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Deflexiones de las es¡ructuras265, L¡ ruponr¡,Ncr¡ or

indicó cómo .i ;;;il;; r.AS DE¡r_ExroN¡s. En la sección 219 se

der der cárcuro ;; ;; ;;";;lj:Tff ,T:#ff ,:ifrffli.'Th1iff

:;modernos evitan la necesidad mencionada,' jiri.ilil."*.* oria. .o"r._gurse un cntendimiento de tales métodos sin saber.ón_ f,rld.n.ul.u-Iarsc las deformaciones. Los métodos para el cálculo de áeformacronesque discutiremos son : ./ J trabajos ..ut.., i; i."..^" "al'ü^,,grian",J) trabajos virtuales, 4) área de .ros-mo;;;ár,';j';;,:'"iugaaa, 6)pesos angulares. y 7 ) diaqrama dc Willior-Mohr. E";; ;;i sie re mé.todos, el de trabajos rcales es de utilidad li.tliil'yl;';;sc.i'ti"r.*o, .rolu_mente como introducción. EI teorema de Castigliano v io" t.ut u¡o,virtuales están estrechamente ..|u.;oo uáo, .nirl rT'f

'

ri" ro.")p,"""ia.

universal. Los métodos de lasgada. son

".uir.i,,' p"., "_pi,,L'nff";liilT:T"lj. # ü,-ffi::i:-n.: d: l1' vigas. Su contrapartida .'. r^ ;;;;-.;l;;l]i#'.. .r .¿_::*^* ]:: pesos a,ngulares.

-EI diagrama de Wi iot_Mohr es un métodograrrco muy sencillo para determinar la" aeforma.ione,

-i."'las vigastrianguladas. por consiguiente , cada. uno d. ..t;, ;;.;;;iJl ,u propio

¡amRo d1 utilüad, siendo imposible *b.i. t"d; ;;;;.ai' ie.esidadocon un solo método.

?66. Tnene.¡o vERDADERo.. Irn teorema de ingeniería que se dc_ducq de la ley de conservación. de energía #t:;;; 1i t.unu;ornterno de deformación en una estructura Jebe ser igual j*üo "*,.-rior de,las cargas aplicadas. I)e acuerdo con esto, si sobre una estruc_.r11 .ql: actúa una carga concentrada, la defle;ión ;;'-su-'punto deaplicación en djrección de la carga puede determinarse pár mediode la ecuación de Ios tabajos .""t"i. s; ht ,;;; ;;;c^ lPa"ecuacióncontiene más de una defo¡macit

encontrar la sorución ^,,".", ;:.0;;:;:':1?ffi J'"ff ..fi

;,0";::]:estas deformaciones como ocurre, por ejemplo, cuando se ,uU.-qu" Io,deflexiones bajo dos caruas simét¡icas ; ;r^' ,i;; ^;;'l*."i*.

,. .,aplicable al cálculo de defornraconcentradas o en est¡ud,;;;s'.;:':üjl.:':j["]'ffi,j;'' *'*"'. T'rabajo- de una carpa oplicada grathtaLmeníe. Al hacer uso delteorenra dc los trabajos verdaderos scrá necesa¡ja t.

";gri."r.'iiin._o.iAr.,,378

I)EFLEXIONIIS DE I.AS ESTRI-IC,]'I]RAS

) ) 'I'rahajo de una carga ex_

2) Trabajo de r¡n momentoextellor

it79I Fuerza prorredio muhiplicada p6rta qrslancra de desplazamiento enolreccton dp l¿ fu^rza)

(Momento promedio m ultiplicadopor.¡a rota.jón del p||nto de aDli-cacton )

3,1 'ftabajo interno de una' b;;;';',,;;';.,,^:,;"_,: f*) = *3 f:i:]i: "?':tr{i: #l,:TJil2 \AE/ 2AE rud de la balra)4) Tlabajo inrerno en un _ Y. ( M,/s\ llf 'd¡ ,.

ffiT:* ;i;;';" -i;,;: = n \ Er ) : zr¡

ifi",ffi!" ,';:,:.",0,:fffi;

oe rolaclón anqula¡" nn nl tra-

^ r,rnrero DE LA DFroRvA,.,óN DE uNA v¡cA,

r'1" ¿/t)

fod¿mos igualar el u.abajo deformativo ¡ca_ pL ¿lizado por la carga conc.ntrad, "n la ,risa¡n. votadizo indicada en la figrrra 245 al tñ- ,T--

DaJo rnterno de defo¡rna¡ión ohreni.ndo l, -l_expresión

'+ =;1."4#:)[""\ryP Fiputt 21t. Delonnacíón ¿c unavigt en tnlai!ízo: !".f"" *o':'# : #Lf]ide donde obtenemos la fór¡¡ula usual para Ia deflexión del extremo

^ -:'Á:problernas

217. Obtenga una expresión oatfada situada en el centro ¿"' uo^

"111

la- deformación bajo una calga concen-

:,T,-: .p-, una dero¡rnación t"j.'iiJ'lt"j":::"..iT#1,;"Trl,lX,"'"ü"TÍi:plemente apoyada qLte soporta cargas conce.ntradas an ln:j puntoa'_u u,_, teaa,ode la lur

Rnspu¡sr¡: pL3/4gEI y SpLs /162E1.

Prol)krna llg I'rol)lcm¡ 2¡f)

' l.rs lófm'rlr. \ ,orti.i.nri.s,t, I"-,tcftexn,n,.q i.r,. riea. simptcr¡rir¡¡r npoyrdas.;Jt:,', tlfill:lii:),

";'li:l'í¡';.: "l;il

p'*l ná¡i" r r"'¡"e.i' 'il"ili,liliii'i;,¿ '"" '

3B0 LINt ()N Ii. (;¡{IN.I. li t<

,",,,,'1.3n."1"1:".:ll'1"1',j':i:n,l:i:,".1,:,,::'::,Í:",?,?,,,ii1,_"jlIl?l;;,¿';ái;Rrser r" ¡ 'l¡-.,,u¡*219. C)btensa la expresión ciel

,rrabajn. irttcrn(J cn ur¿ viea. Urilice et es_

:i[in.:[.:::*ili'"" "'i

,,';]-:'jf t!X#,lil",:r :::;ll: ....,;;,j1..,:""1*:j:

,r,,jiil":::: ,,"rlilc;.,,,',," prinrcranrenre ei varor cre r7z ,,""""1,i" a" i"

22ú1. f)emucstre que cl trabaio i^ rz¿¡ ","iiiprii^;.';,';i'ffi';;T;"Jr;l:"'n,'':i,*o;,i,,1",o:'Tj:T'::,'Hllii'.i"",.;lll]iái"riras

carqas sc aplican g'"d'"i"'"nr"."cl pi,-"r,"'1i''.".ur,"au

Métotlos aplicables a to¿las l¿u estrr.ctuN.as

267. Er, r¿onnlr¡ o¿ C¡srrcLlaNo, Este teorema está relacionadotanrbién con el trabajo inte¡no real.de I" .r"r.ir."'i.Jil.iJo po, ra,s9argas apticadas gradualmente.. Afirma que r. a.riiJü" aii o"u"¡rnterno, total. respecto a cualqur.er carga es igual l'i"*i"ffJOn ., .lpunto de aplicación de esta carga; csto es,

.5 ) drl'

F, :ot

Aplazaremos la demostración de este teorema hasta haber estudiadolos trabajos virruales en la sección ,igui.r,t. -fu

ir.-r. j.á,i.. O. f^teoría de los trabajos virtuales casi sin demostraciói.r.

_ LI cmpleo del teo¡ema de Castigliano hace posible el cálculo dela defo¡mación de la est¡uctrrra a Io" largo á. lr'..." i. Tpfi.u.i¿.,de cualquier carga, independientemente de- las otras .u.gn.' q;t u.t¡an.Po¡ lo tanto tiene una aplicación -e, u,rlpliu qr."l" '.T*járr

o*.o"del trabajo interno y externo; sin .'''lrurgo, 'no pi"j.'lpii".oir."j., _oaificación al cálculo de deflexiorpuntos no citrgaclos.

nes no alineadas con las ca¡gas o de

E¡r:uer,o nll ¡.Mpr,¡:l) t)¡1, TlroR¡sión para la defo.nración 0",

"",.",r,,1'1,.."1. -l'1l1l"t ^"o , Detc'¡inc (tna cxpre-

sarra cn ra,;;;i;;;;; ;'r;;;il :d"y,11. i.il :il:Hli" (jH;,llrJ .:X:exrremo sc aplica una .erga con.r,nrr¡da /,. E¡ r¡;baio ;ri"_., ,üi'í]"f,.

I)trIrt.IiX IONl.tS I)[ I_AS l]Sl RUC.ftiR,{S 3g1

La defo¡mación A er ja clir.ección en i:r carga /, st: encucrrl¡a nl.clia¡r{¡. l:l ¡eri_vada par-ci:r1 de 14l r-cspccto a p, que da

o _8y - | l2t.t." L rt..\ _ t,t., .,LA- dt' 2É'7 \ 3 '' ,1 ) ¡tt ' gti.Rcconocen¡os al prinrer.o dc cstr¡s tórntinos,conto el desplazamiento en el rxrrelnoproducido por .la carga concentrada y al segundo término c¡rm. ia deflexiónextrenra producida ¡rrr 1a carea uniforrle,

problemas

221. Resuelva..el_ problenra 217 urilizando el reo¡crna de Casriglja¡o.l<r.sf' f\r\: PL:t,48El y tt:t lt)¿l:t2?2., Res,r"lr¡ nl ¡,r,,hl,.n.r lt8 ,rr¡li/¡¡]do el rc,,_

r-¡nra. d,. (.¡srrctjrn,,. Al fijar I: nxp¡e5i¡j¡¡ p¡¡, ¡¡rraDaJo rnterno, suponga a p igual a la car,ga.

.r.,;j."n.,,,.t.o ' A:0.I)5pulg en el pr¡¡to d.' rpli-

... ^?23._ I)eterrrine la defo¡rnación bajo trna carea de

] ,fii

if, * r¡ vis;, ¡n vor¿dizo rFpr¡.s;nrnd¡. s,,pnnqa

;,i,,;Tl" ' ..ra rJr€¡ il iijar t.r rx¡re.ión dct r,:er,ai,

/q000/b.

t5000/h

f :3/3:oof;io'?oo /b Per"c i"

l,robtema 923

t ir¡r¿ 216. I ig¿ at 1\)tt¿i:¡l¡ rt {att¡

,.-.-lii",^"i". Obsrr.ve que corno,l no inlerviene en la expr,r,sión del trabajo-1:1":::,9:

l:r ¡arte de Ja vi-ga rituad: entrr: las cargas, la derivada dc csra parteil'#i11liil:",j".:.¿ l""l:".11'i,l:,..',""'"",

ri ;'t"s.^.i;n ilti "*,"ná",."

KrsplrltsrA; 0.203 oLrls

268. Tn.tn.r;o vrnrunr.. El método de ]os t¡abaios virtuales seacepta generalmente como er más satisfactorro pu.o á.i.r.i*, ro a.-flexión,de cualquier.punto del cuerpo. en no importa qué áir.,,.ión acausa de cullquier tipo de distorsron rntcrna. para hacer ver al lectorla amplia aplicación del método podemos decir qu".t punio'.uyo a.r_plazamiento es calculado Duede e.star ...s;" :-'a.r."r;üol qu. tudeformación estudiada puede r, produclrse cn cu:rlquier dirección en elespacro ) que ias distorsiones r

yi111"", f ;s{;';'i:' #;:' T'::XX:'li:lT'i} iffi:1T:'1;"#:l1."ji;^-1l1"l.".iones plásticas o acortanrientós, pueden componersecle dclormacrones directii-s por esfuerzo, rotaciones internas c¡ defo¡-macrones por cortadura. Mediante una ligera variación del método pue-den calcularse también rotaciones extcriores en lugar.de desplazarrientos.. ..Deriaación de la ecuación tlel trabajo uirtual. Considire el cuerpo

::i::11^:: lll fiyr¡ 2j7 ¿ ). sob¡e et que actúan r* ...gur-p,,-r,, y p,

l^'::-l::::1""". tlt ¡ Rz. Le rl,rmos al cuerpo un,r fnr_"a i,racfiniáa yl! -""n].ta-,: ,r un:r c;rga {cncr.'iizi|d,r pañ ,l;rrific:rr que no exrstenumrr.rr r,Inc\ cn el empleo dei tr.abajo vi¡tual como nrétüo de análisis

:t82 l. l¡-' IO* O. ,rRlN.I.ERdc delormacionesJ rxcepto en los casos que se rndicarán específicamente.Ljomo estudiaremos las ecuaciones de irabajo, .. .tig..,

-í;-.;.".;orro.l?r v l?: de tal modo quc el trabajo qu. .."liien ;";;. r_L ."o..¡on."son usualmente de este tipo, pero si no lo son pueden introáu.,.a.

"r,Ia. ecqación de los tra-bajos virtuales. El movimiento á.'-io ..u..;On'Ja' rfr, es nuro, y cuarquier movimiento en Re es perpendicular a ¡?:¡.Se indican reacciones esiáticamente determinaJas, lr"i". o"j.r"" in_troducirse también otras reacciones sin complicar U aJ_o.i.erc¡On. fodeflexió¡ o .desplazamiento deseaclo es un Áovimíento o l.i"ir"," ,len la dirección l-8.

I)EFT,EXTONIiS llE LA,S ES-r.RU(II-IJRAS 3g3

por919 la carga de 1 libra situada en I se habrá movido a t¡avés de]1 *l*U" .4.

