Construção gráficos

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

EM PAPEL

MILIMETRADO

MONO-LOG

DI-LOG

Prof. Luiz Roberto Marim

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Instituto Mauá de Tecnologia

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CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO, MONO-LOG E DI-LOG

Um gráfico é uma representação geométrica de uma determinada função. Cada função tem um gráfico característico e único. Por exemplo, toda função do tipo y = a.x + b (função de primeiro grau) terá como representação gráfica uma reta. A representação gráfica por meio de diagramas cartesianos utilizando o papel milimetrado, mono-log ou di-log, permite a visualização do tipo de relação entre as grandezas envolvidas. Para tanto, deve-se levar em conta o tamanho do papel disponível, de modo que o gráfico ocupe maior área possível desse papel. Assim é importante construir uma escala que ajude a dimensionar o papel de acordo com as grandezas que serão representadas no gráfico. O gráfico confeccionado à mão é o meio mais indicado para as primeiras aulas de laboratório. Num segundo momento o aluno poderá utilizar softwares geradores de gráficos, que certamente facilitarão a tarefa de extração de informações. Todo gráfico deve ter os seguintes itens:

Eixos

Grandezas e Unidades

Escalas

Título

EIXOS A forma usual é se colocar a variável independente no eixo das abcissas (eixo horizontal, eixo x) e a variável dependente no eixo das ordenadas (eixo vertical, eixo y). A inversão dessas variáveis não torna o gráfico errado, no entanto, seu uso é desaconselhável, pois introduz dificuldades desnecessárias. Os eixos devem ser explicitamente desenhados. Cada eixo deve conter o nome (ou símbolo) da grandeza representada e sua unidade correspondente, assim como a escala de leitura. A seguir podemos observar duas maneiras de representação dos eixos. A primeira mostra um eixo coordenado através de uma seta indicativa apontando no sentido crescente do eixo. Na segunda forma as setas não aparecem e o sentido crescente deve ser entendido através da posição da grandeza e também dos valores das escalas.

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GRANDEZAS E UNIDADES A grandeza deverá ser representada pelo nome, ou abreviação, colocado em cada eixo. Logo após os nomes das grandezas são colocadas as respectivas unidades, que são colocadas entre parênteses.

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ESCALA A marcação da escala em cada eixo dever ser feita antes da colocação dos pontos no gráfico. Os pontos a serem marcados no gráfico não devem ser anotados nos eixos, isso polui o gráfico e não trás nenhum benefício.

TÍTULO O título deve ser colocado na parte superior do papel milimetrado. O título de um gráfico deve conter as informações necessárias à sua compreensão. O título deve especificar o fenômeno estudado e como as grandezas medidas se relacionam. Ao ler-se o título deve-se entender do que se trata o gráfico, sem a necessidade de recorrer ao texto. Títulos do tipo “gráfico de velocidade versus tempo” não fornecem informação necessária para o seu entendimento.

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GRÁFICOS EM PAPEL MILIMETRADO

A representação gráfica por meio de diagramas cartesianos utilizando o papel milimetrado permite a visualização do tipo de relação entre as grandezas envolvidas. Para tanto, deve-se levar em conta o tamanho do papel disponível, de modo que o gráfico ocupe maior área possível do papel. No gráfico a seguir apresentamos uma relação linear do tipo:

As escalas devem ser escolhidas de forma a maximizar a utilização do papel milimetrado. Nos gráficos abaixo podemos verificar que a escala foi bem escolhida no gráfico da esquerda, enquanto que no da direita a escala está incorreta, pois ficou uma área inutilizada bem no meio do papel.

= m. +by x

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Nos gráficos vemos o papel milimetrado sendo utilizado no formato paisagem. Novamente o gráfico da esquerda apresenta uma escala apropriada enquanto que o da direita deixa uma área muito grande sem utilização na parte superior direita.

