Canne d'organo ad anima: la faticosa gestazione di una teoria matematica, 1727-1960 -- Mathematical...

Rivista italiana di acustica 5ottobre-dicembre 2012 - VoL. 36, N. 4

Canne d’organo ad anima:la fatiCosa gestazionedi una teoria matematiCa, 1727-1960

MatheMatical theory on flue organ pipes:a long struggle, 1727-1960

Articolo storico

historical article

Patrizio BarBieriVia Merulana 259, 00185 Roma • [email protected]

Una canna ad anima è caratterizzata dall’avere una imboccatura simile a quella di un flauto diritto. Sotto l’aspetto analitico, la frequenza dei suoi modi di vibrazione ha dovuto progressivamente tenere conto di due fattori principali: (1) sua lunghezza acustica, che prende il posto della lunghezza geometrica; (2) perdite interne, per attrito e trasmissione termica, che rallenta-no la velocità dell’onda piana al suo interno.Nel 1727, il non ancora ventenne Eulero elabora empiricamente la prima formula che fornisce la frequenza fondamentale di una canna aperta a entrambe le estremità. Nel 1760-61, Lagrange ottiene per via analitica analoga formula, estesa agli armonici superiori e alle canne tappate a una estremità. Nel 1762, Daniel Bernoulli risolve, analiticamente e sperimentalmen-te, il problema delle canne coniche e “a camino” (queste ultime formate cioè da due tubi cilindrici di differente diametro). In tutte queste formule compare la sola lunghezza geometrica della canna; poco dopo, Giordano Riccati (1767) e Lambert (1775) ipotizzano che al suo posto dovrebbe invece essere inserita una lunghezza un po’ maggiore, cioè quella “acustica”. Quest’ul-tima - limitatamente alla sola frequenza fondamentale - verrà quantificata sperimentalmente nel 1848 (Wertheim) e analiti-camente nel 1860 (Helmholtz). Nel 1871, Rayleigh affinerà i calcoli di Helmholtz, introducendo fra l’altro il moderno concetto di analogia elettroacustica. Nel 1948, verrà analiticamente dimostrato, da Levine e Schwinger, che passando agli armonici superiori tale lunghezza torna progressivamente ad avvicinarsi a quella geometrica.Già Dulong (1829) e Poisson (1831) avevano intuito che la velocità del suono all’interno della canna, rispetto a quella nell’aria libera, dovesse calare a causa dell’attrito delle particelle d’aria con la sua parete. Tenendo conto del coefficiente di viscosità presente nell’equazione d’onda di Navier-Poisson-Stokes (1845), nel 1863 Helmholtz ottiene la prima formula a riguardo. In se-guito ai rilevamenti sperimentali di Kundt (1867), nel 1868 Kirchhoff estende tale formula alle perdite dell’onda per trasmissione termica con la parete della canna (formula che comunque costituisce una soluzione approssimata della complessa equazione trascendente da lui stesso elaborata a riguardo). Ulteriori fattori di perdita verranno individuati nel secolo successivo.Sebbene la meccanica delle onde stazionarie fosse ormai chiara sotto l’aspetto analitico, solo nella seconda metà del secolo XIX poté essere trovata una spiegazione scientificamente valida della differente “qualità” del suono emesso da due canne corrispon-denti a una stessa nota ma di differente snellezza, cioè rapporto diametro-lunghezza. In seguito alla cosiddetta “legge di Ohm” acustica (1843) - e alla sua decisiva approvazione da parte di Helmholtz - il particolare timbro di un dato suono fu ascritto al suo contenuto in armoniche. Il differente carattere dei registri organistici poté quindi avere una spiegazione, dato che - grazie alle ricerche effettuate nei riguardi della lunghezza acustica e delle perdite interne - era risultato che quelli di taglio stretto presen-tano una più consistente emissione di armonici acuti e quindi un timbro più brillante di quelli di taglio largo, cioè flautati.

A characteristic of the flue organ pipe is that it has a mouth similar to that of a recorder. From an analytical point of view, its mode frequency has progressively had to take into account two principal factors: (1) its acoustic length, which replaces its geometric length; (2) internal losses, due to friction and temperature, which slow down its internal plane-wave velocity.In 1727, the young Euler empirically worked out the first formula providing the fundamental frequency of a pipe open at both ends. In 1760-61, Lagrange obtained the same formula analytically, extended to the upper harmonics and to pipes stopped at one end. In 1762, Daniel Bernoulli resolved the problem, both analytically and experimentally, of conical and “chimney” pipes (the latter being formed of two cylindrical pipes of different diameters). All these formulae utilise solely the pipe’s geometrical length. Shortly afterwards, Giordano Riccati (1767) and Lambert (1775) hypothesised that it should be replaced by a slightly greater value, i.e. its “acoustic length”. The latter - limited to the sole fundamental frequency - was quantified experimentally in 1848 (Wertheim) and analytically in 1860 (Helmholtz). In 1871, Rayleigh perfected Helmholtz’s calculations by also introducing the modern concept of electro-acoustic analogy. In 1948, Levine and Schwinger demonstrated analytically that in passing to the upper harmonics, this value progressively returned to its geometric length. Dulong (1829) and Poisson (1831) had already intuited that the speed of sound inside the pipe, as compared to its speed in free air, dropped due to the friction of the air particles against the pipe walls. Taking into account the viscosity coefficient present in the Navier-Poisson-Stokes wave equation (1845), in 1863 Helmholtz obtained the first related formula. Later on, after the experimental tests by Kundt (1867), in 1868 Kirchhoff extended this formula to wave losses owing to the heat transmitted by the pipe walls (a formula that constitutes an approximate solution to the complex transcendental equation worked out by him on the subject). Further loss factors were identified in the following century.Although the mechanics of standing waves was now clear from an analytical point of view, it was only in the second half of the 19th cen-tury that a valid scientific explanation could be found for the different “quality” of sound emitted by two pipes for the same note, but with different “slimness”, i.e. their diameter-length ratio. As a result of Ohm’s so-called “acoustic law” (1843) - and its decisive approval by Helmholtz – the particular timbre of a given sound was ascribed to its harmonic content. The different character of organ stops could thus find an explanation, since – thanks to the research carried out on acoustic length and internal losses - it was shown that those with a low diameter-length ratio provided a more consistent emission of upper harmonics and consequently gave a more brilliant timbre.

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Barbieri/Mathematical theory on flue organ pipes: a long struggle

1. Introduzione

Le canne d’organo sono di due tipi fondamentali: “ad ancia” (in cui il risonatore viene eccitato da una linguetta metallica, di forma simile a quella del clarinetto) e “ad anima” (la cui imboccatura è analoga a quella di un flauto diritto). La trat-tazione verterà sulla nascita e sul progressivo affinamento del-la formula che fornisce la frequenza fondamentale e relativi armonici. Essa verrà suddivisa nei seguenti quattro paragrafi:

2. Genesi della formula classica di Eulero-Lagrange, che prende l’avvio nel 1727.

3. Introduzione delle correzioni di estremità, che modificano il concetto di “lunghezza geometrica” in quello di “lun-ghezza acustica”; vedremo che, sotto l’aspetto scientifico, tali tormentose indagini presero l’avvio nel 1762 e potero-no ritenersi concluse solo nel 1960.

4. Introduzione delle perdite interne, per attrito e scambi ter-mici (avviata nel 1863-68), in seguito alle quali la velocità del suono che compare nella formula diviene funzione del diametro della colonna d’aria e della sua frequenza di vi-brazione.

5. Nascita della moderna teoria del “timbro” (1843), che finalmente permetteva di dare ragione della differente “qualità” del suono emesso da due canne corrispondenti a una stessa nota ma di differente snellezza, cioè rapporto diametro/lunghezza.

2. Nascita di una teoria matematica,1727-882.1. Concetti baseUna canna ad anima è composta da un risonatore longitu-dinale (“corpo”) eccitato a una estremità da un dispositivo (“bocca”), di cui si parlerà nel par. 3; l’altra estremità può essere aperta o tappata. Il significato della denominazione “ad anima” apparirà chiaro dall’esame della Fig. 2.1. In cor-rispondenza delle possibili risonanze, all’interno del corpo si vengono a formare delle onde stazionarie che si estendono all’intera serie armonica per le canne aperte ad entrambe le estremità e alle sole armoniche dispari per quelle con una estremità tappata (Fig. 2.2). A parità di lunghezza, si vede però che tutte le armoniche di queste ultime sono all’ottava grave rispetto alle corrispondenti della canna aperta. Nel par. 3 vedremo che nel caso reale i nodi di pressione non si trovano però esattamente in corrispondenza delle due estremità fisiche del corpo (come nel caso idealizzato di Fig. 2.2), ma un po’ al di fuori. Nelle formule di figura, la L (lunghezza geometrica) dev’essere quindi portata alla lunghezza acustica, aggiungen-do un termine relativo alla cosiddetta “correzione di bocca” e, per le sole canne aperte, anche uno relativo alla estremità superiore. Tali correzioni non sono per nulla trascurabili, po-tendo essere dell’ordine di un intero tono.

2.2. la “chorda aëris” di euleroNella sua dissertazione di laurea del 1727, il non ancora ven-tenne Eulero associa la frequenza di vibrazione della colonna

d’aria contenuta in un tubo cilindrico a quella di una corda so-lida. Trova che tali due frequenze coincidono quando la corda solida ha la stessa lunghezza del tubo, lo stesso peso dell’aria in esso contenuta, ed è posta in tensione da un peso pari a quello esercitato dalla pressione atmosferica sulla sezione del tubo (cioè pari al peso di una colonna barometrica di mer-curio avente lo stesso diametro del tubo) [3]. Contrariamente alla corda solida, la chorda aëris acquistava quindi elasticità tramite compressione da parte dell’atmosfera soprastante; le sue vibrazioni, invece di essere trasversali, erano inoltre di tipo longitudinale.

Tale dualismo era per la verità già stato avanzato dal ge-suita Ignace-Gaston Pardies (c.1672) e successivamente da Newton [4]. Il giovane Eulero però va oltre, riuscendo a quan-tificarlo e a fornire così - per la prima volta - una formula che permette di calcolare la frequenza fondamentale di una canna cilindrica aperta ad entrambe le estremità. Egli parte dalla formula che dà la frequenza fondamentale f di una corda ma-teriale lunga L, di massa M, e tesa da una forza F:

, (2.1)

ART STORICO: Barbieri

12F

fLM

=

(2.1)

1 112 22 1

( )F PS P c

fLM L SL L Lρ ρ

= = = =

(2.2)

f = c/ (= c/L)

(P/)1/2

2 2

22 2

y yc

t x

∂ ∂=∂ ∂

(2.3)

y = F(ct − x)

y = F(ct + x)

( , ) sin( )nn

y x t A n x

l

π= cos( )n ct

l

π (??)

( , ) sin( )cos( )nn

n ny x t A x

T

π πλ

=

(∆e)

(∆m)

fs = c / 4(L + ∆m)

fo = c / 2(L + ∆m + ∆e)

dove la f è da lui espressa in vibrazioni semplici, cioè in Hz/2 [5]. Introducendo il dualismo di cui sopra, per un tubo aperto di pari lunghezza geometrica ottiene, sempre in Hz/2 (tradu-cendo i suoi passaggi in simbologia moderna):

, (2.2)


12F

fLM

=

(2.1)

1 112 22 1

( )F PS P c

fLM L SL L Lρ ρ

= = = =

(2.2)

f = c/ (= c/L)

(P/)1/2

2 2

22 2

y yc

t x

∂ ∂=∂ ∂

(2.3)

y = F(ct − x)

y = F(ct + x)

( , ) sin( )nn

y x t A n x

l

π= cos( )n ct

l

π (??)


n ny x t A x

T

π πλ

=

(∆e)

(∆m)

fs = c / 4(L + ∆m)

fo = c / 2(L + ∆m + ∆e)

PACS: 43.05.Dr, 43.75.-z, 43.75.NpParole chiave: canne d’organo ad ancia, storia delle teorie matematicheKeywords: flue organ pipes, history of the mathematical theories

Fig. 2.1. Sinistra: canna ad anima. Il piede è separato dal risonatore da uno spesso diaframma di piombo detto “anima”, che lascia solo una stretta fessura (“luce”) per il passaggio della lama d’aria. Destra: dettaglio della bocca di una canna di legno [1].

Left: flue pipe. The foot is separated from the resonator by a thick lead diaphragm known as the “languid”, leaving only a narrow slit (“flue”) for the passage of the air blade. Right: detail of the mouth of a wooden pipe [1].



