 = kn2, completando auma base de N existem n1 ∈ N0 e n3 ∈ N1 tal que
n22, n2n1, n2n3 ∈ N3 = 0, n2
3 = n1n3 = 0, (2.3)
n21 = αn2 pois n2
1 ∈ N2.
Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas se α = 0 entãoN2 = 0 o que contradiz o fato de N ter tipo de nilpotência (2, 1). Logo α deve ser
não nulo e obtemos uma única álgebra:
Tabela 2.13: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N1 com dimN0 = 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J47 B1 ⊕B3 3 1 3 Associativa
Vejamos que para quaisquer outros valores de α a álgebra obtida é isomorfa a J47.
Analogamente ao caso anterior suponha que o produto · de J satisfaz (2.3) paraalgum α 6= 0 então o isomorfismo é definido por N2 7→ α−1n2.
vi. Suponha que N = N0 ⊕N 12, com dimN 1
2= 2. Considere n1 ∈ N0, n2, n3 ∈ N 1
2.
Do Lema 2.1 segue que n21 = 0. Por outro lado n2
2, n23, n2n3 ∈ N2
12
⊆ N0 logo
n22 = αn1, n2
3 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈ N0N 12⊆ N 1
2
temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.
Verificando que a base e1, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) ob-
temos condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemossão isomorfas a uma das seguintes álgebras:
36
Tabela 2.14: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N 1
2com dimN 1
2= 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J48e21 = e1 n2
3 = n1
e1n2 = 12n2 e1n3 = 1
2n3
5 1 4
J49
e21 = e1 n23 = n1
e1n2 = 12n2 e1n3 = 1
2n3
n2n3 = n1
4 1 4
J50e21 = e1 e1n2 = 1
2n2
e1n3 = 12n3 n1n2 = n3
5 0 3
Vejamos isso com mais detalhes, para isso considere que (J, ·) satisfaz as condi-ções de nosso problema para certos coeficientes α, β, γ, δ, δ1, θ e θ1. Suponha,
primeiramente, que char k 6= 3, então obtemos2 6 condições que as constantesdevem satisfazer para a álgebra ser de Jordan, a saber:
a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 o isomorfismo definido porN1 7→ β−1n1 e N2 7→ −γβ−1n2 + 2γβ−1n3 cujo determinante −γβ−2 é bem
definido e não nulo, nos da J ≃ J49. Mas se γ = 0 então J ≃ J48 comisomorfismo N1 7→ β−1n1.
b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrárioN2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J50 com
isomorfismo N1 7→ δn1.
c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem não nulas,
temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J49 com iso-
morfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ −
√−αβ+γ2
α n2 +γ+
√−αβ+γ2
α n3
de det =
√−αβ+γ2
α2 , ou −αβ + γ2 = 0 e então J ≃ J48 com isomorfismoN1 7→ α−1n1, N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 de det = α−2γ. Agora,
se β = γ = 0 então J ≃ J48 com isomorfismo dado por N1 7→ α−1n1,N2 7→ n3 e N3 7→ n2 com det = −α−1. Se somente um deles for nulo
então a álgebra obtida é J49 com isomorfismo N1 7→ α−1n1, N2 7→ n3 eN3 7→ −γα−1n2 + 2γα−1n3 de det = γα−2 se β = 0, e com isomorfismo
N1 7→ −β−1n1, N2 7→ i√α√βn3 e N3 7→ −n2 + n3 de det = −i
√α
(√β)
3 se γ = 0.
2 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora, veja Apêndice A.
37
d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2
θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J50
com isomorfismo N1 7→ −θ2
θ1n1 e N3 7→ θ1
θn2 + n3 cujo determinante −θ2
θ1é
bem definido e não nulo.
e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J50 com isomorfismoN1 7→ θ1n1, N2 7→ n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −θ1 é não nulo.
f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J49 com isomorfismoN1 7→ γ−1n1, N2 7→ −1
2n2 + n3 e N3 7→ n2 cujo determinante −γ−1 é bem
definido e não nulo.
Suponha agora que k é um corpo algebricamente fechado de característica 3, então
as condições dadas pela identidade (1.3) mudam. Assim obtemos as seguintes 7
condições sobre as constantes:
a) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e αβ + 2γ2 6= 0. Então considerando as diferentes
possibilidades para α, β e γ caímos nos casos a), c) e f) anteriores.
b) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Então temos duas possibilidades para
β: ou β = 0 e caímos no caso e) de char k 6= 3 ou β 6= 0 mas neste caso(N2
3,E1,N3) = −12βθ1N2 6= 0 então J não é de Jordan.
c) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Então temos duas possibilidades paraα: ou α = 0 e caímos no caso b) de char k 6= 3 ou α 6= 0 mas neste caso
(N22,E1,N2) = −1
2αδN3 6= 0 então J não é de Jordan.
d) θ1 = θ = δ1 = δ = β = γ = 0. Então necessariamente α 6= 0 (caso contrário
N2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e caímos no caso c) dechar k 6= 3.
e) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2
θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Idem caso d) de
char k 6= 3.
f) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2
βcom β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que
−2 = 1 temos que α = γ2
βe logo J ≃ J48 com isomorfismo N1 7→ α−1n1,
N2 7→ n2 + n3 e N3 7→ α−1γn3 cujo determinante α−2γ é bem definido enão nulo. É interessante observar que se char k for diferente de 3 neste caso
a álgebra seria J49.
g) θ1 = θ = δ1 = δ = α = γ = 0 com β 6= 0. Idem caso a) de char k 6= 3 quandoγ = 0.
38
vii. Suponha que N = N0 ⊕N 12⊕N1 com dimNi = 1 para i = 0, 1
2 , 1. Consideren1 ∈ N 1
2, n2 ∈ N1, n3 ∈ N0 então temos os seguintes produtos em N:
n23 = n2
2 = n1n3 = n1n2 = 0 pelo Lema 2.1, n2n3 ∈ N0N1 = 0,
n21 = αn3 +βn2 pois n2
1 ∈ N212
⊆ N0 ⊕N1. (2.4)
Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas se amboscoeficientes fossem nulos então N2 = 0, contradizendo o fato que N tem tipo
de nilpotência (2, 1). Logo pelo menos um deles tem que ser não nulo. Assimobtemos as seguintes álgebras:
Tabela 2.15: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N 1
2⊕N1
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J51 T9 ⊕ kn3 3 1 3α = 0
β 6= 0
J52e21 = e1 n2
1 = n3
e1n2 = n2 e1n1 = 12n1
3 1 4α 6= 0
β = 0
J53e21 = e1 n2
1 = n2 +n3
e1n2 = n2 e1n1 = 12n1
2 1 4α 6= 0
β 6= 0
Para provar que não existe outra álgebra suponha que o produto · de J satisfaz(2.4) e que o coeficiente não nulo é β. Então se α = 0 o isomorfismo que leva
N2 7→ β−1n2 nos dá J ≃ J51, mas se α 6= 0 então o isomorfismo dado porN2 7→ β−1n2 e N3 7→ α−1n3 prova que J ≃ J53. Caso o coeficiente não nulo seja
α e β = 0 então J é J52 com isomorfismo N3 7→ α−1n3.
viii. Suponha que N = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2. Do Lema 2.1 e do Teorema 1.18
segue que N2 ⊆ N1. Consequentemente, existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2,
completando a uma base de N existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N0 tal que
n22, n1n2 ∈ N3 = 0, n2
3 = n2n3 = n1n3 = 0,
n21 = αn2 pois n2
1 ∈ N2. (2.5)
Para quaisquer valores de α a álgebra obtida é de Jordan, mas devido ao tipo de
nilpotência que estamos considerando α deve ser não nulo. Consequentementeobtemos a seguinte álgebra:
39
Tabela 2.16: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N0 ⊕N1 com dimN1 = 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J54 T1 ⊕ kn3 3 1 3 Associativa
Se J satisfaz (2.5) para algum α 6= 0 então J é isomorfa a J54 com isomorfismo
N2 → α−1n2.
ix. Suponha que N = N 12⊕N1 com dimN1 = 2. Pelo Lema 2.1 e pelo Teorema
1.18 segue que N2 ⊆ N1. Consequentemente existe n2 ∈ N1 tal que N2 = kn2,completando a uma base de N temos que existem n1 ∈ N1 e n3 ∈ N 1
2tal que
n22, n2n1 ∈ N3 = 0, n2n3 = n1n3 = 0 pelo Lema 2.1,
n21 = αn2 e n2
3 = βn2 pois ambos pertencem a N2. (2.6)
Para quaisquer valores de α e β a álgebra obtida é de Jordan, mas devido aotipo de nilpotência que estamos considerando não podem ser ambos nulos. Logo
obtemos as seguintes álgebras:
Tabela 2.17: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N 1
2⊕N1 com dimN1 = 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J55
e21 = e1 n23 = n2
e1n1 = n1
e1n2 = n2 e1n3 = 12n3
4 0 4α = 0
β 6= 0
J56
e21 = e1 n21 = n2
e1n1 = n1
e1n2 = n2 e1n3 = 12n3
4 0 4α 6= 0
β = 0
J57
e21 = e1 n21 = n2
n23 = n2 e1n1 = n1
e1n2 = n2 e1n3 = 12n3
3 0 4α 6= 0
β 6= 0
Suponha que J satisfaz (2.6) para alguns α e β, então se o coeficiente não nulo é
β e α = 0 a álgebra J é isomorfa a J55 com isomorfismo que leva N2 7→ β−1n2 .Mas se α for também não nulo então a álgebra J é isomorfa a J57 neste caso com
40
isomorfismo N1 7→√α√βn1 e N2 7→ β−1n2 cujo determinante
√α
(√β)
3 é bem definido
e não nulo. Por último se o coeficiente não nulo é α e β = 0 o isomorfismo
N2 7→ α−1n2 prova que J ≃ J56.
x. Suponha, por último, que N = N 12⊕N1 com dimN 1
2= 2. Considere n1 ∈ N1,
n2, n3 ∈ N 12. Do Lema 2.1 segue que n2
1 = 0. Por outro lado n22, n2
3, n2n3 ∈N2
12
⊆ N1 logo n22 = αn1, n2
3 = βn1 e n2n3 = γn1. Agora, como n1n2, n1n3 ∈N1N 1
2⊆ N 1
2, temos n1n2 = θn2 + δn3 e n1n3 = θ1n2 + δ1n3.
Verificando que a base e1, n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) ob-
temos condições para as constantes. Em todos os casos as álgebras que obtemossão isomorfas a uma das seguintes álgebras:
Tabela 2.18: k-álgebras de Jordan de dimensão 4 com radical de tipo (2, 1) eN = N 1
2⊕N1 com dimN 1
2= 2
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)
dim
Ann(J)
dim
J2Observação
J58e21 = e1 n2
3 = n1 e1n1 = n1
e1n2 = 12n2 e1n3 = 1
2n3
5 0 4
J59
e21 = e1 n23 = n1
e1n1 = n1 e1n2 = 12n2
e1n3 = 12n3 n2n3 = n1
4 0 4
J60e21 = e1 e1n1 = n1 n1n2 = n3
e1n2 = 12n2 e1n3 = 1
2n3
5 0 4
Vejamos que só existem essas álgebras. Suponha, primeiramente, que char k 6= 3,
então obtemos3 6 condições que as constantes devem satisfazer para a álgebra serde Jordan, que são as mesmas condições do caso vi. onde N = N 1
2⊕N0 com
dimN 12= 2. Quando o isomorfismo não seja dado explicitamente se entenderá
que é análogo ao isomorfismo correspondente do caso vi.
a) θ1 = θ = δ1 = δ = α = 0 e β 6= 0. Se γ 6= 0 então J ≃ J59, mas se γ = 0 entãoJ ≃ J58.
b) θ1 = θ = δ1 = γ = α = β = 0. Logo, necessariamente, δ 6= 0 (caso contrário
N2 = 0 contradizendo o tipo de nilpotência de N) e temos J ≃ J60 comisomorfismo que leva N3 7→ δ−1n3.
c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0 e α 6= 0. Se ambas constantes β e γ forem nãonulas, temos duas possibilidades: ou −αβ+ γ2 6= 0 e neste caso J ≃ J59, ou
3 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora, veja Apêndice A.
41
−αβ + γ2 = 0 e então J ≃ J58. Agora, se β = γ = 0 então J ≃ J58. Sesomente um deles for nulo então a álgebra obtida é J59.
d) α = β = γ = 0, δ1 = −θ, δ = −θ2
θ1com θ1 6= 0 e θ 6= 0. Neste caso J ≃ J60
com isomorfismo N3 7→ θ1
θ n2 −θ1
θ2n3 cujo determinante −θ1
θ2 é bem definidoe não nulo.
e) θ = δ1 = δ = α = β = γ = 0 e θ1 6= 0. Novamente J ≃ J60 com isomorfismoN2 7→ θ−1
1 n3 e N3 7→ n2 + n3 cujo determinante −θ−11 é bem definido e não
nulo.
f) θ1 = θ = δ1 = δ = α = β = 0 e γ 6= 0. Neste caso J ≃ J59.
Suponha agora que k tem característica 3, então obtemos as mesmas 7 condiçõessobre as constantes que obtivemos no caso (vi). quando char k = 3, por isso só
explicitaremos aquelas condições que não impliquem em algum dos casos anteri-ores.
a) θ = δ1 = δ = α = γ = 0 e θ1 6= 0. Se β 6= 0 então (N23,E1,N3) =
12βθ1N2 6= 0
logo J não é de Jordan.
b) θ1 = θ = δ1 = β = γ = 0 e δ 6= 0. Se α 6= 0 então (N22,E1,N2) =
12αδN3 6= 0
logo J não é de Jordan.
c) θ1 = θ = δ1 = δ = 0, α = −2γ2
β com β 6= 0 e γ 6= 0. Considerando que −2 = 1
temos que α = γ2
β e logo J ≃ J58. É interessante observar que se char k fordiferente de 3 neste caso a álgebra seria J59.
2.2.5 Álgebras de Jordan Nilpotentes
As álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4 sobre o corpo dos números complexosforam descritas em [4]. Observamos que esta classificação é ainda válida para um
corpo algebricamente fechado de char 6= 2, veja [17]. Temos as seguintes álgebras nãoisomorfas:
Tabela 2.19: k-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J61n21 = n2 n2
2 = n4
n1n2 = n3 n1n3 = n4
4 1 3
Associativa,
tipo de nilpotência(1, 1, 1, 1)
42
J Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(J)dim
Ann(J)dimJ2
Observação
J62n21 = n2 n2
4 = n2
n1n2 = n3
3 1 2tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J63n21 = n2 n2
4 = −n2 − n3
n1n2 = n3 n2n4 = n3
4 1 2tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J64n21 = n2 n2
4 = −n2
n1n2 = n3 n2n4 = n3
5 1 2tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J65n21 = n2 n1n2 = n3
n2n4 = n3
4 1 2tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J66n21 = n2 n2
4 = n3
n1n2 = n3
5 1 2
Associativa,tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J67 T3 ⊕ kn4 6 2 2
Associativa,tipo de nilpotência
(2, 1, 1)
J68 B3 ⊕B3 6 2 2
Associativa,
tipo de nilpotência(2, 2)
J69n21 = n2
n1n3 = n4
7 2 2
Associativa,
tipo de nilpotência(2, 2)
J70n21 = n2
n3n4 = n2
7 1 1
Associativa,tipo de nilpotência
(3, 1)
J71 T4 ⊕ kn4 8 2 1
Associativa,tipo de nilpotência
(3, 1)
J72 B3 ⊕ kn3 ⊕ kn4 10 3 1
Associativa,tipo de nilpotência
(3, 1)
J73 kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 ⊕ kn4 16 4 0
Associativa,
tipo de nilpotência(4)
43
2.2.6 Observações
Vimos em cada caso que dada qualquer álgebra de Jordan J de dimensão 4 sobre um
corpo algebricamente fechado k de char k 6= 2 então J é uma das álgebras J1 a J73. Parafinalizar a classificação algébrica só resta provar que todas elas são diferentes.
Teorema 2.2. As álgebras J1 a J73 são duas a duas não isomorfas.
Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(J), tipo de nilpotência de Rad(J),dim Ann(J), dim Aut(J) e dim J2, junto com as propriedades de J ser indecomponí-
vel, associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existeisomorfismo entre J55, J56, J59 e entre J58 e J60.
Primeiro observe que a álgebra de Jordan não associativa B2 de dimensão 2, é umasubálgebra de J56 mas não é subálgebra de J55 (veja Apêndice B), então J55 6≃ J56.
Mais ainda, o segundo grupo de cohomologia H2(J59, J59) = 0 enquanto que ambosH2(J55, J55) e H2(J56, J56) são não nulos, logo temos J59 6≃ J55 e J59 6≃ J56.
Por último veja que Rad(J58) = B3 ⊕ kn2 enquanto que Rad(J60) = T4, portantoJ58 6≃ J60.
Como última observação temos o seguinte teorema.
Teorema 2.3. Todas as álgebras de este capítulo são especiais.
Demonstração. Em 1979, A. M. Slin’ko em [44] provou que álgebras de Jordan nilpoten-tes sobre um corpo arbitrário até dimensão 5 são especiais e em 1989, H. Sherkulov
em [43] mostrou que as álgebras de Jordan não associativas e não nilpotentes sobre umcorpo arbitrário até dimensão 4 são especiais.
44
3 CLASS I F ICAÇÃO ALGÉBR ICA DAS ÁLGEBRAS DE
JORDAN DE D IMENSÃO 3 SOBRE O CORPO DOS NÚME-
ROS REA I S
O problema de classificar álgebras sobre um corpo arbitrário não é simples e a classifica-
ção depende de maneira essencial do corpo que estivermos considerando. Para corposbases especiais, como por exemplo o corpo dos p-ádicos ou o corpo dos números reais,
como é o nosso caso, o problema pode ser resolvido e podemos obter uma classificaçãocompleta das correspondentes álgebras de Jordan.
A determinação de todas as classes de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimen-
são fixa sobre o corpo dos números reais R só é conhecida completamente no caso deálgebras de Jordan semissimples. Os resultados conhecidos para álgebras de Jordan
sobre R são muito escassos, inclusive para dimensões pequenas.
Neste capítulo apresentaremos a lista de todas as álgebras de Jordan (unitárias e
não unitárias, associativas e não associativas) de dimensão 3 sobre R. Analogamenteao Capítulo 2, faremos isto em duas seções: na primeira introduzimos as álgebras
de Jordan indecomponíveis de dimensão menor que 3 e na segunda descrevemos asálgebras de dimensão 3 não isomorfas de acordo com a dimensão do radical e dos
possíveis valores do tipo de nilpotência.
Usaremos esta descrição para estudar deformações entre álgebras de Jordan e descre-ver a variedade JorR
3 das álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo dos números
reais no Capítulo 6 deste texto.
Como foi visto no Teorema 1.13 toda álgebra de Jordan de dimensão finita sobreum corpo de característica zero pode-se decompor em soma direta de espaços vetoriais
como sendo J = Jss ⊕ Rad(J), logo denotaremos por ei os elementos em Jss e por ni
aqueles elementos que pertencem a Rad(J).
45
3.1 álgebras de jordan reais de dimensão menor que
3
3.1.1 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 1
Existem somente duas R-álgebras de Jordan de dimensão 1: a álgebra simples Re, ondee2 = e e a álgebra nilpotente Rn, onde n2 = 0.
3.1.2 Álgebras de Jordan Reais de Dimensão 2
Em [3] Ancochea Bermúdez e outros descreveram todas as álgebras de Jordan de di-mensão 2 sobre R. Dessa lista obtemos as seguintes 4 álgebras indecomponíveis, que
denotaremos por B ′i:
Tabela 3.1: R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2
B ′ Tabela de Multiplicação Observação
B ′1 e21 = e1 e1n1 = n1 n2
1 = 0 Associativa
B ′2 e21 = e1 e1n1 = 1
2n1 n2
1 = 0
B ′3 n2
1 = n2 n1n2 = 0 n22 = 0 Associativa, Nilpotente
B ′4 e21 = e1 e1e2 = e2 e22 = −e1 Associativa, Simples
Note que a álgebra B ′4 é na verdade a álgebra dos números complexos C.
3.2 álgebras de jordan reais de dimensão 3
Nesta seção descreveremos todas as 26 álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre R. Adescrição será organizada de acordo com a dimensão do radical nilpotente N e sub-
sequentemente com os possíveis valores de seu tipo de nilpotência. Analogamente aocapítulo anterior, provaremos durante a descrição que qualquer outra R-álgebra de Jor-
dan de dimensão 3 é isomorfa a uma das 26 e por último no Teorema 3.1 veremos queas álgebras T ′
1 a T ′26 são duas a duas não isomorfas.
Para cada álgebra calcularemos a dimensão do seu grupo de automorfismos Aut(T),
de seu aniquilador Ann(T) e de sua segunda potência T2. Para uma lista mais detalhadadas propriedades de cada álgebra veja o Apêndice C.
46
3.2.1 Álgebras de Jordan Reais Semissimples
Para obter a classificação das álgebras de Jordan semissimples sobre R é suficiente
conhecer as álgebras simples. Como consequência do Teorema 1.15 do Capítulo 1 po-demos reduzir o problema de classificar álgebras de Jordan simples de dimensão finita
sobre R ao problema de classificar álgebras de Jordan simples centrais sobre uma exten-são K de R. Segue, então, do Teorema 1.16 que se T é uma álgebra de Jordan simples
de dimensão menor ou igual a 3 sobre R então ou T = R ou T = C ou T é a álgebrade Jordan de uma forma bilinear simétrica não degenerada. Observamos que despre-
zamos as álgebras de Jordan (H (A, J) ,⊙) dos elementos de uma álgebra A associativasimples central de grau n > 3, fixos pela ação da involução J de A, pois no mínimo es-
tas álgebras tem dimensão 6. Por um argumento análogo podemos eliminar as formasbilineares definidas sobre espaços vetoriais sobre o corpo dos complexos.
Assim, o problema de classificar as álgebras simples de dimensão menor ou igual a 3,fica reduzido ao problema de classificar formas bilineares simétricas não degeneradas
sobre espaços vetoriais de dimensão finita sobre R.Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n > 2 sobre R, que possui uma forma
bilinear simétrica não degenerada f = f(x,y), pela Lei de inercia de Sylvester [40, Teo.11.25, p.287] existe uma base e1, . . . , en de V tal que f(ei, ei) = 1, para 1 6 i 6 p,
f(ei, ei) = −1 para p + 1 6 i 6 n e f(ei, ej) = 0 para todo i 6= j. Então a álgebrade Jordan (J(V, f),⊡) da forma bilinear f tem base 1, e1, . . . , en e é definida pelos
produtos
1⊡ 1 = 1, 1⊡ ei = ei, ei ⊡ ej = 0 para i 6= j
ei ⊡ ei = 1 para 1 6 i 6 p, ei ⊡ ei = −1 para p+ 1 6 i 6 n
Logo existem somente 5 álgebras de Jordan reais simples não isomorfas de dimensão
menor ou igual a 3:
i. R de dimensão 1,
ii. C de dimensão 2,
iii. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2, f(e1, e1) = 1 e f(e2, e2) = −1 de dimensão 3,
iv. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = −1 para i = 1, 2, de dimensão 3 e
v. (J(V, f),⊡) onde dimR V = 2 e f(ei, ei) = 1 para i = 1, 2, de dimensão 3.
Considerando somas diretas de tais álgebras obtemos todas as álgebras de Jordan se-missimples de dimensão 3 sobre R:
47
Tabela 3.2: R-álgebras de Jordan semissimples de dimensão 3
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)
dim
Ann(T)
dim
T2Observação
T ′1 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3 0 0 3
Associativa,Unitária
T ′2 B ′
4 ⊕ Re3 0 0 3Associativa,
Unitária
T ′3 e22 = e1 e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3
Unitária,
item iii
T ′4 e22 = e23 = −e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3
Unitária,item iv
T ′5 e22 = e23 = e1 e1ei = ei i = 1,2,3 1 0 3
Unitária,item v
3.2.2 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 1
Considere T uma álgebra de Jordan real tal que dimN = 1, logo a parte semissimplesTss tem dimensão 2 e da seção anterior temos as seguintes possibilidades:
ou Tss = Re1 ⊕ Re2 ou Tss = B ′4.
1) Suponha que Tss = Re1⊕Re2. Então a álgebra T# = T⊕R ·1 contem 3 idempotentes
ortogonais e1, e2 e e0 = 1− e1 − e2 o que implica na decomposição de Peirce do radicalN:
N = N00 ⊕N01 ⊕N02 ⊕N11 ⊕N12 ⊕N22.
Seja n1 uma base de N, então T fica completamente definida pelo subespaço de Peirce
ao qual n1 pertence. Das 6 possíveis álgebras obtemos as seguintes 4 não isomorfas:
Tabela 3.3: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e partesemissimples Re1 ⊕ Re2
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)
dim
Ann(T)
dim
T2Observação
T ′6 Re1 ⊕ Re2 ⊕ Rn1 1 1 2
Associativa
n1 ∈ N00
T ′7 B ′
2 ⊕ Re2 2 0 3 n1 ∈ N01
48
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
T ′8 e2i = ei ein1 = 1
2n1 i = 1,2 2 0 3Unitárian1 ∈ N12
T ′9 B ′
1 ⊕ Re2 1 0 3
Associativa,Unitária
n1 ∈ N11
Observamos que no caso em que n1 pertença ao subespaço N22 temos um elementoidempotente na álgebra agindo como 1 em n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a T ′
9.
Se n1 ∈ N02 temos somente um elemento idempotente na álgebra agindo como 12 em
n1, logo a álgebra obtida é isomorfa a T ′7.
2) Suponha que Tss = B ′4. Então, somente temos um elemento idempotente e1 que
determina a seguinte decomposição de N:
N = N0 ⊕N1 ⊕N 12
.
Seja n1 uma base de N então a ação de e1 em n1 fica definida pela componente Ni àqual n1 pertence. Só resta estabelecer como age e2 em n1. Da tabela de multiplicação
de B ′4 (veja Tabela 3.1) deduzimos que e2 ∈ P1. Suponha que n1 ∈ N0, então temos
do Teorema 1.18 que e2n1 ∈ P1P0 = 0. Agora se n1 ∈ N1 como e2n1 ∈ N temos
que e2n1 = αn1 para algum α ∈ R. Verificando que a base e1, e2, n1 satisfaça aidentidade de Jordan (1.3) obtemos que a única condição real para a constante é α = 0.
No último caso, quando n1 ∈ N 12, não obtemos uma álgebra de Jordan real já que as
únicas soluções de e2n1 = βn1 são β = ± i2
.
Logo obtemos as seguintes álgebras não isomorfas:
Tabela 3.4: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical unidimensional e partesemissimples B ′
4
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
T ′10 B ′
4 ⊕ Rn1 1 1 2Associativa
n1 ∈ N0
T ′11
e22 = −e1 e1n1 = n1
e1ei = ei i = 1,22 0 3
Unitária
n1 ∈ N1
49
3.2.3 Álgebras de Jordan Reais com Radical de dimensão 2
Suponha agora que T seja uma R-álgebra de Jordan com radical N de dimensão 2. A
única álgebra de Jordan semissimples de dimensão 1 é Tss = Re1, o que implica naseguinte decomposição de Peirce de N:
N = N0 ⊕N 12⊕N1.
O ideal N pode ter dois tipos de nilpotência: (2) ou (1, 1).
1) Suponha que N tem tipo de nilpotência (2). Logo N2 = 0. Seja n1, n2 uma base
de N, então T fica completamente definida pelos subespaços de Peirce aos quais n1 en2 pertencem. Assim obtemos 9 possíveis álgebras das quais as seguintes 6 são não
isomorfas:
Tabela 3.5: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (2)
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)
dim
Ann(T)
dim
T2Observação
T ′12 e21 = e1 e1ni =
12ni i = 1,2 6 0 3 n1, n2 ∈ N 1
2
T ′13 e21 = e1 e1ni = ni i = 1,2 4 0 3
Associativa,
Unitária,n1, n2 ∈ N1
T ′14 B ′
2 ⊕ Rn2 3 1 2 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N0
T ′15 B ′
1 ⊕ Rn2 2 1 2Associativa,
n1 ∈ N1, n2 ∈ N0
T ′16
e21 = e1 e1n1 = 12n1
e1n2 = n2
3 0 3 n1 ∈ N 12, n2 ∈ N1
T ′17 Re1 ⊕ Rn1 ⊕ Rn2 4 2 1
Associativa,n1, n2 ∈ N0
As outras 3 possibilidades: n1 ∈ N0 e n2 ∈ N 12, n1 ∈ N0 e n2 ∈ N1 e n1 ∈ N1 e
n2 ∈ N 12
resultam em uma álgebra isomorfa à álgebra T ′14, T ′
15 e T ′16 respetivamente,
basta aplicar o isomorfismo que troca n1 com n2.
2) Suponha que N tem tipo de nilpotência (1, 1). Analogamente ao caso sobre um
corpo algebricamente fechado existe n ∈ N tal que N = Rn+ Rn2 com n3 = 0. Supo-nha primeiramente que N é dado por uma única componente de Peirce de dimensão 2,
isto é N = Ni então N2i ⊆ N0 ⊕N1. Se i = 1
2 então N2 = 0 o que contradiz o fato deN ter tipo de nilpotência (1, 1), logo i = 0 ou i = 1. Agora suponha que N = Ni ⊕N 1
2
com dimNi = dimN 12= 1 para i = 0, 1 então podemos escolher o n da base como
50
sendo um elemento de N 12
. De fato se Ni = Ra e N 12= Rb, então temos b2 ∈ Ni
logo b2 = αa para algum α ∈ R. Note que α 6= 0 pois pela nilpotência a2 = ab = 0.
Consequentemente N = Rb⊕ Rb2.Por último se N = N0 ⊕N1, então da nilpotência de N temos que N2
0 = N21 = 0 e da
tabela de multiplicação das componentes de Peirce N0N1 = 0 logo N2 = 0 o que é umacontradição.
Assim obtemos as seguintes álgebras não isomorfas, onde n21 = n2.
Tabela 3.6: R-álgebras de Jordan de dimensão 3 com radical de tipo (1, 1)
T Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
T ′18
e21 = e1 n21 = n2
e1ni = ni i = 1,22 0 3
Associativa,
Unitária,n1, n2 ∈ N1
T ′19 e21 = e1 n2
1 = n2 e1n1 = 12n1 2 1 3
n1 ∈ N 12,
n2 ∈ N0
T ′20
e21 = e1 n21 = e1n2 = n2
e1n1 = 12n1
2 0 3n1 ∈ N 1
2,
n2 ∈ N1
T ′21 B ′
3 ⊕ Re1 2 1 2Associativa,
n1, n2 ∈ N0
3.2.4 Álgebras de Jordan Reais Nilpotentes
Seja T uma álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 sobre R, então T pode ter os
seguintes tipos de nilpotência:
1) Suponha que T tem tipo de nilpotência (3). Isto significa que T2 = 0, logo só temosuma álgebra que satisfaz essa condição:
Tabela 3.7: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (3)
TTabela de
Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
T ′22 Rn1 ⊕ Rn2 ⊕ Rn3 9 3 0 Associativa
2) Suponha que T tem tipo de nilpotência (1, 1, 1). Então por definição T〈4〉 = 0,dimT3 = 1 e dimT2 = 2. Seja n1 uma base de T3, completando a uma base de T2 e de
51
T temos que existem n2 ∈ T2 e n3 ∈ T tal que T2 = Rn1+Rn2 e T = Rn1+Rn2+Rn3
com produtos
n21, n1n2, n1n3 ∈ T〈4〉 = 0 n2
3 = αn1 + βn2 pois n23 ∈ T2
n2n3 = γn1 e n22 = δn1 pois n2n3, n2
2 ∈ T3. (3.1)
Verificando que a base n1, n2, n3 satisfaça a identidade de Jordan (1.3) obtemos1
condições para as constantes: ou β = 0 ou δ = 0. Mas se β = 0 então isto implicaria
que dimT2 = 1 o que é uma contradição, logo temos que β 6= 0 e, portanto, δ = 0.Pelo mesmo argumento concluímos que γ 6= 0. Assim neste caso somente existe uma
álgebra:
Tabela 3.8: R-álgebra de Jordan nilpotente de dimensão 3 de tipo (1, 1, 1)
TTabela de
Multiplicação
dim
Aut(T)
dim
Ann(T)
dim
T2Observação
T ′23 n2n3 = n1 n2
3 = n2 3 1 2 Associativa
Considere uma álgebra (T, ·) com base N1, N2, N3 tal que o produto satisfaz (3.1)para certos coeficientes α, β 6= 0, γ 6= 0 e δ = 0. Então T é isomorfa a T ′
23 com
isomorfismo dado por N1 7→ β−1γ−1n1 e N2 7→ − αβ2γ
n1 + β−1n2 cujo determinante1
β2γé bem definido e não nulo.
3) Suponha que T tem tipo de nilpotência (2, 1). Então T3 = 0 e dimT2 = 1. Seja n3
uma base de T2, completando a uma base de T temos que existem n1, n2 ∈ T tal queT = Rn1 + Rn2 + Rn3 com produtos
n23, n1n3, n2n3 ∈ N3 = 0
n21 = αn3, n2
2 = βn3, n1n2 = γn3 (3.2)
Para quaisquer valores de α, β e γ a álgebra obtida T é de Jordan, mas é claro que pelomenos um deles deve ser não nulo para T ter tipo de nilpotência (2, 1). Provaremos a
seguir que se (T, ·) é uma álgebra com base N1, N2, N3 tal que o produto · satisfaz (3.2)para certos coeficientes α,β,γ ∈ R então T é isomorfa a uma das seguintes álgebras:
Tabela 3.9: R-álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 3 de tipo (2, 1)
TTabela de
Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
1 Utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora, veja Apêndice A.
52
TTabela de
Multiplicaçãodim
Aut(T)dim
Ann(T)dimT2
Observação
T ′24 n2
1 = n22 = n3 4 1 1 Associativa
T ′25 B ′
3 ⊕ Rn3 5 2 1 Associativa
T ′26 n1n2 = n3 4 1 1 Associativa
Suponha que β = 0 então, se γ 6= 0 temos que T ≃ T26 com isomorfismo N1 7→n1 +
α2γn2 e N3 7→ γ−1n3 de determinante γ−1. Mas se γ = 0, então necessariamente
α 6= 0 e neste caso T é isomorfa a T25 com isomorfismo definido por N2 7→ n3 e
N3 = α−1n2.
