repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/32014/2/005314068_Full.pdf · v HALAMAN PERSEMBAHAN...

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR JARANG

DENGAN CARA TERPARTISI

MENURUT MARSHALL C PEASE

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Jurusan Teknik Informatika

Disusun Oleh:

M Edi Waskito

005314068

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2007

SOLVING THE SPARSE MATRIX OF EQUATION LINEAR

SYSTEM WITH MARSHALL C PEASE

PARTITIONING MATRIX METHOD

A Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Sarjana Teknik Degree

in Informatic Engineering

by

M Edi Waskito

005314068

DEPARTEMENT OF INFORMATIC ENGINEERING

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007

PERNYATAAN

Dengan ini saya sebagai penulis tugas akhir menyatakan dengan

sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian

karya orang lain, kecuali pemikiran, metode atau hasil penelitian orang lain yang

diambil disebutkan dengan jelas sebagai acuan.

Yogyakarta, September 2007

M Edi Waskito

Penulis

iv

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karyaku ini kupersembahkan untuk :

Yesus Kristus Tuhan dan juru selamatku yang selalu membimbingku dan

memberikan apa yang aku butuhkan.

Keluargaku tercinta, khususnya Bapak dan Ibu yang telah memberikan

seluruh kasih dan sayangnya dalam membimbing untuk terus menghangatkan

saya. Kedua kakak saya widi dan papih terima kasih atas perhatian dan

dukungannya.

Seluruh sahabat dan teman-temanku yang kukasihi.

MOTTO

Ketakutan yang ditakuti adalah ketakutan diri sendiri (Albert Camus)

Kesalahan terbesar yang bisa dibuat oleh seseorang adalah takut membuat kesalahan

(Elbert Hubbard)

Kegagalan adalah kesempatan untuk memulai lebih cerdik (John C Maxwell)

Kalau anda berpikir anda kalah, anda kalah.

Kalau anda berpikir anda tidak berani, anda tidak berani.

Kalau anda ingin menang tetapi berpikir anda tidak bisa,

Hampir dapat dipastikan anda tidak bisa.

Perjuangan hidup tidak selalu dimenangkan

Oleh orang yang lebih kuat atau lebih cepat,

Tetapi cepat atau lambat, orang yang menang

Adalah orang yang berpikir dia bisa menang. (John C Maxwell)

“Kamu adalah garam dunia… kamu adalah terang dunia…” (Matius:5)

vi

ABSTRAKSI

Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan

linear. Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yaitu dengan

partisi matriks yang digunakan Marshall C Pease. Cara yang digunakan Marshall C

Pease yaitu metode bordering, dari metode bordering dapat diterapkan metode

updating untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Dalam tugas akhir ini, penyelesaian sistem persamaan linear diutamakan pada

matriks jarang. Penyelesaian matriks jarang akan menimbulkan banyak permasalahan

tetapi permasalahan itu dapat diselesaikan menggunakan metode updating,

penggunaan metode updating perlu disertai penukaran baris atau penukaran kolom

agar dapat dicapai hasil yang sesuai.

vii

ABSTRACT

Many methods are able to be used solve the equation linear system. One of the

way of solving the equation linear system that is by partitioning matrix used by Marshall

C Pease. Way of partition used by Marshall C Pease is bordering method, from bordering

method earn in applied by updating method to finish the equation linear system.

In final project, prefered solving with sparse matrix. Solving the sparse matrix

will generate many problem, but that problems can be solved to use the updating method,

usage of updating method require to be accompanied by the line conversation or column

conversation so that be reachable appropriate result.

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis haturkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala

karunia yang diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang

berjudul “Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Jarang dengan Cara

terpartisi Menurut Marshall C Pease” ini dengan baik. Penulisan ini

merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di

Universitas Sanata Dharma pada program studi Teknik Informatika.

Selama penulisan skripsi ini penulis telah memperoleh bantuan dan

bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Bapak, Ibu dan kedua kakak saya yang telah memberi dorongan baik moril

maupun spiritual.

