Prefácio

Esta apostila tem por interesse suprir as necessidades de um estudante que precise adquirir

conhecimentos básicos a respeito de vetores. A princípio imagina-se um aluno de primeiro

ano de graduação (onde normalmente se estudam estes conteúdos). No entanto, é válido

ressaltar que é de extrema importância que este material seja complementado com listas de

exercícios extras que podem ser encontrados na bibliografia abaixo listada.

Agradeço a atenção e paciência de todos e desejo-lhes bons estudos! Dúvidas, críticas e

sugestões são bem vindas. Este material (juntamente com vários outros arquivos sobre

Matemática) está disponível gratuitamente no sitio:

http://manualdasexatas.blogspot.com.br/

Bons estudos

Prof. Luiz Gustavo Alves Silva

Bibliografia

[ 1 ] Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica.

[ 2 ] Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo. Geometria Analítica.

[ 3 ] Venturi, Jacir. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica.

[ 4 ] Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial.

Sumário

1. Vetores no Plano e no Espaço ..................................................................................................... 01

1.1. Conceitos Iniciais .................................................................................................................. 01

1.2. Operações com Vetores ........................................................................................................ 04

1.3. O Tratamento Algébrico no Plano ......................................................................................... 08

1.4. O Tratamento Algébrico no Espaço ....................................................................................... 17

2. Produtos com Vetores ................................................................................................................ 24

2.1. Produto Escalar..................................................................................................................... 24

2.2. Produto Vetorial ................................................................................................................... 33

2.3. Produto Misto ...................................................................................................................... 39

1

1) Vetores no Plano e no Espaço

1.1.) Conceitos Iniciais

Grandezas físicas escaleres e vetoriais

Grandeza física é tudo aquilo que pode ser medido a partir de uma unidade de

medida, por exemplo, massa, tempo, velocidade, força, etc. Algumas grandezas como

comprimento, área, massa, temperatura, etc, são caracterizadas apenas por sua intensidade

acompanhada de sua unidade, essas são grandezas escalares. Já outras grandezas como

velocidade, aceleração, peso, campo magnético, etc, são caracterizadas por sua intensidade,

direção e sentido, acompanhados com sua unidade, essas são grandezas vetoriais.

Direção e sentido

Uma reta nos dá a noção de direção. Abaixo as retas r e s são paralelas, assim, estão

na mesma direção. Já a reta t determina outra direção (não paralela a r e s):

Um corpo que se desloque sobre uma reta (ou seja, em uma direção), pode assumir

dentre dois sentidos. As setas abaixo nos indicam os dois sentidos da reta r:

Podemos dizer que uma via de mão-dupla nos remete a noção de direção e sentido:

Acima, os carros A e B estão na mesma direção, porém em sentidos contrários.

2

Vetor

Informalmente, vetores são segmentos de reta orientados, utilizados principalmente

para representar geometricamente grandezas vetoriais. Trazem as informações de módulo,

direção e sentido.

Representação geométrica

Trabalharemos com vetores no plano (ℝ2) e no espaço (ℝ3), e sua representação

geométrica se dará a partir de uma “flecha”:

Note que um vetor é determinado por dois pontos: origem (A) e extremidade (B).

Exemplo prático

Se uma pessoa aplica uma força F para deslocar um corpo ou se um objeto se move a

certa velocidade 𝑣 , as grandezas força e velocidade são representadas esquematicamente

por vetores:

Em cada caso, o vetor nos traz a representação do módulo (a partir de uma escala),

direção e sentido da grandeza vetorial em questão.

Notação de vetor

Usaremos aqui as seguintes notações para vetores:

i) Duas letras latinas maiúsculas encimadas por uma seta, AB , por exemplo, onde A é a

origem e B é a extremidade;

ii) Uma letra latina minúscula encimada por uma seta: 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 , etc.

3

Definições importantes

i) O módulo de um vetor, que representa a intensidade de uma grandeza, ou seja, seu

“tamanho”, será indicado por 𝑣 ou AB , conforme o caso.

ii) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são paralelos, e indicamos 𝑢 ∥ 𝑣 , caso tenham a mesma direção.

𝑢 ∥ 𝑣 ∥ 𝑤

iii) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais, e indica-se 𝑢 = 𝑣 , se tiverem o mesmo módulo, mesma

direção e mesmo sentido, 𝑢 e 𝑣 são ainda chamados de equipolentes.

iv) Chamamos vetor nulo ou vetor zero, o vetor cujo módulo é zero, representamos por

0 ou AA (origem coincide com a extremidade).

v) Para todo vetor 𝑣 ≠ 0 corresponde o vetor oposto −𝑣 de mesmo módulo e mesma

direção de 𝑣 , porém em sentido contrário.

𝑣 = AB ⇒ BA = −AB

vi) Para todo vetor 𝑣 , tal que 𝑣 = 1, este é chamado de vetor unitário e, se 𝑣 é unitário

e possui mesma direção e sentido de 𝑢 ≠ 0 , então 𝑣 é chamado versor de 𝑢 .

Um versor é utilizado para indicar direção e sentido.

vii) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais se algum representante de 𝑢 formar ângulo reto

com algum representante de 𝑣 , indica-se 𝑢 ⊥ 𝑣 .

viii) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são coplanares se ambos pertencerem a um mesmo plano 𝛼.

4

1.2.) Operações com Vetores

As operações terão apenas tratamento geométrico por enquanto.

Adição de vetores

Imagine um corpo sendo puxado por duas forças de intensidade, direção e sentidos

diferentes, como na figura:

A experiência nos mostra que estas duas forças podem ser substituídas por uma

força resultante R . A resultante R é obtida através da soma vetorial das forças F 1 e F 2.

O vetor soma entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 é dado pela diagonal do paralelogramo que

pode ser formado por 𝑢 e 𝑣 conforme o esquema a seguir:

Outra forma de obter o vetor soma entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 , é traçando o vetor 𝑣 de

modo que sua origem coincida com a extremidade do vetor 𝑢 . Unindo a origem do vetor 𝑢

com a extremidade do vetor 𝑣 , obteremos o vetor soma:

Para somar três ou mais vetores, o procedimento é análogo. Traçamos os vetores de

modo que a extremidade de um coincida com a origem do seguinte:

5

Propriedades da adição de vetores

Sendo 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer, vale as seguintes propriedades:

i) Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

ii) Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤

iii) Elemento neutro: 𝑢 + 0 = 𝑢

iv) Elemento oposto: 𝑢 + −𝑢 = 0

Diferença entre vetores

O vetor diferença 𝑑 entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑑 = 𝑢 + (−𝑣 ):

Multiplicação de um vetor por um escalar

Dado um vetor 𝑣 ≠ 0 e um número real 𝛼 ≠ 0, chama-se produto do número real 𝛼

pelo vetor 𝑣 , o vetor 𝛼𝑣 tal que:

i) 𝛼𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑣 , isto é, o comprimento de 𝛼𝑣 é igual ao comprimento de 𝑣

multiplicado por 𝛼 ;

ii) 𝛼𝑣 ∥ 𝑣 , isto é, possuem a mesma direção;

iii) Se 𝛼 > 0, 𝛼𝑣 tem o mesmo sentido que 𝑣 e se 𝛼 < 0, 𝛼𝑣 tem sentido contrário de 𝑣 .

