bài tập có lời giải toán kĩ thuật..
50
A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 1: Cho hàm biến phức , tính . Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 2: Cho hàm biến phức , tính . Bài giải: Ta có: Vậy: Câu 3: Cho hàm biến phức , thoả mãn và . Bài giải: 1
Transcript of bài tập có lời giải toán kĩ thuật..
A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu 1:
Cho hàm biến phức, tính .
Bài giải:
Ta có: Vậy:
Câu 2: Cho hàm biến phức ,
tính .
Bài giải:
Ta có: Vậy:
Câu 3:
Cho hàm biến phức , thoả mãn và .
Bài giải:
1
Từ:
mà Vậy:
Câu 4:
Tìm biến đổi Laplace F(s) =L {tsin3t}. Bài giải:
Áp dụng:
Ta có:
Vậy:
Câu 5:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {e-
2tcos22tsin3t}.
Bài giải:
Ta có:
2
Vậy:
Câu 6:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L{e-4tsin23t}.
Bài giải:
Ta có:
Câu 7:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L{ t3e-2t}.
Bài giải:
3
Ta có:
Câu 8:
Tìm biến đổi Laplace F(s) = L {(4cos3t – 5sin2t)ch2t}.
Bài giải:
Ta có:
Câu 9:
Tính
.
Bài giải:
Ta có:
4
Câu 10:
Tính
.
Bài giải:
Ta có:
Câu 11: Sử dụng hàm Gamma tính tích phân .
Bài giải:
Đặt 2x = t; dx = 1/2dt.
Ta có:
Câu12:
5
Cho x(t) = 2t, 0 t 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm cos
Bài giải:
Ta có:
Câu 13:
Cho x(t) = 2t, 0 t 2. Tìm khai triển Fourier của x(t) theo các hàm sin
Bài giải:
Ta có:
Câu 14:
Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3nu(n).
Bài giải:
Ta có: , z
e-3
Vậy: , z e-3
Câu 15: 6
Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu sau: x(n) = e-3(n -1)u(n).
Bài giải:
Ta có:
, z e-3
Vậy: , z e-3
Câu 16: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau:x(n) = 5-nu(n).
Bài giải:
Ta có:
Câu 17: Tìm biến đổi Fourier của dãy tín hiệu sau: x(n) =2-n +1u(n).
Bài giải:
Ta có:
7
B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z ), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thực U(x,y) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y, với z =
x + iy. Bài giải:Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
Ta có:
Từ (2) và (4) suy ra V(x,y) = 2xy + 3e-2ysin2x.-3x + C f(z) = x2 – y2 + 3e-2ycos2x + 3y +i2xy + i3e-2ysin2x-i3x
+Ci
Câu 2:
Tìm hàm phức giải tích f (z) (viết công thức theoz ), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần ảo
, với z
= x + iy.
8
Bài giải:
Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
với z = x + iy.Có thể tiếp tục như câu 1…
Câu 3: Tìm hàm phức khả vi f (z) (viết công thức theo z = x + iy), biết rằng
f(z) = U(x,y) + iV(x,y) có phần thựcU(x,y) = e-x (xcos y + ysin y) và F(0) = i.
Bài giải:Ta có: Để hàm f(z) là hàm phức khả vi ta phải có:
với z = x + iy.Có thể tiếp tục như câu 1…
Câu 4:
9
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích
phân:
Bài giải:
Ta có:
Vậy:
Câu 5: Sử dụng hàm số Bêta hãy
tính tích phân: .
Bài giải:
Ta có:
10
Vậy:
Câu 6:
Sử dụng hàm số Bêta hãy tính tích phân:
.
Bài giải:
Ta có:
Vậy:
11
Vậy:
Câu 7: a) Chứng minh rằng
.
b) Tính . Bài giải:
a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
Đây là điều phải chứng minh.b. Ta có:
12
Câu 8:
a) Chứng minh rằng.
b) Tính .
Bài giải:
a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
Đây là điều phải chứng minh.
b. Ta có:
Câu 9:
a) Chứng minh rằng.
b) Tính .
