METODOS NUMERICOS

MAD. SILVIANO ESCAMILLA GARCIA.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Raíz de una función.Una de las propiedades del comportamiento de una función es conocer sus raíces, esto es:Conocer los valores tales del dominio para cuando la función se hace cero.

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función(definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f (x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla:f(x)=0

Sea la función f(x). La cual tiene las raíces X1,X2,………………………..Xn.

Y

X

Raíces de la función

X1x2

x3

x4

Métodos acotados

Base: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz

•Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)

Método de la bisección (o intervalo medio)

Algoritmo1. Selecciona un intervalo [a,b]

donde halla un cero2. Calcula el punto medio como

nuevo punto3. Comprueba si hay cambio de

signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Y

X

Raíz de la función

a b

Intervalo “a”Intervalo “b”

Pi

Métodos abiertos

•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)•Métodos:

• Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)• Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)

• Secante (línea recta empleando dos puntos)• Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)

Métodos acotados vs. Métodos abiertos

Métodos acotadosLa raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia.

Métodos abiertos

Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los métodos acotados.

En análisis numérico el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Elegir un punto inicial cualquiera Xo como aproximación de la raíz.

Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto.

El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

Consiste en :

Supongamos que tenemos la aproximación xi a la raíz xr de f (x)

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi,f (xi)) ; ésta cruza al eje x en un punto xi+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz xr.

Para calcular el punto xi+1 , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos 

Despejamos X: Formula general del método

Formula para calcular la siguiente aproximación: si:

METODOLOGÍA.1. Se calcula o determina la primera derivada de la función

dada.2. Se sustituye la función dada y la derivada obtenida de

esta en la formula de Newton-Raphson.3. Se selecciona un punto cualquiera de la función original,

el cual será el punto de partida o valor inicial de x (x0) para la determinación de la raíz aproximada de la función.

4. Se sustituye el valor inicial de x en la formula de Newton-Raphson que se obtuvo en el punto 2 para obtener una aproximación a la raíz a la cual nombraremos x1.

5. Se calcula su error de aproximación tomando como valor real el valor obtenido y como valor aproximado el anterior que en este caso es el inicial.

Error relativo: |(xactual - xanterior)/xactual|*1006. Se repiten los pasos 4 y 5 sustituyendo en la formula de

Newton-Raphson el valor obtenido con anterioridad, obteniendo una nueva aproximación a la raíz. Esto se repetirá hasta llegar a obtener un valor de error relativo satisfactorio o pedido.

Conclusiones:El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz.

Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge.

En los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez mucho mayor a la de los otros métodos.En caso de que f '(Xi) = 0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso Po mismo es una raíz de f(x).

Ejemplo

f(x)= 〖 15(x) 〗 ^2-14(x)-16Sea la función:Con una Xi=2Margen de error EI= 0.000001

Paso 1: Obtener la primera derivada de la función.f’(x)=30(x)-14

Paso 3: Aplicar la formula general, sustituyendo valores.X=Xi – (f(X)/(f' (x))

Paso 2: Evaluar la función y la primera derivada de la misma con el valor de Xi.f(x)= 〖 15(2) 〗 ^2-14(2)-16=16

f’(x)=30(2)-14=46

Xf=2-(16)/((46) = 2 - 0.34783 =1.65217

1 ra Iteración

Por lo tanto Xf=Xi

Paso 4: Evaluar el margen de error Ef= | Xi-Xf | Si Ef ≤ Ei Existe la raíz Ef > Ei No existe raíz, realizar otra iteración.

| 2 – 1.65217|= 0.34783 ∴ Ef > Ei no existe raíz.

2da Iteración

Con una Xi=1.65217

f(x)= 〖 15(1.65217) 〗 ^2-14(1.65217)-16=1.814606

f’(x)=30(1.65217)-14=35.5651

Repetimos desde el Paso 2: Evaluar la función y la primera derivada de la misma con el valor de Xi.

Paso 3: Aplicar la formula general, sustituyendo valores.X=Xi – (f(X)/(f' (x))

Xf=1.65217-(1.814606)/(35.5651) = 1.65217 -0.34783 = 1.601148

Por lo tanto Xf=Xi

Paso 4: Evaluar el margen de error Ef= | Xi-Xf | | 1.65217 – 1.601148|= 0.051022 ∴ Ef > Ei no existe raíz.

3ra Iteración

Con una Xi=1.601148

Repetimos desde el Paso 2: Evaluar la función y la primera derivada de la misma con el valor de Xi.

f(x)= 〖 15(1.601148) 〗 ^2-14(1.601148)-16=0.039052f’(x)=30(1.601148)-14=34.03444Paso 3:.X=Xi – (f(X)/(f' (x))

Xf=1.601148 - (0.039052)/(34.03444) = 1.601148 - 0.001147 =1.600001

Paso 4: Evaluar el margen de error Ef= | Xi-Xf | | 1.601148 – 1.600001|= 0.00147 ∴ Ef > Ei no existe raíz.

4ta Iteración

Con una Xi=1.600001

Repetimos desde el Paso 2: Evaluar la función y la primera derivada de la misma con el valor de Xi.

f(x)= 〖 15(1.600001) 〗 ^2-14(1.600001)-16=0.000034

f’(x)=30(1.600001)-14=34.00003

Paso 3:.X=Xi – (f(X)/(f' (x))

Xf=1.600001- (0.000034)/((34.00003) = 1.600001 -0.000001 =1.6Paso 4: Evaluar el margen de error Ef= | Xi-Xf |

| 1.600001 – 1.6|= 0.000001 ∴ Ef <= Ei existe raíz.

Tabla de resultadosIteracio

nes Xi Xf Error1 2 1.65217 0.347832 1.65217 1.601148 0.0510223 1.601148 1.600001 0.001147

4 1.600001 1.6 0.000001

La raíz de la función es de 1.6Con un error de = 0.000001

Ejercicios.

Sea la función:f(x)= 〖 3(x) 〗 ^2-24(x)-16Xi=10Margen de error = 0.00002

Sea la función:f(x)=(x)^3-4 〖 (x) 〗 ^2+2(x)-8Xi=6Margen de error = 0.0001

GRACIAS.