05 METODO DETERMINANTE E INVERSA
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ A 1. INTRODUCCIÓN En la solución de modelos matemáticos se requiere calcular el determinante de una matriz. A continuación se presenta el procedimiento para calcular el forma numérica dicho determinante. 2. FUNDAMENTO MATEMÁTICO Para calcular el determinante de una matriz A, en forma numérica, primero vamos a recordar como se calcula el determinante de una matriz triangular superior (una matriz triangular superior es aquella que tiene valores en la diagonal principal y arriba de la diagonal principal). Sea la matriz triangular superior U 11 12 13 1 22 23 2 33 3 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 0 0 ... n n n nn u u u u u u u U u u u (a) Por el teorema del algebra lineal su determinante es: 11 22 33 det( ) ( ... ) nn U a a a a (b) Dicho en otras palabras el determinante de una matriz triangular superior es la multiplicación de los elementos de su diagonal principal. El proceso para calcular el determinante de cualquier matriz A es: a) Dada la matriz A, mediante la triangulación del método de eliminación gaussiana, se obtiene la triangular superior de A, ec (a). b) Se multiplica la diagonal principal de la triangular superior, ec.(b). Para tener una mejor comprensión del procedimiento se va a desarrollar el método para una matriz de 3 x 3. Sea una matriz de 3 x 3, esto es
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DETERMINANTE DE UNA MATRIZ A
1. INTRODUCCIÓN En la solución de modelos matemáticos se requiere calcular el determinante de una matriz. A continuación se presenta el procedimiento para calcular el forma numérica dicho determinante. 2. FUNDAMENTO MATEMÁTICO Para calcular el determinante de una matriz A, en forma numérica, primero vamos a recordar como se calcula el determinante de una matriz triangular superior (una matriz triangular superior es aquella que tiene valores en la diagonal principal y arriba de la diagonal principal). Sea la matriz triangular superior U
11 12 13 1
22 23 2
33 3
...
0 ...
0 0 ...
0 0
0 0 0 ...
n
n
n
nn
u u u u
u u u
U u u
u
(a)
Por el teorema del algebra lineal su determinante es:
11 22 33det( ) ( ... )nn U a a a a (b)
Dicho en otras palabras el determinante de una matriz triangular superior es la multiplicación de los elementos de su diagonal principal. El proceso para calcular el determinante de cualquier matriz A es: a) Dada la matriz A, mediante la triangulación del método de eliminación gaussiana, se obtiene la triangular superior de A, ec (a). b) Se multiplica la diagonal principal de la triangular superior, ec.(b).
Para tener una mejor comprensión del procedimiento se va a desarrollar el método para una matriz de 3 x 3. Sea una matriz de 3 x 3, esto es
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(1)
(2)
(3)
a a a
A a a a
a a a
A) TRIANGULACIÓN 1) Primera Transformación
Para la primera eliminación la ec. (1) se divide entre 11a y se tiene,
1311 12
11 11 11
(4)aa aa a a
se multiplica la ec. (4) por 21a y se tiene
1311 12
21 21 21
11 11 11
(5)aa aa a a
a a a
se resta miembro a miembro la ec. 2 y la ec. 5 se tiene;
1311 12
21 21 22 21 2111 11 11
( ( ) (6)23) ) (
aa a aa a a a aa a a
se multiplica la ec. 1 por 31a y se tiene:
1311 12
31 31 31
11 11 11
(7)aa aa a a
a a a
se resta miembro a miembro la ec. 3 y la ec. 7 se tiene;
1311 12
31 31 32 31 3111 11 11
( ( ) (8)33) ) (
aa a aa a a a aa a a
las ecuaciones de la primera transformación son la ecs. (6), (8) se tiene:
1311 12
21 21 22 21 2111 11 11
( ( ) (6)23) ) (
aa a aa a a a aa a a
1311 12
31 31 32 31 3111 11 11
( ( ) (8)33) ) (
aa a aa a a a aa a a
al observar las ecs. 6 y 8 los coeficientes se van a igualar con las siguientes coeficientes con un superíndice que indica la primera transformación esto es:
1
21
1 12
22 22 21
11
1 13
23 2111
1
31
1 12
32 32 31
11
1 13
33 3111
0
( )
)23
0
( )
)33
(
(
a
aa a a
a
aaa a
a
a
aa a a
a
aaa aa
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
al sustituir las ecs. (9),(10),(11) en la ec. (6) y sustituir las ecs. (12), (13), (14) en la ec. (8) se tiene
11
22 23( ) (15)) (aa
1 1
32 33( ) ( ) (16)a a
2) Segunda Transformación
La ec. (15) se divide en 1
22a y se tiene:
11
2322
1 1
22 22
( ) ( ) (17)aaa a
la ec. (17) se multiplica por 1
32a y se tiene:
11
1 1 2322
1 132 32
22 22
( ) ( ) (18)aaa a
a a
se resta miembro a miembro la ec. (16) y la ec. (18) y se tiene:
11
1 1 1 1 2322
1 132 32 33 32
22 22
( ) ( ) (19)aaa a a a
a a
al observar la ec. (19) , estos coeficientes se van a igualar con el coeficiente de la siguiente
ecuación con el superíndice para indicar la segunda transformación, esto es:
2
32
1
2 1 1 23
133 33 32
22
0
( )
a
aa a a
a
(20)
(21)
al sustituir las ecs. (20),(21) en la ec.19 se tiene:
2
33( ) (22)a
con la ec. (22) se da por terminado la segunda transformación.
