October 20, 2022

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Bab 3

October 20, 2022

Peta Konsep

Tiga Variabe

l

Dua Variabel

Linear-Kuadrat

Kuadrat-Kuadrat

terdiri atas

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Non-linear

terdiri atas

Sistem Persamaanterdiri atas

Prasyarat1. Di SMP, kalian telah mempelajari sistem persamaan linear dua variabel dan cara menyelesaikannya. Coba tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.

2. Tentukan penyelesaian dari x2 – 6x + 5 = 0.

October 20, 2022

October 20, 2022

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel• Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua

persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal dengan sistem persamaan linear dua variabel.

• Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ditulis:

a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan real, a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan a2, b2 tidak bersama-sama nol.

October 20, 2022

•Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV disebut

homogen, sedangkan jika c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka SPLDV itu dikatakan non-homogen. Misalnya:

x – 2y = 0

2x + y = 0

2x – y = 4

2x + y = 0

... SPLDV homogen

... SPLDV tidak homogen

October 20, 2022

Jika x = x0 dan y = y0 atau dalam pasangan terurut dapat dituliskan (x0, y0) memenuhi sistem persamaan di atas, berlaku hubungan

a1x0 + b1y0 = c1 a2x0 + b2y0 = c2

Pasangan terurut (x0, y0) disebut penyelesaian SPLDV itu dan himpunan yang beranggotakan penyelesaian SPLDV itu disebut himpunan penyelesaian.

Secara geometri, penyelesaian SPLDV dapat ditafsirkan sebagai titik potong antara garis lurus:

g1 : a1x + b1y = c1

g2 : a2x + b2y = c2

October 20, 2022

1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik• Perhatikan sistem persamaan berikut.

x + y = 5 …(i)x – y = 1 …(ii)Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang Cartesius. Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu Y.(i) (ii)

Diperoleh titik potong:garis (i) : (0, 5) dan (5, 0)garis (ii): (0, -1) dan (1, 0)

x 0 5y 5 0

x 0 1y -1 0

October 20, 2022

Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua garis, yaitu P(3, 2) yang merupakan penyelesaian dari persamaan (i) dan (ii).

October 20, 2022

Secara umum, langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah sebagai berikut.

– Gambarlah grafik masing-masing persamaan.

– Tentukan titik potong kedua grafik itu. Titik potong ini merupakan penyelesaian SPLDV.

October 20, 2022

Perlu kalian ketahui bahwa posisi (kedudukan) antarakedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau berimpit)menentukan penyelesaian SPLDV. Perhatikan gambar di bawah ini.

October 20, 2022

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:x + y = 3x – y = 1Jawab:Gambar grafik kedua garis (menentukan titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu Y)

g1 : x + y = 3 g2 : x – y = 1x 0y 0(x, y)

x 0y 0(x, y)

31

-13

(0, 3)(3, 0) (0, -1)(0, 1)

October 20, 2022

Perhatikan gambar berikut.

Dengan memperhatikan grafik di atas, tampak bahwa himpunan penyelesaian sistem persamaan itu adalah {(2, 1)}.

October 20, 2022

2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode SubstitusiMisalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.

x – y = 3x + 2y = 15

SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode substitusi.

• Dari persamaan x – y = 3 diperoleh y = x – 3• Substitusikan ke x + 2y = 15

diperoleh:x + 2y = 15x + 2(x – 3) = 15 x + 2x – 6 = 15 3x = 21 x = 7

Substitusikan x = 7 ke y = x – 3, diperoleh:y = x – 3 y = 7 – 3 y = 4

Jadi, penyelesaian SPLDV di atas adalah x = 7 dan y = 4.

October 20, 2022

Secara umum, langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara ini adalah sebagai berikut:– Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah persamaan yang sederhana jika ada), kemudian nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke dalam variabel persamaan yang lain.

– Substitusikan persamaan itu ke persamaan yang lain.

October 20, 2022

3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode EliminasiPerhatikan sistem persamaan berikut:x – y = 3x + 2y = 15Langkah-langkah penyelesaian:– Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk menentukan variabel y.x – y = 3x + 2y = 15 –3y = –12 y = 4

October 20, 2022

– Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y.x – y = 3 × 2 2x – 2y = 6x + 2y = 15 × 1 x + 2y = 15

+ 3x = 21

x = 7

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7, 4)}.

October 20, 2022

Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode eliminasi dan substitusi (metode campuran).

Contoh :Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut.2x – 3y = 132x + 4y = 6Jawab:Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y.2x – 3y = 13 × 4 8x – 12y = 522x + 4y = 6 × 3 6x + 12y = 18 +14x = 70 x = 5

3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Campuran

October 20, 2022

Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke dalam salah satu persamaan semula (boleh dipilih persamaan yang pertama atau kedua).

Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13 sehingga diperoleh

2(5) – 3y = 13

–3y = 3

y = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, –1)}.

