Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang 1

A. Lý thuy ết cơ bản :

I. Qui tắc ñếm :

1. Qui tắc cộng : Một công việc nào ñó có thể thực hiện một trong hai phương án A hoặc B. Nếu

phương án A có m cách tực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kỳ cách nào

trong phương án A thì công việc ñó có m + n cách thực hiện.

2. Qui tắc nhân : Một công việc nào ñó có thể bao gồm hai công ñoạn A và B. Nếu công ñoạn A có m

cách thực hiện và ứng với mỗi cách ñó có n cách thực hiện công ñoạn B thì công việc ñó có m.n cách

thực hiện

II .Hoán vị:

1. Giai thừa :

+ n! = 1.2.3…n = (n -1)!n.

+ Qui ước : 0! = 1.

+ ( ) ( )!1 2 ...

!

np p n

P= + + (Với n P> ).

+ ( ) ( ) ( )!1 . 2 ...

!

nn p n p n

n p= − + − +

− (Với n P> ).

2. Hoán vị Không lặp :

Một tập hợp gồm n phần tử ( )1n ≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là

một hoán vị của n phần tử.

Số các hoán vị của n phần tử là : !nP n= .

3. Hoán vị lặp :

Cho k phần tử khác nhau : 1 2, ,..., ka a a . Một cách sắp xếp n phần tử trong ñó gồm 1n phần tử 1a , 2n

Chuyên ñề: Tổ Hợp – Xác suất


Trang 2

phần tử 2a ,…, kn phần tử ka (với 1 2 ... kn n n n+ + + = ) theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một hoán vị

lặp cấp n và kiểu ( )1 2, ,..., kn n n của k phần tử.

Số các hoán vị lập cấp n, kiểu ( )1 2, ,..., kn n n của k phần tử là :

( )1 21 2

!, ,...,

! !... !n kk

nP n n n

n n n=

4. Hoán vị vòng quanh :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín ñược gọi là một

hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là : ( )1 !nQ n= − .

III. Ch ỉnh hợp:

1. Chỉnh hợp không lặp :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A ( )1 k n≤ ≤ theo một thứ tự nào ñó

ñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : ( ) ( ) ( )!

1 ... 1!

kn

nA n n n k

n k= − − + =

−

Chú ý :

+ Công thức trên cũng ñúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

+ Khi k = n thì !nn nA P n= = .

2. Chỉnh hợp lặp :

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong ñó mỗi phần tử có thể ñược lặp lại nhiều

lần, ñược sắp xếp theo một thứ tự nhất ñịnh ñược gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A là : k knA n= .

IV. Tổ hợp:


Trang 3

1. Tổ hợp không lặp :

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( )1 k n≤ ≤ phần tử của A ñược gọi là một tổ hợp

chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là : ( )!

! !kn

nC

k n k=

−.

+ Qui ước : 0 1nC = .

Tính chất :

+ 0 1nn nC C= = .

+ k n kn nC C −= .

+ 11 1

k k kn n nC C C−

− −= + .

+ 11k kn n

n kC C

k−− += .

2. Tổ hợp lặp :

Cho tập 1 2, ,..., nA a a a= và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp

gồm k phần tử, trong ñó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là : 1k kn n kC C + −= .

3. Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp :

+ Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bỡi công thức : !k kn nA k C= .

+ Chỉnh hợp : Có thứ tự Tổ hợp : không có thứ tự.

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử → chỉnh hợp. Ngược lại là tổ hợp.

+ Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử ( )k n≤ .

- Không thứ tự, không hoàn lại : knC .

- Có thứ tự, không hoàn lại : knA .


Trang 4

- Có thứ tự, có hoàn lại : knA .

V. Các dạng bài tập cơ bản trong nguyên lý ñếm :

1. Phương pháp chung giải bài toán về cấu tạo số :

Giả sử ,m n là các số nguyên dương với m n≤ thì :

a. Số cách viết m trong n chữ số khác nhau vào m vị trí ñịnh trước là mnA .

b. Số cách viết m chữ số khác nhau trong n vị trí ñịnh trước là mnA (ở n m− vị trí còn lại không thay

ñổi chữ số).

c. Số cách viết m chữ số giông nhau trong n vị trí ñịnh trước là n m mn nC C− = .

d. Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, số các số có m chữ số tạo thành từ chúng là

( ) 111 m

nn A −−− .

2. Các dạng toán thường gặp :

Dạng 1: Số tạo thành chứa các số ñịnh trước

Cho tập hợp gồm n chữ số, trong ñó có chữ số 0, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số khác

nhau sao cho trong ñó có k chữ số ñịnh trước (thuộc n chữ số nói trên) với k m n< ≤ .

Cách giải :

Số tạo thành gồm m vị trí 1 2... ma a a . Gọi tập hợp k chữ số ñịnh trước là X . Ta xét hai bài toán nhỏ

theo các khả năng của giả thiết về tập hợp X và chữ số 0 như sau :

a. Trong X chứa chữ số 0.

+ Ta có ( )1m− cách chọn vị trí cho chữ số 0.

+ Số cách chọn ( )1k − chữ số khác 0 thuộc X trong ( )1m− vị trí còn lại là 1m kmA −

− .

+ Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là ( ) 111 .k m k

m n kS m A A− −− −= − .

b. Trong X không chứa chữ số 0.


Trang 5

Bước 1: Tính các số tạo thành chứa chữ số 0.