Se 𝛼 = 0 ou 𝑣 = 0 , então 𝛼𝑣 = 0 .

Exemplos

6

Propriedades da multiplicação por um escalar

Sendo 𝑢 e 𝑣 vetores quaisquer e 𝛼 e 𝛽 números reais, vale as seguintes propriedades:

i) Associativa: 𝛼 𝛽𝑣 = 𝛽 𝛼𝑣 = 𝛼𝛽𝑣 ;

ii) Distributiva para a soma de vetores: 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 ;

iii) Distributiva para a soma de escalares: 𝛼 + 𝛽 𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣 .

Ângulo entre dois vetores

O ângulo 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° entre dois vetores 𝑢 e 𝑣 , é o ângulo formado entre suas

direções, levando-se em consideração seus sentidos.

Exemplos

7

Exercícios

1. Dados

Determine (faça o desenho):

a) 𝑢 + 𝑤 b) 𝑣 + 𝑤

c) 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 d) 𝑢 − 𝑣

2. Nos sólidos abaixo, represente a soma dos vetores indicados:

3. Dados

Determine (faça o desenho):

a) 𝑣 + 2𝑢 b) 𝑢 −1

2𝑣

4. Sendo 𝑣 e 𝑢 vetores tais que 𝑣 = 10, 𝑢 = 16 e 𝑢 − 𝑣 = 14, determine o ângulo

entre 𝑢 e 𝑣 . Sugestão: use a lei dos cossenos.

8

1.3.) O Tratamento Algébrico no Plano

Plano cartesiano ℝ𝟐

É o conjunto de todos os pontos de um plano determinado por dois eixos 𝑥 e 𝑦

perpendiculares em O. A cada ponto P no plano é associado um par ordenado (𝑥P , 𝑦P ).

As coordenadas 𝑥P e 𝑦P são chamadas abscissa e ordenada do ponto P,

respectivamente.

Podemos expressar o plano cartesiano como

ℝ2 = ℝ × ℝ = 𝑥, 𝑦 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ

Vetores no plano

Para todo vetor 𝑣 qualquer, 𝑣 possui infinitas representações geométricas no plano

cartesiano:

Perceba que 𝑣 = A1B1 = A2B2

= ⋯ = AnBn = OP

Assim, seja 𝑣 um vetor qualquer no plano cartesiano, sempre haverá um vetor OP

equipolente a ele com origem em O.

Seja P um ponto qualquer no plano cartesiano e, por convenção, 𝑖 e 𝑗 os versores dos

eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. Assim, o vetor OP pode ser decomposto segundo as direções

de 𝑖 e 𝑗 . O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam de 𝑖 e 𝑗 e que

a soma seja OP .

9

Exemplos

Da figura acima temos:

OP = 5𝑖 + 3𝑗

OQ = −2𝑖 + 4𝑗

OR = −4𝑖 − 4𝑗

OS = 3𝑖 − 2𝑗

De modo geral, seja P um ponto qualquer no plano cartesiano, para o vetor OP ,

existe uma só dupla de números reais 𝑎1 e 𝑎2 tal que:

OP = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗

Dizemos que todo vetor OP expresso desse modo, é uma combinação linear de 𝑖 e 𝑗 e

o conjunto B = 𝑖 , 𝑗 é chamado base canônica do plano. Quando um vetor OP expresso

como combinação linear de 𝑖 e 𝑗 , nessa forma 𝑎1 e 𝑎2 são números reais tais que

correspondem à abscissa e à ordenada de P, respectivamente.

Logo, podemos expressar um vetor OP como um par ordenado:

OP = 𝑎1, 𝑎2 = 𝑥P , 𝑦P

10

Exemplo

Podemos escrever 𝑣 = 3𝑖 − 5𝑗 como 𝑣 = 3, −5 :

𝑣 = (3, −5)

Em geral, deixa-se de indicar no plano os versores 𝑖 e 𝑗 , como na figura acima.

Exemplo prático

Você já trabalhou com a combinação linear no ensino médio, quando estudou a

decomposição de forças em Física. Na decomposição de uma força F nas direções 𝑥 e 𝑦, os

componentes F 𝑥 e F 𝑦 são múltiplos dos versores 𝑖 e 𝑗 e, a força F uma combinação linear

dos mesmos.

Exercícios

5. Represente no plano cartesiano os vetores 𝑢 = (5, 3), 𝑣 = (−1, 4), 𝑤 = (−4, −1) e

𝑡 = (5, −4).

11

6. Represente no plano, usando adição de vetores, o vetor 𝑠 = 𝑢 + 𝑣 , sendo 𝑢 = 1, 3

e 𝑣 = 5, 1 . O que podemos concluir sobre as componentes (𝑥, 𝑦) de 𝑠 em relação

as componentes de 𝑢 e 𝑣 ?

Igualdade de vetores

Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e

𝑦1 = 𝑦2, indicamos 𝑢 = 𝑣 .

Exemplo

Se 𝑢 = (𝑎 + 3, 5) e 𝑣 = (7, 𝑏 − 2), 𝑢 e 𝑣 serão iguais somente se:

𝑎 + 3 = 7 e 𝑏 − 2 = 5

𝑎 = 4 𝑏 = 7

Adição e multiplicação de vetores na forma algébrica

Sejam 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) vetores quaisquer e 𝛼 ∈ ℝ, assim defini-se:

i) 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2

ii) 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1)

Por conseguinte, somar dois vetores na forma algébrica equivale a somar as

correspondentes coordenadas e para multiplicar um vetor por um escalar, multiplicam-se as

componentes do vetor por esse número.

Exemplos

I. Vejamos como se dá geometricamente a adição dos vetores 𝑢 = (2, 4) e 𝑣 = (5, 1):

Perceba que 𝑢 + 𝑣 = 2 + 5, 4 + 1 = 7, 5 .

12

II. Observemos a multiplicação do vetor 𝑤 = (4, 3) pelo escalar 2:

Note que 2𝑤 = 2 ⋅ 4, 2 ⋅ 3 = 8, 6 .

Vetor definido por dois pontos

Um vetor 𝑣 que não parta da origem do sistema cartesiano, ou seja, que tenha sua

origem e sua extremidade em dois pontos A e B quaisquer, pode ser expresso a partir dos

vetores OA e OB .

Observe o esquema abaixo:

Sabemos que OA = 𝑥1, 𝑦1 e que OB = (𝑥2, 𝑦2) e, do triângulo OAB, pela soma

geométrica de vetores temos que:

OA + AB = OB

donde

AB = OB − OA

ou

AB = 𝑥2, 𝑦2 − 𝑥1, 𝑦1

e

AB = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1

13

Ou seja, as componentes do vetor AB são obtidas subtraindo-se as componentes

correspondentes dos vetores OA e OB , isto é, subtraindo-se as coordenadas de B pelas de A,

e por isso escrevemos também AB = B − A.

