1

VIBRASI KRISTAL

1. Vibrasi Kisi Monoatomik 1 Dimensi

Kakas (force) pada bidang S yang disebabkan oleh pergeseran bidang s+p

sebanding dengan Us+p-Us. Untuk p=±1 dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 1. Gelombang elastik pada atom kristal

Kakas total pasa bidang s dari bidang s±1 adalah ;

1 1( ) ( )s s s s sF C U U C U U (1)

Dengan C adalah tetapan kakas

Menurut Hukum II Newton kakas dapat dinyatakan :

2

2s

x

d UF M

dt (2)

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh persamaan diferensial pada persamaan (3)

2

1 12

1 1

( ( )

( 2 )

ss s s s

s s s

d UM C U U C U U

dtC U U U

(3)

Andaikan solusi dari persamaan (3) adalah

1

iska i ts

ikas s

U Ue e

U U e

(4)

Jika persamaan (4) disubstitusi kepersamaan (3) diperoleh

(5)

2

2

2( )(1 cos )

4 1( )sin (

2

Cka

MC

kaM

21 1( 2 )

[ 2]

s s s s

ika ikas

M U C U U U

C e e U

2

0

4 1| sin |

2

1| sin |

2

Cka

M

ka

1.1 Memenuhi Syarat Bragg

Dengan menggunakan hubungan angka gelombang dengan panjang

gelombang diperoleh ;

22

4

2 cos 0,744

a

a

c cVg a

m m

22

m

ak

(6)

Dengan memilih1

,2

d a , dan n=1, maka:

2 sin

2

d

a

1.2 Hubungan Dispersi Kristal Monoatomik

3

1.3 Kecepatan Group

(7)

Pada saat ka = π

2

2

2 cos 02

a

a

cVg

m

Tidak ada gradien

Pada saat ka = π/2

22

4

2 cos 0,744

a

a

c cVg a

m m

Memiliki gradient

12 | sin |

2

2 cos2 2

d d cVg ka

dk dk m

c a ka

m

4

2. Vibrasi Kisi Diatomik 1 Dimensi

Persamaan gerak :

F = m.a = c. x

Untuk 2

1 2 12m m c V U V Us

s s s s

d U

dt

2

1 12m c V V 2Us

s s s

d U

dt (8)

Untuk 2

2 2 12m m c U +V U Vs

s s s s

d U

dt

2

2 12m c U U 2Vs

s s s

d U

dt (9)

Solusinya

i (ksa- t)

i (ksa- t )s

i (ksa- t) ika1

U U. e

V = V. e

U U. e . e

s

s

i (ksa- t) ikas-1V V.e .e (10)

Persamaan (10) dimasukkan ke persamaan (8) diperoleh

i (ksa- t)sU = U. e

i (ksa- t)2

22 i (ksa- t)

2

i U. e

U. e

s

s

dU

dt

d U

dt

2 i (ksa- t) i (ksa- t) i (ksa- t) ika i (ksa- t)1m .U e c U. e V.e .e 2U.e

2 -ika1.m U c U+Ve 2U (11)

5

Dengan cara yang sama bila persamaan (10) dimasukkan ke persamaan (9)

didapat :

2 ika2m .V cU (1+e ) 2cV (12)

Dari persamaan (11) dan persamaan (12) bila dibuat determinant:

21

21

21

21

( )(1 )20

2( )(1 )

( )(1 )20

2( )(1 )

ika

ika

ika

ika

Uc ec m

Vc mc e

c ec m

c mc e

2 21 1

4 2 21 2 1 2

2 2 ( )(1 )( )(1 ) 0

( ) 2 (2 ) 0

ika ika

ika ika

c m c m c e c e

m m c m m c e e

Ingat

ika

ika ika

e cos ka + i sin ka

e e 2 cos ka

Maka

4 2 21 2 1 2( ) 2 2 ((1 cos ka) 0m m c m m c

Rumus abc :