Barbieri/Canne d'organo ad anima: gestazione di una teoria

dove S è l’area della sezione trasversale del tubo; P la pres-sione atmosferica; ρ la densità dell’aria; c la velocità del suo-no nell’aria libera secondo Newton. In realtà Eulero omette di citare esplicitamente l’ultima equivalenza (c/L), avendo in precedenza ricordato che la formula proposta da Newton per la c si era rivelata in difetto di quasi il 20% rispetto alle misure sperimentali [6]. Nell’eq. (2.2) detto errore comun-que resta, dato che la schematizzazione di Newton, cacciata dalla porta, rientra dalla finestra. Meglio sarebbe stato par-tire direttamente dalla f = c/λ (= c/L), relazione già pub-blicata da Newton nel 1687 [7]. Ancora nel 1739, quando Eulero la ripubblicò nel Tentamen novae theoriae musicae, la eq. (2.2) era l’unica a riguardo [8]; al fine di evitare det-to errore, in essa alcuni fisici inseriranno però direttamente il valore di c ottenuto dai rilevamenti sperimentali, come ad esempio quelli pubblicati da César-François Cassini nel 1738, i più precisi del secolo (vedi ad esempio G. Riccati [9]). È bene comunque osservare che l’errore in questione poteva venire inconsapevolmente attenuato dal fatto che, nella summenzionata formula, alla L avrebbero dovute es-sere aggiunte le correzioni di estremità, il cui valore sarà con buona approssimazione noto solo verso la metà del secolo XIX (par. 3).

A differenza di Newton, Eulero chiarisce meglio la di-pendenza del fattore (P/ρ)1/2 dalla temperatura dell’aria. Sostiene infatti correttamente che il rapporto P/ρ - e quin-di anche la frequenza di una canna d’organo - non cambia passando “dalle più profonde valli ai più alti monti”, sem-pre che temperatura e umidità rimangano le stesse. A pari-tà di P, la frequenza della canna raggiunge quindi il valore massimo in estate con tempo secco e il valore minimo in inverno con tempo umido [10,11]. Per le usuali variazioni di temperatura, nel 1739 egli quantifica in un tono (rapporto 9:8) l’entità di tale oscillazione [12]; dato che risulterà però

essere stato decisamente sovrastimato. Nel 1762, Daniel Bernoulli riferisce infatti che, secondo gli organisti, tale oscillazione si aggirava al massimo intorno a un semitono; la causa di ciò viene da lui attribuita alla minore escursio-ne termica all’interno di una chiesa rispetto all’aria esterna [13]. In base a misurazioni pratiche, tre anni dopo Giorda-no Riccati limiterà a un terzo di tono tale oscillazione di corista [14]. Già agli inizi del secolo successivo Poisson ave-va comunque risolto il problema, fornendo una formula in cui la c viene espressa in funzione sia della temperatura che dell’umidità relativa dell’aria [15].

2.3. onde progressive e stazionarienelle canne cilindricheAbbiamo visto che ancora nel 1739 Eulero era unicamente in grado di fornire una formula, empirica, relativa alla sola fre-quenza fondamentale di una canna d’organo aperta. A partire dal 1747, con la soluzione del problema della corda vibrante da parte di d’Alembert, la meccanica delle vibrazioni riceve tale impulso da portare - nel giro di una dozzina d’anni - an-che alla soluzione analitica dell’analogo problema delle canne cilindriche o prismatiche, aperte e tappate. Analizziamone in sintesi l’evoluzione cronologica (vedi anche [16]).

1747. D’Alembert imposta l’equazione generale della cor-da vibrante ideale; la sua soluzione fornisce, per ogni armo-nico, un’onda stazionaria prodotta dalla somma di due onde viaggianti in senso opposto tra loro. Per una corda ideale che si estende indefinitamente nella direzione x, lo spostamento verticale y nel tempo t che caratterizza la sua onda progressiva viene espressa da un’equazione che diverrà famosa:

, (2.3)


12F

fLM

=

(2.1)

1 112 22 1

( )F PS P c

fLM L SL L Lρ ρ

= = = =

(2.2)

f = c/ (= c/L)

(P/)1/2

2 2

22 2

y yc

t x

∂ ∂=∂ ∂

(2.3)

y = F(ct − x)

y = F(ct + x)

( , ) sin( )nn

y x t A n x

l

π= cos( )n ct

l

π (??)


n ny x t A x

T

π πλ

=

(∆e)

(∆m)

fs = c / 4(L + ∆m)

fo = c / 2(L + ∆m + ∆e)

Fig. 2.2. Armonici di una canna aperta ad entrambe le estremità (sinistra), o solamente a una di esse (destra) [2]. Da notare che i nodi di spostamen-to N (cioè di vibrazione delle particelle d’aria) coincidono con gli antinodi di pressione p. Col verso delle frecce indicato in figura, valido per un semi-periodo, i nodi N corrispondono a sottopressioni massime rispetto a quella atmosferica (linee tratteggiate dei grafici p, sottostanti). Nel semiperiodo successivo la situazione si ribalta. Alle estremità aperte la pressione nodale è quella atmosferica. Da notare che, per gli armonici dispari della canna non tappata, le velocità acustiche alle due estremità sono in opposizione di fase (cioè le particelle d’aria escono dalla canna nel primo semiperiodo ed entrano in quello successivo).

Harmonics of a pipe open at both ends (left), or at only one (right) [2]. Note that displacement nodes N (air-particle vibration) coincide with the pressure p antinodes. In the direction of the arrows shown in the figure - valid for a half-cycle - nodes N correspond to maximum air rarefactions as compared to atmospheric values (broken lines in graphs p, below). In the next half-cycle, the situation is the opposite. At the open ends, the nodal pressure is atmospheric. Note that, for the odd harmonics of the open pipe, the air-particle velocities at the two ends are in phase opposition.




dove c è la velocità dell’onda lungo la corda. Se i due estre-mi sono incernierati la soluzione è data dall’onda stazio-naria che si ottiene dalla somma di due onde viaggianti ca-ratterizzate da una generica funzione F, cioè: y = F(ct − x) per l’onda che progredisce verso destra, e y = F(ct + x) per quella riflessa [17]. Tali onde stazionarie, cioè i “fusi” della corda vibrante, erano già state osservate sperimentalmente da Noble and Pigot (1673) e da Sauveur (1700), ma d’Alem-bert è il primo che le collega alle onde progressive: tale suo risultato sarà alla base della comprensione della meccanica del tubo a colonna d’aria vibrante, al quale però si limita a fare un semplice cenno, associandone il calcolo a quello da lui ottenuto per la corda.

1748. Servendosi di un differente metodo, che però “non differisce molto da quello del Sig. d’Alembert”, Eu-lero conferma i risultati di quest’ultimo. Egli è inoltre il primo a pubblicare, in forma esplicita, la formula dell’on-da stazionaria della corda contenente le sue singole armo-niche n [18]:

,


Dopo la formula (2.3)

( , ) sin cosnn

n x n cty x t A

l l

π π =

essendo l = /2, cioè pari alla semilunghezza d’onda, e c la velocità dell’onda progressiva, l’equazione può essere scritta nella forma a noi familiare:

2 2( , ) sin cosnn

y x t A n x nT

π πλ

=

..............................................pressione sono costanti, introducendo le forze tangenziali dovute al coefficiente di viscosità ottiene un’equazione da lui riportata nella forma seguente:

2 2 32

2 2 2

43

d v d v d vc

dt dx dx dt

µρ

= +

ART 1: D’Orazio

( , )( , )(0, )

tt

t

τφ τ = (3)

essendo l = λ/2, cioè pari alla semilunghezza d’onda, e c la velocità dell’onda progressiva, l’equazione può essere scritta nella forma a noi familiare:

,


Dopo la formula (2.3)

( , ) sin cosnn

n x n cty x t A

l l

π π =

essendo l = /2, cioè pari alla semilunghezza d’onda, e c la velocità dell’onda progressiva, l’equazione può essere scritta nella forma a noi familiare:

2 2( , ) sin cosnn

y x t A n x nT

π πλ

=

..............................................pressione sono costanti, introducendo le forze tangenziali dovute al coefficiente di viscosità ottiene un’equazione da lui riportata nella forma seguente:

2 2 32

2 2 2

43

d v d v d vc

dt dx dx dt

µρ

= +

ART 1: D’Orazio

( , )( , )(0, )

tt

t

τφ τ = (3)

dove T è il periodo (T = 1/f). Brook Taylor, che nel 1715 per primo aveva aggredito analiticamente il problema della corda vibrante, si era invece limitato all’onda sta-zionaria relativa alla sola armonica fondamentale; e ciò dopo aver postulato - e non dimostrato - che il relativo “fuso” di vibrazione avesse un profilo sinusoidale, curva che lui chiama “cicloide”, traendo questa terminologia dall’analogia tra l’isocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo a cicloide e quello della corda vibrante, la cui frequenza risultava essere indipendente dall’ampiezza di vibrazione [19,20]. Come se la confusione non bastas-se, nei testi dei secoli XVIII e XIX la cicloide è anche detta “trocoide”, la quale viene anche assimilata alla “si-nusoide” [21,22].

1753. Daniel Bernoulli effettua alcune esperienze su di un flauto traverso, tappandone preventivamente tutti i fori tonali. Soffiando progressivamente sempre più vigo-rosamente ottiene l’intera serie degli armonici. Tappando anche l’apertura terminale del canneggio osserva che detta serie si riduce agli armonici dispari. Su ciò dice che intende “pubblicare una memoria, quando avrò spiegato e ridotto a calcolo le vibrazioni dell’aria che si formano nelle canne aperte e tappate” [23].

1759-61. Nel primo volume di memorie dell’Accade-mia delle scienze di Torino, da lui edito nel 1759, Giuseppe Lodovico Lagrange pubblica importanti sviluppi analitici sulla propagazione del suono [24]. Nel secondo volume del-la summenzionata Miscellanea Taurinensia (1760-61) egli fa seguire, in forma esplicita, l’equazione di propagazione di un’onda piana nell’aria, equazione che si rivela essere perfettamente simile a quella già ottenuta da d’Alembert

nel 1747 per la corda vibrante [25] (alla p. 175 precisa che essa non è altro che un caso limite di equazioni già da lui ottenute nel Capitolo V della memoria del 1759). C’è da aggiungere che il giovane fisico torinese nel 1759 si era pre-murato di inviare una copia del primo volume di memorie a Eulero, col quale rimase poi in amichevole contatto epi-stolare per diversi anni. Quest’ultimo, stimolato da detta memoria, già negli ultimi mesi del 1759 era per altra via pervenuto alla stessa equazione, e tale risultato comuni-cato all’Accademia delle scienze di Berlino nel novembre dello stesso anno. Tale suo lavoro, dove peraltro riconosce la priorità dell’italiano, sarà però pubblicato solo nel 1766 [26]. Sull’argomento è anche molto interessante l’appro-fondita analisi di Truesdell [27], che, in tale competizione, attribuisce maggiore importanza al contributo scientifico apportato da Eulero.

1760-61. Sempre nel secondo volume delle summenzio-nate memorie, Lagrange - imponendo opportune condi-zioni al contorno nell’equazione da lui trovata - dimostra analiticamente la ragione per cui una canna tappata emet-te solo gli armonici dispari (le condizioni da lui imposte sono che l’oscillazione delle particelle d’aria dev’essere massima in corrispondenza dell’estremità aperta e nulla in quella tappata). Ignorando le precedenti (parziali) espe-rienze di Mersenne [28,29], aggiunge che tale fenomeno era stato per la prima volta segnalato da Daniel Bernoulli nel 1753, ma che né lui né alcun altro ne avevano fino ad allora reso ragione [30]. Bernoulli rivendicherà la paterni-tà di tale spiegazione nella celebre memoria del 1762, ma Lagrange - in una lettera inviata a d’Alembert nel 1765, da Torino - respingerà con indignazione (e con ragione) tale pretesa [31].

1764. Solo in quest’anno vengono pubblicate le ricer-che di Daniel Bernoulli sulle canne d’organo, ricerche iniziate con successo più di vent’anni prima e solo nel 1762 comunicate alla Académie des sciences di Parigi [32]. Sotto l’aspetto matematico la sua memoria è quindi solamente “a voice from the past” [33]. Sotto l’aspetto fisico, invece, è preziosa e contiene molte informazioni inedite, come la posizione dei nodi, il verso della velocità delle particelle d’aria, gli effetti dell’apertura di un foro nella parete della canna; viene inoltre per la prima volta illustrato, teoricamente e sperimentalmente, il comporta-mento acustico delle canne coniche e di quelle “a cami-no” (queste ultime costituite da due cilindri di differente diametro, posti in serie).