DETERMINAÇÃO DA ESCALA EM UM GRÁFICO NO PAPEL MILIMETRADO O primeiro passo para a construção de um bom gráfico é a definição da escala. Isso é feito determinando-se qual a faixa de variação de valores de cada variável e dividindo-se pelos centímetros disponíveis no papel milimetrado. Os arredondamentos de fácil leitura são os que se encaixam dentro da divisão decimal das escalas milimetradas de 1, 2 e 5 ou múltiplos/submúltiplos de 10 desses valores, ou seja:

0,01 0,02 0,05 10 20 50 0,1 0,2 0,5 100 200 500

A marcação da escala em cada eixo deve ser feita antes da colocação dos pontos no gráfico. Uma regra prática para a definição da escala é dividir o intervalo da variável ( U ) pelo comprimento disponível (ou que se deseje utilizar - C ) no papel, ou seja:

Up

C

O valor de p deve ser arredondado para o superior mais próximo de 1, 2 ou 5, ou qualquer múltiplo/submúltiplo de 10 desses valores. Vejamos um exemplo: vamos supor que uma determinada grandeza (por exemplo, tempo) tenha valores entre 10 e 150 segundos e que queremos representa-la em um papel milimetrado que disponha de 18 cm. Vamos supor também que informações sobre o comportamento dessa grandeza na origem sejam importantes. Então devemos fazer a divisão de 150 segundos (valor máximo da variação da grandeza) por 18 centímetros (espaço disponível no papel).

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O resultado dessa divisão é de 8,33 s/cm, com uma dízima periódica. A escala feita com esse valor seria extremamente complicada. Devemos então arredondar para mais até atingir o valor mais próximo da tabela anterior, ou seja, 10 s/cm. Isso significa que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos uma representação de 10 segundos na grandeza. As escalas de um gráfico não precisam começar necessariamente na origem (0, 0). Nesse caso não é possível obter o coeficiente linear diretamente do gráfico. No entanto, na maioria dos casos precisamos obter informações sobre esse ponto. Assim, é recomendável que se comecem os eixos na origem, sempre que possível. Caso não sejam necessárias informações sobre a origem pode-se iniciar a escala em um ponto diferente deste. A marcação da escala em cada eixo dever ser feita antes da colocação dos pontos no gráfico. Os pontos a serem marcados no gráfico não devem ser anotados nos eixos, isso polui o gráfico e não trás nenhum benefício.

MARCAÇÃO DOS PONTOS NO GRÁFICO Como o papel é milimetrado, é desnecessário o uso de linhas de chamada a partir dos eixos até o ponto correspondente ao par ordenado. Basta marcar apenas o ponto na posição correspondente. Além disso, não se devem indicar os valores, coordenadas dos pontos, nos eixos do gráfico. Após a colocação dos pontos no gráfico, é possível observar como as grandezas se correlacionam, há um comportamento na distribuição desses pontos. Esse comportamento pode ser linear ou não. Caso o comportamento seja linear, não se deve unir os pontos, pois essa ligação pode não ser exatamente uma reta. Assim deve-se traçar uma reta média (ou a melhor reta). Essa reta média deve ser traçada utilizando-se uma régua transparente, isso irá facilitar o posicionamento para o traçado. Caso o comportamento entre as grandezas não seja linear, deve-se traçar uma curva média com o auxilio de uma curva francesa ou de uma régua flexível. Essa curva média também deve passar o mais próximo possível de todos os pontos. Existem maneiras de se obter a equação da melhor reta, utilizam-se métodos estatísticos de análise e determinação de parâmetros de funções. Um deles é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) que é utilizado no programa Excel@. A reta média é a reta que mais se aproxima de todos os pontos anotados no gráfico. Essa reta não passa necessariamente em todos os pontos, uma vez que esses pontos são experimentais e podem conter incertezas em seus valores. A reta média pode, em casos extremos, não passar por nenhum dos pontos do gráfico, nem mesmo o ponto inicial nem o ponto final.