Por outro lado, se consideramos β 6= 0 temos três possibilidades. Vamos denotar−αβ+ γ2 por ∆ para simplificar a notação, então:
i. Se ∆ > 0, novamente T é T26 com isomorfismo dado por N1 7→(
12 + γ
2√∆
)
n1 +(
−12 + γ
2√∆
)
n2, N2 7→ β
2√∆n1 +
β
2√∆n2 e N3 7→ β
2∆n3 cujo determinante β2
4∆32
ébem definido a não nulo.
ii. Se ∆ < 0, neste caso T ≃ T24 com isomorfismo N1 7→ n1 +γ√−∆
n2, N2 7→ β√−∆
n2
e N3 7→ −β∆n3 de determinante β2
(−∆)32
.
iii. Por último, se ∆ = 0 então α = γ2
β e T ≃ T25. Se considerarmos que γ = 0 (elogo α = 0) então o isomorfismo é dado por N1 7→ n3, N2 7→ n1 e N3 7→ β−1n2,
mas se supomos γ 6= 0 (e portanto α 6= 0) então o isomorfismo é definido porN1 7→ n1 + n3, N2 7→ α−1γn1 e N3 7→ α−1n2 cujo determinante γ
α2 é bem
definido e não nulo.
3.2.5 Observações
Vimos em cada caso que dada qualquer álgebra de Jordan T de dimensão 3 sobre R
então T é uma das álgebras T ′1 a T ′
26. Para finalizar a classificação algébrica só resta
provar que todas elas são diferentes.
Teorema 3.1. As álgebras T ′1 a T ′
26 são duas a duas não isomorfas.
Demonstração. Comparando os invariantes dim Rad(T), tipo de nilpotência de Rad(T),dim Ann(T), dim Aut(T) e dimT2, junto com as propriedades de T ser indecomponí-
vel, associativa, não associativa e unitária, somente necessitamos provar que não existeisomorfismo entre T ′
3, T ′4, T ′
5 e entre T ′24 e T ′
26.
53
Primeiro observamos que as álgebras T ′3, T ′
4 e T ′5 proveem de formas bilineares si-
métricas não degeneradas não isomorfas as quais geram álgebras de Jordan não são
isomorfas.Por último veja que a álgebra nula Rn1 ⊕ Rn2 de dimensão 2, é uma subálgebra de
T ′26 mas não é subálgebra de T ′
24 (veja Apêndice C), portanto T ′24 6≃ T ′
26.
Analogamente ao Teorema 2.3 temos o seguinte fato:
Teorema 3.2. Todas as álgebras de este capítulo são especiais.
54
4 DEFORMAÇÕES
Nossa principal motivação para realizar a classificação algébrica das álgebras de Jor-dan nos capítulos anteriores vem da intenção de entender a variedade das álgebras de
Jordan, i.e., de descrever geometricamente tais álgebras. A classificação geométrica éo problema de entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan ,i.e., de de-
terminar a lista completa das estruturas que denominaremos de rígidas (pois veremosque estas álgebras gerarão as componentes irredutíveis da variedade), de determinar o
número de órbitas sob a ação do grupo geral linear G = GL(V) e de encontrar todas aspossíveis deformações entre tais álgebras.
Este capítulo foi dividido em 5 seções. Na primeira seção apresentaremos uma rápidarevisão de alguns conceitos e terminologia da geometria algébrica que serão necessáriospara entender a geometria da variedade das álgebras de Jordan. Na segunda seção apre-
sentaremos o conceito de deformação a um parâmetro introduzido por Gerstenhaberem [14] e os conceitos de rigidez analítica e infinitesimal. Provaremos que rigidez infi-
nitesimal implica em rigidez analítica.
Na terceira seção introduziremos a definição de variedade das álgebras de Jordan de
dimensão n, Jorn, assim como também as noções de deformação de uma álgebra e derigidez geométrica. Reuniremos os resultados existentes na literatura que relacionam os
três conceitos de rigidez. Provaremos que, sempre que a variedade tenha um númerofinito de G-órbitas, cada componente irredutível é determinada pelo fecho de Zariski
da órbita de uma álgebra (geometricamente) rígida. Apresentaremos também certas“operações” que preservam algum dos tipos de rigidez e daremos contraexemplos de
outras em que isso não acontece.
Na quarta seção introduziremos uma lista de critérios que determinarão a não existên-cia de deformação entre um par de álgebras dadas, os quais nos permitirão determinar
as álgebras rígidas e logo as componentes irredutíveis de uma variedade. Por último,na Seção 4.5 mostraremos que em toda variedade de álgebras de Jordan de dimensão
maior ou igual a 5 existem pelo menos 3 componentes irredutíveis que provêm deálgebras rígidas que são indecomponíveis, não associativas e não semissimples.
55
4.1 introdução à geometria algébrica
Nesta seção daremos uma rápida revisão de alguns conceitos e terminologia da geome-tria algébrica com ênfase especial nos grupos algébricos e sua ação em variedades. No
que se segue consideraremos que o corpo k de char k 6= 2 é algebricamente fechado ouR.
Como referências para os resultados que apresentaremos recomendamos os trabalhos[16], [8], [29] e [6].
4.1.1 Variedades Algébricas
Seja P = k[x1, . . . , xn] o anel dos polinômios em n variáveis sobre k. Um polinômiof ∈ P define uma função f : kn → k, o valor de f em um ponto (a1, . . . ,an) ∈ kn
é obtido substituindo os xi pelos ai em f, i.e., f leva (a1, . . . ,an) 7→ f(a1, . . . ,an).A função definida por f é chamada de função polinomial no espaço vetorial kn de
dimensão n sobre k, com valores em k.Diremos que f se anula em (a1, . . . ,an) ou, equivalentemente, que (a1, . . . ,an) é um
zero de f se f(a1, . . . ,an) = 0.Dado S ⊆ P um subconjunto do anel dos polinômios definimos o anulador de S como
sendo
V(S) = (a1, . . . ,an) ∈ kn | f(a1, . . . ,an) = 0 ∀f ∈ S .
Note que se I é o ideal de P gerado por S então V(I) = V(S). Mais ainda, como P é
um anel noetheriano, todo ideal I tem um número finito de geradores. Logo V(S) podeser expressado como os zeros comuns de um conjunto finito de polinômios f1, . . . , fr.
Definição 4.1. Um subconjunto de kn, é dito algébrico se ele é o anulador V(S) de
algum conjunto de polinômios S.
Como⋂
i V(Si) = V(⋃
i Si), a interseção de qualquer coleção de conjuntos algébri-
cos é um conjunto algébrico. Mais ainda, se definimos S1S2 como sendo o conjuntoconsistindo de todos os produtos de um elemento de S1 por um elemento de S2 então
V(S1) ∪ V(S2) = V(S1S2) ou seja a união de dois conjuntos algébricos é de novo umconjunto algébrico. Por último ∅ = V(1) e kn = V(0) são ambos conjuntos algébricos.
Para a demostração destes fatos veja [16, Prop. 1.1 p.2].As propriedades anteriores nos permitem definir uma topologia em kn considerando
os conjuntos fechados como sendo os conjuntos algébricos de kn. Esta topologia échamada de topologia de Zariski.
56
Definição 4.2. Um n-espaço afim An é um espaço topológico, o qual é kn como con-junto dotado da topologia de Zariski.
O nosso objetivo é definir uma variedade algébrica, para isso precisaremos das se-guintes duas definições:
Definição 4.3. Em um espaço topológico, um subconjunto é localmente fechado se éaberto no seu fecho ou, equivalentemente, se é a interseção de um conjunto aberto e
um fechado.
Definição 4.4. Se X ⊆ An é localmente fechado, uma função f : X → k é dita regular no
ponto p ∈ X se existe uma vizinhança aberta U com p ∈ U ⊆ X e polinômios g,h ∈ P
tal que h nunca se anula em U e f = g/h em U. Denotamos o conjunto das funções
regulares em p por Op. Dizemos que f é regular em X se é regular em todo ponto de X.O conjunto de aplicações regulares em X é denotado por
O(X) = f : X → k | f é regular em X .
Ou seja, funções regulares são funções que são localmente quocientes de polinômios.
Definição 4.5. Um subconjunto não vazio X de um espaço topológico Y é chamado deirredutível se não pode ser decomposto como a união de dois subconjuntos fechados
próprios (onde a topologia de X é a topologia induzida da topologia de Y). Ou seja, Xé irredutível se ∅ 6= X = X1 ∪X2 com X1 e X2 fechados, implica X1 = X ou X2 = X.
Todo subconjunto aberto não vazio de um espaço irredutível é irredutível e denso.Além disso, se X é um subconjunto irredutível de Y então seu fecho X em Y é também
irredutível, [16, p. 3].
Definição 4.6. Uma variedade algébrica (ou simplesmente variedade) X é um subcon-
junto localmente fechado de An dotado de sua topologia e da coleção O(U) para todoU aberto em X.
Claramente uma subvariedade de uma variedade algébrica X é um subconjunto de X
que é uma variedade. Todo subconjunto fechado de uma variedade é uma subvariedade
[29, p.12].
Definição 4.7. Um morfismo φ : X → Y entre variedades é uma aplicação contínua tal
que para todo U ⊆ Y e toda aplicação regular θ : U → k a composição
φ−1(U)φ
// Uθ // k
é regular.
57
Observamos que um isomorfismo neste caso é um morfismo com uma inversa, o quenão é o mesmo que um morfismo bijetivo.
Conjuntos algébricos são exemplos de um tipo especial de variedade que definiremosa seguir.
Definição 4.8. Uma variedade afim é uma variedade que é isomorfa a um subconjunto
fechado de An para algum n.
Definição 4.9. Seja Y um subconjunto fechado de um espaço topológico X. Um pontox ∈ Y é chamado de ponto genérico de Y se Y = x, o fecho de x em X.
Se Y tem um ponto genérico então Y é irredutível [29, p.25].
Toda variedade afim admite uma decomposição em um número finito de componen-tes irredutíveis, i.e., subconjuntos fechados irredutíveis maximais ([16, Prop.1.5, p.5],
[29, Cor. 2.15, p.13]). Como as componentes irredutíveis são fechadas elas são subva-riedades. Observamos que neste trabalho a definição de variedade algébrica não é a
padrão. Geralmente, variedades são definidas como sendo irredutíveis, no entanto, deacordo com a literatura de classificação geométrica de estruturas algébricas, não im-
pomos esta condição pois um dos objetivos do problema da classificação geométrica édeterminar as componentes irredutíveis de uma variedade algébrica.
4.1.2 Dimensão
Nesta seção daremos um significado algébrico preciso à noção geométrica de dimensão.
Se X é um espaço topológico, definimos a dimensão de X, que denotamos dimX,como sendo o supremo dos comprimentos das cadeias X0 ⊂ X1 ⊂ · · · ⊂ Xn de sub-
conjuntos fechados irredutíveis não vazios distintos de X. Em particular, definimos adimensão de uma variedade algébrica como sendo sua dimensão como espaço topoló-gico.
A dimensão de uma variedade algébrica possui as seguintes propriedades:
i. Se X ⊆ Y então dimX 6 dim Y. A desigualdade é estrita se Y é irredutível e X é
fechado.
ii. dim An = n.
iii. dim ∅ = −∞.
iv. Se U 6= ∅ é aberto em uma variedade irredutível X então dimU = dimX.
v. Se X e Y são variedades irredutíveis então dimX× Y = dimX+ dim Y.
58
vi. Se Xi são localmente fechados em Y então dim∪ni=1Xi = max16i6n dimXi.
vii. dimX é independente da escolha do corpo de definição k.
viii. Se X é uma variedade algébrica afim então dimX é finita.
Para a demostração destes fatos consulte [29, Prop.II.3.11] e [8, Cap.3]
4.1.3 Ação de Grupos
Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre grupos algébricos, em especial so-bre a ação desses grupos em variedades algébricas. Esses resultados serão importantes
para a caracterização geométrica da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, que apre-sentaremos na Seção 4.3.
Para maiores informações sobre os resultados aqui apresentados, veja [7, 18, 9, 10].
Definição 4.10. Um grupo algébrico é uma variedade G junto com:
i. um elemento e ∈ G;
ii. um morfismo µ : G×G → G denotado por (x,y) 7→ xy;
iii. um morfismo i : G×G → G denotado por x 7→ x−1,
em relação aos quais (o conjunto) G é um grupo.
Um morfismo de grupos algébricos é um morfismo de variedades que é também umhomomorfismo de grupos. Denominaremos isomorfismos os morfismos que possuam
inversas e estas também sejam morfismos.
Exemplo 4.11. [18, Cap II.7.1 e II.7.3] O conjunto Matn(k) de todas as matrizes n× n
com entradas em k pode ser identificado com An2e o grupo geral linear GLn(k), i.e., o
conjunto das matrizes invertíveis n× n com entradas em k, com o subconjunto abertodefinido pelo não-anulamento do polinômio det, visto assim como uma variedade afim,
mais ainda GLn(k) é uma variedade irredutível. As expressões para a multiplicação einversão de matrizes deixam claro que GLn(k) é um grupo algébrico.
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo k dimensão finita n. O grupo geral linearde V, i.e., o conjunto de todas as transformações lineares bijetivas de V em V, denotado
por GL(V), junto com a composição de funções como operação de grupo, é isomorfo aGLn(k) e, portanto, é também um grupo algébrico.
Por simplicidade, doravante, vamos assumir que o grupo G é uma variedade irre-
dutível pois nosso principal interesse está na ação do grupo algébrico GL(V) que éirredutível.
59
Definição 4.12. Dizemos que um grupo algébrico G age numa variedade algébrica X
se existe um morfismo ϕ : G× X → X que é uma ação de grupo.
Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X. Para cada ponto x em X
definimos a órbita de x sobre a ação de G como sendo o conjunto xG = g · x | g ∈ G eo subgrupo estabilizador de x como sendo o conjunto de todos os elementos em G que
fixam x, i.e., StabG(x) = g ∈ G | g · x = x.
As propriedades de grupo garantem que a relação definida por “x ∼ y se e somentese existe g ∈ G tal que g · x = y” seja uma relação de equivalência. As órbitas são então
as classes de equivalência sob essa relação. Logo dois elementos x e y são equivalentesse e somente se suas órbitas são as mesmas, i.e., xG = yG.
Lema 4.13. [8, 18, Cap.8.2,8.3] Seja G um grupo algébrico agindo em uma variedade X, então:
i. Cada órbita xG é localmente fechada e irredutível.
ii. dim xG = dim G−dim StabG(x).
iii. xG \ xG é uma união de órbitas de dimensão estritamente menor que dim xG, onde
xG representa o fecho algébrico da órbita de x na topologia de Zariski. Em parti-cular, órbitas de dimensão minimal são fechadas.
iv. O conjuntox ∈ X | dim xG 6 s
é fechado e o conjunto
x ∈ X | dim xG = s
é
localmente fechado.
v. Se Y é uma componente irredutível de X então Y é invariante sob a ação de G, i.e.,Y = YG = g · y | y ∈ Y e g ∈ G.
Segue do item iii. que se a variedade X tem um número finito de órbitas então xG =
xG ∪(⋃n
i=1 xGi
)
com dim xGi < dim xG para todo 1 6 i 6 n. Então dos resultados da
Seção 4.1.2 temos
dim xG = max16i6n
dim xG, dim xG
i
= dim xG.
4.2 deformações infinitesimais de álgebras de jor-
dan
Seja J uma álgebra de Jordan sobre um corpo k de char k 6= 2 e V o espaço vetorialsubjacente a J. Denotamos por R = k[[t]] ao anel das séries de potências formais em uma
60
variável t, por K = k((t)) ao corpo de frações de R e por VK ao espaço vetorial obtidode V estendendo o domínio de coeficientes de k a K, i.e., VK = V⊗kK. Observamos
que qualquer função bilinear f : V×V → V (em particular o produto de J) pode serestendida a uma função bilinear sobre K de VK ×VK em VK.
Suponha que é dada uma função bilinear ft : VK×VK → VK expressa na forma
ft(a,b) = ab+ tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · , (4.1)
onde Fi é uma função bilinear definida sobre k e F0(a,b) = ab é o produto em J.
Suponha ainda que ft é um produto de Jordan, i.e.,
ft(a,b) = ft(b,a),
ft(ft(a,a), ft(b,a)) = ft(ft(ft(a,a),b),a), (4.2)
para todo a, b ∈ VK (ou equivalentemente, para todo a, b ∈ V). Então podemos
considerar a álgebra de Jordan Jt cujo espaço vetorial subjacente é VK e cujo produto éft.
Definição 4.14. Nas condições acima dizemos que Jt = (VK, ft) (ou, quando for neces-
sário fazer referencia à multiplicação, diremos que ft) é um elemento genérico de umafamília de deformações a um parâmetro de J.
Definição 4.15. Se J1 e J2 são duas k-álgebras de Jordan dizemos que J1 deforma-
se em J2 se existir um elemento genérico (J1)t de uma família de deformações a um
parâmetro de J1 o qual é K-isomorfo a (J2)K = J2 ⊗k K.
A condição (4.2) de que ft seja um produto de Jordan é equivalente às seguintes
relações, para todo a, b ∈ V e todo ν inteiro não negativo:
Fν(a,b) = Fν(b,a),∑
λ+µ+γ=νλ,µ,γ>0
Fγ(Fµ(a,a), Fλ(b,a)) − Fγ(Fµ(Fλ(a,a),b),a) = 0. (4.3)
Observe que para ν = 0 obtemos a comutatividade e a identidade de Jordan do produtooriginal.
A primeira aplicação bilinear Fn não nula logo após o produto de J na expressão (4.1)
de ft, considerada como uma aplicação de V×V em V, é chamada de diferencial dafamília.
61
Para ν = n, a relação (4.3) pode ser expressa da forma
Fn(a,b) = Fn(b,a),
Fn(a2,ba) − Fn(a
2b,a) + a2Fn(b,a) − Fn(a2,b)a+ Fn(a,b)(ba) − (Fn(a,a)b)a = 0,
ou seja Fn é um elemento do grupo Z2(J, J) de 2-cociclos de J com coeficientes em J
(veja Definição 1.21).
Observamos que um elemento arbitrário h ∈ Z2(J, J) não necessariamente é o diferen-
cial de uma família de deformações a um parâmetro de J. Se esse for o caso, dizemosque h é integrável.
Definição 4.16. Uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de Jor-dan definida pelo produto gt é chamada de trivial se existe uma aplicação linear não-
singular Φt : VK → VK (um automorfismo de VK) da forma:
Φt(a) = a+ tφ1(a) + t2φ2(a) + · · · , (4.4)
onde todos os φi : VK → VK são aplicações lineais definidas sobre k, tais que
gt(a,b) = Φ−1t (Φt(a) ·Φt(b)).
A álgebra então obtida Jt é claramente isomorfa à álgebra JK = J⊗k K, de fato oisomorfismo é dado pela aplicação linear Φt considerada como uma aplicação de Jt em
JK.
Definição 4.17. Duas famílias ft e gt de deformações a um parâmetro de uma álgebra
de Jordan J serão chamadas de equivalentes se existir um automorfismo Φt : VK → VK
da forma (4.4) tal que
gt(a,b) = Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)).
Da última definição temos que a família ft é trivial se é equivalente à deformação
identidade gt definida por gt(a,b) = ab.
Definição 4.18. Uma álgebra de Jordan é chamada de analiticamente rígida se ela
somente possui as deformações a um parâmetro triviais.
Em [14], Gerstenhaber denominou tais álgebras de “rígidas” mas, por precisão, nós
utilizaremos o termo “analiticamente rígida” para diferenciar os três conceitos de rigi-dez, como feito em [15].
62
Diremos que uma álgebra de Jordan J é infinitesimalmente rígida se H2(J, J) = 0.Para álgebras de dimensão finita existe ainda um terceiro conceito de rigidez o qual
será apresentado na Seção 4.3.A seguinte proposição é um dos resultados fundamentais na teoria de deformações.
Proposição 4.19. [14] Seja ft uma família de deformações a um parâmetro de uma álgebra de
Jordan J. Então ft é equivalente a uma família
gt(a,b) = ab+ tnFn(a,b) + tn+1Fn+1(a,b) + · · · ,
onde o primeiro termo não nulo Fn não é cohomólogo a zero.
Demonstração. Seja ft(a,b) = ab + tnFn(a,b) + · · · . Se Fn ∈ B2(J, J) ou seja Fn éum 2-cociclo equivalente a 0, i.e., Fn = −δφn para alguma aplicação linear φn, então
escolhendo Φt(x) = x+ tnφn(x) temos que
ft(Φt(a),Φt(b)) = ft(a+ tnφn(a),b+ tnφn(b))
= (a+ tnφn(a)) (b+ tnφn(b)) + tnFn (a+ tnφn(a),b+ tnφn(b)) + · · ·= ab+ tn (bφn(a) + aφn(b) + Fn(a,b)) + tn+1(· · · ) + · · ·
e que
Φt(ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ) = ab+ tnφn(ab) + tn+1(· · · ) + · · · ,
e portanto
Φ−1t ft(Φt(a),Φt(b)) = ab+ tn+1Fn+1(a,b) + · · · ;
e de novo Fn+1 ∈ Z2(J, J).
Agora, observe que se H2(J, J) = 0 então Z2(J, J) = B2(J, J) e se ft é uma família dedeformações a um parâmetro de J então, procedendo indutivamente como na prova da
proposição anterior, ft é equivalente à deformação trivial. Logo temos:
Proposição 4.20. Se uma álgebra de Jordan sobre um corpo k é infinitesimalmente rígida então
ela é analiticamente rígida.
Este resultado foi originalmente obtido em [14, Cor, p.65] para álgebras associativas
e de Lie.Em particular segue de [47, Teo. 9.2.11 p. 310] que para qualquer álgebra separável
de dimensão finita A e qualquer bimódulo M de A, Hn(A,M) = 0 para n > 0, istoimplica que:
63
Corolário 4.21. Toda álgebra de Jordan semissimples de dimensão finita sobre um corpo algebri-
camente fechado é analiticamente rígida.
Exemplo 4.22. Considere B2 ∈ Jor2 (veja 2.1.2) e seja h : B2 ×B2 → B2 uma aplicação
bilinear satisfazendo (1.6) ou seja, h é um 2-cociclo de B2 com coeficientes em B2, entãoresolvendo as linearizações das equações (1.6) nos elementos da base de B2 obtemos:
h(e1, e1) = αe1, h(e1,n1) = βe1 +α
2n1, h(n1,n1) = 2βn1
para quaisquer α,β ∈ k. Defina uma aplicação linear µ : B2 → B2 como sendo µ(e1) =
−αe1 +n1 e µ(n1) = −2βe1 + n1, logo temos que
0 = h(a,b) − µ(ab) + aµ(b) + µ(a)b,
para todo a, b ∈ B2, i.e., h é equivalente a 0, portanto H2(B2,B2) = 0 o que implica
que B2 é analiticamente rígida.
Vamos agora comparar a estrutura da álgebra deformada Jt com a de J, mais pre-cisamente com a de JK. Do Teorema 1.12 temos que qualquer álgebra de Jordan de
dimensão finita (sobre um corpo algebricamente fechado ou R) admite decomposição:J = Jss ⊕ Rad(J). Seja Jt um elemento genérico de uma família de deformações a um
parâmetro de J, com produto ft. Então podemos construir uma deformação equiva-lente à dada tal que a nova deformação preserva tanto o produto original em (JK)ss
como a ação de (JK)ss em Rad(J).
Teorema 4.23. [23, Teorema 2.3, p. 66] Seja Jt um elemento genérico de uma família a um
parâmetro de deformações de J com multiplicação ft. Então existe Gt um elemento genérico de
uma família de deformações a um parâmetro de J, com produto gt o qual é equivalente a ft e
tal que o radical da álgebra Gt é Rad(Gt) = R⊗k K, onde R é um ideal nilpotente de J. Mais
ainda, para todo x, y ∈ (JK)ss, gt(x,y) = x · y e para todo x ∈ (JK)ss e z ∈ Rad(JK),gt(x, z) = x · z.
4.3 a variedade algébrica Jorn
Nesta seção definiremos a variedade das álgebras de Jordan de dimensão n. O corpode definição será denotado por k e representará um corpo algebricamente fechado de
char k 6= 2 ou R. Denotaremos tal variedade por Jorn ou por JorRn quando pretendamos
enfatizar que o corpo base que estamos considerando é R.
64
Também explicaremos os métodos usados nos Capítulos 5 e 6 para descrever as com-ponentes irredutíveis de Jorn para n 6 4 e de JorR
n para n 6 3, assim como também as
deformações entre as álgebras de Jordan.
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo k com base e1, . . . , en fixa.O nosso objetivo é introduzir uma estrutura de álgebra de Jordan em V, o que pode
ser feito especificando n3 constantes estruturais ckij ∈ k, de modo que o produto naálgebra resultante seja definido como:
ei · ej =n∑
k=1
ckijek, para todo i, j ∈ 1, . . . ,n.
A escolha das constantes estruturais não é arbitrária pois deve refletir os fatos que a
álgebra é comutativa, isto é:
ckij = ckji, (4.5)
e que satisfaz a identidade de Jordan (1.2):
n∑
a=1
caij
n∑
b=1
cbklcpab −
n∑
a=1
cakl
n∑
b=1
cbjacpib +
n∑
a=1
calj
n∑
b=1
cbkicpab−
−
n∑
a=1
caki
n∑
b=1
cblacplb +
n∑
a=1
cakj
n∑
b=1
cbilcpab −
n∑
a=1
cail
n∑
b=1
cbjacpkb = 0, (4.6)
para todos i, j, k, l, p ∈ 1, . . . ,n.
Estas restrições se manifestam através de equações polinomiais nas constantes es-truturais, e assim podemos interpretar o espaço das constantes estruturais como uma
variedade em An3definida pelas equações (4.5) e (4.6) que chamaremos de variedade
das álgebras de Jordan de dimensão n e que denotaremos por Jorn. Um ponto qual-
quer (ckij) ∈ Jorn representa, na base fixa, uma k-álgebra de Jordan J de dimensãon.
As afirmações acima provam que:
Lema 4.24. A variedade Jorn é um conjunto algébrico e logo uma variedade afim.
O grupo G = GL(V) age em Jorn via “transporte de estrutura”, i.e.,
G× Jorn → Jorn
(g, (J, ·)) 7→ (J, ·g), onde x ·g y = g(g−1x · g−1y), (4.7)
65
para toda J ∈ Jorn, g ∈ G e x, y ∈ V. As órbitas desta ação são dadas por
JG = (J, ·g) ∈ Jorn | g ∈ G
e o estabilizador de uma álgebra sob a ação de G,
StabG(J) = g ∈ G | (J, ·g) = (J, ·) ,
coincide com o grupo de automorfismos da álgebra
Aut(J) = g ∈ G | g é um endomorfismo (de álgebras) de J .
De fato g ∈ StabG(J) se e somente se a álgebra J com o produto ·g coincide com a
álgebra J com o produto original, i.e., g−1(x · y) = g−1(x) · g−1(y) se e somente se g−1
é um endomorfismo se e somente se g ∈ Aut(J).
Dois conjuntos de constantes estruturais geram álgebras isomorfas se e somente seexiste um elemento de G que leva uma álgebra na outra como em (4.7), assim temos o
seguinte lema:
Lema 4.25. Sejam (J, ·) e (J1, •) ∈ Jorn. Então J ≃ J1 se e somente se JG = JG1 .
Como consequência deste lema temos que as órbitas de Jorn sob a ação de G podem
ser identificadas com a classe de isomorfismos de álgebras de Jordan de dimensão n.Agora introduziremos um conceito muito importante no estudo da variedade Jorn, a
ideia de deformação, a qual nos permitirá determinar as componentes irredutíveis dessavariedade.
Definição 4.26. Dizemos que a álgebra de Jordan J1 de dimensão n, é uma deformação
da álgebra de Jordan da mesma dimensão J2 ou, equivalentemente, que J1 domina J2
ou, ainda, que J2 deforma-se em J1, se a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da
órbita JG1 e denotamos tal fato por J1 → J2.
Claramente sempre que J2 ∈ JG1 então JG
2 = JG1 ou seja J2 ≃ J1 e também JG
2 ⊆ JG1
logo J1 → J2. Nos referiremos a uma deformação deste tipo como uma deformação
trivial, caso contrário será denominada de deformação não trivial.
Proposição 4.27. A relação J1 → J2 é uma relação de ordem parcial em Jorn.
Demonstração. Para cada J ∈ Jorn temos a deformação trivial J → J. Por outro lado se
J → J1 e J1 → J2 então JG2 ⊆ JG
1 ⊆ JG o que implica que J → J2. Por último, se J → J1
e J1 → J então JG1 ⊆ JG e JG ⊆ JG
1 . Suponha que J 6≃ J1 então JG 6= JG1 o que significa
que JG ∩ JG1 = ∅, logo JG
1 ⊆ JG \ JG. Pelo Lema 4.13 dim JG1 < dim JG e analogamente
dim JG < dim JG1 o que é uma contradição. Logo J ≃ J1.
66
O seguinte lema é uma ferramenta básica para a determinação da existência de umadeformação entre duas álgebras. A prova segue diretamente da definição de deforma-
ção.
Lema 4.28. [31, p.13] A existência de uma curva γ em Jorn que mora genericamente numa
subvariedade U e a qual corta JG em um ponto especial implica que J ∈ U e reciprocamente.
Para ilustrar o lema vamos dar um exemplo considerando a variedade Jor4:
Exemplo 4.29. Seja e1, e2, e3, e4 a base da álgebra de Jordan J1 de dimensão 4 obtida
na classificação algébrica da Seção 2.2. Considere a curva At = e1 + e4, Bt = e2,Ct = te3 e Dt = t2e1. Para qualquer t 6= 0 álgebra Jt com base At,Bt,Ct,Dt e
produtos
A2t = At B2
t = Bt C2t = Dt + t2Bt D2
t = t2Dt
AtBt = 0 AtCt =1
2Ct AtDt = Dt
BtCt =1
2Ct BtDt = 0 CtDt =
1
2t2Ct
é isomorfa a J1, i.e., Jt ∈ JG1 mas quando t = 0 obtemos
A2t = At B2
t = Bt C2t = Dt D2
t = 0
AtBt = 0 AtCt =1
2Ct AtDt = Dt
BtCt =1
2Ct BtDt = 0 CtDt = 0
que é o produto na álgebra J25. Logo do lema anterior J1 → J25.
O seguinte lema relaciona as definições de deformações a um parâmetro (Definição4.15) e de deformação (Definição 4.26) quando o corpo é algebricamente fechado.
Lema 4.30. [11, Lema 7a, p. 77] Seja k um corpo algebricamente fechado. Se J1 e J2 são
duas k-álgebras de Jordan tal que J1 é uma deformação de J2 no sentido da Definição 4.15, i.e.,
existe um elemento genérico (J2)t de uma família de deformações a um parâmetro de J2 o qual
é K-isomorfo a (J1)K, onde K = k((t)). Então a órbita JG2 está contida no fecho de Zariski da
órbita JG1 .
Definição 4.31. Chamaremos de álgebras de Jordan geometricamente rígidas ou sim-plesmente de álgebras de Jordan rígidas, às álgebras para as quais sua órbita sob a ação
de G é um subconjunto Zariski-aberto em Jorn.
Proposição 4.32. [15, p. 61] As seguintes condições são equivalentes:
67
i. J é geometricamente rígida.
ii. J tem uma vizinhança na qual todo ponto representa uma álgebra isomorfa a J sobre
alguma extensão de k.
iii. A componente de Jorn que contém J tem um ponto genérico o qual representa uma álgebra
isomorfa a J sobre alguma extensão de k (a componente deve então ser única).
Uma das questões que nos perguntamos na hora da classificação geométrica sobre um
corpo k algebricamente fechado e sobre R é se toda álgebra rígida permanece rígidasob uma extensão escalar, a resposta é consequência direta da proposição anterior:
Lema 4.33. [15, p. 61] J é geometricamente rígida se e somente se J⊗k L é geometricamente
rígida sempre que L é uma extensão de k.
Uma das perguntas que surgem ao respeito de rigidez é como se relacionam os trêsconceitos de rigidez introduzidos neste capítulo. A resposta é dada nos Teoremas 4.34
e 4.35 a seguir:
Teorema 4.34. [15, Teo. 3.2,p.61] Para uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre um
corpo k rigidez analítica implica rigidez geométrica.
Demonstração. Do lema anterior podemos assumir que k é algebricamente fechado. Seja(c) = (ckij) um ponto em Jorn representando uma álgebra J analiticamente rígida e seja
(c(t)) um ponto genérico com coeficientes em k[[t]] de uma componente irredutível deJorn contendo (c). Agora, o produto em Jk[[t]] definido pelas estruturas constantes
(c(t)) é uma deformação a um parâmetro ft de J; denote a álgebra resultante por Jt.Pela hipótese, ft é equivalente ao produto original de J. Mas isto nos diz que Jt é
isomorfa a J sobre k[[t]] e, logo, Jt e J são isomorfas sobre o corpo k((t)). Ou seja, ésatisfeita a condição (iii) da Proposição (4.32).
Ou seja, quando consideramos álgebras de dimensão finita temos:
rigidez infinitesimal ⇒ rigidez analítica ⇒rigidez geométrica
Estas implicâncias se aplicam igualmente bem a qualquer categoria de álgebras defi-
nidas por equações com as apropriadas modificações. Em característica positiva foimostrado que todas as implicações inversas são falsas para álgebras associativas de
dimensão finita. Em [15] M. Gerstenhaber e S. Schack construíram álgebras analitica-mente rígidas associativas A de dimensão alta sobre um corpo de característica positiva
tendo H2(A,A) 6= 0 e álgebras associativas geometricamente rígidas que não são anali-ticamente rígidas.
68
O cenário muda quando assumimos que o corpo tem característica 0, neste caso temosque os conceitos de rigidez geométrica e rigidez analítica coincidem:
Teorema 4.35. [15, Teo 7.1,p.73] Seja k um corpo de característica zero e seja J uma k-álgebra
de Jordan de dimensão finita. Suponha que J é geometricamente rígida e seja ft(a,b) = ab+
tF1(a,b) + t2F2(a,b) + · · · uma deformação a um parâmetro de J. Então ft é trivial. Logo J é
analiticamente rígida.