É importante destacar que as componentes obtidas por AB = B − A, representa um

vetor OP equipolente ao vetor 𝑣 que é limitado por A e B e, OP é chamado vetor posição de

AB . Lembre-se que um vetor 𝑣 possui infinitas representações no plano, com mesmo

módulo, direção e sentido.

Exercícios

7. Determine, em cada caso, os valores de 𝑎 e 𝑏 para que os vetores 𝑢 e 𝑣 sejam iguais:

a) 𝑢 = 𝑎 − 5, 8 e 𝑣 = 3, 𝑏 + 9 b) 𝑢 = 7 + 𝑎, 3𝑏 e 𝑣 = 2𝑎, 5 − 𝑏

8. Dados os vetores 𝑢 = (3, −1) e 𝑣 (−1, 2), determinar o vetor 𝑤 tal que

4 𝑢 − 𝑣 +1

3𝑤 = 2𝑢 − 𝑤

9. Determinar o vetor 𝑤 na igualdade, sendo dados 𝑢 = 3, −1 e 𝑣 = −2, 4 :

3𝑤 + 2𝑢 =1

2𝑣 + 𝑤

10. Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2 tais que 𝑤 = 𝑎1𝑢 + 𝑎2𝑣 , sendo 𝑢 = (1, 2), 𝑣 = 4, 2

e 𝑤 = (−1, 8).

11. Determinar as coordenadas do vetor posição de AB nos seguintes casos:

a) A 2, 4 e B 3, 1 b) A 7, −2 e B −5, −7 c) A −3, 6 e B 11, −13

14

Ponto Médio

Seja um segmento no plano limitado pelos pontos A 𝑥1, 𝑦1 e B 𝑥2, 𝑦2 , e M(𝑥, 𝑦) o

ponto médio de AB , como na figura abaixo:

Usando o tratamento vetorial visto até agora, podemos escrever:

AM = MB

ou

𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1 = (𝑥2 − 𝑥, 𝑦2 − 𝑦)

e daí usando igualdades de vetores

𝑥 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑦 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦

isolando 𝑥 e 𝑦 nas duas equações temos

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2

2 e 𝑦 =

𝑦1 + 𝑦2

2

Logo:

M 𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2

Exemplo

Determinar o ponto médio do segmento limitado por A(2, 1) e B(6, 7):

M 2 + 6

2,1 + 7

2 = M(4, 4)

Paralelismo entre dois vetores

Vimos na multiplicação de um vetor por um escalar, que para um vetor 𝑣 , o vetor 𝛼𝑣

possui a mesma direção de 𝑣 , por conseguinte, 𝑣 e 𝛼𝑣 são paralelos.

Algebricamente se 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) é paralelo a 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), podemos escrever:

𝑥1, 𝑦1 = 𝛼(𝑥2, 𝑦2) ou 𝑥1, 𝑦1 = (𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2)

Pela igualdade de vetores

𝑥1 = 𝛼𝑥2 e 𝑦1 = 𝛼𝑦2

em que 𝑥1

𝑥2=

𝑦1

𝑦2= 𝛼

Isto é, se dois vetores são paralelos, pela condição de paralelismo, suas componentes

são proporcionais.

15

Exemplo

Para verificar se 𝑢 (−2, 5) e 𝑣 (−4, 10) são paralelos, observamos se suas

componentes formam uma proporção:

−2

−4=

5

10=

1

2

Na forma 𝑥1, 𝑦1 = 𝛼(𝑥2, 𝑦2), ficaria assim

−2, 5 =1

2(−4, 10)

Módulo de um vetor

Seja 𝑣 = 𝑥, 𝑦 um vetor qualquer, analisando a figura abaixo, pelo Teorema de

Pitágoras, temos:

𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2

Exemplo

Se 𝑣 = −3, 4 , então

𝑣 = −3 2 + 42 = 9 + 16 = 5

Observação:

Para um vetor AB limitado por A 𝑥1, 𝑦1 e B 𝑥2, 𝑦2 , sabemos que as componentes

do vetor posição de AB é dado por OP = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 , logo o módulo de AB é:

AB = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2

16

Exercícios

12. Dados os pontos A(−3, 2) e B(5,−2), determinar os pontos M e N pertencentes ao

segmento AB tais que AM =1

2AB e AN =

2

3AB . Representar graficamente, indicando

os pontos A, B, M, N e P, onde AP =3

2AB .

13. Sendo A(−2, 3) e B(6,−3) extremidades de um seguimento, determine:

a) os pontos C, D e E que dividem o seguimento AB em quatro partes de mesmo

comprimento;

b) os pontos F e G que dividem o seguimento AB em três partes de mesmo

comprimento.

14. Dado o vetor 𝑣 = 1, −3 , determinar o vetor paralelo a 𝑣 que tenha:

a) Sentido contrario ao de 𝑣 e duas vezes o módulo de 𝑣 ;

b) O mesmo sentido de 𝑣 e módulo 2;

c) Sentido contrário ao de 𝑣 e módulo 4.

15. Calcular os valores de 𝑎 para que 𝑣 = (𝑎, −2) tenha módulo 4.

16. Calcular os valores de 𝑎 para que 𝑣 = (𝑎,1

2) seja unitário.

17. Provar que os pontos A(−2, −1), B(2, 2), C(−1, 6) e D(−5, 3), nessa ordem, são

vértices de um quadrado.

17

1.4.) O Tratamento Algébrico no Espaço

Espaço cartesiano ℝ𝟑

É o conjunto de todos os pontos do espaço determinado por três eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧

perpendiculares em O. A cada ponto P no espaço é associado uma tripla ordenada

(𝑥P , 𝑦P , 𝑧P).

As coordenadas 𝑥P , 𝑦P e 𝑧P são chamadas abscissa, ordenada e cota do ponto P,

respectivamente.

Podemos expressar o espaço em coordenadas cartesianas como

ℝ3 = ℝ × ℝ × ℝ = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ e 𝑧 ∈ ℝ

18

Os eixos coordenados 𝑥, 𝑦 e 𝑧 tomados dois a dois determinam um plano

perpendicular ao terceiro eixo, ou seja, temos três desses planos e os chamamos de planos

coordenados e podemos representá-los como plano 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧. Cada região do espaço

delimitada pelos três planos coordenados é chamada de octante.

