2A УДК 004.932.72’1

«Искусственный интеллект» 1’2003 126

УДК 004.932.72’1 А.В. Агарков Институт проблем искусственного интеллекта, г. Донецк, Украина

Построение карты диспаратности на основе сравнения графов

В работе представлены два алгоритма, позволяющие за сравнительно короткое время получать карту диспаратностей. Алгоритмы основаны на представлении изображений стереопары в виде графов с последующим их сравнением. Алгоритмы различаются объёмом обрабатываемых данных: один алгоритм обрабатывает всё изображение, второй – только области, принадлежащие границам. Первый алгоритм оставляет меньше «белых пятен» на карте диспаратности, но второй более точно определяет диспаратность и за меньшее время, чем первый.

Введение

Проблеме стереозрения, т.е. восстановлению карты глубины (или карты диспаратности), формы трёхмерных объектов по нескольким изображениям одной сцены, полученным из разных точек, посвящена масса работ, причём проблема остаётся актуальной по сей день. Причина этого, по-видимому, в том, что пока ещё не найден надёжный и быстрый алгоритм решения этой задачи, в то время как интерес к ней не угасает ввиду перспективности применения стереозрения в различных областях (от систем навигации для мобильных роботов до систем интеллектуальных интерфейсов). Основные усилия направлены на определение диспаратности, т.е. смещения пикселя одного изображения относительно соответствующего ему пикселя другого изображения. Линии, вдоль которых происходит это смещение, называются эпиполярными. Зная диспаратность и расстояние между точками съёмки, можно определить расстояние до точек сцены и, соответственно, восстановить форму объектов.

Основная масса работ по этой теме посвящена развитию методов, основанных на корреляционном подходе, и методов на основе минимизации энергии. Корреляционный подход состоит в том, что поиск соответствия между пикселями на разных изображениях одной сцены производится с помощью небольшой области, выстраиваемой вокруг пикселя, для которого нужно найти соответствие. Данная область сравнивается с аналогичными областями на другом изображении, построенными вокруг пикселей – кандидатов на соответствие. Число пикселей-кандидатов ограничено, т.к. соответствующие пиксели на разных изображениях сдвинуты относительно друг друга вдоль эпиполярных линий. Алгоритмы, которые способны рассчитывать карту диспаратности за короткое

2A


«Штучний інтелект» 1’2003 127

время, основаны, как правило, на этом принципе. Развитию данного подхода посвящены работы [1-6].

В методах, основанных на минимизации энергии, строится некая функция, называемая энергетической, значение которой зависит от того, какие пиксели с одного изображения ставятся в соответствие пикселям с другого изображения. Данная функция должна минимизироваться при правильном соответствии. Работы [7], [8], в которых развивается этот метод, посвящены выбору энергетической функции и способам быстрого поиска соответствия между пикселями, принадлежащими разным изображениям, которое минимизирует эту функцию. Качество результатов, полученных с помощью алгоритмов, основанных на этом принципе, намного выше, чем при использовании корреляционного подхода, но на это уходит гораздо больше времени.

В ряде работ развиваются другие методы решения задачи стереозрения. Например, [9-11] посвящены развитию подхода, при котором на изображениях выделяются отдельные детали и уже между ними устанавливается соответствие, которое затем используется при восстановлении трехмерной формы объектов, а алгоритмы, описанные в [12], [13], основаны на применении цепей Маркова.

Предложенные здесь алгоритмы построены на несколько иных принципах. Каждое из изображений стереопары представляется в виде графа, каждому узлу которого соответствует один пиксель. Определив изоморфные пересечения этих двух графов, мы найдем соответствие между пикселями изображений стереопары. Поиск изоморфных пересечений облегчён тем, что всем узлам, принадлежащим одному изоморфному пересечению, соответствуют пиксели с одинаковой диспаратностью.

Такой подход позволяет довольно просто определять диспаратность для пикселей, принадлежащих текстурированным областям, и пиксели, для которых нет соответствующих на другом изображении стереопары.