Et trabajo adicionat exterior vald¡á I üL;; i o. n"h,":,L.1:-:r:rn:""

correspondiente del trabajo interno al moverse el esfuerzovlrruat ¿{ en cada lrbra por efecro de la dcformación real Dl, produ-ciendo el trabajo interno adiciona.l_ total l¿dZ. por to turrto,"poa"rno.escribir la ecuación general del trabaio virtual en lu fn._r''' "

¿) Cargas y t.u.rion", I /¡eales

/ttt'ú) Carg¿s

' teac.io,res , fvtrtuales

Figllra 217. Defomnción generatizada de unñ crttuct¡fa (argadtl

Una fibra interior del cuerpo de longitud ,L sufre un cambio aelongitud 6l ¡ror efecto del esfuirzo ,S proáucido po. -tr-iu.!1's

..ulo.Todas las demás fibras del cuerpo se acortan o alargan de mallera simi-lar. Dcbe -existir

una equivaleniia -del

trabajo ,o,ui inr..r,ol .r,".no,para las fuerzas indicadas en la figura 24i a). Consldei. air.u ,rucarga virtual unitaria por situar en I y actuando en la dirección l_BsoDre el,cuerpo, por lo demás descargado, indicado en ó).* Las luerzasñ | y K 2 represenlan las reacciones de esta rarga imaginaria de I libraque produce el esfuerzo virtual u en la libra antes indicada. Nueva_mente se presenta una equivalencia enrre el trabajo interno v el externo.Srn embargo, si sc sitúan ahora la" cargas reales de a7 sobre la estruc-tura indicada en b),1 el rrabajo exterior total será máyor que Ia sumade los trabajos cxteriores calculados a partir de a) y b) sepáradamente,

...: .!r* unidad virruat de ca¡ga €s simptemente una carga imasinaria de valorlfii,'l9r fp. to ranro,.si los..át,uios se erabbr,¡n en ribr;s. ;iei;

"^ i,,ii. i. r r¡ura.rflr¿ r¿tcutos (rr loneladas, la .¿rga v¡ u¿l scrl d. I rnncladá1 El le-cto¡ pxcde enconrrar confuso intenrar esra demosrración ¿ñadiendo lac¿rga de I libra ál crrerpo rarqa(to mul

ras cafsas virruates .v reales cn ,.,-,':Iilf,.!?.? Y lo es más aún si intcnta ap¡ica¡

t*r '

Comentarios. Esta ecuación resulta más expresiva cuando utiliza_mos Ias indicaciones horizontales secundarias mu.cuda, *lu .nuu"i¿n.l?..:llg, -":t de.l libra y el esfuerzo , "rtt;;il"E';qu..uauestuerzo ¿{ es producido por la carga virtual de 1 libra. La deflexión Ay ra deroffnacron lnterna 6¿ están unidas, ya que ambas son producidaspor las cargas exteriores reales. Es. evidente qu. to, .,rJo.o á" o y ul,podrían deberse también a los r¿mbios de teriperatura, ituia., p¡¿r,i.u,acortamiento o

-cualquier otro fenómeno rea.l.'Con taí que los valoresoe o¿ puedan determinarse en lodas las fibras del cuerpá, puede obte_

::T-.-.1 ""1- correspondienre 9. o d. lu ecuación de ios t'rabajos vir_t"1lo:- lo _q,u! es igualmente cierto para cuerpos sometidos a esfuerzos

más allá del límite elástico en los que parte de la deformación es elásticay el resto plástica.

. lesdg luego, el esfuerzo virtual u producido por la carsa unitariaimaginaria sc calcula medianre Ia teoría de lu .ürt;.;á^J. '-'

269. Fonves ESpEcTALEs or L¡ ¡cuacróN DEr, TRABATo vTRTUAL.La ecuación general de los tratrajos virtuales no es conváiente nara:r:. g:n"Tl porque exige una integración sobre todas las partículasindividuales del cuerpo. Los ingenieros acostumbr.an ugropa, much*partículas en_ un conjunto para mayor comodidad. por ijemplo, en lasvigas trianguladx o armaduras hablamos del esfuerzo y la deformaciónde una barra, y en vigas ordinarias hacemos uso dei momento y larotación de la sección. Por consiguiente, estudiaremos los siguientes casosespecrales;

6)

7J Esfuerzo directo:(Elementos simples yvigas trianguladas)

ilE!%):E**n,

donde u representa el esfuerzo virtual total producido en cualcuier bar¡apor la carga de I libra, y SKI(AE) représenta el cambio de lonsitud

Yirtual

llb.X^=ti6¿.

Esfuerzo = ¿

Fibra

381 f. I \ I n \ |] (, I{ I \ I L R

1.:].1 *]:-" Oi-a producido por las cargas reales que c¿usan a. Lasuma cubre tod¿¡.s las barras que contribuyen a la clefornación

DE]]I,EX]ONtrS I)E I-AS l]S'I'RU C]'t I RAS 385

acabamos de escribi¡ se compone de I libra X A, que es el trabajo virtualcxte¡ior cuando la r:arga imaginaria de 1 libra se desplaza en la de-llexión real ¡. Iil t¡abajo puede exprcsarse como el producto de la fuerzapor la distancia o el producto del momento por Ia rotación. De acuerdor:on esto, si ha1' que determinar una rotación externa debemos aplicarun nlomento virtual unitario a la sección en la que se debe calcularel giro, con lo que la ecuación general del trabaio virtual se rans_forma en

tl) l in-lb xo -lu6r;

v la^s ecuaciones especiales son entonces

rx¿:I!1,H A1;

txu: IM#d',,x,: I +Í!,l xo: ! 'I#

La aplicación de momentos virtualqs unitarios o pares para el cálculode rotaciones en divenas estructuras se aclara con ejemplos en la fi-gura 248. En la sección á) se aplican dos pares unitarios de signos

B, Moüonro:(Vigas oestfu.luras )

9.) Esfuc¡zo co¡tante:(Vieas oestructuras)

.11l) Tor.sión:(Solamentc ejcscilculares)

12) Esfuerzo dirccto:

/3 ) Mornentr¡:

14_) llsfuerzocortantc:

15,1 Torsión:

l=-liu xo -/; (,tr;) Ir;f ,

r._idonde m'representa el momento flector..virtual producido en cualquiersccción transr ers¿l por la carga de I libra y UArt¡Oll ,*ri."rr,u turr)rac¡on entrc dos se(ciones transvenales separadas una d-istancia ¿1sproducida por las cargas reales que causan timbién A. La integracióncubre la longitud total de la estnlctura sometida a momentos. '

donde u' representa el es{uerzo cortante virtual total en cualquier sec-

:j:1"'fi.':_y tTd,..id:lo. ra.carga de r tibra y i'a,/.)¿*, ,rr,,_sfntt l.r correspondiente deformación por co¡radura en ei tramo'dr pro_

1l:9: o:: las carqls reales que causan a. Et símboto I corresponde

l-ltj.1-^". tír seccron transversal y G al módulo de elasticidaá porcortadura_

): Itif ,

l-a destrucción (esto es, ra deformación debida al esruerzt¡ cons-t1,nte ), ¡uea¡.

demosrrarse igual a Vdsl(AGl ¡"*"¿"*l|'iu O"r,r,i_clon oel modulo de elasticidad por cortadura donde l, representa elmomento torsional producido en cualquier ,..ciór, t.nnrueiul po, lu:-C: d." 1 libra y Tdsl(Gt) representa el ángulo de torsión en unarongrrud ¿z.r correspondiente a la sección t¡ansversal y producido por:1

-:T.ia torsional Z ori.qinado por las mismas .u.gr. qu. causan a.r-r slmDolo / representa cl momento polar de inercia y -G

el módulode .elasticidad por cortadura. Esta ecúación pu.d. .r..'ibi.r.-po. ur.,o_Io.ría con Ia ecuación dc momentos y se obtiene en los libros de rcsis_tencia de materiales.

270. Gtnos cALcuLADos poR EL TRABA.Io vrnru,qr,. El térnrin<¡ dela izquierdzr cie cada. una dc I¿u ecuaciones i. tn" t.ut rju. ,ri.iu"l." qu"

¿) Rotacjón dc la B

barra AB

s 4'r4rflfl]1T[-fi[fimflE

¿,) AnBulo cntrc las ba-- c)rúl AB y BC

.) Pcndientc del cxt¡e-mo de una viga sim-

plemente apoyada

g) Rotación de üneje por to¡sión

¿1.) I,endiente cn ¿) Itendiente interel ext¡emo de mcdia en una viga

un voladizo simplemcnteapoyada

/) Pcndiente deun¿ plataforma

F¡g1tra 248. Plrres rittlkrles I ,liag,anas ¿e nl pot lttUízar en eI cálc lo d.e rotaciones

opuestos de tal modo que el valor calculado del trabajo virtual total-sea igual a la pendiente de Ia barra lB menos la pendiente de lal¡arra BC, Con frecuencia es conveniente aplicar a una estructura más

3¡16 ], INION E. CRINI,J'I{de una r::rrga virtual a la vez.total es la suma de ,u" o.ru.n' ^t^l- -t1'

r:aso' el trabajo interno vi¡tual

apricación ; ndivicr uar ;. ;;Til':T:,,L,iil'1, n,X' j:"::Hli:: ff;diferencia cn luga¡ de una surftterzas <r p"*. it,"ul"J""

¡urna se rnvrcrte el scntido de rr¡a dc las

271. Dnrl¡xlorqrs poR (iAR(r)aremos.

"",i.,, ;j.-pi;' ;ru,:lij'r?T;?:#:JT:.]lili^i;lllb: O.,l,rt trabajos virruales para aclarar la utilización iil pror:e-

,olT]l'],1'.-l,.f".er cjemplo consisti¡á ",. .l ú¡;;;;; lo i.il.*iónoe una vrga triangulada; ei segunclo corresponcle o l" d.t..mini,.¡¿n ,1.la pcndientc der extremo dc una viga; el tercero nos da ra defornaciónde una viga sometida a momentos v esfle¡zcts cortantcs \ el cuarto

;T::iJIa. at cátcuto de ta rotación rlel extrcmr¡ a" ,n .¡. ,,rrrl"ti¿n

a) Dellexiones en las uigas t

'erticares ie ru. a.'.*¡n.,"a. i:: ;::i::, ilj':: l:' ":il::l:":::

l:^"::-_."" l^ figura. 249 a) . En Ia t^ttu 8 ,"n.rrro, "* ."1,,_ri o. ._uerzos J producidos por la caroa real, un" .o¡r,_nu d;-;.rf;;;,

",.uales a producido. pL, unu.ui

,. :11" o; ..ru.,.o, u;.iuor": ;:i:*,: jj';:."',',:Xoi j:".: jT ::r:;rtuada en el punto D de la cabcza superior.

ñl_-,1é:_l/ /b.

""''i11,Ji "* "' 'l i;ll':':': :ll :l ,.'. r) r)e'cxión dc ,,n¡

r-ísu¡tt 21e. (rit..ltto ¿? rr",,.,,",,,;:,;:,,),tri-, ", ,,0,-,",,"','),,,,,,,,,.,

:L tabla of¡ecc un medio cómodo para calcujar l.gal_ r. ISzlZ que.!:: :,,t,?":."

er la ecuación 7 ) para determin.. l^ U"i,.l<i.-."á. ,r"n.:T^::i"

O.¡ viga triangulada tiene una sección dc 15 piesr. por clto,:l¡cLore. J l F. qucson (on(rdntcs n¡rr rnrt^. '^- -,^*i_. '"'.

cen después' de reali,". r^ ;.,"; l',11:il t?i:

T |f ::::L;:,i:,i:;uerzos .producidos por la carga se calculan en kips y I"" rr,r].'ii""f..multiplican por 1,000 como facto¡ de corrección. En t¿rles cál¡luos esral simplificar los cómputos tabulados

",.a;unr"

'"i1,rrif.i )"'rr,a...ttivos-

J)ETLT,XIONI]S DI] I,ÁS ES'I'RT]C'f LIR,{S

'l'¡er,¡ 8:387

C ólcul'o de la deformación de una^almadura por tabajar uirtuales,Fiaura 249 a)

:----=

ov': L{H = H*ffif*q = osspurg

^ f/ - F,{,/,¿ It7,R00 I 1000

^'" = L.4E - 15 . ,0,' o, :: = 033 pule

b) -Pendiente de una aiga. Calcule .la pendiente del ext¡emo de

una viga I en voladizo de 15 pies de luz, como la indicada en lafigura 249 b), caryada uniformemente con 500lb/pie. El momento deinercia es de 367.9 pulga. Para la ecuación 13) poiemos escribir

41 7 "2M:-r'', y m': J Jblpie; asíque, Mm,_M)(l y

" _ | ltso +1.7:.2 , I Tll 7/'l'du Il.7.t80l,'= ti Jo z o'= ttlz.¡J" -¡ x ¡¡,'0"á,n^,'^ 3dJ.e = 0.00357r1d

= 0. 12,.10,,.c) Dellexión de una ztiga producid.a por momento y esluerzo cor_

tante. Calcule la deformación en el extremo tte la viga én voladizode^la fi.gura 249 c) bajo el efecto de una carga en il extremo, de3.00_P: !l longitud de la üga es de 48 pulg y 1u sección trarsvemalde 12 X 12 pulg, de manera que l: t++'pit¿, e 1:1,728pulga. To_maremos para .E el valor 2.000,000 y para G 750,000 lb/pi;r. De lasecuaciones B) v 9) obtenemos

M :3o0¿, vt - 4 r/ : 800 lblpie. = L th/pie,\ lL v n ,t,. , f' v .,t., f{3 3uu¡',/r fr¡ 3n0 /r' - Jo Ei f Jo .r', ' J,, tt' ) Jo

".ii'" :1ür '\' 3rn \ lE^ :r <2.000.,¡0. r7:.' rr r7ro.Á6¡ _:;ffi:|rt_l-',

aara ls ¡en rti¡s¡Ju f, ,, ", ,,1

.i,,1 +roo -] ' ¡,¡z

.tc -283 I 0.94

I i,,,",tI 'r.,n -

i+o

SuL. u, (t tb en D) Su,L.32.000 i , oi:t I r16,00

+90,,100 -0.17 1{tIt+16,000

+ r ri,000

ttt +200 I +o o7 2to +32,000 +0 33

cDl 200 I 0.(i7

lttl+r4r ]l"t210 +32,000 0.33

3,10 +??,600 0.47 i1ry+32,000

/r/ll-toolto.¡s 4iio + r6,000 -i-0.67

t)E I l1l ) 0.47 340 .l-22,600 0.94

23u't,

+*:¿no

+ 147,8002SuL : + 247,600

3 fl¡i 1)Et'I_UXI()Nt.:S t)ti L.\S lis I Rtr(il t K.,\s 389Observc quc, inclus. cn est¿ (:ort¿l viga, la deflexión causacla p.r clesfucrzr, , orta¡te e-s I asi desprecrable ya que liac¡

"..¡ fi +l¿,'J" IiL <lcbid¿rtlmnr¡erto. Iin viqar clc esbeltcz no¡mal sc prcscindc usualrncntc dc Iadefornración causada por cl esfue¡zo co¡tantc.

