BUKU AJAR

MEKANIKA KEKUATAN BAHAN

OLEH:

Drs. MURDANI, M.Pd

TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

1

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2013

KATA PENGANTAR

Segala puji hanya untuk Allah, Tuhan semesta alam, yang

telah melimpahkan karuniaNya, sehingga Alhamdulillah buku ajar

yang berjudul Mekanika Kekuatan Bahan telah selesai disusun

sesuai dengan rencana.

Penyelenggaraan mata kuliah Mekanika Kekuatan Bahan bertujuan

agar mahasiswa memahami, kekutan bahan dengan mempelari

tegangan tarik, tekan, geser, lengkung, puntir dan tegangan

kombinasi pada suatu kontruksi mesin.

Buku ajar ini akan sangat membantu para mahasiswa dalam

mempelajari topik-topik sebagaimana disampaikan diatas.

Diharapkan buku ajar ini sebagai dasar dari perkuliahan

Mekanika Kekuatan Bahan. Untuk pendalaman materi perlu

dilakukan dengan merujuk pada daftar pustaka yang dipakai pada

buku ajar ini.

Ucapan terimakasih kami sampaikan kepada pimpinan

Fakultas dan Jurusan yang telah memfasilitasi penyusunan buku

ajar ini.. Kritik dan saran kami harapkan demi sempunanya buku

ajar ini. Akhirnya kami berharap buku ajar ini akan bermanfaat

2

khususnya dalam pengembangan mata kuliah Mekanika Teknik di

Jurusan Teknik Masin

Semarang, Oktober 2013.

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN

JUDUL.................................................

...............................................

i

KATA

PENGANTAR.............................................

.................................................

ii

DAFTAR iv

3

ISI...................................................

......................................................

...TINJAUAN MATA

KULIAH................................................

.................................

4

Diskripsi.............................................

......................................................

................

4

Standar

Kompetensi............................................

.....................................................

4

Kompetensi

Dasar.................................................

...................................................

4

lndikator.............................................

......................................................

................

4

BAB I. Tegangan Dan Regangan

Sederhana.............................................

..............

5

1.1. Tegangan........................................

...................................................

.............

5

1.2. Regangan........................................

...................................................

.............

6

1.3. Hukum

Hooke..............................................

6

4

..................................................1.4. Modulus Elastisitas (Modulus

Young).............................................

.............

7

1.5. Deformasi Karena Gaya yang

Bekrja ............................................

...............

1.6. Latihan

1................... ..............................

...................................................

...

7

9

BAB II. KONSTANTA

ELASTISITAS...........................................

....................

10

2.1. Regangan Primer atau

Linier................................................

.........................

10

2.2. Regangan Skuder atau

Lateral..... .........................................

.........................

10

2.3. Rasio

Poisan........................................ .......

..................................................

11

2.4. Regangan

Volumetrik..................................... ......

...........................................

12

2.4.1. Regangan Volumetrik Benda Persegi Empat Yang

Mendapat Gaya

Aksial................................................

13

5

......................................................

..............2.4.2 Regangan Volumetrik Benda Empat Persegi Panjang

Yang Mendapat Tiga 2.5. Modulus

Bulk..................................................

................................................

17

2.6. Hubungan antara Modulus Bulk dengan Modulus

Young.............................

18

2.7. Tegangan

Geser ................................................

..............................................

19

2.8 Tegangan Geser

Prinsipal..........................................

....................................

20

2.9. Modulus Geser Atau Modulus

Rigiditas.............................................

.........

21

2.10. Hubungan antara Modulus Elastisitas dengan

Modulus Rigiditas.............

22

Latihan

2 ....................................................

......................................................

...

23

BAB. III. PEMBEBANAN

GESER.................................................

......................

24

Latihan

3. ...................................................

......................................................

27

6

.......BAB. IV BEBAN

PUNTIR........................... ....................

..................................

29

Latihan

4 ....................................................

......................................................

....

31

BAB. V BEBAN

LENGKUNG..............................................

...............................

33

Latihan

5 ....................................................

......................................................

....

37

BAB. VI BEBAN

TEKUK ................................................

...................................

38

Latihan

6 ....................................................

......................................................

.....

40

BAB. VII BEBAN

GABUNGAN .............................................

............................

41

Latihan

7 ....................................................

......................................................

44

7

.....DAFTAR

PUSTAKA...............................................

...............................................

45

8

TINJAUAN MATA KULIAH

Nama mata kuliah : Mekanika Kekuatan Bahan

Nomor Kode MK/ SKS : E2014107/ 2 sks

Jurusan/ Program Studi : TM/ PTM

Semester : Gasal

Diskripsi : Mendalami kekutan bahan dengan memahami

tegangan tarik,

tekan, geser, lengkung, puntir, tekuk

dan tegangan kombinasi

pada suatu kontruksi mesin.

Standar Kompetensi : Menganalisis kekuatan bahan pada

konstruksi mesin berdasar

kan beban yang bekerja.

Kompetensi Dasar :

lndikator :

1. Menjelaskan pengertian kekuatan bahan

2. Menganalisis dan menghitung tegangan dan regangan

3. Menganalisa dan menghitung tegangan tarik, tekan

4. Menganalisa dan menghitung tegangan geser

5. Menganalisa dan menghitung tegangan puntir

6. Menganalisa dan menghitung tegangan lengkung

7. Menganalisa dan menghitung tegangan tekuk

8. Menganalisis dan menghitung tegangan kombinasi

9

BAB. I

TEGANGAN DAN REGANGAN SEDERHANA

Tegangan

Setiap material adalah elastis pada keadaan alaminya. Karena

itu jika gaya luar bekerja pada benda, maka benda tersebut

akan mengalami deformasi. Ketika benda tersebut mengalami

deformasi, molekulnya akan membentuk tahanan terhadap

deformasi. Tahanan ini per satuan luas dikenal dengan istilah

tegangan. Secara matematik tegangan bisa didefinisikan sebagai

gaya per satuan luas, atau:

σ = P

A

dimana

P = beban atau gaya yang bekerja pada benda

A = Luas penampang melintang benda

Pada sistem SI, satuan tegangan adalah pascal (Pa) yang sama

dengan 1 N/m2.

