EnRI III Encontro de Robótica Inteligente l

14 a 20 de julho de 2006Campo Grande, MS

Anais do XXVI Congresso da SBC

Controle Preditivo de um Robo Bracejador

Subatuado Utilizando Linearizacao

Vinıcius Menezes de Oliveira1,2, Walter Fetter Lages2 ∗

1Departamento de MatematicaFundacao Universidade Federal do Rio Grande (FURG)

Av. Italia, km 8 s/n – 96.201-090 – Rio Grande – RS – Brasil

2Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS)

Av. Osvaldo Aranha, 103 – 90.035-190 – Porto Alegre – RS – Brasil

vinicius@ieee.org, w.fetter@ieee.org

Abstract. This work is focused on the motion control of an underactuatedbrachiation robot with 3 links. We present the modeling of the dynamics ofthe robot and introduce the application of the model-based predictive con-trol (MPC) using a linearized model of the system. The robot has 3 revolutejoints but only one of them is actuated, i. e., the robot has less control inputsthan degrees of freedom. The investigation of the MPC to control such asystem is due to the fact that MPC is able do deal with constraints (state orinput limitations) in a direct way, obtaining an optimal control law. Also,it is investigated the use of a linearized model for prediction of system state.Simulation results are shown for complete arm switching, as well as somedirections for future developments.

Resumo. Este trabalho esta concentrado no controle de um robo brace-jador subatuado com 3 elos. Apresenta-se o desenvolvimento do modelomatematico para a dinamica do robo e se introduz a aplicacao de controlepreditivo baseado em modelo (MPC) utilizando um modelo linearizado dosistema. O robo possui 3 juntas de revolucao, mas somente uma unica juntae atuada, isto e, o robo apresenta menos entradas de controle que graus deliberdade. A utilizacao da tecnica MPC para o controle de tal sistema da-se pelo fato de o MPC ser capaz de tratar diretamente restricoes (tantolimitacoes no estado quanto limitacooes na entrada), obtendo uma lei decontrole otima. Alem disso, investiga-se o uso de um modelo linearizadoda dinamica do sistema para a predicao do estado. Resultados obtidos emsimulacao sao apresentados para o movimento completo de troca de braco,bem como algumas consideracooes para futuros trabalhos.

1. Introducao

No inıcio da decada passada, um novo tipo de robo foi propostoem [Fukuda et al. 1991a], apresentando a capacidade de se locomover pormeio do balanco de seus bracos e corpo, tal qual se movimentam os macacos.

∗Os autores agradecem o suporte financeiro da CAPES e CEEE.

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O robo faz uso da acao da gravidade para pendular e conseguir mover-se. Oprototipo proposto apresenta 5 juntas, cada uma equipada com um atuador. Emum trabalho subsequente [Fukuda et al. 1991b], considera-se um robo com apenasdois elos (bracos), onde um metodo de controle baseado em CMAC (CerebellarModel Arithmetic Computer) e utilizado, obtendo os sinais de controle atraves deheurısticas geradas em treinamento previo. Alem disso, esse robo mais simples foiprojetado como um sistema subatuado, ou seja, ha mais graus de liberdade queentradas de controle no sistema. O controle de sistemas mecanicos subatuados e umtopico de pesquisa que tem recebido especial atencao por parte dos pesquisadores,ao longo dos ultimos anos [Oriolo and Nakamura 1991, Reyhanoglu et al. 1996,Su and Stepanenko 1999].

O robo apresentado nesse trabalho tem por objetivo a inspecao delinhas de transmissao de energia. Existem diversos trabalhos na liter-atura que consideram a utilizacao de robos para esse tipo de tarefa, en-tretanto, esse ainda e um assunto em aberto no meio academico, ex-istindo muitos assuntos a serem considerados. Alguns trabalhos importantessao [Maruyama et al. 1993, Tanaka et al. 1998, Cote et al. 2000, Aracil et al. 2002,Campos et al. 2003, de Souza et al. 2004, Rocha and Siqueira 2004]. A principalvantagem do robo proposto nesse trabalho e a sua capacidade de ultrapassar ob-staculos presentes na linha de transmissao, dada a sua estrutura de locomocao.