2. Bapak Prof. Dr Ir Soesianto Ph. E Bs. C selaku pembimbing I yang telah

banyak membantu dan membimbing selama mengerjakan tugas akhir ini.

3. Ibu Merry, ST. selaku pembimbing II yang telah memberi banyak masukan

dan bimbingan serta perhatian demi terselesaikannya tugas akhir ini.

4. Ibu Agnes Maria Polina, S.Kom., M.Sc. dan Bapak JB. Budi Darmawan, S.T.,

M. Sc. selaku panitia penguji pada ujian pendadaran penulis

5. Seluruh staff dan dosen pengajar di Univeritas Sanata Dharma pada umumnya

dan Jurusan Teknik Informatika pada khususnya

6. Indra, Aang, Wisnu “Jongos”Ari, Toni terima kasih atas dukungannya dan

pemacu semangat.

7. Temen-temen kos : gogon, pram, gusur, sukur, rendi, aming, lukas, agung,

boy, Andi, citro, topan , adi, cemong + erni, arot, serta teman-teman yang

tidak dapat saya sebut satu persatu terima kasih atas bantuan, dukungan,

terutama atas nasehat–nasehat dan kebersamaannya

ix

8. Teman – teman Jurusan Teknik Informatika Angkatan 2000 (A dan B) dan

rekan - rekan Teknik Informatika USD lainnya

9. Temen-temen gua maria kerep : lehek, mas ari, mas eko, mas bambang, heru,

nono, pak moh yang selalu dukungan dan doanya

10. temen-temen yang telah menyediakan pinjaman komputer : seti”kasut” &

yayuk , pinjaman laptop: toni+ponco, linda adikku yang ikut serta

mendukung.

11. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah

memberikan dukungan serta bantuannya guna penyusunan karya tulis ini

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari

kesempurnaan dan masih banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis sangat

mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan lebih

lanjut. Penulis berharap semoga Tugas akhir ini dapat bermanfaat dan berguna

bagi pembaca.

Yogyakarta, September 2007

Penulis

x

DAFTAR ISI

hal.

HALAMAN JUDUL ................................................................................................. i

Halaman persetujuan.................................................................................................. ii

Halaman pengesahan ................................................................................................. iii

Halaman pernyataan................................................................................................... iv

Motto.......................................................................................................................... v

Halaman persembahan ............................................................................................... vi

Kata pengantar ........................................................................................................... vii

Abstraksi .................................................................................................................... ix

Abstract ...................................................................................................................... x

Daftar Isi .................................................................................................................... xi

Daftar Gambar ........................................................................................................... xv

Daftar Tabel ............................................................................................................... xviii

BAB I PENDAHULUAN......................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang............................................................................................. 1

1.2 Perumusan Masalah ..................................................................................... 2

1.3 Batasan Sistem............................................................................................. 2

1.4 Tujuan Skripsi.............................................................................................. 3

1.5 Metode Penelitian ........................................................................................ 3

1.6 Sistematika Penyusunan Skripsi .................................................................. 3

BAB II DASAR TEORI ........................................................................................... 5

2.1. Bentuk matriks dari suatu linear .................................................................. 7

xv

2.2. Besaran skalar dan besaran vektor............................................................... 8

2.3. Matriks......................................................................................................... 10

2.3.1. Pengertian matriks ............................................................................ 10

2.3.2. Jenis-jenis matriks ............................................................................ 11

2.4. Operasi-operasi atas matriks........................................................................ 12

2.4.1. Operasi pertambahan ......................................................................... 12

2.4.2. operasi pengurangan .......................................................................... 12

2.4.3. Operasi perkalian ............................................................................... 13

2.4.4. operasi transpose................................................................................ 14

2.4.5. operasi invers ..................................................................................... 14

2.4.6. operasi penukaran baris dan kolom.................................................... 15

2.5. Partisi matriks .............................................................................................. 16

2.6. Penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara terpartisi menurut

Marshall C Pease ......................................................................................... 18

2.7. Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode updating .... 20

2.7.1. Penyelesaian sistem persamaan linear pada matriks 5x5................... 20

2.7.2. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang pada matriks 10x10.... 26

