Problema 2

A função que modela a força exercida pelo vento no mastro de um barco, por metro, é:

𝑓(𝑥) = 200𝑥

5 + 𝑥𝑒

−2𝑥30⁄ , 𝑥 ∈ [0,30]

Comprimento do mastro

A força equivalente pode ser determinada através do integral:

𝐹 ≡ 𝐼(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥30

0

1. Considerando os pontos 𝑥0 = 0; 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 9; 𝑥3 = 28; 𝑥4 = 30 , pretende-se

construir uma aproximação S(x) para a função definida da seguinte forma

𝑆(𝑥) = {

𝑝2(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥2]

𝑝1(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥2, 𝑥3]

𝑝0(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥3, 𝑥4]

onde,

𝑝2(𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2

𝑝1(𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥2, 𝑥3

𝑝0(𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥4

Para obtermos estes polinómios utilizamos a Fórmula interpoladora de Newton com

diferenças divididas. Que consiste em

𝑝𝑛(𝑥) = 𝑓0 + 𝐴1(𝑥 − 𝑥0) + 𝐴2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯ + 𝐴𝑛(𝑥 − 𝑥0) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)

Em que 𝐴𝑛 é a diferença dividida da 2ª ordem da função f,

𝐴𝑛 = ∑𝑓𝑗

∏ (𝑥𝑗 − 𝑥𝑖)0≤𝑖≤𝑛

𝑛

𝑗=𝑜

Com a notação das diferenças divididas, podemos escrever o polinómio interpolador 𝑝𝑛 na

forma

𝑝𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥0, 𝑥1](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯

+ 𝑓[𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛](𝑥 − 𝑥0) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)

E a seguinte propriedade permite-nos relacionar diferenças divididas de uma certa ordem k

com diferenças de ordem k-1.

𝑓[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑘] = 𝑓[ 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑘] − 𝑓[ 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑖+𝑘−1]

𝑥𝑖+𝑘 − 𝑥𝑖

Tabela de diferenças divididas

𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1] 𝑓[ , , ] 𝑓[ , , , ] 𝑓[ , , , , ]

𝑥0 𝑓(𝑥0) 𝑓[𝑥0, 𝑥1]

𝑓[𝑥1, 𝑥2]

𝑓[𝑥2, 𝑥3]

𝑓[𝑥3, 𝑥4]

𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2,𝑥3]

𝑓[𝑥1, 𝑥2,𝑥3,𝑥4]

𝑥1 𝑓(𝑥1) 𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2]

𝑥2 𝑓(𝑥2) 𝑓[𝑥1, 𝑥2,𝑥3] 𝑓[𝑥0, 𝑥1,𝑥2,𝑥3, 𝑥4]

𝑥3 𝑓(𝑥3) 𝑓[𝑥2, 𝑥3,𝑥4]

𝑥4 𝑓(𝑥4)

Do enunciado temos que:

𝐹 ≡ 𝐼(𝑓) = ∫ 200𝑥

5 + 𝑥𝑒

−2𝑥30⁄ 𝑑𝑥

30

0

Calculemos inicialmente o valor da função f nos pontos 𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4.

𝑓0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(0) = 2000

5 + 0𝑒

−2∗030⁄ = 0

𝑓1 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(4) = 2004

5 + 4𝑒

−2∗430⁄ = 68,083

𝑓2 = 𝑓(𝑥2) = 𝑓(9) = 2009

5 + 9𝑒

−2∗930⁄ = 70,561

𝑓3 = 𝑓(𝑥3) = 𝑓(28) = 20028

5 + 28𝑒

−2∗2830⁄ = 26,242

𝑓4 = 𝑓(𝑥4) = 𝑓(30) = 20030

5 + 30𝑒

−2∗3030⁄ = 23,200

Cálculo de 𝐩𝟐(𝐱)

O polinómio interpolador 𝑝2(𝑥) é de grau ≤ 2. O polinómio deverá ser obtido nos pontos

𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 , onde 𝑥0 = 0; 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 9.

E ainda:

𝑓[𝑥0, 𝑥1] = 𝑓[𝑥1]− 𝑓[𝑥0]

𝑥1−𝑥0=

68,083−0

4−0= 17,021

𝑓[𝑥1, 𝑥2] = 𝑓[𝑥2]− 𝑓[𝑥1]

𝑥2−𝑥1=

70,561 − 68,083

9 − 4= 0.4956

𝑓[𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] = 𝑓[𝑥1,𝑥2]− 𝑓[𝑥0,𝑥1]

𝑥2−𝑥0=

0.4956 − 17,021

9 − 0= −1,836

Assim podemos preencher a tabela anterior já com os valores obtidos para 𝑝2(𝑥),

𝑥 ∈ [𝑥0, 𝑥2]:

𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1] 𝑓[ , , ]

