Aula 01 – Teoria Geral dos Conjuntos é Principio Fundamental daContagem

Sobre conjuntosConjuntos são grupos formados por elementos.Exemplo: A = {a, e, i, o, u}Elementos são objetos que pertencem – ou não – a conjuntos.Exemplo:b Ba A

Representações de conjuntosConjuntos podem ser representados:• Por descrição;• Por enumeração;• Por diagramas de Venn.Veja os exemplos no slide em seguida.Exemplos:A {a, e, i, o, u}A {x | x é vogal}

Definições• Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos

elementos.• Chamamos de conjunto universo ao conjunto formado pela

totalidade dos elementos de umamesma categoria.• Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento.• Conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Representamos o

conjunto vazio por{ } ou .

SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, pode acontecer que todos os elementos

de A sejam também elementos de B. Nesse caso, dizemos que:• A está contido em B – A B• ou que B contém A - B AA é subconjunto de B.

Propriedades:1. Todo conjunto está contido em si mesmo;2. O conjunto vazio está contido em qualquerconjunto;

Se A é subconjunto de B, pode-se definirque:• Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjunto

que se chama complementar de A em relação a B e representaremos por: CBA;

• Os elementos de B que não pertencem a A formam um novo conjuntoque também podemos designar como sendo a diferença B – A.

Dados dois conjuntos quaisquer, definese:• União como sendo o conjunto formado por todos os elementos que

formam A e B;• Interseção como o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B.

Cardinal de um conjunto• Ao número de elementos de um conjunto A, chamaremos cardinal doconjunto A e representaremos por n(A).• Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Números naturais• Números naturais exprimem a idéia de quantidade e são

representados por símbolos especiais.• Operações: adição, subtração*, multiplicação, divisão*,

potenciação e radiciação* .

Conceitos importantes• Números primos: Um número natural é primo quando somente for divisível por ele mesmo e pelo número 1.• Número composto: É o número natural que admite divisão exata por mais de um número primo.• Decompor em fatores primos ou fatorar um número natural

significa escrever o númerodado por meio de um produto onde todos os fatores são números

primos.• Divisores de um número natural: são números naturais que dividem exatamente o número dado.• Par é todo natural divisível por 2. Ímpar são os naturais não

divisíveis por 2.

MMC e MDC• MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor entre os múltiplos de dois, ou mais, números naturais.

• MDC (máximo divisor comum) de um conjunto de números naturais como sendo o maior entre os divisores comuns dos números tomados.

Números inteiros• Números inteiros também exprimem a idéia de quantidade, mas vão

mais além disso, poisrelacionam a quantidade a um determinado referencial.• Chama-se de módulo ou valor absoluto de um número inteiro, a

distância entre essenúmero e a origem (o zero).• Propriedade: a, a >ou igual 0 a =

- a, a < 0Definição

• Números opostos ou simétricos: Dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando possuem o mesmo módulo.• Importante: todo número natural também é inteiro.

Números racionais• Um número é dito racional quando é da forma , P, p e q c Z, q diferente 0 Q

Particularidades em operações com frações (1)Para adicionar/subtrair dois números racionais na forma de fraçãoé necessário que se compreenda:

• Mínimo Múltiplo Comum;• Classes de equivalência;• Redução de frações ao mesmo denominador;

Particularidades em operações com frações (2)• Para multiplicar duas frações é necessário compreender que

multiplicar duas fraçõessignifica calcular “a fração de uma fração”.• Isto posto, a regra geral é: multiplicar numerador por

numerador e denominador pordenominador.

Particularidades em operações com frações (3)• Na divisão de duas frações, conserva-se a primeira e

multiplica-se pela segunda fraçãoinvertida.

Números reais• Chamamos de conjunto dos números reais à união do conjunto dos

números racionais com oconjunto dos números irracionais.

Propriedades da adição1) Comutativa: a + b = b + a2) Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)3) Elemento neutro – zero: a + 0 = a4) A soma de dois reais é sempre real5) Cancelamento: a = b <=> a + x = b + xObservação: numa expressão numérica, com adições e subtrações,

efetuamos as operações naordem em que aparecem (da esquerda para a direita).