10

1.2 Regangan

Deformasi per satuan panjang disebut dengan regangan. Secara

matematis ditulis:

atau

Dimana

ε = regangan,

δl = Perubahan panjang benda

l = Panjang awal benda

1.3 Hukum Hooke

Berbunyi, “Jika benda dibebani dalam batas elastisnya, maka

tegangan berbanding lurus dengan regangannya”. Secara

matematis ditulis:

1.4 Modulus Elastisitas (Modulus Young)

Tegangan berbanding lurus dengan regangan, dalam daerah

elastisnya, atau:

atau

dimana

σ = tegangan 11

ε = regangan, dan

E = konstanta proporsionalitas atau disebut juga modulus

elastisitas atau modulus Young.

Tabel 1.1: Harga E (modulus elastisitas) dari berbagai

material.

No Material Modulus Elastisitas (E)

dalam GPa1. Baja 200 – 2202. Besi tempa 190 – 2003. Besi cor 100 – 1604. Tembaga 90 – 1105. Perunggu 80 – 906. Aluminium 60 – 807. Timbal 10

1.5 Deformasi Benda Karena Gaya Yang Bekerja

Misalkan sebuah benda mendapat tegangan tarik.

Misalkan P = Beban atau gaya yang bekerja pada benda

l = Panjang benda

A = Luas penampang benda

σ = Tegangan yang timbul pada benda

E = Modulus Elastisitas material benda

ε = Regangan

δl = Deformasi benda

Kita tahu bahwa tegangan:

σ = P

A

Maka regangan:

12

dan deformasi:

Catatan:

1. Rumus di atas baik juga digunakan untuk tekanan

2. Untuk sebagian besar material, modulus elastisitas untuk

kompresi sama dengan tarikan.

3. Kadang-kadang dalam perhitungan, tegangan dan regangan

tarik diberi tanda positif, dan tegangan dan regangan

tekan/kompresi diberi tanda negatif.

Contoh soal 1.1. Sebuah batang dari baja dengan panjang 1 m

dan penampang 20 mm × 20 mm mendapat gaya tarik sebesar 40 Kn.

Carilah perpanjangan batang, jika modulus elastisitas material

batang adalah 200 Gpa.

Jawab.

Diketahui: panjang (l) = 1 m = 1 ×103 mm

luas penampang (A) = 20 × 20 = 400 mm2

gaya tarik (P) = 40 Kn = 40 ×103 N

Modulus elastisitas (E) = 200 Gpa = 200 ×103 N/mm2

Perpanjangan batang:

δl = P.l

A.E

= (40 × 103) × (1 × 10 3 )

400 × (200 × 103)

= 0, 5 mm

Contoh Soal 1.2. Silinder berlobang dengan panjang 2 m

mempunyai diameter luar 50 mm dan diameter dalam 30 mm. Jika

13

silinder memikul beban sebesar 25 Kn, carilah tegangan pada

silinder. Cari juga deformasi yang terjadi pada silinder jika

harga modulus elastisitas material silinder adalah 100 Gpa.

Jawab.

Diketahui: panjang (l) = 2 m = 2 ×103 mm

diameter luar (D) = 50 mm

diameter dalam (d) = 30 mm

beban (P) = 25 Kn = 25 ×103 N/mm2

modulus elastisitas (E) = 100 Gpa = 100 ×103 N/mm2

Tegangan Pada Silinder

dan tegangan pada silinder:

Deformasi pada silinder

LATIHAN 1

1. Sebuah batang baja dengan panjang 2 m dan penampang 150 mm2

mendapat tarikan aksial sebesar 15 Kn. Carilah

perpanjangan/elongasi batang. Ambil harga E = 200 Gpa.

(jawab: 1,0 mm)

2. Sebuah batang lurus mempunyai panjang 500 mm dan penampang

500 mm2. Carilah besar beban kompresi dimana panjangnya

berkurang 0,2 mm. Ambil E material 200 Gpa. (jawab: 40 Kn)

3. Sebuah batang logam paduan dengan panjang 1 mm dan

penampang 200 mm2 mendapat gaya tekan sebesar 20 Kn. Jika 14

modulus elastisitas paduan 100 Gpa, carilah penurunan

panjang batang. (jawab: 0,5 mm)

BAB. II

KONSTANTA ELASTISITAS

Dari eksperimen ditemukan bahwa regangan aksial yang

terjadi pada sebuah benda selalu diikuti regangan dengan tanda

yang berlawanan pada bagian lain yang tegak lurus terhadapnya.

Secara umum, terdapat dua jenis regangan pada benda jika benda

tersebut mengalami tegangan:

1. Regangan primer atau linier.

2. Regangan sekunder atau lateral.

2.1 Regangan Primer atau Linier

15

Gambar 2.1: Regangan linier dan lateral

Misalkan sebuah batang mengalami gaya tarik, seperti

ditunjukkan oleh gambar 2.1(a).

Jika l = Panjang batang

d = Diameter batang

P = Gaya tarik yang bekerja pada batang

δl = Peningkatan panjang batang karena gaya tarik.

Deformasi batang per satuan panjang pada arah gaya, yaitu,

δl/l di kenal dengan regangan

primer atau linier.

2.2 Regangan Sekunder atau Lateral

Ketika sebuah batang mengalami pertambahan panjang sebesar δl

searah gaya tarik yang bekerja padanya, pada saat yang

bersamaan terjadi penurunan diameter dari d ke (d – δd),

seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1(b). Dengan cara yang

sama, jika batang mendapat gaya tekan, panjang batang akan

menurun sebesar δl yang diikuti oleh peningkatan diameter dari

d ke (d – δd).

Jadi jelas bahwa setiap tegangan langsung selalu diikuti oleh

regangan pada arah tegangan dan regangan dengan tanda yang

berlawanan pada arah yang tegak lurus terhadap tegangan

16

tersebut. Regangan yang tegak lurus terhadap tegangan yang

bekerja ini disebut dengan regangan sekunder atau lateral.

2.3 Rasio Poisson

Dari eksperimen ditemukan bahwa jika sebuah benda mengalami

tegangan pada daerah elastisnya, regangan lateral mempunyai

rasio konstan terhadap regangan linier. Secara matematik:

Konstanta ini dikenal dengan Rasio Poisson, dan dilambangkan

dengan 1/m atau μ. Secara matematik:

Tabel 2.1: Harga rasio Poisson dari berbagai material.