October 20, 2022

4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear yangDapat Diubah ke Bentuk SPLDVMisalkan diberikan sistem persamaan berikut:

Apakah sistem persamaan di atas termasuk SPLDV? Tentu tidak.Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut?Caranya adalah, ubahlah menjadi bentuk SPLDV.

532

yx

156

yx

October 20, 2022

Misalkan sehingga diperoleh sistem persamaan berikut:

Diperoleh sistem persamaan linear:2a + 3b = 56a – 5b = 1Bentuknya adalah SPLDV dengan variabel a dan b.Coba selesaikan SPLDV tersebut! Kemudian, nilai a dan b disubstistusikan ke pemisalan semula.

yb

xa 1 dan 1

532513.12.532 ba

yxyx

15611516.156 ba

yxyx

October 20, 2022

B. Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri

atas tiga persamaan dengan tiga variabel.SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,dan d3 bilangan-bilangan real. Variabelnya x, y, dan z.

October 20, 2022

Jika x = x0, y = y0, dan z = z0 memenuhi sistem persamaan di atas maka berlaku hubungan berikut.a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1

a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2

a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3

Pasangan berurutan (x0, y0, z0) disebut penyelesaian

dari sistem persamaan. Himpunan yang beranggotakan penyelesaian sistem persamaan itu, yaitu {(x0, y0, z0)}, disebut himpunan penyelesaian.

October 20, 2022

1. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode SubstitusiPerhatikan SPLTV berikut.4x + 3y + z = 21 ................................................... (1)2x + y + 2z = 15 ................................................... (2)3x + 2y – 3z = 0 ................................................... (3)SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperolehz = 21 – 4x – 3y. Substitusi z = 21 – 4x – 3y ke persamaan (2) dan (3).

October 20, 2022

Substitusi ke persamaan (2): 2x + y + 2z = 15

2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15 2x + y + 42 – 8x – 6y = 15 –6x – 5y = –27 .................................................. (4)

Substitusi ke persamaan (3): 3x + 2y – 3z = 0

3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0 3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0 15x + 11y = 63 ................................................... (5)

October 20, 2022

5627

xy

635627-11 15

xx

Dengan mengubah persamaan (4) menjadi ,

Kemudian disubstitusikan ke persamaan (5) maka diperoleh:

Kemudian, substitusikan x = 2 ke persamaan (4) yang telah diubah.

63566

5297 15

xx

315 66 – 297 75 xx

18 9 x297-315 9 x

2 x

October 20, 2022

Sehingga diperoleh

Nilai x = 2 dan y = 3 disubstitusikan ke persamaan (3) sehingga diperoleh3x + 2y – 3z = 0 3(2) + 2(3) – 3z = 0 6 + 6 – 3z = 0 z = 4Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.

52627-

y

515

y 3 y

October 20, 2022

Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dalam variabel x, y, dan z dengan metode substitusi:1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke dalam dua persamaan

yang lain sehingga diperoleh SPLDV.3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua.

October 20, 2022

2. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode EliminasiPrinsip utama metode eliminasi adalah menghilangkan variabel satu demi satu untuk memperoleh nilai variabel yang lain. Perhatikan langkah-langkah berikut.– Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV.

– Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah pertama.

– Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah kedua ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

October 20, 2022

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan metode eliminasi.x – 3y + z = –15x + y – z = 58x – 6y – z = 1Jawab:x – 3y + z = –1.................................................... (1)5x + 5y – z = 5 ................................................... (2)8x – 6y – z = 1 ................................................... (3)Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), diperoleh persamaan (4).x – 3y + z = –15x + y – z = 5–––––––––––– +6x – 2y = 4 3x – y = 2 .................................... (4)

October 20, 2022

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), diperoleh persamaan (5).x – 3y + z = –18x – 6y – z = 1–––––––––––– +9x – 9y = 0 x – y = 0 ..................................... (5)Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV dan penyelesaian dari SPLDV ini adalah3x – y = 2x – y = 0–––––––– –2x = 2 x = 1

October 20, 2022

Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x3x – y = 2 × 1 3x – y = 2x – y = 0 × 3 3x – 3y = 0

–––––––––– – 2y = 2 y = 1

Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu variabel x atau y sehingga kalian memperoleh SPLDV yang mengandung variabel z. Sehingga akan memperoleh z = 1.Dengan demikian, himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.

October 20, 2022

Sistem persamaany = 2 – xy = x2 – 3x + 2merupakan sebuah contoh sistem persamaan linear dan kuadrat.

Secara umum dapat dikatakan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing mempunyai dua variabel.

C. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

October 20, 2022

• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisitSuatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y).Bentuk umum:y = ax + b ………......... (bagian linear)y = px2 + qx + r ……..…(bagian kuadrat)

• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisitPersamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.ax + by + c = 0 ……..............................…. (bagian linear)px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0 ...........… (bagian kuadrat)

October 20, 2022

Langkah-langkah menyelesaikan SPLK adalah sebagai berikut.Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.Langkah 2: Substitusikan x atau y yang diperoleh dari langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh disubstitusikan ke persamaan linear.