2 21 2 1 2 1 22

121 2

2 ( ) 2 4( )(2 )(1 cos ka)( )

2( )

c m m c m m m m c

m m

Ingat

2 121 cos ka = sin ka

Maka

2 2 21

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 4( ) ( ) ( ) sin

2

kac c

m m m m m m

(13)

Persamaan (13) merupakan persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)

2 2 22

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 4( ) ( ) ( ) sin

2

kac c

m m m m m m

(14)

Persamaan (14) merupakan persamaan cabang akustik (bunyi)

6

Grafik : ( )f k

Untuk

0k

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

1 1 1 1(2 )( ) (2 )( )

1 1 1 1( ) ( ) 0

op op

ak

c cm m m m

c cm m m m

/k a

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 4( ) ( )

1 1 1 1 2 4( ) ( ) ( )

1 1 1 1 2( ) ( ) ( )

1 1 1 1( ) ( )

1 1 1 1( ) ( )

op c cm m m m m m

c cm m m m m m m m

c cm m m m m m

c cm m m m

c cm m m m

2

1

2op

c

m (15)

Dengan cara yang sama :

2

1 2 1 2

1 1 1 1( ) ( )ak c cm m m m

2

2

2ak

c

m (16)

7

Bila 1 21 2

2 2c cm m

m m

Bila 1 21 2

2 2c cm m

m m

Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi

selalu menghasilkan getaran

3. Fonon

Fonon dalam fisika adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal

tegar, seperti kisi kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap,

lelehan atau gabungan dari ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi

oleh laju nukleasi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang

terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom–atom atau molekul-

molekul secara teratur dengan berulang sehingga sehingga energi potensialnya

minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di

dalamnya.

Fisika zat padat mengalami perkembangan pesat setelah ditemukan Sinar-X

dan keberhasilan di dalam memodelkan susunan atom dalam kristal. Atom-atom

atau molekul–molekul dapat berbentuk kisi kristal melalui gaya tarik menarik

(gaya coulomb). Kisi–kisi tersebut tersusun secara priodik membentuk kristal.

Atom–atom yang menyusun zat padat bervibrasi terhadap posisi keseimbanganya

8

sehingga kisi–kisi kristal pun ikut bervibrasi. Fenomena yang muncul dari

kuantisasi sistem fisika zat padat tetapi memiliki perbedaan energi dengan

panjang gelombang lebih panjang dibanding gelombang elektromagnetik disebut

fonon. Energi kuantum dari vibrasi gerak dalam medan gelombang elastis dapat

dianalogikan seperti dalam foton dalam gelombang elektromagnetik.

Konsep fonon tersirat dalam teori Debye yang sangat penting dan jauh

mencapai konsepnya. Kita telah melihat bahwa energi setiap mode adalah

terkuantisasi, energi dari unit kuantum menjadi ћω. Karena mode yang kita miliki

adalah gelombang elastis, yang pada kenyataannya, terkuantisasi energi

gelombang suara elastis. Prosedur ini analog dengan yang digunakan dalam

mengkuantisasi energi medan elektromagnetik, di mana sel hidup alam lapangan

diungkapkan dengan memperkenalkan foton. Dalam kasus ini, partikel seperti

entitas yang membawa energi unit bidang elastis dalam modus tertentu disebut

sebuah Fonon. Energi fonon tersebut yaitu:

є = ћω (16)

Sedangkan Fonon juga merupakan gelombang berjalan, ia membawa

momentum sendiri. Analogi foton (sama seperti persamaan de Broglie),

momentum Fonon diberikan oleh p = h / λ, dimana λ adalah panjang gelombang.

Ditulis λ = 2π / q, dimana q adalah vektor gelombang, kita memperoleh

momentum untuk Fonon tersebut:

p = ћq (17)

Sama seperti kita berpikir tentang gelombang elektromagnetik sebagai aliran

foton, sekarang kita melihat sebuah gelombang suara elastis sebagai aliran fonon

yang membawa energi dan momentum gelombang. Kecepatan perjalanan Fonon

sama dengan kecepatan suara dalam medium.