Exercício

18. Represente geometricamente no ℝ3 os seguintes pontos:

a) A(2, 3, 5) b) B(4, −3, 4) c) C(−3, 4, 3) d) D(−2, −2, −2)

Vetores no espaço

No estudo de vetores no plano, vimos que um vetor 𝑣 qualquer pode ser escrito

como combinação linear dos versores 𝑖 e 𝑗 na forma 𝑣 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 . Por convenção,

chamamos de 𝑘 o versor do eixo 𝑧. Observe:

19

Analogamente ao estudo de vetores no plano, o conjunto de versores B = {𝑖 , 𝑗 , 𝑘 }

constituirá a base canônica do ℝ3. E assim como no plano, um ponto P(𝑥, 𝑦) qualquer

corresponde ao vetor OP = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , a cada ponto P(𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço irá corresponder o

vetor OP = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 . Observe:

Exemplo

Vamos representar o vetor 𝑣 = 2𝑖 + 4𝑗 + 3𝑘 ou simplesmente 𝑣 = (2, 4, 3):

20

Exercício

19. Represente graficamente no ℝ3 os vetores:

a) 𝑢 = (3, 3, 5) b) 𝑣 = (−3, 5, −4) c) 𝑤 = (−2, −4, 5) d) 𝑡 = (0, 3, −10)

Igualdade, operações, vetor posição, paralelismo, ponto médio e módulo no ℝ𝟑

O tratamento de vetores no ℝ3 é feito do modo análogo ao feito no ℝ2.

i) Dois vetores 𝑢 (𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 (𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) são iguais se, e somente se,

𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2.

ii) Dados os vetores 𝑢 (𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2 , define-se:

𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2) e 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1).

iii) Sendo A(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e B(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) dois pontos quaisquer do espaço, então:

AB = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1).

iv) Sendo os vetores 𝑢 (𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e 𝑣 𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2 paralelos, então:

𝑢 = 𝛼𝑣 ou 𝑥1

𝑥2=

𝑦1

𝑦2=

𝑧1

𝑧2 .

v) Sendo A(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1) e B(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2) os pontos extremos de um segmento, o ponto

médio M do segmento AB é dado por:

M 𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2,𝑧1 + 𝑧2

2 .

vi) O módulo do vetor 𝑣 (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por:

𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 .

Exemplos

I. Dados os pontos A 1, 2, 3 e B 2, 1, 0 e os vetores 𝑢 −1, −2, 0 , 𝑣 0, 1, −1 e

𝑤 −5, −3, 5 , verificar se existem os números 𝛼, 𝛽 e 𝛾 tais que 𝑤 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 − 𝛾AB .

Solução:

Substituindo na igualdade os valores dados, temos

−5, −3, 5 = 𝛼 −1, −2, 0 + 𝛽 0, 1, −1 − 𝛾 2 − 1, 1 − 2, 0 − 3

Aplicando a multiplicação por um escalar, vem

−5, −3, 5 = −𝛼, −2𝛼, 0 + 0, 𝛽, −𝛽 − 𝛾 1, −1, −3

e

21

−5, −3, 5 = −𝛼, −2𝛼, 0 + 0, 𝛽, −𝛽 + −γ, γ, 3γ

Somando os vetores à direita, resulta

−5, −3, 5 = −𝛼 − 𝛾, −2𝛼 + 𝛽 + 𝛾, −𝛽 + 3𝛾

Pela igualdade de vetores, obtemos o seguinte sistema

−𝛼 − 𝛾 = −5−2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −3

−𝛽 + 3𝛾 = 5

que tem como solução 𝛼 = 3, 𝛽 = 1 e 𝛾 = 2.

Assim:

𝑤 = 3𝑢 + 𝑣 − 2AB

II. Sabendo que o ponto P −3, 𝑎, 𝑏 pertence à reta que passa pelos pontos A −2, 4, 5

e B −1, 3, 1 , determine 𝑎 e 𝑏.

Solução:

Como A, B e P são colineares (observe a figura abaixo), qualquer dupla de vetores

com extremidades nesses três pontos, serão paralelos.

Tomemos, por exemplo, a condição AB ∥ BP , ou seja

1, −1, −4 ∥ −2, 𝑎 − 3, 𝑏 − 1

e, pela condição de paralelismo, vem 1

−2=

−1

𝑎 − 3=

−4

𝑏 − 1

ou

𝑎 − 3 = 2𝑏 − 1 = 8

sistema com solução 𝑎 = 5 e 𝑏 = 9.

III. Do exemplo anterior, verificar se o ponto A é ponto médio de PB .

Solução:

Basta que a seguinte igualdade seja verdadeira:

A −2, 4, 5 = 𝑥P + 𝑥B

2,𝑦P + 𝑦B

2,𝑧P + 𝑧B

2

Substituindo os respectivos valores, vem

−2, 4, 5 = −3 − 1

2,5 + 3

2,9 + 1

2

ou

−2, 4, 5 = −2, 4, 5

Logo, A é ponto médio de PB .

22

IV. Seja o triângulo de vértices A 0, 4, 1 , B 0, 0, 4 e C 4, 4, 1 . Determinar o

comprimento da mediana do triângulo referente ao lado AB .

Solução:

O comprimento da mediana em questão é dado pelo módulo do vetor CM , onde M é

o ponto médio de AB .

Logo

M 0 + 0

2,4 + 0

2,1 + 4

2 ou M 0, 2,

5

2

e

CM = (−4, −2,3

2)

por conseguinte

CM = −4 2 + −2 2 + 3

2

2

⇒ CM = 89

2

Exercícios

20. Se OP = 2𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘 e OQ = 7𝑖 + 𝑗 − 3𝑘 , quais são as coordenadas do vetor PQ ?

Dê a interpretação geométrica do problema.

21. Dados os vetores 𝑢 = (3, 2, 1), 𝑣 = (−4, −3, 1) e 𝑤 = (2, 1, 1), determine os

escalares 𝛼, 𝛽 e 𝛾, tais que 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 + 𝛾𝑤 = (0, 0, 0).

22. Dados os pontos A(2, −2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor 𝑣 = 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 , determine

𝑤 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), de modo que: AB − 𝑤 = 2𝑣 .

23. Sabendo que o ponto P(𝑎, 4, 𝑏) pertence à reta que passa pelos pontos A(−1, −2, 3)

e B(2, 1, −5), calcule 𝑎 e 𝑏.

23

24. Do exercício anterior, verificar se B é ponto médio do segmento AP .

25. A reta que passa pelos pontos A(1, 3, 0) e B(−2, 5, 1) é paralela à reta que passa por

C(3, −1, −1) e D(0, 𝑎, 𝑏). Determinar o ponto D.

26. Determinar o valor de 𝑦 para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, 𝑦, 4),

B(10,𝑦, −2) e C(2, 0, −4).

27. Obter o ponto P sobre o eixo das abscissas equidistante dos pontos A(3, −1, 4) e

B 1, −2, −3 .

28. Dados os pontos A(3, 𝑚 − 1, −4) e B(8, 2𝑚 − 1, 𝑚) determine 𝑚 de modo que

AB = 35.

24

2) Produtos com Vetores

2.1.) Produto Escalar

Chama-se produto escalar de dois vetores 𝑢 e 𝑣 , e denota-se 𝑢 ⋅ 𝑣 , o número real, tal

que:

𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ cos 𝜃

Onde 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° é a medida do ângulo formado entre os vetores 𝑢 e 𝑣 .

Observação:

O produto escalar também pode ser indicado por < 𝑢 , 𝑣 > e se lê “𝑢 escalar 𝑣 ”.