Per più della metà del secolo successivo le ricerche teoriche passeranno in secondo piano, dato che i fisici si concentreranno sulla verifica sperimentale delle teorie ora citate: per questa ragione si farà riferimento alla memo-ria di Bernoulli molto più che non a molti dei contribu-ti puramente teorici di Eulero e Lagrange. Jean-Baptiste Biot verificherà ad esempio l’emissione degli armonici per svariati tipi di canna [34]; Félix Savart e William Hopkins indagheranno sulla reale posizione dei nodi [35,36]; Char-les Wheatstone escogiterà una ingegnosa conferma speri-mentale riguardante il verso della velocità delle particelle aeree in corrispondenza dell’estremità superiore [37]. Il problema principale rimarrà comunque quello della ef-fettiva lunghezza acustica della canna, che dalle esperien-ze fatte risultava essere sensibilmente maggiore di quella geometrica, cioè di quella figurante nelle formule finora esaminate.




2.4. Il problema della riflessione dell’ondadall’estremità aperta della cannae la conseguente corretta spiegazione dell’ecoLa trattazione analitica dell’onda piana nei tubi portò anche a un radicale cambiamento del concetto di riflessione d’onda, e quindi della produzione dell’eco.

In una corda vibrante, la riflessione da entrambe le estre-mità era fisicamente intuibile e, per corde lunghe e non ec-cessivamente tese, anche materialmente visibile. Nelle canne tappate, la riflessione da parte del tappo veniva interpretata in maniera analoga, cioè come il rimbalzo di una pallina elastica contro un muro: tale è, ad esempio, la schematiz-zazione di Mersenne [38] e, ancora nel 1727, quella del gio-vane Eulero [39]; nel Tentamen, invece, quest’ultimo riterrà più prudente non rifarsi a tale analogia [40]. Le equazioni d’onda sconvolsero però l’apparente semplicità del proble-ma, rivelando la presenza di una riflessione - sia pure con inversione dell’onda di pressione acustica - anche in cor-rispondenza dell’estremità aperta della canna, riflessione prodotta quindi dalla stessa aria libera. Sotto l’aspetto ana-litico, il problema era stato risolto nel 1760 da Lagrange, mediante l’imposizione di opportune condizioni di vincolo; impostazione che nel 1788 si ritroverà nella sua Méchanique analitique [41].

Ciò che ancora mancava era però un spiegazione qua-litativa della meccanica del fenomeno. Nel 1816 Jean-Bap-tiste Biot avanzò una parziale giustificazione, basata sul terzo armonico di una canna tappata. In Fig. 2.2 si può vedere che, alla distanza L/3 dall’estremità tappata, detto terzo armonico presenta un nodo di pressione e un anti-nodo di vibrazione, per cui aprendo un foro in quel punto l’armonico rimane immutato; anzi, rimane immutato anche se il foro viene replicato lungo l’intera circonferenza della canna, tagliando di fatto quest’ultima in due. Biot conclude quindi che le vibrazioni, raggiunto questo punto, “vengono ripercosse dall’aria esterna, esattamente come lo sarebbe-ro da una parete solida” [42]. Una completa spiegazione qualitativa della riflessione d’onda da parte dell’estremità aperta della canna verrà comunque avanzata solo nella se-conda metà del secolo (vedi ad esempio il trattato di Jamin e Bouty [43]).

Sempre a tale riguardo, nel 1765 Eulero formula una inge-gnosa schematizzazione matematica del fenomeno, basata sul nuovo “metodo della sorgente immagine” [44,45]; metodo del quale per la verità si era già servito il gesuita Ignace-Gaston Pardies verso il 1672 [46]. Eulero aggiunge che esso si potreb-be verificare anche in strette gallerie, per cui – se queste sono sufficientemente lunghe e l’osservatore a sufficiente distanza dal loro sbocco nell’aria aperta – tale riflessione può essere percepita come eco, anziché come risonanza (sebbene non venga esplicitamente da lui precisato, ciò si verifica solo se la lunghezza d’onda è molto maggiore del diametro della galle-ria). All’inizio del secolo successivo, riferendosi al contributo di Eulero, Chladni farà rilevare che per la prima volta l’eco veniva correttamente spiegato come una riflessione d’onda, e non più - conformemente al vecchio principio della “catacu-stica”, duale della “catottrica” - come una riflessione mecca-nica di particelle d’aria [47].

Nel 1817, Poisson e Biot dimostreranno che tale riflessio-ne può avvenire anche all’interno di una canna contenente due gas, in corrispondenza della loro superficie di separa-zione [48,49] (gli esperimenti di Biot confermano però solo in parte la teoria di Poisson). Se la sua estremità opposta

alla bocca viene parzialmente immersa nell’acqua, Poisson è quindi in grado di affermare - ed è il primo a dimostrarlo - che, a causa della grande differenza di densità, essa “può, senza tema di errore, essere riguardata come un tubo tappa-to nel punto in cui l’acqua si innalza al suo interno, o, per dirla in altri termini, questo punto può essere considerato come un nodo di vibrazione” [50]. Nel 1867 Tyndall affer-merà che l’eco si può verificare addirittura nell’aria aperta, nella zona di transizione tra due strati di differente densità: veniva così dimostrato che esistevano mezzi trasparenti alla luce ma non al suono [51]. Il concetto di impedenza acu-stica, col quale oggi tali fenomeni vengono comunemente spiegati, cominciava quindi a farsi strada.

3. Le due correzioni di estremità:una laboriosa indagine, 1762-19603.1. le prime osservazioni empiriche, 1762-1860Le formule viste nel par. 2.2 sono relative alle canne ide-ali, cioè a quelle “infinitamente sottili”, come tiene a pre-cisare lo stesso Eulero [52]. In realtà, già da secoli si era a conoscenza che la nota emessa da una canna d’organo, mantenendo costante la lunghezza, cala progressivamente di frequenza al crescere del diametro; in alcuni manoscritti medievali sono ad esempio già prescritte correzioni di estre-mità, rispetto ai rapporti pitagorici, espresse in frazioni del diametro della canna (vedi ad esempio [53]). Ciò era stato quantitativamente rilevato anche da Mersenne nel 1636-37, e tali suoi risultati controllati sperimentalmente nel 1806 dall’organaro mantovano Luigi Montesanti. I dati forniti da Mersenne erano il risultato di una serie di esperimenti effettuati su canne della stessa lunghezza e di differente dia-metro, da lui commissionati a tal Cornu, “abile agrimenso-re” ed esperto nel calcolo dei rapporti armonici. Mersenne desiderava anche sapere in quale misura tali frequenze di-pendessero dall’ampiezza della bocca; a questo scopo, già nel 1635 Christophe de Villiers si era offerto di costruire due canne di eguale diametro, munite di bocche di larghezza as-sai differente. Anche Montesanti, da bravo organaro, dimo-stra di essere pienamente consapevole che la frequenza della nota emessa varia con l’ampiezza della bocca [54].

Mentre Mersenne aveva mantenuto costante la lunghezza e fatto variare il diametro, nel 1762 Daniel Bernoulli invertirà i ruoli, servendosi di una canna tappata mediante un pistone scorrevole: noterà che gli scarti rispetto alla formula teorica ideale vista nel par. 2.2 (f = c/2L, in Hz) crescono al diminuire della lunghezza L e correttamente attribuirà tale comporta-mento alla ostruzione dell’estremità aperta del tubo causata dalla presenza della bocca. Dai dati da lui riportati, tale ri-sposta in frequenza risulta corrispondere a un aumento fitti-zio Δm della L sensibilmente costante [55].

Nonostante le testimonianze degli organari e quanto pubblicato da Mersenne, fisici e matematici tardarono a prendere in considerazione questo problema: solo nel 1767 Giordano Riccati fa notare che esiste una chiara distinzio-ne tra lunghezza geometrica e acustica di una canna. Para-gonando la frequenza di una canna di cinque piedi aperta, misurata da Sauveur, e il valore di una canna simile risul-tante dalla formula di Eulero, deduce che il rapporto “fra la lunghezza d’una canna d’organo di cinque piedi, e quel-lo della tortuosa corda d’aria, che dentro la canna stessa va serpeggiando” è pari a 57:58 [56]; la correzione effettiva




si rivelerà in seguito assai maggiore dello 1.75% corrispon-dente a tale rapporto. Sebbene avesse chiaramente intuito che la lunghezza acustica è maggiore di quella geometrica, dalla terminologia impiegata si evince che, evidentemen-te all’oscuro delle indagini di Lagrange ed Eulero, Riccati non era a conoscenza che quella che si propaga all’inter-no della canna è un’onda piana; a pag. XI rivela infatti di essere rimasto ancorato alla vecchia teoria delle ripetute riflessioni, proposta nel secolo precedente: “una corda d’aria dentro una canna cilindrica d’organo, a cagione delle replicate riflessioni che succedono, è alquanto più lunga della canna predetta” [57]. Che invece la lunghezza acustica si estendesse un po’ oltre l’apertura superiore vie-ne correttamente fatto osservare - sulla base di una solida giustificazione energetica - da Johann Heinrich Lambert, nella sua memoria sul flauto traverso [58]: “sembra che l’onda si prolunghi oltre il foro aperto C [al termine della cameratura], cosa che non giudico impossibile. Come dato di fatto, le vibrazioni prodotte nella cameratura devono sempre propagarsi nell’aria esterna”. Questa è la prima menzione esplicita di una correzione di estremità superio-re, fatto che continuerà comunque a essere ignorato per almeno un’altra generazione.

Rifacendosi ai summenzionati esperimenti di Mersenne, nel 1804 il matematico e ingegnere fiorentino Pietro Ferroni richiama fermamente l’attenzione sul fatto che la frequenza di una nota emessa da una canna d’organo dipende non solo dalla sua lunghezza geometrica - come previsto dalla formu-la di Eulero, l’unica allora nota -, ma anche dal diametro, e invita di conseguenza “i fisici valorosi [...] a sciogliere questo nodo ripetendo le due suddescritte esperienze” [59]. Come già anticipato, in seguito alla lettura di tale memoria l’organaro Luigi Montesanti effettua delle verifiche che confermano le conclusioni di Mersenne, evitando però di proporre alcuna spiegazione di tipo teorico [60]. Una decina di anni dopo, il fisico veneto Simone Stratico effettua anch’egli una serie di esperimenti a riguardo, da lui esposti in un manoscritto risalente al 1815-16. Sebbene da lui interpretati mediante una erronea analogia di tipo fluidodinamico, giunge a due importanti conclusioni: (1) la colonna d’aria si estende effet-tivamente al di fuori della canna; (2) a parità di lunghezza di quest’ultima, tale estensione aumenta all’aumentare del dia-metro della canna stessa [61].

In una memoria puramente teorica letta nel 1818-19 alla Académie des sciences di Parigi, Siméon-Denis Poisson espo-ne il seguente ragionamento: (1) se non alimentato, il suono emesso da un flauto svanisce quasi immediatamente; (2) l’at-trito della colonna d’aria con la parete interna della camera-tura non è sufficiente a giustificare tale rapidità di estinzione; (3) essa è piuttosto dovuta all’energia sonora emessa (questa sua ipotesi si rivelerà però errata: moderne indagini hanno in-fatti appurato che, nei flauti e nelle canne d’organo, la poten-za acustica in uscita risulta essere assai inferiore all’1% della potenza in ingresso fornita dal flautista o dai mantici, come ad esempio dimostrano le misure pubblicate da Bouhuys nel 1965 [62]). A riguardo, Poisson prosegue facendo corretta-mente osservare che “è difficile concepire come la porzione d’aria situata all’estremità [aperta] del tubo possa ricevere delle velocità qualunque senza provare nello stesso tempo delle condensazioni o delle dilatazioni proporzionali a que-ste velocità” [63,64]. All’estremità aperta del tubo il rapporto p/v (pressione acustica/velocità delle particelle d’aria) non sarà quindi nullo, come ipotizzato nell’equazione di Eulero-

Lagrange, ma leggermente superiore allo zero; aggiunge che, pur essendo “assai piccolo” nei tubi snelli, tale rapporto cre-sce all’aumentare del diametro [65]. È proprio detta emissio-ne di energia a fare sì che le onde prodotte dalla bocca della canna “non si accumulino senza posa nella colonna vibran-te” [66]. Benchè venga così finalmente spiegato il meccani-smo energetico dell’emissione acustica, il fisico-matematico francese modifica la teoria di Eulero-Lagrange solamente col fare osservare (anche questa volta correttamente) che, es-sendo le onde riflesse di intensità inferiore rispetto a quelle dirette, i punti nodali sono punti di ampiezza assai ridotta dell’onda stazionaria, ma non nulla. Quest’ultima continua però a essere interamente contenuta nel tubo, per cui “si tro-va che la durata delle oscillazioni del fluido, e di conseguenza i differenti toni che fa sentire, non dipendono in alcun modo da tale rapporto [p/v], e sono le stesse di quelle della teoria ordinaria, dove [tale rapporto] si assume uguale a zero” [67]. Benchè perda così una buona occasione per introdur-re la correzione di estremità, Poisson però di fatto introduce il concetto di impedenza di carico, dato che il rapporto p/v viene da lui supposto essere dipendente dalle caratteristiche meccaniche della sostanza che l’onda incontra alla sommità della colonna fluida: prende quindi in considerazione anche il caso limite in cui p/v = ∞, cioè quello della canna tappata da un tampone infinitamente rigido. Tenta anche di svilup-pare analiticamente tale ipotesi, raggiungendo però conclu-sioni in seguito giudicate erronee [68-70]. I tempi non erano del resto ancora maturi per tali sviluppi. Il problema della impedenza di carico, con le relative ripercussioni sull’energia irradiata e sulla lunghezza acustica della canna, verrà risolto analiticamente solo verso la metà del secolo XX, grazie al contributo di scienziati quali Morse, Olson, Beranek, Levine and Schwinger; tale impedenza risulterà essere una funzione complessa, il cui modulo dipende dal diametro della canna e dalla frequenza dell’armonico considerato [71].