El resumen de la triangulación son las ecs. (1), (15), (22) esto es:
11 12 13
1 1
22 23
2
33
(23)
0 (24)
0 0 (25)
a a a
a a
a
las ecs. (23), (24), (25), es el sistema transformado del sistema original y se observa que el sistema es una triangular superior.
B) MULTIPLICACIÓN DE LA DIAGONAL PRINCIPAL Una vez hecha la transformación de la matriz A ecs. (1),(2), y (3) en una triangular superior ecs. (23),(24),(25) por el método de eliminación gaussiana, se procede a calcular el determinante de la triangular superiro que de acuerdo a la ec. b esto es:
1 2
11 22 33det( )A a a a (26)
3. ALGORITMO Al observar con detalle el procedimiento para calcular el determinante de una matriz A de orden tres por tres, se puede generalizar el procedimiento para una matriz de n x n, los algoritmos se presentan a continuación, Sea una matriz A. Definición de variables K Es el número de transformaciones. N Es el número de renglones de la matriz A A Es la matriz de coeficientes. a Son los componentes de la matriz A.
a) Triangulación K=1, ..., N
b) Multiplicación de la diagonal principal Una vez que se realizó la triangulación, de los valores ya transformados únicamente se multiplica la diagonal principal.
1
det( )N
iii
A i=1,...,Na
4. EJEMPLO NUMÉRICO Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de eliminación gaussiana..
3 .1 .2 (1)
.1 7 .3 (2)
.3 .2 10 (3)
A
A) TRIANGULACIÓN
1) Primera Eliminación La ec. (1) se divide entre 3.0 y se tiene:
3. .1 .2(4)
3. 3. 3.
Luego se multiplica la ec. (4) por 0.1 , esto es:
3. .1 .2(0.1 ) (0.1 ) (0.1 ) (5)
3 3. 3.
y se resta miembro a miembro a la ec. (2) y la ec. (5) esto es:
3. .1 .2(0.1 0.1 ) (7. 0.1 ) ( 0.3 0.1 ) (6)
3 3. 3.
Al simplificar se tiene:
Nkj
Nki
k
kk
k
jk
k
kik
ji
k
jia
aaaa
,...,1
,...,1
)1(
,
)1(
,
)1(
,)1(
,
)(
,
(0) (7.003333) ( 0.293333) (7)
Se multiplica la ec. (4) por -0.3 y se tiene:
3. .1 .2( 0.3 ) ( 0.3 ) ( 0.3 ) (8)
3 3. 3.
Y se resta miembro a miembro la ec.(3) y la ec. (8) y se tiene:
3. .1 .2( 0.3 ( 0.3 )) ( 0.2. ( 0.3 )) (10. ( 0.3 ) (9)
3 3. 3.)
