Compound Angles

The algebraic sum of two or more angles is called a compound angle. i.e., A+B, A-B, A+B+C,

A-B+C e.t.c are compound angles.

NOTE:

sin A ± B ≠ sin A ±sin B

cos A ± B ≠ cos A ± cos B

Tan A ± B = Tan A ± Tan B

Important formulae:-

1. sin A + B = sin A cos B + cos A sin B

2. sin A − B = sin A cos B − cos A sin B

3. cos A + B = cos A cos B − sin A sin B

4. cos A − B = cos A cos B + sin A sin B

5. Tan A + B =Tan A+Tan B

1−Tan A Tan B

6. Tan A − B =Tan A−Tan B

1+Tan A Tan B

7. cot A + B =cot B cot A−1

cot B+Cot A

8. cot A − B =cot B cot A+1

cot B−Cot A

9. sin A + B sin A − B = sin2 A − sin2 B (OR) = cos2 B − cos2 A

10. cos A + B cos A − B = cos2 A − sin2 B (OR) = cos2 B − sin2 A

11. Tan π

4+ A =

1+TanA

1−TanA | cot

π

4+ A =

cotA −1

cotA +1

12. Tan π

4− A =

1−TanA

1+TanA | cot

π

4− A =

cotA +1

cotA −1

1) sin A + B + sin A − B = 2 sin A cos B

2) sin A + B − sin A − B = 2 cos A sin B

3) cos A + B + cos A − B = 2 cos A cos B

4) cos A + B − cos A − B = −2 sin A sin B

5) cos A − B − cos A + B = 2 sin A sin B

NOTE:

1) Tan π

4+ A . Tan

π

4− A = 1

2) Cot π

4+ A . Cot

π

4− A = 1

3) If A+B+C = n π where n ∈ Z then

a) Tan A + Tan B + Tan C = Tan A Tan B Tan C

b) Cot A Cot B + Cot B Cot C + Cot A Cot C = 1

4) If A+B+C = (2 n+1)π

2 where n ∈ Z then

a) Tan A Tan B +Tan C Tan B+ Tan A Tan C = 1

b) Cot A+ Cot B+ Cot C = Cot A Cot B Cot C

5) If A + B = nπ +π

2 then

a) (1+Tan A)(1+Tan B) = 2

b) (1-Cot A)(1- Cot B) = 2

c) (1+Cot A)(1+Cot B) = 2 Cot A Cot B

6) If A + B = nπ−π

4 then

a) (1 – Tan A)(1 – Tan B) = 2

b) (1 + Cot A)(1 + Cot B) = 2

c) (1 + Tan A) (1 + Tan B) = 2 Tan A Tan B

7) sin A + B + C = Σ(sin A cos B cos C) − sin A sin B sin C

8) cos A + B + C = cos A cos B cos C − Σ(sin A sin B cos C)

9) Tan A + B + C =Σ TanA −π(TanA )

1−Σ TanATan B

The values of trigonometric functions of some standard Angles:-

Trigonometric Ratio 𝟏𝟓° 𝟕𝟓°

Sin 3 − 1

2 2

3 + 1

2 2

Cos 3 + 1

2 2

3 − 1

2 2

Tan 2 − 3 2 + 3 Cot 2 + 3 2 − 3

(1) Find the value of Cosec 15° + Sec 15° =

Sol: Cosec 15° + Sec 15° = 1

Sin 15°+

1

cos 15°

=2 2

3−1+

2 2

3+1

= 2 2 3+1+ 3−1

3 2−(1)2

= 2 2[2 3]

3−1=

2 2[2 3]

2

= 2 6

(2) Find the value of cos271

2° − cos237

1

2°

Sol:- cos271

2° − cos237

1

2° = sin 37

1

2° + 7

1

2° . sin 37

1

2° − 7

1

2°

∵ sin 𝐴 + 𝐵 sin(𝐴 − 𝐵) = cos2 B − cos2 A

= sin 75

2+

15

2 . sin

75

2−

15

2

= sin 90

2 . sin

60

2

= sin45°. sin30°

=1

2

1

2

=1

2 2

(3) If A= 35°, B = 15° and C = 40° then

Tan A.Tan B.+ Tan C Tan B + Tan C.Tan A = (Ans : b)

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

Sol: A + B + C = 90°

If A + B + C = (2n + 1)π

2 then Tan A Tan B + Tan C Tan B + Tan C. Tan A = 1

Multiple and Sub multiple Angles

If A is an angle then 2A, 3A -------- etc are called multiple angles of A. andA

2,

A

3------- etc are called sub

multiple angles of A.