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EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO EM PAPEL MILIMETRADO A tabela a seguir fornece a posição de um móvel em um movimento retilíneo e uniforme em diversos instantes de tempo. Construa o gráfico da posição em função do tempo em papel milimetrado e determine a equação horária da posição.

O papel milimetrado usado no laboratório mede 28 cm na vertical e 18 cm na horizontal (no formato retrato).

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O maior valor da grandeza posição do objeto é 105 m, como vamos colocar essa grandeza no eixo y, devemos dividir esse valor por 24 cm (quantidade disponível no papel milimetrado na vertical, 28 cm do papel menos 4 cm reservados para o título). Como resultado, temos 4,375 m/cm. Assim o arredondamento deverá ser para 5 m/cm, ou seja, cada centímetro no papel milimetrado irá representar 5 metros na posição. Iremos, portanto, utilizar 21 cm na vertical do papel milimetrado no formato retrato.

105= 4,375 ≈ 5

24m cm

21 na verticalcm

O maior valor da grandeza tempo é de 120 segundos. Como iremos representar essa grandeza no eixo x, devemos dividi-la por 18 cm (quantidade disponível no papel milimetrado na horizontal). O resultado agora será de 6,667 s/cm, com dízima periódica. Assim, o arredondamento deverá ser para 10 s/cm, ou seja, cada centímetro no papel milimetrado irá representar 10 segundos no tempo. Iremos, portanto, utilizar 12 cm na horizontal do papel milimetrado no formato retrato.

120

= 6,667 ≈ 1018

s cm

12 na horizontalcm

Podemos agora desenhar os eixo de forma a utilizar o papel da melhor forma, como a figura a seguir.

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O próximo passo é marcarmos as escalas nos dois eixos. No eixo vertical teremos a posição, a escala começa em zero e a cada centímetro aumenta 5 m. No eixo horizontal temos o tempo, a escala também começa em zero e cada equivale a 10 segundos.

Podemos notar que tanto no eixo vertical quanto no horizontal as escalas não são colocadas a cada centímetro, mas sim a cada dois centímetros. Isso torna a escala mais suave não sobrecarregando do gráfico. Isso também faz com que a atenção recaia sobre a curva e não sobre a escala. Agora já podemos marcar os pontos da tabela fornecida no nosso gráfico.

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Após a marcação dos pontos, podemos ver o comportamento, a relação, entre as grandezas. Em nosso exemplo esse comportamento é linear. Ou seja, existe uma dependência linear entre a grandeza posição e a grandeza tempo. Agora podemos traçar uma reta média que passe o mais próximo possível de todos os pontos. Não é obrigatório que essa reta passe pelos pontos, mas deve ficar o mais próximos possível de todos eles. Para traçar essa reta é recomendável a utilização de uma régua transparente, ela irá facilitar o traçado da reta.

Como a dependência entre as grandezas é linear, deve seguir a equação:

= m. +by x

Em nosso caso y será representado pela grandeza espaço (S) e x corresponderá à grandeza tempo (t). Assim, podemos escrever a nova equação:

= m. +bS t

Devemos finalmente determinar graficamente os valores de b e m. Onde m corresponde ao coeficiente angular dessa reta e b o coeficiente linear. Para se obter o coeficiente angular vamos desenhar um triângulo sob a reta. Pegamos dois pontos da reta, não pontos marcados que tiveram origem na tabela de dados, para traçar esse triângulo. O valor de m será igual a divisão SΔ de por Δt .

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O coeficiente linear (b) corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo y. Podemos verificar a obtenção desses coeficientes através do gráfico a seguir.