Contoh soal 2.1. Sebuah batang yang terbuat dari baja dengan

panjang 2 m, lebar 40 mm dan tebal 20 mm mendapat tarikan

searah aksial sebesar 160 Kn pada arah panjangnya. Carilah

perubahan panjang, lebar dan ketebalan batang. Diketahui E =

200 Gpa dan rasio Poisson = 0,3.

Jawab.

Diketahui: l = 2 m = 2 × 103 mm

b = 40 mm

17

t = 20 mm

P = 160 Kn = 160 × 103 N

E = 200 Gpa = 200 × 103 N/mm2

rasio Poisson, 1/m = 0,3

Perubahan panjang:

Regangan Linier

dan regangan lateral:

Jadi perubahan lebar:

δb = b × regangan lateral = 40 × 0, 0003 = 0, 012 mm

Perubahan ketebalan:

δt = t × regangan lateral = 20 × 0, 0003 = 0, 006 mm

2.4 Regangan Volumetrik

Jika sebuah benda mendapatkan gaya, maka benda tersebut akan

mengalami perubahan dimensi. Perubahan dimensi sebuah benda

akan menyebabkan perubahan volumenya.

Rasio perubahan volume terhadap volume awal disebut dengan

regangan volumetrik.

Secara matematik, regangan volumetrik:

dimana:

Δv = Perubahan volume

V = Volume awal.

18

Walaupun ada berbagai cara gaya bekerja pada benda, kondisi

berikut perlu untuk mengetahui regangan volumetrik pada suatu

benda:

1. Benda persegi empat mendapat sebuah gaya aksial.

2. Benda persegi empat mendapat tiga gaya yang saling tegak

lurus.

Gambar 2.2: Regangan Volumetrik.

2.4.1 Regangan Volumetrik Benda Persegi Empat Yang Mendapat

Gaya Aksial

Misalkan sebuah batang dengan penampang persegi panjang,

mendapat gaya tarik aksial, seperti yang ditunjukkan oleh

gambar 2.2.

Misalkan P = Beban atau gaya tarik yang bekerja pada benda

l = Panjang benda

b = Lebar batang

t = Tebal batang

E = Modulus Elastisitas

1/m = Rasio Poisson

Kita tahu bahwa perubahan panjang:

(2.1)

dan tegangan linier:

sehingga:

19

dan regangan lateral:

maka perubahan ketebalan:

dan perubahan lebar:

Sebagai hasil dari gaya tarik ini, misal panjang akhir = l –

δl

lebar akhir (tanda negatif karena kompresi) = b – δb

dan panjang akhir (tanda negatif karena kompresi) = t – δt

Kita tahu bahwa volume awal benda:

V = l.b.t

dan volume akhir:

Dengan mengabaikan variabel-variabel yang nilainya kecil,

maka:

Perubahan volume:

20

dan regangan volumetrik:

Catatan: Rumus di atas berlaku juga untuk gaya tekan.

Contoh soal 2.2. Sebuah batang yang terbuat dari baja dengan

panjang 2 m, lebar 20 mm dan tebal 15 mm mendapat beban tarik

sebesar 30 Kn. Carilah peningkatan volume, jika rasio Poisson

= 0,25 dan modulus Young = 200 Gpa.

Jawab.

Diketahui: l = 2 m = 2 × 103 mm

b = 20 mm

t = 15 mm

P = 30 Kn = 30 × 103 N

rasio Poisson, 1/m = 0,25

modulus Young, E = 200 Gpa = 200 × 103 N/mm2

Volume awal batang:

21

Jadi peningkatan volume:

Δv = 0, 00025 × V = 0, 00025 × (600 × 103 ) = 150 mm3

2.4.2 Regangan Volumetrik Benda Empat Persegi Panjang Yang

Mendapat Tiga Gaya Yang Saling Tegak Lurus

Misalkan sebuah benda persegi empat mendapat tegangan langsung

pada ketiga sumbunya yang saling tegak lurus, seperti yang

diperlihatkan oleh Gambar 2.3.

Gambar 2.3: Regangan Volumetrik.

Misalkan

σx = Tegangan pada arah x-x

σy = Tegangan pada arah y-y

σz = Tegangan pada arah z-z

E = Modulus Young

Regangan pada arah X-X karena tegangan εx,

dengan cara yang sama,

ɛy = σy

ERegangan pada ketiga arah bisa dicari dengan prinsip

superposisi, yaitu dengan menambahkan secara aljabar regangan

di setiap arah karena setiap tegangan individu.

Untuk ketiga tegangan tarik yang ditunjukkan oleh Gambar 2.3

(dengan memakai tanda positif sebagai regangan tarik dan

22

negatif sebagai regangan tekan), regangan resultan pada arah

x-x:

dengan cara yang sama

Regangan volumetrik bisa dicari dengan:

Contoh soal 2.3. Sebuah batang dengan panjang 500 mm dan

penampang 100 mm × 50 mm menerima gaya-gaya seperti gambar

2.4. Berapakah perubahan volume batang? Ambil modulus

elastisitas untuk material batang 200 Gpa dan rasio Poisson

0,25.

Gambar 2.4:

Jawab

Diketahui: l = 500 mm

b = 100 mm

t = 50 mm

23

Gaya pada arah x = Px = 100 Kn = 100 × 103 N (tarik)

Gaya pada arah y = Py = 200 Kn = 200 × 103 N (tarik)

Gaya pada arah z = Pz = 300 Kn = 300 × 103 N (tekan)

E = 200 Gpa = 200 × 103 N/mm2

rasio Poisson = 1/m = 0,25 atau m = 4

Volume awal batang:

V = l × b × t = 500 × 100 × 50 = 2, 5 × 106 mm3

dan tegangan pada arah x-x:

dengan cara yang sama:

dan

Kita juga tahu bahwa regangan resultan pada arah x-x, dengan

mempertimbangkan tarikan adalah positif dan kompresi adalah

negatif adalah:

dengan cara yang sama:

regangan volumetrik:

24

2.5 Modulus Bulk

Jika sebuah benda mendapat tiga tegangan yang saling tegak

lurus, dengan besaran yang sama, rasio tegangan langsung

terhadap regangan volumetrik disebut sebagai modulus bulk,

dilambangkan dengan K. Secara matematik:

2.6 Hubungan Antara Modulus Bulk dengan Modulus Young

Misalkan sebuah kubus ABCD A1B1C1D1 seperti yang ditunjukkan

oleh Gambar 2.5. Katakan kubus mendapat tiga tegangan tarik

yang saling tegak lurus dengan besaran yang sama.