Описание алгоритма Имеются два изображения одной сцены (стереопара), полученных из разных

точек таким образом, что эпиполярные линии расположены вдоль строк изображений. Расстояние между точками съёмки намного меньше, чем расстояние до ближайшего объекта сцены. Каждой точке сцены, изображённой на стереопаре, соответствует пара пикселей (один пиксель с левого изображения, другой – с правого), которые смещены относительно друг друга на величину диспаратности. Линии, вдоль которых происходит смещение, называются эпиполярными. Наша задача – найти эти пары пикселей, т.е. для каждого пикселя левого изображения найти соответствующий ему пиксель правого изображения (или наоборот) и, соответственно, диспаратность. Однако следует заметить, что подобное соответствие не всегда существует. Дело в том, что могут существовать точки сцены, изображения которых на одном из изображений присутствует, а на другом нет, поскольку перекрывается изображением более близкого к камере объекта.

2A

Агарков А.В.


Для того чтобы найти данные пары пикселей, рассмотрим каждое из изображений как граф, узлами которого являются пиксели. В качестве атрибутов узла возьмём характеристики соответствующего пикселя (оттенок серого (яркость), значения производных оттенка серого (если изображения черно-белые), значения составляющих цветов (если изображения цветные) и т.д.). Рёбрами соединим все узлы, т.е. каждый с каждым. В качестве атрибутов рёбер возьмём векторы между соответствующими пикселями. Фактически получилась клика, т.е. граф, каждый узел которого соединён со всеми остальными узлами.

Далее необходимо найти все изоморфные пересечения двух получившихся графов. Вообще говоря, сравнение двух графов за короткое время – задача нетривиальная, и этому вопросу посвящено большое количество работ [14], [15].

Одним из методов поиска изоморфного пересечения двух графов является метод ассоциированного графа. Суть его заключена в следующем. Даны два графа,

),( 111 EVG и ),( 222 EVG , где iV – множество узлов ( iij Vv ), а iE – множество

рёбер ( iij Ee ) соответствующего графа. Узлами ассоциированного графа ),( EVA

являются пары ),( 21ji vv , составленные из узлов, принадлежащих разным графам.

Причём атрибуты узлов 1iv и 2

jv совпадают или из каких-либо соображений

считаются совпадающими. Узлы ассоциированного графа ),( 21ji vv и ),( 21

kl vv соединяются ребром только в том случае, если существуют ребра, соединяющие узлы 1

iv и 1lv ( ),(: 111

11

lihh vveEe ) и узлы 2jv и 2

kv ( ),(: 1111

1lihh vveEe ),

причем атрибуты этих рёбер, как и в случае с узлами, должны совпадать или по каким-либо условиям считаться совпадающими. Затем в ассоциированном графе находятся максимальные клики, т.е. клики, которые не являются частью большей клики. Эти клики соответствуют изоморфным пересечениям графов 1G и 2G . Обычно выбирают максимальную клику с наибольшим числом узлов.

В нашем случае это означает, что узлам ассоциированного графа соответствуют пары пикселей, принадлежащих разным изображениям стереопары, имеющих сходные характеристики. Каждому узлу ассоциированного графа соответствует вектор смещения пикселя одного изображения относительно пикселя другого изображения. Узлы ассоциированного графа ),( 21

ji vv и ),( 21kl vv

соединяются ребрами только в том случае, если вектор, соединяющий пиксели 1iv

и 1lv , совпадает с вектором, соединяющим пиксели 2

jv и 2kv . Таким образом, если

два узла ассоциированного графа соединены ребром, то векторы смещения, соответствующие им, совпадают, а это значит, что всем узлам ассоциированного графа, принадлежащим одной клике, соответствуют одинаковые векторы смещения. Следовательно, для того, чтобы найти все максимальные клики получившегося ассоциированного графа, достаточно разбить все узлы на группы так, чтобы в одной группе находились узлы, которым соответствуют одинаковые векторы смещения. Одна такая группа образует максимальную клику.

Задача значительно упрощается ещё и тем, что пиксели с разных изображений стереопары, соответствующие друг другу, лежат на эпиполярных

2A



линиях, которые по условию совпадают со строками изображений, и значения диспаратности для всех пар лежат в ограниченной области 0...D. Поскольку соответствие устанавливается между пикселями, то диспаратность принимает дискретные значения. Таким образом, количество узлов ассоциированного графа, которые могут быть образованы с помощью одного из пикселей, не больше количества возможных значений диспаратности.