Surpreendentemente, a questão de quando existem álgebras associativas A analiti-
camente rígidas em char = 0 com H2(A,A) 6= 0 é ainda uma questão aberta. Emcontrapartida, Richardson em [39] mostrou que existem álgebras de Lie complexas em
toda dimensão par maior que 16 que são geometricamente rígidas mas não são infinite-simalmente rígidas.
Já para as álgebras associativas com unidade sobre um corpo algebricamente fechadoP. Gabriel provou em [13, Corolário 2.5, p.142] que os conceitos de rigidez geométrica
e rigidez infinitesimal coincidem. Uma outra prova desse fato pode ser encontrada em[37, Teo. 3, p.238].
Vimos na Seção 4.1 que toda variedade afim admite uma decomposição em um nú-mero finito de componentes irredutíveis, i.e., subconjuntos fechados irredutíveis maxi-
mais. É nessa hora, quando pretendemos decompor a variedade afim Jorn em compo-nentes irredutíveis, que as álgebras rígidas demostram sua importância pois provare-
mos na seguinte proposição que cada álgebra rígida é um ponto genérico (veja Definição4.9) de alguma componente irredutível de Jorn.
Proposição 4.36. Se J ∈ Jorn é uma álgebra rígida então existe uma componente irredutível T
tal que T = JG.
Demonstração. Se J é uma álgebra rígida, então a órbita JG é um subconjunto Zariski-aberto (não vazio) de Jorn. Por outro lado
∅ 6= JG ⊆ Jorn =
p⋃
i=1
Ti
onde Ti são as componentes irredutíveis de Jorn. Logo existe Ti tal que J ∈ Ti e do Lema4.13 segue que Ti é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ Ti. Como Ti é irredutível todo
aberto é denso, assim o fecho de JG em Ti é Ti o que implica que
Ti = Ti ∩ JG logo Ti ⊆ JG.
Agora, do Lema 4.13 cada órbita é irredutível, ou seja JG é um subconjunto fechadoe irredutível de Jorn que contém Ti logo Ti = JG.
69
A recíproca não é sempre verdadeira, i.e., não toda componente irredutível vem deuma álgebra rígida quando isto não acontece a componente é o fecho de uma família
infinita de órbitas, como prova a seguinte proposição:
Proposição 4.37. Cada componente irredutível da variedade das álgebras de Jordan, Jorn, ou é
o fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida ou é o fecho de uma família infinita de órbitas.
Demonstração. Seja T uma componente irredutível de Jorn e seja J ∈ T . Segue do Lema4.13 que T é invariante sob a ação de G logo JG ⊆ T e portanto T = ∪J∈TJ
G.
Suponha que a família de órbitas seja finita, i.e. T = ∪Ni=1J
Gi , então
m = dim(T) = dim(
N⋃
i=1
JGi ) = max
16i6N(dim(JG
i )) = dim JGi0
.
Em particular, JGi0
⊆ T e logo JGi0
⊆ T , i.e., um conjunto fechado está contido num
conjunto irredutível e segue da observação do Lema 4.13 que ambos tem a mesmadimensão, logo T = JG
i0. Por outro lado, órbitas são localmente fechadas logo JG
i0é
aberto em T .
É importante destacar que as variedades que queremos descrever geometricamente
tem um número finito de órbitas. Se o corpo for algebricamente fechado temos 2 órbitasem Jor1, 6 em Jor2, 20 em Jor3 e 73 em Jor4. No caso de álgebras sobre R temos 2 órbitas
em Jor1, 7 em Jor2 e 26 em Jor3. Então o seguinte corolário será útil no objetivo destetrabalho.
Corolário 4.38. Se Jorn se decompõe como um número finito de órbitas então cada componente
irredutível da variedade é o fecho de Zariski da órbita de uma álgebra rígida.
Em [11], Flanigan mostra que a segunda alternativa da Proposição 4.37 de fato ocorre,
exibindo uma componente de Assoc3 que consiste inteiramente das órbitas de uma fa-mília de álgebras nilpotentes. Outros exemplos para álgebras associativas com unidade
sobre um corpo algebricamente fechado foram obtidos em [13] por Gabriel (a famí-lia infinita denominada por (18) dependendo continuamente do parâmetro λ 6= 1) em
dimensão 4 e em [31] por Mazzola em dimensão 5.Como consequência dos resultados anteriores temos:
Proposição 4.39. Seja J ∈ Jorn então:
i. Se J é rígida então qualquer deformação de J é isomorfa a J.
ii. Se Jorn se decompõe como um número finito de órbitas e toda deformação de J é isomorfa
a J então J é rígida.
70
iii. Se k é algebricamente fechado e toda deformação de J é isomorfa a J então J é rígida.
Demonstração. i. Seja J1 uma deformação de uma álgebra rígida J, então por defi-nição JG ⊆ JG
1 . Seja J2 ∈ JG então como J2 pertence ao fecho de JG1 para toda
vizinhança U de J2 temos que U∩ JG1 6= ∅. Em particular, JG é uma vizinhança de
J2, logo JG1 ∩ JG 6= ∅ o que implica que JG = JG
1 e do Lema 4.25 temos J ≃ J1.
ii. Seja T uma componente irredutível de Jorn que contém J, como T é G-invarianteJG ⊆ T . Do Corolário 4.38 existe uma álgebra rígida J1 tal que T = JG
1 , ou seja
JG ⊆ JG1 o que implica por hipóteses que J ≃ J1 e portanto J é rígida.
iii. Do Lema 4.30 J somente tem as deformações a um parâmetro triviais, então éanaliticamente rígida. Logo, do Teorema 4.34, segue que J é geometricamente
rígida.
Resumimos os resultados até aqui obtidos no seguinte diagrama (Figura 4.1) querelaciona os três conceitos de rigidez e as noções de deformação e deformação a umparâmetro1.
Geometricamente Rígida
Não existe Deformação Geométrica
Analiticamente Rígida
char=0 Alg. Fech.
Infinitesimalmente Rígida
NFO Alg. Fech.
char=0 e NFO Alg. Fech.
Fig. 4.1: Equivalências entre os diversos conceitos de rigidez
O seguinte lema é análogo à Proposição 2.2 de [13] enunciada no caso da variedadedas álgebras associativas unitárias sobre um corpo algebricamente fechado. Mostrare-
1 No diagrama, a sigla NFO significa “Número Finito de Órbitas”.
71
mos que em Jorn existe uma única órbita fechada que consiste de álgebras isomorfas a⊕n
i=1kni .
Lema 4.40. Seja J ∈ Jorn uma k-álgebra de Jordan de dimensão n. A órbita de J em Jorn é
fechada sob a ação de G se e somente se J ≃ ⊕ni=1kni. Logo a variedade Jorn é conexa para todo
n.
Demonstração. Mostraremos primeiramente que cada álgebra em Jorn é uma defor-
mação da álgebra ⊕ni=1kni. Para isso, seja J ∈ Jorn com base e1, · · · , en tal que
eiej =∑n
k=1 ckijek onde os coeficientes ckij ∈ k são as constantes estruturais. Considere
para t ∈ k \ 0 a nova base de J: fi = tei para i = 1, · · · ,n em relação à qual as novasconstantes estruturais são dk
ij = tckij. Estas constantes estruturais definem uma álgebra
Jt a qual tende a ⊕ni=1kni quando t tende a 0.
Isto implica que(
⊕ni=1kni
)G ⊆ JG para toda J ∈ Jorn. Logo de Lema 4.13 iii temos
que dim(
⊕ni=1kni
)G6 dim JG para toda J ∈ Jorn. Portanto a órbita de ⊕n
i=1kni temdimensão minimal logo é fechada. Reciprocamente, suponha agora que J tem órbita
fechada, i.e., JG = JG logo J ≃ ⊕ni=1kni.
A seguinte proposição, apesar de ser simples é muito útil e nos da uma condiçãosuficiente para a existência de uma deformação entre álgebras decomponíveis.
Proposição 4.41. Sejam Ji, J ′i ∈ Jorni
para i = 1, 2. Se Ji → J ′i então J1 ⊕ J2 → J ′
1 ⊕ J ′2.
De fato, pelo Lema 4.28 temos que existem curvas γi que moram genericamente em
JiGi tais que estas curvas cortam J ′G
i , então a curva γ1 ×γ2 está genericamente contidaem J1
G1 × J2G2 ⊆ (J1 ⊕ J2)
G e, claramente, essa curva corta J ′1 ⊕ J ′
2.
Exemplo 4.42. Em Jor2, a deformação ke1 ⊕ ke2 → B1 é dada pela mudança de base
At = e1 + e2 e Bt = te2 que para qualquer t 6= 0 tem det = t 6= 0 e logo a álgebraobtida pertence à órbita de ke1 ⊕ ke2 enquanto que uma conta simples mostra que
para t = 0 pertence à órbita de B1. Segue da Proposição 4.41 que J4 → J22 poisJ4 = B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J22 = B1 ⊕B1.
Em seu trabalho [32] G. Mazzola provou a recíproca da proposição anterior na varie-
dade das álgebras associativas unitárias de dimensão n sobre um corpo algebricamentefechado, Assoc1n. A saber,
Teorema 4.43. [32, Teo. p.291] Sejam A, A ′ ∈ Assoc1n tal que A ≃ A1 ⊕ A2 com Ai ∈Assoc1ni
para i = 1, 2. Se A ′ → A então existem A ′i ∈ Assoc1ni
satisfazendo A ′i → Ai para
i = 1, 2 e tal que A ′ ≃ A ′1 ⊕A ′
2.
Observamos que o teorema anterior não é válido na variedade das álgebras de Jordan:
72
Exemplo 4.44. Considere as álgebras T5 e T8 da variedade Jor3, segue de [25] que T5 →T8. Somando diretamente a álgebra unidimensional kn obtemos então da Proposição
4.41 que T5 ⊕kn → T8 ⊕kn, isto é J8 → J44 na variedade Jor4. Mas existe uma álgebraindecomponível, J45 ∈ Jor4, tal que
J8 ≃ T5 ⊕ kn → J45 → T8 ⊕ kn ≃ J44,
veja a Seção 5.4 para uma descrição de tais deformações.
Mais ainda, a condição da existência da unidade é essencial no teorema de Mazzola,
pois existem álgebras decomponíveis na variedade das álgebras associativas Assocn(sem unidade) tal que uma é deformação da outra mas os somandos da mesma dimen-
são não o são, veja o seguinte exemplo onde as álgebras envolvidas, J37 e J67, sãoálgebras de Jordan associativas:
Exemplo 4.45. Considere para t 6= 0 a mudança de base de J37 = T2 ⊕ kn3 dada por
At = te1 + n2 +n3
Bt = t2e1 + 2tn2
Ct = t3e1 + 3t2n2
Dt = n1.
Calculado os produtos e fazendo t = 0 obtemos a estrutura da álgebra J67 = T3 ⊕ kn4,logo T2 ⊕ kn3 → T3 ⊕ kn4. Mas T2 6→ T3 pois
dim Aut(T2) = 4 > 3 = dim Aut(T3)
e isto representa uma violação à Proposição 4.51 da próxima seção.
Uma das perguntas que surge quando consideramos soma direta de álgebras é o que
acontece se as álgebras somadas são rígidas, a rigidez é preservada? Para dar respostasa essas questões enunciaremos o seguinte teorema cuja prova para o caso geral, i.e., o
caso quando k é um anel comutativo, J e J ′ são k-álgebras arbitrárias e M e M ′ são J eJ ′-bimódulos respetivamente, pode ser encontrada em [47].
Teorema 4.46. [47, Teorema 9.1.8, p.305] Sejam J e J ′ duas k-álgebras de Jordan, seja M
um bimódulo de Jordan para J e respetivamente M ′ um bimódulo de Jordan para J ′. Então
Hn(J⊕ J ′,M⊕M ′) ≃ Hn(J,M)⊕Hn(J ′,M ′).
Como corolário imediato do teorema anterior temos que:
73
Corolário 4.47. Soma direta de álgebras infinitesimalmente rígidas é infinitesimalmente rígida.
E, como consequência, soma direta de álgebras de dimensão finita infinitesimalmenterígidas é analiticamente rígida e geometricamente rígida. Provaremos no Teorema 5.3
da Seção 5.5 que soma direta de álgebras geometricamente rígidas é geometricamenterígida em Jorn para n 6 5.
No contexto das álgebras de Lie, Yu. Neretin em seu trabalho [35] mostrou que asálgebras de Lie (sl(2) ⊕ C)⋌ V2 e sl(2) ⋌ V2 são analiticamente rígidas e indecompo-
níveis mas sua soma direta não é analiticamente rígida. Onde ⋌ designa o produtosemi-direto, Vα é o sl(2)-módulo irredutível de dimensão α e C é uma álgebra abeliana.
Por último provaremos a seguinte proposição:
Proposição 4.48. Seja Jorn uma variedade com um número finito de órbitas sob a ação de Gou uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado. Seja J ∈ Jorn uma álgebra rígida tal
que J = J1 ⊕ J2 com Ji ∈ Jornipara i = 1, 2. Então J1 e J2 devem ser álgebras rígidas.
Demonstração. Suponha que uma delas J1 não é rígida, então da Proposição 4.39 segue
que existe uma deformação não trivial, i.e., existe J ′1 ∈ Jorn1
, J ′1 6≃ J1 e tal que J ′
1 → J1.Logo da Proposição 4.41 J ′
1 ⊕ J2 → J1 ⊕ J2 e J ′1 ⊕ J2 6≃ J1 ⊕ J2 contradizendo a rigidez
de J.
Finalizaremos esta seção com um exemplo que mostra que rigidez é um conceitolocal, i.e., que depende da variedade que estivermos considerando. Mostraremos que
o fato de uma álgebra ser rígida na interseção de duas variedades não implica que sejarígida em cada uma das variedades independentemente.
Exemplo 4.49. Foi provado em [4] que as álgebras J61 e J62 são álgebras rígidas na
variedade das álgebras de Jordan nilpotentes de dimensão 4. Mas, como veremos noCapítulo 5, a álgebra J47 é uma deformação de J61 o que implica que J61 não é uma
álgebra rígida na variedade das álgebras associativas de dimensão 4. Por outro lado, aálgebra J53 é uma deformação de J62 logo J62 não é uma álgebra rígida na variedade
das álgebras de Jordan de dimensão 4.
4.4 o comportamento de uma álgebra através de de-
formação
A não existência de deformação entre um par de álgebras dadas, J1 9 J, pode ser
obtida da violação de uma das condições que apresentamos a seguir. De modo para-digmático, essas condições são definidas de tal modo que as álgebras que as satisfaçam
74
formem subconjuntos fechados invariantes de Jorn e assim qualquer deformação de J
deve satisfazer a mesma condição.
Proposição 4.50. [23] Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim JG > dim JG1 .
Demonstração. Da definição de deformação não trivial temos que JG1 ⊆ JG \ JG. Do
Lema 4.13 iii segue que dim(JG \ JG) < dim JG.
Segue do Lema 4.13 ii. que dim JG = dim G−dim StabG(J) e como provamos no iní-
cio da Seção 4.3, quando G = GL(V), StabG(J) coincide com o grupo de automorfismode J, logo como consequência da proposição anterior segue que:
Proposição 4.51. [23] Se J → J1 é uma deformação não trivial então dim Aut(J) < dim Aut(J1).
A seguinte proposição relaciona as dimensões dos radicais nilpotentes de uma ál-gebra e de sua deformação e mostra que tal dimensão não aumenta através de uma
deformação.
Proposição 4.52. [23] Se J → J1, então dim Rad(J) 6 dim Rad(J1).
Demonstração. É suficiente provar que os conjuntos J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s são fe-chados na topologia de Zariski em Jorn para todo s ∈ N. Isto implicará que se J1 → J2
e dim Rad(J1) = s então JG2 ⊆ JG
1 ⊆ J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s logo dim Rad(J2) >
dim Rad(J1).
Considere para qualquer número natural m 6 n a Grassmaniana Gr(m,n), i.e., oconjunto dos subespaços de dimensão m de um k-espaço vetorial V ≃ kn. Considere
também os pares (J, I) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde I é um idealnilpotente de dimensão m de J. Tais pares formam um conjunto fechado Ωm em
Jorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa como uma variedade algébrica (i.e., paraqualquer variedade Y o morfismo projeção Gr(m,n)× Y → Y é uma aplicação fechada)
a projeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de
J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s =⋃
s6m6n
Fm
que o conjunto J ∈ Jorn | dim Rad(J) > s é Zariski-fechado.
Observamos que a desigualdade não é estrita no caso da dimensão do radical nil-potente como é no caso da dimensão do grupo de automorfismos ou da dimensão da
órbita, pois de fato em [4] foram obtidas deformações entre álgebras nilpotentes nãoisomorfas.
Analogamente ao que acontece com Rad(J) temos o seguinte resultado que relacionaas dimensões dos aniquiladores das álgebras. Lembrando que Ann(J) = a ∈ J | aJ = 0.
75
Proposição 4.53. [22] Se J → J1, então dim Ann(J) 6 dim Ann(J1).
Demonstração. Procederemos de maneira análoga à prova da Proposição 4.52, mos-trando que o conjunto J ∈ Jorn | dim Ann(J) > s é fechado. Vamos descrever o
que é dim Ann(J). Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e seja a =∑n
i=1 αiei
um elemento arbitrário de Ann(J), logo aJ = 0 ou seja aej = 0 para todo j = 1, · · · ,n.As equações aej = 0 se escrevem como aej =
∑nk=1 β
jkek = 0 onde cada βj
k é uma
combinação linear dos αi e é um polinômio nas constantes estruturais. Ou seja cadauma das n equações aej = 0 resulta em n novas equações βj
k = 0 para k = 1, · · · ,n
com os αi como incógnitas. Seja então Pn2,n a matriz deste sistema de n2 equa-ções com n incógnitas. Então dim Ann(J) = n − rank(Pn2,n), logo dim Ann(J) > s
é equivalente a n − s + 1 > rank(Pn2,n) o que a sua vez é equivalente ao fato deque todos os menores de ordem n − s+ 1 de Pn2,n sejam nulos. Ou seja o conjuntoJ ∈ Jorn | dim Ann(J) > s fica definido por um número finito de identidades polino-miais logo é Zariski-fechado.
Em contrapartida do que acontece com Rad(J) e Ann(J) temos que a dimensão dequalquer potência de J não diminui através de uma deformação.
Proposição 4.54. [23] Se J → J1 então dim Jr > dim Jr1, para qualquer inteiro positivo r.
Demonstração. Seja e1, · · · , en uma base da álgebra J ∈ Jorn e considere Ωn,r o con-junto de todas as palavras não associativas de comprimento r nas variáveis e1, . . . , en.
Denotemos por l(r) = |Ωn,r| a cardinalidade de Ωn,r. Qualquer tal palavra pode ser es-crita como fl1e1+ · · ·+ flnen onde cada fli é um polinômio nas constantes estruturais ckijde J. Considere a matriz Pl(r),n, onde cada linha consiste das n coordenadas da palavracorrespondente. Então dim Jr = rank(Pl(r),n) e o fato de dim Jr 6 s é equivalente ao
fato que todos os menores de ordem s+ 1 sejam nulos e portanto J ∈ Jorn | dim Jr 6 s
é fechado.
Como corolário da proposição anterior temos:
Corolário 4.55. Se J e J1 são álgebras de Jordan nilpotentes tal que J → J1 então o índice de
nilpotência de J deve ser maior ou igual ao índice de nilpotência de J1.
Provaremos a seguir que as identidades polinomiais de J são preservadas quando J
domina uma outra álgebra J1:
Proposição 4.56. [25] Se J → J1 então toda identidade polinomial de J é válida em J1. Em
particular, qualquer deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebra não associativa.
76
Demonstração. Seja S um conjunto de identidades polinomiais satisfeitas por J. EntãoV(S) é um conjunto algébrico e logo é fechado na topologia de Zariski de An3
o que
implica que V(S)⋂
Jorn é um subconjunto fechado de Jorn, G-invariante e tal que J ∈V(S)
⋂
Jorn, logo JG1 ⊆ JG ⊆ V(S)
⋂
Jorne portanto J1 também satisfaz as identidades
polinomiais S.
Seja I um conjunto finito de identidades polinomiais. Denote por
MI(J) = max dim S | S é uma subálgebra de J que satisfaz I .
Então usando um argumento análogo à prova da Proposição 4.52 temos o seguinte
resultado:
Proposição 4.57. Se J → J1 então MI(J) 6 MI(J1).
Demonstração. Considere, para qualquer número natural m 6 n, a Grassmaniana Gr(m,n).
Considere também os pares (J, S) no produto de variedades Jorn×Gr(m,n), onde S éuma subálgebra de dimensão m de J satisfazendo I. Tais pares formam um conjunto
fechado que denotaremos por Ωm em Jorn×Gr(m,n). Como Gr(m,n) é completa aprojeção Fm de Ωm em Jorn é fechada na topologia de Zariski. Então segue de
J ∈ Jorn | MI(J) > s =⋃
s6m6n
Fm
que o conjunto J ∈ Jorn | MI(J) > s é Zariski-fechado.
Em particular, o resultado vale para subálgebras associativas, nilpotentes e nulas, i.e.,
subálgebras que satisfazem a identidade xy = 0 para todo x e y. Denotaremos MI(J)
nesses casos particulares como sendo MA(J), MN(J) e MNul(J) respetivamente.
Considere a subálgebra dos elementos de J que “associam” com todos os outros, i.e.,o conjunto definido por
Z(J) = a ∈ J | (a, J, J) = (J,a, J) = (J, J,a) = 0
que chamaremos de centro associativo de J. Então temos:
Proposição 4.58. Se J → J1 então dimZ(J) 6 dimZ(J1).
Demonstração. Seja e1, · · · , en uma base de J ∈ Jorn e a =∑n
i=1 αiei um elemento deZ(J), logo cada uma das 3n2 equações (a, ei, ej) = 0, (ei,a, ej) = 0, (ei, ej,a) = 0 para
i, j = 1, · · · ,n resulta em n novas equações tendo os αi como incógnitas. Seja entãoP3n3,n a matriz deste sistema de 3n3 equações com n incógnitas. Então dimZ(J) =
77
n− rank(P3n3,n), logo dimZ(J) > s é equivalente a n− s+ 1 > rank(P3n3,n) o que asua vez é equivalente ao fato de que todos os menores de ordem n− s+ 1 de P3n3,n
sejam nulos. Ou seja o conjunto J ∈ Jorn | dimZ(J) > s fica definido por um númerofinito de identidades polinomiais logo é Zariski-fechado.
Usaremos frequentemente o fato que deformação preserva tanto o produto originalem Jss como a ação de Jss em Rad(J). Este resultado é análogo ao Teorema 4.23
enunciado para família de deformações a um parâmetro. A saber,
Proposição 4.59. [25, Prop.2.2] Para uma álgebra de Jordan não nilpotente J considere o par
(Jss, Γ(J)) , onde Γ(J) é J como espaço vetorial e tem estrutura de Jss-bimódulo. Então para
qualquer componente irredutível T de Jorn, (Jss, Γ(J)) é constante em um subconjunto aberto
de T . Se J1 ∈ T então (J1)ss é uma subálgebra de Jss e Γ(J1) é a restrição de Γ(J) em
(J1)ss.
Como consequências diretas da proposição anterior temos os seguintes dois resulta-
dos:
Proposição 4.60. Se J → J1 e J1 admite decomposição de Peirce em relação a um sistema de
r idempotentes ortogonais então em J existem r idempotentes ortogonais tal que a decomposição
de Peirce de J em relação a esse sistema coincide com a de J1.
Proposição 4.61. Se J → J1 e J1 é uma álgebra unitária, então J deve ser também uma álgebra
unitária.
Provaremos a seguir que a dimensão do conjunto dos 2-cociclos de J com coeficientes
em J não aumenta através de uma deformação.
Proposição 4.62. Se J → J1 então dimZ2(J, J) 6 dimZ2(J1, J1).
Demonstração. Seja h : J× J → J um 2-cociclo de J com coeficientes em J. Então h fica
definida pelas n3 constantes αkij ∈ k dadas por h(ei, ej) =
∑nk=1 α
kijek. Linearizando
completamente as identidades de 2-cociclo (1.6) obtemos
(h(x,y)w)z+ (h(x, z)w)y+ (h(y, z)w)x+ h((xy)w, z) + h((xz)w,y) + h((yz)w, x)++h(xy,w)z+ h(xz,w)y+ h(yz,w)x = (xy)h(w, z) + (xz)h(w,y) + (yz)h(w, x)+
+h(x,y)(wz) + h(x, z)(wy) + h(y, z)(wx) + h(xy,wz) + h(xz,wy) + h(yz,wx).Calcular essas equações e a condição de comutatividade de h nos elementos da base
resulta em l(n) =(
n4 +n(n−1)
2
)
n equações tendo os αkij como incógnitas. Então
dimZ2(J, J) = n3 − rank(Pl(n),n3), onde como antes Pl(n),n3 representa a matriz do sis-
tema de equações, assim dimZ2(J, J) > s é equivalente ao fato de que todos os menoresde ordem n− s+1 de Pl(n),n3 sejam nulos. Logo o conjunto
J ∈ Jorn | dimZ2(J, J) > s
é Zariski-fechado.
78
E analogamente,
Proposição 4.63. Se J → J1 então dimB2(J, J) > dimB2(J1, J1).
Demonstração. Seja f ∈ B2(J, J) um 2-cobordo de J com coeficientes em J então existe
uma aplicação linear Φ : J → J tal que f = δΦ. Assim f fica definida por f(ei, ej) =
Φ(eiej)−eiΦ(ej)−Φ(ei)ej dependendo das n2 constantes αij ∈ k que definem Φ(ei) =∑n
j=1 αijej.
Calcular essas condições nos elementos da base resulta em n3 equações tendo os αij
como incógnitas. Então dimB2(J, J) = rank(Pn3,n2), onde Pn3,n2 representa a matriz do
sistema de equações, assim dimB2(J, J) 6 s é equivalente ao fato de que todos os meno-res de ordem s+ 1 de Pn3,n2 sejam nulos. Logo o conjunto
J ∈ Jorn | dimB2(J, J) 6 s
é Zariski-fechado.
Combinando as Proposições 4.62 e 4.63 obtemos o seguinte resultado:
Proposição 4.64. Se J → J1 então dimH2(J, J) 6 dimH2(J1, J1).
4.5 algumas componentes irredutíveis de Jorm para
m > 2
Provamos na Proposição 4.36 que toda álgebra rígida gera uma componente irredutí-
vel. Os seguintes teoremas mostram que em toda variedade de álgebras de Jordan dedimensão maior ou igual a 5 temos pelo menos 3 componentes irredutíveis que provem
de álgebras infinitesimalmente rígidas que são indecomponíveis, não associativas e nãosemissimples.
Teorema 4.65. Seja m ∈ N finito e m > 2. A álgebra de Jordan Am ∈ Jorm sobre um corpo k
com char k 6= 2, que possui base e1,n1, · · · ,nm−1 tal que ei é idempotente e e1ni = nie1 =12ni e ninj = 0 para todo i, j = 1, · · · ,m− 1 é uma álgebra rígida e a componente irredutível
por ela determinada tem dimensão m.
Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra Am assim definida éde Jordan, i.e., satisfaz a identidade (1.2) para todo x,y ∈ Am pois já é comutativa
79
por definição. Sejam então x = αe1 +∑m−1
i=1 βini e y = α ′e1 +∑m−1
i=1 β ′ini para
α,α ′,βi,β ′i ∈ k, logo temos
(x2,y, x) =
(
α2e1 +
m−1∑
i=1
αβini,α ′e1 +m−1∑
i=1
β ′ini,αe1 +
m−1∑
i=1
βini
)
=(
α2e1,α ′e1,αe1)
+
(
α2e1,α ′e1,m−1∑
i=1
βini
)
+
+
(
α2e1,m−1∑
i=1
β ′ini,αe1
)
+
(
α2e1,m−1∑
i=1
β ′ini,
m−1∑
i=1
βini
)
+
+
(
m−1∑
i=1
αβini,α ′e1,αe1
)
+
(
m−1∑
i=1
αβini,α ′e1 +m−1∑
i=1
βini
)
+
+
(
m−1∑
i=1
αβini,m−1∑
i=1
β ′ini,αe1
)
+
(
m−1∑
i=1
αβini,m−1∑
i=1
β ′ini,
m−1∑
i=1
βini
)
=
m−1∑
i=1
1
4α2α ′βini −
m−1∑
i=1
1
4α2α ′βini = 0
Agora, seja T ∈ Aut(Am) então T é definido por T(e1) = e1 +∑m−1
i=1 a0ini coma0i ∈ k e T(ni) =
∑m−1j=1 aijnj para i = 1, · · · ,m − 1 e com aij ∈ k. Ou seja dos
m2 coeficientes que definem T temos (m− 1) + (m− 1)2 livres. Isto é dim Aut(Am) =
m2 −m logo
dimAGm = m2 − dim Aut(Am) = m.
Considere h ∈ Z2(Am,Am) um 2-cociclo de Am com coeficientes em Am, então h :
Am ×Am → Am é uma aplicação bilinear satisfazendo (1.6). Resolvendo as equaçõesde 2-cociclos linearizadas (veja Proposição 4.62) nos elementos da base de Am obtemos:
h(e1, e1) = αe1 h(e1,ni) = βie1 +α
2ni h(ni,nj) = βjni +βinj
para quaisquer α,βi ∈ k e 1 6 i, j 6 m − 1. Ou seja temos 1+ (m − 1) coeficienteslivres definindo um 2-cociclo arbitrário, logo dimZ2(Am,Am) = m. Seja, agora f ∈B2(Am,Am) um 2-cobordo de Am com coeficientes em Am então existe uma aplicaçãolinear Φ : Am → Am tal que f = δΦ. Então f deve ser definido por:
f(e1, e1) = −α ′e1 f(e1,ni) = −1
2β ′ie1 −
1
2α ′ni f(ni,nj) = −
1
2β ′jni −
1
2β ′inj
80
para quaisquer α ′,β ′i ∈ k e 1 6 i, j 6 m− 1. Logo f depende de 1+ (m− 1) parâmetros
e portanto dimB2(Am,Am) = m o que implica que H2(Am,Am) = 0.
Uma das questões que surgiu durante a realização deste trabalho foi o que acontece
com uma álgebra rígida à qual adjuntamos formalmente um elemento identidade, aresposta foi que nem sempre ela permanece rígida:
Lema 4.66. Rigidez não é preservada por adjunção formal de um elemento identidade.
Demonstração. Seja n > 3 e seja An−1 ∈ Jorn−1 a álgebra rígida do Teorema 4.65. En-
tão a álgebra A#n−1 ∈ Jorn é uma álgebra de Jordan unitária que resulta de adjuntar
formalmente o elemento identidade de k a An−1 e tem produto definido por (1.4).
Seja J(V, f) ∈ Jorn a álgebra de Jordan da forma bilinear simétrica não degeneradaf : V×V → k, com V um k-espaço vetorial de dimk V = n− 1 e base e2, · · · , en, dada
por f(ei, ei) = 1 e f(ei, ej) = 0 para i 6= j e 2 6 i, j 6 n. Claramente J(V, f) 6≃ A#n−1
pois J(V, f) é uma álgebra simples enquanto que dim Rad(A#n−1) = n− 2 > 1. Logo
A#n−1 não é uma álgebra rígida pois J(V, f) é uma deformação (não trivial) de A#
n−1
dada pela curva
Et1 = e1
Et2 =
1
2e1 +
1
2e2
Eti = tei i = 3, · · · ,n.
Uma outra família de álgebras rígidas é descrita no seguinte teorema:
Teorema 4.67. Seja m ∈ N finito e m > 4. A álgebra de Jordan Bm ∈ Jorm sobre um
corpo k com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 onde e1 e e2 são idempotentes
ortogonais e o produto comutativo é definido por
e1nj =1
2nj ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2
e2n1 =1
2n1 e2nk = 0 para k = 2, · · · ,m− 2
é uma álgebra rígida.
81
Demonstração. Primeiramente provaremos que de fato a álgebra Bm assim definidaé uma álgebra de Jordan. Sejam x =
∑2i=1 αiei +
∑m−2i=1 βini e y =
∑2i=1 α
′iei +∑m−2
i=1 β ′ini para αi,α ′
i,βi,β ′i ∈ k, logo temos
(x2,y, x) =
(
2∑
i=1
α2i ei +
m−2∑
i=1
α1βini +α2β1n1,y, x
)
=
(
2∑
i=1
α2i ei,y, x
)
+
(
m−2∑
i=1
α1βini,y, x
)
+ (α2β1n1,y, x)
=1
4
(
(
−α22α
′1 +α2
2α′2 −α2
1α′2
)
β1n1 +
m−2∑
i=1
α21α
′1βini
)
−
−1
4
(
(
−α2α1α′1 +α2α1α
′2 −α2
1α′2
)
β1n1 +
m−2∑
i=1
α21α
′1βini
)
+
+1
4
(
−α2α1α′1 +α2α1α
′2 +α2
2α′1 −α2
2α′2
)
β1n1
= 0
Seja, agora f ∈ B2(Bm,Bm) um 2-cobordo de Bm com coeficientes em Bm então existeuma aplicação linear Φ : Bm → Bm tal que f = δΦ. Então f deve ser definido por:
f(e1, e1) = −u11e1 +u12e2
f(e2, e2) = u21e1 −u22e2 +
m−2∑
i=2
u2,(i+2)ni
f(n1,n1) = −(u31 +u32)n1
f(ni,ni) = −u(i+2),1ni
f(e1, e2) = −u21e1 −u12e2 −1
2(u13 + u23)n1 −
1
2
m−2∑
i=2
u2,(i+2)ni
f(e1,n1) = −1
2u31e1 +
1
2u32e2 −
1
2(u11 +u12)n1
f(e2,n1) =1
2u31e1 −
1
2u32e2 −
1
2(u21 + u22)n1 +
1
2
m−2∑
i=2
u3,(i+2)ni
f(e1,ni) = −1
2u(i+2),1e1 +
1
2u(i+2),2e2 −
1
2u11ni
f(e2,ni) = −u(i+2)2e2 −1
2u(i+2),3n1 −
1
2u21ni
f(n1,ni) = −1
2(u(i+2),1 +u(i+2),2)n1 −
1
2u31ni
82
f(ni,nj) = −1
2u(j+2),1ni −
1
2u(i+2),1nj
onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo f depende de 1 + 3 · 2+ 5(m − 3) parâmetrosuij ∈ k e portanto dimB2(Bm,Bm) = 7+ 5(m− 3).