Ambil

σ = Tegangan pada permukaan

l = Panjang kubus

E = Modulus Young untuk material kubus

Gambar 2.5: Kubus ABCD A1B1C1D1

25

Misalkan deformasi pada satu sisi kubus (katakan AB) karena

tiga tegangan tarik.

Kita tahu bahwa sisi ini mengalami regangan-regangan berikut:

1. Tegangan tarik sebesar σ karena tegangan pada

permukaan BB1 CC1 dan AA1 DD1.

E

2. Regangan lateral tekan sebesar karena

tegangan pada permukaan AA1 BB1 dan

DD1 CC1.

3. Regangan lateral tekan sebesar karena tegangan pada

permukaan ABCD dan

A1B1C1D1.

Sehingga, regangan tarik netto yang dialami oleh sisi AB

karena tegangan-tegangan ini:

(2.2)

Volume awal kubus: V = l3 dan turunannya terhadap l adalah Δv

= 3l2 atau

V

Substitusikan harga dari persamaan 2.2:

atau

sehingga

26

atau

Contoh soal 2.4. Jika harga modulus elastisitas dan rasio

poisson sebuah paduan masing-masing adalah 150 Gpa dan 0,25,

carilah harga modulus bulk paduan tersebut.

Jawab

Diketahui: E = 150 GP = 150×103 N /mm2

rasio Poisson, 1/m = 0,25 atau m = 4

Modulus bulk paduan:

2.7 Tegangan Geser

Ketika suatu penampang mendapat dua gaya yang sama besar dan

berlawanan arah, dan bekerja secara tangensial pada penampang

tersebut, akibatnya benda tersebut cendrung robek melalui

penampang tersebut seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.6,

tegangan yang ditimbulkan disebut tegangan geser. Regangannya

disebut regangan geser.

27

Gambar 2.6: Tegangan geser pada keling.

Gambar 2.7: Regangan geser.

Misalkan sebuah kubus dengan panjang l mempunyai tumpuan tetap

pada permukaan dasar AB. Misalkan sebuah gaya P diberikan pada

permukaan DC, tangensial terhadap permukaan AB. Karena gaya,

misalkan kubus berubah dari ABCE ke ABC1D1 melalui sudut θ

seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2.7.

Dan Teagangan Geser =

2.8 Tegangan Geser Prinsipal

Tegangan geser prinsipal adalah tegangan geser pada penampang

sebuah bidang, dan selalu diikuti oleh tegangan geser

penyeimbang (balancing shear stress) pada penampang bidang dan

normal terhadapnya.

Bukti

28

Misalkan sebuah blok segiempat ABCD mendapat tegangan geser _

pada permukaan AD dan CB seperti yang ditunjukkan oleh gambar

2.8. Misalkan ketebalan satu satuan.

Maka gaya yang bekerja pada permukaan AD dan CB:

Gambar 2.8: Tegangan Geser Prinsipal

Dapat dilihat bahwa gaya-gaya ini membentuk sebuah kopel,

dimana harga momennya adalah _.AB x AB yaitu gaya X jarak.

Jika balok dalam keadaan setimbang, maka harus ada kopel

penyeimbang yang besar momennya harus sama dengan besar momen

ini. Misalkan tegangan geser _ 0 terdapat pada permukaan AB

dan CD seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.8. Maka gaya-

gaya yang bekerja pada permukaan AB dan CD:

Kita bisa melihat bahwa gaya-gaya ini juga membentuk kopel

yang besar momennya sama dengan _.AB x AB. Dengan menyamakan

kedua momen ini maka:

atau:

Sebagai akibat dari kedua kopel, diagonal BD balok akan

mendapat gaya tarik, sedangkan diagonal AC mendapat gaya

tekan.

29

Tegangan disebut regangan komplementer.

Modulus Geser atau Modulus Rigiditas

Secara eksperimen diperoleh bahwa di dalam batas elastik,

tegangan geser proporsional (berbanding lurus) terhadap

regangan geser. Secara matematik:

atau

Tabel 2.2: Harga modulus Rigiditas berbagai material.

Hubungan Antara Modulus Elastisitas dan Modulus Rigiditas

Misalkan sebuah kubus dengan panjang l mendapat tegangan geser

_ seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.9(a). Terlihat bahwa

karena tegangan-tegangan tersebut, kubus mengalami distorsi,

seperti diagonal BD akan bertambah panjang dan diagonal AC

akan bertambah pendek. Misalkan tegangan geser _ akan

menimbulkan regangan _ seperti yang ditunjukkan oleh gambar

2.9(b). Terlihat bahwa diagonal BD akan mengalami distorsi

menjadi BD’.

30

Kita lihat bahwa regangan linier diagonal BD adalah setengah

dari regangan geser dan berupa tarik. Dengan cara yang sama

dapat dibuktikan bahwa diagonal AC adalah juga setengah dari

regangan geser, tetapi berupa tekan. Regangan linier diagonal

BD:

Gambar 2.9:

(2.3)

dimana:

C = Modulus rigiditas

Misalkan tegangan geser ini bekerja pada sisi AB, CD, CB dan

AD. Kita tahu bahwa

akibat dari tegangan ini akan berupa tegangan tarik pada

diagonal BD dan tegangan

tekan pada diagonal AC. Maka regangan tarik pada diagonal BD

karena tegangan tarik

pada diagonal BD:

(2.4)

dan regangan tarik pada diagonal BD karena tegangan tekan pada

diagonal AC:

(2.5)

31

Efek kombinasi dari kedua tegangan di atas pada diagonal BD

(2.6)

Dengan menyamakan persamaan 2.3 dan 2.6:

Contoh soal 2.5. Sebuah spesimen paduan mempunyai modulus

elastisitas 120 Gpa dan modulus rigiditas 45 Gpa. Carilah

rasio Poisson material tersebut.

Jawab.

Diketahui: E = 120 Gpa

C = 45 Gpa

Modulus rigiditas:

LATIHAN 2

1. Sebuah batang baja dengan panjang 1,5 m dan diameter 20 mm

mendapat tarikan aksial sebesar 100 Kn. Carilah perubahan

panjang dan diameter batang, jika E = a dan 1/m = 0,32

2. Carilah perubahan panjang, lebar dan tebal dari sebuah

batang baja yang panjangnya 4 m, lebar 30 mm dan tebal 20

mm, jika mendapat tarikan aksial sebesar 120 Kn pada arah

panjangnya. Ambil E = 200 Gpa dan rasio Poisson 0,3.