Nesse trabalho utiliza-se um esquema de controle MPC (Model-based Pre-dictive Control) aplicado a um robo bracejador subatuado, com tres elos: doisbracos e corpo. O esquema MPC e adotado pela sua capacidade de tratar re-stricoes e limites do sistema diretamente durante o calculo do sinal de cont-role [Camacho and Bordons 1999] e, tambem, de gerar uma lei de controle implicita-mente otima. De acordo com a ideia de tirar vantagem da forca gravitacional para omovimento do robo, supoe-se que o controle otimo gerado seja tal que faca uso efetivoda acao da gravidade. Desse modo, MPC prove um controle que, implicitamente,faz uso da forca da gravidade.

A estrategia de controle NMPC (Nonlinear Model Predictive Control e umatecnica, do ponto de vista teorico, bem desenvolvida e compreendida, e sua principaldesvantagem e que o esforco computacional requerido e muito superior a tecnicalinear. O NMPC trata diretamente um problema de otimizacao nao-linear, o quale um problema nao-convexo, com um grande numero de variaveis de decisao e ummınimo global, no caso geral, impossıvel de se calcular [Henson 1998]. A estrategiade controle utilizada nesse trabalho consiste em utilizar sucessivas linearizacoes,levando a uma descricao linear, variante no tempo, do sistema a ser consideradopelo MPC linear.

A organizacao do artigo e apresentada a seguir. Na secao 2 desse artigodesenvolve-se o modelo dinamico nao-linear para o robo proposto e a linearizacaodesse modelo utilizando Series de Taylor. Na secao 3 mostra-se o diagrama deblocos do esquema de controle MPC. Na sequencia (secao 4), alguns resultados desimulacao sao apresentados e, por fim, algumas discussoes a respeito dos resultadose do esquema de controle utilizados, alem de conclusoes iniciais sobre o trabalho,sao expostas na secao 5.

84

y0

x0

y1

x1

y2

x2

y3

x3

m1

l1

m2

l2

m3

l3

θ1

θ2

θ3

Figure 1. Robo bracejador com 3 elos.

2. Dinamica do Robo Bracejador Subatuado

O robo bracejador subatuado considerado nesse trabalho e mostrado na figura 1.Esse robo possui dois bracos e um elo atuando como um corpo, onde a carga pode sercarregada. Cada braco esta equipado com uma garra que pode segurar firmementea linha de suporte, permitindo ao robo executar seu movimento, de modo similara um robo manipulador comum. O robo movimenta-se atraves da troca de bracos,liberando o braco e segurando a linha de sustentacao em um ponto a frente. Eimportante se ter em mente que, embora o robo possua 3 juntas, somente uma unicajunta (junta 2) e atuada.

Nessa secao apresenta-se o modelo dinamico nao-linear para o robo e o mo-delo linearizado estimado, o qual esta baseado na expansao em serie de Taylor e,discretizado utilizando-se o metodo de Euler.

2.1. Modelo Dinamico Nao-linear

Os sistemas de coordenadas do robo, de acordo com a figura 1, sao determinados deacordo com a convencao de Denavit-Hartenberg. Considerando o robo bracejadorcomo um manipulador robotico de cadeia aberta, sua dinamica pode ser generica-mente dada por [Fu et al. 1987]:

D(θ)θ(t) + H(θ, θ) + G(θ) = τ − Fv (1)

Uma vez que o sistema e subatuado, torna-se conveniente definir u tal queτ = Pu, com P = [0 1 0]T . Assim, a dinamica do robo dada por (1) pode serreescrita, mais adequadamente, na forma de espaco de estado:

x = f(x, u) (2)

onde x = [θ θ]T e o vetor de estado, u e a entrada do sistema e

f(x, u) =

[

θ

D(θ)−1(Pu − Fv − H(θ, θ) − G(θ))

]

(3)

85

O desenvolvimento das equacoes do modelo dinamico para orobo utilizado nesse trabalho, de forma mais detalhada, pode ser vistoem [Oliveira and Lages 2006].