, d) R.otación.de un eje. Clalculc la rotación torsional del ext¡emode un cie circula¡ de ace¡c¡ de I puleada cle aia_et,o--u-iZ pie, aelongitud, uno de (:uvos extrernos csti fij; micntras qr.-r"-uól.o of .rt.._mo librc un nomento de rorsión producido p"..i;;;; ii i., r,o_tr"de 20O libras sujctado del extremo de unn'puluni" á.-id prtgnarr.El valo¡ dc G cs de I 2.000,000. A partir i. -".,á"

J","r".rr,"r._",términos ner:csa¡ios para su crnpl"o eri Io ".uo.ijn'tSJl""'

'

?' - 200 x 20 = 4000 tb/pie, t, : tb/pie, , = ";; :0.0e8 pulgr

0 . ['l t,t., _ f ,aa l0o0./r lu.ru ^ l' J ct - Jo l:,obo.oorr .0.0c8 - r2,0¿ó,;o0 oons - 0.,1s '",t

= 28' fi'

,^_-?l :,* torsión angular_ parece excesrya debe servirnos de adver-iencta de que el sentido de los va]o¡es físicos no es intuitivo en el honr_Or.:i"^o T" se desarrolia por Ia experiencia u la oUse.uudjn

"..it¡.a.¿I¿, DEFLEXIONFS AIENAS A I,A CARGA POR MEDIO DE TRABAJOvrnru,rr-. Las dcformaciones pueden deberse u otro, inil*",l.in, ind._pendientemente de las cargas. Siempre pueden .J.rn.r.-_.A¡"*.

"lT"]"0? ¿. los trabajos virtuales, con tai que se .onor.un lor-a.fo._u_clones,lnternas correspondientes. por ejemplo, el acortamiento del con_creto durante el fraguado y la contracción o dilatación de ros materialespor electo de los cambios de temperatura son deformaciones fácilmentedeterminadas q:: p:.d.:. producir desplaza-i.r,to, J"-iol oi n,o, n.

:t ":1.i.,r1i. Si existe fijación de cualquier naturaleza d" til ,,,or,..or{uc cr camDto de terrperatura o contracción no solamente delorme Iaestructura modificando su forma geométrica ,ino qu" iu'roi""ru o .r_fuerzos, puede resultar difícil calc'ular las airi"^iil* 'i"iil'r* ..u,"r.Sin embargo, una vez oue se han _determina¿o tut.s ¿ltn.rnliiJr,"r, .or,facilidad puede determl¡rarse cualquiera d. I", d;;I"";;;t"* ..rul_tantes mediante el ernplco de los trabafos vi¡tuales.

Otro ejemplo de deformación sin introcl.ucción de cargas es la pro_:11:11",

p- b, malos aju-stes o por especificaci¿., ;r,t*li1.,ujo a. un:l:t""*. .estructural_

con Iongitud superior o inferior a Ia lonsitua teó_rlca exa(ta. Como los puentes se flichan bajo I" .o.gu .r--iruol aua' los elementos de I¡r cibeza superior una r.,i$,.d ,rpl;; ,il.o*i_u,damentc de /6. d_e pulgada ,, 10 pi"r. t,o aifi.¡-r'..ru"it#" ln.iullrnoa (contrJllccha) cvit¡ Lr flecha cxccriva de la estructura b.irjo lacarga. En una viga t¡iangulada simplcnrcntc npnuo,io,

".tor-,iif"r"rr.;n.

ele lonsitr¡d no sornctc¡r los clcnrcntos a csfuerzos, pero cn las csrmc_turas trianguladas hipcrestáticas v cn las continuas apareccn esfuerzos(lc mottaje que influyen en i¿rs dellexiones v corlplicán su cálculo. Encsta sección nos limitarcnros al cstudio de las deformaciones en las vigilstrianguladzrs sencillas.

, a) Delormaciones por electcts ttjrmicos. Ilnzt vig;r triangulada sim-plemente apovada en l¿r cubie¡t¿r clc un cclificio

"e h'a constrliclo de talmodo quc la cabez,a superior está so¡¡etida a la acción de los elemen_

tos Inie¡t¡as que el alma y l¿r cabeza inferior cstán compren<lidas dcntrodel edificio (fieura 250). c¿lcurc r¿ flccha en er centr. cr¡ando Iír tem-pe¡atura cxterior es de 30" C v la intcrior de 20,, C. La luz cs dc120 pies v cl (lanto o peraltc cle 12 pies. Como la totaliclad.l. la,,ot,.za

liguta 21). Deft?x¡ón ¿(hi(td aL des.e n de te tfetu!|r.a d¿ llt.abcu rp!r¡or

está somctida uniforntemente a un desr:enso de temperatura tle 50" C,y. pucde modificar su longitud sin fijación alguna, .su cambio de lon-gitud es de 0.0000065 X 120 X 12 t 90 : 0.á4 pulg. para calcular eldescenso máximo dc la armadura situamos una carla virtual unitariade I libra en el centro de l¡ I¡z de 120 pies. Esta ca-rga virtual produ_cirá en el centro del claro ,rn esfuerzo máximo en lt cabez,a di (,p12Y Ll2) - ¿, dondc P es I libra, L es la luz de 120 pies y j el cantode 12 pies. Por consiguiente, eí esfuerzn virtual ¿ en .i ..níro'a.l .1..oes de 2.5 libras. Los esfue¡zos virtuales qr¡e actúan en cada módulo deIa cabeza superior se indican en la figura 250. La correspondiente defor-mación té¡mica e n cada uno de Ios dicz módulos es de 0.g4 -+, It)-,0.084 pulc. Pnr lo. tantn, pLrerle calcularse el trabajo virtual para un\aror ,on\t¡nlc de d/. cn cad¿ módr¡lo,

A : t?r¿l, =a¿(:¿) = 0.034 (2.5 +2.0 + 1.5 + 1.0 +0.5) x2: O.O81 X7.5 X2:1.26r,.

b) Delormctción debila a d.iferencias en la longitud de las prczas.La ¿¡rmadura triangular sencilla inclicada en Ia {igura 25l .e fab.icó conlas inexactitudes de longitrrcl inclicadas en cada elemento. Dcseamos sabe¡l¡ dirccción v magnitud dc la delormación vc¡tical inicjal

"n B. Onlr.,n

I

t.

i

390

los valr¡res cle áZ en Ia ccuación rle los trabajos virtuales (A_>¡rd¿)son los e.¡ro¡es o faltas de ajuste indicados." ri li"ri."lir.¡ ló]u." n..._sa¡io calcular los esfuerzos ui.tuales ,,. pro.l t,.árr-' p", ' ,1r.".".g. o.I libra actuando hacia abaio en B para Ii armaclura ifry"á" ., Z y C.Esros esfuerzos u son . 0.8.i (cor.iresión ) ." ;;ñ;; .ri;;i"., +o.oz(tracción) en I¿ cabcza inferic,r,'y a" l_r.oO i,.^..i¿"1" É, i," rr".."

LI\ lrlN t... r,Rt\IIR

lt:tsAB

Erro¡ nl. u (en B) a. = ! (¿¿J l! m¡x*

+o.47 ) ñ ¿.7__t_'--o.22 I -0 22

+0.70

BC .-0.33 +o.67

AD -u.47 -0.83 +o¡--l- j;sDC +0.54 -0.83 I _0.45 _ o.4s

+r.00 I -0.25 I _o.zsDB -0.25

^B - ¿ud,,=-0.06,, i _r.ru"

DEFI-I|XIONES DI] I,AS I,STRTJCTURAS

t

391

Problemas

224. Calcula¡ ia deftexión verrical clel punro.t de la viga triangulada repre_sentada. Sob¡e los elementos se inriican sus sec.iones "u p,ilgr. /Ii0.0OO,OOO.

Rnspunsr,r: 0.139 pulg.225. CalcLrlc Ia rotación anguJar de la batta AB rle la viga triangulada delproblema 224.R¡spu¡sr¡:72.3,,.

.^ 2,6 ^94::k el rnáximo despláza¡¡iento hacia a¡riba del perfil en 1 del2pulg, 31.8ib, sustentado y cargado corno se inclica. f : if S.g'i',G+. pr"..1n-

dase dei peso propio.R¡spursr¡: 0.427 pulg.

. 227. ,CalcLrle las deflexiones por. flexión y cortadura en el centro de una

Ik*,-.:,: I,

_de..,]: l-!1.r0tb,que trabala. coío "ig" ,i-fi".""*

'"poyua^ a"

]l-0""]*:*11,],S1 :.p",'j" :". ca,ga central conce¡rrada dc 100,0001ú, Supongaquc se rmprdc er pandeo laterar de la viga y que er alma absorbc ra totaridaddei-csfuc¡zo cortantc. 1:301.6pulga. prescínda'se d"t p;.;. --"-"'^-' '"

l:o"j*:"'. Flexión: 0.0147 pulg. Corte - O,Qtgl p¡¡g.

228. Calcule ia deformación bajo la carga "n

C "r,

lu armadura del pro_blenra 224. Utilice los trabajos- virtrriles obseri,ando qu" lu. urlá.-"r-'irrli.udo, "nla lrqlrra sOn sccc,onCs én pul92.

fl

Problcma 224 llmblema 2?6 Problcma 229 l,robtema 230

'i.i,,is'T}j.i,oii",,1iolllll'",.0.,1ii..".,,iX?,.":*:.*.,:11**"o.,,"

Figltm 2tl. Deftexió dúirtn rt de!.t¡ust( ¡te k).\ etent¿ntos

vertical central. Por lo tanto, IzóZ que es la deflexión hacia aba¡o delnodo c€ntral B es, tal como se obtiene en la tabla, J"-.r" a" _ O.OOdc puJqada. El siqno negativu indica que I^ d.fr;;";;; ;".Iu",,¿"a .,:::11"il.,?i I "". l*,i".1!,.l: como habíamos supuesto cuando apri_

:1:,ot ,u":ur,S". virtual diliqidr hacia abajo en la figura 251. En I¿column¿ lrnal de l.r tal)ia vem()s que se habría obteniáo una deforma-r:ió¡ de 1 78 pul.q si se hubicran cambiado l.s signos á. i,., in.*o.t,-tudes longitudinalcs de l¿us barras lB v AD cle;";;.;;; toclos lostérminos fue¡an sumadr¡s.

2?9. Encre¡rtre la máxima dcflexión vertical de la arnradura pratt indicada,producida por un aumento de¡ temperafura cle il"C en la cabeza superior. ypo_stes,r\trcnro\. ¿) Suponga un , ireficiente de dilatación de 0.0000065. jSe pro_ou.e Ia dcfñrn¿(jdn hatia a|riba o hacia abajo? Explique por quó no son nece_sa¡ias las seccioncs transversalcs de los elemcntos. 'lr)'¿C;ál ,'".iu iu .uo_od¡for¡¿ción_ hacia abajo si todos los elcme¡tos de Iá iu"¿u inf"ri- tu.,,i".^r,Jnir ronert d suf).rior a la er:cr¿, ¡n % pulgi,Rrsp' ¡sr¡ : a,) 4,. ,,, 0.2J pulg: ó ) L f prrie.¿rlt. úra tube¡ia de accro se dobla cn la forma indicada para facilitar sudil('.rción. Il rrrnmcn.o polar d. ¡ncrria del rubo e. de 292 y el momenlo dernPr.r¿ rcsLr¡( lo al tlijmerr. dc 46pulgt. C¿l,ul¡ l¿ d.tleKió,r de¡ punro ,,1 cn

Ia. dirceriór¡ d" t¡,.¡rs¡ de I.000th r";i"nd,.) " ,"""" i, l*ti" rl'jo ,ol..i¿n., , rservc\e .fr.,, cl el¡nrenrn CD "e dobl: , n rrn plano diaqonal.K¡spUEsT^: l,// DUlp.

_ 23l. Encuentre cl clcsplazarnirnto absotuto er cl espacio del Dunto .4 del

tubo Lonciderado en cl prohleuJ 210. Elija tres ejt:s realizintlo los cálculos dr:l tra_I'aiu.virrual p.rra.obrcn.r.LL.,,,a¡n,¡nr'. dr ,^i" ,,'o¡.o¡n ..",i;, ;;;; ;1".J{r.s puF sr {: 1.77 Du¡s.

392

r6)

I. IN',t{)N E. (j rt tN.t.t.tr<273. Pnur¡t¿ DEL TEoREMA o¿ Casr¡clr,tNo. pue<ie ol¡tcnc¡sc tácil_, mentc una dernostración del tcorema de Castigliano,rr.¿io"i. fu a"o.indr: Jos trabajos vr'rtuales. La expresión aa

""i.¡.-Li".*l ,,r,"1 *

"' f M'ds"'JtúLa derivada parr:ial del trabajo interno rcspcLto ¿ la carga pi es

a! - l-" ¿p,, r,1rnt,Js,tP, J 2FJ'":J nt =^.