32

3. Sebuah pelat baja mempunyai modulus elastisitas 200 Gpa dan

rasio Poisson 0,3.

Berapakah harga modulus bulk material tersebut?

4. Pada sebuah eksperimen, sebuah batang paduan dengan panjang

1 m dan penampang 20 mm × 20 mm diuji untuk menambah

panjang sampai 1 mm ketika diberikan beban tarik aksial

sebesar 6,4 Kn. Jika modulus bulk batang 133 Gpa, carilah

harga rasio Poisson.

BAB. III

PEMBEBANAN GESER

Pada pembebanan geser, maka akan timbul tegangan geser

dan regangan geser. Tegangan geser merupakan tegangan yang

bekerja sejajar atau menyinggung permukaan. Perjanjian tanda

untuk tegangan geser sebagai berikut:

Tegangan geser yang bekerja pada permukaan positif suatu

elemen adalah positif apabila bekerja dalam arah positif dari

salah satu sumbu-sumbu positif dan negatif apabila bekerja

dalam arah negatif dari sumbu-sumbu. Tegangan geser yang

bekerja pada permukaan negatif suatu elemen adalah positif

apabila bekerja dalam arah negatif sumbu dan negatif apabila

bekerja dalam arah positif.

33

Prinsip Tegangan Geser

Sifat-sifat suatu bahan dalam keadaan geser dapat ditentukan

secara eksperimental dari uji-uji geser langsung (direct

shear) atau puntiran (torsion). Uji-uji yang kemudian

dilakukan dengan memuntir pipa-pipa berongga, sehingga

menghasilkan suatu keadaan geser murni.

Sebagai suatu contoh dapat dilihat pada sambungan baut.

Tegangan geser pada baut diciptakan oleh aksi langsung dari

gaya-gaya yang mencoba mengiris bahan. Tegangan geser dapat

diperoleh dengan membagi gaya geser terhadap luas.

Bagian awal dari diagram tegangan-regangan geser sebuah garis

lurus, seperti dalam keadaan tarik. Untuk daerah elastis

linier, tegangan geser berbanding lurus dengan regangan geser,

jadi diperoleh persamaan berikut bagi hukum Hooke untuk

keadaan geser.

34

Tegangan geser pada permukaan-permukaan yang berhadapan

besarnya sama tapi arahnya berlawanan.

Tegangan geser pada permukaan-permukaan yang saling tegak

lurus besarnya sama tetapi memiliki arah-arah yang sedemikian

rupa sehingga kedua tegangan mengarah ke, atau menjauhi garis

perpotongan kedua permukaan.

Tegangan geser yang diakibatkan adanya beban P pada sebuah

paku keling dengan luas penampang A, diformulasikan sebagai

berikut :

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1

Suatu plat baja sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.7

dihubungkan oleh dua buah baut dengan diameter 19 mm. Apabila

bekerja beban tarik sebesar 80 Kn, hitung gaya geser rata-rata

pada baut.

35

Penyelesaian

Dianggap beban ditahan sama besar oleh masing-masing baut dan

tegangan geser yang ditimbulkan adalah terdistribusi merata

pada setiap baut. Karena hanya ada satu bidang geser setiap

baut, geser reaksi bekerja pada lingkaran dengan diameter 19

mm.

Masing-masing baut menahan 40 Kn (setengah dari total beban).

Gaya geser rata-rata adalah:

τ = P = 40.000 N = 141 Mpa

A π/4. (0,019)2

Contoh 2

Tiga buah kayu yang direkatkan satu sama lain (lihat Gambar

4.8) akan digunakanuntuk menguji kekuatan geser sambungan lem.

Beban P sebesar 50 Kn bekerja padakayu. Hitung tegangan geser

rata-rata tiap sambungan.

Luasan tahanan geser masing-masing sambungan adalah :

A = 0,075 x 0,1 = 7,5 x 10-3 m2

36

bba a PP

Dianggap bahwa beban P adalah sama dengan gaya reaksi tiap

sambungan yang belum yang ditahan dan bahwa tegangan gesr

adalah distribusi merata melalui sambungan. Jadi masing-masing

menahan 25 Kn (setengh dari beban total). Tegangan geser rata-

rata :

τ = P = 25 x 10 3 N = 3,33 Mpa

A 7,5 x 10-3 m2

Contoh 3

Struktur baja karbon rendah seperti gambar, diameter 25 mm

tegangan geser maksimum 300 Mpa dan tebal bahan 10 mm. Jika

modulus elastisitas 80 GN/m2, carilah regangan geser saat

tegangan geser yang diberikan 150 Mpa.

Penyelesaian

Latihan 3:

1. Suatu sambungan dengan baut ditunjukan pada gambar dibawah.

Besarnya gaya tarik P adalah 30 kN dan diameter baut adalah

10 mm. Tentukan nilai rata-rata tegangan geser yang terjadi

pada bidang a-a atau b-b.

37

45oPP

Las laser 1/16 in

2. Suatu plat titanium campuran dengan tebal 1/16 in, lebar

1.75 in disambungkan dengan pengelasan laser dengan sudut

pengelasan 45° seperti gambar dibawah. Pengelasan dilakukan

dengan menggunakan sistem laser karbon-dioksida 100 kW. Jika

tegangan geser titanium campuran adalah 65,000 lb/in2 dan

sambungan diasumsikan mempunyai efisiensi 100%, tentukan

gaya P yang dapat diberikan.

3. Sebuah shaft dan puli pada sebuah lubang kunci seperti yang

diperlihatkan pada gambar, gaya putar T pada puli 1 kNm,

kunci berukuran 10 mm x 10 mm x 75 mm. Carilah tegangan

geser yang terjadi pada penampang kunci.

4. Sebatang baja siku dilas pada sebuah plat baja. Tegangan

geser yang diijinkan adalah 140 MPa dan besarnya leg

10 mm.Tentukan panjang pengelasan minimum pada baja siku

tersebut agar dapat menahan beban maksimum P sebesar 180

kN.

38

BAB. IV

BEBAN PUNTIRAN

Bila suatu bidang dibebani demikian rupa sehingga pada tiap-

tiap penampang normal bekerja suatu kopel yang terletak dalam

39

bidang penampan tersebut, maka batang itu dibebani puntiran.