Rimaneva quindi da trovare l’esatta formula delle frequen-ze emesse da una canna, che l’esperienza diceva dipendere non solo dalla sua lunghezza, ma anche dal diametro. Nel 1823 Félix Savart dà l’avvio a una serie di accurati esperimenti sul-la correzione di estremità che furono proseguiti per più di un secolo da altri fisici (esperimenti effettuati su canne d’organo di differenti lunghezze e diametri, simili a quelli di Mersenne e Montesanti). Dato che nelle comuni canne d’organo la lama d’aria uscente dalla luce agisce solo su di una piccola porzione della sezione del tubo, da bravo fisico Savart comincia quindi con l’accertare se ciò influisca sull’andamento dell’onda piana al suo interno. A tale fine si serve di un tubo aperto ad en-trambe le estremità, posto in eccitazione accostando alla sua estremità inferiore, perpendicolarmente all’asse, una piastra di vetro vibrante sulla stessa frequenza fondamentale f1 del tubo. Ciò gli permette di concludere che “la colonna d’aria entra in movimento nello stesso modo sia che la superficie cir-colare che la delimita si trovi eccitata a pieno orificio oppure solamente in una piccola porzione della sua estensione” [73]. Osserva inoltre che, aumentando il diametro, la lunghezza del tubo deve venire un po’ ridotta affinchè si mantenga in riso-nanza con la piastra: è quindi confermato che la f1 dipende anche dal diametro. Anche con la considerevole massa di dati raccolta tramite un altro suo ingegnoso dispositivo (Fig. 3.1), Savart non è comunque in grado di elaborare una formula di calcolo; può semplicemente individuare l’effettiva posizione dei nodi e antinodi di velocità acustica, che in un caso risulta-no essere in disaccordo con quanto previsto dalla teoria allora




nota: trova che in effetti il nodo dell’armonico fondamentale non giace esattamente nel mezzo del corpo della canna (come nel caso ideale, Fig. 2.2), ma è leggermente spostato verso la bocca [74]. Tale spostamento, dovuto alla correzione di boc-ca, è oggi confermato con maggiore precisione dalla moder-na strumentazione elettronica (Fig. 3.2)). Nel 1829 analoghi esperimenti effettuati da Pierre-Louis Dulong accertarono che tale posizionamento del nodo è tipico di una data canna ed è indipendente da altri fattori, come il tipo di gas in essa contenuto, la sua temperatura e pressione ecc. [75].

William Hopkins, servendosi dello stesso dispositivo ideato da Savart (tubo e piastra vibrante), nel 1835 pervie-ne invece a conclusioni opposte: la f1 del tubo è indipen-dente dal diametro, “a patto che l’eccitazione sia distri-buita uniformemente attraverso la sua sezione estrema”: evidentemente nel corso dell’esperienza qualcosa non fun-zionò a dovere, dato che tutte le ricerche successive, an-che teoriche, confermeranno la conclusione di Savart [77]. Conformemente alla summenzionata teoria di Poisson, in seguito a sviluppi analitici e ricerche sperimentali accer-ta inoltre che i nodi sono “punti di minima vibrazione, e non di quiete assoluta” [78]. La lunghezza d’onda rimane quella di Eulero-Lagrange-Poisson, ma - sempre secon-do tali indagini - l’intera onda stazionaria viene “portata più vicino all’apertura superiore rispetto alla posizione ad essa assegnata dalle investigazioni di Eulero e del Sig. Poisson” [79]. È da notare che nessuno degli autori ulti-mamente citati (Poisson, Savart, e Hopkins) afferma che l’onda stazionaria sborda un po’ dall’estremità superiore della canna, contrariamente a quanto invece anticipato da Lambert e da Stratico.

Successivamente, i fisici sperimentali migliorarono la vecchia strumentazione di Fig. 3.1, adottando dispositi-vi ottici basati sulle cosiddette “fiamme manometriche”. Ulteriori miglioramenti intervennero con lo sviluppo dell’anemometro a filo caldo, basato sullo stesso princi-pio del microfono a filo caldo (1921-23); servendosi di tale ultimo dispositivo, nel 1926-28 Richardson misurò l’am-piezza della velocità acustica nelle canne d’organo e, alcu-ni anni dopo, Young e Loughridge effettuarono la misura sperimentale della vibrazione dell’aria al di là dell’estre-mità aperta di una canna suonante, dimostrando che la correzione di estremità superiore è caratterizzata da una curva di tipo esponenziale [80].

I primi dati quantitativi relativi al contributo delle due correzioni di estremità furono pubblicati solo nel 1848 da Wilhelm Wertheim. Per ottenere la correzione all’estremità superiore (Δe) e quella alla bocca (Δm) egli si servì di una canna tappata di lunghezza geometrica L, misurandone la frequenza fondamentale sia col tappo (fs) che senza (fo). Facendo sistema delle due equazioni fs = c / 4(L + Δm), fo = c / 2(L + Δm + Δe) fu quindi in gra-do di dedurre le due correzioni incognite, avendo assunto che la velocità del suono c all’interno della canna fosse coincidente con quella nell’aria libera [81]. Come vedre-mo nel par. 4, tale coincidenza invece non sussiste; dato che la differenza tra tali due c cresce al diminuire del dia-metro, i valori da lui ottenuti per le correzioni fornisco-no quindi un’accettabile approssimazione solo per canne di diametro largo. Servendosi di tale metodo, Wertheim fu anche nelle condizioni di determinare la velocità del suono in differenti tipi di gas, sebbene con risultati solo approssimativi, dato che le due correzioni di cui si servì

erano anch’esse approssimate. Tra le prime formule em-piriche atte a fornire la lunghezza “corretta” di una canna si segnalano anche quelle pubblicate nel 1860 dall’orga-naro Aristide Cavaillé-Coll, in una memoria ancora oggi assai nota agli organologi [82].

Fig. 3.1. Metodo ideato da Félix Savart (1823) per trovare sperimentalmente la po-sizione dei nodi e antinodi di spostamento (cioè di oscillazione) delle particelle d’aria. Una piccola e sottile membrana tesa sopra un telaietto circolare, coperta con sabbia finissima, viene calata all’interno di una canna di legno: essa è visibile attraverso una finestrella di vetro aperta in un fianco della canna. La sabbia rimane immobile solo in corrispondenza dei nodi di sposta-mento. Se invece la sonda fosse costituita da due membrane tese alle estremità di un corto cilindretto, in modo da formare in piccolo tamburo, la sabbia si compor-terebbe in maniera opposta, agitandosi in corrispondenza dei nodi di spostamento (cioè degli antinodi di pressione) e vice-versa. Ciò è dovuto al fatto che all’interno del ‘tamburo’ la pressione rimane costante e quella acustica agisce solamente sulla superficie esterna [72].

Method invented by Félix Savart (1823) to find the position of displacement nodes and antinodes experimentally. A small and thin membrane stretched over a circular frame, covered with very fine sand, is lowered inside a wooden pipe: its status is visible through a glass window let into one side of the pipe. The sand remains immobile only at the displacement nodes. If, on the other hand, the probe consisted of stretching two membranes at the ends of a short cylinder, so as to form a shallow little drum, the sand would behave in the opposite manner, agi-tating at the displacement nodes (= pressu-re antinodes) and vice-versa. This is due to the fact that inside the ‘drum’ the pressure is constant and the acoustic pressure acts solely on the outer surface [72].

Fig. 3.2. Onde stazionarie di pressione per il 1°, 2°, e 3° modo di vibrazione di una canna di un registro di Nachthorn, cioè di taglio largo [76]. Da notare (1) le accentuate correzioni di estremità, dovute al grosso diametro della canna, e (2) la discontinuità dell’andamento della pressione all’altezza della bocca.

Standing pressure-waves for the 1st, 2nd, and 3rd modes of a Nach-thorn stop pipe [76]. Please note (1) the accentuated end corrections, due to the pipe’s large diameter, and (2) the discontinuity of the pressure curve at the height of the mouth.




3.2. la correzione di estremità superiore:verso una teoria matematica, 1860-1960Sotto l’aspetto analitico, il problema del calcolo di tale cor-rezione viene per la prima volta affrontato e con buona ap-prossimazione risolto nel 1860 da Helmholtz, sia pure entro i seguenti due limiti: (1) caso in cui la lunghezza d’onda λ è molto maggiore del raggio a della canna; (2) la sommità di quest’ultima si suppone circondata ad una estesa superficie piana (= flangia), limitando così a una semisfera la superficie di irradiazione sonora, il che porta a una decisiva semplifica-zione del calcolo (Fig. 3.3). L’aggiunta di tale flangia accresce il valore della correzione, che Helmholtz trova essere pari a 0.785a (= aπ/4), con a raggio del tubo: tale correzione, estesa alle due estremità del tubo cilindrico, corrisponde al rapporto S/D, con S e D rispettivamente area e diametro della sezione [83]. In detta ricerca, egli fu anche stimolato dal fatto che essa trovava applicazione nel calcolo della frequenza dei risonatori sferici, la cui bocca è costituita da un corto tubo che dà origi-ne a una flangia in corrispondenza del suo innesto nel risona-tore (Fig. 3.4).

Nel 1871, pur in seguito riconoscendo a Helmholtz la priorità della scoperta della “correct theory of the open or-gan pipe”, Rayleigh perverrà a risultati analoghi attraverso un metodo totalmente innovativo, ipotizzando un dualismo tra corrente acustica e corrente elettrica [88-90]. Come si vede in Fig. 3.3, se una corrente elettrica scorre attraverso un lungo tubo cilindrico di materiale conduttore e poi sboc-ca in un ampio spazio semiinfinito dello stesso materiale, la resistenza complessiva è proporzionale alla lunghezza del tubo più una certa frazione del suo raggio a: tale frazione è il coefficiente di correzione cercato. Servendosi di un pro-cedimento da lui stesso giudicato approssimato, Rayleigh trovò che detto coefficiente è compreso tra 0.785a (= πa/4, quello già trovato da Helmholtz) e 0.848826a (= 8a/3π), orientandosi poi sul valore intermedio 0.824222a [91]. Se-guendo lo stesso schema, ma con un differente andamento delle linee di corrente che sboccano dal tubo, nel 1915 il matematico americano P.J. Daniell otterrà un valore me-dio di tale correzione leggermente inferiore, compreso tra 0.82141a e 0.82168a [92]. A detto articolo rispose Rayleigh nello stesso anno, pur senza fare il nome di Daniell e senza incidere sostanzialmente sui risultati fino ad allora ottenuti [93]. Nel 1936 quest’ultimo intervallo di valori fu conferma-to da L.V. King (della McGill University, Montreal), questa volta però con una impostazione matematicamente esatta del problema, facendo uso dei teoremi di inversione relativi alla teoria delle funzioni di Bessel (Fig. 3.3).