O coeficiente angular saí imediatamente da leitura no gráfico, ou seja:

b = 45 m

Para determinarmos o coeficiente angular vamos dividir SΔ de por Δt . Assim:

50m = = 0,50

100m s

Substituindo esses valores na equação da posição, teremos a equação horária:

S t t m= 0,50. + 45

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GRÁFICOS EM PAPEL MONO-LOG

Quando a relação entre grandezas não é linear, é necessário o uso de gráficos diferentes dos feitos em papel milimetrado. Quando a relação é exponencial, ou seja, do tipo:

B.= A.e xy

há a necessidade de utilização do papel mono-log. Em uma relação exponencial entre as grandezas, um gráfico feito em papel milimetrado toma a forma como da figura abaixo.

Veja que nesse tipo de gráfico (papel milimetrado) não conseguimos extrair informações sobre coeficientes angulares ou lineares. Assim, devemos utilizar outro tipo de papel, o mono-log. Nesse papel a escala horizontal é milimetrada e a escala vertical é logarítmica. O procedimento para a confecção de gráfico nesse tipo de papel é semelhante ao utilizado no papel milimetrado. Na escala horizontal (milimetrada) o procedimento é exatamente o mesmo utilizado no papel milimetrado, inclusive quanto a determinação da escala. Na escala vertical o papel já vem dividido em décadas, que são intervalos repetidos que possuem divisões não uniformes. Cada década contempla valores que estão entre duas ordens de grandeza da potencia de dez. Ou seja:

de 0,01 até 0,1 de 0,1 até 1 de 1 a 10 de 10 até 100

Como podemos perceber, nesse tipo de escala, não temos o valor zero, somente valores positivos são utilizados.

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A seguir temos a figura de uma folha de papel mono-log, com escala milimetrada na horizontal e logarítmica na vertical.

Nesse papel percebemos a existência de duas décadas na vertical e 18 divisões de um centímetro cada. Na escala vertical não é necessário a colocação de todos os valores da escala, apenas o inicial e o final de cada década. Por exemplo, suponha que a década vai de 10 até 100, só é necessária a colocação desses valores no início e no final da década. A colocação de todos os valores iria congestionar desnecessariamente o gráfico. Para localizarmos, por exemplo, o valor 37, devemos partir de baixo para cima, a partir do 10. A segunda marcação corresponde ao 20, a terceira ao 30 e assim sucessivamente. A divisão entre o 30 e o 40 é subdividida em 10 partes, assim o 37 deve ser marcado na sétima subdivisão acima do 30.

37

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EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO EM PAPEL MONO-LOG

A corrente elétrica em um circuito em um processo de carga de um capacitor varia de acordo com a tabela a seguir. Sabe-se que essa corrente segue a equação exponencial abaixo. Construa gráficos em papel milimetrado e mono-log e escreva a equação da corrente em função do tempo.

B.= A.e xy

Primeiramente vamos construir um gráfico em papel milimetrado, como pedido. O tempo ficará na horizontal e a corrente na vertical. O valor máximo da corrente é 350 mA, esse valor deve ser dividido por 24 cm (28 cm do papel menos 4 cm para o título). Assim teremos:

360= 15 ≈ 20

24mA cm

18 na verticalcm

O valor máximo do tempo é 80 s, esse valor deve ser dividido por 18 cm. Assim, ficamos com:

80= 4,44 ≈ 5

18s cm

16 na horizontalcm

Com as escalas definidas, podemos marca-las no papel milimetrado e também marcar os pontos. A partir daí podemos traçar a curva que melhor representa esses pontos. A figura a seguir representa os eixos e escalas assim como os pontos da tabela e também a curva correspondente.