Принимая во внимание всё вышесказанное, для того, чтобы найти изоморфные пересечения двух наших графов, представляющих изображения стереопары, необходимо для каждого значения диспаратности найти все пары пикселей, которые образуют узлы ассоциированного графа. Т.е. выбирается вектор смещения, направленный вдоль строк изображений, с модулем, равным одной из возможных диспаратностей. Для каждого пикселя одного изображения проверяем пиксель второго изображения, координаты которого получаются из координат первого пикселя путём добавления данного вектора смещения, на предмет образования узла ассоциированного графа. Если данная пара образует узел ассоциированного графа, то она включается в клику, характеризующуюся данным вектором смещения.

Фактически, изображения стереопары накладываются друг на друга со смещением вдоль строк, соответствующим данной диспаратности. Если характеристики наложенных друг на друга пикселей сходны – эта пара оставляется, если нет – исключается.

Очевидно, что максимальное количество оставшихся пар получается при условии, что изображение объекта, наибольшее по площади на одной картинке, полностью совпадёт с изображением этого же объекта на другой картинке.

К сожалению, этого недостаточно для определения искомого изоморфного пересечения. Дело в том, что при наличии текстурированных областей на изображениях стереопары возможна ситуация, когда при определённом векторе смещения, помимо совпадения изображений какого-либо объекта, могут совпасть изображения разных областей другого текстурированного объекта. Таким образом, простого подсчёта количества узлов в клике недостаточно.

Для того чтобы избежать подобных ошибок при установлении изоморфизма (диспаратности), воспользуемся тем, что изображение отдельного объекта является связной областью, причем, как правило, отделенной от остального изображения границами, т.е. областями с сильным изменением яркости.

Для каждого вектора смещения построим дополнительное бинарное изображение. Оно накладывается на одно из изображений стереопары, далее называемое опорным (обычно выбирают левое), так, чтобы каждый пиксель дополнительного изображения совпадал с пикселем выбранного изображения стереопары. Пиксель дополнительного изображения окрашивается в чёрный цвет, если соответствующий пиксель с опорного изображения при данном векторе смещения с соответствующим пикселем с другого изображения образует узел ассоциированного графа. Иначе пиксель окрашивается в белый цвет. Таким образом, для каждого возможного значения диспаратности получается бинарное изображение, на котором каждому чёрному пикселю соответствует определённый

2A



узел ассоциированного графа. Опорное изображение разбиваем на области, разделённые границами. Эти области назовём одноцветными.

На каждом дополнительном изображении находим связные области чёрного цвета, соответствующие одной одноцветной области на опорном изображении, и производим подсчёт пикселей в каждой из таких областей. На рис. 1 представлен пример построения дополнительного изображения: D – схема построения дополнительного изображения A, соответствующего диспаратности ,d для стереопары, представленной левым изображением B и правым – C.

На следующем этапе применяется следующая процедура. Среди всех областей на всех дополнительных изображениях выбирается та, которая имеет наибольшее количество пикселей. Всем пикселям опорного изображения, соответствующим пикселям данной области, устанавливается диспаратность, соответствующая дополнительному изображению, которому принадлежит данная область. Из дальнейшего рассмотрения исключаются те пиксели, для которых диспаратность установлена. Т.е. если на дополнительном изображении пиксель, соответствующий пикселю опорного изображения, для которого диспаратность определена, окрашен в чёрный цвет, то его цвет меняется на белый и размер соответствующей области уменьшается на единицу.

A B C

D

Рисунок 1 – Построение дополнительного изображения

2A



Данная процедура выполняется циклически до тех пор, пока размер максимальной области больше нуля или некоего порога. После выполнения данного цикла часть пикселей опорного изображения остаётся без диспаратности. Это те пиксели, для которых не найдены соответствующие им пиксели второго изображения. Часть этих пикселей действительно не имеет соответствия со вторым изображением вследствие перекрытий.

Чтобы снизить время обработки, можно уменьшить объём обрабатываемых данных. Для этого рассмотрим только пиксели, принадлежащие границам. Порядок действий точно такой, как описано выше, за исключением того, что узлы ассоци-ированного графа могут образовывать только пиксели, принадлежащие границам.

Далее алгоритм, использующий всё изображение, будем обозначать ТА (total algorithm), а алгоритм, использующий только границы, – ВА (border algorithm). Действительно, как и предполагалось, ВА обрабатывает стереопару за меньшее время, чем ТА, но оставляет намного больше «белых пятен» (т.е. пикселей, для которых диспаратность не установлена) на карте диспаратности.