2.2. Modelo Dinamico Linearizado

O modelo linearizado em torno do ponto (xr, ur) e obtido expandindo-se o ladodireito de (2) em serie de Taylor, negligenciando termos de alta ordem, resultandoem:

x = f(xr, ur) +∂f(x, u)

∂x

∣

∣

∣

∣ x=xr

u=ur

(x − xr) +∂f(x, u)

∂u

∣

∣

∣

∣ x=xr

u=ur

(u − ur) (4)

Subtraindo-se xr = f(xr, ur) de (4) pode se escrever o modelo linear

˙x = fxx + fuu (5)

onde fx e fu sao os jacobianos de f(·, ·) em relacao a x e u, respectivamente, avaliadoem torno do ponto (xr, ur), x , x − xr e u , u − ur.

A aproximacao por diferencas de x resulta no seguinte modelo em tempodiscreto para o sistema:

x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) (6)

comA(k) = Tfx(kT ) + IeB(k) = Tfu(kT ) (7)

e onde T e o perıodo de amostragem e k e o intervalo de amostragem.

2.3. Estimacao On-line de Parametros

Pode se perceber a dificuldade em se obter as expressoes analıticas do modelo dis-cretizado, devido a necessidade de se calcular o jacobiano de f(x, u) em relacaoa x e u. Assim, propoe-se estimar A(k) e B(k), utilizando a tecnica de mınimosquadrados [Goodwin and Sin 1984]. Alem disso, as expressoes analıticas dependemdos parametros de massa e de inercia do robo, os quais sao difıceis de serem deter-minados com exatidao. Desse modo, a estimacao on-line de A(k) e B(k) poderacompensar incertezas no calculo de f(xr, ur). A figura 2 apresenta o esquema decontrole proposto.

A fim de se proceder a estimacao, e conveniente empilhar os elementos deA(k) e de B(k), alem de empilhar x(k) e u(k):

Θi(k) =

ai1(k)ai2(k)

...ai6(k)bi(k)

e φ(k) =

x1(k)x2(k)

...x6(k)u(k)

(8)

Portanto, de (6) cada estado pode ser escrito como

xi(k + 1) = φT (k)Θi(k)

86

u(k)ur(k)

u(k)

x(k)

xr(k)

θr(k)

x(k)

A(k)

B(k)

D(θr)

H(θr, θr)

G(θr)

Robo

MPCLinear

MınimoQuadradoRecursivo

++

++

+

++

-

Figure 2. Diagrama de blocos do controlador MPC linear proposto.

onde Θi(k) e o vetor de parametros desconhecidos e φ(k) e o vetor de regressaolinear.

Uma vez que os parametros Θi(k) sao desconhecidos, obtem-se as estimativasΘi(k) por meio da minimizacao da seguinte funcao objetivo:

Ji(k, Θi) =k−1∑

j=0

ρk−je2

i (j) (9)

onde ei(j) e o erro de estimacao dado por

ei(k) = xi(k + 1) − φT (k)Θi(k) (10)

e ρ e o fator de esquecimento, utilizado para ponderar a importancia de erros recentesem relacao a erros mais antigos. Geralmente, 0.9 < ρ ≤ 1.0.

Desse modo, o problema de estimacao pode ser formalmente apresentadocomo

Θi(k) = arg minΘi

Ji(k, Θi) (11)

A solucao de (11) e dada na forma recursiva por [Goodwin and Sin 1984]:

Θi(k + 1) = θi(k) + K(k)(

xi(k + 1) − φT (k)Θi(k))

(12)

K(k) =P (k)φ(k)

ρ + φT (k)P (k)φ(k)(13)

P (k + 1) =(

I − K(k)φT (k))

P (k) (14)

onde K(k) e o ganho e P (k) e a covariancia do erro de estimacao. Uma vez queΘi(k) ja foi estimado, A(k) e B(k) podem ser construıdos conforme (8).