Formulae:-

1. Sin 2A = 2 sin A cos A = 2 Tan A

1+Tan 2A

2. cos 2A = cos2A − sin2A = 1 − 2sin2A = 2cos2A − 1 =1−Tan 2A

1+Tan 2A

3. Tan 2A =2 Tan A

1−Tan 2A

4. cot 2A =cot 2A−1

2 cot A

5. sinA = 2sinA

2cos

A

2=

2 Tan A

2

1+Tan 2A

2

6. cos A = cos2 A

2− sin2 A

2= 1 − 2sin2 A

2= 2cos2 A

2− 1 =

1− Tan 2A

2

1+Tan 2A

2

7. TanA = 2 Tan

A

2

1−Tan 2A

2

= cosec 2A − cot 2A =1−cos 2A

sin 2A

8. cot A = cot 2A

2−1

2 cot A

2

=1+cos 2A

sin 2A= cosec 2A − cot 2A

9. sin2A =1−cos 2A

2 ; sinA = ±

1−cos 2A

2

10. cos2A =1+cos 2A

2 ; cosA = ±

1+cos 2A

2

11. Tan2A =1−cos 2A

1+cos 2A ; Tan A = ±

1−cos 2A

1+cos 2A

12. sin2 A

2=

1−cosA

2 ; sin

A

2= ±

1−cosA

2

13. cos2 A

2=

1+cosA

2 ; cos

A

2= ±

1+cosA

2

14. Tan2 A

2=

1−cosA

1+cosA ; Tan

A

2= ±

1−cosA

1+cosA

15. sin 3A = 3 sin A − 4 sin2A

sin3A =1

4[3 sin A − sin 3A]

16. cos 3A = 4 cos2A − 3 cos A

cos2A =1

4[cos 3A + 3 cos A]

17. Tan 3A =3 Tan A−Tan 3A

1−3Tan 2A

NOTE:-

Tan π

4+ A + Tan

π

4− A = 2 sec 2A

Tan π

4+ A − Tan

π

4− A = 2 Tan 2A

18° 36° 54° 72°

Sin 5 − 1

4

10 − 2 5

4

5 + 1

4

10 + 2 5

4

Cos 10 + 2 5

4

5 + 1

4

10 − 2 5

4

5 − 1

4

1. sin 671

2° =

2+ 2

2

2. cos 671

2° =

2− 2

2

3. sin 221

2° =

2−1

2 2

4. cos 221

2° =

2+1

2 2

Examples:-

1) Find the value of 6sin20° - 8 sin320°

Sol: Given 6sin 20° - 8 sin320° = 2(3 sin 20° − 4sin320°)

= 2 sin 3 × 20° (∵ sin3θ)

= 2 sin 60°

= 2 3

2

= 3

2) Find 𝑐𝑜𝑠6𝐴 + 𝑠𝑖𝑛6𝐴

Sol: Given 𝑐𝑜𝑠6𝐴 + 𝑠𝑖𝑛6𝐴 = 𝑐𝑜𝑠2𝐴 3 + 𝑠𝑖n2A 3

= (cos2A + sin2A)( sin2A 2 + cos2A 2 − cos2Asin2A

= 1(sin4A + cos4A − sin2Acos2A)

(∵ sin2A + cos2A = 1)

= sin2A + cos2A 2 − 3sin2Acos2A

= 1 −3

4(4 sin A cos A)

= 1 −3

4sin22A

Important Result:-

1) cot A + tan A = 2 cosec 2A

2) cot A – tan A = 2 cot 2A

3) tanθ+2tan2θ+4tan4θ+8cot8θ=cotθ

4) sin A sin (60° + A) sin(60° − A) = 1

4sin3A

5) cos θ cos(60 + θ) cos(60 - θ) = 1

4 cos 3θ

6) tan A tan(60° + A) tan(60° − A) = tan 3A

7) 1 + cosπ

10 1 + cos

3π

10 1 + cos

7π

10 1 + cos

9π

10 =

1

16

8) cos2 π

10+ cos2 2π

10+ cos2 3π

10+ cos2 9π

10= 2

9) sin4 π

8+ sin4 3π

8+ sin4 5π

8+ sin4 7π

8=

3

2

10) cos2 π

8+ cos2 3π

8+ cos2 5π

8+ cos2 7π

8= 2