Definição Algébrica

Sejam os vetores 𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 , podemos definir:

𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑦1 ⋅ 𝑦2 + 𝑧1 ⋅ 𝑧2

Verificamos a última equação aplicando a lei dos cossenos no triângulo POQ abaixo:

𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 − 2 𝑢 𝑣 cos 𝜃 (i)

Sendo 𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 e pelo módulo de um vetor,

podemos escrever:

𝑢 − 𝑣 2 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2

2 + 𝑧1 − 𝑧2 2

= 𝑥12 + 𝑦1

2 + 𝑧12 + 𝑥2

2 + 𝑦22 + 𝑧2

2 − 2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑦1 ⋅ 𝑦2 + 𝑧1 ⋅ 𝑧2

= 𝑢 2 + 𝑣 2 − 2 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑦1 ⋅ 𝑦2 + 𝑧1 ⋅ 𝑧2 (ii)

Substituindo (ii) em (i) e simplificando, obtemos

𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑦1 ⋅ 𝑦2 + 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ cos 𝜃

25

Exemplos

I. Dados 𝑢 = 3𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘 e 𝑣 = 4𝑖 − 𝑗 − 2𝑘 , calcular o produto escalar 𝑢 ⋅ 𝑣 .

Solução:

𝑢 ⋅ 𝑣 = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ −1 + 6 ⋅ −2 ⇒ 𝑢 ⋅ 𝑣 = 2

II. Do exemplo anterior, determine o ângulo 𝜃 entre os vetores 𝑢 e 𝑣 .

Solução:

Como 𝑢 ⋅ 𝑣 = 2 e 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ cos 𝜃, basta sabermos o valor de 𝑢 e 𝑣 .

Ora,

𝑢 = 32 + −2 2 + 62 = 7 e 𝑣 = 42 + −1 2 + −2 2 = 21

sendo assim,

2 = 7 ⋅ 21 ⋅ cos 𝜃 ⇒ cos 𝜃 =2

7 21

logo

𝜃 = arc cos2

7 21 .

III. Seja o triângulo de vértices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determine o

ângulo interno ao vértice B.

Solução:

O ângulo solicitado corresponde ao ângulo formado por BA e BC , logo

BA = 3𝑖 + 0𝑗 + 4𝑘 e BC = 7𝑖 + 0𝑗 + 𝑘

por conseguinte

BA ⋅ BC = 3 ⋅ 7 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 = 25

e

BA = 32 + 02 + 42 = 5 e BC = 72 + 02 + 12 = 5 2

logo

cos 𝜃 =BA ⋅ BC

BA ⋅ BC ⇒ cos 𝜃 =

25

5 ⋅ 5 2⇒ cos 𝜃 =

2

2

portanto

𝜃 = 45°

26

IV. Sendo 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 e 𝑣 = 4𝑥 + 5𝑦 + 𝛼𝑧 , determine 𝛼 de modo que 𝑢 e 𝑣

sejam ortogonais.

Solução:

Se 𝑢 e 𝑣 são ortogonais, logo 𝑢 ⋅ 𝑣 = 0, pois cos 90° = 0 e já que ambos são ≠ 0 .

Logo:

𝑢 ⋅ 𝑣 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ α

0 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ α

α = 2

Exemplo prático

Em Física, quando há a transferência de energia cinética de um corpo em movimento

através da aplicação de uma força, dizemos que houve a realização de um trabalho (W).

Talvez o leitor se lembre da expressão usada para calcular W:

𝑊 = F ⋅ 𝑑 ⋅ cos 𝜙

Esta expressão é obtida através de processos relativamente simples envolvendo

conceitos da Mecânica Clássica, mas o que nos interessa é a operação que abrange o

produto entre o módulo de dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Perceba que essa

operação representa o produto escalar entre os vetores F e 𝑑 .

Propriedades do Produto Escalar

Para quaisquer vetores 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 e todo 𝛼 ∈ ℝ, verifica-se que:

i) 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢

ii) 𝑢 ⋅ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑤 e, a fortiori, 𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑤 + 𝑣 ⋅ 𝑤

iii) 𝛼 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝛼𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝛼𝑣

iv) 𝑢 ⋅ 𝑢 > 0 se 𝑢 ≠ 0 e 𝑢 ⋅ 𝑢 = 0 se 𝑢 = 0

v) 𝑢 ⋅ 𝑢 = 𝑢 2

27

Exercícios

29. Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular

AB ⋅ AC + BA ⋅ BC + CA ⋅ CB .

30. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm.

Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC .

31. Sendo 𝑢 = (2, 1, −1) e 𝑣 = (1, −1, −2), determine o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 .

32. Calcular 𝑛 para que seja de 30° o ângulo entre 𝑢 = (1, 𝑛, 2) e 𝑗 .

33. Prove que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) são vértices de um triângulo

retângulo.

34. Na figura abaixo, determine o trabalho realizado pela força F = 10 N para deslocar

o bloco “x” do ponto A ao ponto B, sendo AB = 20 m.

35. Dados os pontos A(4, 0, −1) e B(2, −2, 1) e os vetores 𝑢 = (2, 1, 1) e 𝑣 =

(−1, −2, 3), obter o vetor 𝑥 tal que 3𝑥 + 2𝑣 = 𝑥 + (AB ⋅ 𝑢 ) ⋅ 𝑣 .

36. Mostrar que se 𝑢 e 𝑣 são vetores, tal que 𝑢 + 𝑣 é ortogonal a 𝑢 − 𝑣 , então 𝑢 = 𝑣 .

37. Mostrar que se 𝑢 é ortogonal a 𝑣 e 𝑤 , 𝑢 é também ortogonal a 𝑣 + 𝑤 .

28

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor

Para um vetor 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , chamam-se ângulos diretores de 𝑣 os ângulos 𝛼, 𝛽

e 𝛾 que 𝑣 forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 , respectivamente.

E cossenos diretores de 𝑣 são os cossenos de seus ângulos diretores, ou seja, cos 𝛼,

cos 𝛽 e cos 𝛾.

Para o cálculo desses valores utilizaremos o produto escalar: 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ cos 𝜃,

explicitando cos 𝜃, tem-se:

cos 𝜃 =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 ⋅ 𝑣

Sendo assim, para um vetor 𝑣 , temos

cos 𝛼 =𝑣 ⋅ 𝑖

𝑣 ⋅ 𝑖 =

𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ (1, 0, 0)

𝑣 ⋅ 1=

𝑥

𝑣

cos 𝛽 =𝑣 ⋅ 𝑗

𝑣 ⋅ 𝑗 =

𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ (0, 1, 0)

𝑣 ⋅ 1=

𝑦

𝑣

cos 𝛾 =𝑣 ⋅ 𝑘

𝑣 ⋅ 𝑘 =

𝑥, 𝑦, 𝑧 ⋅ (0, 0, 1)

𝑣 ⋅ 1=

𝑧

𝑣

Exemplos

I. Calcule os ângulos diretores do vetor 𝑣 = (1, 0, −1).

Solução:

Precisamos apenas de 𝑣 = 12 + 02 + −1 2 = 2, pois

cos 𝛼 =𝑥

𝑣 ⇒

1

2=

2

2∴ 𝛼 = 45°

cos 𝛽 =𝑦

𝑣 ⇒

0

2= 0 ∴ 𝛽 = 90°

cos 𝛾 =𝑧

𝑣 ⇒

−1

2= −

2

2∴ 𝛾 = 135°

29

II. Se os ângulos diretores de um vetor são 𝛼, 45° e 60°, determine 𝛼.

Solução:

As coordenadas do versor de um vetor 𝑣 podem ser dadas por:

𝑣

𝑣 =

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑣 =

𝑥

𝑣 ,𝑦

𝑣 ,

𝑧

𝑣

ou seja, pelos cossenos diretores, já que

𝑥

𝑣 ,

𝑦

𝑣 ,

𝑧

𝑣 = (cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾)

daí como o versor é unitário, concluímos que

cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1

usando esta ultima equação, temos

cos2 𝛼 + cos2 45° + cos2 60 = 1 ⇒ cos 𝛼 = ±1

2

assim, 𝛼 = 60° ou 𝛼 = 120°

III. Um vetor 𝑣 forma com os vetores 𝑖 e 𝑗 os ângulos de 60° e 120°, respectivamente.

Determinar o vetor 𝑣 , sabendo que 𝑣 = 2.

Solução:

Neste caso, 𝛼 = 60° e 𝛽 = 120°, logo

cos 𝛼 =𝑥

𝑣 ⇒

1

2=

𝑥

2⇒ 𝑥 = 1

e

cos 𝛽 =𝑦

𝑣 ⇒ −

1

2=

𝑦

2⇒ 𝑦 = −1

Sabemos ainda que

𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

por conseguinte,

2 = 12 + −1 2 + 𝑧2

assim,

𝑧 = ± 2

Por fim,

𝑣 = (1, −1, 2) ou 𝑣 = (1, −1, − 2)

30

Projeção de um vetor sobre outro

Sejam 𝑢 e 𝑣 vetores quaisquer e AB a medida da projeção ortogonal do vetor 𝑣

sobre a direção do vetor 𝑢 . Observe as duas situações possíveis, sendo 𝜃 agudo ou obtuso:

Nos dois casos acima, o vetor AB é chamado de projeção ortogonal de 𝑣 sobre 𝑢 e

indicamos por:

AB = proju 𝑣

onde

proju 𝑣 =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 2⋅ 𝑢

Vamos verificar esta ultima igualdade para o caso em que 𝜃 é agudo, observe:

Do triângulo retângulo ABP (ao lado), vem:

AB = 𝑣 ⋅ cos 𝜃 (i)

e, sabemos que

𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ cos 𝜃 (ii)

associando (i) e (ii), temos

AB =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 (iii)

Ora, como AB ∥ 𝑢 , logo

AB = α ⋅ 𝑢 , α ∈ ℝ+ (iv)

assim,

AB = α ⋅ 𝑢

α = AB

𝑢 (v)

Associando (v) com (iii), vem

α =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 2 (vi)

Por fim, substituindo (vi) em (iv), temos

AB =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 2⋅ 𝑢 ou proju 𝑣 =

𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 2⋅ 𝑢

31

Exemplos

I. Determinar o vetor projeção de 𝑣 = (3, 4, 5) sobre 𝑢 = (−1, 1, 0).

Solução:

Usando a relação

proju 𝑣 =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 2⋅ 𝑢

temos

proju 𝑣 = 3, 4, 5 ⋅ −1, 1, 0

−1, 1, 0 ⋅ −1, 1, 0 ⋅ −1, 1, 0

= −3 + 4 + 0

1 + 1 + 0 ⋅ −1, 1, 0

=1

2⋅ −1, 1, 0

= −1

2,1

2, 0

II. Prove a seguinte relação

proju 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢

Solução:

Uma vez que

proju 𝑣 = α ⋅ 𝑢

e, da equação (vi) da página anterior, vem

α = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢 2

logo

proju 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢

III. Determine o módulo da projeção de 𝑢 = (5, −4, −3) sobre 𝑣 = (0, −4, −3).

Solução:

Usando a relação do exemplo anterior, temos

proju 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢

𝑢

= 5, −4, −3 ⋅ 0, −4, −3

02 + −4 2 + −3 2

=25

5= 5

32

Exercícios

38. Dados os pontos A(2, 2, −3) e B(3, 1, −3), calcular os ângulos diretores do vetor AB .

39. Os ângulos diretores de um vetor são 30°, 𝛽 e 60°. Determinar 𝛽.

40. Determinar o vetor 𝑣 , sabendo que 𝑣 = 5, 𝑣 é ortogonal ao eixo O𝑧, 𝑣 ⋅ 𝑤 = 6 e

𝑤 = 2𝑦 + 3𝑧 .

41. Sabe-se que 𝑣 = 2, cos 𝛼 = 1/2 e cos 𝛽 = −1/4. Determinar 𝑣 .

42. Determinar o vetor projeção do vetor 𝑢 = (1, 2, −3) na direção de 𝑣 = (2, 1, −2).

43. Qual o comprimento do vetor projeção de 𝑢 = (3, 5, 2) sobre o eixo das abscissas?

33

2.2.) Produto Vetorial

Nesta secção daremos lugar ao um novo (e importante) tipo de produto com vetores.

Diferentemente do produto escalar que tem como resultado um número real, este novo

produto resultará em um vetor, daí o nome produto vetorial.

Triedro positivo

Imagine um observador postado sobre um vetor 𝑤 e de frente para os vetores 𝑢 e 𝑣 ,

de forma que 𝑢 esteja à sua direita e 𝑣 à sua esquerda.

Satisfeitas estas condições, dizemos que 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 , nesta ordem, formam um triedro

positivo. Esta convenção é comumente expressa pela regra da mão direita:

onde o dedo indicador, o médio e o polegar, nesta ordem, representam as direções

de 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 , respectivamente.

Definição de produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores 𝑢 e 𝑣 não paralelos entre si, indicado por 𝑢 × 𝑣 , é

um terceiro vetor que satisfaz as seguintes características:

i) 𝑢 × 𝑣 é perpendicular ao plano gerado por 𝑢 e 𝑣 .

ii) 𝑢 , 𝑣 e 𝑢 × 𝑣 , nesta ordem formam um triedro positivo.

iii) 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ sen 𝜃.

34

O produto vetorial de dois vetores 𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 ,

nesta ordem, que satisfaz as três características enunciadas anteriormente é definido por:

𝑢 × 𝑣 = 𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2 𝑖 −

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2 𝑗 +

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2 𝑘

Segundo o Teorema de Laplace para determinantes, sugere que a expressão anterior

poderia ser escrita como:

𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

No entanto, esta ultima não representa de fato um determinante, pois além de

escalares, contém também vetores. De todo modo, usaremos esta notação devido à

facilidade de memorização.

Observação:

O produto vetorial também pode ser indicado por 𝑢 ∧ 𝑣 e se lê “𝑢 vetorial 𝑣 ”.