Jumlah fonon dalam mode pada kesetimbangan termal, karena energi per

Fonon sama dengan ћω, dan karena energi rata-rata fonon dalam modus diberikan

oleh є berarti rata-rata jumlah fonon dalam modus diberikan oleh

n = 1eђ − 1

9

Jumlah ini tergantung pada suhu pada T = 0, n = 0, tetapi dengan

meningkatnya T, n juga meningkat, akhirnya meraih nilai n = kT / ћω pada suhu

tinggi. Di sini kita melihat hal yang menarik: fonon diciptakan hanya dengan

meningkatkan suhu, dan karenanya jumlah mereka dalam sistem ini tidak kekal.

Ini tidak seperti kasus pada partikel lebih dikenal fisika-misalnya, elektron atau

proton di mana jumlah ini kekal.

Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik dari

neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron yang

tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon. Sebuah neutron berada

pada kisi kristal akibat interaksi inti atom. Hamburan kinematik neutron pada kisi

kristal menggambarkan aturan seleksi vektor gelombang secara umum

(18)

Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari

foton yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor

kisi resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama.

Energi kinetic interaksi neutron adalah2

2 n

p

M,dimana Mn adalah massa

neutron.Momentum p diberikan oleh k , dimana k adalah vektor gelombang dari

neutron,. Energi kinetic dari ineraksi neutron adalah 2 2 / 2 nk M , dimana Jika k’

adalah vektor gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah

2 2' / 2 nk M . Persamaan konservasi energy adalah

(19)

Dimana adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama

proses berlangsung.

'k G k K

2 2 2 2'

2 2n n

k k

M M

10

Baru-baru ini konsep simetri cermin diperkenalkan dalam studi dinamika ion

alkali-halida. Intinya, untuk mempertimbangkan bahwa kristal akan terbentuk jika

tanda ion pada A+ B- terbalik.

4. Momentum Fonon

Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan foton

neutron, dan seolah-olah memiliki K . Bagaimanapun, fonon tidak membawa

momentum fisik. Alasan bahwa fonon dalam satu kisi tidak membawa momentum

adalah bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga

dalam molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r1 – r2, yang merupakan

koordinat relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½

(r1 + r2) sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier.

Momentum fisik dari kristal adalah

(20)

Ketika Kristal membawa fonon K;

(21)

Dimana s berjalan diatas N atom. Digunakanlah seri

(22)

Telah ditemukan bahwa nilai2 r

KNa

, dimana r adalah integer.

Sehingga exp(inKa) exp( i 2 r) 1 dan momentum Kristal bernilai nol.

( )d

p M usdt

M( )[1 exp(inka)]( ) exp( )

[1 exp( )]s

dudu dtp M isKadt ika

1

0

(1 )

(1 )

NNs

s

xx

x

11

(23)

Sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum adalah

K , dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat aturan

seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan

kuantum. Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan seleksi

vektor gelombang.

(24)

Dimana G adalah vector dalam isi timbal balik, k adalah vektor gelombang

dari foton yang diamati dan k’ adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam

proses refleksi Kristal semua akan mengalami momentum G , tetapi ini jarang

dianggap secara eksplisit. Gelombnag vektor total yang merupakan interaksi

gelombang bersifat kekal dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin

dari vektor kisi resiprokal G. Momentum keseluruhan selalu dijaga.Jika hamburan

foton bersifat inelastic, dengan membuat fonon dari vektor gelombang K, maka

aturan seleksi vektor gelombang menjadi : k’ = k + K + G

5. Hamburan Elastik Foton Oleh Fonon

5.1.GelombangElastikDanFonon

Dalampendekatangelombangpanjang,tinjausebuahbatangberpenampangA

dengan rapatmassaρ, yangdirambatigelombangmekanikke

arahmemanjangbatangx. Pada setiap titik x dalam batang terjadi perubahan

panjang u (x) sebagai akibat adanya

teganganσ(x)darigelombang,lihatgambar1.Dapatdituliskanreganganpadabatang:

( ) exp( ) 0s

dup M isKa

dt

'k k G

12

Gambar.1.

du

dx (25)

karenateganganσyangmemenuhihukumHookesebagaiberikut:

E (26)

dengan E menyatakan Modulus elastik atau Modulus Young. Selanjutnya,

menurut hukumkedua Newton,tegangan yangbekerja padaelemen

batangdxmenghasilkangayasebesar:

( ) ( )F A x dx x (27)

akan menyebabkan massa elemen batang tersebut (ρAdx) mendapatkan

percepatan sebesar2

2( )

u

t

sehingga :

2

2( ) ( )

uAdx A x dx x

t

(28)

Dapat dijabarkan :

2

2

dxx

E dxdx

duE dx

x dx

d uE dx

dx

(29)

Masukkankembalihasil(28)kepersamaansemula(29)memberikan:

13

2 2

2 2.

u uAdx E dx A

t x

yang dapat disederhanakan menjadi

2 2

2 2

u u

x E t

(30)

yaitu persamaan gelombang elastik. Dan bila dibandingkan dengan

persamaangelombang umum :

akan diperoleh ungkapan bagi kecepatan gelombang elastik :

12

s

Ev

(31)

Jelasbahwakecepatangelombangmekanikdalambatang(secaraumumpadazat

padat) bergantungpada“besaranelastik”bahantersebut,yakni

modulusYoung.Karena

perambatangelombangtersebutbergantungpadabesaranelastikmaka

gelombangyang bersangkutandisebutgelombangelastik.

Bentuk penyelesaian daripersamaan gelombang, persamaan (30),dapat

dipilihsolusi gelombangbidang:

0( ) exp( )u x u ikx i t (32)

dengankbilangangelombang(=2π/λ),ωfrekuensisudutdanλpanjanggelombang.

Bila hanya diperhatikan bergantung gelombang terhadap posisi (x),

dengan mengabaikanfaktorwaktu(t),makafungsigelombangbidangdapatditulis:

0( ) exp( )u x u ikx (33)

Dengan menganggap panjang batang L, fungsi gelombang harus memenuhi

syarat periodik, yaitunilaipadaujungkiri(x=0)harussamadengannilainyapadaujung

kanan(x=L),jadi:

2 2

2 2 2

1

s

u u

x v t

14

0 0

( 0 _ ( )

exp( )

u x u x L

u u ikL

(34)

Ini berarti

exp( ) 1ikL

Atau

ln(2 )ikL

Dan

2K n

L

(35)

dengan n = 0, ±1, ±2, ......... Persamaan terakhir (2.11) mengungkapkan

bahwagelombangdapatmerambatdalambatangyangpanjangnyaL bilamanabilangan

gelombangnyamemilikihargakelipatanbulat(0,1, 2,......)dari2π/L.Ataudengankata

lain“bilangangelombangkberhargadiskrit”.Keadaan di atas bila dituliskan dalam

ruang – k (koordinat yang menyatakan bilangan gelombang) akan terlihat seperti

pada gambar 2a. Titik-titik dalam ruang – k menyatakan ragam (moda)

gelombang. Andaikan panjang batang cukup besar (L>>), maka jarak 2π/L akan

mendekati nol dan ini berarti titik-titik dalam ruang - k makin berdekatan (ruang -

k mendekati malar/ kuasi kontinyu), lihat gambar 2b.