1)EFL[.XIONI]S Dti t.As Is.IRt'C,fliRAs 3g3

se t¡ansforma en el antiguo csfuerzo S dividiclo entrc la carga p. porconsieuiente, podemos escribir para cada barra

- /(\,5tr:(,i \P)(;,/:s¿,

\l ,S'a'l, \-.:'-¡¡L

-.lE É At:

t7)

Por lo tanto,

El significado de rn, coincide c.on el utilizado previamente en lostrabajos virtuales. La transfo¡mación final ¡esulta .ila..,t. .uo.,ao o¡_servamos..que ¿_lI/¿ pr reprcsenta la modificación en M prÁcida poruna modificación unitaria en pr, que coincide .on _i.íli ..uo.iondel trabajo virtual cuando p, y la carga de I li; "on

io'i.ul.r. po.lo tanto, las dos relaciones son idéntiá .uundo ,. a"r.u lo'a.fl"*l¿nen el punto. de aplicación y en la dirección d. h ;.g,^ ;,. p;;a calcular

i11'_ ilfi :ir #n::i"in;]' ""::' 11 il: T:"*; l*lu, :":virtual de I libra en el punto en cuestión. O¡s¿.r,.s.. or.-,ru i,n;.udiferencia entre el método de Castigliano y el de los i*üio, .,¡.tuut.,es el.orden en que se realizan la Jiferenciación n-i" 'i.,J.u.rur.

p_el.método de Castigliano, la expresión a"r tr"fruj,

'ini.rrl' i. ,na.rru

lll.:?.pu.. :b,:":. :l trabajo interno lo.ut, dii...;;j;;a"or) a.rpuc,

ffi::,:::'T' #,*:';*ü. lruiff fl:"i. .i"; ""::"u, Ji*l.;lp^arcial. sumándose o integrándose derp,iés pu.u o¡i."* t-i.fl.*l¿"l.l-ll,,r" nuesrro concepto, es más sencillo el emplco de los trabatosvlr¡uales

274, El ruonaue o¡ M¡xwn¡.r. sóRpF r ¡c

lil;, ^

ujl.-,.-.-",ri.-"'q,. ":i:"il,T:i,::,;'#T"ffi,JT1}3.:l::T p:l una carga p aplicada en el punto B es iguai at despraza_mrento del punto .B producido por ia misma .^.g." .pliluau .n

"tpunto.l. xsta ¡elación puede demostrars. rn.aiunr!-'.1"!_Jin a. lo:.y::iói de los trabajos virtualcs. Consider. fu .*p..riarl"f ] ,Sr¿l(AE).

_Cnando Ia carga p está -en

l, Ia carga de 1 libra está en B,donde ha de determinarse la deflexión. pa¡a calcular "fr".:r

ii"a*pn-zamiento_ en I con la carga en .8. debc cambia¡se a. pori"ial Ii'.o.g. ry la de I lib¡a. Por lo tanto, el nuevo esfuerzo J, se transforma cn elantiguo esfuerzo zl multiplicado por la carga p v el nr¡evo ¡,sfucrzo z¿

Por consiguientc, las expresiones para ei cresprazamiento son idénticas,o sea

J1 dehido a p cn 8==6,, debido ¡ / cn /lEsta es sólo una de las dive¡s¿rs formas del teorema cle Maxwell.

Recíprocídad de rotacione.¡ y. dellexioner. Tanbién fr"a.n .*r,i.¡tlaciones recíprocas entre rotacrones v cntrc una rotación v t¡na de_{lexión' pero iav qur tenrr cuidado aÍ sereccionar lo ."lu.i¿n .n..."ru.(;ompruebe s¡ son cierta{ o falsas ]as siguientcs afirmaciones rncdiante

Diagrcma f¡.

___4¡n]Trr'-.frÉDjagrama lM

---.-r¡r-ffiffn|mhÉDiagrama m'

Di¿gr¿ma m,

l)i¡gl.lnr¿ ¡1 no rclacn¡rado con cldc,r,indi(¡do rrril)¡

___*_mrr&P**Diag¡ana ,r, no ret¿(¡onado con er

de M indicado a¡ribxa) d¡ dcl'ido a 1:! d, dcj)i(tú .l/'i...Esta desig'r:rtdjrd sc ot,ri(ncrne,Uanrr I:¡ ilpli(rrión dc tos ¡ra.Dxros v¡r t,¡¡ Ics,

l),.f,.., a: t'rr,]?.,r,

- --ff/lllTrnrr -l)iagrama ,?, X fi: M como sc in-dicl lrrihr

á) ^,

dcbido n M = r, (tct)ido 1r

l" q:t,,..s ricrrn rr¡ln,t,, r:, rr¡crzar rJ,trc.,rt:r r'n.d r\ nr¡nr¿ric¡nrf rcrgt¡al ¡l vakn. M ¡plicnd.) (,n ,4

l)iagranl¡ ^,

+ ,.1 = ,r, como s(] i

t'igtr¿ 2r2. I,!t1tdío .t? lot di¿gÚt¡¡¡.s,M .\, nr l)a 1.ti/)ro.i¿d¿ ¿c l)(n.1í,?tcl\,¿rít.xia e\

:191.

el estudio de Ia ecuar:ión decaso. .Ll proccrlirnienro nrás l?:-jl.io"j*, "'lt"¿¡lcs. adecuada Pít¡a cacia

..fu.r.n" ,.o.,uii";;;.,,; erccrryo sn.á el dibu jar los diagranras clc

::m;r:"i:*.:.:i::1"il:::"i{,r.iü, j,"t :I",."jj:',#1,';l::

;ilj:Tiltrx: jil:::**il::i;lJ,;;;ii[1l:"ii::#1,rq,:

"" ,;l",ti,ill,l:l'::,i:""1'.ll::,"', '1 ocasiona¿'a por ur)¡ carsa :irr¡¿rcra en 1J

caso.se represenra r:n Ia figrrra ;;; "'i

t"*' e\Lá rituacla In / fncori,'cro). llstró) Lr ¡nndicnte d" ,r¡a uiu." .1,",

Li,, I ',11";::", l;: :'Í"0":l.,loll1;';ij1:,, r:i' ,ll;l,,ll"l:;l:,,,T,::iT

::"í:iir*1ffi.,1:,,i::1" "l-il;"',i,":ü:':l"X,,i:;;:",JT;1,".:,,,",,"0u,.1Í;

::'ff ;;il:'1rüite-iguar ar IIro¡ne¡rro orisinar r",.'",,iü. ii.',l"i-li. ,'" ".,^-. z1) La deflexión de una viga e¡¡ I or.asionada por cl esfuerzo cortante debido

:,n'i '?:';i.::i,f es igual a la -rleflexron

de ,orle en B cuando ra carga se ap)ica

,.e) ,La r.otación tor-siona¡ de ür

il'i::'""rr"¿r:';;'#"li:"il:,i1",,:l:Í.ff;'i".J^Í",i:'"i';i.l':'i:'",j,:::;-

", 3 ",1i ,li'J';?,Í""_,il',"""k,.;l,oÍ .1.l.,,,"'Tj¿ i"","#,,::,TTl,.:i,l::lj;

'n,,X!in",!Íiiijí'o!T:,:i!,#r*. 275. L,q* pRoposrr:roNFi

r)rl

l: lT_o:1,*',::.1 i;;;,"*';'ifii Ii_Til1,^.*.1.ü:X'^.#l:no son muy difíciles, pero si h: l?:, r"*": " i;;'q;;' ;i;";'i.'':":.:,::::Xi'T ii iÍ.Y'Triu.. j":;analtsls ¡esulta largc, y ¡¡¿¡¿,i¡.

ij,-:l .u,-.1. ¿. 1,".^, o;;;.i?i.'' Hi il I1:,.. ::[1.::: T fi::Til :¡ncrcra. eslucrzo\ (ortantes ! n

:nE;,'.1',*lr*i:r:i'#,,l*lü'id":!':"jiJJ";ü;:!:_.il*': ;,; ;;i;;i.'TJ?,#1',lli, J; jT,H,:", jl.Ji[l:",:.ji)ten ronocidos v muv ¡¡tiliz,rdns tcorcmas de lu. á."o.-,].,nr¡an¡o ¡ion,le he(ho.:rtificios que transforrres cn estos análisis usuales.

nan el cálculo de pr:ndicntes ; dcfk:xio-

Es- necesario recorclar quc en jos métocios qrre rlesar¡ollanos aquíe 'trhza

un diagrama lll(EI) quc prcclc n. tencr la rnisnr¡ lornr:r

:i95que el diagrama de momentos flexionantcs. De hecho, solamente cuancloel. material ts homogéneo de manera q,ue E cs co,rsiante, ,r, Iu ..."iOnfija de modo que l no varía, tendrá eldiagram¡, t1e

-M ' ¡ hll r una forma simi_ Diag,ana !Iar a l¿ clel dtaqramJ de momentos fle_

-:"

r_lNto\ t,t . (;RtNt.t,.I)TFI,EXIONI]S DE I,AS ]IST'RTJC'I'I]RAS

xiona¡tes. Se obtiene fácilmente esta de-

::T:::"'::-:',:ida una de las cuatro

" I

proposiciones_ de área-momento, a p'artirde la ecuación de los trabajos virtuales.

entre los dos puntos I y B ti 0u -_ 0,como se.ve- en la figura 253 a), prefe_nmos calcular el valor de 0t_0i me-dia¡te una sola aplicación del reorema

I'R2

PnoposrcróN l. ol ca-¡io ¿e ner,_ -- :r{i]mmr[ffilrng]3gMa n'diente entre dos puntos cualesquierá d. o!-^

t'' M'/ |una viga es igual al área comorendi.l, '" R;'ocnl¡e lo. dos punros baio Ia r.urva rr Propo.j, ión ,

y,:,:-r!^:. 9:l:.:l cambio ie pendiente Diacrama I

,d¡^ Ios.

¡rabajos .viriu a l"*. en lugar de en tul Di¿gram¿ m'

car momertos virtuales unita¡ios de sig- l{'a "o4 TrlXul lo!.o

do". El procedimiento ronsiste" en "pii i;ftcar momentos virtrralec rr.;r.";^" ¡- ::- lK, u /bf u.;q.. ln:nos opues(os simultáneamente en A y'B ¿) proposi.ión ?para producir un diagrama m,. Las réac_clones extremas resultantes son Fhi^ñ^é- ¡lgun 25) canlhio de Pendíente

,iir^ , l" 3"9 ";.pti;.r' a.';# ,n"t \ dcttexióñ n ta\ uísas

tavorable ia integración. Naturalmeíte, 0,n.y 0o podrian calcul:rrie porseparado con el mismo resultadmos escribir

to. A partir de Ia figura 25! a) pode_

"-'"-tv[fleJo,

r,r?' es, unitaria para todos los puntos comprendidos entre I v By nula en los demás; por lo tanto

t8) '"-"=r#'que_es cl área bajo la curva Ml(EI) entre los puntos I v R.Pnopos¡c¡ó¡. 2. La deflexián á. f. *.""'"i;r#; u'u utgu .,,punto I

-medida desde Ia tangente en el punto B es igual ul^lrorn.n,n::.11:l

a.l área. bajo ta cu.Á .Ml_1Er| 1"i.. r* io.'|inio,"..,p"..,at pl¡nto ,4 en el qle se desea J.r de{lexión.

Dc Ia figura 253 á) deducimos A: (Ar J ga) ,t... Como en eltcorema o proposición 1, resulta prcferible realizar sólo ,., Ji,,ul,, ¿"1

:196 I- I \'t () N Ft . (; R ¡ \ I. I,t ,,traba.;o virtual. Ira¡¿ detcrnabalo cle I lib¡a en o u or,,ll.tttt l' ill "pli* una ca¡ga

'e¡tical hacia

I iiú¡a en l. p;;.;;;;,i;:" -\: un¿r cars¿r ve rticat h:rcia ar¡iba ctt:

pie en lJ cn ,.nti,rn ."t.ón.oif,' jt]lt-'"flit"t* tin momento de I libra-varor rrc r x

", "i a,..e,,ii';jr'Iffi::H':,'Til:T:.jX#"&TT;l

*ffiiL ::T"T:;"H:"..;' ,";'1ÍJ:"Tl;1,il,

@iirrrüilirllllillilillllfllilm¡E ffü ;r::iji ..1*;,X.,iiÍl:,"'*,':f x{:.-/l

",,r,. "- '^-,^-'.. i ur ''.

fu@ft#ffi'T' .s)

^ = I:: !'?'f'

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t4,.;-''',;,íl :':.iX:'#,I¿ilTo.J.x.';,,1J:.;:"" "

_##: :i:'::g"ff,;j..T"1il;::,.-;lirSSU4ryl. n*"tí,+jr xT:rilr$:l;:

t//b. 9luq,lr, r' y rin.u t"]sj:^ltit nl tipo de- sustentación clc

,@ tri ffi:x'i11':::l',': 1'i.'"hl:j:lTl

¿) t'¡oposición 4

Itr"nt ,:\.t .t'',..il,t, ,,t,w,tútt , a [)t-''r' I" (Y'u)

oPttP\|t':t 'tc ht\ 1is't\

L:::^-Tt I," fo¡ma. del diaurama rn' que

_.1 j d. Ja viga simpreme." .üi;;ü,'i'.,llo Í'li,","oi,Jl.:TÍf:j:resutl¡ evidenre quc e.rc diagr¡rnr, trl, ,"p,"."i,^ ,"rrlü,n"-,ii",""" u"influenci¡t dcl esfuerzn , ortant-e en ei prrnto ,,1 dr otra vi€J simplemen¡c

1l?^11" -q"., th-amos viga .onju.qada. tu uig" ."";,,.r:^0" il,, *,"qonada con la real, pero no er

¡"1;1,"r".., i. ;, ';. ;;:"L::'.:ilil.T.T"f;Ji:";,1::"i1"?:";'u',"iiiiíiu:,'t"ái,:'fi1ñ."jfi,::ilTlol I ,., '.,'".,'."...i0,,,,0,.,,.,¡1;u

j ta .'ja

"n r J 0,."' j') )' il,).' ;T " ;l::" ;::'.:,'"".;l'.',,:"1 :',T: : l i;tot.rr en pt punkr I dc I.r r,ig r conjugaJ¿¡ cuando ..tá coáa),

"n lu

,'*l iiiftilTil;l,i*iill iiillrl ;, l'',rlri"lr,,::l'f::,[l illi l] ;lr;l

totalidacl de su longitud con ei cliagrama ,l4l(EI) dc la yiga re:rl. porlo tanto, podcnos calcul¿r¡ la pencliintc dc la viga real .om,r- el e.{uerzocortantc en el

_punto corespond.iente de l,r viq:r ronjugrdl (.uando estácargada con el área MI(EI) tle l¿ vis¡ ¡e¿]. Se cled"uce cle aqrrr qucla pendiente. extrema dc ]a viga rear es ig:ual al esfuerzo .n.,on-," a,,r..auo reacción del extremo dc la riga conjrrgada. lsto nos ayu.la.á a dete._minar el tipo de sustcntación de )r viga_cnnjug"da 1{i.qr,ra 255). Laviga real y la conjugada siempre tienen la misla lons;ud.Pnornsrc¡ó.q 4, La dcflexión r"al dc unr riqa cn cu¡lq¡¡ie¡ p¡¡1¡

es igual al momcnto flector en el p-unto co..esponáiente de li. u,ga con_jugada cargada con el área Ul(Él) ar la viga real. n.tu a.,',ortro.iOnes casi idóntica a Ia del teorenia 3 y se dejuce de la observación degY: .l q¡rs:"Ti m' en la figura 254 ó) representa tambíén la línea delnrruenclü^-de_ ¡4r para ia viga conjugada. lista proposición demuestraque la deflexión del ext¡emo de Ia viga rcal debe'ser igual al nromentodc cmpotre o fijación cn el extremo lrr¡recpond.entc dc la viea conjrr_gada. Esta información se utjlizará para completar nuestra' determi-nació¡ del tipo de sustentación de la viga cnnjqgada.