+ Lần lượt có ( )1m− cách chọn vị trí cho chữ số 0.

+ Số cách viết k chữ số thuộc X vào ( )1m− vị trí còn lại là 1kmA − .

+ Số cách chọn ( )1m k− − trong số ( )1n k− − chữ số khác 0 mà không thuộc X vào ( )1m k− − vị trí

còn lại là 11

m kn kA − −

− − .

+ Theo quy tắc nhân, ta ñược số các số ñó là ( ) 11 1 11 .k m k

m n kS m A A− −− − −= − .

Bước 2: Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0.

+ Số cách viết k chữ số thuộc X trong m vị trí là kmA .

+ Số cách chọn ( )m k− trong số ( )1n k− − chữ số khác 0 mà không thuộc X vào ( )m k− vị trí còn lại

là 1m kn kA −

− − . Theo quy tắc nhân, ta ñược các số ñó là 2 1.k m km n kS A A −

− −= .

Bước 3: Theo quy tắc cộng, ta ñược số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là : 1 2S S S= + .

Ví dụ : Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho

trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1.

Giải : Gọi số cần tìm có dạng 1 2 6...a a a , với 1 2 6, ,...,a a a ∈ 0,1,2,...,9 và 1 0a ≠ .

+ Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 0.

+ Với mỗi cách chọn trên lại có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 1 và có 48A cách chọn vị trí cho 4 trong 8

chữ số còn lại.

+ Vậy có tất cả 845.5. 42000A = số gồm 6 chữ số khác nhau và trong các chữ số ñó có mặt chữ số 0 và 1.

Dạng 2: Số tạo thành không chứa hai chữ số ñịnh trước cạnh nhau.

Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m ( )m n≤ chữ số khác nhau sao cho

trong ñó có 2 chữ số ñịnh trước nào ñó không ñứng cạnh nhau.

Cách giải :


Trang 6

Số tạo thành có dạng 1 2... ma a a và 2 chữ số ñịnh trước là ,x y (thuộc n chữ số ñã cho). Ta xét 3 bài toán

nhỏ theo các khả năng của giả thiết về 2 chữ số ,x y và chữ số 0 như sau :

a. Nếu n chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số ñịnh trước ,x y khác 0.

Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì.

+ Có 1n− cách chọn vị trí cho chữ số 0, Chọn các chữ số còn lại ñặt vào các vị trí còn lại có 11

mnA −

− .

+ Vậy, có tất cả là ( ) 11 11 m

nS n A −−= − số có dạng như thế.

Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số ,x y cạnh nhua theo thứ tự xy và yx .

+ TH 1 : 1 2a a xy= . Khi ñó mỗi số 3... ma a ứng với một chỉnh hợp chập ( )2m− của ( )2n− chữ số khác

,x y. Số các số ñó là : 22 2

mnS A −

−= .

+ TH 2 : 1 2a a xy≠ . Lần lượt ta có ( )3n− cách chọn chữ số cho 1 0, ,a x y≠ . ( )2m− cách chọn vị trí

cho xy. Số cách chọn ( )3m− trong ( )3n− chữ số còn lại khác 1, ,a x y cho ( )3m− vị trí còn lại là

33

mnA −

− . Theo quy tắc nhân, số các số ñó là : ( )( ) 33 33 2 m

nS n m A−−= − − .

Từ hai trường hợp trên, ta ñược số các số có chứa xy là 2 3S S+ .

Tương tự cũng có 2 3S S+ số chứa yx.

Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : ( )1 2 32S S S S= − + .

b. Nếu n chữ số ñã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số ñịnh trước bằng 0.

Bước 1: Tính số các số tạo thành bất kỳ.

Có 1n− cách chọn vị trí cho chữ số 0 và khi ñó số các số ñó là : ( ) 11 11 m

nS n A −−= − .

Bước 2: Tính số các số có hai chữ số x và 0 cạnh nhau : ( ) 22 22 3 m

nS m A −−= − . (Có 1m− cách viết 0x và

có 2m− cách viết 0x vào m vị trí)

Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : 1 2S S S= − .


Trang 7

c. Nếu n chữ số ñã không chứa chữ số 0 : ( ) 222 1m m

n nS A m A−−= − − .

Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu chữ số có 6 chữ số khác nhau.

Trong ñó có bao nhiêu số mà chữ số 1 và chữ số 6 không ñứng cạnh nhau.

Giải :

+ Bước 1: Tính số các số tạo thành bất kỳ.

Có 6 cách chọn chữ số ñầu tiên khác 0 và có 56A cách chọn 5 trong 6 số vào 5 vị trí còn lại. Vậy có 5

66.A

số có 6 chữ số tạo thành từ các số trên.

+ Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số 1, 6 cạnh nhau theo tứ tự 16 và 61.

- TH 1: Nếu 2 chữ số ñầu tiên là 1, 6. Khi ñó có 2! Cách ñảo vị trí 2 số này. Có 45A cách chọn 4 trong 5

số vào 4 vị trí còn lại. Vậy có 2!. 45A số có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số trên và có hai số ñầu tiên là

1 và 6.

- TH 2: Nếu số ñầu tiên khác 1 và 6, khi ñó có 4 cách chọn ñể số này khác 0. Có 4 cách chọn vị trí cho 2

số 1 và 6 cạnh nhau. Có 34A cách chọn 3 trong 4 số vào 3 vị trí còn lại. Mặt khác ta có 2! Cách ñảo vị trí

2 số 1 và 6 cạnh nhau. Vậy có 4.4. 34A .2! số có 6 chữ số có 2 số 1 và 6 ñứng cạnh nhau và không ñứng

ñầu tiên.

+ Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là : ( )5 4 36 5 46. 2 4.4. 3312S A A A= − + = số.

Dạng 3: SỐ tạo thành chứa chữ số lập lại

Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho trong ñó có một chữ số xuất hiện 3 lần, một chữ số

khác xuất hiện 2 lần và một chữ số khác hai chữ số trên xuất hiện 1 lần.

Giải :

+ Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu, lần lượt là :

- Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có 36C cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số ñó.


Trang 8

- Có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có 23C cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số ñó.

- Có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng.

Vậy ta ñược số các số ñó là : 3 2 3 26 3 6 310. .9. .8 720. .S C C C C= = .

+ Do vai trò của 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 là như nhau nên số các số có chữ số ñứng ñầu khác 0 thỏa mãn

bài toán là : 3 26 3

9648. .

10S C C= số.

Bài toán tổng quát : Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết ñược bao nhiêu số có m chữ số sao

cho trong ñó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số q lần với k + q = m.

Cách giải : Ta xét hai bài toán nhỏ sau ñây.

a. Nếu n chữ số ñã cho có chứa chữ số 0.

Bước 1: Nếu kể cả chữ số 0 ñứng ñầu, ta thấy :

+ Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có kmC cách chọn k trong m vị trí cho chữ số ñó.

+ Sau ñó có ( )-1n cách chọn chữ số xuất hiện q lần cho q vị trí còn lại.

+ Theo qui tắc nhân ta tính ñược số các số ñó là : ( ). 1 . kmS n n C= − số.

Bước 2: Vai trò của n chữ số như nhau nên số các số có chữ số ñứng ñầu khác 0 thỏa mãn bài toán là :

1

.n

Sn

−

b. Nếu n chữ số ñã cho không chứa chữ số 0 : ( ). 1 . kmS n n C= − số.

3. Các dạng bài toán số học tích hợp sự vật, hiện tượng.

Dạng 1: Bài toán chọn vật.

a. ðặc trưng của bài toán :

Chọn một tập hợp gồm k phần tử từ n phần tử khác nhau, k phần tử không có tính chất gì thay ñổi nếu

như hoán vị k vị trí của nó. ðây chính là ñặc ñiểm ñể nhận dạng sử dụng công thức tổ hợp.

b. Phương pháp :


Trang 9

Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn.

Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có).

Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức knC .

Bước 4: Dùng qui tắc nhân và qui tắc cộng suy ra kết quả.

Ví dụ : Một hợp ñựng 7 viên bi xanh, 5 viên bi ñỏ và 4 viên bi vàng.

a. Có bao nhiêu cách lấy ra 7 viên bi ñủ 3 màu, trong ñó có 3 viên bi xanh và nhiều nhất 2 viên bi ñỏ.

b. Có nhiêu cách lấy ra 8 viên bi có ñủ 3 màu.

Giải :

a. Xét 2 trường hợp sau :

+ TH 1: Có 1 viên bi ñỏ :

- Khi ñó có 15C cách lấy 1 viên bi ñỏ, có 3

7C cách lấy ra 3 viên bi xanh và có 34C cách lấy ra 3 viên bi

vàng. Vậy có 15C . 3

7C . 34C cách lấy ra 7 viên bi trong ñó có 3 viên bi xanh, 1 bi ñỏ và 3 bi vàng.

+ TH 2: Có 2 viên bi ñỏ :

- Khi ñó có 25C cách lấy 2 viên bi ñỏ, có 3

7C cách lấy ra 3 viên bi xanh và có 24C cách lấy ra 2 viên bi

vàng.

Vậy có 25C . 3

7C . 24C cách lấy ra trong ñó có 2 bi ñỏ, 3 bi xanh và 2 bi vàng.

Vậy có tất cả 15C . 3

7C . 34C + 2

5C . 37C . 2

4C = 2800 cách.

b. - Số cách lấy ra 8 viên bi bất kỳ có 816C cách.

- Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu vàng mà chỉ có màu ñỏ và màu xanh là

7 1 6 2 5 3 4 4 3 57 5 7 5 7 5 7 5 7 5. . . . . 495C C C C C C C C C C+ + + + = cách.

- Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu ñỏ mà chỉ có màu vàng và màu xanh là

7 1 6 2 5 3 4 47 4 7 4 7 4 7 4. . . . 165C C C C C C C C+ + + = cách.

- Số cách lấy ra 8 viên bi không có màu xanh mà chỉ có màu vàng và màu ñỏ là


Trang 10

5 3 4 45 4 5 4. . 9C C C C+ = cách.

Vậy có tất cả ( )816 495 165 9 12201C − + + = cách.

Dạng 2: Bài toán chọn người

Ví dụ : Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ.

a. Có bao nhiêu cách chọn ra một ñội văn nghệ gồm 10 người có nam và có nữ.

b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong ñó có một tổ trưởng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu

Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên.

Giải :

a. - Chọn 10 người trong 29 người cả nam và nữ có 1029C cách.

- Chọn 10 người ñều là nam có 1011C cách.

- Chọn 10 người ñều là nữ có 1018C cách.