Gambar2.Ruang–ksatudimensi:a.diskrit,danb.malar

Berdasarkan gambar 2 dapat didefinisikan jumlah ragam gelombang elastik yang

15

mempunyai bilangan gelombang antara k dan k + dk (dalam interval dk) adalah :

2 2

dk Ldk

L

(36)

Dengan

2k

L

Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan d untuk setiap satuan volume

disebut rapat keadaan atau ditulis g(k) dk. Rapat keadaan dapat juga

diungkapkan sebagaifrekuensisudutω,yaitug(ω)

dω;yangmenyatakanjumlahragamgelombang

elastikpersatuanvolumedenganfrekuensiantaraω danω+dω(dalamintervaldω).Di

pihaklain,kdanωberhubungansatusamalainmelaluihubungandispersi,lihatgambar3

.,yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap k untuk kisi malar :

2sv (37)

Gambar3.Hubungandispersilinieruntukkisimalar(pendekatangelombang

panjang)

dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan.

Melalui hubunganinig(ω)dapatditentukan:

( ) 22

( )

s

Lg d dk

L dkg

d

L

v

(38)

15

mempunyai bilangan gelombang antara k dan k + dk (dalam interval dk) adalah :

2 2

dk Ldk

L

(36)

Dengan

2k

L

Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan d untuk setiap satuan volume

disebut rapat keadaan atau ditulis g(k) dk. Rapat keadaan dapat juga

diungkapkan sebagaifrekuensisudutω,yaitug(ω)

dω;yangmenyatakanjumlahragamgelombang

elastikpersatuanvolumedenganfrekuensiantaraω danω+dω(dalamintervaldω).Di

pihaklain,kdanωberhubungansatusamalainmelaluihubungandispersi,lihatgambar3

.,yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap k untuk kisi malar :

2sv (37)

Gambar3.Hubungandispersilinieruntukkisimalar(pendekatangelombang

panjang)

dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan.

Melalui hubunganinig(ω)dapatditentukan:

( ) 22

( )

s

Lg d dk

L dkg

d

L

v

(38)

15

mempunyai bilangan gelombang antara k dan k + dk (dalam interval dk) adalah :

2 2

dk Ldk

L

(36)

Dengan

2k

L

Jumlah ragam gelombang seperti pada persamaan d untuk setiap satuan volume

disebut rapat keadaan atau ditulis g(k) dk. Rapat keadaan dapat juga

diungkapkan sebagaifrekuensisudutω,yaitug(ω)

dω;yangmenyatakanjumlahragamgelombang

elastikpersatuanvolumedenganfrekuensiantaraω danω+dω(dalamintervaldω).Di

pihaklain,kdanωberhubungansatusamalainmelaluihubungandispersi,lihatgambar3

.,yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap k untuk kisi malar :

2sv (37)

Gambar3.Hubungandispersilinieruntukkisimalar(pendekatangelombang

panjang)

dengan vs adalah kecepatan gelombang pada medium yang bersangkutan.

Melalui hubunganinig(ω)dapatditentukan:

( ) 22

( )

s

Lg d dk

L dkg

d

L

v

(38)

16

Angka2padapersamaantersebutmunculkarenaragamgelombangmeliputi2 daerah

(positif dannegatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yangmerambat

kearah kanandankiri.

Lebihlanjut,perubahangelombangdiatasdapatdiperluasuntukkasustiga-dimensi.

Dalamruangtiga-

dimensi,fungsigelombangdenganmengabaikanfaktorwaktuditulis:

0( , , ) exp ( )x y zu x y z u i k x k y k z (39)

Syaratbatasperiodikmenghasilkan :

exp ( )x y ziL k k k (40)

Halinidapatdipenuhioleh:

2 2 2; ;

, , 0, 1, 2,...

x y zk l k m k nL L L

l m n

Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :

( , , )

2 2 2, ,

x y zk k k k

l m nL L L

(41)

yangmerupakan saturagam gelombang. Pada gambar 4.dilukiskan ruang-ktiga-

dimensi,proyeksipadabidangky-

kzdanbesarnyavolumeyangditempatiolehsatutitik(kx,ky,kz)dalamruang-

ktersebut.

16

Angka2padapersamaantersebutmunculkarenaragamgelombangmeliputi2 daerah

(positif dannegatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yangmerambat

kearah kanandankiri.

