Curso de Desenhista para Construção Civil

Construções Geométricas

Diâmetro - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro.

Semicircunferência

Diâmetro

A circunferência:

Raio - é o segmento de recta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.

Corda - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência sem intersectar o centro.

Arco de circunferência - é uma qualquer porção da circunferência.

Semicircunferência - é a porção da circunferência limitada pelo centro.

Diâmetro - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro.

Divisão de um ângulo em 2 partes iguais: (Bissectriz do ângulo)

1º - Com uma abertura qualquer do compasso e centro no vértice V, traça o arco AB.

A

3º - Unindo o ponto C e o vértice V traçamos a recta bissectriz do ângulo, que o divide em 2 partes iguais

C

2º - com um raio superior à metade entre os pontos A e B traça 2 arcos, com centro nesses 2 pontos, que se intersectam no ponto C.

V B

A

Construção de uma perpendicular a uma recta

1º - Sobre a recta marca o ponto F. Com uma abertura qualquer do compasso, e centro em F, marca os pontos A e B sobre a recta.

2º - Abre o compasso mais do que a metade da distância entre os pontos A e B e desenha 2 arcos de circunferência com centro

nesses 2 pontos.

3º - Traça a recta que une o ponto C ao ponto F. É a recta perpendicular.

A B F

C

1º - Sobre a recta marca o ponto F. Com uma abertura qualquer do compasso, e centro em F, marca os pontos A e B sobre a recta.

Divisão de um segmento de recta em 2 partes iguais:

1º - fazendo centro com o compasso em A e abertura do compasso maior que a metade do segmento de recta [ AB ], traçamos um arco.

A B

3º - Unir o ponto C ao D e obtemos a perpendicular ao segmento [ AB ], que passa pelo centro (ponto E).

C

D

2º - com a mesma abertura do compasso, repetimos a operação no ponto B e obtemos 2 arcos que se cruzam entre si nos pontos C e D.

E

[ AE ] = [ EB ]

Divisão de um segmento de recta em 4 partes iguais:

A B

C

D [ AK ] = [ KE ] = [ EJ ] = [ JB ]

E

F

G

H

I

J K

1º - Repetir a operação, que tínhamos realizado na divisão de um segmento de recta em 2 partes iguais.

2º - Dividir do mesmo modo, o segmento de Recta [AE] e [EB] em 2 partes iguais.

Construção de um triângulo equilátero

1º - Desenhar uma circunferência de centro O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal AB.

A B O

C

2º - fazendo centro em B, abertura até O, traça um arco que corte a circunferência nos pontos C e D.

3º - Unir os pontos C com D, A com C e A com D e obtemos o triângulo equilátero.

Triângulo Equilátero = [ACD]

D

Construção de um Quadrado inscrito numa circunferência

1º - construção da circunferência de centro O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal AB.

A B O

C

2º - Dividir o segmento AB (diâmetro) em 2 partes iguais e obtemos os pontos C e D.

3º - Unir os pontos A com C, C com B, B com D e D com A e obtemos o quadrado.

D

Quadrado = [ACBD]

Construção de um Pentágono inscrito numa circunferência

1º - Construção da circunferência de centro O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal AB.

A B O

2º - Dividir o segmento AB (diâmetro) em 2 partes iguais e obtemos os pontos C e D.

7º - Com a mesma abertura descrever um arco de E até H e de F até G e depois unir E com H, F com G e H com G. Pentágono = [ECFGH]

C

1

D

E F

G H

2

3º - Dividir o segmento OB (raio) em 2 partes iguais e obtemos o ponto 1.

4º - Abrir o compasso de 1 até C e descrever um arco até 2.

5º - Abrir o compasso de C até 2 e descrever um arco até E.

6º -Unir E a C, e com a mesma abertura descrever um arco de C até F e unir estes 2 pontos

Construção de um Hexágono inscrito numa circunferência.

1º - Desenhar uma circunferência de centro O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal AB.

A B O

C

2º - fazendo centro com o compasso em A, abertura até O, traça um arco que corte a circunferência nos pontos C e D. Procede do mesmo modo para o ponto B e encontrarás os pontos E e F.