Propriedades da multiplicação1) Comutativa: a * b = b * a2) Associativa: (a * b) * c = a * (b * c)3) Elemento neutro (1): a * 1 = a4) O produto de dois reais é sempre real5) Distributiva: a * (b + c) = a*b + a*c6) Cancelamento: a = b <=> a * x = b * x

Algoritmo da divisãoD = d*q + r, onde:D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r = resto.

Propriedades de potenciação

Propriedades de radiciação

Princípio Fundamental de contagemParte I:

• Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1 e existem m2 maneiras de tomar a decisão D2,sendo D1 e D2 decisões exclusivas, então o número de maneiras de tomara decisão D1 ouD2 é m1 + m2.Parte II:

• Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1 e para cada uma dessas maneiras, existem m2

maneiras de tomar a decisão D2, então o número de maneiras de tomar sucessivamente as decisões D1 e D2 é m1*m2.

Exercício 1

.(IEZZI, 1990) Sendo A = {1, 9, 8}, B = {1, 5, 0}, C = { 2, 4, 5, 6, 8}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):a) A = {x | x é algarismo de 1989}b) B = { x | x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto}c) C = { x | x é número par compreendido entre 0 e 10}

(IEZZI, 1990) Sendo A = {1, 9, 8}, B = {1, 5, 0}, C = { 2, 4, 5, 6, 8}, classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):a) A = {x | x é algarismo de 1989} => Vb) B = { x | x é algarismo do ano em que o Brasil foi descoberto} => Vc) C = { x | x é número par compreendido entre 0 e 10} => F

Exercício 2.(IEZZI, 1990) Sendo o conjunto universo o conjunto dos Estados do Brasil e sendo• A = {x|x é Estado onde a língua oficial é o alemão}• B = {x| x é Estado onde não existem praias}• C = {x| x é Estado banhado pelo Oceano Pacífico}

• D = {x| x é Estado cujo nome começa pela letra T}

Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso);• A é vazio• B é unitário• C é vazio• D é unitário

Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso);• A é vazio => V• B é unitário => F• C é vazio => V• D é unitário => VExercício 3(BIANCHINI e PACCOLA, 1989) – (PUC/CAMPINASSP) Numa comunidade constituída de 1800pessoas, há três programas de TV favoritos: Esportes (E), Novela (N) eHumorismo (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistema esses programas. Através desses dados, verifica-se o número de pessoasda comunidade que não assistem a qualquer dos três programas:a) 100b) 200c) 900d) os dados do problema estão incorretose) n. d. a.

Aula 02 - Fatoriais, Permutações, Combinações.

Análise Combinatória• É a parte da Matemática que estuda as técnicas de contagem de

agrupamentos que podem serformados com os elementos de um conjunto considerado.• Basicamente dois tipos de agrupamentos são formados: um que

leva em conta a ordem doselementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem é

irrelevante.

Análise Combinatória• Os diferentes tipos de agrupamentos que vamos estudar são: arranjos, permutações e combinações.• Para tanto, é preciso compreender o significado de fatorial.

Fatorial• Fatorial de um número é o produto dos números naturais deste

número até 1. Representa-se n!• Por exemplo: 4! = 4*3*2*1 = 24• Por definição: – 1! = 1 – 0! = 1

Permutação• Cham a-se permutação de n elementos todos os agrupamentos

possíveis formados pelos nelementos, ou seja, os agrupamentos diferem entre si apenas pela ordem em que são apresentados. Todos os elementos aparecem em todos os agrupamentos.• Por definição: Pn = n!