Для части пикселей, для которых диспаратность найти не удалось, т.е. для «белых пятен», диспаратность можно найти с помощью простого алгоритма «латания дыр». В его основе лежит допущение, что если односвязная группа пикселей без диспаратности граничит с пикселями, которые имеют одинаковую диспаратность, то всем пикселям, принадлежащим этой группе, можно поставить в соответствие такую же диспаратность, что и у пикселей, граничащих с этой группой. Таким образом, для того, чтобы избавиться от части «белых пятен», выполняется следующая процедура. Двигаясь по строкам изображения, ищутся последовательные цепочки из пикселей без диспаратности. Если цепочка с обоих концов граничит с пикселями, которые имеют одинаковую диспаратность, то всем пикселям из этой цепочки ставится в соответствие такая же диспаратность, что и у граничных пикселей. Пройдя по всем строкам изображения, аналогичная процедура повторяется по столбцам изображения.

Этот довольно простой алгоритм, тем не менее, позволяет закрыть большинство «белых пятен» на карте диспаратности.

Экспериментальные результаты

Для проверки работы предложенного алгоритма были взяты четыре стереопары с страницы Интернет http://bj.middlebury.edu/~schar/stereo/web/eval.php. Эти же стереопары использовались для проверки работы алгоритмов стереозрения, описанных в других работах [5], [6], [12], [13], [16].

Перед началом работы алгоритма оба изображения стереопары с целью уменьшения влияния шумов подвергались сглаживанию, т.е. значение оттенка серого (яркости) переопределялось следующим образом:

2

0

)12(

),(),(

n

yxIyxI Si

ii

,

2A



где 0I – начальное значение яркости пикселя изображения, I – переопределённое значение яркости пикселя, S – квадратная область с пикселем с координатами

),( yx в центре, 12 n – сторона квадрата S (в нашем случае положили 1n ). Расчёт градиента яркости производился по сглаженным значениям яркости.

При создании узла ассоциированного графа учитывались оттенок серого цвета и модуль его градиента. Для того чтобы пиксели с изображений стереопары образовали узел ассоциированного графа, необходимо, чтобы одновременно выполнялись три условия 1) если 1),( lyxI L и 1),( lydxI R , то

1)],(),,(max[)],(),,(min[ k

ydxIyxIydxIyxI

RL

RL ,

иначе 1),(),( mydxIyxI RL ;

2) если 2),( lyxDxL и 2),( lydxDxR , то

2)],(),,(max[)],(),,(min[ k

ydxDxyxDxydxDxyxDx

RL

RL ,

иначе 2),(),( mydxDxyxDx RL ;

3) если 2),( lyxDyL и 2),( lydxDyR , то

2)],(),,(max[)],(),,(min[ k

ydxDyyxDyydxDyyxDy

RL

RL ,

иначе 2),(),( mydxDyyxDy RL ;

где ),()( yxI RL – оттенок серого цвета, т.е. яркость (изменяется в пределах от 0 до 255) пикселя с координатами ),,( yx принадлежащего левому (правому) изображению;

),,()( yxDx RL ),()( yxDy RL – соответственно x и y компоненты градиента яркости. Также использовались ещё два параметра: s – максимальное количество точек

в односвязной области, при которой прекращается обработка, и t – значение градиента оттенка серого при выделении одноцветных областей на изображении, разделённых границами. Т.е. все пиксели, значение градиента которых меньше t , образующие односвязную область, принадлежат одной одноцветной области. Участки изображения, принадлежащие границе, т.е. все пиксели, у которых градиент яркости больше или равен t , также относим к одной одноцветной области.

Обработка всех четырёх стереопар с помощью ТА (обработка всего изображения) проводилась с одинаковым набором параметров: { 85.021 kk ,

321 mm , 2021 ll , 5t , 10s }. При обработке стереопар с помощью ВА (обработка только границ) использовался такой же набор параметров за исключением t , который был принят равным трём, т.е. { 85.021 kk ,

321 mm , 2021 ll , 3t , 10s }.

2A



Примененный в работе алгоритм «латания дыр» весьма примитивен, но его применение позволяет показать правомерность подхода, при котором рассматриваются только границы (ВА).