Lebihlanjut,perubahangelombangdiatasdapatdiperluasuntukkasustiga-dimensi.

Dalamruangtiga-

dimensi,fungsigelombangdenganmengabaikanfaktorwaktuditulis:

0( , , ) exp ( )x y zu x y z u i k x k y k z (39)

Syaratbatasperiodikmenghasilkan :

exp ( )x y ziL k k k (40)

Halinidapatdipenuhioleh:

2 2 2; ;

, , 0, 1, 2,...

x y zk l k m k nL L L

l m n

Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :

( , , )

2 2 2, ,

x y zk k k k

l m nL L L

(41)

yangmerupakan saturagam gelombang. Pada gambar 4.dilukiskan ruang-ktiga-

dimensi,proyeksipadabidangky-

kzdanbesarnyavolumeyangditempatiolehsatutitik(kx,ky,kz)dalamruang-

ktersebut.

16

Angka2padapersamaantersebutmunculkarenaragamgelombangmeliputi2 daerah

(positif dannegatif), yaitu berhubungan dengan gelombang yangmerambat

kearah kanandankiri.

Lebihlanjut,perubahangelombangdiatasdapatdiperluasuntukkasustiga-dimensi.

Dalamruangtiga-

dimensi,fungsigelombangdenganmengabaikanfaktorwaktuditulis:

0( , , ) exp ( )x y zu x y z u i k x k y k z (39)

Syaratbatasperiodikmenghasilkan :

exp ( )x y ziL k k k (40)

Halinidapatdipenuhioleh:

2 2 2; ;

, , 0, 1, 2,...

x y zk l k m k nL L L

l m n

Setiap titik dalam ruang - q dinyatakan oleh :

( , , )

2 2 2, ,

x y zk k k k

l m nL L L

(41)

yangmerupakan saturagam gelombang. Pada gambar 4.dilukiskan ruang-ktiga-

dimensi,proyeksipadabidangky-

kzdanbesarnyavolumeyangditempatiolehsatutitik(kx,ky,kz)dalamruang-

ktersebut.

17

Gambar4.Ruang–ktigadimensi:a.ruang–kdalamkuadranI(kx,ky,kz›0);b.

proyeksiruang–kpadabidangky-kz;c.volumeyangditempatiolehsatutitik

dalamruang–k

Rapat keadaan g(ω) dalam ruang tiga-dimensi dari rambatan gelombang

dapat ditentukan berdasarkan

gambar4.Jumlahragamgelombang(dalambolaberjejariq) adalah perbandingan

antara volume bola danvolume yangditempati oleh satu titikruang-k,jadi:

33

33 2

43

62

k LN k

L

(42)

Turunkan(diferensiasi)Nterhadapqakanmemberikang(ω)dω:

32

2( )

2

LdN k dk g d

Atau

32

2( )

2

L dkg k

d

Gunakan hubungan dispersi

2

2 1; ;s

s s

dkv k k

v d v

Sehingga diperoleh :

22 3

( )2 s

Vg

v

(43)

V = L3, yaitu volume medium apabila berbentuk kubus. Dengan hasil rumusan

terakhir,

dapatdiperluashubunganantarajumlahragamgelombangyangdinyatakanolehtitik-

18

titikdalamruang- k.Dalampengertianini,satutitik(kx,ky,kz)setaradengan3(tiga)

ragamgelombangdalamruang(koordinat)tiga-

dimensi.Anggap,misalnya,gelombangmerambatkearah-

x,makaragamkearahxinimenjadigelombanglongitudinal(1 ragam)sedangkan

ragamkearahydanzmenjadigelombangtronsversal (2ragam), sehingga:

(kx,ky,kz)→ -1ragamlongitudinal

-2ragamtransversal

Dalamkasusgelombang merambat kearahsumbux,makaungkapan rapatkeadaan

dapatdituliskankembaliberbentuk:

22 3 3

, ,

1 2( )

2 s L s T

Vg

v v

(44)

denganvs,L

danvs,Tadalahkecepatangelombanglongitudinaldankecepatangelombang

transversal.Sampaisejauhini,kita

telahmembahasrambatangelombangelastikpadabahanpadat.

