Problema 2
A função que modela a força exercida pelo vento no mastro de um barco, por metro, é:
π(π₯) = 200π₯
5 + π₯π
β2π₯30β , π₯ β [0,30]
Comprimento do mastro
A força equivalente pode ser determinada através do integral:
πΉ β‘ πΌ(π) = β« π(π₯)ππ₯30
0
1. Considerando os pontos π₯0 = 0; π₯1 = 4; π₯2 = 9; π₯3 = 28; π₯4 = 30 , pretende-se
construir uma aproximação S(x) para a função definida da seguinte forma
π(π₯) = {
π2(π₯), π₯ β [π₯0, π₯2]
π1(π₯), π₯ β [π₯2, π₯3]
π0(π₯), π₯ β [π₯3, π₯4]
onde,
π2(π₯) - PolinΓ³mio interpolador de π nos pontos π₯0, π₯1, π₯2
π1(π₯) - PolinΓ³mio interpolador de π nos pontos π₯2, π₯3
π0(π₯) - PolinΓ³mio interpolador de π nos pontos π₯4
Para obtermos estes polinΓ³mios utilizamos a FΓ³rmula interpoladora de Newton com
diferenças divididas. Que consiste em
ππ(π₯) = π0 + π΄1(π₯ β π₯0) + π΄2(π₯ β π₯0)(π₯ β π₯1) + β― + π΄π(π₯ β π₯0) β¦ (π₯ β π₯πβ1)
Em que π΄π Γ© a diferenΓ§a dividida da 2Βͺ ordem da função f,
π΄π = βππ
β (π₯π β π₯π)0β€πβ€π
π
π=π
Com a notação das diferenΓ§as divididas, podemos escrever o polinΓ³mio interpolador ππ na
forma
ππ(π₯) = π[π₯0] + π[π₯0, π₯1](π₯ β π₯0) + π[π₯0, π₯1, π₯2](π₯ β π₯0)(π₯ β π₯1) + β―
+ π[π₯0, π₯1, β¦ , π₯π](π₯ β π₯0) β¦ (π₯ β π₯πβ1)
E a seguinte propriedade permite-nos relacionar diferenças divididas de uma certa ordem k
com diferenças de ordem k-1.
π[π₯π, π₯π+1, β¦ , π₯π+π] = π[ π₯π+1, β¦ , π₯π+π] β π[ π₯π , β¦ , π₯π+πβ1]
π₯π+π β π₯π
Tabela de diferenças divididas
π₯π π(π₯π) π[π₯π , π₯π+1] π[ , , ] π[ , , , ] π[ , , , , ]
π₯0 π(π₯0) π[π₯0, π₯1]
π[π₯1, π₯2]
π[π₯2, π₯3]
π[π₯3, π₯4]
π[π₯0, π₯1,π₯2,π₯3]
π[π₯1, π₯2,π₯3,π₯4]
π₯1 π(π₯1) π[π₯0, π₯1,π₯2]
π₯2 π(π₯2) π[π₯1, π₯2,π₯3] π[π₯0, π₯1,π₯2,π₯3, π₯4]
π₯3 π(π₯3) π[π₯2, π₯3,π₯4]
π₯4 π(π₯4)
Do enunciado temos que:
πΉ β‘ πΌ(π) = β« 200π₯
5 + π₯π
β2π₯30β ππ₯
30
0
Calculemos inicialmente o valor da função f nos pontos π₯0 , π₯1, π₯2, π₯3 , π₯4.
π0 = π(π₯0) = π(0) = 2000
5 + 0π
β2β030β = 0
π1 = π(π₯1) = π(4) = 2004
5 + 4π
β2β430β = 68,083
π2 = π(π₯2) = π(9) = 2009
5 + 9π
β2β930β = 70,561
π3 = π(π₯3) = π(28) = 20028
5 + 28π
β2β2830β = 26,242
π4 = π(π₯4) = π(30) = 20030
5 + 30π
β2β3030β = 23,200
CΓ‘lculo de π©π(π±)
O polinΓ³mio interpolador π2(π₯) Γ© de grau β€ 2. O polinΓ³mio deverΓ‘ ser obtido nos pontos
π₯0, π₯1, π₯2 , onde π₯0 = 0; π₯1 = 4; π₯2 = 9.