2.7.3. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang dengan operasi

penukaran baris pada matriks 10x10.................................................. 29


penukaran kolom pada matriks 10x10 ............................................... 57

2.8. Handle grafik ............................................................................................... 87

2.9. Obyek yang digunakan dalam handle grafik ............................................... 87

xvi

2.9.1. Obyek yang digunakan dalam handle grafik ..................................... 87

2.9.2. Obyek control antar muka pengguna ................................................. 88

2.9.2.1. obyek uicontrol frame ............................................................... 88

2.9.2.2. obyek uicontol pushbutton........................................................ 89

2.9.2.3. obyek uicontol axes dan text..................................................... 90

2.9.2.4. obyek uicontrol edit text ........................................................... 90

2.9.2.5. obyek open file.......................................................................... 91

2.9.3. Perintah pada matlab.......................................................................... 91

BAB III ANALISA dan PERANCANGAN............................................................ 93

3.1. Analisa sistem.............................................................................................. 93

3.2. Masalah yang dihadapi ................................................................................ 94

3.3. Pemecahan masalah ..................................................................................... 95

3.4. Perancangan................................................................................................. 97

3.4.1 Algoritma dan diagram alir ................................................................... 98

3.4.2.1. Algorima dan diagram alir tanpa penukaran baris atau kolom. 98

3.4.2.2. Algoritma dan diagram alir dengan penukaran baris................ 101

3.4.2.3. Algoritma dan diagram alir dengan penukaran kolom ............. 105

3.4.2 Desain antar muka................................................................................. 109

3.4.2.1. Desain antar muka star up......................................................... 109

3.4.2.2. Desain antar muka utama.......................................................... 110

3.4.2.3. Desain antar muka info ............................................................. 112

3.4.2.4. Desain antar muka otomatis masukan matriks.......................... 112

3.4.2.5. Desain antar muka masukan vektor .......................................... 113

xvii

3.4.3 Diagram alir antar muka ....................................................................... 114

BAB IV Implementasi .............................................................................................. 116

4.1. Implementasi program................................................................................. 116

4.2. Implementasi antar muka............................................................................. 124

4.2.1 Implementasi tampilan pembuka .......................................................... 125

4.2.2 Implementasi tampilan utama ............................................................... 126

BAB V Analisa hasil................................................................................................ 140

5.1. Analisa bahasa pemrograman ...................................................................... 140

5.2. Hasil uji coba program................................................................................. 140

5.2.1 Matriks uji ........................................................................................ 141

5.2.2 Hasil uji ............................................................................................ 147

5.3. Analisis ........................................................................................................ 153

5.4. Kelebihan dan kekurangan program............................................................ 154

5.4.1 Kelebihan.......................................................................................... 154

5.4.2 Kekurangan ...................................................................................... 154

BAB VI PENUTUP ................................................................................................... 156

6.1 Kesimpulan ................................................................................................ 156

6.2 Saran ........................................................................................................... 156