276. Apovos nARA LA vIcA coNJUcADA. La forma com() sc sus_tenta- la viga conjugada no depende áe la carga d. lu r.u!- fu. tn qr"a cada tipo le corresponde uni viga conjugad-a deter;;;;;i' .omo scindica en la figura 255.

. .Claros sencillos y wladizos. Considere el extrcmo de la izqurerda

1^. J" -]_.lqi ]-pJ:-*" apoyada en la figura 255 ,). Como -,:n

ra t,igarear exlste pendrente en el extremo, en Ia conjugada debe producirseun esfuerzo cortante en el extremo (proposición "3¡ ol int.niu.,. unu

::li,iii ..11..i R, :d,, pendienre.-en ei ext.cmo izquierdo de ta vigare¿l. f,l her-ho de qlle no exi.ta deflexión en el extrem,, izquicrda dc

'j^ l'^,*l I' nos dice, quc no debe haber momenlo .n "l ,*rr",nir:rqui.rao:" 11

t,qu cnnjugada fproposición 4) y por lo tanto llegamos a la con-(ruston de qur Ia v¡ga conjugada está rimplemcnrc apov,rd.r cn cl extrc-rno de Ja izquicrda. Por medio de un rizonamieni, sirnilar , rn,pr.,_l^.o: Ol. también cstá sinlplcmente apovada en cl extremo de laoerccna. -t:ara ta viga en voledizo de Ia figura 25Sb), en cl soportc

f ^11-'Í:,]:":11 no puedc haber pcndiente exrrema ni defterion. porro qu' r¿ vrq:r conjugada r.' puede tener esfuerzo co¡tante ni momentoen er extrem¡ izquierdo, lo que cxi.gc que esté libre. En contrastc, elextrer¡o de l¡ derccha de csie volaáizo tiene una f.rai.ri"".ra.._"de d:r v una deflexión A,,, pqr lo que concluimos qr. i, .""1"g"a" a"n.tenc¡ cn ci cxtremo derecho r¡n. esfue¡zo cortarrte p.o,lucijo por lare¿rr:ción extrema y un monrento, ln,quc. exiee q""..,!._pÁi."au. fo.co¡rsigricnte, ¡esulta evidentc que la viga tonjugacra de u¡r voracrizt¡

r)[¡ Ll]xION Ir.S l)f. t. 4s ¡:s-r.Rt f ;.f t ! l{3s:tlr7

39fl l. 1Nl()N L. (;RtN.f I,:R

sencillo es simétrico del p.imero. Las vis¿Ls conjusadas para los cnrp()-tres en ¿r;y d) se dedrrcen por cornparación directa con o) y ú).

Reacciones interiore¡, Una viga puede tener un apoyo intermediocorno se inclica en la figura 255 e). F,n este apoyo interior no se pre-senta deflexión, por lo que no puede haber ¡romento en el punto corres_pondiente de la viga conjugada, exigenria quc se cumple media¡te unaarticulación. !-alta determinar si esta articulación debe estar o no con_tenida en un punto fijo de reacción. En realidad, ia curva elástica dela viga real no presenta discontinuidad angular sobre el apoyo intcrror,de donde sc deduce que no debe habe¡ discontinuidad en la curva deesfuerzo cortante de la viga conjugada (ya que el esfuerzo cortante encsta viga es igual a la pendiente de la ¡eal en los puntos correspon-dicntes). Por consiguiente, la articulación interna de la viga conju.qadano debe estar ubicada en un punto de ¡eacción.

Yigas rcalcs con carg¿s

ttt=O -'. iJ lJll-,..- t - =,, , tl2=O

R,=e,l -{lli p,=o

¡r', =o ,,.,T--rf;fll,:\',..n ^4=oRt= o v \ Pr-o

P,- e, I

R¿=€zF¡guro 2tr. Al'oro! d( ta ¡'iea tontfuea¿t

Equilibrio de la aiga t:onjup_aLla. Se observará que todas las viga-sonjueada,s son cstátic¿rmc¡te cleterrninad:rs, incluso cuando ]a viea reals estáticamentc indetcminada. Por consigrricnte, l¿rs reaccio¡es clc I¿¡

iga tonjueada v sL¡s nromcntos v csfucrzos cortantcs se (l(tc¡-rn¡lrar¡

c)

cl)

e)

u) o'=o&a,o'=o

.. ¿,-o1 lp"' "rfEr]

€¿-o

Viga coniugada con cargarcales r ru¡vas clásticas

Rz=az

1)IiFLI]XTONES DII I,AS [.STRUC'I'U RAS

lácilmente por cstática- lln muchos casos la viga conjugada ¡rareceincstable, como ocurre en c), l), e) y f) de la figura 255, pero se ob_servará quc el diagrama MI(EI) que forma la carga de la viea con_jugada está equilibrado de tal manera cn cuanto se ¡efiere á áreasnegativas y positivas (cargas hacia arriba y hacia abajo) que las reac_ciones que faltan cn la viga conjugada son nulas y el sistema está enequilibrio estático. Dc hecho, la viga conjugada de una continua devarios claros sólo tiene dos reacciones en los extremos. Los apoyosinternos no son necesarios y se presentan en la viga conjueada me_diante.rrticul¿cionc\ sin a po) o.

Rnsuu¡¡1. Las siguientes sugerencias ayudzrrán a_l lector a ¡ecor_dar la correspondencia. entre las reacciones de la viga real y las de Iaconjugada. I)eben estudiarse junto con la figura 255.

399

a) Un apoyo sinrple de extrcmo perrnanece invariable.á) Un extremo empotr-ado se transforma cn un extremor) Un apoyo-eu, hill¡ inrerior cn

articulación sin apoyo (y viceversa).

libre (y vicer ersa).una viga continua se sustituye por una

Deflexión máxima.x El método de l¿ viga conjugada resulta con-veniente para la determinación de la defler<ión máxima. Este valormáximo de la deflexión corresponde al momento máximo en la vigaconjugada, que debe presentarse en el punto de esfuerzo cortante nulode la viga conjugada. Se comprueba también que el punto de esfuerzocortante nulo €n la viga conjugada corresponde al punto de pendientece¡o en la viga real. Este punto de pendiente nu]a es naturalmenteun punto de máxima deflexión hacia arriba o hacia abajo.

277. E¡nwvro DEL uso DE L¡s Án¡es DE MoMENTo. El ejemplosiguiente aclarará el empleo de las cuatro proposiciones de las áreasde momentos. La nayor'parte de los problcmas pueden resolverse porcualquiera de los dos primeros tcorema^s relativos al cambio de pen-dientcs y a la deflexión desde la tangente, o mediante las dos últimasproposiciones que utilizan el concepto de la viga conjugada. En térmi-nos generales, las dos primeras proposicioncs son convenientes sr unatangente de pendiente conocida c¡ nula puede trazarse hacia la cu¡vacliástica en algún punto, como en el extlemo empotrado de un voladizohorizontal. Si no existe una pendiente conocida en Ia curva elástica dedonde pueda t¡azarse un¿r tangente, usua]mente nos es más convenienteutilizar la viga conjugada.

* J. W. Howc ha prcscnla{to rrna gráfica para simptificar ta dererminación de Ianráxima dcflexión cn v;gas coDrir,r¡¡s; Ciril )tngineeting, ocr bre dc 1935, página 637.

-t.00 l, I\f o\ I,,. (;ltf .\"tI]RVipa con uoledizo. Ll n¿t vigzr e¡ voladizo soporta una {:arga cleJ0t) kips en su cxtremo librc. L¿s din.¡ensioncs ,or, .o,.,,o sc i¡dica en

la, ilustració^n. de la figura 256 a). La sección transversal e.s una !,1¡F(AA) d:36" 1,91.5 cm) a 300 Ib/pie. Determine la-s náximas deftexio-nes, hacia arriba ¡ hacia ahejo v las pendientes en el sopo.tc interior\ cr exrremo t¡bre. pre.i indiendo del pr.o disrrihuido dc Ia .,iqa mrsntr.EJ diagrama de momentos .,,^.,"pr..Én,u .'ot r. tu ,igf f .i'aiug.u-ot|l I ( EI ) se da también e n la figura 256.

Pendiente ¿¿ C. Mediante la proposición I la pendiente en C esequivalente al área Ml(EI) de,1 a C-por r.. nulu iu pendiente en l.Por 1o tanto, podcmos escribir la siguiente ..,,.,.ió; -;J;;;; el emplcodel área MIEI a partir de la flqura 256 b).

" / r8.r X t0,) J.j.z \ rjOo\'r='l t ' 2' )

:-t1'1 - Fonn6l5radiane\

: 28, scntido dei ¡eloi

Pendiente ¿¿ D. Conociendo la pendiente en C simplemente in-crcrnentamos esa pendiente medi¿nte el áre..t Ml(EI) cntre C v D paraobtener la pendiente en D. por ]o tanto,

3tj.2 x 220¡ttt: tlt l - ¡¡-" : n.OOat5 + 0.00398: +0.0t213 radianes

_ 12, cnnrido dcl rnluj

Deflexión en D. Mediante la proposición 2 la deflexión en l)medida a.partir.de la tangente o la iu.u" .ta.ti.u ."-,1 -iq,ri'lu

U,on_gente-horizontal) equivale al momento estático respecto a D del áreaM I (EI ) entre D y Á. por consiguiente, ."1.;l;;;:i;"";eío estáticode la^to^tatidad del área Ml(E7) de A a D ..rp.o"'1")i'".¡r tu fl_gura 256 á) corro sigue

to = - t8:1 ' 3D9 '. t:2 . r,ro (3 ' 30o l- 600 l- 22n)

- 36.2 " r,0U , /6,10 \ in., "!,' z ;lo- \ \ J' i 22')/ -r" r"^ r- i . (; ,:zo)_ _2.22 L1.i$ to.5x . r 237 j,.¡,eJdis l,.,,i.o,,ri.i

Esta deflexión es más bien considerable, ) ocurre en una viga oue sola_

?::r:,-:.^ ":1":-, a una.[rriqa n,,rnrat dc rr.rbajo de iO.O-OO ifr7p,,lq,.¡rs{o slr\e para acentutr la , ornprobación necqsaria cle deflexiones antes

::..:I .:1!"'- prn)ecto scr lprob{o si prcsenta característicirs por:crt¡suales. l.¡ra poder redu, i¡ l,r deflexión aprcciablc en el extrento

Dtr¡LEXIONES DE I,AS ISTRUCTIJRAS401rrbre D, sería necesario reducir

-la pendiente de ra r:urva elástica enel puntq reactivo C. Esto se pu

tramo AC). -_,.o. l1gr1 añadiendo una carga en elDellexíón mtixima ha-

cia ariba. Como se in-dica en la figra 256 c),la curva elástica alca¡zauna deflexión máximahacia arriba entre lossoporteslyC.Eviden_temente, en este puntola tangente a ]a cur-va elástica es horizontal.Como la tangente estambién horizontal enel extremo l, mediantela proposición I vemosque el área Ml(EI) en-tre estos dos puntos debeser nula o ceto, o es-tar compuesta de áreasiguales positivas y ne-gativas. Esta observaciónnos conduce a la loca_lización del punto demáxima deflexión hacia

dJ Viga conjugada cor, carga MIEIFigura 2tó. Deflexión rnedíante drea ae momentos

arriba a 50 pies a la derecha de ,4. Mediante la proposición 2 la de_flexión en E.a partir de la tangente horizontal ." .

¿- i. -.ouirul.nr.

ulmomento estático de l:rs lrex Ml¡U\u pu.ti. a. a o f"i.ip..,o u A.Por Io tanto, podemos escribir

ama¡cn¡: -'';iL:3\ r20or :ro¡7 -1 r8r2!30q ¡,,¡6¡?\ i'ro ' , X l*-,^. ,"u

: _ 1.09 putg

^"_!:!lZl O: la uiga conjugada. Cada uno de los cátcutos anterioresPara pendrente o deflexión puede llevarse a efecto c; ,._.i"",. co"-veniencia m.ed-iante el empleo de la viga .."jrg;; .".*.i.'.r"" A ¿a_srama Ml(EI) como se indica ." ri tgu.';'2-5;¿)l''líi"#i_. r:"en el soportc izquierdo I de la-viga real se remplaza por el extremo

lJ-;i-tiT."ti","lifhll[',itlo' Er snporte r"'i'"" i-pü '" c *extrimo rib¡c ,,o upoyuáo *'a':.if#;.li j:.Ilfirtr1'ff.;..:]

a) ViSa con diagrltna de momentos

ú) Diagran¡a MIEI X tOa

.) CuNa elásrica

402 I-IN|ON E. GRINTIIR

tremo empotrado a rnano derecha en la viga conjugada. El área

MI(EI) de la viga real se indica como una carga sobre la vig'a

:onjugada.Mediante la proposición 3, Ios es{uerzos cortantes en [a viga con-

iugada son numéricamente iguales a la-s pendientes de la real. Como

0o se presenta una reacción vertical en la viga conjugada en A o C,:l es{uefzo cortante en cualquier punto es equivalente al área Ml(EI)r la izquierda de ese punto. Por lo tanto,

/ te.l 300\ /3f,- ,iOo\0'' (,,'J' ".-/ (,;; ; / - "0rxrqr5'ddidne(:

,, : 0.008rs * (]# ,.21Q) : + o.orzrr ."aiun".