Gelombangelastikpadazatpadatinidapatdisebabkanbaikoleh gelombangmekanik

(bunyi/ultrasonik) maupun oleh gelombang termal (inframerah). Kedua

gelombang tersebutdapatmenyebabkangetarankisi. Untukselanjutnya,paket-

paketenergigetaran kisidisebutfonon.Fonon

dapatdipandangsebagai“kuasipartikel” sepertihalnyafoton

padagelombangcahaya/elektromagnet. Melalui konsep yang mirip “dualisme

partikelgelombang” ini, rambatan getaran kisi dalam zat padat dapat dianggap

sebagai aliran fonon.

Beberapakonsepdualismegelombang-pertikelditunjukkanpadatabel1.

Tabel1.Beberapaeksitasielementerpadazatpadat.

19

6. Panas jenis

Sejumlahpanas(∆Q)yangdiperlukanpermolzatuntukmenaikkansuhunyadisebut

kapasitas kalor. Bila kenaikan suhu zat∆T, maka kapasitas panas adalah:= ∆∆Jikaprosespenyerapanpanasberlangsungpadavolumetetap,makapanasyangdiser

apsamadenganpeningkatanenergidalamzat, ∆Q= ∆E,Emenyatakanenergidalam.

Kapasitas kalor pada volume tetap (Cv)dapat dinyatakan := ∆∆ =Kapasitaspanaszatbergantungpadasuhu.Kapasitaspanaszatpadasuhutinggimendeka

tinilai3R;Rmenyatakantetapangasumum.KarenaR≅2kalori/K-mol, maka pada

suhu tinggi kapasitas panas zat padat :≅ 6 −Nilaidiatasberlakudalamselangsuhutermasuksuhuruang.KenyataannyaCvmemiliki

nilai3R pada suhu tinggi untuk semua zat, ini yang dikenal sebagai

hukumDulong-Petit.

Padasuhurendah,Cvmenyimpangdarihukum Dulong-Petit,NilaiCv

menurunseiring denganberkurangnyasuhuT,danCv menujunoluntukT =

0.DisekitarT=0nilaiCv

sebandingdenganT3.BagaimanakahkebergantunganCvterhadapTinidapatditerangk

an? Berikut akan dibahas tiga buah.

7. Teori Klasik Kapasitas Panas Kisi

20

Menurutfisikaklasik,getaranatom-atomzatpadat

dapatdipandangsebagaiosilatorharmonik.Osilatorharmonikmerupakansuatukonsep

/modelyangsecaramakroskopikdapat

dibayangkansebagaisebuahmassamyangterkaitpadasebuahpegasdengantetapanpeg

asC.

Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan := += += ( + ) (45)

denganvlajugetaranosilator,xsimpanganosilator, dan

ω frekuensisudutgetaranosilator = .

Untukosilatorharmoniksatudimensiyangmempunyaiduaderajadbebasmempunyai

energi rata-rata :

1 12 2kT kT kT (46)

Selanjutnya,karenaatom-atomdalamkristalmembentuksusunantiga-

dimensi,makauntuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya :

3 3 3A AE N N kT RT (47)

Dengan demikian kapasitas kalornya :

3v

EC R

T

(48)

darihasil(48)initerlihatbahwamenurutmodelfisikaklasik,kapasitaspanaszatpadat

tidakbergantungsuhudanberharga3R.HalinisesuaidenganhukumDulong-Petityang

hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini

tidak berlaku.

8. Teori Einstein Kapasitas Panas Kisi

Atom-atom kristal dianggap bergetar satu sama lain di sekitar titik

setimbangnya secara bebas. Getaran atomnya dianggap harmonik sederhana yang

bebas sehingga mempunyai frekuensi sama2

v

sehingga di dalam zat

21

padat terdapat sejumlah N atom maka ia akan mempunyai 3N osilator harmonik

yang bergetar bebas dengan frekuensi .

