Lampiran 19. Tes Kemampuan Berpikir Matematis Tigkat Tinggi Siklus I

TES KEMAMPUAN BERPIKIR MATEMATIS TINGKAT TINGGI

SIKLUS I

Materi Pokok : Menggambar GrafikSistem Pertidaksamaan Linier

Kelas/Semester : X/IIWaktu : 45 Menit

1. Barang-barang yang terletak di atas timbangan ini tidak seimbang. Di sebelah kiri terdapat dua benda yang beratnya masing-masing x kg. Di sebelah kanan terdapat sebuah benda yang beratnya 2 kg.

Gambarkanlah himpunan nilai x yang memenuhi sehingga timbangan di sebelah kiri selalu lebih rendah dari di sebelah kanan.

2. Pilihlah sebuah bilangan yang Anda suka, misalkan bilangan itu adalah m. Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≤ m untuk m bilangan yang Anda pilih.

3. Suatu masalah program linier dapat disajikan ke dalam sistem pertidaksamaan linier sebagai berikut.2x + y ≤ 6; 2x + 3y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0Dengan penuh semangat Dipa dan Dapi mencoba menggambarkan grafik himpunan (daerah) penyelesaian dari masalah tersebut dan hasilnya sebagai berikut.

Dipa Dapi

Bagaimanakah pendapat Anda tentang grafik yang diperoleh Dipa dan Dapi? Jelaskan!

Kunci Jawaban dan Penskoran

No. Alternatif Penyeleaian Skor Maksimal

1 Diketahui:Berat benda di sebelah kiri = x + x = 2x kgBerat benda di sebelah kanan = 2 kg

Ditanyakan:Gambarkanlah himpunan nilai x yang memenuhi sehingga timbangan di sebelah kiri selalu lebih rendah dari di sebelah kanan

Alternatif penyelesaian:2 x>2x>1Gambar:

Jadi himpunan nilai x yang memenuhi sehingga timbangan di sebelah kiri selalu lebih rendah dari di sebelah kanan adalah x > 1 yang ditunjukkan oleh HP

4

2 Diketahui:2 x+3 y≤m , untuk sembarang mDitanyakan:

Gambarkanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 x+3 y≤muntuk m bilangan yang dipilih.Alternatif penyelesaian:Misalkan bilangan yang dipilih m = 6 sehingga pertidaksamaan menjadi 2 x+3 y≤62 x+3 y≤6 , titik potong dengan sumbu koordinat

x 3 0 Jadi titik potong dengan sumbu X adalah (3,0)dan titik potong dengan sumbu Y adalah (0,2)

y 0 2(x,y) (3,0) (0,2)

Grafik himpunan penyelesaian dari 2 x+3 y≤6 adalah:

Jadi himpunan penyelesaian

pertidaksamaan 2 x+3 y≤6 adalah daerah bersih yang berlabel HP.

Alterrnatif jawaban yang lain diberi skor yang sama

4

3 Diketahui:Sistem pertidaksamaan linier:2x + y ≤ 6; 2x + 3y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0grafik himpunan (daerah) penyelesaian dari masalah menurut:

Dipa Dapi

Ditanyakan:pendapat tentang grafik yang diperoleh Dipa dan Dapi?

Alternatif Penyelesaian:2 x+ y≤6 , titik potong dengan sumbu koordinat

x 3 0y 0 6

(x,y) (3,0) (0,6)2 x+3 y≤12 , titik potong dengan sumbu koordinat

x 6 0y 0 4

(x,y) (6,0) (0,4)x≥0 mempunyai penyelesaian di sebelah kanan sumbu Yy≥0mempunyai penyelesaian di sebelah atas sumbu Xgrafik himpunan (daerah) penyelesaian dari system pertidaksamaan:

Jadi grafik himpunan penyelesaian yang benar untuk sistem pertidaksamaan linier: 2x + y ≤ 6; 2x + 3y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 adalah grafik yang diperoleh Dipa. Sedangkan grafik yang diperoleh Dapi masih salah. Bagian yang salah dari Dapi adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan 2 x+ y≤6 , harusnya daerah yang benar (bersih) ke arah O(0,0) atau

4

ke bawah tapi yang dibuat justru ke atas.Lampiran 20. Tes Kemampuan Berpikir Matematis Tigkat Tinggi Siklus II

TES KEMAMPUANBERPIKIR MATEMATIS TINGKAT TINGGI

SIKLUS IIMateri Pokok : Menentukan nilai optimum dari

sistem pertidaksamaan linierKelas/Semester : X/IIWaktu : 60 Menit

1. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan daerah himpunan penyelesaian permasalahan program linier.

Tentukanlah nilai a dan b sedemikian sehingga fungsi obyektif f(x,y) = ax + by mempunyai nilai maksimum 16 di titik C.

2. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak, menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp10.000,00 per kg dan pisang Rp4.000,00 per kg. Modalnya hanya Rp2.500.000,00 dan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 kg. Misalkan keuntungan satu kg apel Rp3.000,00 dan keuntungan tiap kg pisang Rp1.500,00. Berapa kilogram apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungannya maksimum?

3. Dengan berdiskusi, Budi dan Candra berhasil menyajikan suatu masalah program linier ke dalam suatu model matematika sebagai berikut.Maksimumkan

f(x,y) = 100x + 150ydengan syarat

x + y ≤ 70; x + 2y ≥ 100; x ≥ 0; y ≥ 0

Budi dan Candra mencoba menentukan nilai maksimum dari model matematika tersebut secara individual. Hasil mereka disajikan sebagai berikut.

Penyelesaian Budi:(i) Menggambar daerah penyelesaian

x + y ≤ 70, titik potong dengan sumbu koordinat

x y (x,y)70 0 (70,0)0 70 (0,70)

x + 2y ≥ 100, titik potong dengan sumbu koordinat

x y (x,y)100 0 (100,0)0 50 (0,50)

x ≥ 0 mempunyai penyelesaian di kanan sumbu Y

y ≥ 0 mempunyai penyelesaian di atas sumbu X

(ii) Koordinat titik pojok daerah penyelesaian himpunan penyelesaian adalah O(0,0), A(0,50), B(40,30) dan C(70,0). Titik B merupakan titik potong garis x + y = 70 dan x + 2y =100. Koordinat titik B juga dapat dicari dengan cara eleminasi atau substitusi.

(iii) Uji titik pojokTitik f(x,y) = 100x + 150y

O(0,0) 100.0+150.0 = 0A(0,50) 100.0+150.50 = 7.500B(40,30) 100.40+150.30 = 8.500 maksimumC(70,0) 100.70+150.0 = 7.000

(iv) Jadi nilai maksimumnya adalah 8.500

Penyelesaian Candra:(v) Menggambar daerah penyelesaian

x + y ≤ 70, titik potong dengan sumbu koordinat

x 70 0y 0 70

(x,y) (70,0) (0,70) x + 2y ≥ 100, titik potong dengan

sumbu koordinatx 100 0y 0 50

(x,y) (100,0) (0,50) x ≥ 0 dan y ≥ 0 masing-masing

mempunyai penyelesaian di kanan sumbu Y dan di atas sumbu X

(vi) Koordinat titik pojok daerah penyelesaian himpunan penyelesaian adalah A(0,50), B(40,30) dan C(0,70). Titik B merupakan titik potong garis x + y = 70 dan x + 2y =100. Koordinat titik B juga dapat dicari dengan cara eleminasi atau substitusi.

(vii) Uji titik pojokTitik f(x,y) = 100x + 150y

A(0,50) 100.0+150.50 = 7.500B(40,30) 100.40+150.30 = 8.500C(0,70) 100.0+150.70 = 10.500 maksimum

(viii) Jadi nilai maksimumnya adalah 10.500

Berdasarkan hasil penyelesaian mereka, siapakah yang benar? Jelaskan!