Rilevamenti sperimentali sui tubi dotati di flangia furo-no effettuati, nel 1874-77, da Émile Gripon [94] e da Robert H.M. Bosanquet [95]. Il secondo dei due tentò anche una valutazione ottica dell’andamento della corrente acustica, servendosi di fumo emergente dalla sommità della canna. Sempre attraverso misure sperimentali, nel 1877 Rayleigh trovò che l’apporto della flangia è pari a circa 0.2a, confer-mando quindi il valore medio della correzione di estremità, pari a circa 0.6a, già empiricamente trovato dal summen-zionato Wertheim nel 1848 [96] [97]. Valori che troveran-no una ulteriore conferma sperimentale da parte di Eric J. Irons [98].

Come già premesso e come conferma la Fig. 3.5, le sche-matizzazioni di calcolo ora viste valgono solo per lunghez-ze d’onda molto maggiori del raggio (λ >> a). Esse non sono quindi utilizzabili per le armoniche acute; qualora poi

la loro frequenza superi la cosiddetta frequenza di taglio, esse sfuggono dalla canna senza venire riflesse, cioè senza formare all’interno di essa l’onda stazionaria [100]. Nel par. 3.4 vedremo che il problema della correzione di estremità di un tubo senza flangia verrà integralmente risolto solo nel 1948, cioè esattamente un secolo dopo le prime formu-le empiriche di Wertheim. In ogni caso, anche trascurando questa rifinitura finale, i fisici dovettero attendere fino alla seconda metà del secolo XIX per trovare la giustificazione matematica di un fatto di cui gli organari, come abbiamo visto nel par. 3.1, erano consci da secoli: per la stessa nota emessa, la lunghezza di una canna ad anima diminuisce all’aumentare del diametro.

3.3. la correzione di boccaPer la correzione di bocca, una schematizzazione teorica è molto più complessa, anche perchè la stessa fisica del feno-meno fu per lungo tempo oggetto di discussione. Nel 1877 Rayleigh osserva infatti che, secondo la regola di Aristide Cavaillé-Coll [82], la correzione totale di una canna d’or-gano di raggio a ammonta a 31/3 a, mentre per un semplice tubo aperto a entrambe le estremità sarebbe solamente in-torno a 2 × 0.6a, facendo notare che tale discrepanza era

Fig. 3.3. Andamento ipotetico delle linee di corrente elettrica o acu-stica lungo un tubo cilindrico di materiale conduttore che sboccano in uno spazio semi-infinito costituito dallo stesso materiale [84]. La resistenza rm corrispondente alla lunghezza L di un conduttore cilin-drico di raggio a, e quella dell’intero mezzo alla destra della flangia, rp, possono essere scritte nella forma r = rm + rp = τ(L + Δe)/πa2, dove τ è la resistività specifica del materiale conduttore e rm = τL/πa2 è la resistenza di una lunghezza L del cilindro, prima cioè che la corrente che lo percorre si apra a ventaglio in corrispondenza della flangia. La lunghezza incognita della correzione di estremità, Δe, viene da Rayleigh calcolata in base a tale dualismo, con i risultati numerici che ora vedremo.

Hypothetical pattern of lines of electric or acoustic current along a cylindrical pipe of conductive material that emerges in a semi-infinite space of the same material [84]. Resistance rm of a length L of the cylindrical conductor of radius a, and that of the entire medium to the right of the flange, rp, can be written in the form r = rm + rp = τ(L + Δe)/πa2, where τ is the specific resistance of the conducting material and rm = Lτ/πa2 is the resistance of a length L of the cylinder undisturbed by the divergence of current in the end. The length of the end correction, Δe, is calculated by Rayleigh according to the above duality, with the numerical results reported below in the text.




“spesso attribuita alla peculiare azione del getto d’aria dal quale la canna viene eccitata” (vedi par. 3.1). In seguito a suoi esperimenti conclude che, al contrario, “la maggior parte del calo di frequenza è di gran lunga dovuta all’in-sufficiente apertura dell’estremità inferiore della canna”. Il metodo di cui si servì consisteva nel comparare la frequen-za fondamentale emessa da una canna eccitata (1) con un diapason metallico, e successivamente (2) con l’usuale getto d’aria; nel secondo caso la frequenza rilevata risultava es-sere nettamente più alta, il che portava quindi a escludere che il getto d’aria fosse responsabile dell’aumento della cor-rezione di bocca [101]. La quantificazione di tale correzio-ne, contrariamente a quella relativa all’estremità superiore, dipende quindi dalla conformazione che la bocca assume nei vari registri e presso le differenti scuole. Nel 1930, A.E. Bate confermerà che essa risulta non affetta dal movimento della lama d’aria, proponendo per tale correzione Δm una formula che forse è la prima a tale riguardo:

,

))/(2/()()( 2/12 ππ Skam =∆

))/(()3.2()( 2/12 lbam ≅∆

c = (P/)½

γ½

γ = Cp/Cv

Cp/Cv = 1.3748

dtdx

vd

dx

vdc

dt

vd2

2

2

22

2

2

34ρµ+=

−= 2/11'

af

kcc (4.1)

f1/2/a

2aL / (a2L) = 2/a

c − c’ ∝ a−1

DIDASCALIE

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

Rm = Lτ/a2

c(S/VL)1/2/2

dove a è il raggio della canna, S l’area della bocca, k una co-stante [102]. Altre formule, sempre approssimate, sono dovute

a Jones (1941) e a Ingerslev & Frobenius (1947). Secondo que-sti due ultimi autori

,

))/(2/()()( 2/12 ππ Skam =∆

))/(()3.2()( 2/12 lbam ≅∆

c = (P/)½

γ½

γ = Cp/Cv

Cp/Cv = 1.3748

dtdx

vd

dx

vdc

dt

vd2

2

2

22

2

2

34ρµ+=

−= 2/11'

af

kcc (4.1)

f1/2/a

2aL / (a2L) = 2/a

c − c’ ∝ a−1

DIDASCALIE

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

Rm = Lτ/a2

c(S/VL)1/2/2

per una bocca di altezza l e larghezza b, di rapporto l / b ≅ 1/4 [103].

3.4. dipendenza dalla frequenza della correzionedi estremità: l’inarmonicità dei parziali superioriNel par. 3.2 abbiamo visto che la correzione di estremità su-periore era considerata come dipendente dal solo diametro del tubo, e quindi indipendente dalla frequenza. Nel 1854, Antoine-Philibert Masson è il primo ad affermare che in-vece (1) per canne dello stesso diametro essa dipende an-che dalla lunghezza, e (2) in una stessa canna essa varia al variare dell’armonico emesso. Contestando la tesi opposta, sostenuta nel 1848-54 da Wertheim, egli fa osservare che da-gli stessi rilevamenti di quest’ultimo risulta che tali parziali sono progressivamente crescenti rispetto ai corrispondenti multipli interi della frequenza fondamentale. Conclude che la teoria dei tubi sonori “pare più incerta che mai”, dato che “un principio ammesso da uno scienziato viene riget-

Fig. 3.4. Risonatori di Helmholtz: a) destra. Rudolph König, Parigi, 2a metà del secolo XIX (Firenze, Fondazione Scienza e tecnica, Inv. no. 89). Dia-metro 12.5 cm, di ottone. Per ulteriori dettagli vedi [85]. L’onda sonora eccita il risonatore attraverso la corta apertura cilindrica sulla destra, mentre invece il piccolo foro a imbuto sulla parte opposta viene inserito nell’orecchio. La frequenza di risonanza di tale dispositivo, in Hz, è data dac(S/VL)1/2/2π, con c velocità del suono, S area dell’apertura sulla destra, V volume della sfera, L lunghezza acustica dell’apertura cilindrica. Dato che quest’ultima è geometricamente assai corta, entrambe le correzioni di estremità, all’inizio e alla fine del cilindretto, presentano un effetto considere-vole; entrambe devono inoltre essere considerate munite di flangia, per cui la correzione totale viene data dalla formula di Helmholtz: 2 × πa/4, dove a = raggio del cilindretto [86]. b) sinistra. Stesso tipo di risonatore, sempre di ottone [87]. Guillemin, autore dell’illustrazione, fa osservare che tale dispositivo fu migliorato dallo scienziato e costruttore di strumenti scientifici Rudolph König, che sostituì la membrana dell’orecchio umano con la membrana di una capsula manometrica, in modo da rendere visibile il raggiungimento della risonanza.

Helmholtz’s resonators: a) Rudolph König, Paris, 2nd half of 19th century (Firenze, Fondazione Scienza e tecnica, Inv. no. 89). Diameter cm 12.5, brass. For further details, see [85]. The sound excites the resonator from the cylindrical aperture on the right, while the small funnel-shaped hole on the left is inserted in the ear. The resonance frequency of this device, in Hz, is given by c(S/VL)1/2/2π, where c is the sound velocity, S the area of the opening on the right, V the volume of the sphere, L the acoustic length of the cylindrical opening. Since the latter is geometrically rather short, both end corrections, at the beginning and end of the small cylinder have considerable effect; both such ends must be deemed flanged, so that total correction is given by Helmholtz’s formula: 2 × πa/4, where a is the radius of the small cylinder [86]. b) Same kind of resonator, again of brass [87]. Guillemin, author of the illustration, notes that this device was improved by the scientist and acoustic instrument maker Rudolph König, who repla-ced the membrane of the eardrum with the membrane of a manometric capsule, so as to visualize the reaching of resonance.

b)a)




tato dall’altro, e spesso senza prove” [104]. Nel 1855 anche Friedrich G.K. Zamminer contesterà Wertheim, sostenen-do che tali correzioni “non sono indipendenti dalla dimen-sione longitudinale della canna” [105]. Le misure di Zam-miner portavano a una correzione di estremità calante con la frequenza: risultati diametralmente opposti a quelli che verranno rilevati nel 1877 da Bosanquet [106]. Quanto alle risonanze naturali superiori, Helmholtz era a conoscenza che quelle emesse dalle canne di taglio largo sono progres-sivamente crescenti rispetto alle corrispondenti della serie ”armonica”, ma in nessuno dei suoi scritti mette ciò in rela-zione con la correzione di estremità [107]. La contradditto-rietà dei dati a disposizione, nonostante le misure del 1881 di Rudolph König ottenute con nuova strumentazione fossero in parziale accordo con la tesi di Zamminer [108], ancora nel 1896 pesavano tanto da indurre Rayleigh ad affermare che a riguardo “there is at present no theory” [109]. Per così piccoli valori della correzione, fa osservare che gli scarti tra misura sperimentale e calcolo teorico assumevano un peso determinante; le misure di frequenza venivano infatti effet-tuate ancora tramite monocordi o risonatori a cavità rego-labile. Nel 1929, Henri Bouasse osserverà che, “benchè la questione sia dibattuta da cento anni, non sappiamo niente di definitivo” a riguardo; aggiunge che tali correzioni erano per lo più ritenute indipendenti dalla frequenza, facendo però rilevare - forse tenendo presente i rilevamenti di Kö-nig - che tale ipotesi dovrebbe essere falsa nel caso in cui i parziali superiori non risultassero essere multipli interi del fondamentale [110]. L’anno successivo, pur con più moder-

na strumentazione, fisici quali Irons e Bate non rileveran-no alcuna dipendenza dalla frequenza della correzione di estremità [111,112]. Ancora una decina di anni dopo, alla conclusione di una nuova ricerca, Bate e Wilson affermano [113]: “La correzione di estremità risulta essere indipenden-te dalla frequenza in una canna cilindrica, ma varia con essa nelle canne coniche”.

Già nel 1926 - in seguito a considerazioni di tipo anali-tico, seppure non rigorose - Irving B. Crandall era giunto alla conclusione che la correzione di estremità “diventa più piccola quando si raggiungono parziali acuti, per cui i rap-porti armonici non sono più validi” [116]. La questione ver-rà definitivamente risolta nel 1948, con lo studio analitico di Levine e Schwinger. Dal loro grafico (Fig. 3.6a), si vede che il valore 0.6a assunto dalla correzione di estremità alle basse frequenze cala progressivamente al crescere di queste ultime. Ciò ha importanti ripercussioni nella pratica. Dato che il valore della correzione viene fissato dall’organaro in corrispondenza dell’armonico fondamentale (cioè dalla nota emessa, che lui accorda a orecchio, senza ricorrere alle formule di cui sopra), esso risulta essere eccessivo per le ri-sonanze superiori, che di conseguenza risultano progressi-vamente crescenti rispetto alle armoniche emesse dalla lama d’aria, la quale - a causa delle riflessioni d’onda alle estre-mità del tubo, rigorosamente periodiche - è animata da un moto periodico e quindi necessariamente caratterizzato da uno spettro strettamente armonico. Tale sfasamento cresce passando dalle canne di taglio stretto (dei registri “violeg-gianti”) a quelle di taglio largo (dei registri “flautati”), per cui queste ultime risulteranno essere più povere di armonici, essendo quelli emessi dalla bocca sempre più sfasati rispetto alle frequenze naturali del risonatore e quindi sempre meno esaltati al crescere della frequenza.