Vậy có 10 10 1029 11 18 19986241C C C− − = cách chọn.

b. - Do Tuấn luôn có mặt trong tổ nên chỉ chọn 12 người trong 28 người còn lại.

- Chọn một tổ trưởng có 128C cách.

- Chọn 11 thành viên còn lại trong 27 người có 1127C cách.

Vậy có tất cả 128C . 11

27C = 216332480 cách chọn.

Dạng 3: Bài toán sắp xếp vật.

Ví dụ : Tại cuộc thi Theo Dòng Lịch Sử, ban tổ chức sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ ñỏ, ñánh dấu mỗi loại

theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai

thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau.

Giải :

- Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ ñỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.

- Nếu các thẻ ñỏ nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! cách xếp khác nhau.


Trang 11

Vậy có tất cả 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách.

Dạng 4: Bài toán sắp xếp người.

Ví dụ : Một tổ có 8 học sinh gồm 5 nữ và 3 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trong tổ

ñứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho.

a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau.

b. Nam nữ không ñứng chung nhau.

Giải :

a. Các bạn nữ ñứng chung với nhau xem như một nhóm ñoàn kết nên ta có 4! Cách. Và có 5! Hoán vị

các bạn nữ với nhau. Vậy có 4!.5! = 2880 cách.

b. Các bạn nam ñứng riêng có 3! Cách. Các bạn nữ ñứng riêng ta có 5! Cách. Có 2! Cách ñổi chỗ 2

nhóm nam và nữ nên có tất cả 2!.3!.5! = 1440 cách.

Dạng 5: Bài toán ñếm trong hình học.

Ví dụ : Cho 15 ñiểm trong mặt phẳng, trong ñó không có 3 ñiểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các ñường

thẳng ñi qua hai ñiểm của 15 ñiểm ñã cho. Số giao ñiểm khác 15 ñiểm ñã cho do các ñường thẳng này

tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu.

Giải :

- Vì cứ 2 ñiểm có một ñường thẳng nên số ñường thẳng từ 15 ñiểm là 215 105C = ñường.

- Nếu cứ 2 ñường thẳng cho 1 giao ñiểm thì sẽ có 2105C giao ñiểm.

- Nhưng mỗi ñiểm ñã cho có 14 ñường thẳng ñi qua nên ñiểm này phải là giao của 214C cặp ñường thẳng.

Như vậy với 15 ñiểm ñã cho sẽ có 15. 214C giao ñiểm trong 2

105C giao ñiểm nói trên. Suy ra số giao ñiểm

cần tiềm là 2105C - 15. 2

14C = 4095 giao ñiểm.

Dạng 6: Bài toán phân chia tập hợp.

Cho tập A có n phần tử khác nhau. Chia tập A thành các tập con 1 2, ,..., kA A A , trong ñó mỗi tập


Trang 12

con ( ) 1,iA i k= có ( ) 1,in i k= phần tử. Khi ñó việc chọn in phần tử trong n phần tử là phép chọn

và loại tr ừ dần các phần tử ñã ñược chọn.

Ví dụ : Cần phải phát 6 ñề thi khác nhau cho 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách phát ñề thi nếu mỗi em

học sinh ñều làm ít nhất 1 bài thi.

Giải :

TH 1: Mỗi em ñều làm một bài thi

- Có 46 15C = cách chọn ñề thi.

- Chọn 4 ñề thi phát cho 4 học sinh có 4! cách phát.

Vậy có tất cả 4!.15 = 360 cách phát ñề thi mà mỗi em làm 1 bài.

TH 2: Có một em nào ñó làm 2 bài thi.

- Có 26C cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 4. 26C cách phát 2 bài thi cho 1 trong 4 học sinh.

- Với 4 bài thi còn lại sẽ có 34A cách chia cho 3 thí sinh.

Vậy có 4. 26C . 3

4A = 1440 cách phát ñề thi mà trong ñó có 1 em làm 2 bài thi.

TH 3: Có hai em nào ñó làm 2 bài thi.


- Có 24C cách chọn 2 bài thi trong 4 bài thi còn lại và có 3. 2

4C cách phát 2 bài thi cho 1 trong 3 thí sinh

còn lại.

- Với 2 bài thi còn lại sẽ có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn lại.

Vậy có tất cả 4. 26C .3. 2

4C .2! = 2160 cách phát ñề thi mà trong ñó có 2 em làm hai bài thi.

TH 4: Có một em nào ñó làm 3 bài thi.


- Với 3 bài thi còn lại có 3! Cách phát cho 3 thí sinh còn lại.


Trang 13

Vậy có 4. 36C .3! = 480 cách phát ñề thi mà trong ñó có 1 em làm 3 bài thi.

Vậy số cách phát ñề thi theo yêu cầu bài toán là 360 + 1440 + 2160 + 480 = 4440 cách.

B. Bài tập :

I. Dạng Quy tắc ñếm :

Bài 1: Từ thành phố A ñến thành phố B có 3 con ñường, từ thành phố A ñến thành phố C có 2 con

ñường, từ thành phố C ñến thành phố D có 3 con ñường. Không có con ñường nào nối thành phố

B với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu ñường ñi từ thành phố A ñến thành phố D.

ðS : 12 cách.

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 82.10 , chia hết cho 3, có thể ñược viết bỡi các chữ

số 0, 1, 2. ðS : 72.3 1 4373− = số.

Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên thỏa

1. Gồm 6 chữ số.

2. Gồm 6 chữ số khác nhau.

3. Gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

ðS : a. 66 b. 6! c. 3.5!.