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Notamos que nesse caso a relação entre as grandezas é uma exponencial decrescente. Dessa forma precisamos construir um gráfico no papel mono-log, que também foi pedido no problema. Como a escala horizontal do papel mono-log é milimetrada, podemos utilizar a mesma escala usada no gráfico do papel milimetrado. Assim, devemos determinar somente a escala logarítmica. Observando-se a tabela fornecida, verificamos que os valores da corrente vão de 11 mA até 360 mA. Dessa forma, temos valores que podem ser colocados em duas décadas, uma de 10 até 100 mA e outra de 100 até 1000 mA

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No eixo horizontal foram colocados valores a cada dois centímetros para não poluir o gráfico. No eixo vertical não é necessário colocar todos os valores, somente os iniciais e finais de cada década. Em seguida devemos marcar os pontos. Não há necessidade de calcular os logaritmos dos valores da tabela. No eixo horizontal, a localização da coordenada é idêntica à do papel milimetrado. No eixo vertical devemos procurar os valores como visto anteriormente. Após a marcação dos pontos ficamos com:

Notamos agora que existe um alinhamento entre os pontos fornecidos pela tabela. Vamos desenhar com o auxílio de uma régua transparente, uma reta que melhor represente esses pontos.

Devemos lembrar que a relação entre as grandezas é expressa pela equação:

B.= A.e xy

Utilizando as grandezas: corrente elétrica (I) e tempo (t), ficamos com:

B.= A.e tI

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Se fizermos t = 0 na equação anterior, teremos que a constante A corresponde ao valor da corrente elétrica em t = 0. Podemos determinar graficamente esse valor observando o ponto onde a reta intercepta o eixo y. Em nosso caso esse valor corresponde a 600 mA. Assim:

A = 600 mA

e, portanto:

B.= 600.e tI

600 mA

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Para determinarmos o valor de B devemos tomar o valor de t = - 1/B. Substituindo esse valor na equação da corrente elétrica, teremos:

1B. -

BI = 600.e

-1I = 600.e

600I =

e I 220 mA

Isso significa que para um instante de tempo de t = - 1/B segundos, teremos uma corrente de 220 mA. Esse ponto deve pertencer à curva e, portanto, vamos marca-lo no gráfico.

Graficamente podemos perceber que ao valor de 220 mA da corrente, corresponde o instante de 20 s do tempo. Como t = - 1/B, podemos substituir o valor de t e determinar o valor de B.

1t = -

B

120 = -

B B = -0,05

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O gráfico final da tabela fornecida pode ser visto a seguir.

E a equação da corrente elétrica como função pode ser escrita como segue:

-0,05.= 600.e tI t mA

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GRÁFICOS EM PAPEL DI-LOG

Quando a relação entre grandezas não é linear, é necessário o uso de gráficos diferentes dos feitos em papel milimetrado. Quando a relação é do tipo:

B= A.y x

há a necessidade de utilização do papel di-log. Em uma relação polinomial entre as grandezas, um gráfico feito em papel milimetrado toma a forma como da figura abaixo.

Veja que nesse tipo de gráfico (papel milimetrado) não conseguimos extrair informações sobre coeficientes angulares ou lineares. Assim, devemos utilizar outro tipo de papel, o di-log. Nesse papel, as duas escalas são logarítmicas. Tanto na escala vertical quanto na horizontal o papel já vem dividido em décadas, que são intervalos repetidos que possuem divisões não uniformes. Cada década contempla valores que estão entre duas ordens de grandeza da potencia de dez. Ou seja:

de 0,01 até 0,1 de 0,1 até 1 de 1 até 10 de 10 até 100

Como podemos perceber, nesse tipo de escala, não temos o valor zero, somente valores positivos são utilizados.

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Abaixo podemos ver uma folha de papel di-log, com escalas logarítmicas, na vertical e na horizontal.

Tanto na escala vertical quanto na horizontal, não é necessária a colocação de todos os valores da escala, apenas o inicial e o final de cada década. Por exemplo, suponha que a década vai de 10 até 100, só é necessária a colocação desses valores no início e no final da década. A colocação de todos os valores iria congestionar desnecessariamente o gráfico. Abaixo podemos ver um exemplo de uma marcação nas escalas vertical e horizontal.