Al simplificar se tiene:
(0) ( 0.21) (9.98) (10)
Las ecuaciones transformadas de la primera eliminación son las ecs. (7) y (10) esto es:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2) Segunda Transformación
La ec. (11) se divide entre 7.003333 y se tiene:
7.003333 0.293333(13)
7.003333 7.003333
Se multiplica la ec. (13) por -0.21 y se tiene:
7.003333 0.293333( 0.21 ) ( 0.21 ) (14)
7.003333 7.003333
Se resta miembro a miembro la ec. (12) y la ec. (14) y se tiene:
7.003333 0.293333( 0.21 ( 0.21 )) (9.98 ( 0.21 )) (15)
7.003333 7.003333
Al efectuar operaciones en la ec. (15) se tiene:
(0) (9.971204) (16)
Las ecuaciones transformadas del proceso de triangulación son la ecs. (1), (11), (15), esto es:
¨3 .1 .2 (17)
0 7.003333 .293333 (18)
0 0 9.971204 (19)
Las ecs. (17),(18),(19) son las ecuaciones que forman la triangular superior.
B) MULTIPLICACIÓN DE LA DIAGONAL PRINCIPAL Una vez que se ha hecho la transformación de la matriz A en una triangular superior, únicamente hay que multiplicar la diagonal principal para obtener el determinante, son las ecs. (17),(18),(19)
¨3 .1 .2 (20)
0 7.003333 .293333 (21)
0 0 9.971204 (22)
Se tiene: det(A) = (3)(7.003333)(9.9771204) = 209.619289
INVERSA DE UNA MATRIZ 1. INTRODUCCIÓN
En muchos problemas de ingeniería se requiere obtener la matriz inveresa de una matriz A. Por definición la inversa de una matriz es la adjunta de la matriz A entre el determinante de la matriz A, ver la ec. (1).
1 ( )
det( )
adj A (1)
AA
En ocasiones cuando se trabaja con variables en una matriz una forma de calcular su valor es a partir de la definición, pero cuando la matriz esta dada por valores numéricos se puede obtener la inversa por varios métodos, aquí se van a ver dos métodos, la inversa por el método de gauss – jordan y la inversa como un sistema de ecuaciones lineales. 2. CÁLCULO DE LA INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN 2.1 Introducción Para obtener la inversa por el método de Gauss Jordan , se van hacer las mismas transformaciones que un sistema de ecuaciones lineales, solo que en este caso la matriz ampliada va a estar formada por la matriz A y la matriz identidad I, esto es:
(2)A I
Definida la matriz ampliada ec. (2) mediante transformaciones se llega a la ec. (3)
1 (3)I A
Donde queda la matriz identidad y la inversa e la matriz. 2.2 DESARROLLO MATEMATICO Para tener una mejor comprensión del procedimiento se va a desarrollar el método para una matriz de 3 x 3. Sea una matriz de 3 x 3 esto es
11 12 13
21 22 23
31 32 33
(1)
(2)
(3)
a a a
a a a
a a a
Al escribir la matriz ampliada se tiene:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0 (4)
0 1 0 (5)
0 0 1 (6)
a a a
a a a
a a a
A) Primera transformación Consiste en cambiar a11 en 1 y a21 , a31 igual a cero.
Se va a dividir el primer renglón entre a11 y se tiene:
1311 12
11 11 11 11 11 11
21 22 23
31 32 33
1 0 0(7)
0 1 0 (8)
0 0 1 (9)
aa a
a a a a a a
a a a
a a a
Se multiplica la ec. 7 por 21a y se resta miembro a miembro a la ec. (8) y se tiene la ec. (11), luego
se multiplica la ec. 7 por 31a y se resta miembro a miembro a la ec. (9) y se obtiene la ec. (12), esto
es:
1311 12
11 11 11 11 11 11
1311 1221 21 22 21 23 21 21 21 21
11 11 11 11 11 11
1311 1231 31 32 31 33 31 31 31 31
11 11 11 11 11 11
1 0 0
1 0 0( ) ( ) ( ) (0 ) (1 ) (0 )
1 0 0( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (1 )
aa a
a a a a a a
aa aa a a a a a a a a
a a a a a a
aa aa a a a a a a a a
a a a a a a
(10)
(11)
(12)
Se van a definir las siguientes ecuaciones:
1 1212
11
1 1313
11
1
14
11
1
15
11
1
16
11
1 1222 22 21
11
1 1323 23 21
11
1
24 21
11
1
25 21
11
1
26 21
11
32
(13)
(14)
1(15)
0(16)
0(17)
( ) (18)
( ) (19)
1(0 ) (20)
0(1 ) (21)
0(0 ) (22)
aa
a
aa
a
aa
aa
aa
aa a a
a
aa a a
a
a aa
a aa
a aa
a
1 1232 31
11
1 1333 33 31
11
1
34 31
11
1
35 31
11
1
36 31
11
( ) (23)
( ) (24)
1(0 ) (25)
0(0 ) (26)
0(1 ) (27)
aa a
a
aa a a
a
a aa
a aa
a aa
Al sustituir de la ec. (13) a la ec. (27) en las ecs. (10), (11) y (12) y simplificar se obtienen las ecs. (28),(29),(30) que son las ecuaciones resultantes de la primera transformación.