Bài 4: Có 25 ñội bóng tham gia tranh cúp. Cứ 2 ñội phải ñấu với nhau 2 trận. Hỏi có bao nhiêu trận ñấu.

ðS : 25.24 = 600 trận.

Bài 5: Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng ñỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách

chọn ra 5 bông hồng có ñủ 3 màu.

Bài 6: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập ñược bao nhiêu số thỏa

1. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.

2. Số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.

3. Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

4. Số lẻ có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 400.


Trang 14

Bài 7: Một ñội văn nghệ chuẩn bị ñược 2 vở kịch, 3 ñiệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi ñội chỉ

ñược trình diễn 1 vở kịch, 1 ñiệu múa và 1 bài hát. Hỏi ñội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn

chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, ñiệu múa và bài hát là như nhau.

ðS : 36 cách.

Bài 8: Một người có 7 cái áo trong ñó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong ñó có 2 cái màu vàng. Hỏi

người ñó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu :

1. Chọn áo nào, cà vạt nào cũng ñược.

2. ðã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.

ðS : a. 35 b. 29.

Bài 9: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người ñàn ông và 2 người phụ nữ ngồi trên một chiếc ghế dài sao

cho hai người cùng phái phải ngồi gần nhau.

Bài 10: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 ñội văn nghệ

có 8 người sao cho có ít nhất 3 nữ.

Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.

ðS : 18.

Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập ñược bao nhiêu số có 8 chữ số, trong ñó chữ số 1 có mặt

ñúng 3 lần, chữ số 2 có mặt ñúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt ñúng một lần.

ðS : 3360.

Bài 13: Từ 0, 1, 2,…,9 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số thỏa.

1. Các chữ số khác nhau.

2. Hai chữ số kề nhau phải khác nhau.

3. Khác nhau và bắt ñầu bằng 345

ðS : a. 499A . b. 59 c. 6.


Trang 15

Bài 14: Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ñôi một ñược tạo thành từ 6 chữ số 1, 3,

4, 5, 7, 8.

ðS : 37332960.

Bài 15: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ, người ta muốn chọn ra một bó hoa

gồm 7 bông. Hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong ñó

1. Có ñúng 1 bông hồng ñỏ.

2. Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng ñỏ.

ðS : a. 112 b. 150.

II. Dạng Rút gọn biểu thức :

Bài 1: Rút gọn cá biểu thức sau

1. ( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1 ! 1 !6! 1.

2 3 1 4 5 !5! 12 4 !3!

m m mA

m m m m m m

+ −= − − − + − − −

(Với 5m≥ ).

2. 7!4! 8! 9!

10! 3!5! 2!7!B

= −

.

3. ( )( )

( )1 !5!

.1 1 !3!

mC

m m m

+=

+ −.

4. 2 55 10

2 57

A AD

P P= + .

5. 1 2 3 41 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4E P A P A P A P A PP P P= + + + − .

6. 2 3. .n n nn n nF C C C= .

7. 2

11 1 1

2 ... ...k n

n n nn k n

n n n

C C CG C k n

C C C− −= + + + + + .

8. 8 9 10

2 15 15 151017

2

.n

kn n k

P C C CH

A P C+

−

+ += + .


Trang 16

III. D ạng Chứng minh :

Bài 1: Chứng minh rằng

1. ( )1 11n n nP P n P− −− = − .

2. ( ) ( )1 2 2 11 2 ... 2 1n n nP n P n P P P− −= − + − + + + + .

3. 1 1 1 1

1 ... 31! 2! 3! !n

+ + + + + < .

4. ( ) ( )2 1 1

! 1 ! 2 !

n

n n n= +

− −.


1. 2 2 22 3

1 1 1 1...

n

n

A A A n

−+ + + = với , 2n n∈ ≥ℕ .

2. 2 1 2.n n nn k n k n kA A k A+ +

+ + ++ = .

3. . .k p k p kn n k n pC C C C−

− = với k p n≤ ≤ .

4. 11

r rn n

nC C

r−−= . Với r n≤ .

5. 1 1 122m m m m

n n n nC C C C+ − +++ + = . Với m n≤ .

6. 1 2 333 3k k k k k

n n n n nC C C C C− − −++ + + = với 3 k n≤ ≤ .

7. ( ) ( ) 221 1k k

n nk k C n n C−−− = − với 2 k n< < .

8. 0 1 1 0. . ... .p p p pr q r q r q r qC C C C C C C−

++ + + = với p r q≤ ≤

HD: Sử dụng khai triển ( ) ( ) ( )1 . 1 1r q r q

x x x++ + = + . So sánh hệ số px ở 2 vế.

9. ( ) ( ) ( )2 2 20 12.... n n

n n n nC C C C+ + + = .

HD: Sử dụng câu 8 với p q r n= = = .

10. 0 2 4 2 1 3 5 2 12 2 2 2 2 2 2 2... ...p p

p p p p p p p pC C C C C C C C −+ + + + = + + +


Trang 17

HD: Sử dụng ( )2 px y+ và ( )2 p

x y− .

IV. Dạng giải phương trình – Hệ phương trình – Bất phương trình :

Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau.

1. ( )

( )! 1 ! 1

1 ! 6

x x

x

− −=

+.