E ainda:
π[π₯0, π₯1] = π[π₯1]β π[π₯0]
π₯1βπ₯0=
68,083β0
4β0= 17,021
π[π₯1, π₯2] = π[π₯2]β π[π₯1]
π₯2βπ₯1=
70,561 β 68,083
9 β 4= 0.4956
π[π₯0, π₯1, π₯2] = π[π₯1,π₯2]β π[π₯0,π₯1]
π₯2βπ₯0=
0.4956 β 17,021
9 β 0= β1,836
Assim podemos preencher a tabela anterior jΓ‘ com os valores obtidos para π2(π₯),
π₯ β [π₯0, π₯2]:
π₯π π(π₯π) π[π₯π, π₯π+1] π[ , , ]
0 0
17,021
0.4956
4
68,083 β1,836
9 70,561
Determinação do polinΓ³mio interpolador π2
π2(π₯) = π(0) + π[0,4](π₯ β 0) + π[0,4,9](π₯ β 0)(π₯ β 4)
π2(π₯) = 0 + 17,021π₯ β 1,836π₯(π₯ β 4)
π2(π₯) = 17,021π₯ β 1,836π₯2 + 7,344π₯
π2(π₯) = 24.365π₯ β 1,836π₯2
CΓ‘lculo de ππ(π)
O polinΓ³mio interpolador π1(π₯) Γ© de grau β€ 1. A determinação do polinΓ³mio deverΓ‘
ser efectuado nos pontos π₯2, π₯3 , onde π₯2 = 9, π₯3 = 28.
Do mesmo modo, preenchemos a tabela das diferenΓ§as divididas para π1(π₯), π₯ β
[π₯2, π₯3] e π0(π₯), π₯ β [π₯3, π₯4]:
π(π₯3) = π(28) = 20028
5 + 28πβ
2β2830 = 26,242
π[π₯2, π₯3] = π[π₯3]β π[π₯2]
π₯3βπ₯2=
26,242β70,561
28β9= β2.333
π₯π π(π₯π) π[π₯π, π₯π+1]
9 70,561 β2,333
28 26,242
Deste modo, π1(π₯) = π(9) + π[9,28](π₯ β 9)
Logo
π1(π₯) = 70,561 β 2,333(π₯ β 9) β
CΓ‘lculo de ππ(π)
O polinΓ³mio interpolador π0(π₯) Γ© um polinΓ³mio de grau 0 , com π₯ β [π₯3, π₯4] .O polinΓ³mio foi
obtido no ponto π₯4, onde π₯4 = 30. De modo idΓͺntico temos
π₯π π(π₯π)
30 23,200
Assim
π0(π₯) = ππ = 23,200
π1(π₯) = 91,558 β 2,333π₯
2 4 6 8
100
200
300
400
15 20 25
40
50
60
28.5 29.0 29.5 30.0
10
20
30
40
A aproximação S(x) para a função f(x) fica então definida por
GrΓ‘fico de π2(π₯) com π₯ β [0,9]
GrΓ‘fico de π1(π₯) com π₯ β [9,28]
GrΓ‘fico de π0(π₯) = 23,2 πππ π₯ β [28,30]
π(π₯) = {
π2(π₯) = 24,365π₯ β 1,836π₯2 , π₯ β [0,9]
π1(π₯) = 91,558 β 2,333π₯, π₯ β [9,28]
π0(π₯) = 23,2 π₯ β [28,30]
GrÑfico da função f(x)
GrΓ‘fico de S(x)
5 10 15 20 25 30
10
20
30
40
50
60
70
5 10 15 20 25 30
20
40
60
80
2. Aproximação do integral da função através da regra de Simpson.
Na regra de Simpson a aproximação do integral é feita dividindo o intervalo de integração (a,b)
em N partes iguais ou sub-intervalos, onde N é um número par. Traça-se, por cada dois
intervalos consecutivos, isto Γ© cada trΓͺs pontos, uma parΓ‘bola (função do segundo grau).
Calcula-se o integral de cada parÑbola, admitindo-se que seja uma boa aproximação do
integral da função original. A soma dos integrais das N/2 parÑbolas assim obtidas constitui uma
aproximação da integral da função.