Exemplos

I. Calcular 𝑢 × 𝑣 para 𝑢 = 𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 e 𝑣 = 5𝑖 + 4𝑘 .

Solução:

𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘

1 2 −15 0 4

= 2 −10 4

𝑖 − 1 −15 4

𝑗 + 1 25 0

𝑘

= 8 − 0 𝑖 − 4 + 5 𝑗 + (0 − 10)𝑘

= 8𝑖 − 9𝑗 − 10𝑘

II. Sabendo que 𝑢 = 3, 𝑣 = 2 e 45° é o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 , calcular 𝑢 × 𝑣 .

Solução:

Usando a ralação característica:

𝑢 × 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ sen 𝜃

é simples ver que

𝑢 × 𝑣 = 3 ⋅ 2 ⋅ sen 45°

= 3 ⋅ 2 ⋅ 2

2

= 3

35

Exemplo prático

No estudo do eletromagnetismo, quando uma partícula de carga 𝑞 e velocidade 𝑣 é

posta sob a ação de campo magnético B , verifica-se experimentalmente que a força F B

exercida pelo campo sobre a partícula é perpendicular a B e 𝑣 :

Verifica-se ainda, que esta força é proporcional ao seno o ângulo “𝜙” entre B e 𝑣 e,

proporcional à carga 𝑞. Deste modo, pôde-se concluir o seguinte produto vetorial:

F B = 𝑞𝑣 × B e que F B = 𝑞𝑣 ⋅ B ⋅ sen 𝜙

Propriedades importantes

O produto vetorial possui certas propriedades que podem ser verificadas através das

propriedades dos determinantes, por ora eles parecerão plausíveis ao nosso estudo.

Sendo 𝑢 e 𝑣 vetores quaisquer e 𝜆 ∈ ℝ, temos:

i) 𝑢 × 𝑢 = 0, já que neste caso sen 𝜃 = 0.

ii) 𝑢 × 𝑣 = −𝑣 × 𝑢 , observe a figura abaixo:

perceba que 𝑣 , 𝑢 e −𝑣 × 𝑢 , nesta ordem, formam um triedro positivo.

iii) 𝜆 𝑢 × 𝑣 = 𝜆𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × 𝜆𝑣 .

iv) 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤

v) 𝑢 × 𝑣 = 0 se 𝑢 ou 𝑣 for igual a 0 , ou se 𝑢 e 𝑣 forem colineares.

36

Produto vetorial dos versores 𝒊 , 𝒋 e 𝒌

Em particular 𝑖 , 𝑗 e 𝑘 formam, nesta ordem, um triedro positivo.

Na prática, podemos imaginar uma relação cíclica em

que o produto vetorial de dois destes vetores gera o

terceiro no sentido anti-horário.

Pelas propriedades da página anterior, se deduz as

seguintes combinações e seus resultados:

× 𝑖 𝑗 𝑘

𝑖 0 𝑘 −𝑗

𝑗 −𝑘 0 𝑖

𝑘 𝑗 −𝑖 0

Área de um paralelogramo e de um triângulo

Seja um paralelogramo ABCD sobre AB e AD e ℎ a sua altura, observe:

Da geometria plana, temos

S = AB ⋅ ℎ

mas veja que ℎ = AD ⋅ sen 𝜃

Logo:

S = AB ⋅ AD ⋅ sen 𝜃

ou

S = AB × AD

Sendo um triângulo a “metade” de um paralelogramo, temos:

S∆ =1

2 AB × AD

37

Exemplos

I. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores 𝑢 = (3, 0, 4) e 𝑣 = (7, 0, 1).

Solução:

Sendo S a área do paralelogramo, usemos

S = 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ sen θ

onde

𝑢 = 32 + 02 + 42 = 5 e 𝑣 = 72 + 02 + 12 = 5 2

e

cos 𝜃 =𝑢 ⋅ 𝑣

𝑢 ⋅ 𝑣 =

3 ⋅ 7 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1

5 ⋅ 5 2=

2

2∴ 𝜃 = 45°

Logo

S = 𝑢 × 𝑣 = 5 ⋅ 5 2 ⋅ 2

2

S = 25 u. a.

II. Calcule a área do triângulo de vértices A(1, 0,1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0).

Solução:

É uma aplicação direta de

S∆ =1

2 AB × AC

em que

AB = (3, 2, 0) e AC = (0, 2, −1)

assim

AB × AD = 2 02 −1

𝑖 − 3 00 −1

𝑗 + 3 20 2

𝑘 = −2𝑖 + 3𝑗 + 6𝑘

por conseguinte

AB × AD = −2 2 + 32 + 62 = 7

logo

S∆ =1

2 7

S∆ =7

2 u. a.

Observação:

Perceba nos exemplos acima que foi calculado o módulo de um produto vetorial

através pela relação 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 ⋅ sen θ e, também usando o módulo de um

vetor: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2, tendo é claro, determinado as coordenadas de 𝑢 × 𝑣 .

38

Exercícios

44. Dados os vetores 𝑢 = 2𝑖 − 𝑗 + 𝑘 , 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 e 𝑤 = −𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 , determine:

a) 𝑢 × 𝑢 b) 𝑤 × 𝑣

c) 𝑣 × 𝑤 − 𝑢 d) 2𝑢 × 3𝑣

e) (𝑢 + 𝑣 ) ⋅ 𝑢 × 𝑤

45. Dados os pontos A(2, −1, 2), B(1, 2, −1) e C(3, 2, 1), determine o ponto D tal que

AD = BC × AC .

46. Um próton passa por um ponto P de um campo magnético B com uma velocidade de

𝑣 = 2,0 ⋅ 106𝑚/𝑠. A direção de B neste ponto é perpendicular à trajetória do próton

e a força que atua no mesmo é de 𝐹 = 4,8 ⋅ 10−15N. Determine o módulo de B .

47. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AD , sendo

A(1, −2, 3), B(4, 3, −1) e C(5, 7, −3).

48. Calcule a área do triângulo de vértices A(0, 0, 2), B(3,−2, 8) e C(−3, −5, −10).

39

2.3.) Produto Misto

Volume de um paralelepípedo

Introduziremos esta secção com o problema de definir o volume de um paralelepípedo

em função dos vetores 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 , onde os mesmos representam as arestas do sólido.

Seja o paralelepípedo abaixo, onde ℎ é sua altura, S a superfície da base e V o volume:

Sabemos da geometria espacial que

V = S ⋅ ℎ

No entanto, vimos que

S = 𝑢 × 𝑣

E do triângulo retângulo AE’E, temos

ℎ = 𝑤 ⋅ cos 𝜃

Logo podemos escrever

V = 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 ⋅ cos 𝜃

Como 𝜃 é a medida do ângulo formado pelos vetores 𝑢 × 𝑣 e 𝑤 , a ultima expressão

representa o produto escalar dos mesmos, logo:

V = 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤

Definição de produto misto

O produto misto dos vetores 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 , nessa ordem, é o número real, indicado por

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 tal que:

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤

Observação:

Não há necessidade do uso de parênteses na notação acima, pois não faz sentido

interpretar como: o produto vetorial do vetor 𝑢 pelo escalar 𝑣 ⋅ 𝑤 , além disso, “𝑢 × 𝑣 ”

indica apenas um único vetor.

