Materi :

Menghitung nilai optimum (maksimum / minimum) dari

sistem pertidaksamaan linier.

LEMBAR KEGIATAN SISWA 4

Kelas :……………

Kelompok :…………………..

Nama Anggota :…………………

Kalian telah mempelajari cara membuat grafik dari sisem

pertidaksamaan linier dua variabel, daerah penyelesaian sistem

pertidaksamaan linier dua variabel, dan model matematika. Pada

pertemuan ini kalian akan mempelajari materi program linier yaitu cara

menghitung nilai maksimum/minimum (optimum) fungsi obyektif.

Tujuan Pembelajaran :

Siswa dapat menghitung nilai maksimum/minimum

(optimum) fungsi sasaran dari daerah sistem

pertidaksamaan linier.

Pengantar

Dalam LKS ini kalian akan diberi suatu masalah, untuk menyelesaikan masalah

tersebut perlu kalian ikuti langkah-langkah berikut ini :

1. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk

sistem pertidaksamaan linier)

2. Buatlah grafik dari sistem petidaksamaan linier

3. Tentukan himpunan penyelesaian ( daerah penyelesaian)

4. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut

untuk mencari nilai maksimum/minimum (optimum)

5. Langkah ke 4 tidak selalu bisa digunakan, hal ini disebabkan antara lain

jika koordinat titik pojok bukan merupakan bilangan bulat.

Pada waktu SMP, kalian telah belajar cara menghitung nilai sebuah

fungsi. Masih ingatkah kalian cara menghitung nilai fungsi tersebut?

At junior higt school, you have learned about arithmetic a value of

function. Do you remember about arithmetic a value of function?

1. Perhatikan fungsi f(x , y) = 3x + 2y, dapatkah kalian mencari nilai

fungsi tersebut, jika diketahui :

a. x = 4 , y = 4

b. x = 5 , y = 1

c. x = 2 , y = 8

2. Diketaui fungsi f(x , y) = 4x + 5y, dapatkah kalian mencari nilai fungsi

tersebut untuk:

a. x = 5 , y = 2

b. x = 3 , y = 1

c. x = 1 , y = 7

Masalah 1

Unit Produksi SMK N 6 Surabaya mempunyai modal Rp 1.200.000

Pengurus unit produksi merencanakan membuat cake nanas dan angel

cake. Modal untuk membuat cake nanas Rp 30.000,00 per Loyang dan

angel cake Rp 20.000,00 per Loyang. Keuntungan dari penjualan cake

nanas Rp 6.000,00 per loyang dan keuntungan dari penjualan angel cake

Rp 4.000,00 per Loyang.

Mengingat kapasitas oven sangat terbatas, maka pengurus hanya

bisa membuat sebanyak-banyaknya 50 loyang cake.

1. Ubahlah kedalam model matematika (dalam bentuk sistem

pertidaksamaan linier) dari masalah diatas!

2. Tentukan himpunan penyelesaian (daerah penyelesaian ) dari sistem

pertidaksaan linier di atas!

x

y

Jawab :

3. Perhatikan titik-titik pojok yang ada pada daerah penyelesaian. Pilih beberapa

titik dan kemudian tentukan keuntungan yang diperoleh jika banyak roti yang

dibuat sesuai dengan koordinat titik-titik tersebut.

Tulislah titik-titik pojok tersebut dengan mengecualikan titik (0,0). Tulislah titik-

titik pojok tersebut!

4. Subtitusikan nilai x dan y dari masing-masing titik pada fungsi obyektif dan

carilah nilai yang terbesar.

Bisakah kamu memberi alas an mengapa untuk menentukan keuntungan

maksimum masalah diatas bisa dilihat dari titik pojoknya?

5. Hitunglah keuntungan maksimum Unit Produksi SMK N 6 surabaya. Diskusikan

dengan teman kelompokmu.

6. Berikutnya jika diketahui keuntungan yang diperoleh dari penjualan cake gulung

pelangi adalah Rp 5000,00 dan brownis kukus Rp 6000,00, maka tentukan

berapa banyak cake gulung pelangi dan brownis kukus harus diproduksi agar

diperoleh keuntungan maksimum! Bagaimana caramu menentukan?

Penting :

Jawab :

Fungsi Obyektif :

Nilai fungsi :

Nilai fungsi terbesar :

Untuk menyelesaikan masalah 1, cara yang digunakan adalah memanfatkan

titik-titik pojok dalam mencari nilai maksimum, tetapi ingat cara tersebut tidak

selalu menghasilkan jawaban yang benar, perhatikan masalah 2 berikut ini.

Masalah 2

Unit produksi SMK N 6 Surabaya bekerjasama dengan jurusan dalam melakukan

kegiatan produksinya. Kegiatan produksi tersebut banyak melibatkan siswa, dan hasil

produksi di jual dilingkungan sekolah. Misalnya, dalam memproduksi dua jenis roti

(roti pia kacang ijo dan roti muffin). Untuk membuat roti pia kacang ijo

membutuhkan 250 gram tepung terigu dan 50 gram gula putih, sedangkan untuk

membuat roti muffin membutuhkan 250 gram tepung terigu dan 25 gram gula

putih. Unit produksi mempunyai persediaan tepung terigu 20 kg dan gula putih 15

kg. Keuntungan dari penjualan roti pia kacang ijo Rp 750,00 dan keuntungan roti

sosis keju Rp 1000,00.