Исходные изображения, истинная диспаратность и результаты работы предложенного алгоритма представлены на рис. 1, 2, 3 и 4.

a b c d

Рисунок 2

a b c d

Рисунок 3

a b c d

Рисунок 4

a b c d

Рисунок 5

На рисунках представлены левые изображения стереопар: 2a – «Map», 3a – «Sawtooth», 4a – «Tsukuba», 5a – «Venus»; истинные диспаратности, взятые с той же страницы Интернета, что и исходные стереопары: 1b, 2b, 3b, 4b; диспаратность,

2A



полученная с помощью ТА и «латания дыр»: 2c, 3c, 4c, 5c; диспаратность, полученная с помощь ВА и «латания дыр»: 2d, 3d, 4d, 5d. Чем ярче оттенок серого цвета, тем меньше диспаратность. Белым цветом обозначены пиксели, оставшиеся без диспаратности.

Время работы алгоритмов есть )( 2 NLO , где L – количество рассматривае-мых уровней диспаратности, N – количество пикселей на опорном изображении (как правило, совпадает с количеством пикселей на втором изображении).

Для определения качества результата работы алгоритмов воспользуемся мерой, подобной предложенной в работе [17]:

,))()((1

Dp

dT pdpdN

B

где D – область изображения, состоящая из пикселей, для которых диспаратность определена, N – количество пикселей в области D , )( pdT – истинная диспарат-ность пикселя p , d – разрешённая ошибка (в нашем случае 5.0d ).

Время обработки стереопар для указанных выше параметров представлено в табл. 1. Обработка производилась на Pentium II Celeron 500 MHz.

Таблица 1 – Время обработки стереопар

Время обработки, с Название стереопары

Размер изображения стереопары

Количество пикселей в

изображении стреопары

Всё изображение

Только границы

«Map» 284*216 61344 6,7 4,5 «Sawtooth» 434*380 164920 24,3 11,6 «Tsukuba» 384*288 110592 12,7 7,1 «Venus» 434*383 166222 21,5 10,3

Введем также ещё одну величину, характеризующую качество полученного

результата, – процент пикселей, для которых не определена диспаратность, не принадлежащих перекрытиям, ND . Соответственно, чем меньше обе эти величины, тем лучше качество работы алгоритма. Оценка качества работы алгоритмов ТА и ВА для каждой стереопары представлены в табл. 2.

Таблица 2 – Оценка качества работы алгоритмов ТА и ВА

ТА ВА Название стереопары B ND, % B ND, %

«Map» 0,13 11,4 0,11 11,7 «Sawtooth» 0,58 3,6 0,73 17,2 «Tsukuba» 1,40 4,6 1,32 11,8 «Venus» 0,68 2,3 0,26 31,1

2A



Как видно из табл. 1 и 2, алгоритм ВА дает более точные результаты при

определении диспаратности и требует меньшего времени, чем ТА, но при этом большее количество пикселей остаются без диспаратности. Однако если изображения стереопары содержат большое количество границ, как, например, в случае стереопары «Map», то результаты, полученные с помощью этих двух алгоритмов, отличаются слабо. Это хорошо видно и из табл. 2, и на рис. 1. Возможно, применение более совершенного алгоритма «латания дыр» сократит количество пикселей, остающихся без диспаратности, до приемлемого уровня, и использование алгоритма ВА станет более предпочтительным.

Заключение

Существующие алгоритмы стереозрения условно можно разделить на быстрые и качественные. Быстрые алгоритмы выполняют обработку стереопар за короткое время, но при этом теряется качество [5], [6]. Качественные – дают высокое качество, но при этом за довольно продолжительное время [7], [8], [12], [13]. В данной работе представлены два алгоритма стереозрения, позволяющие на основе стереопары за сравнительно короткое время получать довольно качественную карту диспаратностей. Данные алгоритмы являются своеобразным компромиссом между скоростью и качеством, т.е. выполняют обработку стереопары качественнее, чем быстрые, но быстрее, чем качественные.

Литература

1. Henkel R.D. Fast Stereovision by Coherence Detection / Ed. by G. Sommer, K. Daniilidis, J. Pauli // Proc. of the 7th International Conf. on Computer Analysis of Images and Patterns, CAIP'97 in Kiel, LNCS 1296, Springer. – Berlin. – 1997. – P. 297-304.