40

Expressão cartesiana do produto misto

Seja 𝑢 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 , 𝑣 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 e 𝑤 = 𝑥3𝑖 + 𝑦3𝑗 + 𝑧3𝑘 ,

A partir de que

𝑢 × 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

= 𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2 𝑖 −

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2 𝑗 +

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2 𝑘

temos

𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑦1 𝑧1

𝑦2 𝑧2 𝑥3 −

𝑥1 𝑧1

𝑥2 𝑧2 𝑦3 +

𝑥1 𝑦1

𝑥2 𝑦2 𝑧3

por conseguinte

𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 =

𝑥1 𝑦1 𝑧1

𝑥2 𝑦2 𝑧2

𝑥3 𝑦3 𝑧3

Exemplos

I. Calcular o produto misto dos vetores 𝑢 = (2, 3, 5), 𝑣 = −1, 3, 3 e 𝑤 = (4, −3, 2).

Solução:

E para quem não se lembra da regra de Sarrus, façamos “detalhadamente”

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 2 3 5

−1 3 34 −3 2

= 2 3 5

−1 3 34 −3 2

2 3

−1 34 −3

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 15 + 36 + 12 − 60 − 18 − 6 = 27

É claro que o leitor pode optar por desenvolver conforme já foi mostrado:

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 2 3 5

−1 3 34 −3 2

= 3 53 3

4 − 2 5−1 3

−3 + 2 3

−1 3 2

= 3 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ −1 ⋅ −3 + 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ −1 2

= 27

4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

−3 ⋅ 3 ⋅ 2 = −18

2 ⋅ −1 ⋅ 3 = −6

−3 ⋅ −1 ⋅ 5 = 15

4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36

2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12

41

II. Sendo os vetores 𝑢 = 3, −2, 6 , 𝑣 = (−3, −5, 8) e 𝑤 = (1, 0, 1), calcule o volume

do paralelepípedo construido sobre os mesmos.

Solução:

Como foi visto, tal volume pode ser dado por

V = 𝑢 , 𝑣 , 𝑤

logo

V = 3 −2 6

−3 −5 81 0 1

= −2 6−5 8

1 − 3 6

−3 8 0 +

3 −2−3 −5

1

= −16 + 30 + (−15 − 6)

= −7 u. v. (?!)

Observação

Pelo ultimo exemplo, o volume V indicado no início dessa secção pode “ser negativo”

e, por isso seria importante defini-lo como V = 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 . A determinação do sinal

obedece a propriedade i) abaixo.

Propriedades importantes do produto misto

Como o produto misto é definido a partir de um determinante, suas propriedades

também podem ser verificadas aplicando as propriedades dos determinantes.

Para todo 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 , e 𝜃 o ângulo entre 𝑢 × 𝑣 e 𝑤 , temos:

i) Em relação ao sinal:

Se 0° < 𝜃 < 90° ⇒ cos 𝜃 > 0 ⇒ 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 > 0

Se 90° < 𝜃 < 180° ⇒ cos 𝜃 < 0 ⇒ 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 < 0

𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 = 0, se, e somente se, os três vetores forem coplanares

ii) Em relação à ordem dos fatores:

A permutação cíclica dos fatores não altera o sinal do produto misto. Mas há a

alteração de seu sinal caso a permutação não seja cíclica. Observe:

𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑤 × 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 × 𝑤 ⋅ 𝑢

42

Volume de um tetraedro

Seja o tetraedro abaixo definido pelos pontos ABCD, onde ℎ é sua altura, S a superfície

da base e V o volume:

Como este sólido é uma pirâmide, da geometria métrica, vem

V =1

3⋅ S ⋅ ℎ

No entanto, vimos que

S =1

2⋅ 𝑢 × 𝑣

E do triângulo retângulo AD’D, temos

ℎ = 𝑤 ⋅ cos 𝜃

Logo podemos escrever

V =1

6 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤 ⋅ cos 𝜃

Como 𝜃 é a medida do ângulo formado pelos vetores 𝑢 × 𝑣 e 𝑤 , a ultima expressão

representa 1/6 do produto escalar dos mesmos, logo:

V =1

6 𝑢 × 𝑣 ⋅ 𝑤

Exemplos

I. Verifique se os vetores 𝑢 = (3, −1, 2), 𝑣 = (1, 2, 1) e 𝑤 = (−2, 3, 4) são coplanares.

Solução:

Basta verificar se 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 é igual à zero:

𝑢 , 𝑣 , 𝑤 = 3 −1 21 2 1

−2 3 4 = 35 ≠ 0

assim, os vetores não são coplanares.

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II. Para que valor de 𝑚 os pontos A(𝑚, 1, 2), B(2,−2, −3), C(5, −1, 1) e D(3, −2, −2)

são coplanares.

Solução:

Se os pontos são coplanares, então são coplanares os vetores AB , AC e AD .

para tanto, deve-se ter

AB , AC , AD = 0

isto é

2 − 𝑚 −3 −55 − 𝑚 −2 −13 − 𝑚 −3 −4

= 0

ou

4 − 𝑚 = 0

𝑚 = 4

III. Sejam A(−1, 3, 2), B(0, 1, −1), C(−2, 0, 1) e D(1, −2, 0) os vértices de um tetraedro.

Calcular o volume desse tetraedro.

Solução:

Sabemos que o volume será dado por

V =1

6 AB , AC , AD

onde

AB , AC , AD = 1 −2 −3

−1 −3 −12 −5 −2

= −24

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V =1

6 −24 = 4 u. v.

Exercícios

49. Calcule 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 para 𝑢 = (3, −1, 1), 𝑣 = (1, 2, 2) e 𝑤 = (2, 0, −3).

50. Do exercício anterior, determine 𝑣 , 𝑤 , 𝑢 .

51. Verifique se os vetores 𝑢 = (2, −1, 0), 𝑣 = (3, 1, 2) e 𝑤 = (7, −1, 2) são coplanares.

52. Verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares:

a) A(1, 1, 1), B(−2, −1, −3), C(0, 2, −2) e D(−1, 0, −2)

b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1, −2, 2)

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53. Determine 𝑘 para que os vetores 𝑢 = (2, −1, 𝑘), 𝑣 = (1, 0, 2) e 𝑤 = (𝑘, 3, 𝑘) sejam

coplanares.

54. Determine o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 𝑢 = (3, −1, 4),

𝑣 = (2, 0, 1) e 𝑤 = (−2, 1, 5).

55. Determine o volume do tetraedro ABCD, para A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e

D(4, 2, 7).

56. Os vetores 𝑢 = (2, −1, −3), 𝑣 = (−1, 1, −4) e 𝑤 = (𝑚 + 1, 𝑚, −1) determinam o

volume de 42 u.v. Calcule 𝑚.

57. Calcular o valor de 𝑚 para que o paralelepípedo determinado pelos vetores

𝑣 1 = 2𝑖 − 𝑗 , 𝑣 2 = 6𝑖 + 𝑚𝑗 − 2𝑘 e 𝑣 3 = −4𝑖 + 𝑘 seja igual a 10 u.v.