xviii

DAFTAR GAMBAR

1. Gambar 2.1 Kemungkinan dari kedua garis dibidang. (a) kedua garis

berpotongan,(b) kedua garis sejajar, dan (c) kedua garis berhimpit.......... 7

2. Gambar 3.1 Diagram alir tanpa penukaran baris atau kolom.......... 101

3. Gambar 3.2 Diagram alir dengan penukaran baris ........................... 104

4. Gambar 3.3 Diagram alir dengan penukaran baris(lanjutan) ........... 105

5. Gambar 3.4 Diagram alir dengan penukaran kolom. ....................... 108

6. Gambar 3.5 Diagram alir dengan penukaran kolom(lanjutan) ......... 109

7. Gambar 3.6 Desain antar muka star up ............................................ 111

8. Gambar 3.7 Desain antar muka utama ............................................. 111

9. Gambar 3.8 Desain antar muka info................................................. 113

10. Gambar 3.9 Desain antar muka otomatis masukan matriks ............. 113

11. Gambar 3.10 Desain antar muka masukan vektor............................ 114

12. Gambar 3.11 Diagram alir desain antar muka.................................. 115

13. Gambar 4.1 Path browse................................................................... 124

14. Gambar 4.2 Browse .......................................................................... 125

15. Gambar 4.3 Tampilan awal .............................................................. 125

16. Gambar 4.4 Tampilan utama ............................................................ 126

17. Gambar 4.5 Tampilan masukan matriks secara file ......................... 127

18. Gambar 4.6a Tampilan masukan matriks secara pengguna ............. 128

19. Gambar 4.6b Tampilan masukan matriks secara pengguna ............. 128

20. Gambar 4.7Tampilan masukan matriks secara otomatis .................. 129

21. Gambar 4.8 Tampilan pesan masukan matriks................................. 129

xv

22. Gambar 4.9 Tampilan pesanpilihan vektor ...................................... 130

23. Gambar 4.10aTampilan masukan vektor secara pengguna .............. 131

24. Gambar 4.10b Tampilan masukan vektor secara pengguna............. 131

25. Gambar 4.11 Tampilan masukan vektor secara file ......................... 132

26. Gambar 4.12 Tampilan penyelesaian persamaan linear ................... 133

27. Gambar 4.13a Tampilan cek slide 1 ................................................. 134

28. Gambar 4.13b Tampilan cek slide 2................................................. 134

29. Gambar 4.13c Tampilan cek slide 3 ................................................. 135

30. Gambar 4.13d Tampilan cek slide 4................................................. 135

31. Gambar 4.13e Tampilan cek slide 5 ................................................. 136

32. Gambar 4.13f Tampilan cek slide 6 ................................................. 136

33. Gambar 4.14 Tampilan pilihan lihat matriks.................................... 137

34. Gambar 4.15 Tampilan lihat matriks................................................ 137

35. Gambar 4.16 Tampilan simpan matriks ........................................... 138

36. Gambar 4.17 Tampilan info ............................................................. 138

37. Gambar 4.18 Tampilan info tentang program .................................. 139

38. Gambar 5.1 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 10% tak nol......... 144





43. Gambar 5.6 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur 10% tak nol..... 146


xvi



47. Gambar 5.10 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur50% tak nol.... 147

xvii

DAFTAR TABEL

1. Tabel 5.1 keluaran matriks 2x2 ................................................................. 148



4. Tabel 5.4 keluaran matriks 16x16 ............................................................. 149



7. Tabel 5.7 keluaran matriks 128x128 ......................................................... 151



10. Tabel 5.10 keluaran matriks 1024x1024 ................................................... 152

xviii

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Sering kali invers matriks sangat dibutuhkan, seperti halnya pada

penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam kenyataannya invers matriks

digunakan sebagai pengganti operasi pembagian, karena pada operasi matriks

tidak dikenal adanya operasi pembagian. Dengan adanya operasi invers

matriks, suatu persamaan linear Ax=b jika matriks A dan vektor b diketahui

maka x dapat dicari penyeleasaiannya dengan mengalikan invers matriks

A(A-1) dengan matriks A dan matriks B. A-1Ax=A-1b menjadi Ix=b karena

pada dasarnya perkalian suatu matriks dengan matriks I tidak akan

mempengaruhi matriks tersebut.

Jika dalam penyelesaian suatu sistem persamaan linear pada suatu

matriks jarang, pasti akan membuat kita merasa sulit karena ukurannya relatif

sangat besar. Dalam penyelesaian inversnya pun akan menemui banyak

permasalahan karena mengandung unsur nolnya tersebut.

Dari sekeliling masalah terdapat banyak metode yang digunakan

dalam penyelesaian sistem persamaan linear disamping itu terdapat

komputer yang sangat membantu dalam perhitungan tanpa ada kesalahan,

mengurangi kesalahan pembulatan dan keefesienan waktu dalam

menyelesaikannya (menyelesaikan sistem dengan kecepatan maksimum).

Terdapat suatu metode menurut Marshall C. Pease, dengan mempartisi

2

matriks tersebut menjadi matriks dari ukuran terkecil hingga matriks yang

akan dicari invers matriksnya.