Veja o exemplo• Escrever as possíveis permutações das letras a, b, c:

– a b c– a c b– b a c– b c a– c a b– c b a

Arranjos• Arranjos simples de n elementos p a p são os diversos

agrupamentos possíveis compostos dep elementos, de modo que cada grupo difira dos outros pela ordem

ou pela natureza doselementos.• Para calcular arranjos simples basta fazer:

Combinações• Combinações de n elementos p a p são os diversos agrupamentos

possíveis compostos dep elementos, de modo que cada grupo difira dos outros pela

natureza dos elementos.• Para calcular combinações basta fazer:

Diferença entra arranjo e combinação

• Nos arranjos os agrupamentos diferem entre si pela natureza ou pela ordem dos elementos; nas

combinações diferem apenas pela natureza dos elementos. Logo, o número de arranjos é maior que o de combinações.

Combinação com repetição• Quando se calcula a combinação de elementos que podem aparecer repetidos nos agrupamentos, utiliza-se:

A respeito de Combinações• O número de combinações simples de n elementos tomados p a p é igual ao número de combinações simples de n elementos tomados (n – p) a (n – p). Chama-se isso de “taxascomplementares”• A partir das taxas complementares se constrói o Triângulo de

Pascal ou de Tartaglia cujaaplicação mais comum é a resolução de Binômios de Newton.

Triângulo de Pascal

Exercício 1• Calcule o valor de x em

Resolvendo

Exercício 2

• Para a seleção brasileira de futebol foram convocados 22 jogadores, os quais jogam emtodas as posições, exceto 2 deles, que só jogam no gol. De quantos modos se pode selecionar os11 titulares?

Resolvendo

Aula 3 - Relacoes e funcoes: conceitos, operacoes e propriedades. Somatorios, series e recorrencia.

Linguagem de funções• Par ordenado e um par de elementos tomados em uma ordem

definida – nesse caso, a “ordem”será determinada por uma relação matemática. • Serao observados três tipos de estruturas importantes:

– Produto cartesiano, – relações de equivalência, e– funções.

Produto cartesiano• Produto Cartesiano entre dois conjuntos A e B, (representado

por A x B), e o conjunto de todosos pares ordenados (a, b) em que o primeiro elemento – a – pertence ao conjunto A e o segundo – b – pertence ao conjunto B, ou seja,

Propriedaden(A x B) = n(A) * n(B)

Relações• As relacoes serao definidas em termos de pares ordenados de elementos (a, b), sendo “a” designado como o primeiro elemento (elemento do dominio da relacao) e “b” como o segundoelemento (elemento do contra-dominio da relacao).• Relacoes binarias sao subconjuntos do produto cartesiano.

Propriedades• Transitiva• Reflexiva• Simetria

Função• E toda relacao binaria onde todos os elementos do dominio

formam par e cada elemento formaum unico par.

Sequências numéricas• Uma sequencia de numeros reais e uma funcao a que associa a

cada numero natural n a umnumero real a(n), representado por an, que e chamado de n-ésimo

termo da sequencia.• Lembra-se da PA (progressao aritmetica) e da PG (progressao

geometrica) estudadas no ensinomedio? Sao exemplos de sequencias numericas.

Observação importante• Quando e necessario somar os elementos de uma sequencia, usa-se

o simbolo de somatorio Σ(e a letra grega sigma). Entao, costuma-se dizer:

Entendendo o somatório

• A letra “j” abaixo do somatorio e o indice do elemento da serieque esta sendo somado e o

valor indicado acima do somatorio e ate o ponto em que esse indice “j” ira variar.

– No primeiro caso “j” varia de 1 ate n;– No segundo caso a soma inicia com o elemento na posicao “m” e vai ate o indicado por “n”.

Função recursiva• Esse tipo de funcao ocorre quando a sua definicao se referir a

propria funcao.• Exemplo classico: funcao fatorial. Veja: Calcule ofatorial de numero 4 usando a funcao recursivan.(n-1)!• Solução: Para calcular 4! sera preciso calcular3!; para calcular 3! deve-se calcular 2!. Paracalcular 2! temos de calcular 1! e por fim 0!.

Exercício 1Sendo n(A) = 10 e n(B) =12, calcule n(A x B).Resolvendon(A xB) n(A) x n(B) 10 *12 120

Exercício 2

Dados os conjuntosA = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} eB = { 1, 2, 3, 5, 6}Verifique se as relacoes R1 e R2 sao, ou nao, funcoes.