1 1 1
12 13 14
1 1 1
22 23 24
1
32 33 34
1 0 0 (28)
0 1 0 (29)
0 0 1 (30)
a a a
a a a
a a a
B) Segunda Transformación Sean las ecuaciones de la primera transformación esto es:
1 1 1
12 13 14
1 1 1
22 23 24
1
32 33 34
1 0 0 (31)
0 1 0 (32)
0 0 1 (33)
a a a
a a a
a a a
Se divide la ec.(32) entre 1
22a y se tiene
1 1 1
12 13 14
11 1
2322 24
1 1 1 1 1 1
22 22 22 22 22 22
1
32 33 34
1 0 0(34)
0 1 0(35)
(36)0 0 1
a a a
aa a
a a a a a a
a a a
Se multiplica la ec. (35) por 1
12a y se resta miembro a miembro a la ec. (34) y se obtiene la ec.
(37), se multiplica la ec. (35) por 1
32a y se resta miembro a miembro a la ec. (36) y se obtiene la ec.
(39) esto es:
11 1
1 1 1 1 1 1 1 1 12322 2412 12 12 13 12 14 12 12 121 1 1 1 1 1
22 22 22 22 22 22
11 1
2322 24
1 1 1 1 1 1
22 22 22 22 22 22
11 11 1 1 1 1 1 12322 2432 32 32 33 32 34 321 1 1
22 22 22
0 1 0(1 ) ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 )
0 1 0
0(0 ) ( ) ( ) (
aa aa a a a a a a a a
a a a a a a
aa a
a a a a a a
aa aa a a a a a a
a a a
1 1
32 321 1 1
22 22 22
(37)
(38)
(39)1 0) (0 ) (1 )a a
a a a
Al definir las siguientes ecuaciones:
1
2 1 1 2313 13 12 1
22
12 1 1 2414 14 12 1
22
2 1
15 12 1
22
2 1
16 12 1
22
12 2323 1
22
12 2424 1
22
2
25 1
22
2
26 1
22
12 1 1 2333 33 32 1
22
( ) (40)
( ) (41)
1(0 ) (42)
0(0 ) (43)
(44)
(45)
1(46)
0(47)
(
aa a a
a
aa a a
a
a aa
a aa
aa
a
aa
a
aa
aa
aa a a
a
12 1 1 2434 34 32 1
22
2 1
35 32 1
22
2 1
36 32 1
22
) (48)
( ) (49)
1(0 ) (50)
0(1 ) (51)
aa a a
a
a aa
a aa
Al sustituir de la ec. (40) a la ec. (51) en las ecs. (37),(38) y (39) y simplificando, se obtiene las ecs. (52),(53),(54) que son las ecuaciones resultantes de la segunda transformación esto es:
2 2 2
13 14 15
2 2 2
23 24 25
2 2 2
33 34 35
1 0 0 (52)
0 1 0 (53)
0 0 1 (54)
a a a
a a a
a a a
C) Tercera Transformación Sean las ecuaciones de la segunda transformación, esto es:
2 2 2
13 14 15
2 2 2
23 24 25
2 2 2
33 34 35
1 0 0 (55)
0 1 0 (56)
0 0 1 (57)
a a a
a a a
a a a
La ec. (57) se divide entre 2
33a se tiene:
2 2 2
13 14 15
2 2 2
23 24 25
2 2 2
33 34 35
2 2 2 2 2 2
33 33 33 33 33 33
1 0 0 (58)
0 1 0 (59)
0 0 1(60)
a a a
a a a
a a a
a a a a a a
Se multiplica la ec. (60) por 2
13a y se resta miembro a miembro a la ec. (58) y se obtiene la ec.