Le ricerche sulla correzione di estremità superiore pos-sono comunque ritenersi completate solo nel 1960, quando Nomura, Yamamura e Inawashiro risolsero, anche per le ri-sonanze superiori, il difficile problema della canna cilindrica munita di una flangia infinitamente estesa; abbiamo infatti visto che questo caso, come del resto il precedente, era stato precedentemente risolto solo con riferimento alla frequenza fondamentale (Fig. 3.6b). Dato che il procedimento di Levi-ne e Schwinger non è questa volta applicabile, i tre fisici della Tôhoku University si servirono di un altro metodo, perve-nendo a risultati che, per le risonanze superiori, si avvicinano progressivamente a quelle della canna priva di flangia, ten-denza che sotto l’aspetto puramente qualitativo era del resto facilmente prevedibile sulla base dei diagrammi di irradiazio-ne di Fig. 3.5.

3.5. la correzione di lunghezzadovuta alle operazioni di accordaturaGià nel 1767 Giordano Riccati aveva cercato di spiegare gli effetti dello “svasamento” o contrazione alla sommità della canna, provocato dall’azione dei coni di accordatura dell’or-ganaro, confrontando una canna cilindrica con una della stessa lunghezza avente andamento conico, diritto o rove-sciato [117]. Il procedimento non era però quello corretto. Il fenomeno verrà quantitativamente analizzato solo alla fine del secolo XIX, sempre da Rayleigh, il quale calcola la cor-rezione di lunghezza relativa a un allargamento o contrazio-ne praticati in un punto qualsiasi di un tubo cilindrico [118]. Dalla sua analisi risulta che, in una canna aperta, la frequenza fondamentale cresce se essa viene allargata in corrispondenza

Fig. 3.5. Diagrammi di irradiazione all’estremità superiore di un tubo cilindrico munito di una flangia infinita (simile a quella di Fig. 3.3), per differenti valori di ka = 2πa/λ = (2πa/c)f, dove a è il raggio del cilindro e c la velocità del suono. All’interno dei riquadri è riportato il Directi-vity Index, in corrispondenza dell’angolo 0° [99]. La schematizzazione di Helmholtz e Rayleigh è valida fino a che λ >> a, cioè per gli armonici gravi (ka = 1).

Directivity patterns for the upper end of a cylindrical pipe in an infini-te flange (similar to that of Fig. 3.3) for ka = 2πa/λ = (2πa/c)f, where a is the radius of the pipe and c the sound velocity. The boxes give the Directivity Index at 0° angle [99]. The schematization by Helmholtz and Rayleigh is valid only for λ >> a, i.e. for low frequencies (ka = 1).




di un nodo di pressione (cioè agli estremi) oppure contratta in corrispondenza di un antinodo, sempre di pressione (cioè nel mezzo); invertendo le operazioni la nota emessa cala. Nei punti intermedi, tra nodi e antinodi, una leggera variazione di sezione non produce invece sensibili effetti. Dato che queste osservazioni valgono anche per una qualunque delle risonan-ze superiori, in fase di accordatura esse risultano essere di fon-damentale importanza anche per la rifinitura del canneggio degli strumenti a fiato [119].

4. Perdite termiche e per attritoFino alla fine del secolo XVIII tutti i problemi meccanici venivano trattati astraendo dall’attrito dei fluidi. Tale com-ponente cominciò a essere presa in considerazione solo nel 1801, quando Coulomb valutò la resistenza incontrata da un corpo solido in movimento all’interno di un fluido, come ad esempio un pendolo nell’aria [120]. Anche il problema delle perdite di energia dei gas, a causa dell’attrito interno e della potenza sonora irradiata alle estremità del tubo, non era ancora avvertito nel secolo XVIII. Il fatto che in una canna lasciata a se stessa le oscillazioni decadessero rapida-mente, invece di continuare indefinitamente, era ad esempio ascritto da Eulero alla imperfetta rigidità del tubo [121]. Benché le perdite per attrito dell’onda sulla parete inter-na della canna fossero già state ipotizzate nel secolo XVII, esse verranno valutate sperimentalmente solo a partire dal 1804, da Jean-Henri Hassenfratz, e successivamente anche analiticamente [122]. In seguito alla correzione apportata da Laplace alla formula newtoniana della velocità del suo-no nell’aria libera, che sarà trattata nel par. 4.1, nel secolo XIX verranno inoltre accertati scambi di calore tra onda e parete del tubo. Vedremo che uno degli effetti delle suaccen-nate perdite termiche e per attrito sarà quello di far calare la velocità di propagazione dell’onda all’interno della canna, con conseguenti ripercussioni sulla formula che dà la fre-quenza della nota emessa.

4.1. la velocità del suono nell’aria liberaIn seguito a ripetute verifiche sperimentali, la formula di Newton relativa alla velocità del suono, c, si era dimostrata inesatta: come visto nel par. 2.2, essa era data dalla formula c = (P/ρ)½, con P pressione atmosferica e ρ densità dell’aria. Le misure effettuate dalla Académie des sciences nel 1738 avevano in particolar modo accertato che essa dava luogo a valori in difetto di quasi il 20%. Fra le numerose ipotesi di correzione si dimostrò esatta quella proposta da Lapla-ce molto più tardi, a fine secolo.

L’idea era la seguente. Nella formula di Newton tutti i punti dell’onda acustica si suppongono alla stessa tem-peratura e la sua propagazione è quindi di tipo isoter-mico. Laplace suppone invece che la temperatura tenda a salire in quelle parti dell’onda in cui l’aria è compressa (massimi) e a calare in quelle in cui si espande (valli). La differenza tra i massimi e minimi di pressione viene così accresciuta, e - in corrispondenza delle usuali lunghezze d’onda acustiche - picchi e valli sono così distanti che nel breve istante richiesto dal loro passaggio non può avvenire alcuno scambio di calore, per cui il loro comportamento può essere definito - con moderna terminologia - adiabati-co [123]. Ciò fa crescere la bulk elasticity del mezzo di tra-smissione, e quindi la velocità di propagazione dell’onda. Nella cronologia seguente vedremo come questa ipotesi venne quantificata.

1802. Laplace comunica la sua idea al giovane colle-ga Biot e gli chiede di indagare se sia possibile ridurla a formula. A quei tempi la termodinamica era ancora sul nascere, per cui Biot - disponendo del solo coefficiente di espansione dei gas - perviene a risultati che lui stesso confessa essere distanti dal valore della velocità fornita dall’esperienza [124] [125].

1808. Anche per Poisson “mancano esperienze dirette per determinare la quantità di calore che si manifesta nella compressione dell’aria”, per cui si limita a osservare che il valore della velocità del suono derivante dalla formula new-toniana (282.42 m/s) dev’essere moltiplicato per il fattore

Fig. 3.6. a) sinistra. Correzione di estremità (Lc) in funzione della frequenza degli armonici di una canna cilindrica di raggio a,dove ka = (2π/λ)a = (2πa/c) f [114]. b) destra. Correzione di estremità (l) di una canna cilindrica di raggio a, munita di una flangia di area infinita (curva a tratto pieno), e priva di detta flangia, come nel caso precedente (curva inferiore, a tratteggio) [115].

a) left) Open-end correction (Lc) plotted against the wavelength of the harmonics of a cylindrical pipe with radius a [114].It should be noted that ka = (2π/λ)a = (2πa/c) f. b), right. Same case, but for a cylindrical pipe fitted with an infinite flange,where the dashed curve represents the unflanged value, and l/a is the open-end correction/radius of the pipe [115].

b)a)




1.4254½ (= 1.1939) per adeguarlo a quello fornito dai ri-levamenti del 1738 (337.18 m/s) [126]. E tale è la formula empirica di cui si servivano i fisici del tempo, riportata an-cora nel 1816 nell’autorevole Traité di Biot [127].

1816. Laplace riesce a individuare il corretto fattore di cui sopra, che risulta essere pari a γ ½, dove γ = Cp/Cv è il rapporto dei calori specifici dell’aria, rispettivamente, a pressione costante e a volume costante. Secondo le misure di laboratorio allora disponibili, ancora inesatte, γ era nu-mericamente pari a 3/2 (valore tutt’oggi assunto per i gas perfetti). Ciò porta a un valore leggermente eccedente i ri-levamenti del 1738, per cui Laplace auspica l’effettuazione di misure più precise a riguardo [128].

1819-22. Tali misure vengono effettuate da Désormes e Clément (1819) e da Gay-Lussac e Welter (1822); anche la misura di questi ultimi era comunque ancora imprecisa, avendo fornito Cp/Cv = 1.3748 [129-131].

1823. Poisson perviene allo stesso fattore correttivo visto nel 1816, ma - come farà osservare Dulong qualche anno dopo - “mediante un calcolo più diretto e comple-tamente scevro dalle ipotesi assai poco probabili di La-place” [132].

1828. Per l’air athmospherique Dulong ottiene Cp/Cv = 1.421 (per l’aria, oggi il valore assunto per tale rapporto è 1.4). Rileva inoltre il valore che tale rapporto presenta anche per altri gas. Essendo però quella del Cv la misura più difficoltosa, egli ricorre a un metodo indi-retto, ricavandola dal valore dalla velocità assunto dal suono nei vari gas. Per quest’ultima si avvale dello stes-so metodo già escogitato da Chladni, misurando cioè la lunghezza geometrica L e la frequenza f di una canna d’organo immessa nel gas in esame e ricavando la veloci-tà del suono dalla nota equazione f = c/2L [133]. Metodo che però avrebbe fornito risultati imprecisi anche nelle esperienze condotte da successivi ricercatori, essendo in-certo il valore della correzione di estremità e inoltre, ma questo si saprà con certezza solo a partire dal 1867, es-sendo la velocità del suono all’interno di un tubo minore di quella nell’aria libera.

1851. La correzione di Laplace viene messa in discus-sione da Richard Potter, le cui obiezioni vengono però con-futate da fisici quali Rankine, Stokes, e Haughton [134].

4.2. fluidi ideali e realiBasandosi sui rilevamenti di Pierre-Simon Girard (1813-15), nelle sue memorie del 1821-23 il fisico e ingegnere Claude Navier rileva che la velocità di efflusso di un liqui-do attraverso un tubo stretto è inferiore a quella calcolabi-le con le equazioni di Eulero e d’Alembert. Questi ultimi, fa osservare Navier, avevano infatti trascurato l’azione dell’attrito interno (cioè quello tra le particelle liquide) e di quello tra liquido e parete del tubo. A causa di tale fatto-re, la velocità dei diversi strati del liquido decresce andan-do dal centro alla parete. Egli conclude che, mentre nella condizione statica tra tali strati agiscono solo forze a loro perpendicolari, in quella dinamica devono subentrare an-che forze tangenziali dovute all’attrito. Introduce quindi nelle summenzionate equazioni dei fattori correttivi [135]. In seguito ad analoghe esperienze relative ai gas, successi-vamente effettuate sempre da Girard (1821-22), nel 1830 Navier ipotizza poi che tali attriti si verifichino anche nelle condotte di gas, come ad esempio in quelle relative agli impianti di illuminazione [136].

Anche Poisson, a partire dal 1828, si era interessato all’argomento, cui era subito seguita una querelle innesca-ta da Navier su questioni di priorità, conclusasi poi con un deciso intervento dell’astronomo Dominique-François-Je-an Arago [137-139]. Nel 1831, sempre a causa dell’attrito dei gas nei tubi, Poisson ipotizza che la velocità del suo-no nell’aria libera sia maggiore di quella all’interno degli strumenti a fiato. Già le citate esperienze di Dulong (1829) avevano dato risultati in accordo con tale ipotesi, ma Du-long stesso - tenendo conto delle incertezze delle misure - aveva ritenuto quest’ultima “poco probabile”, benchè fos-se stato il primo ad avanzarla [140,141]. Riferendosi alla memoria del 1831, Rayleigh dirà che “nel caso dei fluidi compressibili, la teoria dell’attrito fu per la prima volta fornita da Poisson” [142].

