appunti di geometria dello spazio

appunti di geometria dello spaziofrancesco gilardi

A mio Padre Giovanni, Professore in Matematica e Fisica

appunti di geometria dello spazio• La difficoltà maggiore nella comprensione della

geometria dello spazio tridimensionale dipende in larga misura dai limiti delle sue rappresentazioni nel piano.

• Limitandoci allo studio delle spazialità dei poliedri regolari, presentiamo queste esperienze con la presunzione che siano di qualche interesse per i colleghi architetti e gli studenti delle scuole d’arte.

• Generalmente lo studio dei 5 poliedri regolari, detti anche comunemente solidi platonici, viene affrontato singolarmente e, pertanto, rimane poco sviluppata l’analisi delle loro reciproche correlazioni spaziali.

• Ci riferiamo in particolar modo alle relazioni di tipo geometrico, strutturale, di simmetria e proporzione.

• Abbiamo quindi cercato di definire un modello tridimensionale, aiutandoci con moderne tecnologie di modellazione e rappresentazione computerizzate, che ci accompagnasse nello studio intrapreso.

• Poichè i 5 poliedri regolari: ottaedro, tetraedro, dodecaedro, icosaedro ed esaedro (cubo) presentano assi di simmetria ternaria, abbiamo descritto un modello impostato su uno di questi assi e che li contenga tutti, in allineamento, ponendo come misura che siano iscritti nel cubo.

appunti di geometria dello spazio• Le simmetrie ternarie e quaternarie ci hanno consentito

inoltre di semplificare notevolmente la struttura con la eliminazione di 2 delle 3 strutture ternarie uguali e di 7 delle 8 strutture quaternarie uguali, per giungere al “nocciolo” fondamentale.

• Le relazioni proporzionali tra i lati dei poliedri rispetto a quello unitario del cubo risultano:Ottaedro lato = radice quadrata di ½Tetraedro lato = radice quadrata di 2Dodecaedro lato = 1- ( = 0,618...medio proporzionale, cosiddetto rapporto aureo)Icosaedro lato = Cubo lato = 1

• Dal modello descritto vengono estratti n. 17 moduli significativi (riducibili a n. 9) dalla cui aggregazione si possono ottenere le geometrie dell’ottaedro (facce blu, B, nel nostro modello), del tetraedro (facce giallo, G), del dodecaedro (facce verde, V), dell’icosaedro (facce ciclamino; C) e del cubo (facce rosso, R).

• Le facce color turchese (T) definiscono i piani di simmetria ternaria, quelle azzurro

appunti di geometria dello spazio

(Z) e arancio (A), piani di simmetria quaternaria del cubo.

• Le successive rappresentazioni illustrano i vari moduli definiti, con sfaccettature di tipo cristallino e spigoloso, ma non privi di fascino.

• Si rappresentano poi i flexagoni (sviluppi geometrici nel piano) dei singoli pezzi con misure relative degli spigoli e ampiezze degli angoli sottesi espressi in gradi centesimali, per consentirne una migliore conoscenza e la altrettanto interessante costruzione tridimensionale (ad es. in cartoncino, o legno di balsa, o cannucce da bibita in plastica colorata).

• Si esprimono di seguito alcuni dati numerici identificativi, rispettivamente, delle serie di 17 e 9 moduli.

dati numerici identificativi dei 17 modulin. riferimento n. vertici n. spigoli n. facce totale1 4 6 4 142 4 6 4 143 7 11 6 244 7 11 6 245 7 11 6 246 7 11 6 247 8 12 6 268 4 6 4 149 4 6 4 1410 6 9 5 2011 10 17 9 3612 8 13 7 2813 8 13 7 2814 4 6 4 1415 9 15 8 3216 5 8 5 1817 5 8 5 18Totali 107 169 96 372

dati numerici identificativi dei 9 modulin. riferimenton. vertici n. spigoli n. facce totale1 4 6 4 142 4 6 4 143 7 13 8 284 7 12 7 265 7 12 7 266 5 8 5 187 11 18 9 388 5 8 5 189 5 8 5 18totali 55 91 54 200

Aggregando i 17 moduliTotali 24 80 58 162

• Eliminando i piani di simmetria del cubo (facce azzurro, Z) i moduli si riducono a n. 9 fondendo l’1 col 9; 2 e 10; 3 e 11; 4 e 12; 5 e 13; 6 e 14; 7 e 15 8 e 16; e aggiungendo il 17.

• La struttura dell’ottaedro si ottiene dall’aggregazione dei moduli 1 e 9, che sono speculari;

• La struttura del tetraedro risulta dall’unione dei moduli 1,5,6,7 e 9,13,14,15,17;

• La struttura del dodecaedro comporta l’assemblaggio dei moduli 1,2,5,8 e 9,10,13,16;

• La struttura dell’icosaedro emerge dall’accostamento dei moduli 1,2,3,5,6 e 9,10,11,13,14,17;

• La struttura dell’esaedro (cubo) appare avvicinando tutti i diciassette moduli.