3º - Unir os pontos A, C, E, B, F, D e A e obtemos o Hexágono.

Hexágono = [ACEBFD]

F

E

D

Construção de um Hexágono Estrelado inscrito numa circunferência.

1º - Desenhar uma circunferência de centro O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal AB.

A B O

C

2º - fazendo centro com o compasso em A, abertura até O, traça um arco que corte a circunferência nos pontos C e D. Procede do mesmo modo para o ponto B e encontrarás os pontos E e F.

3º - Unir os pontos A com E, A com F, E com F, C com B, C com D e D com B, e obtemos o Hexágono estrelado.

Hexágono Estrelado= [ACEBFD]

F

E

D

Construção de um Octógono inscrito numa circunferência

1º - construção da circunferência de centro

O, com 3 cm de raio, traçar o seu diâmetro horizontal [ AB ].

A B O

C 2º - Dividir o segmento [ AB ]

(diâmetro) em 2 partes iguais e

obtemos os pontos C e D.

D

Octógono = [AGCFBHDE]

1 2

3 4

G F

H E

3º -Abrir o compasso de B até O e

descrever um semi-arco. 4º -Abrir o compasso de C até O e

descrever um semi-arco. Também

de A até O e de D até O . Onde

estes semi-arcos se cruzarem temos

os pontos 1, 2, 3 e 4. 5º -Unir 1 com 3 e 2 com 4, que ao

cruzarem a circunferência vamos

ter os pontos G, F, H, e E. 6º -Unir A, G, C, F, B, H, D, E e A.

Determinar o centro de um arco de círculo dado.

1º - Marcam-se sobre o arco 3 pontos arbitrários: como conseqüência se tem duas cordas.

2º - A seguir se traçam as mediatrizes das mesmas, que se cruzam no ponto O, centro da circunferência que contém o arco. 3º A distância do centro O a qualquer ponto da circunferência é o raio R da mesma

O

R

Traçar um a circunferência que passe por três pontos dados (não colineares).

1º - Marcam-se 3 pontos arbitrários não colineares e traçam-se as duas cordas unindo estes pontos.

2º - A seguir se traçam as mediatrizes das mesmas, que se cruzam no ponto O, centro da circunferência, já podemos traçar o arco fazendo centro em O e distância raio R.

O

R

Tangentes e Concordâncias

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Chamamos de concordância de duas linhas curvas ou de um segmento

de reta com uma curva, à ligação entre elas, executada de tal forma, que

se possa passar de uma para outra, sem ângulo, inflexão, nem solução

de continuidade.

Para se fazer a concordância de um segmento de reta, é necessário que o

ponto de concordância e o centro do arco, estejam sobre uma mesma

perpendicular.

O

A

CONCORDÂNCIA DE RETA COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA

16

O

CONCORDAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA COM UM SEGMENTO DE RETA DADO, PASSANDO PELO PONTO P.

1. Seja dado o segmento de reta AB e o ponto P .

P

B A

2. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B.

3. Une-se o ponto P ao ponto B.

4. Traça-se a mediatriz do segmento PB.

5. Onde a mediatriz do segmento PB se cruzar com a perpendicular obtém-se o centro “O”

6. Com centro em O abertura OB ou OP descreve-se arco de circunferência concordando com o segmento de reta.

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5. Com centro em O abertura OB ou OD descreve-se arco de circunferência concordando com os dois segmentos de reta.

CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS COM UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA.

1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.

O

B A

D C

2. Traça-se uma perpendicular a estes segmentos unindo o ponto B ao ponto D.

3. Traça-se a mediatriz do segmento BD.

4. Onde a mediatriz do segmento BD se cruzar com a perpendicular obtém-se o centro “O”.

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8. Com centro em O´ abertura O´E descreve-se o arco EC, concordando assim os segmentos AB e CD.

CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS ORIENTADOS EM SENTIDOS CONTRÁRIOS, QUE NÃO TEM SUAS EXTREMIDADES

NUMA MESMA PERPENDICULAR COM DOIS ARCOS DE RAIOS IGUAIS.

O

O´

E

C D

B A

1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.