Dari uraian tersebut, maka dalam penulisan tugas akhir ini penulis akan

mengambil topik “ Penyelesaian sistem persamaan linear jarang

dengan cara terpartisi menurut Marshall C Pease ”.

1.2. Rumusan Masalah

Dari topik di atas, maka rumusan permasalahan dalam penulisan tugas

akhir ini adalah sebagai berikut :

“ Bagaimana membangun sebuah aplikasi sistem bantu dalam penyelesaian

sistem persamaan linear pada matriks jarang dengan cara terpartisi menurut

Marshall C Pease ?“.

1.3. Batasan Masalah

Dalam penyelesaian persamaan sistem linear invers matriks jarang

dengan cara terpartisi menurut Marshall C. Pease, penulis membatasi

penyelesaian tersebut untuk matriks yang ada invers matriksnya (matriks tak

singular) dan hanya penyelesaian pada sistem persamaan linear dengan cara

terpartisi menurut Marshall C. Pease.

1. Metode yang dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dari

resep Marshall C Pease

2. Yang dibahas dari masalah yang timbul dari sistem persamaan linear

hanya pembagian nol.

3

3. Dari pemecahan masalah yang dipakai dengan hasil keluaran adalah waktu

komputasi dan beban komputasi.

4. Ukuran matriks yang diteliti adalah 2nx2n dimana n adalah bilangan bulat

dari 1 sampai 10. ukuran prosentase besarnya elemen tak nol adalah 10%,

20%, 30%, 40%, dan 50%.

1.4. Tujuan Skripsi

Tujuan dari skripsi ini adalah:

Membangun sebuah aplikasi perangkat lunak yang berfungsi sebagai sebuah

sistem bantu yang mampu menyelesaikan sistem persamaan linear jarang

yang mempunyai invers matriks dengan menggunakan metode dari Marshall

C Pease

1.5. Metode Penelitian

Metodologi yang digunakan adalah studi literatur, yaitu antara lain:

1 Mempelajari materi

2 Mempelajari dan memilih teknik yang digunakan

1.6. Sistematika Penyusunan Laporan

Sistematika penulisan laporan ini terbagi atas enam bab dengan garis

besar sebagai berikut :

BAB I. Pendahuluan

Berisi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan,

4

manfaat, dan sistematika penulisan laporan.

BAB II. Dasar teori

Bab ini berisi landasan teori yang dipakai untuk pembahasan

penulisan tugas akhir.

BAB III. Analisa dan perancangan sistem

Bab ini merupakan bab yang membahas tentang gambaran

perancangan sistem aplikasi yang dibuat Berisi analisis dan

perancangan secara umum, dan perancangan tampilan pembuatan

program aplikasi.

BAB IV. implementasi

Membahas tentang pengkonversian rancangan ke dalam bentuk

program dan menganalisa program tersebut

BAB V. Analisa hasil perangkat lunak

Membahas tentang program yang telah dibuat dan menganalisa

program tersebut.

BAB VI. PENUTUP

Berisi tentang kesimpulan dari pembahasan dan implementasi yang

telah dilakukan dalam penulisan tugas akhir ini serta saran-saran

untuk pengembangan program selanjutnya

5

BAB II

LANDASAN TEORI

Sistem persamaan linear dalam beberapa variabel adalah persamaan dalam

bentuk polinom yang variabelnya berderajat satu atau nol dan tidak terjadi

perkalian antara varibelnya. Contoh persamaan linear dengan tiga variabel x, y, z

adalah 51032 5 =+− zyx . Sedangkan persamaan dan 522 =− yx

732 =+− yxxy bukan merupakan persamaan linear. Yang pertama karena

terdapat suku x2 dan yang kedua karena perkalian dari variabelnya. Sedangkan

sistem persamaan linear adalah kumpulan dari berhingga banyaknya persamaan

linear.

Sistem persamaan linear cbyax =+ , dua varibel dengan dua persamaan

mempunyai bentuk umum, berikut persamaan linear tersebut

⎩⎨⎧

=+=+

222

111

cybxacybxa

(2.1)

Sistem persamaan linear disebut konsisten, jika sistem persamaan tersebut

mempunyai sedikitnya satu jawaban. Sedangkan sistem persamaan linear tak

konsisten, jika sistem tersebut tidak mempunyai jawaban.