Considere h ∈ Z2(Bm,Bm), resolvendo as equações de 2-cociclos linearizadas nos
elementos da base de Bm obtemos:
h(e1, e1) = a111e1 + a2
11e2
h(e2, e2) = −a112e1 + 2a2
22e2 − 2
m−2∑
i=2
a(i+2)12 ni
h(n1,n1) = 2(a113 − a2
13)n1
h(ni,ni) = 2a11,(i+2),1ni
h(e1, e2) = a112e1 − a2
11e2 + a312n1 +
m−2∑
i=2
a(i+2)12 ni
h(e1,n1) = a113e1 + a2
13e2 +1
2(a1
11 − a211)n1
h(e2,n1) = −a113e1 − a2
13e2 +1
2(a1
12 + a222)n1 +
m−2∑
i=2
a(i+2)23 ni
h(e1,ni) = a11,(i+2)e1 + a2
1,(i+2)e2 +1
2a111ni
h(e2,ni) = −2a21,(i+2)e2 + a3
2,(i+2)n1 +1
2a112ni
h(n1,ni) = (a11,(i+2) − a2
1,(i+2))n1 + a113ni
h(ni,nj) = a11,(j+2)ni + a1
1(i+2)nj
onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo h depende de 1 + 3 · 2+ 5(m − 3) parâmetros
akij ∈ k e portanto dimZ2(Bm,Bm) = 7+ 5(m− 3), segue que H2(Bm,Bm) = 0.
Teorema 4.68. Seja m ∈ N finito e m > 4. A álgebra de Jordan Cm ∈ Jorm sobre um
corpo k com char k 6= 2, que possui base e1, e2,n1, · · · ,nm−2 onde e1 e e2 são idempotentes
ortogonais e o produto comutativo é definido por
e1nj =1
2nj ninj = 0 para i, j = 1, · · · ,m− 2
e2n1 = 0 e2nk =1
2nk para k = 2, · · · ,m− 2
83
é uma álgebra rígida.
Demonstração. Uma conta longa, análoga à do teorema anterior mostra que a álgebraCm assim definida é uma álgebra de Jordan. Suponha agora que f ∈ B2(Cm,Cm).
Então f deve ser definido por:
f(e1, e1) = −u11e1 +u12e2
f(e2, e2) = u21e1 −u22e2 +u23n1
f(n1,n1) = −u31n1
f(ni,ni) = −(u(i+2),1 + u(i+2),2)ni
f(e1, e2) = −u21e1 −u12e2 −1
2u23n1 −
1
2
m−2∑
i=2
(u1,(i+2) +u2,(i+2))ni
f(e1,n1) = −1
2u31e1 +
1
2u32e2 −
1
2u11n1
f(e2,n1) = −u32e2 −1
2u21n1 −
1
2
m−2∑
i=2
u3,(i+2)ni
f(e1,ni) = −1
2u(i+2),1e1 +
1
2u(i+2),2e2 −
1
2(u11 +u12)ni
f(e2,ni) =1
2u(i+2),1e1 −
1
2u(i+2)2e2 +
1
2u(i+2),3n1 −
1
2(u21 + u22)ni
f(n1,ni) = −1
2u(i+2),1n1 −
1
2(u31 +u32)ni
f(ni,nj) = −1
2(u(j+2),1 + u(j+2),2ni −
1
2(u(i+2),1 + u(i+2),2)nj
onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m − 2. Logo f depende de 1+ 3 · 2 + 5(m − 3) parâmetros
uij ∈ k e portanto dimB2(Cm,Cm) = 7+ 5(m− 3). Considere agora h ∈ Z2(Cm,Cm)
então:
h(e1, e1) = a111e1 + a2
11e2
h(e2, e2) = −a112e1 + a2
22e2 − 2a312n1
h(n1,n1) = 2a113n1
h(ni,ni) = 2(a11,(i+2),1 − a2
1,(i+2))ni
h(e1, e2) = a112e1 − a2
11e2 + a312n1 +
m−2∑
i=2
a(i+2)12 ni
h(e1,n1) = a113e1 + a2
13e2 +1
2a111n1
84
h(e2,n1) = −2a213e2 +
1
2a112n1 +
m−2∑
i=2
a(i+2)23 ni
h(e1,ni) = a11,(i+2)e1 + a2
1,(i+2)e2 +1
2(a1
11 − a211)ni
h(e2,ni) = −a11,(i+2)e1 − a2
1,(i+2)e2 + a32,(i+2)n1 +
1
2(a1
12 + a222)ni
h(n1,ni) = a11,(i+2)n1 + (a1
13 − a213)ni
h(ni,nj) = (a11,(j+2) − a2
1,(j+2))ni + (a11(i+2) − a2
1,(i+2))nj
onde i 6= j e i, j = 2, · · · ,m− 2. Logo dimZ2(Cm,Cm) = 7+ 5(m − 3) portanto segueque H2(Cm,Cm) = 0.
Para finalizar observamos que se m = 4 a álgebra B4 coincide com a álgebra C4 mas,para cada m > 5, a álgebra de Jordan J12 é uma subálgebra de dimensão 4 de Bm
mas não é subálgebra de Cm, logo elas não são isomorfas. Assim, sempre que m formaior ou igual a 5 os teoremas anteriores nos fornecem 3 álgebras rígidas não isomorfas,
não semissimples, não associativas e indecomponíveis que determinam 3 componentesirredutíveis em Jorm. Agora, como estas álgebras são infinitesimalmente rígidas, param suficientemente grande, podemos considerar somas diretas em diferentes dimensões
e obter, no mínimo, 12 novas álgebras rígidas.De modo análogo, uma estimativa, a grosso modo, do número de componentes ir-
redutíveis de Jorm pode ser obtida do fato que em cada dimensão temos pelo menosuma álgebra infinitesimalmente rígida e que somas diretas de tais álgebras também são
rígidas. Assim temos pelo menos tantas componentes irredutíveis quanto o númerode partições p(m) do inteiro positivo m, o qual satisfaz (veja [34, Cap. 15]) a fórmula
assintótica:
p(m) ∼eπ
√23m
4√3m
.
85
5 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS
DE JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 4 SO -
BRE UM CORPO ALGEBR ICAMENTE FECHADO
Neste capítulo classificaremos geometricamente as álgebras de Jordan de dimensão 4.Consideraremos tais álgebras definidas sobre um corpo k algebricamente fechado de
char k 6= 2. O objetivo principal deste capítulo é determinar as componentes irredutí-veis da variedade Jor4. Para isso primeiramente descreveremos as álgebras rígidas das
variedades Jorn para n 6 3 e, sempre que possível, daremos uma descrição completadas órbitas e componentes irredutíveis em cada caso.
A lista completa das 73 órbitas de Jor4 sobre a ação de GL(V), i.e., as 73 álgebras de
Jordan de dimensão 4 não isomorfas, foi obtida no Capítulo 2. Para cada uma destasálgebras foram calculados os invariantes: grupo de automorfismos, dimensão do grupo
de automorfismos, dimensão do aniquilador, dimensão do radical nilpotente, dimen-são da segunda, terceira e quarta potência, dimensão do grupo de 2-cociclos, dimensão
do grupo de 2-cobordos, dimensão do segundo grupo de cohomologia, subálgebras dedimensões 2 e 3 e as dimensões das subálgebras associativas, nilpotentes e nulas maxi-
mais. Para levar a cabo tais contas foram programados diferentes algoritmos usandoo aplicativo Mathematica, os respectivos códigos se encontram no Apêndice A. Toda a
informação obtida para cada uma das 73 álgebras se encontra disponível no ApêndiceB e segundo, os resultados da Seção 4.4, nos fornecerá as ferramentas necessárias para
determinar a não existência de deformação entre um par de álgebras dadas e logo nospermitirá descrever as álgebras rígidas.
5.1 a variedade algébrica Jor1
Em Jor1 a única álgebra rígida é a álgebra simples ke e é claro que ke → kn. Logosó temos uma componente irredutível em Jor1 dada pelo fecho de Zariski da órbita da
álgebra ke, portanto Jor1 é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com2 órbitas sob a ação de GL(V).
87
5.2 a variedade algébrica Jor2
Existem seis k-álgebras de Jordan de dimensão 2 não isomorfas, a saber: B1, B2, B3
indecomponíveis, descritas na Tabela 2.1, e as álgebras decomponíveis ke1⊕ke2, ke1⊕kn1 e kn1 ⊕ kn2.
Teorema 5.1. A variedade algébrica Jor2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 6
órbitas sob a ação de GL(V) e 2 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das
órbitas das álgebras ke1 ⊕ ke2 e B2. A primeira determina uma componente de dimensão 4 e a
segunda uma componente de dimensão 2.
Demonstração. A álgebra ke1 ⊕ ke2 é rígida por ser uma álgebra semissimples e a álge-
bra B2 é rígida pois foi provado no Exemplo 4.22 que H2(B2,B2) = 0.
Todas as álgebras associativas de dimensão 2 podem ser deformadas em ke1 ⊕ ke2,de fato: ke1 ⊕ ke2 → ke1 ⊕ kn1 pela Proposição 4.41 e do Exemplo 4.42 segue queke1 ⊕ ke2 → B1. Para ver que B1 → B3, para t 6= 0 escolha a base At = te1 + n1 e
Bt = −t2e1 de B1, então obtemos a álgebra B3 quando t = 0. A mudança de baseAt = te1 + n1 e Bt = t2e1 de ke1 ⊕ kn1 mostra que ke1 ⊕ kn1 → B3. Lembramos do
Lema 4.40 que a órbita de kn1 ⊕ kn2 é fechada e logo toda B ∈ Jor2 é uma deformaçãode kn1 ⊕ kn2 o que implica que Jor2 é uma variedade afim conexa.
Como Jor2 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimen-
são da variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que
dim Jor2 = dim(ke1 ⊕ ke2)G = 22 − dim Aut(ke1 ⊕ ke2) = 4.
Por último, a dimensão da componente é determinada pela dimensão da órbita daálgebra rígida que a gera, logo as componentes irredutíveis de Jor2 têm dimensão:
dim(ke1 ⊕ ke2)G = 4 dimBG
2 = 4− dim Aut(B2) = 2.
Finalmente, para completar a descrição geométrica de Jor2 falta mostrar que essas são
as únicas deformações não triviais que existem. Para isso observe que dim Aut(ke1 ⊕kn1) = dim Aut(B1) = 1 logo, pela Proposição 4.51, temos ke1 ⊕ kn1 6→ B1 e B1 6→ke1 ⊕ kn1. Analogamente dim Aut(B2) = dim Aut(B3) = 2 logo B2 6→ B3 e, tambémpela Proposição 4.51 B2 6→ ke1 ⊕ kn1 nem B2 6→ B1. O restante das existências ou não
existências de deformações segue das propriedades de transitividade e antissimetria darelação de ordem parcial “→”.
88
Uma completa descrição das órbitas de Jor2 é dada na Tabela 5.1 e o diagrama dasálgebras de Jordan de dimensão 2 é dado na Figura 5.1.
dim AutB = 0 ke1 ⊕ ke2
ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
%%
dim AutB = 1 ke1 ⊕ kn1
''
B1
yysssssssssss
dim AutB = 2 B2
++❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱ B3
dim AutB = 4 kn1 ⊕ kn2
Fig. 5.1: Descrição completa das órbitas de Jor2
Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela, onde → repre-
senta que a álgebra da linha é uma deformação da álgebra na coluna e 6→ representaque a álgebra da linha não é uma deformação da álgebra na coluna. Os símbolos estão
acompanhados de siglas que justificam tales fatos, i.e.:
i. →DT : existe deformação trivial;
ii. →T : existe deformação pela propriedade transitiva da relação de ordem parcial
→;
iii. →: existe deformação e foi exibida anteriormente;
iv. 6→H2 : não existe deformação, pois a álgebra na coluna tem segundo grupo de
cohomologia nulo;
v. 6→SS: não existe deformação, pois a álgebra na coluna é semissimples;
vi. 6→AS: não existe deformação pela propriedade antissimétrica da relação de ordem
parcial →;
vii. 6→Aut: não existe deformação pela Proposição 4.51 que relaciona a dimensão dosgrupos de automorfismos das álgebras envolvidas.
89
Tabela 5.1: Existência de deformações em Jor2→ ke1 ⊕ ke2 ke1 ⊕ kn1 B1 B2 B3 kn1 ⊕ kn2
ke1 ⊕ ke2 →DT → → 6→H2 →T →T
ke1 ⊕ kn1 6→SS →DT 6→Aut 6→H2 → →T
B1 6→SS 6→Aut →DT 6→H2 → →T
B2 6→SS 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →B3 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 →DT →
kn1 ⊕ kn2 6→SS 6→AS 6→AS 6→H2 6→AS →DT
5.3 a variedade algébrica Jor3
Em [25] I. Kashuba e I. Shestakov determinaram que Jor3 é uma variedade afim co-nexa de dimensão 9 com 5 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das
órbitas das álgebras ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T5, T7, T9 e B2 ⊕ ke2. Cada álgebra gera umacomponente irredutível de dimensão 9, 8, 3, 7 e 7, respetivamente.
Daremos aqui uma descrição quase-completa das órbitas de Jor3. Com quase-completaqueremos dizer que conseguimos determinar em um 98, 5% das vezes se uma álgebra
de Jordan de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de uma outraálgebra.
Sabemos que em Jor3 existem 20 órbitas representadas pelas 10 álgebras indecom-
poníveis Ti para 1 6 i 6 10 dadas na Tabela 2.2 e as 10 álgebras que são somadireta de álgebras de dimensões menores: T11 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, T12 = B1 ⊕ ke2,
T13 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, T14 = B1 ⊕ kn2, T15 = B3 ⊕ ke1, T16 = ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2,T17 = B3 ⊕ kn3, T18 = kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T19 = B2 ⊕ ke2 e T20 = B2 ⊕ kn2.
Por ser soma direta de alguma álgebra de Jor2 com ke ou kn, segue da Proposição4.41 e da classificação geométrica da seção anterior que:
T11 → T12; T11 → T13; T13 → T15; T15 → T16;
T12 → T14 T12 → T15; T13 → T14; T16 → T17;
T17 → T18; T19 → T16; T19 → T20.
Segue de [25] e [22] que existem as seguintes deformações:
T12 → T1; T1 → T2; T14 → T3; T5 → T10;
T3 → T4; T4 → T17; T5 → T8; T9 → T6; T10 → T20.
90
E das seguintes transformações obtemos as respectivas deformações:
i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = n2 e Ct = tn1 de T8.Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T20. Logo T8 → T20.
ii. Analogamente se consideramos a base At = te1 + tn1, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 +
t3n1+n2 de T2 obtemos a álgebra T17 quando t tende a zero. Portanto, T2 → T17.
iii. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = te2 e Ct = n1 de T10 , nos da T10 → T2.
iv. A mudança de base At = e1 + e2, Bt = n1 e Ct = te2 de T19 tende a T6 quandot → 0 o que implica que T19 → T6.
v. Para o caso da deformação T1 → T3 considere a família de automorfismo At =
te1 + n1, Bt = −t2e1 + n2 e Ct = t3e1 de T1, fazendo t tender a 0 obtemos aálgebra T3.
vi. A família de automorfismos At = te1 + n1, Bt = t2e1 + t3n1 +n2 e Ct = t3e1 deT15 nos da T15 → T3.
vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1 + n2, Bt = t2e1 + 2tn2 e Ct =
n1 + 2n2 de T6, fazendo t = 0 temos a álgebra T4 e portanto T6 → T4.
viii. Por último, a mudança de base At = te1 + n1, Bt = t2e1 e Ct = 2n1 + n2 de T20
nos da T20 → T4.
Para completar a descrição geométrica de Jor3 provaremos que não existem outras
deformações.
Da Proposição 4.56 toda deformação de uma álgebra não associativa é uma álgebranão associativa, logo Ti 6→ Tj para i = 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e j = 6, 8, 10, 20. Segue
da Proposição 4.59 que a ação da parte semissimples TSS é preservada através de umadeformação, logo:
T1 6→ T16; T5 6→ Ti para i = 6, 14, 15, 16; T6 6→ Ti para i = 2, 16
T8 6→ T16; T9 6→ Ti para i = 2, 16, 20; T10 6→ Ti para i = 6, 16
T14 6→ T16; T19 6→ T2; T20 6→ T16.
As álgebras T3 e T4 são nilpotentes logo elas não podem ser deformações de álgebras
não nilpotentes, assim temos T3,T4 6→ T2,T16 e como dim Rad(T8) = dim Rad(T9) = 2
e dim Rad(T10) = 1 da Proposição 4.52 segue que T8,T9 6→ T10.
91
Da Proposição 4.53 segue que a dimensão do aniquilador de uma álgebra não au-menta sob deformação, portanto temos:
T8 6→ T1,T2T6; T13 6→ T1,T12; T14,T15 6→ T1,T2;
T16 6→ T2,T4; T20 6→ T2,T6
pois dim Ann(Ti) = 0 para i = 1, 2, 6, 12, dim Ann(Ti) = 1 para i = 4, 8, 13, 14, 15, 20 edim Ann(T16) = 2.
Segue da Proposição 4.51 que a dimensão do grupo de automorfismos diminui atra-vés de uma deformação não trivial, logo dado que
dim Aut(Ti) =
1, i = 5, 12, 13
2, i = 1, 8, 9, 10, 14, 15, 19
3, i = 3, 6, 20
4, i = 2, 4, 16
5, i = 17
6, i = 6
temos:
T1 6→ Ti para i = 13, 14, 15; T2 6→ Ti para i = 3, 4, 14, 15, 16;
T5 6→ Ti para i = 12, 13; T6 6→ Ti para i = 1, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 20;
T7 6→ Ti para i = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20;
T8 6→ Ti para i = 12, 13, 14, 15; T9 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15;
T10 6→ Ti para i = 1, 8, 12, 13, 14, 15; T12 6→ T13; T14 6→ T15;
T15 6→ T14; T16 6→ Ti para i = 1, 3, 14;
T19 6→ Ti para i = 1, 8, 10, 12, 13, 14, 15; T20 6→ Ti para i = 1, 3, 12, 13, 14, 15;
Por último não pôde ser determinado se existem ou não as seguintes deformações:
T5?
99K T1 e T5,T8,T9,T10,T19?
99K T3. O restante das existências ou não existências
de deformações segue das propriedades de transitividade e antissimetria da relação deordem parcial “→”.
O diagrama completo das álgebras de Jordan de dimensão 3, a menos de 6 deforma-ções, é dado na Figura 5.2. Os super-índices A, S, U e N nos nomes das álgebras re-
presentam que Ti é Associativa, Semissimples, Unitária ou Nilpotente, respetivamente.Isto nos permitirá enxergar como se comportam estas características sob deformações.
92
0
1
2
3
4
5
6
9
dim Aut(T)
TSAU11
TAU12 TA
13
TA14 TA
15
TA16
TAN17
TAN18
T19
T20
TAU1
TAU2
TAN3
TAN4
TSU5
T6
T7
T8 T9TU10
Fig. 5.2: Descrição quase-completa das órbitas de Jor3
Um resumo da existência de deformações é dado na seguinte tabela. Observamos
que não foram colocadas as colunas das álgebras rígidas T5, T7, T9, T11 e T19 com opropósito de ganhar espaço, já que a tabela ficou muito grande. Nessas colunas só teria
o símbolo “6→R” o qual representa que “não existe deformação, pois foi provado em [25]
que a álgebra da coluna é rígida”, além de obviamente “→DT ” a existência da deformação
trivial.
Os símbolos → e 6→ estão acompanhados de siglas que justificam tales fatos de acordocom a seção anterior e adicionamos os seguintes:
i. 6→Ass: não existe deformação pela Proposição 4.56, pois a álgebra da linha é asso-ciativa e a álgebra da coluna não o é.
93
ii. 6→npa: não existe deformação pois não é preservada a ação da parte semissimples,Proposição 4.59.
iii. 6→Rad: não existe deformação pela Proposição 4.52 que relaciona as dimensões dos
radicais nilpotentes das álgebras envolvidas.
iv. 6→Ann: não existe deformação pela Proposição 4.53 que relaciona as dimensões
dos aniquiladores das álgebras envolvidas.
v.?
99K: não foi possível determinar a existência ou não existência de deformação.
94
Tabela 5.2: Existência de deformações em Jor3→ T1 T2 T3 T4 T6 T8 T10 T12 T13 T14 T15 T16 T17 T18 T20
T1 →DT → → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass
T2 6→AS →DT 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Ass
T3 6→AS 6→Rad →DT → 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad →T →T 6→Ass
T4 6→AS 6→Rad 6→AS →DT 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→Rad → →T 6→AS
T5?
99K →T?
99K →T 6→npa → → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→npa →T →T →T
T6 6→Aut 6→npa 6→Aut → →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→Aut
T7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut
T8 6→Ann 6→Ann?
99K →T 6→Ann →DT 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →T9 6→Aut 6→npa
?99K →T → 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T 6→npa
T10 6→Aut → ?99K →T 6→npa 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →
T11 →T →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass → → →T →T →T →T →T 6→Ass
T12 → →T →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass →DT 6→Aut → → →T →T →T 6→Ass
T13 6→Ann → →T →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT → → →T →T →T 6→Ass
T14 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS →DT 6→Aut 6→npa →T →T 6→Ass
T15 6→Ann 6→Ann → →T 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut →DT → →T →T 6→Ass
T16 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→AS 6→AS 6→Aut 6→AS →DT → →T 6→Ass
T17 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS 6→AS
T18 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS 6→AS →DT 6→AS
T19 6→Aut 6→npa?
99K →T → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T →T20 6→Aut 6→Ann 6→Aut → 6→Ann 6→AS 6→AS 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T →T →DT
95
5.4 a variedade algébrica Jor4
Agora estamos prontos para enunciar o principal teorema deste capítulo.
Teorema 5.2. A variedade algébrica Jor4 é uma variedade afim conexa de dimensão 16 com 73
órbitas sob a ação de GL(V) e 10 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das
órbitas das álgebras
Ω = J1, J2, J3, J6, J12, J13, J16, J24, J33, J59 ,
as quais determinam componentes de dimensões: 15, 11, 16, 14, 10, 12, 12, 14, 4 e 12, respetiva-
mente.
Demonstração. Vamos dividir a prova em duas partes: primeiramente, mostraremos queas álgebras em Ω são rígidas e depois provaremos que elas são as únicas rígidas, i.e.,
provaremos que toda outra álgebra de J1 a J73 da classificação algébrica do Capítulo 2
pode ser deformada em uma das álgebras anteriores.
Existem três álgebras semissimples J1, J2 e J3 logo pelo Corolário 4.21 elas são rígidas.Note que as álgebras J16 e J33 pertencem às famílias de álgebras dos Teoremas 4.67 e
4.65 (B4 e A4 respetivamente). Portanto J16 e J33 são rígidas.Nenhuma álgebra em Jor4 domina J6: Da Proposição 4.52 as únicas possíveis candi-
datas a serem deformação de J6 são J1 a J9, pela Proposição 4.51 podemos excluir J2,J7 e J9 da lista, enquanto que as álgebras J5 e J8 não dominam J6 devido à Proposição
4.53. Uma álgebra não associativa não pode ser deformada em uma álgebra associativa,portanto J3 9 J6 e J4 9 J6. Finalmente, a dimensão do grupo de 2-cociclos de J1 é 15
enquanto que para J6 é 14, logo J1 não domina J6 pela Proposição 4.62. Isto prova queJ6 é rígida.
Considere J ∈ Jor4, tal que J → J12, então pela Proposição 4.59 em uma base ade-quada (J12)ss é uma subálgebra de Jss tal que a ação da parte semissimples é preser-
vada. Escolhemos a base a, b, c, d de J onde os produtos são a2 = a, b2 = b, ac = 12c,
ad = 12d e ab = bc = bd = 0 logo, usando a tabela de multiplicação para a decompo-
sição de Peirce (veja o Teorema 1.19) temos c2 = αa, d2 = βa e cd = γa para certosα,β,γ ∈ k. Como a base deve satisfazer a versão linearizada da identidade de Jordan
(1.3) obtemos que α = β = γ = 0. Logo J ≃ J12 e J12 é rígida.Verificaremos que J13 é rígida. Como dim Rad(J13) = 2 temos que se Ji → J13 então
1 6 i 6 27. Mais ainda, Ji tem que ser não associativa logo i 6= 3, 4, 22 e 27, enquantoque usando o argumento da dimensão do grupo de automorfismo e da dimensão do
aniquilador, deduzimos que J13 não se deforma em J9, J12, J16, J18, J19 e J21, res-petivamente em J5, J8, J10, J11, J20, J23 e J26. As álgebras J14, J15 e J17 não são
96
deformações de J13 pela Proposição 4.59. A álgebra J2 não domina J13 pela Proposi-ção 4.58 pois a dimensão do centro associador Z(J2) é 1 enquanto que dimZ(J13) = 0.
Finalmente, note que J13 não tem nenhuma subálgebra associativa de dimensão 3, logonenhuma das álgebras restantes poderia dominar J13 pela Proposição 4.57.
Observe que não existe álgebra em Jor4 que deforme-se em J24: J24 é não associativae ambas dimensões do aniquilador e do radical coincidem com as dimensões de J13, o
que reduz a lista de possíveis deformações a
∆ = J1, J2J6, J7, J9, J12, J13, J14, J15, J16, J17, J18, J19, J25.
A dim Aut J24 = 2 portanto as possíveis álgebras J que podem dominar J24 são aquelasque pertencem a ∆ e que dim Aut J < 2, o que leva somente a J1. Mas dimZ2(J1, J1) =
15 enquanto que dimZ2(J24, J24) = 14 logo, Proposição 4.62, J1 9 J24 e J24 é rígida.
Finalmente, suponha que J ∈ Jor4 e J → J59 então pela Proposição 4.59 podemosescolher uma base tal que (J59)ss ⊆ Jss e a ação de (J59)ss deveria ser preservada, entãoJ somente poderia ser J12, J13, J32, J58 ou J60 mas então dim Aut(J) > 4, portanto J59
é rígida.
Resta mostrar que para qualquer álgebra J ∈ Jor4 existe uma álgebra J ′ ∈ Ω tal queJ ′ é uma deformação de J. No que segue todas as transformações serão dadas usando
as bases do Capítulo 2 na ordemei,nj
onde 1 6 i, j 6 4.
Mostraremos que J1 domina J7, J8, J10, J11, J17, J23, J25, J28, J44, J45, J46, J52,
J53, J62, J63, J64 e J65. Do Exemplo 4.29 temos J1 → J25. Além disso J25 → J17, defato para t 6= 0 escolhemos a base At = e1, Bt = e2, Ct = tn1 e Dt = n2 de J25, em
particular C2t = t2Dt e logo J25 → J17 quando t → 0. A deformação J1 → J53 é dada
pela curva At = e1 + e4, Bt = te3, Ct = t2e1 e Dt = t2e2, e a deformação J53 → J62 é
dada por At = te1 + tn2 − tn3, Bt = t2n2 + t2n3, Ct = −t3n3 e Dt = tn1.
Em [4] foram descritas as “contrações” entre as álgebras de Jordan nilpotentes, mas
se J é uma contração de J ′ então J corresponde a um ponto no fecho da órbita de J ′,ou seja J ′ é uma deformação de J. Logo de [4] temos as seguintes deformações entre
álgebras nilpotentes: J62 → J65, J62 → J63 e J63 → J64.
Por outro lado, combinando os resultados para álgebras de Jordan de dimensão 3 da
Seção 5.3 com a Proposição 4.41 obtemos J1 → J23, J1 → J7, J7 → J10, J1 → J8 eJ8 → J11. Para mostrar que J11 → J46, considere a mudança de base At = e1, Bt = n1,
Ct = te2 − n2 e Dt = tn2, para t 6= 0, de J11. Como BtCt = tBt
2 e C2t = Dt + tCt
obtemos a estrutura de J46 quando t tende a zero.
Para a deformação J8 → J45, considere a base At = e1, Bt = te3, Ct = t2e2 eDt = te2 + n1 de J8, então quando t = 0 obtemos J45. A mudança de base At = e1,
97
Bt = n1, Ct = n2 e Dt = tn3 de J45 funciona para J45 → J44, enquanto J44 → J28
tomando At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 em J44.
Finalmente, para ver que J23 → J52, considere a mudança de base At = e1 + e2,Bt = n1, Ct = te2 e Dt = n2 de J23.
Agora mostraremos que J2 domina J9, J18, J48 e J49. Para ver que J2 → J9 considere,para t 6= 0, a base At = e1, Bt = e2, Ct = e3 + e4 e Dt = te4 de J2. Como C2
t = At+Bt,
CtDt = t(At+Bt
2 ) e D2t = 0 obtemos a álgebra J9 quando t = 0. Para a deformação
J9 → J18, é suficiente considerar a base At = e1, Bt = e2, Ct = te3 e Dt = n1 de J9.
Então, como C2t = t2(At + Bt), fazendo t tender a zero obtemos J18. Analogamente
J2 → J49 com base At = e1, Bt = te2, Ct = 2te3 e Dt = te3 + e4 e J49 → J48 com base
At = e1, Bt = n1, Ct = tn2 e Dt = n3.
Todas as álgebras associativas, ou seja J4, J5, J19, J20, J21, J22, J26, J27, J34, J35, J36,
J37, J38, J39, J40, J41, J42, J43, J47, J54, J61, J66, J67, J68, J69, J70, J71, J72 e J73 sãodominadas por J3.
Combinando a Proposição 4.41 com a descrição geométrica de Jor2 dada na Seção 5.2obtemos J3 → J4, J3 → J5, J5 → J20, J5 → J26, J26 → J19, J19 → J35, J40 → J34,
J72 → J73, J4 → J22 e J26 → J47. Novamente, usando a Proposição 4.41 e a descriçãogeométrica de Jor3 dada na seção anterior temos J4 → J27, J27 → J21, J21 → J37,J20 → J54, J38 → J41, J41 → J40 e J71 → J72. Finalmente, de [4] temos as seguintes
deformações entre álgebras nilpotentes J61 → J67, J66 → J68, J66 → J70, J68 → J69 eJ69 → J71.
Para ver que J20 → J38, para t 6= 0 consideramos a mudança de base At = e2,Bt = te1 + n1 + n2, Ct = tn1 − tn2 e Dt = t2n1 de J20. Analogamente a dominância
J38 → J66 é dada pela base At = tn1, Bt = t2n2, Ct = t3n3 e Dt = te1 − t2n3 deJ38. Para a deformação J47 → J61 tome t 6= 0 e considere a base At = te1 + n1 + n2,
Bt = tn1 − tn2 +n3, Ct = t2n1 − tn3 e Dt = t2n3 de J47, então quando t = 0 obtemosJ61.
Para mostrar que J22 → J39, para t 6= 0 usamos a base At = e1 + e2, Bt = te2 +n1 +
n2, Ct = −tn1 + tn2 e Dt = t2n2 de J22. Como B2t = Ct + tBt e BtDt = tDt obtemos
a estrutura da álgebra J39 quando t tende a zero. No caso de J39 → J43 consideramosa base At = e1, Bt = −tn1, Ct = −t2n3 e Dt = tn2 + tn3 de J39. Analogamente, para
mostrar que J43 → J42 é suficiente considerar a mudança de base At = e1, Bt = n1,Ct = n2 e Dt = tn1 − tn3 de J43.
Por último, para completar a dominância de J3 só resta provar que J42 → J36. Parat 6= 0 considere a mudança de base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3 de J42.
A dominância das álgebras rígidas J6 sobre J15 e J12 sobre J30 segue da Proposição4.41. Mostraremos a seguir que J12 → J32, para isso considere a base At = e1 + e2,
98
Bt = n1, Ct = n2 e Dt = te2, para t 6= 0, de J12. Como D2t = tDt obtemos a estrutura
da álgebra J32 quando t = 0.
Agora, vejamos que J13 domina J60. Para t 6= 0, é suficiente considerar a baseAt = e1 + e2, Bt = −2te1, Ct = n1 + n2 e Dt = tn2 de J13 e então quando fazemos
t tender a zero obtemos J60. Analogamente J16 domina J50, usando a base At = e1,Bt = te2, Ct = 2n1 +n2 e Dt = tn1 de J16.
As álgebras J14, J29, J31, J51, J55, J56 e J57 são dominadas por J24. Uma vez maiscombinamos a Proposição 4.41 e as deformações obtidas na Seção 5.3 e obtemos que
J24 → J51, J51 → J29 e J24 → J14. No caso de J14 → J56 e J24 → J57 usamos, paraambas álgebras, a base At = e1 + e2, Bt = t2e1 + n2, Ct = t2n2 e Dt = tn1, então
quando t = 0 temos J56 e J57 respetivamente. Para provar que J56 → J31 e J57 → J55
considere a base At = e1, Bt = tn1, Ct = n2 e Dt = n3, t 6= 0 de J56 e J57, como em
ambos casos B2t = t2Ct, fazendo t = 0 obtemos J31 e J55, respetivamente.
Para completar a descrição das componentes irredutíveis da variedade Jor4 só restamostrar que J59 domina J58. Para t 6= 0, é suficiente considerar a base: At = e1,
Bt = n1, Ct = tn2 e Dt = n3 de J59. Como CtDt = tBt é claro que as contantesestruturais desta base tendem a aquelas de J58 quando fazemos t = 0.
A órbita de J73 é fechada (Lema 4.40) e logo toda J ∈ Jor4 é uma deformação de J73
o que implica que Jor4 é uma variedade afim conexa.
Como Jor4 é uma união finita de órbitas que são localmente fechadas então a dimen-são da variedade é o máximo das dimensões de suas órbitas, assim temos que
dim Jor4 = max16i673
dim JG
i
= dim JG
3 = 42 − dim Aut(J3) = 16.
Por último, a dimensão de cada componente é determinada pela dimensão da órbita da
álgebra rígida que a gera, segue então das informações do Apêndice B que as dimen-sões das componentes irredutíveis de Jor4 são: 15, 11, 16, 10, 4, duas componentes de
dimensão 14 e três componentes de dimensão 12.
Um diagrama das álgebras de Jordan de dimensão 4 no qual é possível compreender
a prova do Teorema 5.2 é dado na Figura 5.3. Uma descrição quase-completa (e assimmenos compreensível) das órbitas e, portanto, das componentes irredutíveis de Jor4 é
dado na Figura 5.4. Com quase-completa queremos dizer que conseguimos determinarem um 96, 53% das vezes se uma álgebra de Jordan de dimensão 4 pertence ou não ao
fecho de Zariski da órbita de uma outra álgebra. Novamente, usamos os super-índicesA, S, U e N nos nomes das álgebras para fazer referência a que Ji é Associativa, Semis-
simples, Unitária e Nilpotente respetivamente, com o fim de poder enxergar melhor ocomportamento dessas características sob deformações.