0 0

17,021

0.4956

4

68,083 −1,836

9 70,561

Determinação do polinómio interpolador 𝑝2

𝑝2(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓[0,4](𝑥 − 0) + 𝑓[0,4,9](𝑥 − 0)(𝑥 − 4)

𝑝2(𝑥) = 0 + 17,021𝑥 − 1,836𝑥(𝑥 − 4)

𝑝2(𝑥) = 17,021𝑥 − 1,836𝑥2 + 7,344𝑥

𝑝2(𝑥) = 24.365𝑥 − 1,836𝑥2

Cálculo de 𝒑𝟏(𝒙)

O polinómio interpolador 𝑝1(𝑥) é de grau ≤ 1. A determinação do polinómio deverá

ser efectuado nos pontos 𝑥2, 𝑥3 , onde 𝑥2 = 9, 𝑥3 = 28.

Do mesmo modo, preenchemos a tabela das diferenças divididas para 𝑝1(𝑥), 𝑥 ∈

[𝑥2, 𝑥3] e 𝑝0(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥3, 𝑥4]:

𝑓(𝑥3) = 𝑓(28) = 20028

5 + 28𝑒−

2∗2830 = 26,242

𝑓[𝑥2, 𝑥3] = 𝑓[𝑥3]− 𝑓[𝑥2]

𝑥3−𝑥2=

26,242−70,561

28−9= −2.333

𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓[𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1]

9 70,561 −2,333

28 26,242

Deste modo, 𝑝1(𝑥) = 𝑓(9) + 𝑓[9,28](𝑥 − 9)

Logo

𝑝1(𝑥) = 70,561 − 2,333(𝑥 − 9) ⇔

Cálculo de 𝒑𝟎(𝒙)

O polinómio interpolador 𝑝0(𝑥) é um polinómio de grau 0 , com 𝑥 ∈ [𝑥3, 𝑥4] .O polinómio foi

obtido no ponto 𝑥4, onde 𝑥4 = 30. De modo idêntico temos

𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖)

30 23,200

Assim

𝑝0(𝑥) = 𝑓𝑜 = 23,200

𝑝1(𝑥) = 91,558 − 2,333𝑥

2 4 6 8

100

200

300

400

15 20 25

40

50

60

28.5 29.0 29.5 30.0

10

20

30

40

A aproximação S(x) para a função f(x) fica então definida por

Gráfico de 𝑝2(𝑥) com 𝑥 ∈ [0,9]

Gráfico de 𝑝1(𝑥) com 𝑥 ∈ [9,28]

Gráfico de 𝑝0(𝑥) = 23,2 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ [28,30]

𝑆(𝑥) = {

𝑝2(𝑥) = 24,365𝑥 − 1,836𝑥2 , 𝑥 ∈ [0,9]

𝑝1(𝑥) = 91,558 − 2,333𝑥, 𝑥 ∈ [9,28]

𝑝0(𝑥) = 23,2 𝑥 ∈ [28,30]

Gráfico da função f(x)

Gráfico de S(x)

5 10 15 20 25 30

10

20

30

40

50

60

70

5 10 15 20 25 30

20

40

60

80

2. Aproximação do integral da função através da regra de Simpson.

Na regra de Simpson a aproximação do integral é feita dividindo o intervalo de integração (a,b)

em N partes iguais ou sub-intervalos, onde N é um número par. Traça-se, por cada dois

intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (função do segundo grau).

Calcula-se o integral de cada parábola, admitindo-se que seja uma boa aproximação do

integral da função original. A soma dos integrais das N/2 parábolas assim obtidas constitui uma

aproximação da integral da função.

a) Pretende-se calcular valor teórico do número de sub-intervalos mínimo que garanta

que do erro seja inferior a 0,1, i.e.,

Nº de intervalos tal que |𝐼 − 𝑆𝑁| < 0,1

onde, 𝐼 − 𝑆𝑁 é a fórmula de erro cometido na aproximação do integral, 𝐸𝑆(𝑓)

O erro de integração quando da aplicação da regra de Simpson é dado por

𝐸𝑁𝑆 (𝑓) = −

𝑁ℎ5

180𝑓(4)(𝜀), 𝜀 ∈ [𝑎, 𝑏]

em que, a e b são os extremos do intervalo de integração sendo a largura h dos sub-

intervalos dada por

ℎ = −𝑏 − 𝑎

𝑁

Considerando para o cálculo do integral 𝐽(𝑔) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, a função inicialmente f(x)

apresentada tem-se

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 200𝑥

5 + 𝑥𝑒

−2𝑥30⁄ , 𝑥 ∈ [0,30]

e o módulo vem dado por

|𝐼 − 𝑆𝑁| = |𝐸𝑁𝑆 (𝑓)| ≤

𝑁ℎ5

180

𝑚𝑎𝑥𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]|𝑓(4)(𝑥)|

Determinou-se primeiramente a expressão das derivadas de f(x):