Bài giải:
a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho -x ta được:
13
Đây là điều phải chứng minh.
b. Ta có:
Câu 10: Tìm biến đổi Fourier
của
Bài giải:
Ta có:
Câu 11: Tìm biến đổi Fourier của các hàm số x(t) = (t)cos 3t.
Bài giải:
Ta có: (1)
14
(2)Như vậy từ (1) và (2) áp dụng vào hàm x(t) = (t)cos 3tTa có:
(3)
Đặt:
Thay (4), (5) vào (3) ta được
Trong đó vì:
Câu 12:
a) Chứng tỏ rằng là nghiệm tổng quát
của phương trình , trong đó G, H là hai hàm khả vi
liên tục đến cấp 2.b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện z(x, 0) = x2, z(1, y) = cos y.
Bài giải:
a. Do G, H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2 nên ta có:
15
là nghiệm tổng quát của phương trình , trong đó G,
H là hai hàm khả vi liên tục đến cấp 2.b. Ta có:
mà nên suy ra:
(*)
Ta có:
mà nên suy ra:
(1)
Thay (1) vào (*) ta được:
Hay
Là nghiệm của phương trình
Câu 13:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình , biết
rằng phương trình có một nghiệm riêng dạng u = kxe2x + y, k làmột hằng số.
Bài giải:
16
Từ nghiệm riêng u = kxe2x + y ta có:
(1)
(2)
Thay (1) vào (2) vào phương trình:
ta được :
Vậy là nghiệm tổng quát cần tìm.
Câu 14:
Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N(;2). Đặt y(t) = Xe-t, t 0.Hãy tìm hàm trung bình và hàm tự tương quan của quá trình y(t), t 0.
Bài giải:
-Ta có hàm trung bình: .
( là tham số, có thể chọn =0,…,n).-Ta có hàm tự tương quan:
.
Câu 15:
17
Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình 4 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian.Hãy tính P{X(1) = 2} và P{X(1) = 2, X(3) = 6}.
Bài giải:
Ta có
Vậy Ta có
Vậy
Câu 16:
Số cuộc gọi đến tổng đài là quá trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình 3 cuộc gọi trong một đơn vị thời gian. Hãy tính P{X(1) = 2 X(3) = 6} và P{X(3) = 6 X(1) = 2}.
Bàigiải:
18
-Ta có
Vậy
-Ta có
Vậy
Câu 17:
Cho X(t), t ≥ 0 là quá trình Poisson với cường độ =3. hãy tính:
P{X(1) 2}, P{X(1),X(2) = 3}.
Bài giải:
-Ta có
-Ta có
Vậy
19
C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1:
Tính tích phân phức , trong
hai trường hợp sau:a) C là đường tròn z = 5/12.b) C là đường tròn z = 1.
Bài giải:
Ta có hàm: có là 2 cực điểm đơn và
là cực điểm kép.a) Khi C là đường tròn z = 5/12 thì trong C đã cho có cực điểm kép
Áp dụng lý thuyết thặng dư:
20
b) Khi C là đường tròn z = 1 thì trong C đã cho có là 2 cực điểm đơn và là cực điểm kép.
Ta có:
Ta có:
Vậy Hay
Câu 2:
21
Bằng cách đưa về tích phân phức hãy tính
tích phân
Bài giải:
Đặt z = eix thì và
Ta có:
Hàm số có 2 cực điểm đơn và và z = 0 thuộc đường tròn đơn vị C
Ta có:
Ta có:
Vậy Hay
Câu 3: Tính tích phân phức , trong hai trường hợp sau:
c) C là đường tròn z = 1/2.
22
d) C là đường tròn z = 3/2.
Bài giải:
Xét hàm: có là cực điểm đơn và là cực điểm kép.
Ta có
Ta có
a) Khi C là đường tròn z = 1/2 thì trong C đã cho có cực điểm
b) Khi C là đường tròn z = 3/2 thì trong C đã cho có 2cực điểm z = 1và .