2. Une-se o ponto B ao ponto C.

4. Traça-se a mediatriz do segmento BC, obtendo sobre este o ponto E.

5. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos BE e EC.

7. Com centro em O abertura OB descreve-se o arco BE.

3. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B e uma outra pela extremidade C.

6. Onde a mediatriz do segmento BE se cruzar com a perpendicular traçada em B obtém-se o

centro “O”, onde a mediatriz do segmento EC se cruzar com a perpendicular traçada em C

obtém-se o centro “O´”.

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CONCORDAR DUAS RETAS PERPENDICULARES ENTRE SI COM UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO.

1. Sejam dados os segmentos de reta AC e CB e

o raio do arco R.

O´

A

C B

R

E

D

2. Centro em C abertura igual ao raio dado descreve-se um arco de circunferência obtendo sobre os segmentos de reta os pontos D e E

3. Traçam-se perpendiculares passando pelo ponto D e E, onde estas perpendiculares se cruzarem obtém-se o centro “O”.

4. Com centro “O” abertura OD ou OE descreve-se um arco de circunferência, concordando os dois segmento de retas dados.

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6. Com centro “O” abertura OE ou OF descreve-se um arco de circunferência, concordando os dois segmento de retas dados.

CONCORDAR DUAS RETAS CONVERGENTES COM UM ARCO DE

CIRCUNFERÊNCIA, CONHECENDO-SE O SEU VÉRTICE E O RAIO

(ÂNGULO OBTUSO).

1. Sejam dados os segmentos de reta AV e VB ou seja, o ângulo AVB.

2. Traça-se a bissetriz do ângulo AVB.

4. Traça-se uma paralela a AV passando pelo ponto D e cortando a bissetriz em “O”.

O

R

B

V A

C

D

R

E

F

3. Por um ponto qualquer de AV traça-se uma perpendicular marcando sobre esta o comprimento CD igual ao raio dado.

5. Traçam-se perpendiculares aos segmentos AV e VB passando pelo ponto “O” e obtendo os pontos E e F.

21

Começamos por representar o

segmento de reta definido pelo

centro da circunferência e pelo

ponto dado.

Posteriormente determinamos o

ponto médio desse segmento de

reta.

Com centro no ponto médio obtido

e abertura até ao centro da

circunferência traçamos um arco de

circunferência que intersecta a

circunferência dada nos pontos de

tangencia das retas pretendidas.

Se pelo ponto dado e por cada um

dos pontos de tangencia obtidos

passarmos uma reta, obtemos as

retas tangentes pretendidas.

P

t1

t2

T1

T1

O

RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA, E QUE PASSAM NUM

DETERMINADO PONTO EXTERIOR À CIRCUNFERÊNCIA

22

Vamos determinar as TANGENTES

Começamos por passar pelo centro

da circunferência uma reta

perpendicular à reta dada.

Na intersecção desta reta com a

circunferência obtemos o ponto de

tangencia da reta pretendida. Como

a reta toca a circunferência em dois

pontos, vamos obter dois pontos de

tangencia, logo, duas retas

tangentes.

Passando agora uma reta paralela à

reta dada por cada um dos pontos de

tangencia, obtemos as retas

tangentes pretendidas.

O

90°

P

t1

r

Q

t2

RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA, PARALELAS A OUTRA

RETA DADA.

23

S1

Vamos determinar as retas tangentes a

duas circunferências.

Podemos obter dois tipos de resultados,

tangência externa S1, e tangência

interna S2, Conforme os desenhos a

seguir.

S2

S0

Ver S2 Ver S1

RETAS TANGENTES A DUAS

CIRCUNFERÊNCIAS.

24

r2

r1

r3 =

r1- r2

t1

t2

Começamos por traçar uma circunferência auxiliar com o

mesmo centro da circunferência maior, e cujo raio seja

igual à diferença entre os raios das duas circunferências

dadas.

Posteriormente traçamos um segmento de reta que tem

como extremos os centros das circunferências, e

determinamos o ponto médio desse segmento de reta.

Com centro neste ponto médio e abertura até ao centro

das circunferências, traçamos um arco de circunferência

de modo que este intersecte a circunferência auxiliar,

pelo que vamos obter dois pontos.