Penampang normal adalah penampang yang berdiri tegak lurus

terhadap sumbu batang. Pasangan seperti itu disebut “momen

puntir’ dan tegangan tegangan yang terjadi disebut “tegangan

puntir’ Lihat gambar.

Tegangan puntir ditulis secara simbolik dengan τp

Wp = 0,2 D untuk batang silindris pejal. Dalam momen

kelembaman telah kita ketahui bahwa untuk batang yang

berbentuk pipa di mana garis tengah luarnya D, dan garis

tengah dalamnya = d, maka momen tahanan polarnya adalah:

Untuk batang dengan penampang persegi atau persegi empat

b h

40

b

b

Wp = 1/6 b3 dan Wp = 1/6 bh2

Tegangan puntir yang terjadi tidak boleh melebihi tegangan

puntir yang diizinkan. Sehingga momen puntir yang diizinkan

menjadi:

Torsi pada poros berdiameter konstan

T = Torsi (N.m)

L = Panjang batang (m)

J = Momen Inersia Polar, batang silindris pejal = π/32.D4 (m4)

G = C = Modulus Geser/Rigiditas (Mpa)

Dalam peristiwa puntiran terdapat hubungan antara

Torsi/puntiran, tegangan puntir dan susdut puntir sebagai

berikut:

41

Dimana:

τ = tegangan puntir (N/mm2/ Pa)

r = jari-jari poros (m)

T = torsi atau momen puntir (N.m)

J = momen inersia polar (m4)

C = G = modulus geser/gelincir (Mpa)

Ɵ = sudut puntir (rad)

L = panjang poros (m)

CONTOH- CONTOH SOAL TEGANGAN PUNTIR (PUTAR) :

1. Untuk pembebanan putar / unter pada perancangan poros

pejal ( tidak berlobang ) :

Suatu poros pemindah daya memindahkan daya sebesar 97,5 Kw,

pada 180 rpm, tegangan puntir material 60 N/mm2, G =

80x103N/mm2, sudut puntir tidak boleh lebih dari 10/3m.

Tentukan diameter poros tersebut.

Penyelesaian : mencari torsi yang terjadi

P = 2 π.n.T/4500

97,5x104 = 2.π.180.T/60

T = 97,5 x 102 x 60/2.π.180 = 5172 N.m = 5172 x 103 N.mm

Mencari diameter poros

T = π/16. Tegangan puntir material. d3

5172 x 103 = π/16.60. d3

d = 76 mm

Mempertimbangkan keamanan dengan mempertimbangkan susut puntir

tidak boleh lebih dari 10/3m, maka gunakan persamaan T/J =

G.Ɵ/L

5172 x 10 3 = 80 x 10 3 . π/180 π /32 d4 3000d4 = 113200000 d = 105 mm

42

Dengan demikian diameter poros yang dipakai menggunakan yang

105 mm

2. Untuk pembebanan putar/unter pada perancangan poros

berlobang (Hollow Shaft):Suatu poros berlubang memindahkan daya

sebesar 800 Hp torsi pada putaran 110 rpm, torsi maksimum =

20% lebih besar dari rata-rata. Tegangan geser = tegangan

puntir tidak lebih dari 630 kg/cm2, sudut puntir tidak boleh

lebih dari 1,40/3m, perbandingan diameter luar dengan diameter

dalam = 3:8, modulus rigiditas 8,4x104kg/cm2. Tentukan diameter

luar.

Penyelesaian:

Diketahui :

P = 800 h.p

n = 110 r.p.m

Tmax = 1,2 Tmean

Tegangan puntir maximal bahan = 630 kg/cm2

Panjang poros = 300 cm

Sudut puntir maximum = 1,40 = 1,4 x π/180 rad

Rasio diameter internal dengan eksternal (k) = 3/8

Modulus rigiditas (G) = 8,4 x 104 kg/cm2

Mencari momen puntir rata-rata atau torsi rata-rata Tmean

P = 2 π.n.Tmean /4500

800 = 2 π.110.Tmean/4500

Tmean = 5209 kg.m = 520900 kg.cm

Tmax = 1,2 Tmean = 1,2 . 520900 = 625080 kg.cm

Mencari diameter poros

Tmean = π/16 x τp x do3 [1 – (di /do)4]

43

do3 = 5114

do = 17,23 cm

Mencari diameter poros dengan mempertimbangkan momen inersia

polar sebagai berikut :

Latihan 41.

2. Pores pejal dari alumunium (G = 4x102) panjang 6 feet,

diameter 3 inchi dengan pembebanan seperti gambar. Tentukan

besar sudut unter pada C dan tegangan geser maksimum pada

poros tersebut.

3. Carilah tegangan puntir pada seksi A dan B dari potongan a-a

44

45

BAB. V

TEGANGAN LENGKUNG

Misalnya, pada poros-poros mesin dan poros roda yang dalam

keadaan ditumpu. Jadi, merupakan tegangan tangensial.

½ L ½ L

Mb = momen lengkung

= RA.1/2 L

Momen lengkung dapat dicari sesuai dengan konstruksi dan

bagaimana pembebanannya dan jenis beban (beban titik, beban

merata, beban campuran).

Wb = momen tahanan lengkung

momen tahanan lengkung (Wb) = I/c

Untuk penampang bulat:

c = jarak dari sumbu netral ke lapisan terluar (untuk bahan

berpnampang bulat c = ½ d)

I = momen inersia ( bahan berpenampang bulat I = π/64. D4 )

Wb = π/64. D 4

½.d

Wb = π /32. D3 = 0,1 d3

46

Untuk penampang lain, dapat dicari dari tabel momen inersia

terhadap garis yang melalui titik pusatnya

Contoh soal

1. Sebuah batang silindris dijepit seperti gambar, jika

tegangan maksimum 150 MN/mm2 , tentukan diameter batang

tersebut.

Penyelesaian :

Mb = 2m x 2 Kn = 4 Kn.m = 400 Kn.mm

Wb = π /32. D3 = 0,1 d3

τb = 150 x 106 N/mm2

4000 = 150 x 10 6 N/mm 2

π /32. D3

Atau dengan cara lain

47

2. Diketahui sebuah balok kantilevel seperti gambar

dibawah, mempunyai

penampang balok segi empat.