3total b bkp

U k T Nk T

(49)

Model Einstein untuk T

3 3v bC Nk R sesuai dengan eksperimen Dulong dan Petit

Untuk / 1bT k T

Bila kp maka /

3

1btotal k T

NU

e

/

/2 2/

/2 2

2 /

/2 2

2 2 / /

2 2

/

3

1

13

1

3

1

3

2 1

3 1

1

b

b

b

b

b

b

b b

b

v k T

k Tv

k Tb

k T

v k Tb

k T

v k T k Tb

v k Tb

U d NC

T dT e

C N ek Te

N eC

k T e

N eC

k T e e

NC

k T e

Untuk / 1bT k T maka:

2 2/3

bk Tv

b

NC e

k T

(50)

9. Model Debye Kapasitas Panas Kisi

Atom-atom dianggap sebagai oscilator harmonis yang tidak bebas. Artinya

gerakanatom-atom yang dipengaruhi oleh atom tetangga. Menyempurnakan

3 3 3v b b

U dC Nk T Nk R

T dT

22

Model Einstein terutama untuk T<<. Menurut Debye, untuk T<< maka

(berada pada cabang akustik).

9.1 Rapat Keadaan (Density Of States) D

dN

Dd

, Jumlah keadaan berbanding rentang energy. Maka jumlah

keadaan: dN D d . Energi Total:

/ 1kp

kp bk Ttotal

k p

U e

/ 1kp

kp b

D dk T

totalp

U e

3

3

432

kN

L

3 3 3

2 26 6

L k VkN

3

22

dN VkD k

dk

2

22

dN dN dk Vk dkD

d dk d d

g

dv

dk

23

vk 1dk

d v

Jadi, 2 2 2

2 2 2 3

1

2 2 2

Vk Vk VD

v v v

2

/ 2 3

3

/ 2 3

31 2

31 2

b

b

total k T

total k T

VU d

e v

VU d

e v

Sehingga limit dari integral di atas didapat: D

N N total

3

3

432

kN

L

D Dvk

3

/ 2 303

1 2D

bv k T

U d VC d

T dT e v

3

/2 3 0

3

2 1D

bv k T

V dC d

v dT e

(51)

4

/22 3 2 0 /

3 1

2 1

Db

b

k Tv

k Tb

VC e d

v k T e

24

Misalkan / bx k T / b

dxk T

d bk T

d dx

44

2 /

22 2 0

3 1

2 1

D b

b

k T x bv

xb

k Tx

k TVC e dx

k T e

Bila didefinisikan : /D bD k dengan D merupakan temperature Debye

Jadi:

4 3 4/

22 3 0

3

2 1

D T xbv

x

Vk T xC e dx

v e

2 3

3

6

D

N vV

Sehingga:

3 4/

209

1

D T xv b

xD

T xC Nk e dx

e

(52)

Untuk T yang tinggi DT 1DX

Maka:

4 4

22 2 4

1 22! 4!

x

x

x xe x

x xe

Jadi:/

3

2

09

D T

v bD

TC Nk x dx

3

319 3

3v b bD

TC Nk x Nk

Model Debye pada temperature tinggi:

3 3v bC Nk R Sesuai dengan hasil eksperimen Dulong dan pettit

Sedangkan pada temperature rendah DT 1DX

25

3 4

20

3 4

20

91

91

DX xv b

xD

xv b

xD

T xC Nk e dx

e

T xC Nk e dx

e

Dengan menggunakan Integgral Parsial di dapatkan:

4U x 34dU x dx

1x

x

edV dx

e

1

1xV

e

/

3 4 3

0

44/

3

0

3

4

3

49

1 1

01 1

44 3! 4

1

12

5

234

D T

v b x xD

D T

x

x

v bD

v bD

UdV UV VdU

T x xC Nk dx

e e

x

e e

xdx

e

TC Nk

TC Nk