October 20, 2022

Banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.a.Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesaian

berbeda (garis memotong kurva di dua titik berlainan).

b.Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu penyelesaian (garis menyinggung kurva).

c.Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian (garis tidak menyinggung kurva).

Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

October 20, 2022

October 20, 2022

Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan y = ax + b, berlaku sebagai berikut.• Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.

• Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai 1 penyelesaian), berarti D = 0.

• Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai penyelesaian), berarti D < 0.

October 20, 2022

Contoh:Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian sketsalah tafsiran geometrisnya.y = 2 – xy = x2 – 3x + 2Jawab:Substitusi y = 2 – x ke persamaan y = x2 – 3x + 2 sehingga

2 – x = x2 – 3x + 2 x2 – 3x + x + 2 – 2 = 0 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 atau x = 2

Nilai x = 0 atau x = 2 disubstitusikan ke y = 2 – x.Untuk x = 0 maka y = 2 – 0 = 2, diperoleh (0, 2).Untuk x = 2 maka y = 2 – 2 = 0, diperoleh (2, 0).Jadi, himpunan penyelesaiannya {(0, 2), (2, 0)}.

October 20, 2022

Tafsiran geometrisnya berupa dua buah titik potong antara garis lurus dan parabola, yaitu (0, 2) dan (2, 0) seperti tampak pada gambar di bawah.

October 20, 2022

D. Sistem Persamaan Kuadrat dan KuadratSistem persamaan kuadrat dan kuadrat (SPKK)

terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.

dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

y = ax2 + bx + c ............... (bagian kuadrat pertama)y = px2 + qx + r ................ (bagian kuadrat kedua)

October 20, 2022

Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut.y = x2 ..................... (1)y = x2 – 2x ............. (2)Substitusi persamaan (1) kepersamaan (2), diperoleh x2 = x2 – 2x 2x = 0 x = 0Untuk x = 0 maka dengan mudah diperoleh y = 0.Jadi, himpunan penyelesaian SPKK tersebut adalah {(0, 0)}.Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas adalah titik potong antara kurva y = x2 dan y = x2 – 2x seperti pada gambar di atas.

October 20, 2022

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK

dilakukan langkah-langkahsebagai berikut.Langkah 1: Substitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat.Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah pertama.Langkah 3: Substitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau kedua (pilih yang lebih sederhana).

October 20, 2022

Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua. Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai diskriminannya. Jika D > 0, SPKK mempunyai dua penyelesaian

(parabola berpotongan di dua titik). Jika D = 0, SPKK mempunyai satu penyelesaian

(parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan). Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

October 20, 2022

Misalkan D adalah diskriminan persamaan kuadrat dari y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r. Penyelesaian SPKK dapat digambarkan pada Gambar (a), (b), dan (c).

October 20, 2022

October 20, 2022

Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.Misalkan diketahui SPKK:y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real. Banyak penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.• Jika a – p = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu penyelesaian.• Jika a – p ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua penyelesaian.• Jika a – p ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu penyelesaian.• Jika a – p ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki penyelesaian.

October 20, 2022

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrisnya.y = x2y = 2x2 – 3xJawab:Substitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x diperoleh

x2 = 2x2 – 3x x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3Substitusi x = 0 atau x = 3 ke y = x2.Untuk x = 0, y = (0)2 = 0 sehingga diperoleh titik (0, 0).Untuk x = 2, y = (3)2 = 9 sehingga diperoleh titik (3, 9).Jadi, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3,

9)}.

October 20, 2022

Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK di

atas secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat

titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola

y = 2x2 – 3x. Perhatikan gambar berikut.

October 20, 2022

E. Merancang Model Matematika yangBerkaitan dengan Sistem Persamaan

Langkah-langkah:- Identifikasi masalah yang akan diselesaikan, yang merupakan sebuah sistem persamaan.

- Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.- Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari suatu masalah.- Tentukan penyelesaian model matematika sistem persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.- Tafsirkan hasil sesuai dengan permasalahannya.

October 20, 2022

Contoh:Harga 4 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp19.500,00. Harga 2 buku tulis dan 4 pensil adalah Rp16.000,00.Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil.Jawab:Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 4x + 3y = 19.500Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 2x + 4y = 16.000Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel4x + 3y = 19.500 …………………… (i)2x + 4y = 16.000 x + 2y = 8.000 ……(ii)

October 20, 2022

Penyelesaiannya adalah sebagai berikut.Mengeliminasi variabel x:4x + 3y = 19.500 × 1 4x + 3y = 19.500 x + 2y = 8.000 × 4 4x + 8y = 32.000

–5y = –12.500 y = 2.500

Mengeliminasi variabel y:4x + 3y = 19.500 × 2 8x + 6y = 39.000 x + 2y = 8.000 × 3 3x + 6y = 24.000

5x = 15.000 x = 3.000Penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500.Dengan demikian, harga sebuah buku tulis Rp3.000,00 dan harga sebuah bolpoin Rp2.500,00.

-

-