3. Esquema de Controle MPC

Controle preditivo baseado em modelo e uma estrategia otima de controle, queutiliza o modelo para obter uma sequencia otima de controle pela minimizacao de

87

uma funcao objetivo. A cada intervalo de amostragem, o modelo e utilizado parase prever comportamento do sistema durante um horizonte de predicao. Com basenessas predicoes, a funcao objetivo e minimizada em relacao as entradas futuras decontrole, o que requer a solucao do problema de otimizacao com restricao para cadaintervalo de amostragem.

Embora a predicao e a otimizacao sejam executados sobre um horizonte fu-turo, somente os valores de entrada para o intervalo de amostragem corrente sao uti-lizados e o mesmo procedimento e repetido no proximo tempo de amostragem. Essemecanismo e conhecido como moving or recending horizon, referente ao modo comoa janela de tempo avanca de um intervalo de amostragem para o proximo. Nessasecao apresentam-se as equacoes do controle preditivo baseado em modelo (MPC) esua aplicacao no controle de um robo bracejador subatuado.

3.1. Formulacao do Problema MPC

Os elementos basicos presentes em todos os controladores preditivos baseados emmodelo sao: modelo de predicao, funcao objetivo e calculo da acao de controle. Omodelo de predicao e a parte central da estrategia MPC, devido a importancia dese predizer as saedas futuras do sistema. Nesse esquema de controle, o modelo noespaco de estado e utilizado como modelo de predicao, mas em diferentes esquemasde MPC, outros modelos sao podem ser utilizados [Camacho and Bordons 1999]. Afuncao objetivo define o criterio de otimizacao, a fim de garantir a geracao de umasequencia de controle que governe o sistema do modo desejado.

Considere um modelo generico nao-linear discreto, expresso por:

x(k + 1) = f(x(k), u(k)) (15)

onde x(k) e o vetor de estado e u(k) e o vetor de entradas de controle.

A funcao objetivo a ser minimizada assume, em geral, a seguinte forma:

Φ(k) =N

∑

j=1

xT (k + j|k)Qx(k + j|k) + uT (k + j − 1|k)Ru(k + j − 1|k) (16)

onde N e o horizonte de predicao e Q ≥ 0 e R ≥ 0 sao matrizes de ponderacao quepenalizam, respectivamente, o erro de estado e o esforco de controle.

Considerando-se o fato de que todo sistema real se encontra sob algumarestricao (por exemplo, limites fısicos), definem-se as seguintes expressoes gerais derestricao:

x(k + j|k) ∈ X , j ∈ [1, N ]

u(k + j|k) ∈ U , j ∈ [0, N ]

onde X e o conjunto convexo fechado de todos os valores possıveis para x e U e oconjunto convexo fechado de todos os valores possıveis para u. Supondo que taisrestricoes sejam lineares em relacao a x e u, pode se escrever:

Cx(k + j|k) ≤ c, j ∈ [1, N ] (17)

Du(k + j|k) ≤ d, j ∈ [0, N ] (18)

88

Assim, o problema de otimizacao, a ser resolvido a cada tempo de amostragemk, consiste em encontrar a sequencia de controle u∗ e a sequencia de estado x∗ taisque minimizem a funcao objetivo Φ(k), obedecendo as restricoes impostas, isto e:

u∗, x∗ = arg minu,x

{Φ(k)} (19)

sujeito a:

x(k|k) = x0 (20)

x(k + j|k) = f(x(k + j − 1|k), u(k + j − 1|k)), j ∈ [1, N ] (21)

Cx(k + j|k) ≤ c, j ∈ [1, N ] (22)

Du(k + j|k) ≤ d, j ∈ [0, N ] (23)

onde x0 e o valor de x no instante k.