a) Pretende-se calcular valor teΓ³rico do nΓΊmero de sub-intervalos mΓnimo que garanta
que do erro seja inferior a 0,1, i.e.,
NΒΊ de intervalos tal que |πΌ β ππ| < 0,1
onde, πΌ β ππ Γ© a fΓ³rmula de erro cometido na aproximação do integral, πΈπ(π)
O erro de integração quando da aplicação da regra de Simpson é dado por
πΈππ (π) = β
πβ5
180π(4)(π), π β [π, π]
em que, a e b são os extremos do intervalo de integração sendo a largura h dos sub-
intervalos dada por
β = βπ β π
π
Considerando para o cΓ‘lculo do integral π½(π) = β« π(π₯)ππ₯π
π, a função inicialmente f(x)
apresentada tem-se
π(π₯) = π(π₯) = 200π₯
5 + π₯π
β2π₯30β , π₯ β [0,30]
e o mΓ³dulo vem dado por
|πΌ β ππ| = |πΈππ (π)| β€
πβ5
180
πππ₯π₯ β [π, π]|π(4)(π₯)|
Determinou-se primeiramente a expressΓ£o das derivadas de f(x):
πβ²(π₯) = β40πβπ₯ 15β (π₯2 + 5π₯ β 75)
3(π₯ + 5)2
πβ²β²(π₯) =8πβπ₯ 15β (π₯3 + 10π₯2 β 125π₯ β 3000)
9(π₯ + 5)3
π(3)(π₯) = β8πβπ₯ 15β (π₯4 + 15π₯3 β 150π₯2 β 8875π₯ β 140625)
135(π₯ + 5)4
π(4)(π₯) =8πβπ₯ 15β (π₯5 + 20π₯4 β 150π₯3 β 17500π₯2 β 561875π₯ β 8475000)
2025(π₯ + 5)5
Verificou-se que o valor mΓ‘ximo de |π(4)(β°) |, no intervalo considerado, Γ© obtido para
x=0 uma vez que o módulo desta derivada da função é decrescente.
π₯ = 0 β π(4)(0) = β10,7141
Determinou-se em seguida o valor mΓnimo de sub-intervalos para os quais o erro de
aproximação do integral é inferior a 0.1.
305
π4180|π(4)(π)| <
305
π418010.7141 < 0,1 β π > 61.6698
Como no método de Simpson, o intervalo de integração (a,b) é dividido em N sub-
intervalos iguais com N par entΓ£o π β₯ 62.
b) Elaborou-se um programa baseado na regra de Simpson Composta para obter os
valores da aproximação ππ(π) do integral de π , com N sub-intervalos.
Pela fΓ³rmula de Simpson composta o valor aproximado do integral Γ© dado por:
ππ(π) =β
3[π(π₯0) + π(π₯π) + 4 β π(π₯2πβ1)
π2β
π=1
+ 2 β π(π₯2π)
π2β
π=1
]
Para o cΓ‘lculo do valor do erro utilizou-se o valor de πΌ obtido pela aproximação do
integral da função com N=300. O valor obtido foi πΌ = 1480.5685.
Os valores obtidos para a aproximação do integral da função, ππ(π), o erro |πΌ β ππ|,
os majorantes do erro obtidos pela fΓ³rmula de erro,|πΈππ (π)|, e o quociente entre o
valor do erro obtido para N/2 sub-intervalos e o dobro do seu valor, estΓ£o
apresentados na tabela seguinte.
Tabela 1 β Valores obtidos por aplicação da regra de Simpson.
N SN |π° β πΊπ΅| |π¬π΅πΊ (π)|
|π° β πΊπ΅/π||π° β πΊπ΅|
β
2 1219,6400 260,9285 90400,2188 -
4 1426,8693 53,6992 5650,0137 4,8591
8 1473,1478 7,4207 353,1259 7,2364
16 1479,8568 0,7117 22,0704 10,4269
32 1480,5155 0,0530 1,3794 13,4231
64 1480,5650 0,0035 0,0862 15,1597
128 1480,5683 0,0002 0,0054 16,2660
Analisando os valores do erro e do seu majorante pode-se afirmar que o erro diminui
de forma acentuada desde o nΓΊmero inicial de sub-intervalos, N=2, para o qual o erro
Γ© de 260.9285, atΓ© a valores da ordem das milΓ©simas, 0.0054 para N=128. Verifica-se
que a partir de 32 sub- intervalos o valor do erro é inferior a 0.1. Em relação aos
valores dos majorantes , o erro Γ© sempre inferior ao majorante, no entanto, para
valores de N inferiores a 64 os dois valores estΓ£o muito afastados tendo tendΓͺncia
para se aproximarem Γ medida que N aumenta.
GrΓ‘fico do Erro de aproximação do integral pela regra de Simpson |πΌ β ππ| e majorante do
erro.
Em relação aos resultados da coluna 4, verifica-se que o seu valor se aproxima de 16
quando o valor de N aumenta. Isto acontece porque o erro cometido no cΓ‘lculo do
integral por utilização do método de Simpson é aproximadamente proporcional ao
0
5
10
15
20
25
0 20 40 60 80 100 120 140
N
|I-SN|
Majorante
inverso de N4. Sendo o valor da coluna 4 o quociente entre o valor do integral obtido
para N/2 e para N, esse valor deverΓ‘ ser de aproximadamente 24 = 16 uma vez que o
erro diminui desse valor.
GrÑfico da Relação entre os erros de aproximação do integral obtidos para N/2 e para N.
0
4
8
12
16
20
24
28
0 20 40 60 80 100 120 140
N
|I-SN/2|/|I-SN|
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