Nel 1845 George G. Stokes perverrà, per vie differen-ti, a equazioni relative alla fluidodinamica che riconosce-rà essere “le stesse” di quelle di Navier e Poisson [143]. Nell’equazione dell’onda piana introdurrà inoltre una correzione relativa alla viscosità [144]; per la velocità v delle particelle fluide di un’onda piana che si propaga in un fluido non sottoposto a forze, quando in condizioni di equilibrio la densità ρ e la pressione sono costanti, intro-ducendo le forze tangenziali dovute al coefficiente di vi-scosità μ ottiene un’equazione da lui riportata nella forma seguente:

,

))/(2/()()( 2/12 ππ Skam =∆

))/(()3.2()( 2/12 lbam ≅∆

c = (P/)½

γ½

γ = Cp/Cv

Cp/Cv = 1.3748

dtdx

vd

dx

vdc

dt

vd2

2

2

22

2

2

34ρµ+=

−= 2/11'

af

kcc (4.1)

f1/2/a

2aL / (a2L) = 2/a

c − c’ ∝ a−1

DIDASCALIE

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

Rm = Lτ/a2

c(S/VL)1/2/2

dove c è la velocità del suono nel fluido in questione. Come si vede, l’equazione è la stessa trovata da Lagrange (eq. 2.3), cui viene aggiunto il termine dovuto alla viscosità. A un’identica formula perverrà anche Rayleigh [145]. Sulla base di tale sua correzione, riguardo alla ipotizzata ridotta velocità del suono all’interno di un tubo, Stokes si dichia-rerà comunque in disaccordo con Poisson, ritenendo poco probabile la produzione di effetti così sensibili da parte del coefficiente di viscosità, essendo quest’ultimo di modesta entità [146]. Servendosi proprio della sua formula verrà poco dopo accertato che tali effetti invece ci sono, come ora vedremo.

4.3. Velocità del suono e perdite nelle canne d’organoNel 1849 il problema viene esaminato analiticamente da Jean-Marie-C. Duhamel, che però effettua i suoi calcoli senza essere a conoscenza della summenzionata correzione dovuta alla viscosità, per cui non rileva alcuna divergenza tra la velocità del suono nei tubi e quella nell’aria libera; conosce l’ipotesi di Poisson, ma dice che la discuterà in altra occasione [147] (un estratto di tale memoria fu da lui comunque pubblicato già nel 1839 [148], il che potrebbe spiegare la non conoscenza, da parte di tale celebre mate-matico, delle perdite dell’onda per attrito). Alla stessa con-clusione era giunto Wertheim, al termine delle sue ricerche sperimentali del 1848 relative alla quantificazione della correzione di estremità, il che verrà in seguito annovera-to tra le fonti di errore nelle sue misurazioni [149]; stessa ipotesi sarà assunta da Masson nel 1856 [150]. Wertheim aveva esteso le sue esperienze ai fluidi incompressibili, me-diante l’ausilio di una speciale canna d’organo utilizzante un liquido al posto dell’aria: esse, per l’acqua, avevano




fornito una velocità del suono assai inferiore a quella mi-surata nel lago di Ginevra una ventina di anni prima, ed è quindi strano che tale marcata divergenza non lo abbia insospettito [151].

Nel 1863, Helmholtz nota che la formula relativa alla correzione di estremità superiore, cui era pervenuto analiti-camente nel 1860, non è in pieno accordo con i rilevamenti effettuati da Zamminer nel 1855 (par. 3.4). Dato che tale di-scordanza è rilevante soprattutto nelle canne di piccolo dia-metro, intuisce che essa è dovuta al calo di velocità causato dall’attrito dell’aria sulle pareti. Elabora quindi una nuova formula, che tiene conto del coefficiente di viscosità di Sto-kes. Essa è sostanzialmente la seguente:

, (4.1)

))/(2/()()( 2/12 ππ Skam =∆

))/(()3.2()( 2/12 lbam ≅∆

c = (P/)½

γ½

γ = Cp/Cv

Cp/Cv = 1.3748

dtdx

vd

dx

vdc

dt

vd2

2

2

22

2

2

34ρµ+=

−= 2/11'

af

kcc (4.1)

f1/2/a

2aL / (a2L) = 2/a

c − c’ ∝ a−1

DIDASCALIE

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

R = Rm + Rp = τ(L + e)/a2

Rm = Lτ/a2

c(S/VL)1/2/2

dove c’ e c sono, rispettivamente, le velocità del suono nel tubo e nell’aria libera, a il raggio, f la frequenza e k una costante che tiene conto del coefficiente di viscosità. Con-clude che, nei tubi di piccolo diametro, tale riduzione di velocità equivarrebbe a una riduzione della loro lunghezza dell’1% abbondante. Oltre a incidere sulla velocità, le per-dite tra fluido e parete producono anche una attenuazio-ne dell’intensità dell’onda, inizialmente valutata da Hel-mholtz sempre nel 1863, che la stimò essere proporzionale a f1/2/a [152].

Nel 1866, August Kundt inventa un ingegnoso apparato che permette di determinare con esattezza la posizione dei nodi di vibrazione all’interno di un tubo [153]. Nella nota formula f = c/2L la L acustica è quindi finalmente nota, per cui il valore di c da essa ricavato è affidabile. In una succes-siva memoria del 1867 Kundt dimostra sperimentalmente, servendosi appunto di tale suo apparato, che all’interno dei tubi la c cala sia a causa della viscosità che dello scambio termico tra onda e parete [154,155]. Riguardo a quest’ulti-mo precisa:1. La c cala al diminuire del raggio a. Essendo il rapporto tra

l’area della parete e il volume del tubo inversamente pro-porzionale ad a (esso è pari a 2aπL/(a2πL) = 2/a), gli scam-bi termici aumentano infatti al calare di a. Effetto analogo produce una parete non liscia, essendo equivalente a un aumento della sua superficie.

2. La c cala anche al diminuire della frequenza, avendo più tempo i picchi e le valli dell’onda per - rispettivamente - cedere o assorbire calore (osservazione che era stata già avanzata da Dulong nel 1829 [156]).Al diminuire del raggio e della frequenza la c si avvi-

cina quindi sempre più al valore newtoniano, scendendo la costante adiabatica γ da 1.4 al valore che caratterizza il comportamento isotermico: γ = 1 [157]; nelle sue misu-re Kundt riferisce di essersi spinto fino a valori intermedi tra i due estremi. Ulteriori indagini sperimentali verranno pubblicate da Regnault nel 1858 [158]. Queste ultime solo in parte concordano con quelle di Kundt e, almeno dai fi-sici francesi, vennero giudicate più attendibili di quelle del tedesco: essendo state effettuate su lunghe condotte d’ac-qua, la velocità veniva infatti rilevata direttamente me-diante una sofisticata misura cronometrica del tempo di percorrenza del segnale acustico, e non più con il vecchio e da molti discusso metodo delle concamerazioni dell’onda stazionaria.

Sotto l’aspetto quantitativo, nei tubi sottili i rileva-menti di Kundt davano valori di velocità ancora più ri-dotti di quelli deducibili dalla summenzionata formula di Helmholtz. In base a tali rilevamenti, nel 1868 Kirchhoff effettua ulteriori indagini analitiche, aggiungendo gli ef-fetti dello scambio di calore tra aria e parete, e ottiene una soluzione del problema nella forma di una complessa equazione trascendente, della quale una iniziale soluzione approssimata viene fornita da lui stesso per tubi “larghi”: formula del tutto simile alla eq. (4.1), nella quale però il coefficiente k tiene conto sia della viscosità che delle per-dite termiche [159]. Heinrich Schneebeli, fisico ventenne di Zürich, nel 1869 effettua delle verifiche sperimentali che risultano però essere solo in parziale accordo con tale nuova formula; egli trova che quest’ultima avrebbe dovu-to essere corretta imponendo che la variazione tra le due velocità, esterna (c) e interna (c’), dovesse essere propor-zionale all’inverso del raggio, cioè c − c’ ∝ a−1 [160]; con-clusione che però sembra essere in conflitto con alcuni dei dati da lui stesso pubblicati, stando almeno a un abstract della sua memoria apparso sempre nel 1869 [161]. L’anno successivo la formula di Kirchhoff viene controllata speri-mentalmente anche da Adolf Seebeck, su tubi di vari ma-teriali ed eventuale rivestimento interno di stoffa, e anche in questo caso essa viene confermata solo parzialmente; secondo tale autore, al variare della frequenza le perdite dovrebbero infatti essere inversamente proporzionali non a f 1/2, ma a f 3/2 [162,163].

Tutto ciò stimolò l’elaborazione di altre soluzioni mate-matiche approssimate, valide per canne appartenenti a dif-ferenti valori di diametro. Rayleigh - avendo osservato che sia l’equazione del tipo (4.1) sia quella esprimente l’attenua-zione dell’onda sono accettabili per valori non troppo ele-vati, rispetto al raggio a, dello strato viscoso e termico più esterno - alla fine del secolo pubblica una soluzione valida per tubi “sottili” [164]. Le formule di Kirchhoff e Rayleigh erano ancora accettate nel 1928, e sembrarono essere quelle definitive [165]. Nel decennio 1930-40, non tutti i numerosi ricercatori dai quali furono controllate sperimentalmente ottennero comunque risultati in accordo tra loro (vedi ad esempio la rassegna pubblicata da Lawley [166]). Successi-vamente furono identificati altri fattori di perdita, come la bulk viscosity, della quale si ebbe piena conoscenza verso il 1950, e, ancora dopo, la teoria del vibrational relaxation process nell’aria, che già nel 1899 era comunque stata anti-cipata da Rayleigh: essi confermarono che le summenziona-te formule fornivano valori per difetto [167-171]. Nel 1968 Arthur H. Benade elaborò ulteriori formule, valide per i casi più comunemente incontrati nella pratica [172,173]. Solu-zioni numeriche ancora più generali furono proposte alcuni anni dopo [174-176].

Riguardo poi alle perdite per viscosità interne alla massa d’aria, Rayleigh - sviluppando la summenzionata equazione di Stokes - osserverà che esse sono sensibili unicamente in grandi volumi (e quindi su distanze di pro-pagazione significative) e per alte frequenze, concludendo: “La maggiore dolcezza dei suoni dovuta alla distanza, come si osserva nelle regioni montagnose, è forse da at-tribuirsi all’attrito, in seguito al quale le componenti più acute e più pungenti vengono progressivamente eliminate” [177]. Oggi, ad esempio, se ne tiene conto nella progetta-zione acustica dei grandi auditorium e negli studi sulla propagazione del suono a lunga distanza.




5. Il timbro, problema assai dibattuto

Sebbene la meccanica delle onde stazionarie fosse ormai chiara sotto l’aspetto analitico, almeno fino alla seconda metà del secolo XIX nessuno fu in grado di fornire una spiegazione scientificamente soddisfacente della differen-te ”qualità del suono” esistente, ad esempio, tra una nota

emessa da un registro organistico “flautato” e la stessa nota emessa da un registro “violeggiante”. In questo paragra-fo vedremo come si venne a formare la teoria del timbro e come quindi si riuscì a rispondere anche a questo ultimo interrogativo.

5.1. gli armonici di Bernoulli e la serie di fourierNel par. 2.3 abbiamo visto che nel 1748 Eulero aveva rap-presentato matematicamente la soluzione dell’equazione della corda vibrante mediante una serie di onde sinusoida-li di frequenza multipla della fondamentale e di opportu-na ampiezza. Nel 1753 Daniel Bernoulli propone la stessa soluzione, aggiungendo che con essa si può rappresenta-re qualunque curva; a tale riguardo allega degli esempi di somma grafica di due armoniche, i primi del genere (Fig. 5.1). In una replica apparsa in quello stesso volume della Académie des sciences di Berlino, Eulero sostiene in-vece che la validità di tale serie non è affatto generale, ma limitata ad alcune particolari curve [178]. I due autori ri-badiranno le proprie idee ancora nel 1765 [179,180]. Dello stesso parere di Eulero si dichiara Lagrange nel 1759, che pure era pervenuto alla stessa soluzione e che in certi pun-ti della sua memoria sembra persino dispiaciuto di non poterla accettare nella sua generalità [181]. La teoria di Bernoulli viene invece accettata da Giordano Riccati, che pubblica curve originate dalla somma grafica di due ar-moniche [182]; tali ultime curve verranno portate ad esem-pio da Chladni [183]. Bernoulli vedeva inoltre in tale serie il mezzo per poter finalmente giustificare sotto l’aspetto fisico la propagazione contemporanea di varie onde nel-lo stesso mezzo, tramite la somma di piccole oscillazioni armoniche di determinata frequenza: altre teorie formu-late a riguardo, tra cui quella di Jean-Jacques d’Ortous de Mairan, si erano infatti dimostrate insufficienti [184]. Da Lagrange ed Eulero essa veniva invece considerata una semplice approssimazione matematica di particolari forme d’onda; senza tenere conto delle numerose conferme spe-rimentali precedenti, a partire da quella di Mersenne, nel 1759 infatti Eulero sorprendentemente scrive a Lagrange: “Riguardo ai suoni musicali, io sono perfettamente della vostra opinione, Signore, che i suoni consonanti che il Sig. Rameau pretende di udire da una stessa corda provengo-no dagli altri corpi messi in vibrazione” [185]. Ancora nel 1849 il dissidio tra le due teorie non risultava appianato e venne ottimamente inquadrato dal matematico Jean-Ma-rie-C. Duhamel: (1) Bernoulli sosteneva la scomposizione di ogni suono nei suoi armonici, aggiungendo che l’esprit riesce a percepirli separatamente; (2) invece “Lagrange fece assai bene osservare che tale decomposizione del mo-vimento era una concezione puramente geometrica, che non aveva nulla a che fare col suono prodotto”, che quindi rimaneva “unico” [186].