O problema de minimizacao (19) e resolvido para cada instante deamostragem, resultando na sequencia otima de controle, dada por:

u∗ = {u∗(k|k), u∗(k + 1|k), . . . , u∗(k + N |k)} (24)

e a sequencia otima de estado e dada por:

x∗ = {x∗(k + 1|k), . . . , x∗(k + N |k)} (25)

com um custo otimo Φ∗(k). Assim, a lei de controle definida pelo MPC e implicita-mente dada pelo primeiro termo da sequencia otima de controle:

h(δ) = u∗(k|k) (26)

onde h(δ) e contınua durante o intervalo de amostragem T .

3.2. Controle do Robo Bracejador Utilizando Linearizacao

A funcao objetivo leva em consideracao a posicao cartesiana do efetuador final dorobo, em vez de considerar diretamente as coordenadas de junta, pois o robo devealcancar a barra horizontal de sustentacao (y = 0), independentemente da configu-racao das juntas. E importante salientar o fato de o robo nao ser completamenteatuado. Assim a funcao objetivo e dada por:

Φ(t) =N

∑

j=1

XT (k + j|k)QX(k + j|k) + uT (k + j − 1|k)Ru(k + j − 1|k) (27)

onde X = [x y]T e o vetor de coordenadas cartesianas, Q e uma matriz 2 × 2 e R eum escalar real.

O MPC trata as restricoes do sistema, dadas pelas equacoes (17) e (18) e,alem do fato de o robo ser um sistema mecanico subatuado, a entrada de controlepossui limites maximo e mınimo, expressos por:

−τmax ≤ τ ≤ τmax (28)

com τmax = 30Nm. Ainda, restringe-se o angulo de junta dentro do intervalo:

−π ≤ θmax ≤ π (29)

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4. Resultados de Simulacao

O objetivo desse trabalho e investigar o uso do MPC para o controle de um robobracejador subatuado. O robo movimenta-se pela troca de bracos, de modo semel-hante ao movimento de um macaco ao pular de galho em galho. Inicialmenteposicionou-se o robo com θ1 = −π, θ2 = 0 e θ3 = 0, com velocidades nulas. Nessetrabalho simula-se o robo movendo-se de uma posicao inicial a uma posicao avancadaao longo do eixo X, e a garra deve alcancar a barra de sustentacao. O horizontede predicao N = 2 e utilizado, com um intervalo de amostragem de T = 0, 01s. Amatriz de ganho Q utilizada foi Q = diag(5, 150) e R = 1.0.

0 5 10 15−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Tempo (s)

Posic

ao d

e Ju

nta

(rd)

Θ1

Θ2

Θ3

Figure 3. Posicao angular de cada junta.

−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Trajetoria no Plano−XY

Distancia X (m)

Dist

ancia

Y (m

)

Figure 4. Trajetoria no plano-XY.

Figura 3 apresenta a posicao angular de cada uma das juntas do robo aolongo do movimento e na figura 4 pode se visualizar trajetoria realizada pelo robono plano XY . O unico torque externo aplicado ao sistema, na junta 2, e mostradona figura 5.

5. Conclusoes e Trabalhos Futuros

Esse trabalho considera a aplicacao da tecnica de Controle Preditivo baseado emModelo (MPC) para o controle de movimento de um robo bracejador subatuadocom 3 elos. Com base nos resultados apresentados, e possıvel observar que o roboe capaz de soltar sua mao da barra de sustentacao e segura-la, novamente, em uma

90

0 1 2 3 4 5 6 7−20

−10

0

10

20

30

40

50

Tempo (s)

Torq

ue J

unta

2 (N

m)

Figure 5. Torque aplicado na junta 2.

posicao mais a frente. Alem disso, mostra-se que o robo executa varios ciclos demovimento. Atencao especial foi dispensada a acao da forca gravitacional, de modoa tentar reduzir o torque externo aplicado ao sistema, com o objetivo de maximizaro tempo de autonomia do robo. Tem-se como objetivo, na continuidade do trabalho,comparar o esforco computacional requerido pelas abordagens linear e nao-linear docontrole preditivo baseado em modelo. Planeja-se uma implementacao em tempo-real e, alem disso, uma analise mais detalhada sobre as restricoes existentes nosistema deve ser desenvolvida.

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