2. ( )

( )( )

( ) ( )1 ! . 1 !1 5

. 52 1 3 !4! 12 3 . 4 !2!

n n n

n n n n n

+ −− ≤ − + − − −

.

3. 22 3. . 8P x P x− = .

4. 1

1

1

6x x

x

P P

P−

+

− = .


1. ( )3 25 2 15n nA A n+ = + .

2. 2 223 42 0n nA A− + = .

3. 241 3

210.

nnn

P

A P+

−−

= .

4. ( )2 2. 72 6 2x x x xP A A P+ = + .

5. ( ) ( )4

4 15

2 ! 1 !nA

n n+ <

+ −.

6. 4

2

2 1

1430

4n

n n

A

P P+

+ −

− < .


1. 4

3 41

24

23n

nn n

A

A C −+

=−

.

2. 4 5 6

1 1 1x x xC C C

− = .


Trang 18

3. 1 2 3 10... 1023x x x xx x x xC C C C− − − −+ + + + = .

4. 2 2 14 3 3. . 0xx C x C C− + = .

5. 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x+ + = − .

6. 31

41 3

1

14

nn

n

C

A P

−−

+

< .

7. ( )25360

!knn

PA

n k+++≤

−.

8. 4 3 21 1 2

50

4n n nC C A− − −− − < .

Bài 4: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau.

1. 1

1

126

720

xy y x

yx

x

AC

P

P

−

+

+

+ =

=

2. 1

1

0

4 5 0

y yx x

y yx x

C C

C C

+

−

− =

− =

3. 2 5 90

5 2 80

y yx x

y yx x

A C

A C

+ =

+ = 4.

2

1:

31

:24

x xy y

x xy y

C C

C A

+ = =

VI. Nh ị thức newton :

1. Công thức khai tri ển nhị thức newton : Với mọi n∈ℕ và với mọ cặp số a, b ta có :

( )0

nn k n k k

nk

a b C a b−

=

+ =∑ .

2. Tính chất :

+ Số các số hạng trong khai triển bằng n + 1.

+ Tổng các số mũ của a và b trong khai triển bằng n.

+ Số hạng tổng quát (thứ k + 1) có dạng : 1k n k k

k nT C a b−+ = với 0,k n= .

+ Các hệ số của các cặp số hạng cách ñều số hạng ñầu và số hạng cuối thì bằng nhau : k n kn nC C −= .


Trang 19

+ 0 1nn nC C= = và 1

1k n kn n nC C C−

++ = .

3. Nhận xét : Nếu trong khai triển nhị thức newton, ta gán cho a và b những giá trị ñặc biệt thì ta sẽ thu

ñược những công thức ñặc biệt, chẳng hạn :

+ ( ) 0 1 1 0 11 ... ... 2n n n n n n

n n n n n nx C x C x C C C C−+ = + + + ⇒ + + + =

+ ( ) ( ) ( )0 1 1 0 11 ... 1 ... 1 0n n nn n n n

n n n n n nx C x C x C C C C−− = − + + − ⇒ − + + − = .

VII. Các dạng bài tập thường gặp :

1. Dạng 1 : Xác ñịnh các hệ số trong khai tri ển nhị thức newton.

Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức.

1. 10

4

1x

x +

. 2. 12

24

1x

x +

.

3. 5

32

1x

x −

. 4. 6

2 1x

x −

.

Bài 2:

1. Tìm hệ số của 12 13x y trong khai triển ( )252 3x y+ .

2. Tìm các số hạng giữa của hai triển ( )153x xy− .

Bài 3: Trong khai triển và thu gọn các ñơn thức ñồng dạng ña thức :

( ) ( ) ( ) ( )9 10 141 1 ... 1P x x x x= + + + + + + ta sẽ thu ñược ña thức ( ) 2 14

0 1 2 14...P x a a x a x a x= + + + + .

Hãy xác ñịnh hệ số 9a .

Bài 4: Cho ña thức ( ) ( ) ( ) ( )2 201 2 1 ... 20 1P x x x x= + + + + + + ñược viết dưới dạng

( ) 2 200 1 2 20...P x a a x a x a x= + + + + . Tìm hệ số 15a .

Bài 5: Khai triển ( ) ( )80 800 1 802 ...P x x a a x a x= − = + + + . Tìm hệ số 78a .

Bài 6: Khai triển ( ) ( )50 500 1 503 ...P x x a a x a x= + = + + + .


Trang 20

1. Tìm hệ số 46a .

2. Tính tổng 0 1 50...S a a a= + + + .

Bài 7:

1. Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức ( )53 3 2+ .

2. Tìm số mũ n của biểu thức 3

1

12

n

b +

. Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3

trong khai triển của nhị thức ñó là 7 : 2 . Tìm số hạng thứ 6.

Bài 8: Trong khai triển của nhị thức

21

33

a b

b a

+

, tìm các số hạng chứa a, b với lũy thừa giống nhau.

Bài 9:

1. Trong khai triển 4

1n

a aa

+

cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ 3 và thứ 2 là 44. Tìm n.

2. Cho biết trong khai triển 2 1n

xx

+

, tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ 2 và thứ 3 bằng

46. Tìm hạng tử không chứa x.

3. Trong khai triển ( )1n

x+ theo lũy thừa tăng của x, cho biết 3 5

4 6

4

40

3

T T

T T

= =

. Tìm n và x.

4. Cho khai triển nhị thức 10

9 100 1 9 10

1 2...