99
Resumimos a existência ou não existência de deformações em várias tabelas. A sim-bologia utilizada respeita o padrão das tabelas das seções anteriores e adicionamos os
seguintes:
i. 6→1: não existe deformação pela Proposição 4.61, pois a álgebra da linha não éunitária e a álgebra da coluna sim o é.
ii. 6→Jm : não existe deformação pela Proposição 4.54 que relaciona as dimensões daspotencias das álgebras envolvidas.
iii. 6→Z2 : não existe deformação pela Proposição 4.62 que relaciona as dimensões dos
grupos de 2-cociclos das álgebras envolvidas.
iv. 6→MA: não existe deformação pela Proposição 4.57 que relaciona as dimensões
das subálgebras associativas maximais das álgebras envolvidas.
v. 6→MNul : não existe deformação pela Proposição 4.57 que relaciona as dimensõesdas subálgebras nulas maximais das álgebras envolvidas.
vi. →⊕: existe deformação pela Proposição 4.41, pois as álgebras envolvidas são soma
direta de álgebras de dimensões menores, tal que uma é uma deformação daoutra.
vii. →Anc: existe deformação e a contração foi dada em [4].
Observamos que propositalmente as álgebras não aparecem na ordem lexicográfica. Co-locamos separadamente álgebras associativas de não associativas e álgebras nilpotentes
de não nilpotentes com o fim de poupar um pouco de espaço. Desse modo não foicolocada uma tabela de 1020 células onde todas elas só teriam o símbolo “6→Ass” o qual
representa que “Associativa 6→ Não-Associativa”.
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
16
dim Aut(J)
JUS1
JUS2
JAUS3
JAU4 JA5
J6JU7 J8
JU9
J10 J11
J12
J13
J14 J15
J16
JU17
JU18
JA19
JA20
JAU21
JAU22 J23 J24JU25JA26JAU
27
J28
J29
J30
J31
J32
J33
JA34
JA35
JAU36
JA37
JA38JAU39
JA40
JA41
JAU42
JAU43 J44
J45
J46
JA47
J48
J49
J50
J51J52
J53
JA54
J55J56
J57
J58
J59
J60
JAN61
JN62
JN63
JN64
JN65
JAN66
JAN67JAN
68
JAN69 JAN
70
JAN71
JAN72
JAN73
Fig
.5.3
:Descrição
das
órbitasd
eJor
4
101
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
16
dim Aut(J)
JUS1
JUS2
JAUS3
JAU4 JA5
J6 JU7J8
JU9
J10J11
J12
J13
J14J15
J16
JU17
JU18
JA19
JA20
JAU21
JAU22 J23 J24JU25JA26JAU
27
J28
J29
J30
J31
J32
J33
JA34
JA35
JAU36
JA37
JA38JAU39
JA40
JA41
JAU42
JAU43 J44
J45
J46
JA47
J48
J49
J50
J51 J52
J53
JA54
J55J56
J57
J58
J59
J60
JAN61
JN62
JN63
JN64
JN65
JAN66
JAN67 JAN
68
JAN69 JAN
70
JAN71
JAN72
JAN73
Fig
.5.4
:Descrição
mais
comp
letad
asórbitas
deJor
4
102
Tabela 5.3: Existência de deformações em Jor4J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47
J61 →DT 6→Anc →Anc 6→Anc →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J66 6→Aut →DT →Anc →Anc →T →Anc →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J67 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →Anc 6→Ann →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J68 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →Anc 6→Ann →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J69 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J70 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →Anc →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J71 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J72 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J73 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T →DT → → →T →T →T →T →T →T
J4 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut →DT 6→Aut →T →T →T →T →T →T
J5 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann →T →T 6→Ann →T →T
J39 → →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa → 6→npa 6→Aut
J38 → →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT →⊕ 6→Ann →T 6→Aut
J41 6→Aut → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut →⊕ 6→Aut
J43 6→Aut → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut
J40 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut
J47 → → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa →DT
J54 → → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut
J42 6→Aut 6→Aut → → →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J34 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J35 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→MNul→T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J37 6→Aut 6→Aut → 6→MNul→T 6→MNul
→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J19 6→Aut 6→Ann →T →T →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut
J20 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann →⊕ →T 6→Ann →T →⊕
J21 6→Aut?
99K →T →T →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut
J22 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→npa 6→npa →T 6→npa →⊕J26 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann →⊕ →T 6→Ann →T →⊕J27 →T →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →⊕ →T →T →T 6→npa
J10?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Ann →T 6→Aut
J11?
99K → →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut
103
J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47
J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J13 6→Aut?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J14?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→1 →T 6→Aut
J15?
99K?
99K →T?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut
J16 6→Aut?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J17?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→npa 6→Aut
J18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J23?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann?
99K →T 6→Ann →T 6→npa
J24?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1?
99K →T 6→1 →T 6→npa
J25?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa
J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J29 6→Aut 6→MNul→T 6→MNul
→T 6→MNul→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→MNul
6→Aut
J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→MNul→T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J51?
99K?
99K →T → →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut
J52?
99K?
99K →T?
99K →T → →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut
J53?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa
J44 6→Aut 6→Ann?
99K?
99K →T 6→Ann →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J45?
99K?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut
J46 6→Aut?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J55 6→Aut?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J56 6→Aut?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J57?
99K?
99K?
99K?
99K →T?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut
J48 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J49 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J50 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J58 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
104
J61 J66 J67 J68 J69 J70 J71 J72 J73 J3 J4 J5 J39 J38 J41 J43 J40 J47
J59 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J60 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J6?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→1?
99K →T 6→1 →T?
99K
J7?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K →T →T →T 6→npa
J8?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa
J9 6→Aut?
99K?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut
J1?
99K →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K →T →T →T 6→npa
J2?
99K?
99K?
99K?
99K?
99K?
99K →T →T →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa?
99K 6→npa 6→Aut
J62 6→J2 →T →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J63 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J64 6→Aut 6→Aut →Anc 6→MNul→T 6→MNul
→T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J65 6→Aut →Anc →T →T →T →T →T →T →T 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
Tabela 5.4: Existência de deformação em Jor4J54 J42 J34 J35 J36 J37 J19 J20 J21 J22 J26 J27 J10 J11 J12 J13 J14 J15
J61 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Ass 6→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J66 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J67 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J68 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J69 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J70 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J71 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J72 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J73 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J3 →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T →T 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J4 →T →T →T →T →T →T →T →⊕ →T →⊕ →⊕ →⊕ 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J5 →T 6→Ann →T →T 6→Ann →T →T →⊕ 6→1 6→1 →⊕ 6→1 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J39 6→Aut →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J38 6→Aut 6→1 →T 6→J4 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J41 6→Aut 6→1 →T 6→Z2 6→Ann 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J43 6→Aut → 6→npa 6→Z2 →T 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
105
J54 J42 J34 J35 J36 J37 J19 J20 J21 J22 J26 J27 J10 J11 J12 J13 J14 J15
J40 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J47 6→Aut 6→1 6→npa →⊕ 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J54 →DT 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →⊕ 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J42 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J34 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J35 6→Aut 6→Aut 6→npa →DT 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J36 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J37 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J19 6→Aut 6→1 →T →⊕ 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J20 →⊕ 6→1 →T →T 6→Ann →T 6→npa →DT 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J21 6→Aut → →T 6→Z2 →T →⊕ 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J22 6→npa →T 6→npa →T →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa →DT 6→Aut 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J26 6→npa 6→1 →T →T 6→Ann 6→npa →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut →DT 6→Aut 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J27 →⊕ →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut →DT 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass 66→Ass
J10 6→Aut 6→1 →T 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut
J11 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →⊕ 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut
J12 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J13 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 →DT 6→Aut 6→Aut
J14 6→Aut 6→1 →T 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z →DT 6→Aut
J15 6→Aut 6→1 6→npa →⊕ 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut →DT
J16 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J17 6→Aut →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut
J18 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J23 6→npa 6→1 →T 6→npa 6→Ann 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→npa 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann
J24 6→npa 6→1 →T 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z 6→Z →⊕ 6→npa
J25 6→npa →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2
J28 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J29 6→Aut 6→MNul6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J30 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J31 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J32 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J51 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut
J52 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut
106
J54 J42 J34 J35 J36 J37 J19 J20 J21 J22 J26 J27 J10 J11 J12 J13 J14 J15
J53 6→npa 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J44 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J45 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut
J46 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J55 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J56 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J57 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut
J48 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J49 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J50 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J58 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J59 6→Aut 6→1 6→npa 6→npa 6→1 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J60 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J6 6→npa 6→1 →T →T 6→1 6→npa →⊕ 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→npa 6→Z 6→Z →⊕ →⊕
J7?
99K →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ →⊕ 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2
J8?
99K 6→1 6→npa 6→npa 6→Ann →T 6→npa 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann
J9 6→Aut?
99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J1?
99K →T →T 6→npa →T →T 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa?
99K →T →T 6→Z 6→Z 6→npa 6→Z2
J2 6→Aut?
99K 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z2 6→Z 6→Aut 6→Aut
J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J63 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J64 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J65 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
Tabela 5.5: Existência de deformação em Jor4J16 J17 J18 J23 J24 J25 J28 J29 J30 J31 J32 J33 J51 J52 J53 J44 J45 J46
J10 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →⊕ 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut →⊕
J11 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut →J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J13 6→Aut 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J14 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa
107
J16 J17 J18 J23 J24 J25 J28 J29 J30 J31 J32 J33 J51 J52 J53 J44 J45 J46
J15 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut →⊕J16 →DT 6→Aut 6→1 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut →T → 6→npa 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J17 6→Z →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T → 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut →J18 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J23 6→Ann 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→npa → 6→Aut →T → →T
J24 6→Z 6→1 6→Z 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa →T 6→Z →T 6→Z 6→Z →⊕?
99K 6→Aut 6→npa 6→npa 6→npa
J25 6→Z → 6→Z 6→Aut 6→Aut →DT →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z → ?99K 6→Aut →T → →T
J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J29 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →DT 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z →DT 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J51 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →⊕ 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa
J52 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa
J53 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →T 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann → → →DT 6→npa 6→npa 6→npa
J44 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut
J45 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →DT →J46 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut →⊕ 6→Aut 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT
J55 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J56 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J57 6→Rad 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Z →T 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa
J48 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J49 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut →T 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J50 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut → 6→J2 6→J2 6→J2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J58 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J59 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J60 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa 6→npa → 6→Z2 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J6 6→Z 6→1 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z →T 6→Z 6→Z?
99K?
99K 6→Aut?
99K?
99K →T
J7 6→Z → 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z?
99K?
99K 6→Aut?
99K?
99K →T
J8 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T 6→npa 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→npa 6→J2 6→Aut →T → →T
J9 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut →T 6→npa 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J1 6→Z →T 6→Z →⊕ 6→Z2 → →T →T 6→Z 6→npa 6→Z 6→Z →T →T → →T →T →T
108
J16 J17 J18 J23 J24 J25 J28 J29 J30 J31 J32 J33 J51 J52 J53 J44 J45 J46
J2 6→Z 6→Aut →T 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa →T 6→npa 6→npa 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa
J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J63 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J64 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
J65 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad
Tabela 5.6: Existência de deformações em Jor4J55 J56 J57 J48 J49 J50 J58 J59 J60 J6 J7 J8 J9 J1 J2 J62 J63 J64 J65
J10 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K →T?
99K
J11 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K
J12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J13 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa?
99K 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J14 6→Z2 → 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K →T?
99K
J15?
99K → 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K
J16 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut → 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J17 6→Z2 6→npa 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K →T?
99K
J18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J23 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K →T?
99K
J24 →T →T → 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K →T?
99K
J25 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K →T?
99K
J28 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J29 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut
J30 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J31 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J32 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J33 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J51 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K →T?
99K
J52 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K →T?
99K
J53 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Rad → →T →T →T
J44 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Aut
109
J55 J56 J57 J48 J49 J50 J58 J59 J60 J6 J7 J8 J9 J1 J2 J62 J63 J64 J65
J45 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K
J46 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J55 →DT 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J56 6→Aut →DT 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J57 → → →DT 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K?
99K?
99K
J48 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J49 6→Aut 6→Aut 6→Aut → →DT 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Ann 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J50 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J58 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J59 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Z → →DT 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J60 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
J6?
99K →T?
99K 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z →DT 6→Aut 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K →T?
99K
J7 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Aut →DT 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K →T?
99K
J8 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Z 6→Z 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Ann 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ann 6→Aut 6→Rad?
99K?
99K?
99K?
99K
J9 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Z 6→Z2 6→Aut 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut?
99K 6→Aut
J1 6→Z2 6→npa 6→Z2 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z 6→Z2 →⊕ →⊕ 6→Z →DT 6→Z →T →T →T →T
J2 6→npa 6→npa 6→Aut →T → 6→Z 6→Z2 6→Z2 6→Z 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut →DT 6→Aut?
99K?
99K?
99K
J62 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad →DT →Anc →T →Anc
J63 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut →DT →Anc 6→Aut
J64 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut
J65 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Rad 6→Aut 6→Aut?
99K →DT
110
5.5 algumas propriedades da variedade algébrica
Jor5
Nesta pequena seção provaremos, essencialmente, que soma direta de álgebras (geome-
tricamente) rígidas é rígida em Jorn para n 6 5 e daremos uma (boa) estimativa donúmero de componentes irredutíveis de Jor5.
Teorema 5.3. Soma direta de álgebras rígidas é de novo uma álgebra rígida em Jorn para n 6 5.
Demonstração. Vimos nas Seções 5.1, 5.2 e 5.3 e no Teorema 5.2 que ke é a única álgebra
rígida em Jor1 e que a álgebra soma direta ke1 ⊕ ke2 é rígida em Jor2, T11 = ke1 ⊕ke2 ⊕ ke3 é rígida em Jor3 e J3 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 é rígida em Jor4. Além disso
B2 é rígida em Jor2 e as álgebras decomponíveis T19 = B2 ⊕ ke2 é rígida em Jor3 eJ6 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e J13 = B2 ⊕B2 são rígidas em Jor4. Mais ainda em ˙Jor3 temos
as álgebras rígidas indecomponíveis T5, T7 e T9 das quais derivam as álgebras rígidasde Jor4: J1 = T5 ⊕ ke4, J12 = T7 ⊕ ke2 e J24 = T9 ⊕ ke2. Fazendo as somas diretas das
álgebras rígidas de dimensões 1, 2, 3 e 4 com o fim de gerar uma álgebra de dimensão5 obtemos as seguintes 13 álgebras decomponíveis de Jor5:
C1 = ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C2 = B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3 ⊕ ke4;
C3 = B2 ⊕B2 ⊕ ke3; C4 = T5 ⊕ ke4 ⊕ ke5; C5 = T7 ⊕ ke2 ⊕ ke3;
C6 = T9 ⊕ ke2 ⊕ ke3; C7 = J2 ⊕ ke5; C8 = J16 ⊕ ke3;
C9 = J33 ⊕ ke2; C10 = J59 ⊕ ke2; C11 = B2 ⊕ T5;
C12 = B2 ⊕ T7; C13 = B2 ⊕ T9;
Verificamos utilizando um programa de computação simbólica elaborado pela autora(veja Apêndice A) que H2(Ci,Ci) = 0 para todo 1 6 i 6 13 e portanto Ci é rígida.
Teorema 5.4. O número de componentes irredutíveis em Jor5 é maior ou igual a 26.
Demonstração. Sabemos da Proposição 4.36 que cada álgebra rígida de uma variedade
gera uma componente irredutível. Vejamos que em Jor5 temos no mínimo 26 álgebrasrígidas.
Foi provado no Teorema 5.3 que as 13 álgebras de Jordan decomponíveis de dimensão5, Ci com 1 6 i 6 13, são álgebras rígidas e claramente não isomorfas. Temos mais 3
álgebras rígidas não isomorfas provenientes dos Teoremas 4.65, 4.67 e 4.68: A5, B5 e C5.Como elas são indecomponíveis, não são isomorfas às álgebras de Teorema 5.3.
As seguintes 10 álgebras de Jordan de dimensão 5 indecomponíveis têm segundogrupo de cohomologia nulo, isso foi calculado usando um programa de computação
111
simbólica elaborado pela autora (veja Apêndice A) assim como também as dimensõesdos respectivos grupos de automorfismos e aniquilador. O produto nas álgebras será
dado em todos os casos na base e1, e2, e3, e4, e5.
Tabela 5.7: Algumas álgebras de Jordan rígidas de dimensão 5
C Tabela de Multiplicaçãodim
Aut(C)
dim
Ann(C)
dim
Rad(C)Obs.
C17
e21 = e1 e22 = e2 e23 = e3
e1e5 = e2e5 = 12e5
e2e4 = e3e4 = 12e4
4 0 2 Unitária
C18
e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2
e1e3 = e2e3 = 12e3 e3e4 = 1
2e5
e3e5 = e1e4 = 12e4 e2e5 = 1
2e5
4 0 2
C19e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5
e24 = e5 e1e3 = 12e3 e2e4 = 1
2e43 1 3
C20
e21 = e1 e22 = e2 e3e4 = e5
e1e3 = 12e3 e2e4 = 1
2e4
e1e5 = e2e5 = 12e5
5 0 3
C21
e21 = e1 e22 = e2 e23 = e4
e25 = e4 e1e3 = 12e3 e1e4 = e4
e1e5 = e2e5 = 12e5
3 0 3
C22
e21 = e1 e22 = e2 e24 = e5
e1e3 = 12e3 e2e5 = e5
e1e4 = e2e4 = 12e4
4 0 3
C23e21 = e1 e22 = e2 e23 = e5
e1e3 = 12e3 e1e4 = e2e4 = 1
2e4
4 1 3
C24
e21 = e1 e1e5 = 12e5
e1e2 = e23 = e4e5 = e2
e1e3 = 12e3 e1e4 = 1
2e4
7 0 4
C25
e21 = e1 e1e5 = 12e5
e1e2 = e25 = e2 e1e4 = 12e4
e1e3 = e24 = e4e5 = e3
4 0 4
C26
e21 = e22 = e23 = e24 = e25 = e1
e1e2 = e2 e1e3 = e3
e1e4 = e4 e1e5 = e5
6 0 0UnitáriaSimples
112
Do Teorema 4.65 temos que dim Aut(A5) = 20 enquanto que
dim Aut(B5) = dim Aut(C5) = 8,
logo fica claro pelas dimensões e pelo fato das álgebras serem decomponíveis ou inde-componíveis que todas as 26 álgebras são não isomorfas, logo em Jor5 temos no mínimo
26 componentes irredutíveis.
113
6 CLASS I F ICAÇÃO GEOMÉTR ICA DAS ÁLGEBRAS
DE JORDAN DE D IMENSÃO MENOR OU IGUAL A 3 SO -
BRE O CORPO DOS NÚMEROS REA I S
Neste capítulo JorRn denotará a variedade algébrica das álgebra de Jordan de dimensão
n sobre o corpo dos números reais R.
É pouco o que se conhece em relação a deformações e álgebras rígidas sobre R. Em2007, Ancochea Bermúdez e outros classificaram algébrica e geometricamente as álge-
bras associativas reais de dimensão 2 no trabalho [5] e, posteriormente, as álgebras deJordan reais de dimensão 2 em [3].
6.1 a variedade algébrica JorR
1
Analogamente ao caso sobre um corpo algebricamente fechado, em JorR
1 a única álgebra
rígida é a álgebra simples Re e é claro que Re → Rn. Logo somente temos umacomponente irredutível em JorR
1 dada pelo fecho de Zariski da órbita da álgebra Re,
portanto JorR1 é uma variedade afim conexa é irredutível de dimensão 1 com 2 órbitas
sob a ação de GL(V).
6.2 a variedade algébrica JorR
2
No trabalho [3] os autores determinaram todas as contrações1 das álgebras de Jordanreais de dimensão 2, isto nos permitiu determinar a existência de deformações entre taisálgebras e junto com os critérios de invariância através de deformações conseguimos
dar uma descrição geométrica completa da variedade das álgebras de Jordan reais dedimensão 2.
Teorema 6.1. A variedade algébrica JorR
2 é uma variedade afim conexa de dimensão 4 com 7
órbitas sob a ação de GL(V) e 3 componentes irredutíveis, duas de dimensão 4 dadas pelos fechos
1 Lembramos que se J é uma contração de J ′ então J corresponde a um ponto no fecho da órbita de J ′, logoJ ′ → J.
115
de Zariski das órbitas das álgebras B ′4 e Re1 ⊕ Re2 e outra componente de dimensão 2 dada
pelo fecho de Zariski da órbita da álgebra B ′2.
Demonstração. Segue do Lema 4.24 que JorR
2 é uma variedade afim e do Lema 4.40 sabe-
mos que a variedade é conexa. Foi provado na Seção 3.1.2 que tem 7 órbitas sob a açãode GL(V), elas são as órbitas representadas pelas álgebras B ′
1, B ′2, B ′
3, B ′4, Re1 ⊕ Re2,
Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2. Logo JorR2 é uma união finita de órbitas que são conjuntos
localmente fechados então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suas
órbitas
dim JorR
2 = dim(
B ′4
)G= 22 − dim Aut(B ′
4) = 4.
Em [3, Prop.6] foi provado que as órbitas das álgebras B ′2, B ′
4 e Re1 ⊕ Re2 são abertas,
logo seus fechos geram as componentes irredutíveis. Segue da Proposição 7 de [3] queB ′
2, B ′4 e Re1 ⊕ Re2 são as únicas álgebras rígidas de JorR
2 .
As deformações entre as álgebras de JorR
2 são descritas na Figura 6.1.
dim Aut(B ′) = 0 Re1 ⊕ Re2
ww♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
%%
B ′4
~~⑥⑥⑥⑥⑥⑥⑥
dim Aut(B ′) = 1 Re1 ⊕ Rn1
''
B ′
1
yyttttttttttt
dim Aut(B ′) = 2 B ′2
++❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱❱❱
❱❱❱❱❱❱ B ′
3
dim Aut(B ′) = 4 Rn1 ⊕ Rn2
Fig. 6.1: Descrição completa das órbitas de JorR
2
Um resumo da existência de deformações é dado na Tabela 6.1 e a simbologia respeita
o padrão das tabelas do Capítulo 2 a menos de:
i. 6→R: não existe deformação, pois foi provado em [3] que a álgebra da coluna é
rígida;
ii. →: existe deformação e uma contração foi exibida em [3].
116
Tabela 6.1: Existência de deformações em JorR
2
B ′1 B ′
2 B ′3 B ′
4 Re1 ⊕ Re2 Re1 ⊕ Rn1 Rn1 ⊕ Rn2
B ′1 →DT 6→R → 6→R 6→R 6→Aut →T
B ′2 6→Aut →DT 6→Aut 6→R 6→R 6→Aut →
B ′3 6→AS 6→R →DT 6→R 6→R 6→AS →
B ′4 → 6→R →T →DT 6→R 6→npa →T
Re1 ⊕ Re2 → 6→R → 6→R →DT → →T
Re1 ⊕ Rn1 6→Aut 6→R → 6→R 6→R →DT →T
Rn1 ⊕ Rn2 6→AS 6→R 6→AS 6→R 6→R 6→AS →DT
6.3 a variedade algébrica JorR
3
Daremos a seguir uma descrição geométrica quase-completa das álgebras de Jordan reais
de dimensão 3. Conseguimos determinar em um 97, 6% das vezes se uma álgebra deJordan real de dimensão 3 pertence ou não ao fecho de Zariski da órbita de uma outra
álgebra.
Teorema 6.2. A variedade algébrica JorR3 é uma variedade afim conexa de dimensão 9 com 26
órbitas sob a ação de GL(V) e 8 componentes irredutíveis dadas pelos fechos de Zariski das
órbitas das álgebras
Ω =T ′1,T ′
2,T ′3,T ′
4,T ′5,T ′
7,T ′12,T ′
20
,
as quais determinam componentes de dimensões: 9, 9, 8, 8, 8, 7, 3 e 7, respetivamente.
Demonstração. Sabemos que JorR
3 é uma variedade afim pelo Lema 4.24, que é conexa
segue do Lema 4.40 e que tem 26 órbitas sob a ação de G foi provado na Seção 3.2.Assim temos que JorR
3 =⋃26
i=1
(
T ′i
)G é uma união finita de órbitas que são conjuntos
localmente fechados então a dimensão da variedade é o máximo das dimensões de suasórbitas
dim JorR
3 = max16i626
dimT ′G
i
= dimT ′G
1 = 32 − dim Aut(T ′1) = 9.
Analogamente à prova do Teorema 5.2, dividiremos o resto da prova em duas partes.
Primeiramente, mostraremos que as álgebras em Ω são rígidas e depois provaremosque não existe outra álgebra rígida em JorR
3 .
117
As álgebras T ′1 e T ′
2 têm dimAut(T ′i) = 0 logo, da Proposição 4.51, nenhuma outra
álgebra pode ser uma deformação delas. Portanto T ′1 e T ′
2 são álgebras rígidas. Pelo
mesmo critério as únicas álgebras que podem ser deformação de T ′3, T ′
4 e T ′5 são as
álgebras T ′1 e T ′
2 mas, da Proposição 4.56, uma álgebra associativa não pode ser uma
deformação de uma álgebra não associativa. Logo T ′3, T ′
4 e T ′5 também são as álgebras
rígidas.
Nenhuma álgebra em JorR
3 domina T ′7: pela Proposição 4.52 as únicas candidatas a
serem deformação de T ′7 são as álgebras para as quais dim Rad(T ′
i) 6 1, i.e., as álgebras
T ′1 a T ′
11. Uma álgebra associativa não pode ser uma deformação de uma álgebra nãoassociativa pela Proposição 4.56, logo podemos excluir da lista as álgebras T ′
1, T ′2, T ′
6,
T ′9 e T ′
10. Como a dim Aut(T ′i) = 2, para i = 7, 8, 11 nem T ′
8 nem T ′11 podem ser
deformações de T ′7 pois esta dimensão diminui através de deformações não triviais. A
dimensão dos grupos de 2-cociclos das três álgebras restantes, T ′i com i = 3, 4, 5, é 8
enquanto que dimZ2(T ′7,T ′
7) = 7, logo da Proposição 4.62 nenhuma delas domina T ′7.
Concluímos que T ′7 somente tem as deformações triviais logo, da Proposição 4.39, T ′
7 érígida.
Observamos que a álgebra T ′12 é a álgebra A3 do Teorema 4.65 logo é rígida.
Por último, vejamos que não existe uma álgebra em JorR
3 que deforme-se em T ′20:
Como dim Rad(T ′20) = 2 nenhuma álgebra nilpotente, i.e., T ′
i para 22 6 i 6 26, é de-
formação de T ′20. Pelo argumento da dimensão do grupo de automorfismos, nenhuma
das álgebras T ′i para i = 7, 8, 11, · · · , 21 domina T ′
20. Também podemos excluir da lista
as álgebras associativas T ′1, T ′
2, T ′6, T ′
9 e T ′10 pois T ′
20 não é associativa. Por fim, T ′20
tem dimZ2(T ′20,T ′
20) = 7 o que implica que T ′i para i = 3, 4, 5 não é deformação de T ′
20
portanto a álgebra T ′20 é rígida.
Vejamos agora que para cada álgebra T ′i para i = 1, · · · , 26 da lista da Seção 3.2
existe uma álgebra T ′ ∈ Ω tal que T ′ é uma deformação de T ′i. No que segue todas as
deformações entre as álgebras serão dadas usando as bases do Capítulo 3, respeitando
a ordem ei,nj onde 1 6 i, j 6 3.
Primeiramente, as órbitas das álgebras T ′6, T ′
21 e T ′24, pertencem a T ′G
1 : combinando
as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2 obtidas na Seção 6.2 coma Proposição 4.41 temos: T ′
1 → T ′6 e T ′
6 → T ′21. Se consideramos a família de automor-
fismos de T ′21 dada por At = tn1, Bt = t2e1 − n2 e Ct = t2n2 fazendo t tender a 0
obtemos a álgebra T ′24. Logo T ′
21 → T ′24.
As órbitas das álgebras T ′9, T ′
10, T ′13, T ′
15, T ′18, T ′
23, T ′25, e T ′
26, pertencem a T ′G2 :
novamente, combinando as deformações para álgebras de Jordan reais de dimensão 2
obtidas na Seção 6.2 com a Proposição 4.41 temos: T ′2 → T ′
9, T ′2 → T ′
10 e T ′10 → T ′
15.Observamos que as deformações entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um
118
corpo algebricamente fechado obtidas na Seção 5.3 servem para as álgebras considera-das sobre R pois as famílias de automorfismos que dão tais deformações pertencem na
verdade a GL(R3) ⊆ GL(C3). Logo temos T ′9 → T ′
18, T ′18 → T ′
13, T ′15 → T ′
23, T ′23 → T ′
26
e T ′26 → T ′
25.
A álgebra rígida T ′3 domina T ′
8 e T ′14: considere, para t 6= 0, a família de automor-
fismos de T ′3 dada por At = 1
2e1 +
12e2, Bt = 1
2e1 −
12e2 e Ct = te3 quando fazemos t
tender a 0 obtemos a álgebra T ′8, logo T ′
3 → T ′8. Da Seção 5.3 obtemos T ′
8 → T ′14.
A álgebra T ′11 pertence ao fecho da órbita de T ′
4. Para ver isso considere a família de
automorfismos de T4 dada por At = e1, Bt = e2 e Ct = te3 quando fazemos t tendera 0 obtemos a álgebra T ′
11. Da Seção 5.3 temos que a álgebra rígida T ′5 domina T ′
19,
analogamente T ′20 domina T ′
16 e da Seção 6.2 segue que T ′7 → T ′
17.
Por último, segue do Lema 4.40 que todo T ′ ∈ JorR
3 é uma deformação de T ′22. Isto
completa a prova.
Para dar uma classificação geométrica o mais completa possível das álgebras de Jor-
dan reais de dimensão 3 descreveremos a seguir todas as deformações que conseguimosachar em JorR
3 :
Da combinação das deformações obtida na Seção 6.2 com a Proposição 4.41 temosas seguintes deformações dado que as álgebras envolvidas são soma direta de uma
álgebra de Jordan real de dimensão 2 e Re ou Rn:
T ′1 → T ′
9; T ′6 → T ′
15; T ′7 → T ′
14; T ′21 → T ′
17
T ′9 → T ′
15; T ′9 → T ′
21; T ′17 → T ′
25.
Da Seção 5.3 temos as seguintes deformações sobre R:
T ′5 → T ′
8; T ′8 → T ′
13; T ′19 → T ′
14;
T ′18 → T ′
23; T ′7 → T ′
16; T ′21 → T ′
23;
T ′14 → T ′
26; T ′16 → T ′
26; T ′13 → T ′
25.
E das seguintes famílias de automorfismos obtemos as respectivas deformações:
i. Considere, para t 6= 0, a mudança de base At = e1, Bt = te2 e Ct = tn1 de T ′11.
Fazendo t tender a zero obtemos a estrutura da álgebra T ′13. Logo T ′
11 → T ′13.
ii. Analogamente se consideramos a base At = 12e1 +
12e2, Bt = te3 e Ct = −t2
2e1 +
t2
2 e2 de T ′3 obtemos a álgebra T ′
19 quando t tende a zero. Portanto, T ′3 → T ′
19.
iii. A mudança de base At = n1, Bt = n3 e Ct = tn2 de T ′24 , nos da T ′
24 → T ′25.
119
iv. A mudança de base At =t2e1−
t2e2, Bt =
t2e1+
t2e2+ 2t2n1 e Ct =
t2
2 e1−t2
2 e2+
t3n1 de T ′11 tende a T ′
24 quando t → 0 o que implica que T ′11 → T ′
24.
v. Para o caso da deformação T ′20 → T ′
24 considere a família de automorfismo At =
te1 + t3n2, Bt = t2n1 e Ct = t2e1 + 2t4n2 de T ′20, passando o limite quando
t → 0 obtemos a álgebra T ′24.
vi. A família de automorfismos At = te1 +−tn2, Bt = tn1 + n2 e Ct = t2e1 de T ′19
nos da T ′19 → T ′
24.
vii. Se considerarmos a mudança de base At = te1 + tn2, Bt = tn1 e Ct = t2e1 +
2t2n2 de T ′18, fazendo t → 0 temos a álgebra T ′
24 e portanto T ′18 → T ′
24.
viii. Por último, a mudança de base At = e1, Bt = e2 +√2e3 e Ct = te2 +
t√2e3 de T ′
3
nos da T ′3 → T ′
11.
Mais uma vez resumimos a existência ou não existência de deformações em 3 tabelas.A simbologia utilizada respeita o padrão das tabelas dos capítulos e seções anteriores.