Resolvendo R1

Resolvendo R2

Exercício 3 (Questão 9 – Caderno de atividade)A funcao de Fibonacci e definida recursivamente por:• se n = 0 ou n = 1, entao Fn = n• se n > 1, entao Fn = Fn-2 + Fn-1Apresente os 10 primeiros termos da sequencia.

Resolvendo

Aula 04 - Fundamentos de lógica matemática

Fundamentos de Logica 1• Lógica (parte da filosofia) estuda o fundamento, a estrutura e

as expressões humanas do conhecimento.• Criada por Aristóteles (séc IV a.C.) para estudar o pensamento

humano e distinguir interferências e argumentos certos e errados.• Falácias (falhas na argumentação) são possíveis de serem

percebidas e bastante usadas porqueauxiliam na detecção de verdades e falsidades.

Logica MatematicaSegundo Eliene Percília (Equipe Brasil Escola):A logica descreve as formas, as relacoes e as propriedades das

preposicoes, em decorrencia da construcao de um simbolismo regulado e ordenado que permite diferenciar linguagem cotidiana e linguagem formalizada.

Voce precisa, entao, saber o que• Uma proposicao é uma afirmação passível de assumir valor logico

verdadeiro ou falso.• Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro

excluído);• Uma proposição não pode ser verdadeira E falsa (princípio da

não-contradição).

Classificacoes• Existem proposições compostas que são formadas por

subproposições e vários conectivos.• Uma proposição será dita primitiva se ela não for composta.

Conectivos logicosProposições podem ser conectadas através dos seguintes

conectivos:“¬” ou “!” (negação);“∧” (conectivo “e”);“∨” (conectivo “ou”);“→” (conectivo “implica”);“↔” (conectivo “se, e somente se”)

Sejam P e Q proposicoes entao• “¬P” é verdadeira se “P” for falsa, e vice-versa;• “P e Q” é verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso

contrário;• “P ou Q” é verdadeira se pelo menos uma delas for verdadeira, e

falsa caso contrário.

Sejam P e Q proposicoes entao• “P→Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou seja, é falsa se o

lado esquerdo for verdadeiro eo lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso.

• “P↔Q” é a mesma coisa que “P→Q e Q→P”, ou seja, é verdadeira seambas forem verdadeirasou ambas forem falsas.

Variaveis livresSeja P uma expressão na qual ocorre uma ou mais variáveis x, y,

z, . . . Dizemos que uma dadaocorrência de uma variável x na expressão P e livre se x não está no escopo de algum quantificador universal ou quantificador existencial.

Sentencas abertas• Uma expressão proposicional ou sentença aberta é uma expressão

P na qual ocorre uma ou maisvariáveis x, y, z, ..., sendo pela menos uma ocorrência livre.

• Usar-se-á a notação P(x1, ..., xn) para designar uma sentença aberta na qual as variáveis livressão x1, ..., xn.

Proposicoes• Pode-se construir proposições a partir de uma dada sentença

aberta P, de duas maneiras:

• atribui-se valores às variáveis livres de P, (substitui-se as variáveis livres de P por elementos de um dado conjunto, o universo das variáveis);

• quantifica-se as variáveis livres de P, usando-se os quantificadores universal ou existencial.

Definicoes importantes:• Definicao 1 – Uma FBF é chamada valida se é verdadeira para

toda interpretação, e é tambémchamada de tautologia.

• Definicao 2 – Uma FBF é chamada inconsistente se é falsa para toda interpretação. Também é chamada uma contradicao.

ExercicioConstrua a tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q),onde p e q são duas proposições simples.

Resolvendo – passo 1• A tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p,q) possui 4 linhas:

Passo 2 – Valores logicos de p ν q

Passo 3 - Valores logicos de ~p

Passo 4 - Valores logicos de (p ν q) →(~p)

Passo 5 – Valores logicos de p Λ q

Passo 6 - Valores logicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p Λ q)