Mediante la proposición 4, los momentos flectores en la viga con-

iugada son numéricamente iguales a las deflexiones de la viga real.

lomo no se presenta ningún momento flexiona¡te en la articulación:n C, sino solamente un esfuerzo cortante vertical equivalente a 9c o

f0.00815, inmediatamente calculamos el momento flector en D debido

r la carga M I (EI ) como

,trA) ,rt\ t \a,. .- 0.00815 / 220 : ("io; ' -; -; 22o ) - !.37 pule.

El punto de máxima deflexión hacia a¡rib'a ocurrirá en un punto

le esfuirzo cortante cero en la viga conjugada' Tal punto se encuentra

:n E ya que el área Ml(EI) de A a' B es equivalente al área positiva

V I (EI ) de B a E y no se presenta esfuerzo cortante de extremo en l.-a deflexión en E calculada como el momento flexionante de este parirea-momento a la izquierda de E es

^' -- l'1.l 3ou)

' l nnn - I 09 Pults . Deflexión máxima

\ru" ¿ / ¡ nactaarfloaj

-os signos de los giros y deflexiones no son muy importantes Por ser,

¡eneralmente , obvias sus direcciones.

278. Pnoprsn¿nns Dtr LA p.cnÁeor-e. Como el empleo significa-ivo de las proposiciones área-momento se basa en la solución de pro-rlemas numéricos más que en Ia obtención de fórmulas para pendientes

' deflexiones en casos normales, es necesario que estemos familia¡izados:on la parábola, que es la forma del diagrama de momentos siempre

lue se presenten cargas uniformes.

E¡r.lrelo otrrner.. Siernpre que el diagrama dc r¡omentos- sea un áIea

otal;ente palabólica) como se .ePrcsenta en 1a tigora 257 a)' cl á'ea interio¡

nu..ad^ .ort llneas inclinadas será cquivalcnte a dos te¡cios del ár'ea a )( b del

DEI'LEXIONES DE LAS IISTRUCTIIRAS 403

rectángulo envolventc, quc deja un tefcio del área del rectángulo al cxterior.Los centioides de estas á¡eas parabólicas s¿ representan en la figura. Debemos

cuida¡ de nc enrplear estos valores para un segmento parabólico, esto es, unárea bo¡deada por una parábola, pero qüe no se extiende hasta el vértice. Se

maneja mejor un segmento parabóiico como un área total parabólica menos unrectángulo y una superficie parabólica menor, como se representa en ó). Porejemplo, el área I : á¡eas (1 + 2 + 3) -3 -2; también el área 1/: áreas (1'+ 2' + 3'\ _3' _2'

¿) Areas pa¡abólicas totales ó) Segmentos parabólicos

Fig ra 2t7. Constantes para áreas parab¿lica!

279. Drrn¡rlrrxecró¡r cnÁ¡rc¡. DE LAS DEFLEXIoNES EN vIGAS. Como

se puede calculax la deflexión como el momento flector en la viga con-

jugada producido por su carga M | (EI ), está claro que la curva elástica

de la viga real es idéntica al diagrama de momentos para la viga con'jugada. Por lo tanto, podemos trazar un diagrama de fuerzas y un

polígono funicular para las cargas M|(EI), de modo que éste repre-

sente el diagrama de momentos de la viga conjugada o la curva elástica

en la viga real. Se recordará que las intersecciones en el pollgono

{unicular deben ser multiplicadas por la distancia polar a partir del

pollgono de fuerzas para equivaler a los momentos flexionantes Si el

procedimiento ha de llevarse a efecto gráficamente, serán necesarios

dos polígonos funiculares, repres€ntando uno de ellos los momentos

flectores en la viga real v el segundo los momentos flexionantes en Ia

viga conjugada.

Problem¡ts

232. Calcule la pendiente extrema y la deflerión máxima de una viga de

.41 (ala ancha) de 36pulg,230lb para un claro simple de 60 pies, cuando se

carga a su esfuerzo permisible de 18,0001b,/pulg2 Por una carga unifo¡me. Nodesa¡rolle fórmulas.

R¡spursr,c: Defl. - 1.8 pulg; pendiente : 0" 27 pies 30 pulg.

233. IJna viga I de 2'lpulg, 79.91b, se extiende como voladizo 15 pies ysoporta una carga concentrada de 10,0001b a l0 pies del ext¡emo empotrado.

405404 I-]N'ION E. ORINTIR

Deten¡ine el uráximo esfucrzo de fibra. la pt:ndicntc v la deflexión en el cxtrefirolibre. lnrlrrya el "fe.rr: del l)¡\o nue,rñ

Rnspur:sr,r: Defl.: 0.1B pulg; pcndientc- 0" 4 pies, 20pulg.234. Una viga empotrada en ambos ext¡erros soporta una carga total uniformede |,204lb/pie a lo largo de una luz de 20 pies. Calcule la deflexión máxi¡nasi la secciór es una viga de ala ancha de 12pulg que tiene un momento deinercia de 182.4 pulga. Compare con la máxima deflexión producida por unaca¡ga central de 16,0001b que produce el rnismo esfue¡zo de fibra. Haga unacornparación adicional con las deflr:xioncs lráxir¡as en vigas simplcs cargadasen la misma forma a este esfuerzo dc fib¡a y teniendo Ia rnisma sccción. Hagaüso de las ár-eas-momento.

Rtspu¡sr¡.: Las deflexiones son 0.16; 0.21; 0.53: 0.42.

235. Determine la máxima deflexión de la viga representada debida sola-mente a las cargas concentradas. La viga es de madera, l2pulg de ancho y 30de canto. Tome un módulo de elasticidad de 600,000 lb/pulge.

Rospu¡sr'¿: A,nu,- 1.1 pulg (aproximadamente ) .

236. Como la Íórmula flexional pala una viga de concreto ¡efoüada es

f ":2M/(kjbd)', debe ser equivalcnte ^ l: Mc/I, y como c: Éd, podemos

indicar que I- jk2bd3/2. Derive esta fórmula y luego determine la deflexiónteórica de una viga de conc¡eto de l2pulg de ancho y 18 de canto al acero,que lleva cuat¡o barras de 3l pulg, si el tramo sencrllo es de 20 pies y la cargatotal es de 1,000lb/pie. Sea E.:2.000,000 y 4:30.000,000.

R¿spuest¡: A: % pulg (aproximadamente ) .

237. Comprucbe la deflexión del problegra 236 mediante el cálculo de unmomento de inercia a partir de la fó¡mr¡la Í,:M/(pjbd)2. Explique por quéno se espera que Ia deflexión real de tal viga de concreto sea tan grande comola deflexión teó¡ica.

/504a/b. 5000

Métod,os especi.ales ,para e.l cálc_ulo de cleflexionesen ui,gas triangulod,as

280, MÉro¡o DE pEsos ElÁsrrcos EN ARMADURAS. Si calculamosla deflexión de cada punto de módulo en una viga triangulada, porel trabajo virtual, los cálculos requieren ta-ntas repeticiones como halladeflexiones punto-módulo. El procedimientc, por lo tanto, se !.uelvetediosamente inaceptable cuando se requieren más de dos o tres de-flexiones. En contraste, el método gráfico de las áreas-momento paravigas, desarrolla la totalidad de la curua elástica con un poco má; dees{uerzo que el necesario para obtener una sola deflexión. El empleode las áreas-momento puede extenderse al campo de las deflexionei enarmaduras, en el que se le conoce como el método de los pesos elásticos,El término pesos angulares o cargas de ángulo sería quizá más apro-piado ya que las cargas ima"ginarias consideradas se ha encontrado sonlos cambios angulares a lo largo de la línea-carga deflexionada, la cuales un polígono sumamente plano.

Cargas de óngulo para uigas trianguladas. Hemos visto que lacarga aplicada a Ia viga conjugada en las proposiciones tercera y cuartade las áreas-momento es el diagrama M|(EI). Pero para cualquierpequeña longitud dx esta carga vale Mdxl(EI), que es el cambio an-gular a lo largo de la curva elástica de la viga en la longitud dff.Para armadurx, la curva elástica o la línea-carga deflexionada es unaserie de líneas quebradas, con todos los cambios de ángulo concentra-dos en los puntos-módulo. Por consiguiente, Ia aplicación del procedi-miento viga-conjugada requiere que calculemos el cambio angular netoo total para la a¡madura en cada punto-rnódulo a lo largo de la líneade carga. Estos cambios angulares se t¡ansforman luego en cargas an-gulares sobre la viga conjugada, y el diagrama de momentos producidopor esta serie de cargas concentradas representará la línea-carga realdeflexionada de la viga triangulada. Estamos suponiendo, desde luego,que la línea de carga es idéntica a la línea-cuerda o cabeza a lo largode la cua.l se calculan los cambios angula-res. Si la línea de carga estásituada a la mitad de la altura de la armadura (como sucede en oca-siones) las cargas de ángulo deberán ser corregidas para representaxlos cambios angulares a lo largo de esta línea de carga. Para vigastrianguladas simplemente apoyadas es posible considerar la armaduracomo r€presentativa de su propia conjugada, pero es mucho más segurotener en mente que las cargas angulares sean correctamente aplicadasa una viga conjugada imaginaria. Este método se analiza. en detalleen el volumcn II, secciones 42 y 43.

281. E¡, u¡acn¡ue Wlr-lror pARA DEFLDxroNEs. Este diae¡am¿! csfrecu€ntemente empleado por aquellos que prefieren ün métoáo pura-

I)EFI.f X f O\tS Df I qS I':S I RUC I URAS

5000 7000 /ooo/b.I ti

Iroblcma ?3j I'roblema 239

238. Determine gráficamentc ia cu¡va elástica y la deflexión máxima cnuna viga sinrplemente apoyada de 30 pies. cargada unJformcmente por: unafuerza que aumenta de cero en ul1 cxtre¡]ro a 6001b/pie en el ot¡o extrimo. Laviga es l normal de l0pulg,35 lb. Pr¡scinda del pcsá de Ia vJqa y compare ladefleKión obtenida con la deflexión máxima adr¡isible d¡: 1/360 del claro.1- 145.8 pulga.

Rrspu¡sr¡: A,,*: 1/a pulg.

?39. Determine la curva elástica y la deflexión máxima para la viga reprc-sentada. Observe que el polígono funicula¡ debc ser dibujado de modo que sep¡esente una deflexión ccro o nllla en A y C. Esto pucde lograrse al corregirla Iínea base. Considere Ia carga unilormr:.omo una sclie conrpuesta por 13 con-

l

l^ 3o.n,/oa./b. I I

:K/ visa t c2 lL 6a' I 4a' +34

l_ /30-_ )

406 I, IN'I'0N E. (JITINI'IiR

mente gráfico en la determinación de deflexiones par.a vigas triangu-ladas. El diagrama Williot sc dibuja fácihnente v proporciona unaexcelente precisión. La rinica dificultad pcsible consiste en que estediagrama aumenta rápidamente al continuar el trazado, por lo que es

a veces nccesario redibujar el diagrama a una escala menor o permitirlecxtendcr-c a otra hoja de dibujo.

Sería sencillo para un topógrafo tazar un diagrama de viga tri-angulada, en el terreno, mediante el empleo de un tránsito y cintaengomada. Luego, conociendo los cambios en las longitudes de los ele-

mcntos producidos por el esluer-

, zo, podría marcar con cinta Iaforma de l¿ est¡urtura deflexio-nada comenzando por el extre-mo empotrado v reteniendo alprimer elemento en su posiciónoriginal. Lsto le proporcionaríados puntos de partida que sonnecesarios porque puede locali-

zarse un nuevo punto mediante el trazo de arcos a pa¡tir de los dospuntos conocidos. Los dos diagrama-s para una armadura de tablerosuperior aparecerían como se indica en la figura 258. Luego, girandoen un pequeño ángulo respecto de I la totalidad del diagrama defle-xionado hasta que E" sea una horizontal respecto de E, nuestro topó-grafo obtendría la posición real del diagrama-deflexión para la vigatriangulada. Este giro final es siempre necesario a no ser que exista enla armadura un elemento que no gire, tal como una vertical centralcuando la viga'triangulada y las cargas son simétricas. En ese caso, eldiagrama-deflexión real puede detcrminarse mediante el trazo de laarmadura comenzando con ese elemento en su dirección fija.

Elección de escala. Si corxideramos el hecho de que los elemenrosde la armadura (o los radios) varían de 10 a 50 pies iproximadamenteen longitud, mientras que las correspondientes deflexiones máximas dearmadura (o de arcos) puede esperarse sean de 1 a 5 pulgadas, se

vuelve aparente que el método para localizar puntos-módulo deflexio-nados mediante el trazo de arcos es un refinamiento innecesario. Sepuede obtener suficiente precisión mediante el cambio de los pequeñosarcos de giro a líneas rectas cortas perpendicr¡lares a sus respectivos¡adios. La ventaja de este procedimiento es obvia. Puede ser reducidala escala para los elementos de la viga triangulada hasta que la arma-dura sea dibujada en una hoja nomal de dibujo v aún así la escalapara las deformaciones de los elemehtos puede ser inc¡cnrcntada hastaque las.de{lexiones sean rnedibles con exactitud. T:rl diagranra se repre-

DEITLEXIONES DE LAS ESTRTTC.T.TJRAS +o7

senta en la {igura 259 a) y nuevamente en á), donde la escala de laslongitudes en los elementos de la anr.radura sc ha reducido más todavía.