120
→ T ′1 T ′
2 T ′3 T ′
4 T ′5 T ′
6 T ′7 T ′
8 T ′9 T ′
10 T ′11 T ′
12 T ′13
T ′1 →DT 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ass → 6→Ass 6→Ass → 6→npa 6→Ass 6→Ass →T
T ′2 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→Ass → → 6→Ass 6→Ass →T
T ′3 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T
T ′4 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut → 6→npa →T
T ′5 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→npa → 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa →T
T ′6 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann
T ′7 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa
T ′8 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa →
T ′9 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass →DT 6→npa 6→Ass 6→Ass →T
T ′10 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Ass 6→Ass 6→Ann →DT 6→Ass 6→Ass 6→Ann
T ′11 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa →
T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut
T ′13 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →DT
T ′14 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ann 6→Ann
T ′15 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann
T ′16 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→npa
T ′17 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut
T ′18 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass →
T ′19 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Ann 6→Ann
T ′20 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→Aut 6→Aut 6→Rad 6→npa 6→npa
T ′21 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Ass 6→Ann
Tabela 6.2: Existência de deformações em JorR
3
121
→ T ′14 T ′
15 T ′16 T ′
17 T ′18 T ′
19 T ′20 T ′
21 T ′22 T ′
23 T ′24 T ′
25 T ′26
T ′1 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T
T ′2 6→Ass →T 6→Ass →T →T 6→Ass 6→Ass →T →T →T →T →T →T
T ′3 →T 6→npa 6→npa 6→npa
?99K → 6→npa 6→npa →T
?99K →T →T →T
T ′4 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa
?99K 6→npa 6→npa 6→npa →T
?99K →T →T
?99K
T ′5 →T 6→npa 6→npa 6→npa
?99K → 6→npa 6→npa →T
?99K →T →T →T
T ′6 6→Ass → 6→Ass →T 6→Ann 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T
T ′7 → 6→Aut → → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T
?99K
?99K →T →T
T ′8 → 6→Aut 6→npa 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut →T
?99K
?99K →T →T
T ′9 6→Ass → 6→Ass →T → 6→Ass 6→Ass → →T →T →T →T →T
T ′10 6→Ass → 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Ass 6→npa →T →T
?99K →T →T
T ′11 6→npa 6→npa 6→npa 6→npa 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→npa →T
?99K → →T
?99K
T ′12 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
T ′13 6→Ass 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→Aut → 6→Aut
T ′14 →DT 6→Aut 6→Aut 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→MNul →T →
T ′15 6→Ass →DT 6→Ass 6→npa 6→Ann 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → 6→MNul →T →T
T ′16 6→Aut 6→Aut →DT 6→npa 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut → 6→Aut 6→MNul →T →
T ′17 6→Ass 6→Aut 6→Ass →DT 6→Aut 6→Ass 6→Aut 6→Aut →T 6→Aut 6→Aut → 6→Aut
T ′18 6→Ass 6→npa 6→Ass 6→npa →DT 6→Ass 6→Aut 6→npa →T → → →T →T
T ′19 → 6→npa 6→Ann 6→npa 6→Ann →DT 6→Aut 6→npa → ?
99K → →T →T
T ′20 6→npa 6→npa → 6→npa 6→npa 6→npa →DT 6→npa →T
?99K → →T →T
T ′21 6→Ass 6→npa 6→Ass → 6→Ann 6→Ass 6→Aut →DT →T → → →T →T
Tabela 6.3: Existência de deformações em JorR3
122
Na seguinte tabela colocaremos a relação de existência de deformações somente entreas álgebras nilpotentes, pois nas colunas que omitimos só teria o símbolo “6→Rad” o
qual representa que “não existe deformação pela Proposição 4.52 que relaciona as dimensões
dos radicais das álgebras envolvidas”.
T ′22 T ′
23 T ′24 T ′
25 T ′26
T ′22 →DT 6→Aut 6→Aut 6→Aut 6→Aut
T ′23 →T →DT 6→MNul →T →
T ′24 →T 6→Aut →DT → 6→Aut
T ′25 → 6→Aut 6→Aut →DT 6→Aut
T ′26 →T 6→Aut 6→Aut → →DT
Tabela 6.4: Existência de deformações em JorR3
O diagrama quase-completo das álgebras de Jordan reais de dimensão 3 é dado naFigura 6.2.
0
1
2
3
4
5
6
9
dim Aut(T ′)
T ′11
T ′12
T ′13
T ′14
T ′15
T ′16
T ′17
T ′18 T ′
19 T ′20
T ′1 T ′
2
T ′3T ′
4 T ′5 T ′
6
T ′7T ′
8
T ′9 T ′
10
T ′21
T ′22
T ′23
T ′24
T ′25
T ′26
Fig. 6.2: Descrição quase-completa das órbitas de JorR
3
123
6.4 comparação das variedades JorR
n e JorC
n
Nesta seção daremos uma rápida comparação das propriedades obtidas neste capítulo
para a variedade das álgebras de Jordan reais com as propriedades obtidas no Capítulo5 para álgebras de Jordan sobre um corpo algebricamente fechado, especificamente
sobre o corpo C dos números complexos.
Tal como enuncia Gerstenhaber no seu trabalho [15] “uma k-álgebra J é rígida se esomente se J ⊗k L é rígida sempre que L é uma extensão de k”, as 8 R-álgebras de
Jordan rígidas de dimensão 3: T ′1, T ′
2, T ′3, T ′
4, T ′5, T ′
7, T ′12, e T ′
20 são também rígidasquando consideradas como álgebras sobre C, pois
T ′1 ⊗R C ≃C T ′
2 ⊗R C ≃C T11
T ′3 ⊗R C ≃C T ′
4 ⊗R C ≃C T ′5 ⊗R C ≃C T5
T ′7 ⊗R C ≃C T19 T ′
12 ⊗R C ≃C T7 T ′20 ⊗R C ≃C T9.
Vimos nas Tabelas 6.2 a 6.4 da seção anterior que pelo fato da ação da parte semissim-ples não ser preservada (Proposição 4.59) não existem as seguintes deformações entre
R-álgebras:
T ′2 6→ T ′
6 T ′1 6→ T ′
10 T ′4 6→ T ′
8 T ′5 6→ T ′
11
T ′4 6→ T ′
19 T ′10 6→ T ′
21 T ′10 6→ T ′
17 T ′11 6→ T ′
14.
Mas da Seção 5.3 sabemos que sim existem as deformações das respectivas extensõesdas álgebras sobre C:
T11 ≃C T ′2 ⊗R C → T ′
6 ⊗R C ≃C T13 T11 ≃C T ′1 ⊗R C → T ′
10 ⊗R C ≃C T13
T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′
8 ⊗R C ≃C T10 T5 ≃C T ′5 ⊗R C → T ′
11 ⊗R C ≃C T10
T5 ≃C T ′4 ⊗R C → T ′
19 ⊗R C ≃C T8 T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′
21 ⊗R C ≃C T15
T13 ≃C T ′10 ⊗R C → T ′
17 ⊗R C ≃C T16 T10 ≃C T ′11 ⊗R C → T ′
14 ⊗R C ≃C T20.
Isso nos diz que J⊗R C pode estar contido no fecho da órbita de J1 ⊗R C sobre a
ação de GL(Cn) mesmo quando JGL(Rn) * JGL(Rn)1 .
A seguinte tabela reúne e compara as informações obtidas nas seções anteriores sobre
o número de órbitas e número de componentes irredutíveis das variedades Jorn e JorRn
em dimensões pequenas.
124
JorRn JorC
n
n nº órbitas nº componentes nº órbitas nº componentes1 2 1 2 1
2 7 3 6 2
3 26 8 20 5
4 > 109 > 18 73 10
5 - - ≫ 223 > 26
Tabela 6.5: Comparação das variedades JorCn e JorR
n
125
7 ÁLGEBRAS I SOTÓP ICAS
Neste capítulo as álgebras de Jordan serão consideradas sobre um corpo k arbitrário de
char k 6= 2. Como referências para este capítulo citamos [21, Cap.I.12], [33, Cap.3.2, 4.6e 7] e [28, Cap. IV.2].
Na Seção 7.1 trabalharemos majoritariamente com álgebras de Jordan unitárias e
daremos as definições e resultados relativos a álgebras isotópicas. Omitiremos as provasdos resultados, mas elas podem ser facilmente encontradas na literatura.
Se duas álgebras são isomorfas então elas são isotópicas. Para álgebras associativas
ou para álgebras sobre corpos algebricamente fechados a noção de isotopia não de-sempenha um papel importante pois os conceitos de álgebras isotópicas e isomorfas
coincidem. Provaremos na Seção 7.2 que isso não acontece com as álgebras de Jor-dan, onde o conceito de isotopia fornece uma relação de equivalência mais ampla que
o conceito de isomorfismo. Faremos isso classificando as álgebras de Jordan reais dedimensão 3 a menos de isotopia.
7.1 introdução às isotopias
Uma álgebra homótopa de uma álgebra de Jordan é resumidamente uma nova álgebrade Jordan definida a partir de um elemento dado da álgebra original. A homótopa éunitária se e somente se a álgebra original é unitária e o elemento dado é invertível, em
tal caso a álgebra homótopa é chamada de isótopa.
Definição 7.1. Seja J uma álgebra de Jordan com um elemento identidade 1. Então um
elemento a ∈ J é chamado de invertível (ou Jordan invertível) se existe um elementob ∈ J tal que
ab = 1 e a2b = a.
Se o elemento b existe ele é único e o chamaremos de elemento inverso de a e será
denotado por a−1.
Uma álgebra de Jordan unitária na qual todo elemento não nulo é um elementoinvertível é chamada de álgebra de divisão.
127
Em J definimos o produto triplo de Jordan como sendo a identidade
a,b, c = (ab)c+ (cb)a− (ac)b. (7.1)
Denotaremos a aplicação linear que leva x 7→ a, x,b por Ua,b e abreviaremos Ua,a =
Ua.
Definição 7.2. Um elemento x de uma álgebra de Jordan J é chamado de trivial seUx(J) = 0 e x2 = 0.
A identidade (7.1) nos permite definir, para um elemento qualquer a ∈ J, o que
chamaremos de a-multiplicação em J
x ·a y = x,a,y.
Esta multiplicação é claramente bilinear em x e em y, é comutativa e satisfaz a identi-
dade de Jordan (1.2). Logo a álgebra J com produto ·a é uma álgebra de Jordan quedenotaremos por (J,a) e chamaremos de a-homótopa de J.
Observamos que homotopia é reflexiva pois (J, 1) = J e transitiva já que a b-homótopada a-homótopa da álgebra de Jordan J é a a,b,a-homótopa de J. Mas em geral não
é simétrica, e portanto não é uma relação de equivalência. Então, se a não é invertívelnão podemos recuperar J de (J,a) e perdermos informação ao passar à homótopa.
Vamos a assumir agora que J tem um elemento identidade 1 e que a ∈ J é invertível.Então chamaremos (J,a) de a-isótopa1 de J. A álgebra (J,a) é também uma álgebra
unitária com elemento identidade a−1 já quea−1,a, x
= x. É imediato ver que 1 e
a−2 são inversos em (J,a) e também satisfazema,a−2,a
= 1 logo J é a a−2-isótopa
de (J,a).
Definição 7.3. Sejam J e J ′ duas álgebras de Jordan. Então uma aplicação α : J → J ′ échamada de homotopia se α é linear e existe a ∈ J ′ tal que α(xy) = α(x),a,α(y). Se J
e J ′ têm elementos identidades e α é um isomorfismo linear do espaço vetorial J sobreJ ′ e a é invertível, então chamaremos α de uma isotopia de J sobre J ′ e diremos que J
e J ′ são isotópicas.
Esta definição de homotopia corresponde à definição de um homomorfismo de J naa-homótopa de J ′ e a definição de isotopia corresponde à definição de um isomorfismo
de J sobre a a-isótopa de J ′.
Proposição 7.4. [33, Prop.7.2.1, p.223] Isotopia é uma relação de equivalência na classe das
álgebras de Jordan unitárias.
1 A noção de isótopa é também chamada de mutação por alguns autores.
128
Observamos que se J e J ′ são isomorfas, então o isomorfismo entre elas é uma isoto-pia com a = 1, logo J e J ′ são isotópicas.
A noção de isotopia não desempenha um papel importante na teoria de álgebras asso-ciativas pois álgebras associativas isotópicas são isomorfas. A saber, se A é uma álgebra
associativa unitária e a um elemento invertível de A, então definimos a a-multiplicaçãoem A como sendo x ·a y = xay. Segue que a a-isótopa (A,a) de A é isomorfa a A já
que a aplicação α : A → (A,a) dada por x 7→ xa−1 satisfaz:
α(x) ·a α(y) = (xa−1) ·a (ya−1) = xa−1aya−1 = xya−1 = α(xy)
é um isomorfismo. Quando considerarmos uma álgebra de Jordan associativa então aa-multiplicação é dada por
x ·a y = x,a,y = (xa)y+ x(ay) − a(xy) = xay+ xay− axy = xay
ou seja é a a-multiplicação definida para álgebras associativas, assim toda álgebra deJordan associativa e sua a-isótopa são isomorfas.
No contexto de álgebras de Jordan não associativas as isotopias fornecem uma rela-ção de equivalência mais ampla que isomorfismos. Veremos na Seção 7.2 que existemálgebras isotópicas que não são isomorfas.
A seguinte proposição fornece uma condição suficiente para álgebras isótopas seremisomorfas.
Proposição 7.5. [21, p.60] Se a é o quadrado de um elemento invertível então J e sua a-isótopa
(J,a) são isomorfas.
Em particular, se o corpo for algebricamente fechado todo elemento invertível temuma raiz quadrada:
Lema 7.6. [21, p.242] Se k é um corpo algebricamente fechado de char k 6= 2 e k[a] é a álgebra
associativa e comutativa com unidade gerada por 1 e um elemento invertível a, então existe um
elemento invertível b em k[a] tal que b2 = a.
Combinando a Proposição 7.5 e o Lema 7.6 segue que se J é uma álgebra de Jordan
de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J éisomorfa a J.
O seguinte teorema fornece uma caracterização de quando uma aplicação é umaisotopia.
Teorema 7.7. [21, p.59] Uma aplicação α : J → J ′ é uma isotopia se e somente se α é bijetiva
e linear e existe um β ∈ Homk(J, J ′) tal que αUc = Uα(c)β para c ∈ J. Em particular, a
129
restrição de α ao conjunto dos elementos invertíveis de J é uma bijeção linear deste conjunto
sobre o conjunto de elementos invertíveis de J ′.
Considere o conjunto Γ(J) das isotopias de J sobre si mesma. Claramente Γ(J) é umgrupo de transformações lineares no espaço vetorial subjacente a J a qual chamaremos
de grupo de estrutura de J. Pode-se provar que Γ(J) é na realidade um grupo algébrico,veja [28, p.79]
Teorema 7.8. [21, p.60] J e qualquer isótopa (J,a) têm o mesmo grupo de estrutura.
Se α ∈ Γ(J) tal que α(1) = 1 então α é um isomorfismo de J sobre (J, 1) = J, logo α éum automorfismo de J. Segue que o grupo de automorfismo Aut(J) de J é o subgrupo
do grupo de estrutura Γ(J) que consiste de elementos que tem 1 como ponto fixo, i.e.,Aut(J) = StabΓ(J)(1).
Proposição 7.9. [33, Prop.7.2.1, p.223] Uma isótopa tem exatamente os mesmos elementos
triviais e invertíveis que a álgebra original:
x é trivial em (J,a) ⇔ x é trivial em J;
x é invertível em (J,a) ⇔ x é invertível em J,
com x(−1,a) = U−1a x−1.
Em particular, (J,a) é uma álgebra de divisão se e somente se J é uma álgebra de divisão.
7.2 classificação algébrica a menos de isotopia das
álgebras de jordan reais de dimensão 3
Nesta seção classificaremos as álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3 a menosde isotopia. Veremos que o número de álgebras obtidas é 9 estritamente menor ao
número de álgebras unitárias quando a classificação é feita a menos de isomorfismo.Isto prova que no cenário da álgebras de Jordan o conceito de isotopia fornece uma
relação de equivalência mais ampla que o conceito de isomorfismo, a diferença do queacontece com as álgebras associativas onde ambos conceitos coincidem.
Se J e J ′ são duas álgebras de Jordan unitárias e isomorfas, então o isomorfismoentre elas é uma isotopia com elemento invertível a = 1, logo J e J ′ são isotópicas.
Então, a classificação algébrica feita no Capítulo 3 reduz o nosso problema a buscarisotopias entre as 10 álgebras de Jordan reais unitárias de dimensão 3. Assim, dada T ′
uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica a alguma (nãonecessariamente uma) das álgebras T ′
i para i = 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 18.
130
Agora, segue do fato que álgebras associativas isotópicas são isomorfas que as álge-bras T ′
i para i = 1, 2, 9, 13, 18 são duas a duas não isotópicas e também não são isotópicas
a nenhuma das álgebras restantes.
Resta somente verificar se as álgebrasT ′3,T ′
4,T ′5,T ′
8,T ′11
são duas a duas isotópicas.
Segue da Proposição 7.5 que se J é uma álgebra de Jordan de dimensão finita sobre
um corpo algebricamente fechado, então toda isótopa de J é isomorfa a J. Por outrolado, toda isotopia de R-álgebras pode ser estendida a uma isotopia de C-álgebras.
Logo, se duas R-álgebras de dimensão finita T e T ′ são isotópicas então as C-álgebrasT⊗R C e T ′ ⊗R C são isomorfas. Isto implica que as R-álgebras T ′
i e T ′j para i = 3, 4, 5 e
j = 8, 11 não são isotópicas, restando somente comparar os seguintes pares de álgebras:
T ′3 e T ′
5 T ′3 e T ′
4 T ′4 e T ′
5 T ′8 e T ′
11
Em T ′5 considere o elemento invertível a = e2 + e3 cujo inverso é b = e2
2 + e3
2 . Então aálgebra a-isótopa a T ′
5 é dada pelo produto
(
T ′5,a)
e1 e2 e3
e1 e2 + e3 e1 e1
e2 e1 e2 − e3 e2 + e3
e3 e1 e2 + e3 −e2 + e3
e é isomorfa a T ′3 com isomorfismo T : T ′
3 →(
T ′5,a)
dado por T(e1) = 12e2 + 1
2e3,T(e2) = − 1√
2e1 e T(e3) = −1
2e2+
12e3. Logo T e uma isotopia de T ′
3 sobre T ′5 e portanto
as álgebras T ′3 e T ′
5 são isotópicas e não-isomorfas.
Vamos agora comparar T ′3 (ou, equivalentemente, T ′
5) com T ′4. Observamos primei-
ramente que T ′4 é uma álgebra de divisão, i.e., é uma álgebra unitária cujos elementos
não nulos são todos invertíveis. Seja, então, a = αe1+βe2 +γe3 um elemento não nulo
de T ′4 com α,β,γ ∈ R e pelo menos um deles é não nulo, então a−1 = αe1
∆ − βe2
∆ − γe3
∆
onde ∆ = α2 +β2 + γ2 6= 0.
A álgebra a-isótopa a T ′4 é dada pelo produto
(
T ′4,a)
e1 e2 e3
e1 αe1 +βe2 + γe3 −βe1 + αe2 αe3 − γe1
e2 −βe1 +αe2 −αe1 −βe2 + γe3 −βe3 − γe2
e3 αe3 − γe1 −βe3 − γe2 −αe1 + βe2 − γe3
131
e é isomorfa a T ′4 com isomorfismo T : T ′
4 →(
T ′4,a)
dado por
T(e1) =α
∆e1 −
β
∆e2 −
γ
∆e3,
T(e2) =γ
√
(
β2 + γ2)
∆e2 −
β√
(
β2 + γ2)
∆e3,
T(e3) =
√
β2 + γ2
∆e1 +
αβ
∆√
β2 + γ2e2 +
αγ
∆√
β2 + γ2e3,
cujo determinante 1√∆3
é bem definido e não nulo. Logo toda isótopa de T ′4 é isomorfa
a T ′4. Portanto T ′
3 e T ′5 não são isotópicas a T ′
4.
Vejamos que também toda isótopa de T ′11 é isomorfa a T ′
11. Seja a = αe1 +βe2 +γe3
com α,β,γ ∈ R um elemento invertível de T ′11 então α e β não são ambos nulos. O
inverso de a é a−1 = αe1
∆− βe2
∆− γe3
∆onde ∆ = α2 +β2 6= 0.
A álgebra a-isótopa a T ′11 é dada pelo produto
(
T ′11,a
)
e1 e2 e3
e1 αe1 +βe2 + γe3 −βe1 + αe2 αe3
e2 −βe1 +αe2 −αe1 − βe2 + γe3 −βe3
e3 αe3 −βe3 0
e é isomorfa a T ′11 com isomorfismo T : T ′
11 →(
T ′11,a
)
dado por
T(e1) =α
∆e1 −
β
∆e2 −
γ
∆e3,
T(e2) =β
∆e1 +
α
∆e2,
T(e3) = e3,
cujo determinante é 1∆
que é não nulo e está bem definido já que ∆ 6= 0. Isto implica
que T ′8 não é isotópica a T ′
11.
Assim, provamos o seguinte resultado:
Teorema 7.10. Seja T ′ uma álgebra de Jordan unitária real de dimensão 3 então T ′ é isotópica
a uma e somente uma das álgebras T ′i para i = 1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 18.
Na seguinte tabela reunimos e comparamos os resultados obtidos em relação à clas-
sificação algébrica das álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3, seja a menos deisomorfismo ou a menos de isotopia, sobre R ou sobre C.
132
nº de álgebras a menos de: sobre R sobre C
isomorfismo 10 6
isotopia 9 6
Tabela 7.1: Comparação do número de álgebras de Jordan unitárias de dimensão 3
133
8 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA PESQU ISAS
FUTURAS
Durante a elaboração deste trabalho nos deparamos com novas questões ainda à se-rem respondidas. Neste capítulo indicaremos algumas possíveis direções para futuras
pesquisas nesta área.Primeiramente, acreditamos que seria interessante obter a classificação geométrica
completa das variedades Jor3, Jor4 e JorR3 . Se bem neste trabalho foram determinadas
todas as componentes irredutíveis de tais variedades, ainda resta determinar em média
2, 5% dos casos a existência ou não existência de deformação entre pares de álgebras.Estes casos são:
Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre um corpo
algebricamente fechado
T5?
99K T1, T5?
99K T3
T8?
99K T3
T9?
99K T3
T10?
99K T3
T19?
99K T3.
Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um corpo
algebricamente fechado
J42?
99K J70,J21
?99K J66, J21
?99K J70,
J10?
99K J61, J10?
99K J44, J10?
99K J63, J10?
99K J65,J11
?99K J61, J11
?99K J44, J11
?99K J63, J11
?99K J64, J11
?99K J65,
J12?
99K J69, J12?
99K J70,J13
?99K J66, J13
?99K J67, J13
?99K J68, J13
?99K J70, J13
?99K J58, J13
?99K J64,
J14?
99K J61, J14?
99K J63, J14?
99K J65,J15
?99K J61, J15
?99K J66, J15
?99K J68, J15
?99K J70, J15
?99K J44, J15
?99K J55,
J15?
99K J63, J15?
99K J64, J15?
99K J65,J16
?99K J66, J16
?99K J67, J16
?99K J68, J16
?99K J70, J16
?99K J48, J16
?99K J64,
135
J17?
99K J61, J17?
99K J44, J17?
99K J63, J17?
99K J65,J18
?99K J69, J18
?99K J70,
J23?
99K J61, J23?
99K J38, J23?
99K J62, J23?
99K J63, J23?
99K J65,J24
?99K J61, J24
?99K J38, J24
?99K J52, J24
?99K J62, J24
?99K J63, J24
?99K J65,
J25?
99K J61, J25?
99K J39, J25?
99K J52, J25?
99K J62, J25?
99K J63, J25?
99K J65,J51
?99K J61, J51
?99K J66, J51
?99K J63, J51
?99K J65,
J52?
99K J61, J52?
99K J66, J52?
99K J68, J52?
99K J63, J52?
99K J65,J53
?99K J61,
J44?
99K J67, J44?
99K J68,J45
?99K J61, J45
?99K J66, J45
?99K J67, J45
?99K J68, J45
?99K J70, J45
?99K J63,
J45?
99K J64, J45?
99K J65,J46
?99K J66, J46
?99K J67, J46
?99K J68, J46
?99K J70, J46
?99K J64,
J55?
99K J66, J55?
99K J67, J55?
99K J68, J55?
99K J70, J55?
99K J64,J56
?99K J66, J56
?99K J67, J56
?99K J68, J56
?99K J70, J56
?99K J64,
J57?
99K J61, J57?
99K J66, J57?
99K J67, J57?
99K J68, J57?
99K J70, J57?
99K J63,J57
?99K J64, J57
?99K J65,
J48?
99K J67, J48?
99K J68, J48?
99K J69, J48?
99K J70,J49
?99K J66, J49
?99K J67, J49
?99K J68, J49
?99K J69, J49
?99K J70, J49
?99K J64,
J50?
99K J67, J50?
99K J68, J50?
99K J69, J50?
99K J70,J58
?99K J67, J58
?99K J68, J58
?99K J69, J58
?99K J70,
J59?
99K J66, J59?
99K J67, J59?
99K J68, J59?
99K J69, J59?
99K J70, J59?
99K J64,J60
?99K J67, J60
?99K J68, J60
?99K J69, J60
?99K J70,
J6?
99K J61, J6?
99K J38, J6?
99K J47, J6?
99K J51, J6?
99K J52, J6?
99K J44,J6
?99K J45, J6
?99K J55, J6
?99K J57, J6
?99K J62, J6
?99K J63, J6
?99K J65,
J7?
99K J61, J7?
99K J39, J7?
99K J38, J7?
99K J54, J7?
99K J51, J7?
99K J52,J7
?99K J44, J7
?99K J45, J7
?99K J62, J7
?99K J63, J7
?99K J65,
J8?
99K J61, J8?
99K J54, J8?
99K J62, J8?
99K J63, J8?
99K J64, J8?
99K J65,J9
?99K J66, J9
?99K J67, J9
?99K J68, J9
?99K J69, J9
?99K J70, J9
?99K J42,
J9?
99K J64,
J1?
99K J61, J1?
99K J39, J1?
99K J38, J1?
99K J54, J1?
99K J27,J2
?99K J61, J2
?99K J66, J2
?99K J67, J2
?99K J68, J2
?99K J69, J2
?99K J70,
J2?
99K J43, J2?
99K J42, J2?
99K J63, J2?
99K J64, J2?
99K J65,J65
?99K J64.
Existência de deformação desconhecida entre álgebras de Jordan de dimensão 3 sobre o corpo
dos números reais
T ′3
?99K T ′
18, T ′3
?99K T ′
23,
136
T ′4
?99K T ′
18, T ′4
?99K T ′
23, T ′4
?99K T ′
26
T ′5
?99K T ′
18, T ′5
?99K T ′
23,
T ′7
?99K T ′
23, T ′7
?99K T ′
24,
T ′8
?99K T ′
23, T ′8
?99K T ′
24,
T ′10
?99K T ′
24,
T ′11
?99K T ′
23, T ′11
?99K T ′
26,
T ′19
?99K T ′
23,
T ′20
?99K T ′
23.
Outra questão que surge naturalmente ao tentar determinar a não existência de de-
formação está relacionada aos invariantes geométricos. Sabemos como se comportam adimensão do grupo de automorfismos, do radical, aniquilador e das potências através
de uma deformação. Isto nos levou a pesquisar o comportamento de outros invariantestais como a dimensão do centro associador, do espaço dos 2-cociclos, dos 2-cobordos,
da segunda cohomologia e da subálgebra maximal satisfazendo uma identidade. O quenos motiva a perguntar se seria possível determinar outros invariantes.
No final do Capítulo 5 obtivemos algumas propriedades da variedade algébrica Jor5.
Conseguimos determinar que o número de componentes irredutíveis é maior ou iguala 26. Isto nos leva a questionarmos sobre a possibilidade de melhorar esta estimativa.
Mais ainda, seria possível obter a classificação algébrica e geométrica das álgebras deJordan de dimensão 5 sobre um corpo algebricamente fechado? Qual seria a dificuldade
que isto pode apresentar em relação ao número de álgebras e ao tempo computacionaldos programas desenvolvidos neste trabalho em dimensão 5? E também, será possível
classificar algébrica e geometricamente as álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre ocorpo dos números reais? Uma estimativa do número de álgebras e do número de
componentes irredutíveis em cada caso é dado na seguinte tabela.
JorR
n Jornn nº órbitas nº componentes nº órbitas nº componentes1 2 1 2 1
2 7 3 6 2
3 26 8 20 5
4 > 109 > 18 73 10
5 - - ≫ 223 > 26
Tabela 8.1: Número de órbitas e de componentes irredutíveis de Jorn e JorR
n
137
Outra propriedade apresentada no Capítulo 5 é o fato da soma direta de álgebrasrígidas ser rígida em Jorn para n 6 5. E ainda provamos que soma direta de álgebras
infinitesimalmente rígidas é infinitesimalmente rígida, em qualquer dimensão. Isto nosmotiva a perguntarmos se rigidez geométrica (respetivamente, analítica) é preservada
por soma direta em todas as dimensões. Mais ainda, quais operações preservam rigi-dez?
Por outro lado, varias das proposições apresentadas no Capítulo 4 tem como hipóte-ses o fato da variedade ter um número finito de órbitas. De fato as variedades Jorn tem
uma quantidade finita de órbitas para todo n 6 4. Isto nos leva a questionarmos se avariedade das álgebras de Jordan sempre apresenta um número finito de órbitas ou se
seria possível encontrar uma família infinita.Por último, quando consideramos álgebras de dimensão finita:
rigidez infinitesimal ⇒ rigidez analítica ⇒ rigidez geométrica,
e ainda se o corpo tiver característica zero então rigidez geométrica ⇒ rigidez analítica.
Na categoria das álgebras associativas, para corpos de característica positiva, todas asimplicações inversas foram provadas serem falsas mas, ainda permanece aberta a ques-
tão de se existe uma álgebra associativa, em char = 0, que seja analiticamente rígidamas tenha segundo grupo de cohomologia não nulo. Enquanto que, esta última sen-
tença, é verdadeira para álgebras de Lie. Mas, até o momento, nada se conhece emrelação ás álgebras de Jordan. A pergunta que surge naturalmente é se seria possí-
vel provar ou achar contraexemplos para álgebras de Jordan de dimensão finita dasseguintes implicações:
para um corpo k com char k > 0, rigidez geométrica ⇒ rigidez analítica?
sobre quais hipóteses rigidez analítica ⇒ rigidez infinitesimal?
sobre quais hipóteses rigidez geométrica ⇒ rigidez infinitesimal?
138
A PROGRAMAS EM MATHEMATICA
A seguir serão apresentados os algoritmos os quais são implementados utilizando osoftware Wolfram Mathematica versão 9.0.1.
a.1 define o produto de jordan na base canônica
Para o funcionamento dos seguintes programas devemos definir o produto de todas as
álgebras de dimensão 4, numa base fixa e1, e2, e3, e4, como feito no exemplo a seguir:
Álgebra J19
g[e1,e1,J19]= e1;
g[e2,e2,J19]=e2;
g[e3,e3,J19]= 0;
g[e4,e4,J19]=0;
g[e1,e2,J19]=g[e2,e1,J19]=0;
g[e1,e3,J19]=g[e3,e1,J19]=0;
g[e1,e4,J19]=g[e4,e1,J19]=0;
g[e2,e3,J19]=g[e3,e2,J19]=0;
g[e2,e4,J19]=g[e4,e2,J19]=0;
g[e3,e4,J19]=g[e4,e3,J19]=0;
Nomeamos as álgebras e as listamos de acordo com sua dimensão.
algdim1 = U1, U2;
algdim2 = B1, B2, B3, B4, B5, B6;
algdim3 = T1,T2,T3,T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10,T11,
T12,T13,T14,T15,T16,T17,T18,T19,T20;
algdim4=J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7,J8,J9,J10,J11,J12
J14,J15,J16,J17,J18,J19,J20,J21,J22,J23,J24,J25,J26,J27,
J28,J29,J30,J31,J32,J33,J34,J35,J36,J37,J38,J39,J40,J41,
J42,J43,J44,J45,J46,J47,J48,J49,J50,J51,J52,J53,J54,J55,
139
J56,J57,J58,J59,J60,J61,J62,J63,J64,J65,J66,J67,J68,J69,
J70,J71,J72,J73;
A função dimensao[z] retorna a dimensão da álgebra z.
dimensao[z_] := Which[MemberQ[algdim1, z], 1,
MemberQ[algdim2, z], 2, MemberQ[algdim3, z], 3,
MemberQ[algdim4, z], 4]
Definimos a base da álgebra.
base = e1, e2, e3, e4;
Ingressando um elemento z da forma ae1 + be2 + ce3 + de4, a função paracan[z] re-torna um vetor da forma a,b, c,d. As funções paracan3 e paracan2 fazem o procedi-
mento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.
basecan=e1->1,0,0,0, e2->0,1,0,0,e3->0,0,1,0,
e4->0,0,0,1,0->0,0,0,0;
paracan[z_]:=z/.basecan;
basecan3=e1->1,0,0, e2->0,1,0,e3->0,0,1,0->0,0,0;
paracan3[z_]:=z/.basecan3;
basecan2=e1->1,0, e2->0,1,0->0,0;
paracan2[z_]:=z/.basecan2;
Reciprocamente, ingressando um vetor z da forma a,b, c,d, a função decan[z] retorna
um elemento da forma ae1 + be2 + ce3 + de4. As funções decan3 e decan2 fazem oprocedimento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.
decan[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,4],0];
decan3[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,3],0];
decan2[z_]:=If[z=!=0,Sum[z[[i]]*base[[i]],i,1,2],0];
Estendendo o Produto da Álgebra por Linearidade.
Ingressando dois elementos v e w da forma ae1+be2+ce3+de4, a função g[v,w,algebra]
retorna o produto deles na álgebra “algebra” na forma a,b, c,d. Analogamente g3 eg2 em dimensão 3 e 2 respetivamente.
140
g[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],
algebra],i,1,4,j,1,4]];
g3[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],
algebra],i,1,3,j,1,3]];
g2[v_,w_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*w[[j]]*g[base[[i]],base[[j]],
algebra],i,1,2,j,1,2]];
Ingressando dois elementos v e w da forma ae1+be2+ce3+de4, a função G[v,w,algebra]
retorna o produto deles na álgebra “algebra” na forma ae1 + be2 + ce3 + de4. Analo-gamente G3 e G2 em dimensão 3 e 2 respetivamente.
G[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,
decan[g[paracan[v],paracan[w],algebra]]];
G3[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,
decan[g3[paracan[v],paracan[w],algebra]]];
G2[v_,w_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" || ToString[w]=="0",0,
decan[g2[paracan[v],paracan[w],algebra]]];
a.2 verifica se duas álgebras são isomorfas
Ingressando um elemento z da forma ae1 + be2 + ce3 + de4, a função TEF[z] troca a
base ei por fi.
TEF[z_]:=z/.e1->f1, e2->f2,e3->f3,e4->f4;
Ingressando duas álgebras de dimensão 4 z e w, a função Relacoes[z,w] gera as condi-ções nos elementos da base para duas álgebras serem isomorfas. As funções Relacoes3
e Relacoes2 realizam um procedimento análogo em dimensão 3 e 2 respetivamente.