3 3x a a x a x a x

+ = + + + +

. Hãy tìm số hạng ka lớn nhất.

2. Dạng 2 : Áp dụng khai tri ển nhị thức newton ñể chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.

Phương pháp:

+ k kna C liên quan ñến ( )1

na+ .

+ .k in mC C liên quan ñến so sánh hệ số của ( ) ( ) ( )1 . 1 1

n m n mx x x

++ + = + .


Trang 21

+ knkC liên quan ñến ñạo hàm của ( )1

nx+ . ( Nếu có dạng ( )1 k

nk k C− hoặc 2 knk C thì ta tính ñến ñạo hàm

cấp 2).

+ 1

1knC

k + hoặc ( ) ( )

1

1 2knC

k k+ + liên quan ñến tích phân của ( )1

nx+ .

Bài 1: Tính các tổng sau.

1. 0 11 ... n

n n nS C C C= + + + .

2. 0 2 42 ...n n nS C C C= + + +

3. 1 3 53 ...n n nS C C C= + + +

4. 0 1 2 24 2 2 ... 2 ... 2k k n n

n n n n nS C C C C C= + + + + + + .

5. 0 2 2 4 45 2 2 ...n n nS C C C= + + +

Bài 2: Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức ( )2 1n

x + bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự

nhiên) của số hạng 12ax trong khai triển ñó.

Bài 3: Tính các tổng sau.

1. 6 7 8 9 10 111 11 11 11 11 11 11S C C C C C C= + + + + + .

2. 16 0 15 1 14 2 162 16 16 16 163 3 3 ...S C C C C= − + − + .

Bài 4: Cho ( ) ( ) ( )1 2n

f x x n= + ≤ ≤ ℤ .

1. Tính ( )'' 1f .

2. Chứng minh rằng : ( ) ( )2 3 22.1 3.2 ... 1 1 2n nn n nC C n nC n n −+ + + − = − .


1. 2

1 3 5 2 12 2 2 2

1 1 1 1 2 1...

2 4 6 2 2 1

nn

n n n nnC C C C

n− −+ + + + =

+.


Trang 22

2. ( ) ( )0 2 1 3 2 111 1 1

2 2 2 ... 2 1 12 3 1 1

nnn n

n n n nC C C Cn n

+− − + + + = + − + +

.

3. ( )1 2 3 1 12 ... 1 .2n n nn n n n nC C C n C nC n− −+ + + + − + = .

4. ( ) ( )2 3 22.1 3.2 ... 1 . 1 2n nn n nC C n n C n n −+ + + − = − .

VIII. Xác suất :

1. Biến cố và xác suất :

a. Biến cố :

+ Không gian mẫu Ω : Là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.

+ Biến cố A : Là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A và A ⊂ Ω .

+ Biến cố không : φ

+ Biến cố chắc chắn : Ω .

+ Biến cố ñối của A : \A A= Ω .

+ Giao hai biến cố : A B∩ .

+ Hợp hai biến cố : A B∪ .

+ Hai biến cố xung khắc : A B φ∩ = .

+ Hai biến cố ñộc lập : Nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng ñến việc xảy ra biến cố kia.

b. Xác xuất.

+Xác suất của biến cố : ( ) ( )( )

n AP A

n=

Ω.

+ ( ) ( ) ( )0 1, 1, 0P A P P φ≤ ≤ Ω = = .

+ Quy tắc cộng : Nếu A B φ∩ = thì ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + .

Mở rộng : A, B bất kì thì ( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P A B∪ = + − .

+ ( ) ( )1P A P A= − .


Trang 23

+ Qui tắc nhân : Nếu A, B ñộc lập thì ( ) ( ) ( ). .P A B P A P B= .

2. Bài tập :

Bài 1: Gieo một con súc sắc cân ñối ñồng chất 2 lần. Tính xác suất của biến cố.

1. Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.

2. Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.

3. Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.

ðS : a. 5

36. b.

1

4 c.

3

4.

Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong ñó có 15 học sinh khá môn toán, 16 em học khá môn văn.

1. Tính xác suất ñể chọn ñược 2 em học khá cả 2 môn.

2. Tính xác suất ñể chọn ñược 3 em học khá môn toán nhưng không học khá môn văn.

ðS : a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2715 15 25 17

25

Cn A B n A n B n A B P A B∩ = + − ∪ = + − = ⇒ ∩ =

b. 38

25

C.

Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân ñối ñồng chất. Tính xác suất của biến cố :

1. Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.

2. Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.

ðS : a. 1

6 b.

1

6.

Bài 4: Một bình ñựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi ñỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi,

rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai lấy ra ñược viên bi xanh.

ðS : 5

8.

Bài 5: Một lớp có 30 học sinh, trong ñó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3

em ñi dự ñại hội, tính xác xuất ñể.


Trang 24

1. Cả 3 em ñều là học sinh giỏi.

2. Có ít nhất một học sinh giỏi.

3. Không có học sinh trung bình.

3. Biến ngẫu nhiên và rời rạc.

a. Biến ngẫu nhiên rời rạc.

+ 1 2, ,..., nX x x x= .

+ ( )k kP X x P= = . 1 2 1... 1P P P+ + + = .

b. Kì vọng (Giá trị trung bình)

+ ( )1

n

i ii

E X x Pµ=

= =∑ .

c. Phương sai và ñộ lêch chuẩn.

+ ( ) ( )2 2 2

1 1

n n

i i i ii i

V X x P x Pµ µ= =

= − = −∑ ∑ .