Seperti yang diketahui persamaan linear cbyax =+ dapat digambarkan

sebagai garis bidang. Jadi dari sistem persamaan (2.1) dapat digambarkan garis

dan di bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan garis tersebut, yaitu (lihat

gambar 2.1)

1L

2L

6

1. Garis dan berpotongan, 1L 2L

2. Garis dan sejajar, dan 1L 2L

3. Garis dan merupakan satu garis(berimpit). 1L 2L

(a) (b) (c)

gambar 2.1 Kemungkinan dari kedudukan kedua garis di bidang. (a) kedua garis berpotongan, (b) kedua garis sejajar, dan (c) kedua garis berimpit.

Pasangan bilangan (x,y) merupakan jawab dari sistem persamaan (2.1)

jika dan hanya jika titik (x,y) terletak pada kedua baris. Dalam hal kemungkinan

pertama, hanya ada satu titik yang terletak pada kedua baris. Oleh karena itu,

jawab sistem persamaan(2.1) ini tepat satu. Sedangkan dalam hal kedua, tak ada

titik yang terletak pada kedua baris. Ini mengatakan bahwa sistem persamaan

tersebut tidak mempunyai jawab. Yang ketiga, ada banyak titik terletak pada

kedua garis. Ini berarti bahwa sistem persamaan tersebut mempunyai jawab tak

hingga banyaknya. Dengan demikian ada tiga kemungkinan jawab dari sistem

dari sistem persamaan linear(2.1), yaitu :

1. mempunyai tepat satu jawab;

2. tak mempunyai jawab; atau

3. mempunyai jawab banyak.

Ketiga kemungkinan ini berlaku untuk sembarang sistem persamaan linear.

1L = 2L1L 1L

2L 2L

7

2.1 Bentuk matriks dari suatu linear

Perkalian matriks mempunyai suatu penerapan penting pada sistem

persamaan linear. Sembarang sistem persamaan linear m dalam n

11212111 bxaxaxa nn =+++ L

22222121 bxaxaxa nn =+++ L

M M M M

mnmnm bxaamxxa =+++ L211

Karena dua matriks sama jika dan hanya jika unsur-unsurnya yang

padanan sama, maka kita bisa menggantikan persamaan-persamaan m dalam n

pada sistem ini dengan persamaan matriks tunggal.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

mnmnmm

nn

nn

b

bb

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

M

L

MMM

L

L

2

1

2211

2222121

1212111

Matriks m+1 pada ruas kiri pada persamaan ini bisa ditulis

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

L

MMM

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

jika kita menandai matriks-matriks ini masing-masing dengan A,x, dan b, sistem

persamaan asli m dan n peubah telah digantikan oleh persamaan matriks

Ax=b

Matriks A dalam persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut.

8

2.2 Besaran skalar dan besaran vektor

Dalam fisika, besaran-besaran yang hanya memiliki nilai tunggal (angka

real) disebut juga besaran skalar. Besaran yang memiliki nilai jamak disebut

vektor. Misalnya, kecepatan yang terdapat pada sebuah benda yang bergerak.

Besaran ini memiliki sekurang-kurangnya dua nilai, yaitu besarnya kecepatan

(laju) dan arah geraknya. Maka dalam fisika kecepatan dimengerti sebagai

besaran vektor.

Dalam hal ini besaran vektor diberi arti yang lebih luas. Vektor dapatlah

dipandang sebagai himpunan besaran-besaran dengan indeks yang jelas (untuk

menunjukkan lokasinya dalam himpunan itu). Masing-masing besaran disebut

elemen vektor tersebut.

Dalam penulisan skripsi ini vektor lambang huruf alfabet kecil dengan

garis bawah. Misalnya, diberikan vektor a. Elemen (pada lokasi) ke-i dari vektor a

dilambangkan oleh ai.