(61), luego se multiplica la ec. (60) por 2
23a y se resta miembro a miembro a la ec. (59) y se obtiene
la ec. (62) esto es:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 233 34 3513 13 13 13 14 13 15 13 132 2 2 2 2 2
33 33 33 33 33 33
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 233 34 3523 23 23 23 24 23 25 23 232 2 2 2 2 2
33 33 33 33 33 33
2
33 3
0 0 1(1 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) (0 )
0 0 1(0 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) (0 )
0 0
a a aa a a a a a a a a
a a a a a a
a a aa a a a a a a a a
a a a a a a
a a
2 2 2
33 34 35
2 2 2 2 2
3 33 33 33 33
(61)
(62)
(63)1a a a
a a a a
Al definir las siguientes ecuaciones se tiene:
23 2 2 3414 14 13 2
33
23 2 2 3515 15 13 2
33
2 2
16 13 2
33
23 2 2 3424 24 23 2
33
23 2 2 3525 25 23 2
33
3 2
26 23 2
33
23 3434 2
33
22 3535 2
33
( ) (64)
( ) (65)
1(0 ) (66)
( ) (67)
( ) (68)
1(0 ) (69)
(70)
aa a a
a
aa a a
a
a aa
aa a a
a
aa a a
a
a aa
aa
a
aa
a
3
36 2
33
(71)
1(72)a
a
Al sustituir de la ec. (64) a la ec. (72) en las ecs. (61),(62), (63) y se simplifica se obtienen los coeficientes de la tercera transformación esto es:
3 3 3
14 15 16
3 3 3
24 25 26
2 2 3
34 35 36
1 0 0 (73)
0 1 0 (74)
0 0 1 (75)
a a a
a a a
a a a
Los valores de 3 3 3 3 3 3 3 3 3
14 15 16 24 25 26 34 35 36a a a a a a a a a son los coeficientes de la matriz inversa
de A.
2.3 ALGORITMO
Al observar con detalle el procedimiento para obtener la invrsa de una matriz de orden 3 x 3, generalizar el procedimiento para una matriz de n x n, los algoritmos se presentan a continuación, Sea una matriz A de orden n x n, se va a definir la matriz B de orden n x n, esta matriz inicialmente va a ser la matriz identidad y luego mediante las transformaciones va a guardar la matriz inversa. Definición de variables K Es el número de transformaciones.
N Es el número de ecuaciones a resolver. A Es la matriz de coeficientes . a Son los componentes de la matriz A. B Es la matriz que inicialmente es la matriz identidad y luego después de las transformaciones va a guardar la matriz inversa de A. b Son las componentes de la matriz B. I Es la matriz identidad
Al generalizar
Inicialmente B = I
K=1, ..., N
( 1)
,( )1, ...,, ( 1)
,
k
k jkj k Nk j k
k k
aa
a
1,..,( ) ( 1) ( )
, , ,1,..,
i N k k k
i ki j i j k jj k N
a a a
( 1)
,( ) ( 1)
, ,( 1)
,
k
k jk k j=1,...,Nk j k kk
k k
bb a
a
1,...,( ) ( 1) ( 1) ( )
, , , ,1,...,
i Nk k k ki ki j i j i k k jj N
b b a b
2.4 EJEMPLO NUMÉRICO Sea la matriz A
3 4 1 (1)
1 1 3 (2)
4 2 2 (3)
al definir la matriz ampliada se tiene
3 4 1 1 0 0 (4)
1 1 3 0 1 0 (5)
4 2 2 0 0 1 (6)
a) Primera Transformación k=1 La ec.(4) se divide entre 3.0 y se tiene
3 4 1 1 0 0 (7)3 3 3 3 3 3
1 1 3 0 1 0
4 2 2 0 0 1
Luego se multiplica la ec. (7) por 1 , esto es:
3. 4 1 1 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 (1 (1
3 3. 3. 3. 3. 3. ) ) )
y se resta miembro a miembro, la ec. (5) y la ecuación anterior, esto da lugar a la ec. (8) :
3 4 1 1 0 0(7)3 3 3 3 3 3
3 4 1 1 0 0(1 1 ) (1 1 ) (3 1 ) (0 1 ) (1 1 ) (0 1 ) (8)
3 3 3 3 3 3
4 2 2 0 0 1
Se multiplica la ec. (6) por 4 esto es
3. 4 1 1 0 0(4 ) (4 ) (4 ) (4 (4 (4
3 3. 3. 3. 3. 3. ) ) )