+ ( ) ( )X V Xσ = .

Bài 6: Hai cầu thủ bóng ñá sút phạt ñền. Mỗi người ñá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là

0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất ñể cả hai người cùng làm bàn 0,56

và xác suất ñể bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.

Bài 7: Một hộp ñựng 5 viên bi ñỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi ñỏ lấy ra. Tính

kỳ vọng, phương sai và ñộ lêch chuẩn của X.

Bài 8: Hai xạ thủ ñộc lập cùng bắn vào một bia. Mỗi người bắn một viên ñạn. Xác suất ñể xạ thủ thứ nhất

bắn trúng bia là 0,7. Xác suất ñể xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số ñạn bắn trúng bia.

Tính kỳ vọng và phương sai của X.


Trang 25

IX. Các bài toán trong những kỳ thi ñại học :

Bài 1: Cho khai triển nhị thức :

111 1 1 10 1 13 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 ... 2 2 2

n n nn nx x x xx x x xn n

n n n nC C C C

−−− − − −− − − −−

+ = + + + +

(n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển ñó 3 15n nC C= và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x.

(Khối A – 2002)

Bài 2: Cho ña giác ñều 1 2 2... nA A A ( 2n ≥ , n nguyên) nội tiếp ñường tròn ( )O . Biết rằng số tam giác có các

ñỉnh là 3 trong 2n ñiểm 1 2 2... nA A A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các ñỉnh là 4 trong 2n ñiểm

1 2 2... nA A A . Tìm n.

(Khối B – 2002)

Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 ... 2 243n nn n n nC C C C+ + + + = . (Khối D – 2002)

Bài 4: Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức niuton của 53

1n

xx

+

, biết rằng

( )14 3 7 3n n

n nC C n++ +− = + và (n là số nguyên dương, 0x > ). (Khối A – 2003)

Bài 5: Cho n là số nguyên dương, tính tổng 2 3 1

0 1 22 1 2 1 2 1...

2 3 1

nn

n n n nC C C Cn

+− − −+ + + ++

.

(Khối B – 2003)

Bài 6: Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na − là hệ số của 3 3nx − trong khai triển thành ña thức của

( ) ( )2 1 2n n

x x+ + . Tìm n ñể 3 3 26na n− = . (Khối D – 2003)

Bài 7: Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành ña thức của ( ) 821 1x x + − . (Khối A – 2004).

Bài 8: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15

câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi ñó ccos thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu hỏi khác

nhau, sao cho trong mỗi ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình ,dễ) và số câu hỏi dễ


Trang 26

không ít hơn 2. (Khối B – 2004)

Bài 9: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức niuton của 7

3

4

1x

x

+

với 0x > .

(Khối D – 2004)

Bài 10: Tìm số nguyên dương n sao cho

( )1 2 2 3 3 4 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 12.2 3.2 4.2 ... 2 1 .2 2005n n

n n n n nC C C C n C ++ + + + +− + − + + + = (Khối A – 2005).

Bài 11: Một ñội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu cách phân công

ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.

(Khối B – 2005)

Bài 12: Tính giá trị biểu thức ( )4 3

1 3

1 !n nA A

Mn+ +=

+, biết rằng 2 2 2 2

1 2 3 42 2 149n n n nC C C C+ + + ++ + + = với n là số

nguyên dương (Khối D – 2005)

Bài 13: Tìm hệ số của số hạng 26x trong khai triển nhị thức niuton của 74

1n

xx

+

, biết rằng

1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1n

n n nC C C+ + ++ + + = − với n nguyên dương. (Khối A – 2006).

Bài 14: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( )4n ≥ . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 làn số tập

con gồm 2 phần tử của A. Tìm 1,2,...,k n∈ sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

(Khối B – 2006)

Bài 15: ðội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học

sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh ñi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc

không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. (Khối D – 2006)

Bài 16: Chứng minh rằng 2

1 3 5 2 12 2 2 2

1 1 1 1 2 1...

2 4 6 2 2 1

nn

n n n nC C C Cn n

− −+ + + + =+

với n là số nguyên dương.

(Khối A – 2007).


Trang 27

Bài 17: Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức niuton ( )2n

x+ , biết

( )0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... 1 2048nn n n n n

n n n n nC C C C C− − −− + − + + − = với n nguyên dương. (Khối B – 2007)

Bài 18: Tìm hệ số của 5x trong khai triển ( ) ( )5 1021 2 1 3x x x x− + + . (Khối D – 2007)

Bài 19: Cho khai triển ( ) 20 1 21 2 ...

n nnx a a x a x a x+ = + + + + trong ñó *n∈ℕ và các hệ số 0 1, ,..., na a a thỏa

mãn hệ thức 310 2

... 40962 2 2

nn

a aaa + + + + = . Tìm số lớn nhất trong các hệ số 0 1, ,..., na a a .

(Khối A – 2008).

Bài 20: Chứng minh rằng 1

1 1

1 1 1 1

2 k k kn n n

n

n C C C++ +

+ + = + với n, k là các số nguyên dương và k n≤ .

(Khối B – 2008)

Bài 21: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2 12 2 2... 2048n

n n nC C C −+ + + = .

(Khối D – 2008)

============= HẾT ==============

Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Documents

Transcript of Chuyên ñề tổ hợp – xác suất Biên soạn : Lê Kỳ Hội