23
Câu 4: Tìm biến đổi Laplace ngược
Bài giải:
Hàm ảnh:
Có các cực điểm đơn là: -1; -3; -2-i; -2+i
; ; ;
Câu 5: Tìm biến đổi Laplace ngược
Bài giải:
Hàm ảnh:
Có các cực điểm đơn là:
24
; ;
;
Câu 6:
Tìm biến đổi Laplace ngược
Bài giải:
Ta có
Xét:
Xét: ta có hàm ảnh
25
Có các cực điểm đơn là: ;
Xét: ta có hàm ảnh
Có các cực điểm đơn là: ;
Vậy ta có:
26
Câu 7:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’’(t) – y(t) = et, thoảmãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0.
Bài giải:
Đặt
Ta có
Suy ra phương trình ảnh:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
Câu 8:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’(t) – 4y’(t) +5y(t) = 25(t2 + 1), thoả mãn điều kiện đầu: y(0) = y’(0) = 0.
Bài giải:
Ta có :
đặt Y(s)=L{y(t)} - L{y(t)}= s2Y(s)
-L{y’(t)}= sY(s)27
Từ phương trình vi phân đã cho ta có:
Như vậy hàm Y(s) có hai điểm cực đơn: s=2-i và s=2+i và điểm cực kép bậc 3 s=0
Tính:
Vậy nghiệm của phương trình vi phân đã cho :
28
Câu 9:
Tìm biến đổi Z ngược của hàm giải tích:
trong miền .
Bài giải:
Ta có:
Câu 10: Tìm biến đổi Fourier ngược
.
Bài giải:
Ta có:
Áp dụng quy tắc từng phần ,ta đặt:
29
Ta tiếp tục tính ,ta cũng áp dụng cách tính từng phần,ta đặt:
Câu 11: Tìm biến đổi Fourier của
hàm số .
Bài giải:
30
Biến đổi Fourier của hàm số x(t) là
(1)
Đặt
Thay vào (1) ta được
Vậy (Áp dụng bài tập 2.37.c)
Câu 12:
Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình u = 0 phía trong hình tròn tâm O bán kính bằng 2, biết rằng trên đường tròn S tâm O bán kính bằng 2 thỏa mãn:
uS = x2 – xy2 + 2.
Giải :
Đặt
từ điều kiện uS = x2 – xy2 + 2.ta có :
So sánh hai vế của ta có :
31
Câu 13:
a) Chứng minh rằng u(x, t) = F(2x + 5t) + G(2x – 5t) là một nghiệm tổng quát của phương trình
.
b) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện
Giải:
a- Giả sử : F(2x+5t)=(2x+5t)2; G(2x+5t)=(2x-5t)2.
Vậy u(x, t) = F(2x + 5t) + G(2x – 5t
là nghiệm tổng quát của phương trình .
b- Ta có : .
32
gọi :
Câu 14:
Cho X(t),t ≥ 0 là quá trình Poisson với cườngđộ = 3. Hãy tính:
EX(2), EX2(1), E[X(1).X(2)].
Giải:
X(t) là quá trình Poisson tham số =3.Theo công thức ta có :X(t)~P( t) thì E[X(t)]= t + X(2) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số 6 dođó E[X(2)]=6 + X(1) là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số =3 do đó : E[X(1).X(2)] = E[X(1){X(3)-X(1)}] = E[X(1).E[X(3)-X(1)] = E[X(1)].E[X(3)]-E[X(1)].E[X(1)]=3.3.3- =18 Câu 15:
33
Khách tới một bưu cục theo quá trình Poisson với cường độ 10người một giờ. Khách có thể yêu cầu phục vụ với xác suất p = 0,6 và không yêu cầu phục vụ với xác suất q = 0,4. Tính xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trongsố đó 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầuphục vụ.
Giải :
Gọi X(t) là số khách hàng tới cửa hàng trong khoảng thời gian t, theo giả thiết X(t) là quá trình Poisson tham số =10 .Gọi X1(t) là số khách hàng tới cửa hàng có nhu cầu phục vụ trong thời gian t thì là quá trình Poisson tham số 1 = p= 10x0,6 = 6Gọi X2(t) là số khách hàng tới cửa hàng không nhu cầu phục vụ trong thời gian t thì là quá trình Poisson tham số 2 =q = 10x0,4 = 4
Vậy xác suất để trong giờ đầu tiên có 8 người vào cửa hàng trong đó có 3 người có nhu cầu phục vụ và 5 người không có nhu cầu phục vụ là:
34
Câu 16:
Số cuộc gọi đến một tổng đài là một quá trình Poisson {X(t),t ≥ 0} với tham số = 5 (trung bình có 5 cuộc gọi trong 1 phút). Gọi Sn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến liên tiếp thứ n. Hãy tính ES4 và E[X(4) – X(2)X(1) = 3].
