Matakuliah : Kalkulus Peubah banyak Tahun : 2016 Prodi : Teknik Industri

1

APLIKASI DERIVATIF PARSIAL

“NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM”

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu menggunakan derivatif parsial untuk menentukan nilai ekstrim (maksimum, minimum) pada fungsi dua variabel

2

3

Definisi Maksimum & Minimum

Telah kita ketahui sebelumnya bahwa 𝑝 = (𝑥, 𝑦) merupakan titik

sebarang (general) dan 𝑝0 = 𝑥0, 𝑦0 merupakan titik tetap

(tertentu).

Diketahui 𝑓 merupakan fungsi dengan daerah asal 𝑆, dan misalkan

𝑝0 adalah titik di dalam 𝑆.

(i) 𝑓(𝑝0) adalah nilai maksimum global dari 𝑓 pada 𝑆 jika

𝑓(𝑝0) ≥ 𝑓 𝑝 untuk semua 𝑝 di 𝑆.

(ii) 𝑓(𝑝0) adalah nilai minimum global dari 𝑓 pada 𝑆 jika

𝑓(𝑝0) ≤ 𝑓 𝑝 untuk semua 𝑝 di 𝑆.

(iii) 𝑓(𝑝0) adalah nilai ekstrim global dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑝0)

adalah suatu nilai maksimum global atau suatu nilai minimum

global.

4

Selanjutnya 𝑓(𝑝0) disebut nilai maksimum lokal atau nilai

minimum lokal. jika pada point (i) dan (ii) disyaratkan bahwa

pertidaksamaan 𝑓(𝑝0) ≥ 𝑓 𝑝 dan 𝑓(𝑝0) ≤ 𝑓 𝑝 berlaku hanya

pada 𝑁 ∩ 𝑆, dimana 𝑁 adalah lingkungan/persekitaran dari 𝑝0.

Dan 𝑓 𝑝0 disebut nilai ekstrim lokal dari 𝑓 jika 𝑓 𝑝0 adalah

nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

Gambar 1. Minimum lokal dan maksimum lokal

5

Dimana nilai-nilai ekstrim terjadi?

Misalkan 𝑓 adalah fungsi dengan domain 𝑆 yang memuat 𝑝0. Jika 𝑓 𝑝0 adalah

suatu nilai ekstrim maka 𝑝0 haruslah berupa salah satu dari titik-titik kritis

berikut :

1. Pada titik-titik perbatasan domain.

2. Pada titik-titik stasioner. Titik 𝑝0 disebut titik stasioner jika 𝑝0 adalah

suatu titik pada domain 𝑆 (daerah dimana 𝑓 terdefinisi) dan 𝛁𝒇 𝒑𝟎 = 𝟎.

Pada titik tersebut, bidang singgungnya mendatar.

3. Pada titik-titik singular. . Titik 𝑝0 disebut titik singular jika 𝑝0 adalah

suatu titik pada daerah 𝑆 dimana 𝑓 tidak terdefinisi, misalkan titik dimana

grafik 𝑓 mempunyai belokan tajam.

6

7

Contoh :

Carilah nilai-nilai ekstrim 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 +𝑦2

4.

Penyelesaian:

Fungsi yang diberikan diatas diferensiabel di sepanjang daerah asal

(bidang−𝑥𝑦). Jadi titik-titik kritis yang mungkin hanyalah titik-titik

stasioner yang diperoleh dengan menetapkan 𝛁𝒇 𝒑𝟎 = 𝟎 atau

dengan kata lain 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 0 dan 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 0.

Diperoleh

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 2 = 0 sehingga diperoleh 𝑥 = 1,

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 =2𝑦

4=

𝑦

2= 0 sehingga diperoleh 𝑦 = 0.

8

Dengan demikian fungsi 𝑓 mencapai nilai ekstrim hanya pada

satu titik di 1,0 dengan nilai ektrimnya 𝑓 1,0 = −1.

Dengan kata lain, titik ekstrim dari 𝑓 adalah 1,0, −1 .

In[7]:= Plot3D x2

2 xy2

4, x, 10, 10 , y, 10, 10

Out[7]=

9

UJI PARSIAL KEDUA

Diketahui fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 mempuyai turunan parsial kedua yang

kontinu di lingkungan/persekitaran dari 𝑥0, 𝑦0 dan 𝛁𝒇 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 = 𝟎.