En la figura 259 a) eI punto I permanece lijo en posición de ma_nera que l'coincide con l. Permaneciendo el elemento lC horizontal,srtuamos C' (la nueva situación de C) a una distancia A,a¿ ¿ l¿ ;"-quierda de C ya que lC cs un elemcnto que se acorta. El elemento lB

con A'

¿) Diagrama lvilliorFigurt 251]. Deftexiones r¿latilrds en un¿iga trianglLlada

,/ Tjilx,;g. "

Figufa 259. E olución del rliagrama.deflexíón WiUioL Las llneas de t¡azos o que,t¡radas rep¡esentan la posición distorsioüada de la viga triangulada. l, y C,, las ¡iue-vas posiciones d.e A y C son localizadss prjmero: luego. e-n serr,encja. IocalizamosB', Iy y E'..La.s llneas de punros rep¡esentan al elemento exrendiéndose desde lanueva posrcrón de su extremo ferc¡no antes rie ser gi¡ado r-especto a ese ext¡emo,

se alarga una magnitud A¡" que se traza hacia abajo a la derechade B. En el extremo de a,L¡ dibujamos una perpendicular que repre-senta la rotación del extre¡no B del elemento lB respecto a A'. Ahorael elemento BC delx pasar a través de C', y antes de girar respectoa C'es de su longitud original y paralelo a su posición inicial comoindica la línea de puntos. A partir del extremo inferior de esta posiciónde BC Irazamos la deformación A¿c hacia arriba a la derecha (ele-mento de compresión) y en el extremo superior de ARc se levanta unaperpendicular, equivalente a un arco de giro res¡recto a C'. Las dosperpendiculares trazadas a partir de las posiciones temi¡ales de A¡¡y A¡rc se inters€ctan en B',la nueva posición deflexionada del nodo.B.De modo silrilar, se encuentra D' a partir de B y C' para luego se-guir E a partir de los puntos D' y C'. Por consiguiente, Ias líneas que-bradas representan la posición distonionada de la viga triangulada.

El único propósito de los elementos de armadura en la figura 259 a)o á) es proporcionar las direcciones de las perpendiculares empleadasen la localización de los puntos-módulo deflexionados. Es más conve-

¿) Diagrama-deflexión

408 I-INT'ON Ii. GRINTERniente separar el diagrama-deflexión del diagrama de la viea triangu-lada. ll,l resultado es el diagrama Williot de deflcxión en ¿ ) , un dia-grama cn todo similar respecto a a) o b) pero en el cual las longitudesde los elementos de armadura se han reducido a cero. De acuerdo conesto, todos los puntos-módulo de .! a" E inclusive de la estructura nodeflexionada yacen en l'y la deflexión de cualquier punto tal como _A

?-l-t " A'-8. Este diagrama puede dibujarse i una-cscala cualquiera.El Iector dcbe segui4 inmediatamente la transformación de cada defor-mación marcada A y cada perpendicular (línea-s llenas delgadas) dea) a b) a c) en la figura 259. Lucgo léanse las reglas del proóedimientopara el dibujo del diagrama Williot como se dan a continuación.

Reglas del procedimiento. Para abreviar, se puede dibujar el dia-grama de Williot de la figura 259 c) mediante el empleo de las reglassiguientes :

a) -El extremo fijo de la viga triangulada en I fo¡ma el punto de partidar¡a¡cado con l' en la figura 259 d). Como se supone que el eiemento l'C per-¡¡anecc ho¡izontal y se sabc que se acorta (elemento de iompresión), C/ se muevca la izquierda relativa a A, err la magnitud de este acortamientó Ar". DibujeA/¿, a partir de.4', el punto al que se refiere.

á) Cada nodo deflexionado sucesivo sc localiEa a partir de sus movimientos¡elativos a dos puntos situados pr-cviamentc, B, en la fieura 259 d) se localizaa parti¡ de las posiciones conocidas de A'y C'. El moviñienro de B relativo alpr,lnto l'es hacia abajo y a la derecha, paralelo a lB en la magnitud de AIJJdebido al alargamienro del elemento lB. Dibuje Ar,, a partir a"" Z, et punlóal que se refiere. En el extremo de esta dcflexión trazada ie dibuja una perpen-dicular que represe¡ta el giro de la baua ,4B r-especto a lr. El punto B se muevetambién hacia arriba y a la der-ccha relativo a C,, debjdo al acortarnicnto delelcmento BC. La deformación r¡azada vale Ar" dibujándola par:alela al ele_mento .BC

-co¡nenzando a partir de C, en el diagrama Williot, el prrnto al quc

se refie¡e. Una perpendicular dibujada a parti¡ del extremo de esta defo¡macióntrazada intcrsecta la perpendicular a

^n¡ previamente dibujada para localizar.

a B/, la nueva posición del nodo B.c) Todos los demás nodos prreden scr localizados suoesivanlente sieuiendo

un plocedirnienro idóntico ¿l nxpli,ado "n á). Las deflexioncs finales ob'renidas(medidas de A' ¿ B', de A' a C,, dc A, a D,, ctcétera) son relativas a I comoun punto fijo y a A-C como r¡na dirección fija. por lo tanto, para cualrluicrnodo tal como D, l' representa sLr poslción or.iginal en espacio y D, rc¡rlesenrasu posición final como se deternrjna mediante cl diaeraná Williot.

282. El ¡¡¡cnelr¡ Mosn DE RorAcróN. Se hizo ver cuando sediscutía la figura 258 que la deflexión real de diagrama podía deter_minarse mediante el giro dc la esüuctura deflexionada respecto al ex-tremo fijo de la izquierda hast.r que el extrcmo derecho descansarasobre su estribo. Debe aplicarse una corrección similar al di¿sramaWilliot de la fisura 259 c). F,stá claro .que si este diagrama ."¡r..-r.,,tu

l)E¡f_EXIONtrS DE I,AS I.STRUCTI]RAS 40g

las deflexiones reales en lugar de las deflexiones relativas,.E" estaríasituada en una línea horizonta.l a través de 1,.En la figura 260 a) se desarrolla el diagrama Mohr de giros. Un

pequeño giro contra reloj respecto a I produce los movimientoJ de nodoC-C", B-8", E-E', etcéiera.'La viga triangulad,,. h; Jib;i;;; " ""u

l,gln-tt 260. Corre.ci¿n para gíros. Díagrnna de Mohr

escala muy reducida y la-s deflexiones se indican apropiadam€nte comocortas líneas rectas perpendiculares a los radios a travÉs de l. Se podráver que estos movimientos de nodos pledrn ;lgruparse en el pequeño

!11g*-u a Ia izquierda en el que Á', -8" ,rplrrintu a B_8,, 'sobre el

dibujo de la armadura, A"-D', representa a D_D,,, efcétera. Este pe_queño diagr¿ma, figura 260 a),. ei

-lo mjsmo que el diagrama rnayorde Ia armadura en donde los desplazamientos ie nodo sI representanen nodos separados, pero en la ligura nrás pequeña Ias lonsitudes delos elementos de Ia viga triangulada se han ieducido a c..o.'i. podráobservar aún más que este pequeño diagrama es, en realidad,,rr, áibu;oa escala de la armadura (girado 90. contra reloj) tazado sobre A,,_8,(que equivale a E-E"') como una base.x por lo tanto, los radios a

¿) ¡lvo¡ucidn del diagrama de Mohr

s€r nedtd¿ vetticalmente

¡r) Diagrama Willior-Mohr

V¡ga girada de modo similaral giro de la viga t¡iaÍguladamediante el diagrama

rrr ¡eurud vef caimenle y o ¡puede ser medida horizontalme¡fe

Cua¡do 6 es pequeña, A' puedes€r nedid¿ verticalmente y 4,5

de [4ohr. \\1bserve que: 2,"¿:, Zr, Ar,q, 11

a la deIIe¡ión de ¿rmadura

Articulación fija

Figlro 26t. Repksentacíón rte \ellexíones telatiuis

partir de l" representan desplazamientos de nodo producidos medianteqiros. Como no existe traslacjón del nodo ,4, los puntos A., y A coincid,en,

J*t; *"g: ?::'1,;3;,0'-"""'ión cn ra proporción de ios rados en t¡iÍnsuros

410 I, IN'I'ON E. GRIN'I'ER283. EL or-ccRer{A coMBrNADo Wrruor-Mor¡s. Falta aún comb!

nar los diagramas Williot y lt4ohr, como se representa en Ia ligura260 á). Ahora está claro ¡ror qué se empleó una rotación contra ielojen a). Para mayor conveniencia preferimos dejar la viga triangulada ensu posición deflexionada como ya ha sido determinado media¡rte eldiagrama Williot; asimismo, preferimos girar la estructura no deflexio-nada en sentido contra reloj hasta que el punto E, que ahora se hatra¡sformado en Eu', qucde sobre una línea horizontal a través de .E".Debido a.l pequeño giro considerado aquí, menos de 1o, podemos pres-cindir del cambio de dirección de un elemento de viga triangulada.Estos puntos se ilustran en la figura 261. Al sobreponer el dragramaMohr sobre el diagrama Williot, figura 260 ó), deben observarse lasreglas siguientes.

a) Sitú,e A" en A' ya que el nrovinliento final (A,'-A,) del punto I es nulo.b) Sítúe E' en una ve¡tical a través de l'y sobre una línea ho¡r'zontal a

través de E/. Esto fija la escala del diagrama Mohr.c) Construya el diagrama Mohr sobre A'-8, en la posición que la arrna-

dura toma cuando se gira en sentido retrógrado a través ie 90o respecto al ex-tremo fijo .4 a la izquierda.

Cuando se sigue este procedimiento podemos medir a escala las de-flexiones ¡eales de los nodos como A"-A',8"-B', D'-D', etcétera; estoes, a partir de los puntos de la viga triangulada girada mas no deflexio-nada (diagrama Mohr) a los puntos correspondientes de la viga tri-angulada girada y deflexionada (diagrama Williot). Esto es ciertoporque las estructuras giradas y deflexionadas representadas por el dia-grama combinado Williot-Mohr están en las mismas posiciones relativasque las armaduras no cargadas o cargadas que deicansan sob¡e susestribos. La figura 261 ayudará al lecto¡ a visualizar el significado delas deflexiones relativas. Se ilustra una viga deflexionada, pero se apli-can las mismas ¡elaciones para vigas trianguladas.

E¡rvero. La figura 262 b) muestra un dibujo a cscala de un diagrama Williot-Mohr para una a¡madu¡a de cabeza superior curva. En ó) se explica el procedi-úiento empleado. Como la carga es simétrica, podemos tomar al poste centralU3l3 como la veriical y obtcner las deflexio¡es ¡ealcs evitándo¡os cl dibujo deldiagrama Mohr. Véase ia figrrra 262 c). Si la estructura o la carga hubieran sidoasimét¡icas no se presentarían barras libres de giro y se requer-iría un diagrarraMohr.

284, D¿EI"¿xIo¡'rrs EsrRucruRALES poR LA cEolrETRíe o¡ WrLLIot.Las deflexiones en marcos continuos se calculan usualmente medianteel trabajo virtual o mediante el empleo de las áreas-momcnto. Sin em-

keT,9/\l\\*1Nl

/rrrll -rN1t L2

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\asl .pZ*l ".u11\.\ -l z dl ,y/ N¡ \ca.ooY-o,s'|/o srl -o s\ls 1o 15

6 @ 25'= /50'

DEFLEXIONES DE I,AS IS'IRI]CTTJRAS4l I

¿) Diagraml (¡c viga rriangutada .on deformaciones

\\

s

\e b) A I't izquict!1a: Dia8rama \Vittior.\ \fohr ¡omen/¡ndo l"on el ctc¡¡renro1-"/-1 como l],ori?ontal. LLE = L"i- t,,r

:t:3

c) Arriba: Diagrama Williot comen-zando con el elemento ü¿s como v€r-tical y detormación cero. La escalapa¡a.) es el doblc de la de ó). De-bido a la simet¡la. solarnente aauellospuntos módulos á la izqulerdia detcentro son Iocalizados

Figura 262. Deter l;,úción eftjlíca .]e deflexíones para 1)ila triangt tad.a

+12 t.t\toN l.t. (; RINlril{bargo, frccucntenicnte deseamos tr¿rzar la estn¡ctura dcflcxir¡n¿d¿L nrr:-diante un croquis r'ápiclo, sin r¡er ne,e.¡rianrcntc cn grrn precisión.Par¡ cste propósito ron útiles los conr:cptos gconrétricos de trVilliot paralu clctcrrninar:i<in de dcflexioncs.

,igu.m 261. Itellcxíones ¡trcdidt¡t( geo ttlrld esttlutu¡al

Iin la figura 263 el desplazamientc¡ lateral de 1 pulgada cn .B dalugar a un desplazamicnto ho¡izontal de I pulgada del nodo C si se

prescinde del cambio ligero en la longitud del clemento BC. Pe¡o elmovimiento de C depende de dos posibles rotaciones. El clcmento BCpucde girar respecto a 1l dando lugar a un desplazamiento vertical de Cmientras el elcmcnto C1) puede girlr respecto a D. En lugar de arcos

empleamos pcrpendiculares debido a que la-s escalas dc los elementoshan sido reducidas considerablcmente. El desplazamiento CC'del nodoC es, por lo tanto, fácil de trazar o calculado en rcalidad como 1 n'lc'X cos t9 si se requiere cl valor vc¡dadero.

Problemas

240. Los ca¡rbios r'r:alcs ¡¡r Las longiludes dr: los var.ios elementos cie I:r vigatr-iansulada son pr'oducidos por la car'ga P, y se represental en el dibujo de Iaarmadura. Dctclmine la folna de la cabeza infer'ior dcflcxionada mcdiantc el¡'azado dcl diagrarna Williot-Mohr. li::10.000,000.

R¡spu¡sr¡: AI/¡: 0.58 pnlg.

?4/. Detclnrine el diaqrarna drficxión par.a la viga tr.iangrrlada represcnraoa,ploducido por una rarga mrrerta de 2,[)00lb/pie dc ar-¡ladur¡. I;x csfircrzos por-carga nruer'ta se'dan cn la ilustfación. Las árcas sc han rst:¡.ito sob¡c los ele-me¡tos. l)ctcr-nrinc grá{icarneüte l¡ deflcxión cenrral dibrrjando un diagramaWilliot, y conrpnrebe mediante un crírlcuio Linico de trabajc virtrrai. r!':30.000,000.