Passando uma reta por cada um destes pontos e pelo

centro da circunferência, onde cada uma destas retas

intersecta a circunferência maior obtemos o ponto de

tangencia das retas pretendidas com a circunferência

maior.

Passando pelo centro da circunferência menor retas

paralelas às retas anteriormente traçadas, obtemos os

pontos de tangencia na circunferência menor.

Traçando agora uma reta que passe pelo ponto de

tangencia de circunferência menor e o respectivo ponto

de tangencia da circunferência maior, obtemos uma reta

tangente às duas circunferências.

Traçando outra reta passando, respectivamente, pelos

outros dois pontos de tangencia existentes em cada uma

das circunferências, obtemos a outra reta tangente às

duas circunferências

RETAS TANGENTES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. (SOLUÇÃO 1) (TANGENCIA EXTERNA)

25

Começamos por traçar uma circunferência auxiliar com

o mesmo centro da circunferência maior, e cujo raio

seja igual à soma entre os raios das duas

circunferências dadas.

Posteriormente traçamos um segmento de reta que

tem como extremos os centros das circunferências, e

determinamos o ponto médio desse segmento de reta.

Com centro neste ponto médio e abertura até ao centro

das circunferências, traçamos um arco de

circunferência de modo que este intersecte a

circunferência auxiliar, pelo que vamos obter dois

pontos.

Passando uma reta por cada um destes pontos e pelo

centro da circunferência, onde cada uma destas retas

intersecta a circunferência maior obtemos o ponto de

tangencia das retas pretendidas com a circunferência

maior.

Passando pelo centro da circunferência menor retas

paralelas às retas anteriormente traçadas, obtemos os

pontos de tangencia na circunferência menor.

Traçando agora uma reta que passe pelo ponto de

tangencia de circunferência menor e o respectivo ponto

de tangencia da circunferência maior, obtemos uma reta

tangente às duas circunferências.

Traçando outra reta passando, respectivamente, pelos

outros dois pontos de tangencia existentes em cada

uma das circunferências, obtemos a outra reta tangente

às duas circunferências

r2

r1 r3 =

r1+ r2

t1

t

2

RETAS TANGENTES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. (SOLUÇÃO 2)

(TANGENCIA INTERNA)

26

90°

90°

Com a ponta do compasso no ponto de

intersecção das duas retas, traçamos

um arco de circunferência que

intersecte essas retas.

Nessa intersecção obtemos sobre cada

reta um ponto. Estes pontos serão os

pontos de tangencia da circunferência a

determinar com a respectiva reta.

Falta agora determinar o centro dessa

circunferência.

Se por cada um dos pontos passarmos

uma reta perpendicular à respectiva

reta, na intersecção destas está o

centro da circunferência.

Já temos o centro da circunferência e o

raio é dado pela distancia deste aos

pontos de tangencia obtidos.

Basta agora traçar a circunferência

pretendida.

CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A DUAS RETAS CONCORRENTES, QUE

SE INTERSECTAM DENTRO DOS LIMITES DO PAPEL.

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4. Onde estes arcos se cruzarem obteremos os centros O1 e O2.

5. Une-se os centros “O” e “O´” aos centros O1 e O2 obtendo os ponto A, B, C e D sobre os

arcos de centro “O” e “O´”.

O1

O2

CONCORDAR DOIS ARCOS DADOS, ATRAVÉS DE DOIS OUTROS ARCOS COM RAIO IGUAL A 25 mm.

1. Sejam dados os arcos de centro “O” e centro “O´” e o raio dos arcos concordantes.

6. Com centro em “O1” abertura igual a 25mm descreve-se o arco AB.

7. Com centro em “O2” abertura igual a 25mm descreve-se o arco CD.

3. Com centro em “O´” e abertura igual ao seu raio mais 25 mm (raio do arco concordante),

descreve-se um outro arco de circunferência.

2. Com centro em “O” e abertura igual ao seu raio mais 25 mm (raio do arco concordante),

descreve-se um arco de circunferência.

D

C

B

A

R

O

O´

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Agora vamos TRABALHAR!!!

OBRIGADA!!!

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