2. Stefano L.D., Marchionni M., Mattoccia S., Neri G. A Fast Area-Based Stereo Matcting Algorithm // Proc. of 15th International Conf. on Vision Interface. – 2002. – P. 146-153.

3. Egnal G., Mintz M., Daniilidis K. Limiting the Search Rang of Correlation Stereo Using Silhouettes // Proc. of 15th International Conf. on Vision Interface. – 2002. – P. 170-177.

4. Boufama B., Jin K. Towards a Fast and Reliable Dense Matcing Algorithm // Proc. of 15th International Conf. on Vision Interface. – 2002. – P. 178-185.

5. Hirschmuller H. Improvements in Real-Time Correlation-Based Stereo Vision // CVPR 2001 Stereo Workshop / IJCV. – 2002.

6. Muhlmann K., Maier D., Hesser J., Manner R. Calculating Dense Disparity Maps from Color Stereo Images, an Efficient Implementation // CVPR 2001 Stereo Workshop / IJCV 2002.

7. Boykov Yu., Veksler O., Zabih R. A New Algorithm for Energy Minimization with Discontinuities // EMMCVPR. – 1999. – P. 205-220.

8. Kolmogorov V., Zabih R. Computing Visual Correspondence with Occlusions via Graph Cuts // ICCV. – 2001. – P. 508-515.

9. Kawai Y., Ueshiba T., Ishiyama Y., Sumi Y., Tomita F. Stereo Correspondence Using Segment Connectivity // Proc. 14th International Conf. on Pattern Recognition, ICPR'98. – Brisbane (Australia). – 1998. – P. 648-651.

10. Sumi Y., Tomita F. 3D Object Recognition Using Segment-Based Stereo Vision // Proc. Third Asian Conf. on Computer Vision, ACCV'98, II. – Hong Kong. – 1998. – P. 249-256.

2A



11. Sumi Y., Kawai Y., Yoshimi T., Tomita F. Recognition of 3D Free-Form Objects Using Segment-Based Stereo Vision // Proc. Sixth International Conf. on Computer Vision, ICCV'98. – Bombay (India). – 1998. – P. 668-674.

12. Sun J., Shum H.Y., Zheng H.Y. Stereo Matching Using Belief Propagation // ECCV. – 2002. 13. Lee S.H., Kanatsugu Y., Park J.-I. Hierarchical Stochastic Diffusion for Disparity Estimation // CVPR

2001 Stereo Workshop / IJCV. – 2002. 14. Marcello Pelillo. Replicator Equations, Maximal Cliques and Graph Isomorphism // Neural

Computation. – 1999. – 11 (8). 15. Bunke H. Recent Developments in Graph Matching // Proc. 15th International Conf. on Pattern

Recognition. – Barcelona. – Vol. 2. – 2000. – P. 117-124. 16. Zitnick L., Kanade T. A Cooperative Algorithm for Stereo Matching and Occlusion Detection //

PAMI. – 2000. 17. Scharstein D., Szeliski R. A Taxonomy and Evaluation of Dense Two-Frame Stereo Correspondence

Algorithms // IJCV. – 2002. – 47 (1). – Р. 7-42.

A.V. Agarkov Disparity Map Development on the Basis of Graph Comparison Two algorithms are presented in the work allowing to receive a disparity map in a rather short time. Algorithms are based on representation of stereopair images as graphs with their subsequent comparison. Algorithms differ in volume of the processable data: one algorithm processes the image, the second – only the areas belonging to borders. The first algorithm leaves less «white spots» on a disparity map, but the second determines disparity more precisely and in smaller time than the first one.

А.В. Агарков Побудова карти диспаратності на основі порівняння графів У роботі представлені два алгоритми, що дозволяють за порівняно короткий час отримувати карту диспаратностей. Алгоритми засновані на представленні зображень стереопари у вигляді графів з наступним їх порівнянням. Алгоритми розрізняються об`ємами даних, що обробляються: один алгоритм обробляє все зображення, другий – тільки області, що належать до границь. Перший алгоритм залишає менше «білих плям» на карті диспаратності, але другий більш точно визначає диспаратність і за менший термін, ніж перший.

Статья поступила в редакцию 18.09.02.

2A

2A УДК 004.932.72’1

Documents

Transcript of 2A УДК 004.932.72’1