𝑓′(𝑥) = −40𝑒−𝑥 15⁄ (𝑥2 + 5𝑥 − 75)

3(𝑥 + 5)2

𝑓′′(𝑥) =8𝑒−𝑥 15⁄ (𝑥3 + 10𝑥2 − 125𝑥 − 3000)

9(𝑥 + 5)3

𝑓(3)(𝑥) = −8𝑒−𝑥 15⁄ (𝑥4 + 15𝑥3 − 150𝑥2 − 8875𝑥 − 140625)

135(𝑥 + 5)4

𝑓(4)(𝑥) =8𝑒−𝑥 15⁄ (𝑥5 + 20𝑥4 − 150𝑥3 − 17500𝑥2 − 561875𝑥 − 8475000)

2025(𝑥 + 5)5

Verificou-se que o valor máximo de |𝑓(4)(ℰ) |, no intervalo considerado, é obtido para

x=0 uma vez que o módulo desta derivada da função é decrescente.

𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(4)(0) = −10,7141

Determinou-se em seguida o valor mínimo de sub-intervalos para os quais o erro de

aproximação do integral é inferior a 0.1.

305

𝑁4180|𝑓(4)(𝜀)| <

305

𝑁418010.7141 < 0,1 ⇒ 𝑁 > 61.6698

Como no método de Simpson, o intervalo de integração (a,b) é dividido em N sub-

intervalos iguais com N par então 𝑁 ≥ 62.

b) Elaborou-se um programa baseado na regra de Simpson Composta para obter os

valores da aproximação 𝑆𝑁(𝑓) do integral de 𝑓 , com N sub-intervalos.

Pela fórmula de Simpson composta o valor aproximado do integral é dado por:

𝑆𝑁(𝑓) =ℎ

3[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥𝑁) + 4 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗−1)

𝑁2⁄

𝑗=1

+ 2 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗)

𝑁2⁄

𝑗=1

]

Para o cálculo do valor do erro utilizou-se o valor de 𝐼 obtido pela aproximação do

integral da função com N=300. O valor obtido foi 𝐼 = 1480.5685.

Os valores obtidos para a aproximação do integral da função, 𝑆𝑁(𝑓), o erro |𝐼 − 𝑆𝑁|,

os majorantes do erro obtidos pela fórmula de erro,|𝐸𝑁𝑆 (𝑓)|, e o quociente entre o

valor do erro obtido para N/2 sub-intervalos e o dobro do seu valor, estão

apresentados na tabela seguinte.

Tabela 1 – Valores obtidos por aplicação da regra de Simpson.

N SN |𝑰 − 𝑺𝑵| |𝑬𝑵𝑺 (𝒇)|

|𝑰 − 𝑺𝑵/𝟐||𝑰 − 𝑺𝑵|

⁄

2 1219,6400 260,9285 90400,2188 -

4 1426,8693 53,6992 5650,0137 4,8591

8 1473,1478 7,4207 353,1259 7,2364

16 1479,8568 0,7117 22,0704 10,4269

32 1480,5155 0,0530 1,3794 13,4231

64 1480,5650 0,0035 0,0862 15,1597

128 1480,5683 0,0002 0,0054 16,2660

Analisando os valores do erro e do seu majorante pode-se afirmar que o erro diminui

de forma acentuada desde o número inicial de sub-intervalos, N=2, para o qual o erro

é de 260.9285, até a valores da ordem das milésimas, 0.0054 para N=128. Verifica-se

que a partir de 32 sub- intervalos o valor do erro é inferior a 0.1. Em relação aos

valores dos majorantes , o erro é sempre inferior ao majorante, no entanto, para

valores de N inferiores a 64 os dois valores estão muito afastados tendo tendência

para se aproximarem à medida que N aumenta.

Gráfico do Erro de aproximação do integral pela regra de Simpson |𝐼 − 𝑆𝑁| e majorante do

erro.

Em relação aos resultados da coluna 4, verifica-se que o seu valor se aproxima de 16

quando o valor de N aumenta. Isto acontece porque o erro cometido no cálculo do

integral por utilização do método de Simpson é aproximadamente proporcional ao

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120 140

N

|I-SN|

Majorante

inverso de N4. Sendo o valor da coluna 4 o quociente entre o valor do integral obtido

para N/2 e para N, esse valor deverá ser de aproximadamente 24 = 16 uma vez que o

erro diminui desse valor.

Gráfico da Relação entre os erros de aproximação do integral obtidos para N/2 e para N.

0

4

8

12

16

20

24

28

0 20 40 60 80 100 120 140

N

|I-SN/2|/|I-SN|