Y se resta miembro a miembro, la ec. (6) y la ecuación anterior, se tiene la ec. (9):
3 4 1 1 0 0 (7)3 3 3 3 3 3
3 4 1 1 0 0(1 1 ) (1 1 ) (3 1 ) (0 1 ) (1 1 ) (0 1 ) (8)
3 3 3 3 3 3
3 4 1 1 0 0(4 4 ) (2 4 ) (2 4 ) (0 4 ) (0 4 ) (1 4 ) (9)
3 3 3 3 3 3
Al realizar operaciones de las ecs. (4),(5),(6) se tiene
1 1.3333 .3333 .3333 0 0 (7)
0 .3333 3.3333 .3333 1 0 (8)
0 3.3333 3.3333 1.3333 0 1 (9)
b) Segunda Transformación k=2 La ec.(8) se divide entre -.3333 y se tiene la ec. (11)
1 1.3333 .3333 .3333 0 0
0 .3333 3.3333 .3333 1 0(11)
.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
0 3.3333 3.3333 1.3333 0 1
Luego se multiplica la ec. (11) por 1.3333 , esto es:
0 .3333 3.3333 .3333 1 0(1.3333 ) (1.3333 ) (1.3333 ) (1.3333 (1.3333 (1.3333
.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333 ) ) )
y se resta miembro a miembro la ec. (7) y la ecuación anterior, esto da lugar a la ec. (10) :
0 .3333 3.3333 .3333 1 0
(1 1.3333 ) (1.3333 1.3333 ) ( .3333 1.3333 ) (.3333 1.3333 ) (0 1.3333 ) (0 1.3333 ).3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
0 .3333 3.3333 .3333 1 0
.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
0 3.3333 3.333
(10)
(11)
3 1.3333 0 1
Se multiplica la ec. (11) por -3.3333 esto es
0 .3333 3.3333 .3333 1 0
( 3.3333 ) ( 3.3333 ) ( 3.3333 ) ( 3.3333 ( 3.3333 ( 3.3333.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
) ) )
Y se resta miembro a miembro la ec.(9) y la ecuación anterior y se tiene la ec. 12 :
0 .3333 3.3333 .3333 1 0(1 1.3333 ) (1.3333 1.3333 ) ( .3333 1.3333 ) (.3333 1.3333 ) (0 1.3333 ) (0 1.3333 )
.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
0 .3333 3.3333 .3333 1 0
.3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
0(0 ( 3.3333
(10)
(11)
.3333 3.3333 .3333 1 0 (12))) ( 3.3333 ( 3.3333 )) (3.3333 ( 3.3333 )) ( 1.3333 ( 3.3333 )) (0 ( 3.3333 )) (1 ( 3.3333 )).3333 .3333 .3333 .3333 .3333 .3333
Al realizar operaciones de las ecs. (10),(11),(12) se tiene
b) Tercera Transformación k =3 La ec. (15) se divide entre -30.0027 y se tiene
Luego se multiplica la ec. (18) por 130009 , esto es:
0 0 30.0027 2 10.0009 1
(13.0009 ) (13.0009 ) (13.0009 ) (13.0009 ( 13.0009 ( 13.000930.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
) ) )
y se resta miembro a miembro la ec. (13) y la ecuación anterior, esto da lugar a la ec. (16) :
Se multiplica la ec. (18) por -10.0009 esto es
1 0 13.0009 1 4.0003 0 (13)
0 1 10.0009 1 3.0003 0 (14)
0 0 30.0027 2 10.0009 1 (15)
1 0 13.0009 1 4.0003 0
0 1 10.0009 1 3.0003 0
0 0 30.0027 2 10.0009 1(18)
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
0 0 30.0027 2 10.0009 1(1 13.0009 ) (0 13.0009 ) (13.0009 (13.0009 ) ( 1 (13.0009 (4.0003 (13.0009 (0 (13.0009
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
0 1 10.0009 1 3.0003 0
0 0 30.0027
30.0027 30.0027 3
) ) )
(16)
4.6666 10.0009 1(18)
0.0027 30.0027 30.0027 30.0027
0 0 30.0027 2 10.0009 1( 10.0009 ) ( 10.0009 ) ( 10.0009 ) ( 10.0009 ( 10.0009 ( 10.0009
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 ) ) )
Y se resta miembro a miembro la ec. (13) y la ecuación anterior y se tiene la ec. (17)
Al realizar operaciones de las ecs. (16),(17),(18) se tiene