Didefinisikan

𝐷 = 𝐷 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦

𝑥0 , 𝑦0

= 𝑓𝑥𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑓𝑦𝑦 𝑥0 , 𝑦0 − 𝑓𝑥𝑦2 (𝑥0, 𝑦0)

Apakah harus selalu digambar sketsa grafiknya untuk

menentukan apakah titik ekstrim suatu fungsi

merupakan nilai minimum atau nilai maksimum?

10

Maka

1. Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥 𝑥0, 𝑦0 < 0, maka fungsi 𝑓 mencapai

maksimum lokal di 𝑥0, 𝑦0 . Dengan nilai maksimumnya

𝑓 𝑥0, 𝑦0 , dan titik maksimumnya 𝑥0, 𝑦0, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ;

2. Jika 𝐷 > 0 dan 𝑓𝑥𝑥 𝑥0, 𝑦0 > 0, maka fungsi 𝑓 mencapai

minimum lokal di 𝑥0, 𝑦0 . Dengan nilai minimumnya

𝑓 𝑥0, 𝑦0 , dan titik minimumnya 𝑥0, 𝑦0, 𝑓 𝑥0, 𝑦0 ;

3. Jika 𝐷 < 0, maka 𝑥0, 𝑦0 adalah titik pelana dan

𝑓 𝑥0, 𝑦0 bukan nilai ekstrim;

4. Jika 𝐷 = 0, maka pengujian tidak memberikan

kesimpulan.

11

Gambar 2. Klasifikasi titik kritis untuk fungsi satu variabel

12

Contoh:

13

14

Jawab:

15

16

Algoritma Minimum dan Maksimum Global

Berikut diberikan algoritma untuk menentukan global

extrema, yaitu minimum dan maksimum global.

1. Tentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam

daerah asal 𝐷 dan tetapkan nilai fungsinya.

2. Tentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas

(boundary).

3. Nilai terkecil dan terbesar yang didapat dalam kedua

langkah di atas adalah nilai minimum global dan nilai

maksimum global.

17

Contoh 4.

Tentukan titik minimum global dan maksimum global dari

𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑦2 + 6𝑦

pada daerah lingkaran dengan radius 4, yaitu

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 16.

Penyelesaian: 1. Menentukan semua titik kritis dari fungsi di dalam daerah di dalam lingkaran

dan tetapkan nilai fungsinya.

𝑓𝑥 = 4𝑥 = 0 (1)

𝑓𝑦 = −2𝑦 + 6 = 0.

Diperoleh 𝑥 = 0 dan 𝑦 = 3. Sehingga titik kritis fungsi adalah

(0,3),

dengan nilai fungsi

𝑓 0,3 = 9.

18

2. Menentukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary) berbentuk

lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 = 16.

Karena 𝑥2 = 16 − 𝑦2, sehingga diperoleh

𝑔 𝑦 = 2 16 − 𝑦2 − 𝑦2 + 6𝑦 = −3𝑦2 + 6𝑦 + 32.

Kemudian mencari titik kritis 𝑔(𝑦) pada range −4 ≤ 𝑦 ≤ 4.

𝑔′ 𝑦 = 0

⇔ −6𝑦 + 6 = 0

⇔ 𝑦 = 1

Nilai 𝑔 pada titik-titik ujung 𝑦 = −4, 𝑦 = 4 dan titik kritis 𝑦 = 1 adalah

𝑔 −4 = −40, 𝑔 4 = 8, 𝑔 1 = 35.

Karena 𝑥2 = 16 − 𝑦2, sehingga diperoleh

𝑦 = −4: 𝑥2 = 16 − 16 = 0 → 𝑥 = 0

𝑦 = 4 ∶ 𝑥2 = 16 − 16 = 0 → 𝑥 = 0

𝑦 = 1 ∶ 𝑥2 = 16 − 1 = 15 → 𝑥 = ± 15

19

Dikembalikan ke fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) diperoleh

𝑓 0, −4 = −40

𝑓 0,4 = 8

𝑓 15, 1 = 35

𝑓 − 15, 1 = 35.

3. Jadi, fungsi 𝑓 mencapai minimum global di 0, −4 dengan

nilai minimum −40 dan mencapai maksimum global di

( 15, 1) dan (− 15, 1) dengan nilai maksimumnya 35.

21

Referensi:

James Stewart. (2003). Kalkulus. Edisi Keempat. Jilid 2. (terjemahan : I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan), Erlangga, Jakarta.

Purcell, E.J Varberg, D. (2003). Kalkulus dan Geometri Analitis. Edisi Kedelapan. Jilid 2. (terjemahan : I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh), Erlangga, Jakarta.

Bahan Ajar Kalkulus 3, Universitas Bina Nusantara