• Per ottenere i solidi completi occorrono 24 serie dei rispettivi raggruppamenti di moduli, in quanto, come detto, abbiamo descritto solamente 1/3 di 1/8 dei medesimi secondo piani di simmetria quaternaria e ternaria.

• In dettaglio avremo:• Ottaedro n. 2x3x8 =48 [24]• Tetraedro n. 9x3x8 =216 [120]• Dodecaedro n. 8x3x8 =192 [96]• Icosaedro n. 11x3x8 =264 [144]• Esaedro n. 17x3x8 =408 [216]

[*] serie semplificata di 9 moduli

indice tavole illustrative• Tav. n. 0 modello fondamentale

rappresentazione isometrica• Tav. n. 1.1 abaco 17 moduli: vista ante

rappresentazione isometrica • Tav. n. 1.2 abaco 17 moduli: vista controfaccia

rappresentazione isometrica • Tav. n. 2.1/ 2.17 flexagoni dei 17 moduli con misure relative degli spigoli e ampiezze degli angoli sottesi espressi in gradi centesimali

• Tav. n. 3.1 abaco 9 moduli: vista anterappresentazione isometrica

• Tav. n. 3.2 abaco 9 moduli: vista controfaccia

rappresentazione isometrica• Tav. n. 4 aggregazioni tipo

rappresentazione isometrica

Tav. n. 0 modello fondamentalerappresentazione isometrica

Tav. n. 1.1 abaco 17 moduli: vista ante rappresentazione isometrica

Tav. n. 1.2 abaco 17 moduli: vista ante


abaco flexagoni dei 17 moduli

Tav. n. 2.1 flexagono del modulo n. 1

con misure relative degli spigoli e ampiezze degli angoli sottesi espressi in gradi centesimali

Tav. n. 3.1 abaco 9 moduli: vista ante


Tav. n. 3.2 abaco 9 moduli: vista controfaccia


Tav. n. 4 aggregazioni tipo rappresentazione

isometrica

correlazioni tra le facce dei singoli moduli

O T D I E A U Z1 x o o o2 x x o o3 x x x o o4 x x x o o5 x x x o o6 x x x o o7 x x x o o8 x x o9 x o o o

O T D I E A U Z10

x x o o

11

x x x o o

12

x x x o o

13

x x x x o o

14

x x x o

15

x x x o o

16

x x o o

17

x x x o

correlazioni tra le facce dei singoli moduli

O T D I E A U Z1 x o o2 x x o3 x x x o4 x x x o o5 x x x x o6 x x x o7 x x x o8 x x o9 x x x o

Legenda

O = OttaedroT = TetraedroD = DodecaedroI = IcosaedroE = EsaedroA = Piani simmetria

EsaedroU = Piani simmetria

OttaedroZ = Piani simmetria

Esaedro/Ottaedro

bibliografia• GARDNER Martin Enigmi e Giochi Matematici 1973 FI

Sansoni• GROSSMANN Israel Gruppi e i loro Grafi 1980 BO

ZanichelliMAGNUS Wilhelm

• HILBERT David Geometria Intuitiva 1978 TO BoringhieriCOHN-VOSSEN Stefan

• HOLDEN Alan La Struttura dei Cristalli 1969 BO ZanichelliPHYLIS Singer

• WEYL Hermann La Simmetria 1961 MI Feltrinelli• MARCOLLI Attilio Teoria del Campo 1971 FI Sansoni• MARCOLLI Attilio Teoria del Campo 2 1980 FI

Sansoni• SCARPA Giorgio Modelli di Geometria Rotatoria 1981 BO

Zanichelli• THOMPSON D’Arcy Wentworth Crescita e Forma 1969

TO Boringhieri

nota• il breve saggio non ha la presunzione di avere esaurito i vastissimi aspetti geometrici e matematici sollevati, ma solo quella di stimolarne la curiosità e lo studio e di suggerire alcune metodologie di indagine (forse un poco empiriche per i matematici, a cui si chiede benevolenza)

• i disegni e i modelli virtuali sono stati tracciati direttamente dall’autore tramite programma di disegno digitale 2d e 3d Microstation fornito dalla Intergraph

• tutti i diritti di legge sono riservati: è vietata la riproduzione e l’utilizzo commerciale di testi e disegni senza l’approvazione scritta dell’autore;

• è consentito, citando l’autore, l’utilizzo di testi e disegni per scopi esclusivamente scientifici e di studio

• l’autore è nato a Bergamo nel 1949, esercita attività professionale di architetto

• indirizzo: (Italia) 24123 Bergamo, via Tremana, 3, t. 035344157 e-mail: [email protected]

1995 (edizione 2006)

appunti di geometria dello spazio

Documents

Transcript of appunti di geometria dello spazio