Tentukan tegangan lentur maksimum yang terjadi pada

sebuah irisan 2 m dari

Ujung bebas.

Penyelesaian :

48

3. Seperti soal nomor 2, andaikata penampang potongan c-c

seperti gambar berikut :

satuan: mm

Penyelesaian :

Menentukan titik berat penampang

Dicari momen inersia luasan penampang terhadap sumbu z-z. Maka

:

49

Besarnya tegangan lentur maksimum pada potongan c-c 2m dari

ujung bebas

Latihan 5.

1. Tentukan tegangan lengkung maksimum dalam balok dengan

penampang seperti gambar.

2. Tentukan panjang batang maksimum yang diperbolehkan

untuk sebuah balok

sederhana berpenampang empat persegi panjang 150 mm x

300 mm yang dikenakan suatu beban tersebar merata q

= 8 Kn/m, jika tegangan lentur ijinnya 8.2 Mpa.

50

3. Suatu balok kantilever berpenampang bulat dengan diameter

100 mm menahan beban seperti pada gambar. Tentukan tegangan

lentur maksimumnya.

51

BAB. VI

TEGANGAN TEKUK

Pada batang yang panjang jika diberi beban tekan maka akan

terjadi lengkungan dan ini dinamakan tekukan. Oleh karena

penurunan rumus untuk tekukan tidak mudah, maka akan diberikan

rumus-rumus yang banyak dipakai. Euler membedakan empat hal

tentang tekukan seperti dijelaskan dibawah ini.

Keterangan :

Ptk = Pembebanan tekuk (kg) P = Pembebanan yang dijinkan

v = koefisien keamanan E = Modulus elastisitas (kg/cm2)

Im = momen inersia linier garis terkecil (cm4) Pd = Panjang batang (cm)

σtk = Tegangan tekuk = Ptk/A = tegangan tekuk yang terjadi

(kg/cm2)

Hal-Tekukan I (lihat gambar).

Pada batang ini satu udjungnja didjepit sedangkan udjung

jang lain bebas.

Hal-Tekukan II (Lihat gambar). 52

Pembebanan yang diijinkan P = Ptk/v

Pada batang ini kedua ujung ditumpu secara engsel dan

titik engsel hanya dapat bergerak kearah sumbu batang.

Hal-Tekukan III (lihat gambar).

Batang dijepit pada satu ujung, sedangkan ujung yang tain

dapat bekerkerja sebagai

engsel. Ujung yang engsel hanya dapat bergerak kearah

sumbu batang.

Halt-Tekukan IV (lihat gambar).

Batang dijepit pada kedua-belah ujung, sedangkan gerakan

dari dari ujung hanja dapat dilakukan kearah sumbu batang.

53

Pembebanan yang diijinkan P ≤ Ptk/v

dalam praktiknya pembebanan yang diijikan

dan pembebanan yang diijinkan P ≤ Ptk/v

Rumus Euler hanya berlaku jika angka kerampingan batang (λ) >

Jika angka kerampingan batang lebih kecil, maka menggunakan

rumus empiris dari Von Tetmajer.

Apabila untuk suatu bahan tertentu diketahui E dan σp,

maka kita dapat menghitung angka kerampingan batang,

hasilnya untuk menentukan apakah boleh memakai rumus Euler

atau tidak.

Berikut adalah tabel, besarnya E, σp dan λ dari bahan

Rumus berikut ini dapat dipakai untuk kerampingan antara

10 dan 105.

Untuk badja dengan E:2.100.0000 kg/cm2 dan σp : 1900 kg/cm

, maka untuk hal tekukan II (kedua ujung bekerdja sebagai

engsel), rumus Von Tetmayer untuk pembebanan tekuk:

Pembebanan yang diijinkan :

Untuk baja dengan E :2.200.000 dan σp:2500. Maka pembebanan

tekuk :

54

Ptk

dan pembebanan yang diijinkan P

≤ Ptk/v

dalam praktiknya pembebanan

Pembebanan yang diijinkan :

Rumus berikut ini dapat dipakai untuk kerampingan batang

antara 10 dan 90.

Untuk besi tuang dengan E : 1000.000 dan σp : 1500

Pembebanan jang diidjinkan

Contoh soal :

1. Suatu batang mempunyai panjang 3 m dan penampang jang

berbentuk lingkaran dari 5 cm. Bahan itu terdiri dari

badja dengan E : 2.100.000 kg/cm2 dan σp, : 1900 kg/cm2.

Berapa pembebanan-tekan yang diijinkan maks, apabila

kedua udjung dari batang dilekatkan hingga dapat

bekerja sebagai engsel dan koefisien-keamananya harus =

5.

Penyelesaian :

Pertama-tama dihitung kerampingan batang yaitu

λ = 300 = 230 √33/19,7

Jadi harus memakai rumus Euler, karena 230 > 105.

Untuk hal ini kita harus memakai rumus

55

2. Pandjang dari suatu batang adalah 1 m, ketentuan lain

seperti contoh soal nomor 1. Berapakah besarnja

pembebanan jang diidjinkan?

Penyelesaian :

Karena angka kerampingan bahan lebih kecil yaitu 76,5 < 105,

maka menggunakan rumus empiris dari Von Tetmajer

Latihan. 6

1. Suatu batang berpenampang persegi panjang

30mm x 20mm, dibebani tekuk seperti gambar.

Panjang batang 2 m, E = 200 Gpa.

hitunglah tegangan tekuknya.

2. Suatu batang berpenampang persegi

dibebani tekuk seperti gambar.

E = 2.109 psi. hitunglah tegangan tekuknya.

56

A B

P

A B

PP Cos αP Sin α

BAB. VII

TEGANGAN BEBAN GABUNGAN

1. Beban tekan dan lengkung/bending

P1 a P2

A B

+P2.a Wb

A B -P2.a Wb

-P1 -P1

A A

+P2. a - P1 -P2.a – P1 Wb A

Wb A

Jadi Tegangan di A = +P2 - P1 dan Tegangan di B = -P2.a –

P1

Wb A Wb A

2. Beban tidak sejajar sumbu batang

57

a

Teg. A = P.Cos α + P Sin α. a A

Wb

Teg. B = P.Cos α - P

A B

P

A B

P

P Cos α P Sin α Teg. A = - P.Cos α + P Sin α. a A Wb

Teg. B = - P.Cos α - P Sin α. a A Wb

h

b

AAB

CD

P2

P2

a1

a2

a

Da

Dalam hal terakhir, perlu diperiksa terhadap tegangan tekuk

yang diijinkan, yaitu

P1 = Beban tekuk yang diijinkan

Pada bahaya tekuk maka σtk + σb ≤ 1 σtk = P.Cos αdan σb = P Sin α. a σtk σb

A Wb

3. Lengkung berganda

P1 menyebabkan momen lengkung terhadap ABCD yaitu Mb1 = P1.a1.