Relacoes[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[
Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+
G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],w]],i,1,4,j,1,4],2]]]]
141
Relacoes3[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[
Table[Simplify[-TEF[G3[base[[i]],base[[j]],z]]+
G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],w]],i,1,3,j,1,3],2]]]]
Relacoes2[z_,w_]:=DeleteDuplicates[Flatten[paracan[Flatten[
Table[Simplify[-TEF[G2[base[[i]],base[[j]],z]]+
G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],w]],i,1,2,j,1,2],2]]]]
A função isomorfismo[z,w] retorna um isomorfismo entre as álgebras z e w, se existir.
isomorfismo[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,
sol=Simplify[DeleteDuplicates[
Solve[Relacoes[alg1,alg2]==0,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,
a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];matriz=a11,a12,a13,a14,
a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;
semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];
grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];
grupodeisomorfismo=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];
Print[Table[MatrixForm[grupodeisomorfismo[[i]]],
i,1,Length[grupodeisomorfismo]]]]
A função Qisomorfas[z,w] retorna True ou False se duas álgebras z e w são ou não
isomorfas.
Qisomorfas[z1_,z2_]:=Block[,
sol=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes[z1,z2]==0,
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,
a41,a42,a43,a44]]];
matriz=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,
a41,a42,a43,a44;
semdup=DeleteDuplicates[Simplify[matriz/.sol]];
grupoOMO=Table[MatrixForm[semdup[[i]]],i,1,Length[semdup]];
grupodeisomorfismo2=Select[semdup,Simplify[Det[#]]=!=0&];
If[grupodeisomorfismo2===,False,True]]
a.3 verifica se uma álgebra é de jordan, flexível,
associativa, e/ou alternativa.
Definimos quatro elementos arbitrários de uma álgebra.
142
um=a1*e1+a2*e2+a3*e3+a4*e4;
dois=b1*e1+b2*e2+b3*e3+b4*e4;
tres=c1*e1+c2*e2+c3*e3+c4*e4;
quatro=d1*e1+d2*e2+d3*e3+d4*e4;
Definimos o associador dos elementos x, y e z de uma álgebra alg.
Ass[x_,y_,z_,alg_]:=G[G[x,y,alg],z,alg]-G[x,G[y,z,alg],alg]
A função Jor[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é deJordan.
Jor[alg_]:=Block[z=alg,bla4=Simplify[Ass[G[um,um,z],dois,um,z]];
If[bla4===0,Print[ToString["É uma álgebra de Jordan."]],
Print[ToString["NÃO é uma álgebra de Jordan."]]]]
A função LinearJord[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg
satisfaz a linearização da identidade de Jordan.
LinearJord[alg_]:=Block[z=alg,
ba6=Simplify[Ass[G[um,dois,z],tres,quatro,z]+
Ass[G[um,quatro,z],tres,dois,z]+Ass[G[dois,quatro,z],tres,um,z]];
If[ba6===0,Print[ToString["Satisfaz a linearização
da identidade de Jordan."]],
Print[ToString["NÃO satisfaz a linearização da identidade
de Jordan."]]]]
A função Asso[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é asso-
ciativa.
Asso[alg_]:=Block[z=alg,bla5=Simplify[Ass[um,dois,tres,z]];
If[bla5===0, Print[ToString["É uma álgebra associativa."]],
Print[ToString["NÃO é uma álgebra associativa."]]]]
A função AltD[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é alter-
nativa à direita.
AltD[alg_]:=Block[z=alg,bla1=Simplify[Ass[um,um,dois,z]];
If[bla1===0,
Print[ToString["É uma álgebra alternativa à direita."]],
Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à direita."]]]]
143
A função AltE[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é alter-nativa à esquerda.
AltE[alg_]:=Block[z=alg,bla2=Simplify[Ass[um,dois,dois,z]];
If[bla2===0,Print[ToString["É uma álgebra alternativa à esquerda."]],
Print[ToString["NÃO é uma álgebra alternativa à esquerda."]]]]
A função Flex[alg] verifica nos elementos arbitrários e retorna se a álgebra alg é flexí-
vel.
Flex[alg_]:=Block[z=alg,bla3=Simplify[Ass[um,dois,um,z]];
If[bla3===0,Print[ToString["É uma álgebra flexível."]],
Print[ToString["NÃO é uma álgebra flexível."]]]]
No caso que a álgebra z não seja de Jordan, a função Jor2[z] mostra quais produtos(x2,y, x) são não nulos
Jor2[z_] := Table[Simplify[ Ass[G[base[[i]], base[[i]], z],
base[[j]], base[[i]], z]], i, 1, 4, j, 1, 4]
A função Jordan[z] resolve as condições (RelacoesJor[z]) para que a álgebra z satis-faça a linearização da identidade de Jordan
RelacoesJor[z_] := DeleteDuplicates[ Flatten[paracan[ Flatten[
Table[ Simplify[ Ass[G[base[[i]], base[[j]], z],
base[[k]], base[[l]], z] + Ass[G[base[[i]], base[[l]], z],
base[[k]], base[[j]], z] + Ass[G[base[[j]], base[[l]], z],
base[[k]], base[[i]], z]], i, 1, 4, j, 1, 4, k, 1, 4,
l, 1, 4], 2]]]]
Jordan[z_] := Simplify[DeleteDuplicates[Solve[RelacoesJor[z] == 0]]]
a.4 verifica se uma álgebra é unitária
A função Unidade[alg] verifica se a álgebra alg possui o não uma unidade, no caso
que possua retorna a unidade.
Unidade[alg_]:=Block[vet=a1,a2,a3,a4,
unidade:=Solve[Table[paracan[G[decan[vet],
144
base[[i]],alg]]-
paracan[base[[i]]]==0,i,1,4],vet],
If[unidade===,
Print["A álgebra não possui unidades."];,
Print["É uma álgebra Unitária.
Unidade:"<>ToString[decan[
Flatten[vet/.unidade,1]]]];]];
a.5 verifica se é subálgebra.
A função subalgebradim34[z,w] retorna se a álgebra z de dimensão 3 é uma subálgebrada álgebra w de dimensão 4.
subalgebradim34[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,
sol1=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes3[alg1,alg2]==0,
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44]]];
matriz1=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34;
semdup1=DeleteDuplicates[Simplify[matriz1/.sol1]];
esubalgebra=Select[semdup1,MatrixRank[#]==3&];];
A função sub34[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 3 da álgebra z
de dimensão 4.
sub34[z_]:=Table[Block[alg=z,
subalgebradim34[algdim3[[i]],alg];
If[esubalgebra=!=,Print[Style["A álgebra
"<>ToString[algdim3[[i]]]<>
"é uma subálgebra de dimensão 3 da álgebra "<>
ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]], i,1,Length[algdim3]]
DeleteCases[listasub34[z_]:=Table[Block[alg=z,
subalgebradim34[algdim3[[i]],alg];
If[esubalgebra=!=,algdim3[[i]],0]],i,1,Length[algdim3]],0]
A função subalgebradim24[z,w] retorna se a álgebra z de dimensão 2 é uma subálgebrada álgebra w de dimensão 4.
subalgebradim24[z_,w_]:=Block[alg1=z,alg2=w,
sol2=Simplify[DeleteDuplicates[Solve[Relacoes2[alg1,alg2]==0,
145
a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,
a44]]];
matriz2=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24;
semdup2=DeleteDuplicates[Simplify[matriz2/.sol2]];
esubalgebra2=Select[semdup2,MatrixRank[#]==2&];];
A função sub24[z] retorna a lista de todas as subálgebras de dimensão 2 da álgebra z
de dimensão 4.
sub24[z_]:=Table[Block[alg=z,
subalgebradim24[algdim2[[i]],alg];
If[esubalgebra2=!=,
Print[Style["A álgebra "<>ToString[algdim2[[i]]]<>
"é uma subálgebra de dimensão 2 da álgebra "
<>ToString[alg]<>".","SubSection"]],0]],i,1,Length[algdim2]]
a.6 calcula a dimensão do aniquilador de uma ál-
gebra
A função ann[alg] retorna a dimensão do aniquilador da álgebra alg.
ann[alg_]:=4-Length[Flatten[Solve[Table[paracan[
Simplify[G[um,base[[i]],alg]]],i,1,4]==0,
a1,a2,a3,a4]]]
a.7 calcula a dimensão das potências
A função produto2[u1,u2,w] retorna todas as palavras de comprimento 2 que podem-
se formar com os elementos u1 e u2 na álgebra w.
produto2[u1_,u2_,w_]:=paracan[G[u1,u2,w]];
A função produto3[u1,u2,u3,w] retorna todas as palavras de comprimento 3 que podem-
se formar com os elementos u1, u2 e u3 na álgebra w.
produto3[u1_,u2_,u3_,w_]:=paracan[G[G[u1,u2,w],u3,w]],
paracan[G[u3,G[u1,u2,w],w]];
146
A função produto4[u1,u2,u3,u4,w] retorna todas as palavras de comprimento 4 quepodem-se formar com os elementos u1, u2, u3 e u4 na álgebra w.
produto4[u1_,u2_,u3_,u4_,w_]:=paracan[G[G[G[u1,u2,w],u3,w],u4,w]],
paracan[G[G[u3,G[u1,u2,w],w],u4,w]],
paracan[G[u4,G[G[u1,u2,w],u3,w],w]],
paracan[G[u4,G[u3,G[u1,u2,w],w],w]],
paracan[G[G[u1,u2,w],G[u3,u4,w],w]]
A função Potencia2[w] retorna a dimensão da segunda potencia da álgebra w.
Potencia2[w_]:=MatrixRank[Flatten[Table[Simplify[
produto2[base[[i]],base[[j]],w]],
i,1,4,j,1,4],1]];
A função Potencia3[w] retorna a dimensão da terceira potencia da álgebra w.
Potencia3[w_]:=MatrixRank[Flatten[Table[Simplify[
produto3[base[[i]],base[[j]],base[[k]],w]],
i,1,4,j,1,4,k,1,4],3]];
A função Potencia4[w] retorna a dimensão da quarta potencia da álgebra w.
Potencia4[w_]:=MatrixRank[Flatten[Table[Simplify[
produto4[base[[i]],base[[j]],base[[k]],base[[l]],w]],
i,1,4,j,1,4,k,1,4,l,1,4],4]];
a.8 calcula a dimensão do grupo de automorfismo
A função Relacoes7[z] gera as condições para uma aplicação ser um automorfismo da
álgebra z.
Relacoes7[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[
paracan[Flatten[Table[Simplify[-TEF[G[base[[i]],base[[j]],z]]+
G[TEF[base[[i]]],TEF[base[[j]]],z]],i,1,4,j,1,4],2]]]]]
Testemono[x_]:=If[Length[Variables[x]]==1,
147
If[Length[MonomialList[x]]==1,Variables[x][[1]],0],0]
nul[z_]:=DeleteCases[DeleteDuplicates[Table[
Testemono[Relacoes7[z][[i]]],i,1,Length[Relacoes7[z]]]],0]
anul[z_]:=DeleteDuplicates[Table[Testemono[Relacoes7[z][[i]]]->0,
i,1,Length[Relacoes7[z]]]]
Relacoes8[z_]:=Union[Relacoes7[z]/.anul[z],nul[z]]
A função dim[z] retorna a dimensão do grupo de automorfismos da álgebra z.
dim[z_]:=Block[alg=z,sol5=DeleteDuplicates[
Solve[Relacoes7[alg]==0]];
matriz5=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,
a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;
solnot0=Select[sol5,Det[matriz5/.#]=!=0&];
dimensao=Max[Table[16-Length[solnot0[[i]]],
i,1,Length[solnot0]]];
dim2[z_]:=Block[alg=z,sol7=DeleteDuplicates[
Simplify[Solve[Relacoes8[alg]==0]]];
matriz7=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,
a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;
solnot02=Select[sol7,Simplify[Det[matriz7/.#]]=!=0&];
dimensao2=Max[Table[16-Length[solnot02[[i]]],
i,1,Length[solnot02]]];
A função grupo[z] retorna o grupo de automorfismos da álgebra z.
grupo[z_]:=If[z===J43,
Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[
Solve[Relacoes7[alg]==0]]];
matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,
a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;
semdup6=DeleteDuplicates[Simplify[matriz6/.sol6]];
grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],
i,1,Length[semdup6]];
grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];
Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],
i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]],
Block[alg=z,sol6=Simplify[DeleteDuplicates[
148
Solve[Relacoes8[alg]==0]]];
matriz6=a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,
a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44;
semdup6=DeleteDuplicates[Simplify[matriz6/.sol6]];
grupoOMO6=Table[MatrixForm[semdup6[[i]]],
i,1,Length[semdup6]];
grupodeautomorfismo=Select[semdup6,Simplify[Det[#]]=!=0&];
Print[Table[MatrixForm[grupodeautomorfismo[[i]]],
i,1,Length[grupodeautomorfismo]]]]]
a.9 calcula a dimensão de h2 .
Definimos genericamente um 2-cociclo h : J× J → J nos elementos da base.
g[e1,e1,H]=a111*e1+a112*e2+a113*e3+a114*e4;
g[e2,e2,H]=a221*e1+a222*e2+a223*e3+a224*e4;
g[e3,e3,H]=a331*e1+a332*e2+a333*e3+a334*e4;
g[e4,e4,H]=a441*e1+a442*e2+a443*e3+a444*e4;
g[e1,e2,H]=g[e2,e1,H]=a121*e1+a122*e2+a123*e3+a124*e4;
g[e1,e3,H]=g[e3,e1,H]=a131*e1+a132*e2+a133*e3+a134*e4;
g[e1,e4,H]=g[e4,e1,H]=a141*e1+a142*e2+a143*e3+a144*e4;
g[e2,e3,H]=g[e3,e2,H]=a231*e1+a232*e2+a233*e3+a234*e4;
g[e2,e4,H]=g[e4,e2,H]=a241*e1+a242*e2+a243*e3+a244*e4;
g[e3,e4,H]=g[e4,e3,H]=a341*e1+a342*e2+a343*e3+a344*e4;
Definimos genericamente uma aplicação linear U : J → J que implica que um 2-cociclo
é equivalente a 0, nos elementos da base.
u[e1,J]=u11*e1+u12*e2+u13*e3+u14*e4;
u[e2,J]=u21*e1+u22*e2+u23*e3+u24*e4;
u[e3,J]=u31*e1+u32*e2+u33*e3+u34*e4;
u[e4,J]=u41*e1+u42*e2+u43*e3+u44*e4;
Estendemos U por linearidade.
u[v_,algebra_]:=paracan[Sum[v[[i]]*u[base[[i]],
algebra],i,1,4]];
U[v_,algebra_]:=If[ToString[v]=="0" ,0,decan[u[paracan[v],algebra]]];
149
As condições para uma aplicação bilinear h ser um 2-cociclo de Jordan são:
h(a,b) = h(b,a)
(h(a,a)b)a+ h(a2b,a) + h(a2,b)a = a2h(b,a) + h(a,a)(ba) + h(a2,ba)Linearizando completamente estas condições temos:
(h(x,y)b)z+(h(x, z)b)y+(h(y, z)b)x+h((xy)b, z)+h((xz)b,y)+h((yz)b, x)+h(xy,b)z+
h(xz,b)y+h(yz,b)x = (xy)h(b, z)+ (xz)h(b,y)+ (yz)h(b, x)+h(x,y)(bz)+h(x, z)(by)+h(y, z)(bx) + h(xy,bz) + h(xz,by) + h(yz,bx)
A função Relacoes5[z] gera as condições linearizadas (nos elementos da base) quedeve satisfazer a aplicação bilinear h para ser um 2-cociclo de Jordan da álgebra z.
Relacoes5[z_]:=Simplify[DeleteDuplicates[Flatten[
paracan[Flatten[Table[Simplify[G[G[G[base[[i]],base[[j]],H],
base[[l]],z],base[[m]],z]+
G[G[G[base[[i]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[j]],z]+
G[G[G[base[[j]],base[[m]],H],base[[l]],z],base[[i]],z]+
G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],z],base[[m]],H]+
G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[j]],H]+
G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],z],base[[i]],H]+
G[G[G[base[[i]],base[[j]],z],base[[l]],H],base[[m]],z]+
G[G[G[base[[i]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[j]],z]+
G[G[G[base[[j]],base[[m]],z],base[[l]],H],base[[i]],z]-
G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],H],z]-
G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],H],z]-
G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],H],z]-
G[G[base[[i]],base[[j]],H],G[base[[l]],base[[m]],z],z]-
G[G[base[[i]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[j]],z],z]-
G[G[base[[j]],base[[m]],H],G[base[[l]],base[[i]],z],z]-
G[G[base[[i]],base[[j]],z],G[base[[l]],base[[m]],z],H]-
G[G[base[[i]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[j]],z],H]-
G[G[base[[j]],base[[m]],z],G[base[[l]],base[[i]],z],H]],
i,1,4,j,1,4,m,1,4,l,1,4],2]]]]];
A função Relacoes71[z] gera as relações que deve satisfazer um 2-cociclo da álgebra z
para ser equivalente a 0, ou seja para ser um 2-cobordo.
Relacoes71[z_] := Simplify[DeleteDuplicates[ Flatten[paracan[
Flatten[Table[ Simplify[+U[G[base[[i]], base[[j]], z], J] -
G[base[[i]], U[base[[j]], J], z] - G[U[base[[i]],J],base[[j]],z]],
i, 1, 4, j, 1, 4], 2]]]]];
150
Calcula a dimensão dos 2-cobordos
A função dimB2[z] retorna a dimensão do espaço dos 2-cobordos da álgebra z com
coeficientes em z.
dimB2[z_] := Length[Flatten[ Simplify[ DeleteDuplicates[ Solve[
Relacoes71[z] == 0, u11, u12, u13, u14, u21, u22, u23, u24,
u31, u32, u33, u34, u41, u42, u43, u44]]], 1]]
Calcula a dimensão dos 2-cociclos
A função dimZ2[z] retorna a dimensão do espaço dos 2-cociclos da álgebra z com
coeficientes em z.
dimZ2[z_] := 40 - Length[ Flatten[Simplify[ DeleteDuplicates[
Solve[Relacoes5[z] == 0, a111, a112, a113, a114, a121, a122, a123,
a124, a131, a132, a133, a134, a141, a142, a143, a144, a211, a212,
a213, a214, a221, a222, a223, a224, a231, a232, a233, a234, a241,
a242, a243, a244, a311, a312, a313, a314, a321, a322, a323, a324,
a331, a332, a333, a334, a341, a342, a343, a344, a411, a412, a413,
a414, a421, a422, a423, a424, a431, a432, a433, a434, a441, a442,
a443, a444]]]]]
Calcula a dimensão de H2
A função dimH2[z] retorna a dimensão do segundo grupo de cohomologia da álgebra
z com coeficientes em z.
dimH2[z_] := dimZ2[z] - dimB2[z]
a.10 calcula a dimensão do centro associador
A função ZAssociador[alg] retorna a dimensão do centro associador da álgebra alg.
ZAssociador[alg_] := 4 - Length[ Flatten[Solve[ Table[paracan[
Simplify[Ass[um, base[[i]], base[[j]], alg],
Ass[base[[i]], um, base[[j]], alg],
151
Ass[base[[i]], base[[j]], um, alg]]],
i, 1, 4, j, 1, 4] == 0, a1, a2, a3, a4]]]
a.11 realiza a soma direta de álgebras de jordan;
A função Soma31[x,y] gera uma nova álgebra que é a soma direta da álgebra x de
dimensão 3 e a álgebra y de dimensão 1.
mais[x_,y_]:=ToString[x]<>"+"<>ToString[y];
Soma31[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==3)
&&(dimensao[y]==1),
g[e1,e1,mais[x,y]]=g[e1,e1,x];
g[e2,e2,mais[x,y]]=g[e2,e2,x];
g[e3,e3,mais[x,y]]=g[e3,e3,x];
g[e4,e4,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e4];
g[e1,e2,mais[x,y]]=g[e1,e2,x];
g[e2,e1,mais[x,y]]=g[e2,e1,x];
g[e1,e3,mais[x,y]]=g[e1,e3,x];
g[e3,e1,mais[x,y]]=g[e3,e1,x];
g[e2,e3,mais[x,y]]=g[e2,e3,x];
g[e3,e2,mais[x,y]]=g[e3,e2,x];
g[e1,e4,mais[x,y]]=g[e4,e1,mais[x,y]]=0;
g[e2,e4,mais[x,y]]=g[e4,e2,mais[x,y]]=0;
g[e3,e4,mais[x,y]]=g[e4,e3,mais[x,y]]=0;]
A função Soma22[x,y] gera uma nova álgebra que é a soma direta da álgebra x dedimensão 2 e a álgebra y de dimensão 2.
Soma22[x_,y_]:=If[(dimensao[x]==2)&&(dimensao[y]==2),
g[e1,e1,mais[x,y]]=g[e1,e1,x];
g[e2,e2,mais[x,y]]=g[e2,e2,x];
g[e3,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e1,y],e1->e3,e2->e4];
g[e4,e4,mais[x,y]]=Replace[g[e2,e2,y],e1->e3,e2->e4];
g[e1,e2,mais[x,y]]=g[e1,e2,x];
g[e2,e1,mais[x,y]]=g[e2,e1,x];
g[e1,e3,mais[x,y]]=0;
g[e3,e1,mais[x,y]]=0;
152
g[e2,e3,mais[x,y]]=0;
g[e3,e2,mais[x,y]]=0;
g[e1,e4,mais[x,y]]=0;
g[e4,e1,mais[x,y]]=0;
g[e2,e4,mais[x,y]]=0;
g[e4,e2,mais[x,y]]=0;
g[e3,e4,mais[x,y]]=Replace[g[e1,e2,y],e1->e3,e2->e4];
g[e4,e3,mais[x,y]]=Replace[g[e2,e1,y],e1->e3,e2->e4];]
Geramos todas as álgebras que são soma direta de uma álgebra de dimensão 3 com
uma álgebra de dimensão 1.
algebras31=Flatten[Table[mais[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],
i,1,Length[algdim3],j,1,Length[algdim1]]];
geraalgebras31=Flatten[Table[Soma31[algdim3[[i]],algdim1[[j]]],
i,1,Length[algdim3],j,1,Length[algdim1]]];
Geramos todas as álgebras que são soma direta de duas álgebras de dimensão 2.
algebras22=Flatten[Table[mais[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],
i,1,Length[algdim2],j,1,Length[algdim2]]];
geraalgebras22=Flatten[Table[Soma22[algdim2[[i]],algdim2[[j]]],
i,1,Length[algdim2],j,1,Length[algdim2]]];
Geramos uma lista de todas as álgebras decomponíveis de dimensão 4.
algebradim4soma=Union[algebras31,algebras22];
a.12 decompõe uma álgebra em soma direta
A função Decomp2[z] compara a álgebra z com todas as álgebras decomponíveis de
dimensão 4 procurando isomorfismos entre elas.
Decomp2[z_]:=DeleteCases[Table[If[
Qisomorfas[z,algebradim4soma[[i]]],algebradim4soma[[i]],0],
i,1,Length[algebradim4soma]],0]
A função Decomp[z] retorna se a álgebra z é decomponível ou indecomponível. No casoque seja decomponível retorna sua decomposição.
153
Decomp[z_]:=Block[dec=Decomp2[z], If[dec===,
Print["A álgebra é indecomponível"],
Print["A álgebra se decompoe como:" ]
Print[dec]]]
a.13 exibe o produto da álgebra
A função Exibir[z] exibe o produto da álgebra z na forma matricial.
Exibir[z_]:=Which[MemberQ[Union[algdim4,algebradim4soma],z],
Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,4,j,1,4],
MemberQ[algdim3,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,3,j,1,3],
MemberQ[algdim2,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,2,j,1,2],
MemberQ[algdim1,z],Table[G[base[[i]],base[[j]],z],i,1,1,j,1,1]]
//MatrixForm
a.14 exibe resumo das propriedades da álgebra
A função Todo[z] exibe o resumo de todas as propriedades da álgebra z:produto na
forma matricial, se é de Jordan, associativa, não associativa, unitária, qual é a unidade,indecomponível, decomponível e qual é a sua decomposição, a dimensão do grupo de
automorfismos, o grupo de automorfismos, a dimensão do aniquilador, subálgebras dedimensão 2 e 3, dimensão do centro associador, dimensão de J2, J3 e J4, dimensão do
espaço de 2-cociclos, 2-cobordos e da segunda cohomologia.
Todo[z_]:=Block[alg=z,
Print[Style["Álgebra "<>ToString[alg],"Section"]];
Print[Style["O produto na álgebra é "produtomatricial[alg],
"SubSection"]];
Jor[alg];
Asso[alg];
AltD[alg];
AltE[alg];
Flex[alg];
Unidade[alg];
Print[Style["A dimensão do grupo de automorfismos é
154
"<>ToString[dim2[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["O grupo de automorfismos é ","SubSection"]];grupo[alg]
Print[Style["A dimensão do aniquilador da álgebra é
"<>ToString[ann[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão de "<>ToString[alg]<>"^2 é
"<>ToString[Potencia2[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão de "<>ToString[alg]<>"^3 é
"<>ToString[Potencia3[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão de "<>ToString[alg]<>"^4 é
"<>ToString[Potencia4[alg]]<>".","SubSection"]];
Decomp[alg];
sub34[alg];
sub24[alg];
Print[Style["A dimensão do centro associador é
"<>ToString[ZAssociador[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão do grupo de 2-cociclos é
"<>ToString[dimZ2[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão do grupo de 2-cobordos é
"<>ToString[dimB2[alg]]<>".","SubSection"]];
Print[Style["A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é
"<>ToString[dimH2[alg]]<>".","SubSection"]];]
155
B I NFORMAÇÕES SOBRE AS ÁLGEBRAS DE JOR-
DAN DE D IMENSÃO 4
Lembramos que as álgebras de Jordan de dimensão 4 sobre um corpo k algebricamentefechado, Ji, foram obtidas na Seção 2.2 e que as álgebras de Jordan indecomponíveis
de dimensão 2 e 3 são:
Tabela B.1: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2
B Tabela de Multiplicação
B1 e21 = e1 e1n1 = n1 n21 = 0
B2 e21 = e1 e1n1 = 12n1 n2
1 = 0
B3 n12 = n2 n1n2 = 0 n2
2 = 0
Tabela B.2: k-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 3
T Tabela de Multiplicação
T1e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
T2e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
T3n21 = n2 n2
2 = 0 n23 = 0
n1n2 = n3 n1n3 = 0 n2n3 = 0
T4n21 = n2 n2
2 = 0 n23 = 0
n1n2 = 0 n1n3 = n2 n2n3 = 0
T5e21 = e1 e22 = e2 e23 = e1 + e2
e1e2 = 0 e1e3 = 12e3 e2e3 = 1
2e3
T6e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
T7e21 = e1 n2
1 = 0 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = 1
2n2 n1n2 = 0
T8e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = 0 n1n2 = 0
157
T Tabela de Multiplicação
T9e21 = e1 n2
1 = n2 n22 = 0
e1n1 = 12n1 e1n2 = n2 n1n2 = 0
T10e21 = e1 e22 = e2 n2
1 = 0
e1e2 = 0 e1n1 = 12n1 e2n1 = 1
2n1
Todas as álgebras desta seção são apresentadas na base e1, e2, e3, e4.
álgebra J1
O produto na álgebra é:
J1 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2 0e42
e3 0 0 e3 0
e4e42
e42 0 e1 + e2
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3. A dimensão dogrupo de automorfismos é 1. O grupo de automorfismos é:
1+a44
21−a44
2 0
√
1−a244
21−a44
21+a44
2 0 − 12
√
1−a244
0 0 1 0
−√
1−a244
√
1−a244 0 a44
,
1+a44
21−a44
2 0 − 12
√
1−a244
1−a44
21+a44
2 0
√
1−a244
2
0 0 1 0√
1−a244 −
√
1−a244 0 a44
,
1−a44
21+a44
2 0 − 12
√
1−a244
1+a44
21−a44
2 0
√
1−a244
2
0 0 1 0
−√
1−a244
√
1−a244 0 a44
,
1−a44
21+a44
2 0
√
1−a244
21+a44
21−a44
2 0 − 12
√
1−a244
0 0 1 0√
1−a244 −
√
1−a244 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T5 ⊕ ke. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, B1 ⊕ ke2, T5,
158
ke1⊕kn1, B1 e ke1⊕ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da órbitaé 15. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4.
A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupode 2-cobordos é 15. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão
da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximalé 0. A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.
álgebra J2
O produto na álgebra é:
J2 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32
e42
e2 0 e2e32
e42
e3e32
e32 0
e1+e22
e4e42
e42
e1+e22 0
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 3. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra
rígida. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T5, T10, B1, B2
e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da órbita é 13. Adimensão do centro associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A
dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0.A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.
álgebra J3
O produto na álgebra é:
J3 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 e3 0
e4 0 0 0 e4
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3 + e4. A dimensão dogrupo de automorfismos é 0. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra
rígida. A álgebra se decompõe como: ke1⊕ke2 ⊕ke3 ⊕ke4. Subálgebras de dimensão:2 e 3 : ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão
da órbita é 16. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensãode J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão
159
do grupo de 2-cobordos é 16. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. Adimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente
maximal é 0. A dimensão da subálgebra nula maximal é 0.
álgebra J4
O produto na álgebra é:
J4 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 e3 e4
e4 0 0 e4 0
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1+e2+e3. A dimensão do grupo deautomorfismos é 1. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe
como: B1 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3, B1 ⊕ ke2,ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1, B1 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A
dimensão da órbita é 15. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos
é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 15. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da
subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J5
O produto na álgebra é:
J5 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 e3 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 1.
O grupo de automorfismos é:
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 a44
,
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 a44
,
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 a44
,
160
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ ke2 ⊕ke3⊕kn1. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕ke3, ke1⊕ke2⊕kn1, ke1⊕kn1
e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da órbita é 15. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A
dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de2-cobordos é 15. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1.A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J6
O produto na álgebra é:
J6 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 e3 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra
se decompõe como: B2 ⊕ ke2 ⊕ ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ ke3,ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 ,B2 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpo-
tente é 1. A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 2. A dimensãode J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-
cociclos é 14. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupode Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão
da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J7
O produto na álgebra é:
J7 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2 0e42
e3 0 0 e3 0
e4e42
e42 0 0
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2 + e3. A dimensão do
161
grupo de automorfismos é 2. A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra sedecompõe como: T10 ⊕ke3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ke2⊕ke3, B1 ⊕ke2,
T10, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1, B1, B2 e ke1 ⊕ ke2. A dimensão do radical nilpotente é 1.A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é
4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J8
O produto na álgebra é:
J8 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32 0
e2 0 e2e32 0
e3e32
e32 e1 + e2 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 01−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 0
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 0
0 0 0 a44
,
1+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 0
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 0√
1−a233 −
√
1−a233 a33 0
0 0 0 a44
,
1−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 0
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 0
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 0
0 0 0 a44
,
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 01+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 0
√
1−a233 −
√
1−a233 a33 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a44
,
162
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 a44
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T5 ⊕ kn1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1⊕ke2⊕kn1, B1⊕kn2, T5, ke1⊕kn1, B1, ke1⊕ke2
e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da órbita é 14. Adimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A
dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J9
O produto na álgebra é:
J9 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32
e42
e2 0 e2e32
e42
e3e32
e32 e1 + e2 0
e4e42
e42 0 0
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupode automorfismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 −a24
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 a24
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 −a24
1+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 a24
√
1−a233 −
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 −a24
1−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 a24
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 −a24
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 a24√
1−a233 −
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 0
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 0
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
163
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 01+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 0
√
1−a233 −
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1+a33
21−a33
2
√
1−a233
2 01−a33
21+a33
2 − 12
√
1−a233 0
−
√
1−a233
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
1+a33
21−a33
2 − 12
√
1−a233 0
1−a33
21+a33
2
√
1−a233
2 0√
1−a233 −
√
1−a233 a33 a34
0 0 0 a44
,
0 1 0 −a24
1 0 0 a24
0 0 −1 a34
0 0 0 a44
,
0 1 0 −a24
1 0 0 a24
0 0 1 a34
0 0 0 a44
,
1 0 0 −a24
0 1 0 a24
0 0 −1 a34
0 0 0 a44
,
1 0 0 −a24
0 1 0 a24
0 0 1 a34
0 0 0 a44
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 −1 a34
0 0 0 a44
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 a34
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 a34
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 a34
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T2, T5,T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radicalnilpotente é 1. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 1. A
dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J10
O produto na álgebra é:
J10 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32 0
e2 0 e2 0 0
e3e32 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 3.
164
O grupo de automorfismos é:
1 0 a13 0
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ ke2 ⊕kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B2 ⊕ ke2,
B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é2. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2
é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J11
O produto na álgebra é:
J11 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32 0
e2 0 e2e32 0
e3e32
e32 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 3.O grupo de automorfismos é:
0 1 −a23 0
1 0 a23 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
,
1 0 −a23 0
0 1 a23 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T10 ⊕ kn2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B1 ⊕ kn2, T10, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,
B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão
de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A
165
dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J12
O produto na álgebra é:
J12 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32
e42
e2 0 e2 0 0
e3e32 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 6.
O grupo de automorfismos é:
1 0 a13 a14
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T7 ⊕ ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T7, B2 ⊕ ke2,
ke1 ⊕ kn1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A di-mensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A
dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 10. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão do segundo grupo de Cohomolo-
gia é 0. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebranilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J13
O produto na álgebra é:
J13 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2e32 0
e3 0e32 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.
166
O grupo de automorfismos é:
0 1 a13 0
1 0 0 a24
0 0 0 a34
0 0 a43 0
,
1 0 0 a14
0 1 a23 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-
põe como: B2⊕B2. Subálgebras de dimensão: 2 e 3: T7, B2⊕ke2, B2⊕kn2, ke1⊕kn1,B2, ke1⊕ke2 e kn1⊕kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita
é 12. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4.A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo
de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensãoda subálgebra associativa maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal
é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J14
O produto na álgebra é:
J14 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3e42
e2 0 e2 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T6 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T6, B2 ⊕ ke2, ke1 ⊕ kn1,
B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão
de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A
dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
167
álgebra J15
O produto na álgebra é:
J15 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2 e3 0
e3 0 e3 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ B1.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, B1⊕kn2, T6, B2⊕ke2, B2 ⊕kn2, ke1⊕kn1,B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da
órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensãode J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 14. A dimensão
do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. Adimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente
maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J16
O produto na álgebra é:
J16 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32
e42
e2 0 e2e32 0
e3e32
e32 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a23 a14
0 1 a23 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 a14
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
168
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é indecom-ponível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T6, T7, T10, B2 ⊕ ke2, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,
B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 12. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de J2 é 4. A dimensão
de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A
dimensão da subálgebra associativa maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J17
O produto na álgebra é:
J17 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32 e4
e2 0 e2e32 0
e3e32
e32 0 0
e4 e4 0 0 0
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo
de automorfismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a23 0
0 1 a23 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T2, T6, T10, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, B2, ke1 ⊕ ke2
e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 13. Adimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A
dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
169
álgebra J18
O produto na álgebra é:
J18 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0e32
e42
e2 0 e2e32
e42
e3e32
e32 0 0
e4e42
e42 0 0
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo
de automorfismos é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 6.O grupo de automorfismos é:
0 1 −a23 −a24
1 0 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
1 0 −a23 −a24
0 1 a23 a24
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
0 1 0 −a24
1 0 0 a24
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
1 0 0 −a24
0 1 0 a24
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
0 1 −a23 0
1 0 a23 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
1 0 −a23 0
0 1 a23 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, T7, T10, B1, B2, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical
nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é 1. Adimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do
grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J19
O produto na álgebra é:
J19 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 0
170
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 4.