RusPt¡¡:s1a: 4,,,,,,: 0.92 pulg..?42. I)ctclnrinc el diagranra'def lexión pala la cabeza srrpcliol dc la viga

tr'iangnlada reprcscntada. Cada clcnrc¡io de aLna ticnc un ár'ca dr: 4 puJg! ycada elcnrcnto de cabeza tienc rrn irrea dc 1)prrlg!. Corrprrrrl;c srr nráxinra dr.-flexión mediantc el trabajo viltrrel. Ii-.30.00r).0lXl.

RrsPr jr.rsi.\| Án,r,.: 1.1.1 pulu.

b cao c oo¡ dl)tt |,r,rxroNrr.s Dn t.As Iisl Rlicf uRÁs

Problema 240

l'rcblcma 242

+13

Ibras

J

Esluerzos debidosa Ia ca¡ga muerta

Problen¿ 241

243._ En la Iigur.a 263, sea lB-20pi¡5, BC:t5pj¿5 Y CD:35p¡".. ¡1tramo horizontal cle A a D vale 30 pies. l)etermilre cl áesplazamiento CClcuando AR:0.5 pulg.

Usos pata dellexiones calculadas285. Apucecrorv¡s DEL c_ÁLcuI.o DE DEFLExToNES, El empleo más

esencial para nuestro conocimiento sobre dellexiones está en ei análisisde cstructuras indeterminadas. Los métodos clásicos de análisis en es_

I'tgü1.t 2ó4..Monhje .a ríleut. st contro!.j ¡ttüia re et úttuk ¿e de exianes. Elpórtic¡r vc¡tical cs r¡na cst¡ucrura lemporJI cmpleadr .o.o "poyo

¡ii,árr".l _"*', ¡c. ..\rimismo, s, .,iÉ. u,, srarrr.r,, pérrí,o si 'r.,, ,lcrr,.,io,r,;';l;,,i;J.,;:;,, ,",,.,.l3i. ¿ c\lrrh(um

"a¡r.1 5urt,.Ir,r¡r,. .sobr,. cl rg|l d,, I,órrno sill n.rcsi¡lid J,.,n,pl',r 'i''.rnJc ¡le €aros (ornt'ti{ I,tu- t.t p.\n ,t,.t .mollrrj,: ,r(pado,. qr¡. s,n|l¡e!.x ro rrrgo ,r. Lr ,. r,/.¡ (lrl.erior :rrr¡,t, .r t.¡ ,tFtlc\ió,r

to " tt ¿s #*1"-l

+t,1 I, I\ I()N GRTN'fIIR

.ructuras cstátic&lnentc indeter¡nin¿das, que serán considcrados cr1 cl

,iguiente capítulo, reqttieren el cálculo de Ias deflcxi<¡ncs. Sin cmbargo,

ie presentan otras aplicaciones imPortantes.

a) lis rnuy usual c¡r l¡ construcción de Lrn Prrente la er-ccción ¿le la estru'-

ura con üna cLrrvatllra hacia arriha ¡ contreflecha de modo quc no sea apalcnte

rna flecha en cuanto se elinlinc la obra f¡lsa y las cargas se pr"senten en 1rl

)uente. La megnitud de la t:ontraflccha se detel.m;ná a partiI de la deflexión'figura 265).

ó) Cuando ar-rraduras-pucnte son rlontadas corrlo cantilevcrs (los ef'os d¡l.ero son genclahnente nontados así), es ncccsario el cálculo de las deflr:xionr:s

lebidas al peso nrucrto de rnodo qLre se pcrmila a los extl-emos centilevers encr)n'

rarse a la altula apropiada (figula 264).

c) Cuando se comParan diversos tipos de cstructLrras de pucnte en r'elación

ron su aplicación e¡r una sitt¡ación Particular, sus deflexiones relativas deben

€ner unt importantc considerarión. El puente rígido (flecha pequeña) usual-

¡ente se¡ía pfeferible.r1) Es usrral cn los diferentes tipos de construcción Para las especificacroncs.

imitar el pcralte mínimo de r.rna viga o armadura a algún factor que va de

l/ro a 1/ro del tramo. Si la delnanda de espacio librc vertical r¡rquiere una altura

Fi\ra 26J. (h t|dlülLha o tablero inferior' La calretcr:L sobrr el P'!(. (c n 'uNa

:lil"'i*',,';,'* ;lll,:,o,ii.'"""1','.',l.:'";":,":,T: 'l:';' ;!'.lx':: i::,]i 11i.,iliti,;;,;;i.'; r,,,,q,,i'" r',,,'',,'i1" :,;:ji,:i'i r:',,,r,,',,i''

l)EFLI!.XIO1.\ES DE LAS ISTRUCTURAS

flecha la deflexión debida a cargas vivas.Se puede lograr una contra-llecha en unaarrn adura de considerables dimen.iones me-dia"nte el cambio de longitud de cada ele-nento en una magnitud aproximada a Iacantidad de deformación bajo el efecto deesfuerzos. Luego, cuando se aplica esfuerzot()tal, tomará su longitud apropiada y lawiera- triangulada se deflexionará en unaposición horizontal (figura 265 ) . Como loscarnbios en las longitudes de los elementospara una armadura pequeña son aproxi_m¿ad¿rmente Ios mis¡nos que la toleranciaperrnitida en la fabricación, no puede serernpleado este método, El procedimientorrsu¿ll en una armadura corta mnsiste encl :rlerqarlicnlo de l¡ ruerda superior paraque se produzca la contraflecha deseada.

:tlJ

rnás esbelta, a la dellexión no se le permite exccder Ia de una viga o a¡madurade canto mínimo ap'"¡iudo.

a) La deflexión de una viga ernpleada en un edificio se limita frecuente_rnente a %60 de la luz para evita| el agrictarniento de la pasta que se añada.

f) Como la deflexión y 1a vibración esrán íntimamente relacionadas cntre sí,las cstructures sujetas a vibreciones extr.emas deben ser diseñadas con llmitesestrictos de rigidez y dellexión. Un artículo escrito por W. lVatters pago¡r en elEtzgineering Neuts-Record, en julio 12 dc I9J4, discute sobre las vib¡acio¡res pro_ducidas por chimeneas altas y demuestra cómo pueden ser eiiminaclas las vitra_ciones no deseable< I la. d,flexiones excesivas.

g) En puentes de gran luz Ia rigidez dcbe ser adecuada pala evitar la vibra_ciórr acumulativa o "galope" bajo Ia acción del riento. El puentc de suspensiónTaconra Narrows fue dcst¡uido el 7 de novieml¡re de 1940 por fue¡zas aerodinárnicas que produjeron dellexiones catastróficas de 25 pies o más en sólo unperiodo de vibración de cuatro segundos, Esta luz de 2,800 pies fue el tercerpr¡ente más largo del ¡rundo. [l ¡cntedio a esto es la ,"cluccón dc las ruerzasaerodinámicas y el incremento cn ligidez. Usualmente se pueden reducir Iasfuerzas aerodinámicas mediante la elección de una viga triangulada dgidizanteen lugar de una viga de alma llena, proveyendo aberturas en cl sistema de ¡lisode ¡nane¡a que se igualen Las presiones por aire. La rigidez se aumenta mediánteel ensanchamiento del piso y el leforzado del sistema de piso, pero dependef urrdamentalmente del canto o la rigidez dc la armadur¿ o vjge itiesado¡a. Ladeflexión torsional del puente Tacoma se discuie e ilustra en li sección 182 delvolurnen II.

286. CoNrn,r¡r¡cHA DE ARMADURAS. Algunos ingenieros empleanla contraflecha en vigas trianguladas de manera que sea horizontal baioel efecto del peso mueno. mjentras que orros incluyen en la contrá-

F;gur¡l 2ó6. contrallechacn arnta¿útu

416 I,tN'ION I.] - (;RIN-t. IiR

l-1 "1,t*"o regla.del pulgar cr¡nsistía cn la prolongación cle la cabcz¿r

:lT::1: "j . s, de PuLqadd. pnr ' ad:r dicz pics .je longirud. pero elsrgr¡lr-nrc mFtodo cs nlás s¿lisl¡ttorirr-Método afuox.imado para contrallecha. La deflexión contraflecha

se encucntra mediante el cálculo dc la deflexión debida al peso muertoy a la carga viva en una viga triangulacla. En lo fig.r.; 2;¡ia iefler.iónse rcpresenta por A. El lector püede demo¡t ar qie IDBC:012 porser IDBC Ia diferencia d, t,Dl!,). |CBA. L pa.tir del triánguloBCD _tencmos que tg0l2: t + lLl?), o, .o-o A'e, u,, ?"ngrto .rypequeño. podemos esrribir /pd-- 4Al¿. Luego ha¡emo" uso f,ej rrián_guto IJtb para determinar la expresión rg0: ALI(2h). Si igualamos

atos dgs rlforel para una led v risolvemos p..a un'uolá. á, I¿, o¡t._nemos la tormula

20) ^r - 8l¡a

"- L

Es razonable contraJlechar una viga triangulada mediante el incre_mento de la longitud de la cabeza superior en un AZ siempre y cuandoel. cambio en la longitud de una diagonal s€a menor q.,.'lu ál..un.iuadmisible en su fabricación.

problemas

- ?l4..Un? viga de ala ancha de lOpulg,49 lb, actúa como un claro sencillode 25 pies de largo. Determine la carga máxima uniforme y el cor¡esDondientcesfue¡zo fibroso máximo si el Iímite ña deflexiones f, a-" y'rri' *"". i 1."Rcspuesr¡: 777 lh/píe: 13.400ll,,pLrrg-.

, 215. Una viga de 3Opulg,., 4 zo u¿ 2o u" ,n u. 1121b y ora de S6putg, efi0 U,

p s,Lt)-¿\,ñ::-;5:-=\-:- 7\ -J soportan cargas uniformes a 1o!:,-.'/5",0. o"o a".o 7\, .r rvr¡w"4" r ursas u'r¡Iorme( a

f x y . \. \. , si larro.de las mismas luces y rie-

^- )/o lo 1, 5 t, s j to-io ' ncn dcflexiones n'áximas ,.qurva-4@20'-80' -1,,ili:";,oii1'¿;"0""'r5.i1",*..,1i

IIIFI,EXIONES I'E I,AS ¡:STRUC'1'URAS +I7

elementos de la cabeza inferior tieneü valores,L/r excesivos, ,córno se les pondríagidos temporalmente par'a pernritir el montajc?

Rrspu¡s¡¡: 3l pics 6rt(,, pulg.

287. Suu¡nro. El conocimiento de los métodos importantes en el

cálculo de las deflexioncs es parte esencial del estudio del análisis de

las estructuras indeterminadas. Sin embargo, se encontrará útil un cono-cimiento básico de deflexiones en diferentes campos de acción. Porejemplo, se sabe que una importante firma n¡anufacturera gastó variosmiles de dólares investigando acerca de máquinas-herramientas en unintento por reducir la vibración con el empleo de aleaciones de acero.

Como la única propiedad del metal que afecta a Ia deflexión es el valorde E, que es prácticamente constante para todos los aceros, sus esfuerzos

fuero¡ inútiles desde el comienzo. Este es sólo uno de los costosos erro-res que frecuentemente cometen ingenieros entrenados inadecuadamente.

Los métodos para calcular deflexiones que han sido estudiados se

dividen en cuatro grupos para indicar su importancia relativa:a) Teorema de Cattigliano. Este teorema es particularmente impo¡tante ya

que está asociado con el método clásico de los trabajos virtuales en el análisis

de estructuras indeterminadas.

b) Trabajo uírtual. úste es el artificio más útil en disponibilidad, ya que

es aplicable al cálculo de cualquier defleúón o giro bajo cualquier condiciónde carga. Sin emllargo, solamente da una deflexión (componente) por cada sis'

tema de cálculo separado.

c) Ar¿as-ñomento. Llna concepción amplia de las áreas-momento incluyetambién a la viga conjugada y pesos-ángulo en las vigas tlianguladas, Estas Pro-posiciones son pafticularmente útiles para determinar una curva elástica y paraelabo¡ar cálculos numéricos r'ápidos.

d) Geometría-delleriln. Algunos lectores pueden considerar que debería ha'berse puesto mayor importancia en los procedimientos visuales del análisis dedeflexioncs. Los concepios visuales o geomébicos son muy importantes y debenser empleados por los ingenieros siempre qne sea posible. Sin embargo, hemosde elaborar tantos cálculos de deflexiones en el análisis de estructuras indeter-minadas que los artificios semiautomáticos en el cálculo de dcflexiones, pre-sentados aquí, son Io absolutamente necesar¡os.

e) Diagrama l|lillíot-Mohr, Este procedimie¡to puramente gráfico para ladeterminación de deflexiones de vigas tlianguladas es tan altamente satisfáctorioque se emplea eo su propio campo hasta la casi virtual exclusión de los demásmétodos. Un diagrama único da las deflexiones d.e todos los pu¡tos-módulo,

Se dan muchos nombres a las aplicaciones especiales de los métodosbásicos discutidos aquí. Los términos pesos elásticos, pesos ángulo ypesos momento han sido empleados con la intención de clarificar laconcepción de una carga-ángulo. El nombre método barra-cadena ha

l,roblema 247 viga- -de-36-pulg

tiene un eslue¡zode 18,000lb/pulg2. Exphque.

. 146. calcure er acortamiento de. ra cabeza ,"[.,"#:ill; ii;tj'ril/lr{il;"del-p-roblema 24t, que proporcionurá,,n" "o;;.Ji;.;"- "i ri"^r""i?'

^i' a"rrr" a"la deflexión debida á la.aie¿ mu.rra.

Rospu¡sr¡ r 2.94 pule.

,247. La viga- triángu'lada repr.esentacla ha de ser nontada nrediante el ,né_todo cantilever._Si el peso muerio es de 5001b/pie a,, "r,,,"Jr*,- "li;.^a" ^ I",pu¡tos-módulo Lg

^ Ll y si se presenra una carsa concenirada de 4,500Ib en Z3producrcla por el equipo de montajc, encucntrc la Iongitud ap¡op'iada del ba_ranoar cte montajc de maner¿ que /_, quede situada sob¡c un asiáto al mismonlv€¡ que ¿{r. Las árcas de tndos los elementos sn indican cn la fieura. Si los