Kunci Jawaban dan Penskoran

No. Alternatif Penyeleaian Skor Maksimal

1 Diketahui:

Ditanyakan:nilai a dan b sedemikian sehingga fungsi obyektif f(x,y) = ax + by mempunyai nilai maksimum 16 di titik C

Alternatif penyelesaian:Persamaan garis yang melalui titik (2,0) dan (0,4):4 x+2 y=8 atau 2 x+ y=4Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (0,2):2 x+4 y=8 atau x+2 y=4Titik potong garis 2 x+ y=4 dan x+2 y=4 adalah titik C

2 x+ y=4x+2 y=4

x2

-

2 x+ y=4x+2 y=4 x2

- 3 x=4

x=43

−3 y=−4y= 4

3

Diperoleh titik C ( 4

3, 4

3 )f ( x , y )= 4

3a+ 4

3b=16

atau a+b=12 atau b = 12 - aJadi jawabannya terbukaMisalnya a = 3 dan b = 9 atau a = 4 dan b = 8

4

2 Diketahui:Harga pembelian apel Rp10.000,00 per kg dan pisang Rp4.000,00 per kg. Modalnya hanya Rp2.500.000,00 dan muatan gerobak tidak dapat melebihi 400 kg. Misalkan keuntungan satu kg apel Rp3.000,00 dan keuntungan tiap kg pisang Rp1.500,00.Ditanyakan:Berapa kilogram apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungannya maksimum?Alternatif Penyelesaian:

Misalkan, banyak apel = x buah

banyak pisang = y buah

4

Persoalan di atas dapat dibuat dalam tabel seperti berikut.

Buah Banyak (kg)

Banyak gula (g)

Keuntungan

apel x 10.000 3.000

pisang y 4.000 1.500

400 2.500.000

Dari tabel dapat dibuat model matematikanya sebagai berikut.

Fungsi obyektif : Z( x , y )=3000 x+1500 y

Sistem pertidaksamaan : x+ y≤40010000 x+4000 y≤2500000 5 x+2 y≤1.250

: x≥0 ; y≥0

Titik potong garis x+ y≤400 dan 5 x+2 y≤1.250 adalah titik Cx+ y=4005 x+2 y=1. 250

x2

-

x+ y=4005 x+2 y=1. 250

X5

- −3 x=−450

x=150 3 y=750

y=250Diperoleh titik potong kedua garis (150 , 250 )Z( x , y )=3000 . 150+1500 .250=82. 000Jadi agar keuntungannya mencapai maksimum banyaknya apel dan pisang yang harus dibeli adalah 150 kg dan 250 kg.

3 Diketahui:Sajian penyelesaian oleh Budi dan Candra.Ditanyakan:Berdasarkan hasil penyelesaian mereka, siapakah yang benar?

Jawaban:Menurut saya yang benar adalah CandraCandra sudah benar menentukan daerah penyelesaian system pertidaksamaa, titik-titik pojok penyelesaian juga sudah benar sehingga nilai maksimum yang diperoleh juga sudah benar.

Daerah penyelesaian pertidaksamaan x+ y≤70 adalah daerah yang memuat (0,0)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan x+2 y≥100adalah daerah yang tidak memuat (0,0)

Daerah penyelesaian pertidaksamaan x ≥ 0 adalah daerah di kanan sumbu Y

Daerah penyelesaian pertidaksamaan y ≥ 0 adalah daerah di atas sumbu X

Sedangkan Budi mengalami kesalahan dalam menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan

4

x+2 y≥100 , harusnya yang diarsir adalah daerah yang memuat titik (0,0) bukan ke atas. Akibatnya daerah penyelesaian yang didapat juga salah sehingga titik-titik pojok daerah penyelesaiannya salah dan nilai maksimum yang diperoleh juga salah.