O grupo de automorfismos é:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ ke2 ⊕kn1 ⊕ kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, ke1 ⊕kn1, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão daórbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão
de J3 é 2. A dimensão de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 18. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 6. A
dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J20
O produto na álgebra é:
J20 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 e4
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 0 0
e4 e4 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ ke2 ⊕kn2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, ke1⊕ke2⊕kn1, B1⊕kn2, ke1⊕kn1⊕kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. Adimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é
3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de
171
Cohomologia é 2. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J21
O produto na álgebra é:
J21 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 e4
e2 0 e2 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 e4 0 0 0
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T2 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, T2, ke1⊕kn1⊕kn2, ke1⊕kn1, B1, ke1⊕ke2
e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 12. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A
dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 19. A dimensão do grupo de2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 7. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J22
O produto na álgebra é:
J22 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 0
e2 0 e2 0 e4
e3 e3 0 0 0
e4 0 e4 0 0
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo deautomorfismos é 2.
172
O grupo de automorfismos é:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 a34
0 0 a43 0
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ B1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T2, B1 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2
e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A
dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J23
O produto na álgebra é:
J23 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 0 a214 a14
0 1 0 0
0 0 a244 0
0 0 2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T8 ⊕ ke2.Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B3 ⊕ ke1, T8, ke1 ⊕ kn1, ke1 ⊕ ke2
e B3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensãodo centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão
de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
173
álgebra J24
O produto na álgebra é:
J24 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3e42
e2 0 e2 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de auto-morfismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a214 a14
0 1 0 0
0 0 a244 0
0 0 −2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra se decom-põe como: T9 ⊕ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1⊕ke2, B3⊕ke1, T9, ke1 ⊕kn1,
B1, ke1 ⊕ ke2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14.A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A
dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 14. A dimensão do grupo de2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J25
O produto na álgebra é:
J25 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3e42
e2 0 e2 0e42
e3 e3 0 0 0
e4e42
e42 0 e3
É uma álgebra não associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo
de automorfismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a224 −a24
0 1 a224 a24
0 0 a244 0
0 0 2a24a44 a44
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
174
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T1, T8, T9, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 e B3. A dimensão
do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associadoré 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 1.
álgebra J26
O produto na álgebra é:
J26 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 e2 0 0
e3 0 0 e4 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 2.
O grupo de automorfismos é:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 a33 a34
0 0 0 a233
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 0 a233
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ ke1 ⊕ke2. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ ke2 ⊕ kn1, B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1, ke1 ⊕ ke2
e B3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensãodo centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A dimensão
de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
175
álgebra J27
O produto na álgebra é:
J27 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 e4
e2 0 e2 0 0
e3 e3 0 e4 0
e4 e4 0 0 0
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1 + e2. A dimensão do grupo de
automorfismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 a33 a34
0 0 0 a233
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ ke2.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ ke2, T1, B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1, B1, ke1 ⊕ ke2 eB3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da órbita é 14. A dimensão
do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensãode J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-
cobordos é 14. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão dasubálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2.
A dimensão da subálgebra nula maximal é 1.
álgebra J28
O produto na álgebra é:
J28 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 6.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 a22 a23 0
0 a32 a33 0
0 0 0 a44
176
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ kn2 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, B2 ⊕ kn2,
ke1 ⊕ kn1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão daórbita é 10. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 2. A dimensão
de J3 é 2. A dimensão de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 20. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 10. A
dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J29
O produto na álgebra é:
J29 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 0e42
e2 e2 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T6 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1,
B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12.A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A
dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 17. A dimensão do grupo de2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 5. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
177
álgebra J30
O produto na álgebra é:
J30 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 0
e42
e2e22 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 7.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 0 a14
0 a22 0 a24
0 0 a33 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T7 ⊕ kn3.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T7, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2 ekn1⊕kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 9. A dimensão
do centro associador é 1. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensãode J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 17. A dimensão do grupo de 2-
cobordos é 9. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 8. A dimensão dasubálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.
A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J31
O produto na álgebra é:
J31 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3e42
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 6.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 a22 a23 0
0 a32 a33 0
0 0 0 a44
178
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do
radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 18. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 8. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 3.
álgebra J32
O produto na álgebra é:
J32 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 e3
e42
e2e22 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 7.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 0 a14
0 a22 0 a24
0 0 a33 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T6, T7, B1, B2 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do
radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 9. A dimensão do centro associador é1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 7. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 3.
179
álgebra J33
O produto na álgebra é:
J33 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22
e32
e42
e2e22 0 0 0
e3e32 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 12.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 a32 a33 a34
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é inde-componível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, T7, B2 e kn1 ⊕ kn2. A
dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 4. A dimensão do centroassociador é 0. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4.
A dimensão do grupo de 2-cociclos é 4. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 4. Adimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associa-
tiva maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 3.
álgebra J34
O produto na álgebra é:
J34 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 9.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a22 a23 a24
0 a32 a33 a34
0 a42 a43 a44
180
A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: ke1 ⊕ kn1 ⊕kn2 ⊕ kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, ke1 ⊕kn1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 7. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 1. A
dimensão de J4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 25. A dimensão do grupo de2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 18. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J35
O produto na álgebra é:
J35 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 0
e2 0 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a22 0 a24
0 0 a33 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ kn2 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3,
ke1 ⊕ kn1, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão daórbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão
de J3 é 2. A dimensão de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 18. A dimensãodo grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 7. A
dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotentemaximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
181
álgebra J36
O produto na álgebra é:
J36 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 e4 0 0 0
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1. A dimensão do grupo de auto-
morfismos é 9.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a22 a23 a24
0 a32 a33 a34
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 7. A dimensão do centro associador é 4. A
dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 28. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 21. A dimensão da subálgebra associativa maximal é4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 3.
álgebra J37
O produto na álgebra é:
J37 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 0
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a22 a23 0
0 a32 a33 0
0 0 0 a44
182
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T2 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T2, B1 ⊕ kn2, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1 e
kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A
dimensão de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 19. A dimensão do grupo de2-cobordos é 11. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 8. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J38
O produto na álgebra é:
J38 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 0 0 e3
e3 0 0 0 0
e4 0 e3 0 e2
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a244 2a42a44 0
0 0 a344 0
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T3 ⊕ ke1. Su-bálgebras de dimensão 2 e 3: T3, ke1⊕kn1 ⊕kn2, ke1 ⊕kn1 e kn1⊕kn2. A dimensão
do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associadoré 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A dimensão de J4 é 1. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
183
álgebra J39
O produto na álgebra é:
J39 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 0 0 e3
e3 e3 0 0 0
e4 e4 e3 0 e2
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1. A dimensão do grupo de auto-
morfismos é 3.O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a244 2a42a44 0
0 0 a344 0
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T2, T3, B1 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão do radical nilpotente é 3. A
dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos
é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da
subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J40
O produto na álgebra é:
J40 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 e2
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 5.O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 a32 a33 0
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ ke1 ⊕kn3. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1,
184
kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A
dimensão de J4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 21. A dimensão do grupo de2-cobordos é 11. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 10. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J41
O produto na álgebra é:
J41 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 e2 0
e4 0 0 0 e2
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a243 +a2
44 0 0
0 a32 −a44 a43
0 a42 a43 a44
,
1 0 0 0
0 a243 +a2
44 0 0
0 a32 a44 −a43
0 a42 a43 a44
,
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 a32 −a44 0
0 a42 0 a44
,
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 a32 a44 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: T4 ⊕ ke1.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, T4, ke1 ⊕ kn1, kn1 ⊕ kn2
e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensãodo centro associador é 4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão
de J4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 19. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 7. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
185
álgebra J42
O produto na álgebra é:
J42 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 e4 0 0 e2
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1. A dimensão do grupo de auto-
morfismos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 a32 a33 0
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T1, T2, B3 ⊕ kn3, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A
dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 19. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 8. A dimensão da subálgebra associativa maximal é4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J43
O produto na álgebra é:
J43 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 e2 0
e4 e4 0 0 e2
É uma álgebra associativa, unitária, com unidade: e1. A dimensão do grupo de auto-
morfismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a233 +a2
34 0 0
0 a32 a33 a34
0 a42 a34 −a33
,
1 0 0 0
0 a233 +a2
34 0 0
0 a32 a33 a34
0 a42 −a34 a33
,
186
1 0 0 0
0 a233 +a2
43 0 0
0 a32 a33 −a43
0 a42 a43 a33
,
1 0 0 0
0 a233 +a2
43 0 0
0 a32 a33 a43
0 a42 a43 −a33
1 0 0 0
0 a233 0 0
0 a32 a33 0
0 a42 0 −a33
,
1 0 0 0
0 a233 0 0
0 a32 a33 0
0 a42 0 a33
,
1 0 0 0
0 a243 0 0
0 a32 0 −a43
0 a42 a43 0
,
1 0 0 0
0 a243 0 0
0 a32 0 a43
0 a42 a43 0
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T1, T2, T4, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é
3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2
é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos
é 19. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 7. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da
subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J44
O produto na álgebra é:
J44 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 a214 a14
0 a22 a23 0
0 0 a244 0
0 0 2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 a22 a23 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: T8 ⊕ kn3.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: ke1 ⊕ kn1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T8, ke1 ⊕ kn1, kn1 ⊕ kn2
e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão
do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensãode J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-
187
cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 4. A dimensão dasubálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.
A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J45
O produto na álgebra é:
J45 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e3 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 3.O grupo de automorfismos é:
1 0 a214 a14
0 −a44 a23 0
0 0 a244 0
0 0 2a14a44 a44
,
1 0 a214 a14
0 a44 a23 0
0 0 a244 0
0 0 2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 −a44 a23 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
,
1 0 0 0
0 a44 a23 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B3⊕ke1, T4, T8, ke1⊕kn1, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical
nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. Adimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão do
grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 3.
álgebra J46
O produto na álgebra é:
J46 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 0e42
e2 0 e3 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 0
188
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B2 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ ke1, B3 ⊕ kn3, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. Adimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A
dimensão de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 4. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J47
O produto na álgebra é:
J47 e1 e2 e3 e4
e1 e1 0 e3 0
e2 0 e4 0 0
e3 e3 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a22 0 a24
0 0 a33 0
0 0 0 a222
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: B1 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ ke1, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. Adimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 2. A
dimensão de J4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da
189
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J48
O produto na álgebra é:
J48 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 0
e42
e2e22 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 a214 a14
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 a42 2a14a44 a44
,
1 a12 0 0
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, T8, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão
do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associadoré 1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J49
O produto na álgebra é:
J49 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 0
e42
e2e22 0 0 e3
e3 0 0 0 0
e4e42 e3 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.
190
O grupo de automorfismos é:
1 a12 a14(2a12 +a14) a14
0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44
,
1 a12 a14(2a12 +a14) a14
0 −a44 2(2a12 +a14)a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44
,
1 a12 0 0
0 2a42 +a44 0 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2a12a44 a44
,
1 a12 0 0
0 −a44 4a12a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2a12a44 a44
,
1 0 a214 a14
0 −a44 2a14a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2a14(a42 +a44) a44
,
1 0 a214 a14
0 2a42 +a44 2a14(2a42 +a44) 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 2a14(a42 +a44) a44
,
1 0 0 0
0 −a44 0 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 0 a44
,
1 0 0 0
0 2a42 +a44 0 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T4, T8, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do
radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 13. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J50
O produto na álgebra é:
J50 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 0
e42
e2e22 0 0 0
e3 0 0 0 e2
e4e42 0 e2 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 5.
191
O grupo de automorfismos é:
1 a12 0 a14
0 a33a44 0 0
0 −2a14a33 a33 0
0 a42 0 a44
,
1 a12 0 0
0 a33a44 0 0
0 0 a33 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T4, T7, B2 ⊕ kn2, ke1 ⊕ kn1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do
radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é0. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão de J4 é 3. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J51
O produto na álgebra é:
J51 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 0e42
e2 e2 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e2
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 −a214 0 a14
0 a244 0 0
0 0 a33 0
0 −2a14a44 0 a44
,
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T9 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T9, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e
B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensãodo centro associador é 2. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão
de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
192
álgebra J52
O produto na álgebra é:
J52 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 0e42
e2 e2 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 a214 a14
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 0 2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras de
dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, T8, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensãodo radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador
é 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensãodo grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J53
O produto na álgebra é:
J53 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 0e42
e2 e2 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4e42 0 0 e2 + e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 2.
O grupo de automorfismos é:
1 −a214 a2
14 a14
0 a244 0 0
0 0 a244 0
0 −2a14a44 2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 a244 0 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
193
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão
do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 14. A dimensão do centro associadoré 2. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 14. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J54
O produto na álgebra é:
J54 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 0
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 e2 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 0
0 a233 0 0
0 a32 a33 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra se decompõe como: T1 ⊕ kn3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T1, B1 ⊕ kn2, B3 ⊕ kn3, ke1 ⊕ kn1, B1, kn1 ⊕ kn2 e
B3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 13. A dimensãodo centro associador é 4. A dimensão de J2 é 3. A dimensão de J3 é 3. A dimensão
de J4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3.A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
194
álgebra J55
O produto na álgebra é:
J55 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3e42
e2 e2 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a214 a14
0 a22 a23 0
0 0 a244 0
0 0 −2a14a44 a44
,
1 0 0 0
0 a22 a23 0
0 0 a244 0
0 0 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T2, B3 ⊕ kn3, T9, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 2. A
dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 14. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 2. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J56
O produto na álgebra é:
J56 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3e42
e2 e2 e3 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 0 0 a14
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 0 a44
195
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T1, B3 ⊕ kn3, T6, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical
nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 2. Adimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do
grupo de 2-cociclos é 15. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J57
O produto na álgebra é:
J57 e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3e42
e2 e2 e3 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
1 0 −a214 a14
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 −2a14a22 a22
,
1 0 −a214 a14
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 2a14a22 −a22
,
1 0 0 0
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 0 −a22
,
1 0 0 0
0 a22 a23 0
0 0 a222 0
0 0 0 a22
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T1, T4, T9, B1, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é3. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2
é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 14. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
196
álgebra J58
O produto na álgebra é:
J58 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 e3
e42
e2e22 0 0 0
e3 e3 0 0 0
e4e42 0 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 −a214 a14
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 a42 −2a14a44 a44
,
1 a12 0 0
0 a22 0 0
0 0 a244 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, T6, T9, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 1. A
dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J59
O produto na álgebra é:
J59 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 e3
e42
e2e22 0 0 e3
e3 e3 0 0 0
e4e42 e3 0 e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 −a14(2a12 +a14) a14
0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44
,
197
1 a12 −a14(2a12 +a14) a14
0 −a44 −2(2a12 +a14)a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2(a12a44 +a14(a42 +a44)) a44
,
1 a12 0 0
0 2a42 +a44 0 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2a12a44 a44
,
1 a12 0 0
0 −a44 −4a12a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2a12a44 a44
,
1 0 −a214 a14
0 −a44 −2a14a44 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2a14(a42 +a44) a44
,
1 0 −a214 a14
0 2a42 +a44 −2a14(2a42 +a44) 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 −2a14(a42 +a44) a44
,
1 0 0 0
0 −a44 0 2a44
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 0 a44
,
1 0 0 0
0 2a42 +a44 0 0
0 0 a44(2a42 +a44) 0
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. É uma álgebra rígida. A álgebra é inde-
componível. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, T6, T9, B1, B2, kn1 ⊕ kn2 e B3. Adimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro
associador é 1. A dimensão de J2 é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4.A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A
dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 0. A dimensão da subálgebra associa-tiva maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J60
O produto na álgebra é:
J60 e1 e2 e3 e4
e1 e1e22 e3
e42
e2e22 0 0 0
e3 e3 0 0 e2
e4e42 0 e2 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 5.
O grupo de automorfismos é:
1 a12 0 a14
0 a33a44 0 0
0 2a14a33 a33 0
0 a42 0 a44
,
1 a12 0 0
0 a33a44 0 0
0 0 a33 0
0 a42 0 a44
198
A dimensão do aniquilador da álgebra é 0. A álgebra é indecomponível. Subálgebras dedimensão 2 e 3: T4, T6, T7, B1, B2, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é
3. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de J2
é 4. A dimensão de J3 é 4. A dimensão de J4 é 4. A dimensão do grupo de 2-cociclos
é 12. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 1. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J61
O produto na álgebra é:
J61 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 e4 0
e2 e3 e4 0 0
e3 e4 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 4.O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
0 a211 2a11a12 a2
12 + 2a11a13
0 0 a311 3a2
11a12
0 0 0 a411
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é 4.A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2 é
3. A dimensão de J3 é 2. A dimensão de J4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 4. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J62
O produto na álgebra é:
J62 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 e2
199
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 3.
O grupo de automorfismos é:
a11 0 a13 0
0 a211 0 0
0 0 a311 0
0 0 a43 −a11
,
a11 0 a13 0
0 a211 0 0
0 0 a311 0
0 0 a43 a11
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T3, T4, B3⊕kn3, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotenteé 4. A dimensão da órbita é 13. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2
é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 13. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 3. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J63
O produto na álgebra é:
J63 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 e3
e3 0 0 0 0
e4 0 e3 0 −e2 − e3
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 4. A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível.Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3, T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do
radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é2. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 4. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
200
álgebra J64
O produto na álgebra é:
J64 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 e3
e3 0 0 0 0
e4 0 e3 0 −e2
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-
fismos é 5.
O grupo de automorfismos é:
a44 −a42 a13 a41
0 −a241 +a2
44 −2a42(a41 +a44) 0
0 0 −(a41 −a44)(a41 +a44)2 0
a41 a42 a43 a44
,
a44 −a42 a13 0
0 a244 −2a42a44 0
0 0 a344 0
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T3, T4, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 4. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 2. A
dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 17. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 6. A dimensão da subálgebra associativa maximal é3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 3.
álgebra J65
O produto na álgebra é:
J65 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 e3
e3 0 0 0 0
e4 0 e3 0 0
É uma álgebra não associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 4.
201
O grupo de automorfismos é:
a11 0 a13 a14
0 a211 0 0
0 0 a211(a11 +a14) 0
0 0 a43 a11 +a14
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: T3, T4, B3⊕kn3, kn1⊕kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente
é 4. A dimensão da órbita é 12. A dimensão do centro associador é 2. A dimensão de J2
é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos
é 16. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 12. A dimensão do segundo grupo deCohomologia é 4. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
álgebra J66
O produto na álgebra é:
J66 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 e3
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 5.O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
0 a211 2a11a12 +a2
14 0
0 0 a311 0
0 −√a11a14 a43 a
3/211
,
a11 a12 a13 a14
0 a211 2a11a12 +a2
14 0
0 0 a311 0
0√a11a14 a43 −a
3/211
A dimensão do aniquilador da álgebra é 1. A álgebra é indecomponível. Subálgebras
de dimensão 2 e 3: T3, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical nilpotente é4. A dimensão da órbita é 11. A dimensão do centro associador é 4. A dimensão de J2
é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclosé 19. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 11. A dimensão do segundo grupo de
Cohomologia é 8. A dimensão da subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão dasubálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula maximal é 2.
202
álgebra J67
O produto na álgebra é:
J67 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 e3
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 6.
O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
0 a211 2a11a12 0
0 0 a311 0
0 0 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: T3 ⊕ kn4.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: T3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3 e kn1 ⊕ kn2. A dimensão doradical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é
4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 1. A dimensão de J4 é 0. A dimensãodo grupo de 2-cociclos é 21. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 11. A dimensão da subálgebra associativa maximal é4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 3.
álgebra J68
O produto na álgebra é:
J68 e1 e2 e3 e4
e1 e2 e3 0 0
e2 e3 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 e3
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 6.
O grupo de automorfismos é:
0 a12 a13 a14
0 0 0 a213
a31 a32 0 a34
0 a231 0 0
,
a11 a12 0 a14
0 a211 0 0
0 a32 a33 a34
0 0 0 a233
203
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ B3.Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radical
nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 10. A dimensão do centro associador é 4. Adimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 0. A dimensão de J4 é 0. A dimensão do
grupo de 2-cociclos é 22. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 10. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 12. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 2.
álgebra J69
O produto na álgebra é:
J69 e1 e2 e3 e4
e1 e2 0 e4 0
e2 0 0 0 0
e3 e4 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 7.
O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
0 a211 0 2a11a13
0 a32 a33 a34
0 0 0 a11a33
A dimensão do aniquilador da álgebra é 2. A álgebra é indecomponível. Subálgebrasde dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do
radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 9. A dimensão do centro associador é4. A dimensão de J2 é 2. A dimensão de J3 é 0. A dimensão de J4 é 0. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 24. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 15. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 3.
204
álgebra J70
O produto na álgebra é:
J70 e1 e2 e3 e4
e1 e2 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 e2
e4 0 0 e2 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automor-fismos é 7. A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra é indecomponível.
Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3. A dimensão do radicalnilpotente é 4. A dimensão da órbita é 9. A dimensão do centro associador é 4. A
dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 0. A dimensão de J4 é 0. A dimensão dogrupo de 2-cociclos é 28. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão do
segundo grupo de Cohomologia é 19. A dimensão da subálgebra associativa maximal é4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nula
maximal é 2.
álgebra J71
O produto na álgebra é:
J71 e1 e2 e3 e4
e1 e2 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 e2 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 8.O grupo de automorfismos é:
−a33 a12 a31 a14
0 a231 +a2
33 0 0
a31 a32 a33 a34
0 a42 0 a44
,
a33 a12 −a31 a14
0 a231 +a2
33 0 0
a31 a32 a33 a34
0 a42 0 a44
,
−a33 a12 0 a14
0 a233 0 0
0 a32 a33 a34
0 a42 0 a44
,
a33 a12 0 a14
0 a233 0 0
0 a32 a33 a34
0 a42 0 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: T4 ⊕ kn4
. Subálgebras de dimensão 2 e 3: T4, B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3.
A dimensão do radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 8. A dimensão docentro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 0. A dimensão
205
de J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 31. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 23. A dimensão da
subálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4.A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J72
O produto na álgebra é:
J72 e1 e2 e3 e4
e1 e2 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-
mos é 10.O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
0 a211 0 0
0 a32 a33 a34
0 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 3. A álgebra se decompõe como: B3 ⊕ kn3 ⊕kn4. Subálgebras de dimensão 2 e 3: B3 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 ⊕ kn3, kn1 ⊕ kn2 e B3.A dimensão do radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 6. A dimensão do
centro associador é 4. A dimensão de J2 é 1. A dimensão de J3 é 0. A dimensãode J4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 34. A dimensão do grupo de 2-
cobordos é 6. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia é 28. A dimensão dasubálgebra associativa maximal é 4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4.
A dimensão da subálgebra nula maximal é 3.
álgebra J73
O produto na álgebra é:
J73 e1 e2 e3 e4
e1 0 0 0 0
e2 0 0 0 0
e3 0 0 0 0
e4 0 0 0 0
É uma álgebra associativa, não possui unidade. A dimensão do grupo de automorfis-mos é 16.
206
O grupo de automorfismos é:
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
A dimensão do aniquilador da álgebra é 4. A álgebra se decompõe como: kn1 ⊕ kn2 ⊕kn3 ⊕kn4. Subálgebras de dimensão 2 e 3: kn1⊕kn2 ⊕kn3 e kn1⊕kn2. A dimensão
do radical nilpotente é 4. A dimensão da órbita é 0. A dimensão do centro associadoré 4. A dimensão de J2 é 0. A dimensão de J3 é 0. A dimensão de J4 é 0. A dimensão
do grupo de 2-cociclos é 40. A dimensão do grupo de 2-cobordos é 0. A dimensão dosegundo grupo de Cohomologia é 40. A dimensão da subálgebra associativa maximal é
4. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 4. A dimensão da subálgebra nulamaximal é 4.
207
C I NFORMAÇÕES SOBRE AS ÁLGEBRAS DE JOR-
DAN REA I S DE D IMENSÃO 3
Lembramos que as álgebras de Jordan reais de dimensão 3, T ′i, foram obtidas na Seção
3.2 e que as álgebras de Jordan reais de dimensão 2 indecomponíveis são:
Tabela C.1: R-álgebras de Jordan indecomponíveis de dimensão 2
B ′ Tabela de Multiplicação
B ′1 e21 = e1 e1n1 = n1 n2
1 = 0
B ′2 e21 = e1 e1n1 = 1
2n1 n2
1 = 0
B ′3 n2
1 = n2 n1n2 = 0 n22 = 0
B ′4 e21 = e1 e1e2 = e2 e22 = −e1
álgebra T ′1
A dimensão da órbita é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 0. A dimensão
do aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. Adimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. A
dimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão do segundo grupo de Cohomologiaé 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativa
maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra associativa, unitária, semisimples. A
álgebra se decompõe como: Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2.
álgebra T ′2
A dimensão da órbita é 9. A dimensão do grupo de automorfismos é 0. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 9. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
209
é 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra associativa, unitária, semisimples. Aálgebra se decompõe como: B ′
4 ⊕ Re3. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2 e B ′4.
álgebra T ′3
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′
4 e B ′1.
álgebra T ′4
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensão
do aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. Adimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. A
dimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologiaé 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativa
maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.
Subálgebras de dimensão 2: B ′4.
álgebra T ′5
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensão
do aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. Adimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. A
dimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologiaé 0. A dimensão do radical nilpotente é 0. A dimensão da subálgebra associativa
210
maximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 0. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 0. É uma álgebra unitária, semisimples, indecomponível.
Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2.
álgebra T ′6
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensão
do aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 2. Adimensão de T3 é 2. A dimensão de T4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. A
dimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologiaé 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativa
maximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão dasubálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:
Re1 ⊕ Re2 ⊕ Rn1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2 e Re1 ⊕ Rn1.
álgebra T ′7
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 7. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 0. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. A álgebra se decompõe como: B ′2 ⊕ Re2. Subálgebras de
dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, Re1 ⊕ Rn1 e B ′2.
álgebra T ′8
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da
211
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra unitária, indecomponível. Subálgebras dedimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′
1 e B ′2.
álgebra T ′9
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativa maxi-mal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da subálgebra
nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, unitária. A álgebra se decompõe como:B ′
1 ⊕ Re2. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Re2, B ′1 e Re1 ⊕ Rn1.
álgebra T ′10
A dimensão da órbita é 8. A dimensão do grupo de automorfismos é 1. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 2. A
dimensão de T3 é 2. A dimensão de T4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 8. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:B ′
4 ⊕ Rn1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′4.
álgebra T ′11
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 1. A dimensão do radical nilpotente é 1. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 1. A dimensão da
212
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra unitária, indecomponível. Subálgebras dedimensão 2: B ′
1 e B ′4.
álgebra T ′12
A dimensão da órbita é 3. A dimensão do grupo de automorfismos é 6. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 0. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 3. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 3. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 0. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′
2.
álgebra T ′13
A dimensão da órbita é 5. A dimensão do grupo de automorfismos é 4. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 5. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 7. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, unitária, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′
1 e Rn1 ⊕ Rn2.
álgebra T ′14
A dimensão da órbita é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 3. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 2. A
dimensão de T3 é 2. A dimensão de T4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 6. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 3. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
213
subálgebra nula maximal é 2. A álgebra se decompõe como: B ′2 ⊕Rn2. Subálgebras de
dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1, Rn1 ⊕ Rn2 e B ′2.
álgebra T ′15
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 2. A
dimensão de T3 é 2. A dimensão de T4 é 2. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:B ′
1 ⊕ Rn2. Subálgebras de dimensão 2: B ′1, Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2.
álgebra T ′16
A dimensão da órbita é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 3. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 6. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: B ′
1, Rn1 ⊕ Rn2 e B ′2.
álgebra T ′17
A dimensão da órbita é 5. A dimensão do grupo de automorfismos é 4. A dimensãodo aniquilador é 2. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 1. A
dimensão de T3 é 1. A dimensão de T4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 11. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 5. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 6. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
214
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:Re1 ⊕ Rn1 ⊕ Rn2. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e Rn1 ⊕ Rn2.
álgebra T ′18
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, unitária, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′
1 e B ′3.
álgebra T ′19
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 8. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 1. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′
3.
álgebra T ′20
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 0. A dimensão do centro associador é 1. A dimensão de T2 é 3. A
dimensão de T3 é 3. A dimensão de T4 é 3. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 7. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 0. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 2. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
215
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra indecomponível. Subálgebras de dimensão2: B ′
1 e B ′3.
álgebra T ′21
A dimensão da órbita é 7. A dimensão do grupo de automorfismos é 2. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 2. A
dimensão de T3 é 1. A dimensão de T4 é 1. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 7. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 2. A dimensão do radical nilpotente é 2. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 2. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa. A álgebra se decompõe como:B ′
3 ⊕ Re1. Subálgebras de dimensão 2: Re1 ⊕ Rn1 e B ′3.
álgebra T ′22
A dimensão da órbita é 0. A dimensão do grupo de automorfismos é 9. A dimensãodo aniquilador é 3. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 0. A
dimensão de T3 é 0. A dimensão de T4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 18. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 0. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 18. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 3. É uma álgebra associativa, nilpotente. A álgebra sedecompõe como: Rn1 ⊕ Rn2 ⊕ Rn3. Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2.
álgebra T ′23
A dimensão da órbita é 6. A dimensão do grupo de automorfismos é 3. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 2. A
dimensão de T3 é 1. A dimensão de T4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 9. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 6. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 3. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
216
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2.
álgebra T ′24
A dimensão da órbita é 5. A dimensão do grupo de automorfismos é 4. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 1. A
dimensão de T3 é 0. A dimensão de T4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 5. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 7. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 1. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: B ′
3.
álgebra T ′25
A dimensão da órbita é 4. A dimensão do grupo de automorfismos é 5. A dimensãodo aniquilador é 2. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 1. A
dimensão de T3 é 0. A dimensão de T4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 14. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 4. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 10. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente. A álgebra sedecompõe como: B ′
3 ⊕ Rn3. Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′3.
álgebra T ′26
A dimensão da órbita é 5. A dimensão do grupo de automorfismos é 4. A dimensãodo aniquilador é 1. A dimensão do centro associador é 3. A dimensão de T2 é 1. A
dimensão de T3 é 0. A dimensão de T4 é 0. A dimensão do grupo de 2-cociclos é 12. Adimensão do grupo de 2-cobordos é 5. A dimensão do segundo grupo de Cohomologia
é 7. A dimensão do radical nilpotente é 3. A dimensão da subálgebra associativamaximal é 3. A dimensão da subálgebra nilpotente maximal é 3. A dimensão da
217
subálgebra nula maximal é 2. É uma álgebra associativa, nilpotente, indecomponível.Subálgebras de dimensão 2: Rn1 ⊕ Rn2 e B ′
3.
218
REFERÊNC IAS B IBL IOGRÁF ICAS
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222
Í ND ICE REMISS IVO
2-cobordos, 18
2-cociclo, 18
equivalentes, 18
a-homótopa, 134
a-isótopa, 134
a-multiplicação, 134
n-espaço afim, 59
álgebra, 8
analiticamente rígida, 66
associativa, 9
nilpotente, 11
de composição, 10
de divisão, 134
de Jordan, 8
de uma forma bilinear simétrica,
9
especial, 9
excepcional, 9
ideal, 8
subálgebra, 8
de multiplicação, 14
geometricamente rígida, 71
infinitesimalmente rígida, 66
nilpotente, 11
rígida, 71
semissimples, 12
separável, 12
simples, 12
central, 12
unitária, 10
órbita, 62
índicede nilpotência, 11
adjunção formal, 10
analiticamente rígida, 66
aniquilador, 23
anulador, 58
associador, 8
bimódulo de Jordan, 18
centro associativo, 82
centroide, 14
cobordos, 18
cociclo, 18
componentesde Peirce, 16
conjunto algébrico, 58
constantesestruturais, 68
decomposiçãode Peirce, 16
deformação, 70
a um parâmetro, 63
trivial, 64
trivial, 70
deformaçõesequivalentes, 65
diferencial, 64
dimensão, 60
elementoidempotente, 15
223
inverso, 133
invertível, 133
trivial, 134
espaço afim, 59
estabilizador, 62
excepcional, 9
extensão
cinde, 19
de álgebras, 19
nula, 19
extensão escalar, 11
extensões
equivalentes, 19
função polinomial, 58
função regular, 59
geometricamente rígida, 71
grupode estrutura, 135
grupo algébrico, 61
ação, 62
morfismo, 61
homótopa, 134
homotopia, 134
ideal, 8
idempotente
próprio, 15
idempotentes ortogonais, 15
identidade, 10
identidade de Jordan, 8
infinitesimalmente rígida, 66
integrável, 64
involução, 9
padrão, 10
irredutível, 59
isótopa, 134
isotópicas, 134
isotopia, 134
localmente fechado, 59
morfismo, 60
nil-índice, 11
nilpotente, 11
operadorde multiplicação, 14
parte semissimples, 12
ponto genérico, 60
potência, 11
produto
de Kronecker, 11
produto triplo de Jordan, 134
rígidaanaliticamente, 66
geometricamente, 71
infinitesimalmente, 66
radical, 12
nilpotente, 12
série central inferior, 11
segundo grupo de cohomologia, 18
subálgebra, 8
subvariedade, 59
tipo de nilpotência, 12
topologia de Zariski, 59
transporte de estrutura, 69
unidade, 10
unitária, 10
variedade, 59
afim, 60
algébrica, 59
das álgebras de Jordan, 69
224
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