Tegangan bengkok/bending (σb1) = Mb1/Wb1 = P1.a1

1/6.b.h2

σb1 adalah tegangan tarik pada AB dan tegangan tekan pada CD

58

P1 P1

AB

CD

σtk =P1

a1

a2

P1

P2P

a/2

P1

P2

P1

a/2

P2 menyebabkan momen lengkung terhadap ABCD yaitu Mb2 = P2.a2

Tegangan bengkok/bending (σb2) = Mb2/Wb2 = P2.a2

1/6.h.b2

σb2 adalah tegangan tarik pada AD dan tegangan tekan pada BC

Dititik A dari penampang ABCD, kedua momen tersebut

menyebabkan tegangan tarik maksimum sehingga didapat σbA = σb1 +

σb2. Sedangkan dititik C, kedua momen tersebut menyebabkab

tegangan tekan maksimum sehingga didapat σbC = - σb1 - σb2.

4. Lengkung dengan puntiran

σb = tegangan bengkok ijin, σb = tegangan bengkok yang terjadi,σb = σb, vv = faktor keamanan (safety factor)

5. Tarik atau tekan dengan puntiran

59

Pada penampang yang diarsir terjadi Momen bengkok Mb = P1 x a1 dan Momen puntir Mpt = P x a2

Akibat adanya dua momen ini, maka terjadi apa yang disebut dengan Momen Bengkok Ideal Mi = √ Mb

2 + Mpt2

(Rumus Guest untuk bahan yang liat)

Bahwa peristiwa yang menimbulkan momen lengkung akan terdapat

tegangan lengkung dan tegangan tersebut juga merupakan

tegangan tarik atau tekan. Maka pada peristiwa tarik/tekan

dengan puntiran dapat dipakai rumus peristiwa lengkung dan

puntiran yaitu Mi (momen ideal). Adanya momen ideal dapat

dicari tegangan ideal yaitu : σi = Mi / Wb = √ Mb2 + Mpt

2

σi2 = Mb

2 + Mpt2 untuk penampang bulat Wb = ½ Mpt

Wb

Wb2 Wb

2

σi2 = Mb

2 + Mpt2 = σb

2 + 4 σpt2 …….. jadi σi = √ σb

2 + 4 σpt2

Wb2 ¼ Wpt

2

Oleh karena tegangan lengkung sama dengan tegangan tarik atau

tekan, maka untuk peristiwa tarik atau tekan dengan puntir

diperoleh : jadi σi = √ σt2 + 4 σpt

2

σt = P2/A

σpt = Mpt = P1. a

Wpt 0,2.d3

Pada peristiwa tekan dengan puntir untuk bahan getas

σi = μ – 1. σt + μ + 1. √ σt2 + 4 σpt

2

2. μ 2. μ

μ = koefesien kontraksi, untuk bahan dari baja μ – 1. = 0,35dan μ + 1. = 0,65 2. μ

2. μContoh soal tegangan gabungan.

1. Bila pada gambar diketahui :

P1 = P2 = 6000 kg

a = 10 cm 60

a P2P1

A B

Penampang dari tiang adalah segi panjang dengan sisi – sisi 10

cm dan 6 cm. Maka tegangan maksimumnya dapat kita cari sebagai

berikut :

Penyelesaian :

Tegangan di A = σa = +P2.a - P1Wb A

Dalam hal ini :

A = 10 x 6 = 60 cm2

Wb = 1/6 x lebar x tinggi kwadrat.

Wb = 1/6 x 10 x 62 = 60 cm3

Jadi σa = 6000 x10 - 6000 = 900 kg/cm2

60 60

σa = 900 kg / cm2

Tegangan di titik B : σB = - P2.a - P1Wb A

= - 6000 x 10 - 60

= - 1100 kg / cm2

Jadi tegangan maksimum adalah suatu tegangan tekan sebesar

1100 kg / cm2 , sedangkan tegangan tarik maksimum adalah 900 kg

/ cm2.

Latihan. 7

1. Suatu plat seperti gambar disamping, dibebani tarik.

Tentukan distribusi tegangan pada penampang A-A.

2. Suatu konstruksi seperti gambar dibawah ini.

Tentukan tegangan di titik A dan B

61

40kN

A A

1010

B E F D

30 30

3. Kait baja yang ukurannya terlihat pada gambar, memikul beban

kebawah sebesar 71,2 kN

Tentukan tegangan maksimum dalam pengait ini.

150 mm

71,2 kN

50 mm

150 mm

62

40kN

XC 6

DAFTAR PUSTAKA

A. Nash, B., Sturgess, C.E.N., 1972. Theoy and Problem ofStrength of Material, Schaum’s Outline series, McGraw-HillInternational Book Company, Singapore.

Hearn, E.J., 1985, Mechanical of Material, Second Edition, Volume1; 2, UK: Pergamon

Press Limited.

Khurmi, R.S., 1984, Strength of Materials, New Delhi: S. Chand &Company Ltd.

Mott, R.L., 1985, Machine Elements in Mechanical Design, Charles E.Merrill Publishing

Compan, Columbus, Ohio, USA.

Popov, E.P., Nagarajan, S., Lu, Z.A., Tanisan Zainul

63

Astamar, Z., Mekanika Teknik,Edisi kedua (versi SI), Penerbit Erlangga, Jakarta, 1994.

Ress, D.W.A., 1922, the Mechanic of Solid and Structures, Singapore:McGraw-Hil Book

Company.

Singer, F.L., Sebayang, D., Kekuatan Bahan, PenerbitErlangga, Edisi3, Jakarta, 1985.

Timoshenko, S., Strength of Material,Part 1 Elementry,Third Edition, Robert E. Kriager

Publishing Company, Huntington, New York, 1976.

Timoshenko, S., Strength of Material,Part 2 Advanced,Third Edition, Robert E. Kriager

Publishing Company, Huntington, New York, 1976b.

64