3. CALCULO DE LA INVERSA CON UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3.1 Fundamento Matemático Si se conoce un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es posible calcular la inversa de una matriz A. Una propiedad de la inversa de una matriz es:
-1A A = I (1)
al escribir la ec.(1) en forma desarrollada para una matriz A de 3 x 3 se tiene:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2
-1 -1 -1
11 12 12
-1 -1 -1
21 22 23
-1 -1 -1
31 32 33
a a a a a a 1 0 0
a a a a a a = 0 1 0
a a a a a a 0 0 1
( )
al observar la ec. (2) esta se puede escribir
0 0 30.0027 2 10.0009 1(1 (13.0009 ) (0 (13.0009 ) (13.0009 (13.0009 ) ( 1 (13.0009 (4.0003 (13.0009 (0 (13.0009
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
0 0(0 ( 10.0009 )) (1 ( 10.0009 )
30.0027 30.0027
) ) )
30.0027 2 10.0009 1) ( 10.0009 ( 10.0009 )) (1 ( 10.0009 ( 3.0003 ( 10.0009 (0 ( 10.0009
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
0 0 30.0027 2 10.0009 1
30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027 30.0027
)) )) ))
(16)
(17)
(18)
1 0 0 .1334 .3333 .4333 (19)
0 1 1 .3333 .3333 .3333 (20)
0 0 0 .0667 .3333 .0333 (21)
1
11 12 13 11
1
21 22 23 21
1
31 32 33 31
1
11 12 13 12
1
21 22 23 22
1
31 32 33 32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
0 3
0
0
1 4
0
a a a a
a a a a =
a a a a
a a a a
a a a a =
a a a a
a a a
a a a
a a a
( )
( )
1
13
1
23
1
33
0
0 5
1
a
a =
a
( )
las ecs. (3),(4) y (5) representan un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son una columna de la matriz inversa y el vector b es la columna respectiva de la matriz inversa, dicho en otras palabras la inversa de una matriz A de 3 x 3 se puede obtener al resolver tres veces un sistema de ecuaciones lineales con la misma matriz A, pero diferentes valores de b. 3.2 Ejemplo Numérico Se tiene la matriz:
3 4 1 (1)
1 9 3 (2)
5 2 6 (3)
para obtener la inversa de esta matriz se van a plantear tres sistemas de ecuaciones lineales, esto es:
1
11
1
21
1
31
1
12
1
22
1
32
1
13
1
23
1
33
3 4 1 1
1 9 3 0 3
5 2 6 0
3 4 1 0
1 9 3 1 4
5 2 6 0
3 4 1 0
1 9 3 0
5 2 6 1
a
a =
a
a
a =
a
a
a =
a
( )
( )
5( )
al resolver la ec. (3) por el método de eliminación gaussiana se tiene:
1
11
1
21
1
31
3 4 1 1
1 9 3 0 3
5 2 6 0
a
a =
a
( )
1
11
1
21
1
31
0 431655
0 151079
0 309353
a
a
a
.
.
.
al resolver la ec. (4) por el método de gauss jordan se tiene:
1
12
1
22
1
32
3 4 1 0
1 9 3 1 4
5 2 6 0
a
a =
a
( )
al resolver la ec. (5) por el método de gauss seidel con un vector inicial unitario, 10 iteraciones y 5
decimales de aproximación se tiene:
1
13
1
23
1
33
3 4 1 0
1 9 3 0 5
5 2 6 1
a
a =
a
( )
1
13
1
23
1
33
0 013053
0 061730
0 156967
a
a
a
.
.
.
se colocan los resultados de cada sistema de ecuaciones por columna y asi se obtiene la matriz
inversa de A, esto es:
-1 -1 -1
11 12 12
-1 -1 -1 -1
21 22 23
-1 -1 -1
31 32 33
a a a 0.431655 -0.187050 -0.013053
A a a a = -0.1510790 0.165468 0.061730
a a a -0.309353 0.100719 0.156967
En este ejemplo se utilizaron 3 métodos diferentes para la solución de los sistemas de ecuaciones, pero se puede utilizar el mismo método para resolver los tres sistemas de ecuaciones.
1
12
1
22
1
32
0 187050
0 165468
0 100719
a
a
a
.
.
.