Giải:
Áp dụng định lý và công thức đối với các biến ngẫu nhiên
S(n) có phân bố mũ tham số do đó ta có : E[S(4)]=
=0,2Do X(4)-X(2) và X(1) độc lập do đó :E[X(4)-X(2)/X(1)=3]=E[X(4)-X(2)]=4-2=2 =2.5=10 Câu 17:
Hãy tính các số đo hiệu năng: L, Lq; W, Wq của hàng M / M / 2 với = 14, = 10.
Giải:
Với k=2 ,ta có: +
35
D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM
Câu 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
36
R2
E
i1R1
i2
i
CL
Biết điện trở R1 = 10, R2 = 30, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 8sin20t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t>0.
Câu 2:
a) Chứng tỏ rằng biến đổi Laplace củaf(t) = cos10t + 2sin10t – e-10t(cos10t + 3sin10t)
là F(s) = L {f(t)} =
b) Cho mạch điện như hình vẽ: Biết điện trở R1 = R2 = 10, tụ điện C có điện dung 0,01F, cuộn dây L có độ từ cảm 1H và suất điện động E = 50sin10t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ của dòng điện qua tụ điện C tại thời điểm t>0.
Câu 3: Cho mạch điện như hình vẽ:
37
R2
E
i1R1
i2
i
CL
Biết điện trở R1 = R2 = 10, R = 30, cuộn dây L có độ từ cảm 3,5H, suất điện động E = 203sin 2t(Volt). Đóng mạch tại thời điểm t=0. Hãy tìm cường độ i1(t), i2(t) của dòng điện tại thời điểm t >0.
Câu 4:
Cho hệ phương trình vi phân thoả mãn điều kiện
đầux(0) = 2, y(0) = -3, z(0) = 1. Tìm nghiệm x(t), y(t), z(t).
Giải :
Hệ phương trình :
Từ (1) , (2) và (3) ta có : (I)
Đặt X(s)=L {x(t) ; Y(s)=L {y(t) ; Z(s)=L {z(t)
L {x(t) = sX-2
38
R2
E
R1
LR
L {y(t) = sY+3 thay vào hệ phương trình (I)
L {z(t) = sZ-1
Giải hệ phương trình ảnh ta có nghiệm:
Câu 5:
Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng utt = 4(uxx + uyy + uzz
)
thoả mãn điều kiện
Câu 6: Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau:
a. b.
Câu 7:
Giải bài toán Cauchy utt = k2(uxx + uyy) thoả mãn điều kiện đầu
Câu 8:
a) Chứng minh rằng .
39
b) Tính tích phân không xác định . c) Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
, là các nghiệm dương của phương trình J(x) = 0
và hệ số Fourier ,
chứng tỏ rằng ;
trong đó k là nghiệm thực dương của phương trình J1() = 0.
Giải:
a-. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được: Đây là điều phải chứng minh.
b-Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n <
m thì :
Áp dụng công thức ta tính được:
c- Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức , biết :
là các nghiệm dương của phương trình J(x) = 0
40
và hệ số Fourier ,
chứng tỏ rằng ;
trong đó k là nghiệm thực dương của phương trình J1() = 0.
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
Ta tính :
(Thầy ơi không biết em làm sai ở chỗ nào mà em có kết quảkhông giống như đề bài cho)
Câu 9: a) Chứng minh rằng .
b) Tính tích phân không xác định . c) Áp dụng khai triển Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
,
41
trong đó k là các nghiệm dương của phương trình J(x) = 0
và hệ số Fourier ,
chứng tỏ rằng ; trong đó k là
nghiệm thực dương của phương trình J0() = 0.