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EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DE UM GRÁFICO EM PAPEL DI-LOG

A frequência de vibração de uma corda varia em função tensão de acordo com a tabela a seguir. Construa gráficos em papel milimetrado e di-log e escreva a equação da frequência em função da força aplicada. Sabe-se que essa força segue a equação abaixo.

Primeiramente vamos construir um gráfico em papel milimetrado, como pedido. A força ficará na horizontal e a frequência na vertical. O valor máximo da frequência é 71 Hz, esse valor deve ser dividido por 24 cm (28 cm do papel menos 4 cm para o título). Assim teremos:

71= 2,96 ≈ 5

24Hz cm

18 na verticalcm

O valor máximo da força é 50 N, esse valor deve ser dividido por 18 cm. Assim, ficamos com:

50= 2,78 ≈ 5

18N cm

10 na horizontalcm

Com as escalas definidas, podemos marca-las no papel milimetrado e também marcar os pontos. A partir daí podemos traçar a curva que melhor representa esses pontos. A figura a seguir representa os eixos e escalas assim como os pontos da tabela e também a curva correspondente.

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Notamos que nesse caso a relação entre as grandezas é polinomial. Dessa forma precisamos construir um gráfico no papel di-log, que também foi pedido no problema. Como ambas as escalas são logarítmicas, devemos determinar os valores das décadas na vertical e na horizontal. Observando-se a tabela fornecida, verificamos que os valores da frequência (vertical) vão de 22 Hz até 71 Hz. Dessa forma, temos valores que podem ser colocados em uma única década, que vai de 10 até 100 Hz. A força (horizontal) vai de 5 N até 50 N. Nesse caso precisaremos de duas décadas, uma que vai de 1 até 10 N e outra que vai de 10 até 100 N.

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Em seguida devemos marcar os pontos. Não há necessidade de calcular os logaritmos dos valores da tabela. Tanto no eixo vertical quanto no eixo horizontal, devemos procurar os valores como visto anteriormente. Após a marcação dos pontos ficamos com:

Notamos agora que existe um alinhamento entre os pontos fornecidos pela tabela. Vamos desenhar com o auxílio de uma régua transparente, uma reta que melhor represente esses pontos.

Devemos lembrar que a relação entre as grandezas é expressa pela equação:

B= A.y x

Utilizando as grandezas: frequência (f) e força (F), ficamos com: B= A.f F .

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Para determinarmos o expoente da variável F, devemos desenhar um triângulo sob a reta, como se fossemos determinar o coeficiente angular dessa reta. A figura abaixo mostra esse triângulo.

Para determinar as medidas dos catetos desse triângulo, vamos utilizar uma régua. Medimos os catetos em centímetros e fazemos a divisão. O resultado nos fornece diretamente o valor do expoente da variável F.

Em nosso exemplo, a medida do cateto oposto foi de três centímetros.

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A medida do cateto adjacente é de seis centímetros. Fazendo a divisão teremos:

3B =

6

cm

cm B = 0,5

Agora podemos escrever a equação da frequência da seguinte forma:

0,5= A.f F

Para determinarmos o valor de A, devemos tomar o valor de F = 1 N. Em nosso caso isso é possível, no entanto, isso é uma exceção. Em geral nos dispomos no gráfico do valor um para a variável independente. Nesses casos devemos proceder de maneira diferente.

A = 10 Hz

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Conhecendo o valor de A, podemos escrever a equação da frequência.

0,5= 10.f F F Hz

O gráfico final da tabela fornecida pode ser visto a seguir.

Caso não seja possível obter o valor de A diretamente do gráfico, devemos fazer um tratamento estatístico para obtenção desse valor. Pegamos os valores da tabela e substituímos na equação

0,5= A.f F

Com essa substituição teremos diversos valores para a variável A. A partir desses valores podemos obter um valor médio para A e substituir na equação acima chegando finalmente a relação entre frequência e força tensora.

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