Tentukan tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya didapat hasil keuntungan yang

maksimum dan tentukan pula keuntungan maksimum tersebut.

1. Ubahlah kedalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan

linier) dari masalah diatas!

Jawab:

2. Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier di atas!

3. Tunjukan fungsi obyektif dari masalah 2.

4. Tentukan keuntungan maksimum dengan menggunakan titik-titik pojok. Apa

yang kalian peroleh?

Catatan :

Kalian tidak akan bisa menggunakan cara yang sama seperti pada masalah 1. Kali

ini kalian bisa menggunakan titik-titik disekitar titik pojok dari fungsi obyektif,

sehingga kalian menemukan koordinat yang sesuai untuk mendapatkan

keuntungan maksimum.

5. Hitunglah keuntungan maksimum unit produksi SMK N 6 Surabya. Diskusikan

dengan teman kelompokmu.

x

y

Jawab:

6. Berikutnya jika diketahui keuntungan yang diperoleh dari penjualan pia kacang

ijo adalah Rp 750,00 dan roti sosis keju Rp 1000,00, maka tentukan berapa

banyak roti pia kacang ijo dan roti sosis keju harus diproduksi agar diperoleh

keuntungan maksimum! Bagaimana caramu menentukan?

Latihan

1. Diketahui model matematika: 2x – 5y ≤10 ; x + y ≥ 5; x + y ≤ 12; -5x + 2y

≤ 10. Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif P = 3x + 4y.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum P = 3x + 2y, dari daerah penyelesaian

berikut.

y

0 x

3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi obyektif P = 3x + 5y, yang memenuhi sistem

petidaksamaan linier:

x + y ≤ 4

x + 2y ≤ 6

x ≥ 0

y ≥0

4. Tentukan nilai minimum dari fungsi obyektif P = 5x + 7y, yang memenuhi sistem

pertidaksamaan linier:

x + 2y ≥ 8

3x + 2y ≥ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

(1,4)

(6,2)

(8,6)

(3,8)

5. Unit Produksi SMK N 6 Surabaya mempunyai persediaan tepung terigu 9

kg dan mentega 5 kg. Dengan persediaan bahan yang ada unit produksi

tersebut akan membuat cake gulung pelagi dan brownis kukus. Untuk

membuat cake gulung pelangi membutuhkan 150 gr tepung terigu dan

50 gram mentega, sedangkan untuk brownis kukus membutuhkan 75

gram tepung terigu dan 75 gram mentega.

Keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan cake gulung pelagi dan

brownis kukus masing-masing Rp 5000,00 dan Rp 5000,00. Tentukan

tiap-tiap jenis roti yang harus dibuat supaya didapat hasil keuntungan

yang maksimum.

Alternatif jawaban

1. a. 20

b. 17

c. 22

2. a. 30

b. 17

c. 39

Masalah 1

1. Model matematika :

3x + 2y ≤ 120

x + y ≤ 50

x ≥ 0

y ≥ 0

2. Grafik model matematika

Daerah penyelesaian menggambarkan semua kemungkinan banyaknya cake

yang bisa dibuat oleh pengurus unit produksi dengan memperhatikan semua

kondisi yang dimiliki yaitu modal dan oven untuk memanggang.

x

y

3. Titik-titik pojok :

(0 , 50) ; ( 20 , 30) ; (40 , 0)

4. Fungsi obyeltif

Z = 6000x + 4000y

Z1 = 200.000

Z2 = 240.000 nilai terbesar

Z3 = 16.000

Masalah 2

1. Model matematika

Roti muffin Roti pia kacang ijo Persediaan bahan

Tepung terigu 250 250 20.000

Gula putih 50 25 3400

Keuntungan 500 500

x + y ≤ 80

2x + y ≤ 136

x ≥ 0

y ≥ 0

2. Grafik penyelesaian

x

y

3. Fungsi obyektif :

Z = 500x + 500y

4. Titik-titik pojok tidak terletak pada koordinat dengan bilangan bulat.

5. Nilai fungsi yang memenuhi

Z = 500 (50) + 500 ( 30) = 40.000

6. Dengan membuat grafik garis-garis yang sejajar fungsi objektif dan

menentukan nilai maksimum pada daerah penyelesaian dari sistem

pertidaksamaan.

Latihan

1. Grafik dari sistem pertidaksamaan

Nilai maksimal :

P = 3x + 4y

= 46

x

y x + y = 5

2. Nilai maksimum :

P = 3x + 2y

= 36

Nilai minimum :

P = 3x + 2y

= 11

3. Grafik sistem pertidaksamaan

Nilai maksimum

P = 3x + 5y

= 16

4. Grafik sistem pertidaksamaa

x

y

x

y

Nilai minimum:

P = 5x + 7y

= 31

5. Model matematika

Cake gulung pelangi brownis Persediaan bahan

Tepung terigu 150 75 9000

Mentega 50 75 5000

Keuntungan 5000 5000

6x + 3y ≤ 360

2x + 3y ≤ 200

x ≥ 0

y ≥ 0

Grafik sistem pertidaksamaan

Nilai maksimum :

P = 5000x + 5000y

= 400.000

x

y