Giải:
a. Ta có: (1) Nhân hai vế của (1) cho x ta được:
Đây là điều phải chứng minh.b. Ta có với mọi cặp số tự nhiên m, n thuộc Z, n < m
thì :
Áp dụng công thức ta tính được:
c- Triển khai Fourier-Bessel của hàm f(x),0 x 1 theo hàm J(x) theo công thức
, biết:k là các nghiệm dương của phương trình J(x) = 0
và hệ số Fourier ,
chứng tỏ rằng ; trong đó k là
nghiệm thực dương của phương trình J0() = 0.42
Ta áp dụng các công thức truy toán sau:
Ta tính :
(Thầy ơi không biết em làm sai ở chỗ nào mà em có kết quảkhông giống như đề bài cho)
Câu 10: a) Cho quá trình dừng có hàm tự tương
quan .Tìm mật độ phổ.
b) Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-
2nu(n).
Giải:
a- Tìm mật độ phổ: Ta áp dụng công thức:
b- Tìm biến đổi Z của các dãy tín hiệu x(n) = n3-2nu(n) :Ta có :
43
Câu 11:Cho là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trên đoạn [0, 2], R là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
Giả sử và R độc lập.a) Chứng minh rằng x(t) = Rcos(5t + )là một quá trình
dừng.b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan.c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
Giải:
Theo giả thiết R và độc lập,do đó:
44
nếu 0 r nếu 0
Vậy {x(t)} là quá trình dừng có hàm tự tương quan
Hàm trung bình : m(t)=E[x(t)]=0 (Đã tính được kết quả ở phầntrên)Ta có :
Vậy Quá trình x(t) là quá trình ergodic.Câu 12:
a) Cho x(t) là quá trình dừng với hàm tự tương quan, . Tìm mật độ phổ.
45
b) Cho quá trình dừng ergodic x(t) có mật độ phổ
Tìm hàm tự tương quan.
Giải:
a- Mật độ phổ của hàm x(t):Áp dụng công thức : P ( )=
b- Tìm hàm tự tương quan:Áp dụng công thức :
Câu 13:
a) Cho dãy tín hiệu rời rạc x(n) = a-nu(n), a 0.i) Tìm biến đổi Z của x(n)ii) Tìm biến đổi Fourier của x(n)iii) Tìm biến đổi Fourier của y(n) = nx(n)
b) Tìm biến đổi Fourier ngược của
Giải :
a- Tìm biến đổi :
+ Biến đổi Z của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là:
46
+ Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n)=a-nu(n) ,a>0 là:
+ Biến đổi Fourier của tín hiệu y(n)=na-nu(n) ,a>0 là: Ta có :
b-Tìm biến đổi Fourier ngược của
47
Câu 14:
Cho Z1 và Z2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suấtP{Z1 = -1} = P{Z1 = 1} = 1/2. Đặt x(t) = Z1 cos5t + Z2sin5t.
a) Chứng minh x(t) là quá trình dừng.b) Tìm hàm trung bình. Tìm hàm tự tương quan.c) Quá trình x(t) có phải là quá trình ergodic không?
Giải:
a- Chứng minh x(t) là quá trình dừng:
Do z1,z2 độc lập theo giả thiết đã cho nên
Vậy {x(t)} là quá trình dừng.b- Tìm hàm trung bình, hàm tự tương quan:
+ hàm tự tương quan : + Hàm trung bình:m(t)=
Câu 15:
Giả sử hệ thống sắp hàng có tốc độ đến = 12, tốc độ phục vụ = 14.
a) Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trung bình của hàng ở trạng thái cân bằng trong các trường hợp sau: M / M /1, M / D /1, M / E5/1.
b) Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng không vượt quá 3.
48
Giải:
a- Tìm trễ phục vụ trung bình của hệ thống và độ dài trungbình của hàng ở trạng thái cân bằng:
+ hàng M/M/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ có phân bố mũ tốc độ
+ hàng M/D/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ không đổi tốc độ
+ hàng M/E5/1:Quá trình đến Poisson với tốc độ đến , thời gian phục vụ ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố Erlang-k với tốc độ
49
b-Tìm k nhỏ nhất để độ dài trung bình của hàng không vượt quá 3
Độ dài trung bình của hàng M/Ek/1 là :
50