Il punto debole della tesi di Bernoulli era che essa veniva da lui assunta come postulato, senza fornire alcun criterio di calcolo dei coefficienti della serie né offrire alcun esempio della sua applicazione a specifici tipi di curve. Ciò verrà inve-ce fatto da Joseph Fourier, che in una memoria manoscritta presentata nel 1807 all’Institut de France dimostrerà anali-ticamente la possibilità di scomporre qualunque funzione, continua o discontinua, nella predetta serie trigonometrica, allegando inoltre esempi pratici di scomposizione di alcuni particolari tipi di onda (Fig. 5.2). Nell’edizione a stampa del 1822 Fourier sottolineerà inoltre che tale suo teorema,

Fig. 5.2. Onda quadra, compresa tra y = ± π/4, dal manoscritto di Joseph Fourier, Sur la propagation de la chaleur, c. 1807-09 [189]. In tale manoscritto Fourier afferma correttamente che essa equivale alla serie y = sinx + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x + ... A p. 221 passa poi a scomporre correttamente l’onda a dente di sega.

Square wave, from the manuscript of Joseph Fourier Sur la propagation de la chaleur, c. 1807-09 [189]. It ranges between y = ± π/4 and Fourier already affirms correctly in this manuscript that it equals the seriesy = sinx + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x + ... On p. 221 he then correctly breaks down the sawtooth wave.

Fig. 5.1. Primo esempio di somma geometrica di due armonici [187]. Nella Fig. 6 Daniel Bernoulli, che nel 1753 effettuò tali grafici, esegue la somma della “courbe fondamentale de M. Taylor” (Fig. 1) con una corrispondente alla sua ottava (Fig. 2). Aggiunge che ciò può essere fatto anche con i rimanenti armonici (Figg. 3, 4, 5), il che produrrebbe quindi un “mêlange de plusieurs espèces de vibrations Tayloriennes”.

First example of geometrical sum of two harmonics [187]. In Fig. 6 Daniel Bernoulli, author of the graphs (1753), adds the “courbe fonda-mentale de M. Taylor” (Fig. 1) with the one corresponding to its octave (Fig. 2). He says that this can also be done with the remaining harmo-nics (Figs. 3, 4, 5), thus obtaining a “mêlange de plusieurs espèces de vibrations Tayloriennes”.




nel caso della corda vibrante, scioglieva “le difficoltà che inizialmente aveva presentato l’analisi di Daniel Bernoulli” [188]. Nel par. 5.2 vedremo che l’esistenza di tali armonici sarà riconosciuta come elemento fortemente caratterizzante il timbro di un determinato suono, ma che la loro effettiva percezione da parte dell’orecchio umano sarà accettata solo nella seconda metà del secolo, in seguito a ripetute verifiche sperimentali.

5.2. la “legge di ohm” e il timbro delle canne d’organoLa prima concreta ipotesi sul differente timbro di una data nota al variare dello strumento musicale o della vo-cale sulla quale viene cantata si deve a Eulero. Pur osteg-giando la teoria degli armonici di Bernoulli, nel 1771 il matematico svizzero ne individuò la ragione nel differente profilo delle onde di pressione e spostamento delle parti-celle d’aria, caratterizzanti ciascun suono [190,191]. Che il timbro fosse legato al numero e all’ampiezza delle ar-moniche non era del resto stato affermato neanche dallo stesso Bernoulli. Il primo a farlo fu Gaspard Monge, il fondatore della geometria descrittiva. Nel 1793 Antoine Suremain de Missery scrive infatti, trattando di ciò che già allora si chiamava timbre: “So bene che ho udito dire dal Sig. Monge, dell’Accademia delle scienze, che ciò che de-termina questo o quel timbro non doveva essere altro che questo o quell’ordine o questo o quel numero di vibrazioni delle parti aliquote della corda che produce un suono di quel dato timbro; [...] aggiungeva che, se si potesse giun-gere a sopprimere le vibrazioni delle parti aliquote, tutte le corde sonore, di qualunque materia fossero, avrebbero sicuramente lo stesso timbro” [192]. Tale ipotesi, mai da Monge pubblicata, giacerà però ignorata fino a quando verrà segnalata da Resal, nel 1874 [193]. Il fisico Biot, che peraltro fece estese ricerche in campo acustico, nel 1816 - parlando del timbro - dimostrava ad esempio di vagare ancora nel buio [194].

Nel 1839 Nicolas Savart inventò un metodo - forse il primo in senso assoluto, ma di assai scomoda applicazio-ne pratica - per effettuare l’analisi del contenuto in armo-niche di un qualunque suono; esso, si spinge ad affermare, offriva “il modo di analizzare un suono, di riconoscere la maggiore o minore purezza di cui gode, e forse di indi-viduare le cause alle quali attribuire il timbro che lo ca-ratterizza” [195]. Fra i fisici del tempo l’associazione del contenuto in armoniche col timbro di un dato suono era evidentemente già nell’aria.

L’ipotesi di Monge e di N. Savart verrà indipenden-temente riformulata da Georg Simon Ohm nel 1843, e passerà alla storia col suo nome [196]. Tale sua teoria fu subito contestata da L.F.W. August Seebeck, che per la sintesi dei suoni si serviva di un modello di sirena di sua invenzione. Nel corso del 1843-44 ciò diede origine a una breve ma accesa querelle fra i due fisici [197-200]. La con-testazione di Seebeck partiva dalle radici, dato che veniva messo in discussione l’effettivo ruolo degli armonici [201]. La principale asserzione della famosa “legge acustica” di Ohm era che il pitch (“altezza”) di un dato suono pote-va essere percepito solo se la sua forma d’onda conteneva un’armonica fondamentale di rilevante ampiezza; in uno dei suoi esperimenti del 1841, Seebeck, al contrario, per-cepiva una decisa sensazione di pitch anche se il suono conteneva un’armonica fondamentale di ampiezza assai piccola rispetto alle rimanenti. Piuttosto che sul timbro,

la disputa tra i due scienziati si focalizzava quindi sul pro-blema della percezione del pitch, e in particolar modo sul problema oggi noto come “fondamentale mancante” (a riguardo vedi ref. [202]).

Il fatto è che la “legge di Ohm” acustica attendeva an-cora una verifica sperimentale, atta a dimostrare che l’orec-chio è in grado di percepire individualmente i singoli suoni parziali emessi da un corpo vibrante. Una prima dimostra-zione fu effettuata nel 1849 dal summenzionato Duhamel. Munitosi di una piastra metallica, ne localizzò le zone anti-nodali corrispondenti ai vari modi di vibrazione; eccitando i bordi della piastra con un archetto da violino, questi ulti-mi si potevano poi sentire separatamente attaccando a detti antinodi una delle estremità di un filo elastico e accostando poi l’altra all’orecchio. Duhamel poteva quindi concludere: “Quando il nostro apparato uditivo è soggetto a un movi-mento che può essere scomposto geometricamente in molti altri che, se esistessero separatamente, farebbero sentire dei suoni differenti, generalmente noi percepiamo tutti questi suoni contemporaneamente” [203]. Sempre nel 1849, tal J. Antoine farà piuttosto criticamente osservare che della di-mostrazione di Duhamel non c’era peraltro alcun bisogno, dato che gli armonici erano già stati individuati a orecchio da Mersenne (1636-37) e - direttamente sulla corda vibran-te, mediante la localizzazione dei nodi - isolati uno per uno da Noble e Pigot (1673), e successivamente anche da Sau-veur (c. 1700) [204].

A partire dalla metà del secolo, la legge di Ohm cominciò comunque a trovare più solide conferme grazie all’impiego di sempre più perfezionati analizzatori di spettro, primi fra tutti i risonatori a cavità di cui si serviva Helmholtz [205]. La strumentazione a riguardo di cui disponevano i ricercatori del tempo, tutta ancora di tipo meccanico, viene descritta da Ma-yer [206] e Ganot [207]. In particolare si segnala:• L’analizzatoreafiammemanometrichediRudolphKönig

[208].• L’analizzatore-sintetizzatoreideatonel1874daAlfredM.

Mayer, col principale fine di dimostrare la validità della legge di Ohm [209,210].

• Ilregistratoregraficodiformad’ondautilizzatonel1870da Cornu e Mercadier nella loro indagine sull’intonazione violinistica [211,212].

• Ildispositivo,ideatodaKönignel1881,chepermettevadimisurare la lunghezza d’onda degli armonici della canna d’organo ad anima di cui era dotato, lunga 233 cm [213].Nonostante le suaccennate conferme sperimentali, alcu-

ne eccezioni alla legge di Ohm cominciavano però a emer-gere. La prima di esse fu segnalata nel 1874 dal già citato Alfred Mayer, che - pur evitando alcun riferimento a detta legge, della quale due anni prima aveva dimostrato la validi-tà - fu uno dei primi a rilevare sperimentalmente che i suo-ni di bassa frequenza possono mascherare completamente quelli più acuti di minore intensità [214,215]. Nel 1881 Bo-sanquet fece poi notare che quando due suoni sono suffi-cientemente vicini in frequenza l’orecchio ne percepisce uno solo, e non due distinti, come invece prescriverebbe la legge summenzionata [216]. Si deve inoltre sottolineare che detta legge prende in considerazione solo l’ampiezza dei singoli armonici, trascurando la loro fase relativa: esperimenti ef-fettuati da R. Patterson nel 1973 dimostrarono invece che la fase, pur non influendo sull’altezza del suono (pitch), può influire sulla percezione del timbro [217]. Con lo svilup-po della psicoacustica, altre anomalie verranno segnalate,




come il già citato fenomeno del fondamentale mancante. Le obiezioni di August Seebeck a tale legge si rivelavano quindi non del tutto infondate.

Obiezioni sulla sua validità a parte, ripercussioni prati-che tale teoria comunque sicuramente ne ebbe. Grazie ad essa fu ad esempio finalmente possibile spiegare la differen-za di timbro tra le canne d’organo di taglio largo e stretto, e inoltre, elaborata come teoria formantica, di rendere ra-gione della denominazione - già anticamente data, ma mai scientificamente spiegata - del registro ad ancia denominato “Vox humana” [218]. Essa inoltre stimolò il rilevamento sperimentale degli armonici emessi dai differenti strumen-ti musicali. David J. Blaikley, che nel 1878-80 fu il primo a effettuare tali misure in modo sistematico, dichiara ad esempio a tale riguardo: “In tali esperimenti ho cercato di raccogliere prove in supporto della teoria di Helmholtz dei suoni composti” [219].

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Dopo la laurea in ingegneria elettronica presso l’Università La Sapienza di Roma, Pa-trizio Barbieri ha lavorato e insegnato nel settore, anche negli Stati Uniti. Si è poi dedicato alla musicologia, con enfasi sulla storia dell’acustica, dell’organologia, e della stampa musicale. Al suo attivo ha due libri e più di un centinaio di articoli. Nel 2008 ha ricevuto il Frances Densmore Prize, assegnato dalla American Mu-sical Instrument Society per il migliore articolo in lingua inglese sugli strumen-ti musicali apparso nel biennio 2007-08. Ha insegnato all’Università di Lecce, all’Università Gregoriana e all’Università di Roma Tor Vergata. È stato uno dei due componenti della commissione tecnica per la ricostruzione dell’organo idraulico tardorinascimentale di Villa d’Este, a Tivoli. Sito web: www.patriziobarbieri.it.


Canne d'organo ad anima: la faticosa gestazione di una teoria matematica, 1727-1960 -- Mathematical...

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