Vektor a dengan cacah elemen n buah ditulis lengkap sebagai deretan nilai

ai, dengan i = 1, 2,…n, membentuk satu kolom seperti dibawah ini:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

na

aaa

aM

3

2

1

Vektor seperti itu disebut vektor-kolom. Jika elemen-elemen tersebut ditulis

berderet membentuk satu baris, maka vektor itu disebut vektor-baris. Kecuali

disebut dengan jelas, vektor senantiasa dimengerti sebagai vektor kolom.

9

Untuk menghemat ruangan penulisan, untuk vektor tersebut diatas ditulis

pula ( )iaa ≡ , dengan I = 1,2…n, dan simbol “≡” dapat dibaca sebagai

“didefinisikan sebagai”. Jadi misalnya Rai ∈ , yaitu bahwa ai bernilai real, maka

secara ringkas dapat ditulis pula .)( ni Raa ∈≡ dalam kontek ini nR dapat dibaca

sebagai “semesta angka real berdimensi n”.

Vektor nol dilambangkan oleh 0, adalah vektor dengan semua elemen

bernilai nol. Salah satu jenis vektor yang ternyata penting adalah vektor basis.

Vektor basis ie adalah vektor dengan semua elemen bernilai nol, kecuali elemen

ke-I bernilai 1. misalnya, vektor basis TRe ∈3 adalah

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000100

3e

Tentu saja dalam ruangan berdimensi n ada vektor basis n buah, yaitu

.,,,, 321 neeee K Secara singkat: ni Re ∈ dengan dengan

(Soesianto, 2004)

.1 ni ≤≤

10

2.3 Matriks

2.3.1 Pengertian matriks

Jika vektor membentuk larik berdimensi satu, maka matriks adalah larik

berdimensi dua. Karena memiliki dua indeks, yaitu indeks untuk baris dan indeks

untuk kolom. Matriks diberi lambang dengan huruf alfabet besar. Misalnya

diberikan matriks A. Elemen matriks A pada baris i dan kolom j diberi lambang

aij. Indeks pertama i senantiasa menyatakan nomor baris, dan indeks kedua j

menyatakan nomor kolom. Jika matriks A itu terdiri atas m baris dan n kolom,

secara singkat akan ditulis miaA ij ,,2,1),( K== dan nj ,,2,1 K= . Jika

maka . Ditulis secara lengkap:

Raij ∈

nmij Ra ×∈

( )

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=≡

1

31

21

11

m

ij

a

aaa

aAM

2

32

22

12

ma

aaa

M

3

33

23

13

ma

aaa

M

L

K

K

K

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

mn

n

n

n

a

aaa

M

3

2

1

Karena tiap kolom dari matriks membentuk vektor kolom, maka juga

dapat ditulis,

[ 1)( aaA ij =≡ 2a 3a ]na,K , dengan , nj Ra ∈ .,,2,1 nj K=

Cara penulisan penulisan lain adalah berdasarkan baris:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

Tn

T

T

T

a

a

a

a

aM

3

2

1

11

Superskrip (…)T ditambahkan untuk menunjukkan bahwa lambang yang

bersangkutan membentuk vektor baris. Karena itu, agar masih menghemat

tempat, biasanya ditulis pula:

[ Taa 1= Ta 2 Ta3 ]TTna,K

(Soesianto,2004)

2.3.2 Jenis-jenis matriks

a Matriks nol (Mnol)

Matriks dengan semua elemennya bernilai nol. Matriks nol diberi

lambang 0 .

b Matriks bujur sangkar (MBS)

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang mempunyai cacah baris

sama dengan cacah kolom.

c Matriks satuan

Matriks satuan termasuk matriks diagonal, dilambangkan dengan I,

didefinisikan sebagai matriks diagonal dengan semua elemen diagonal

bernilai satu. Matriks satuan juga sering disebut sebagai matriks

identitas

d Matriks jarang

Matriks jarang adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom

yang relatif besar dengan bagian terbesar dari elemen-elemennya

bernilai nol, dan hanya sebagian kecil saja yang bernilai tak nol.

12

e Matriks permutasi

Matriks ini adalah matriks identitas yang baris-baris atau kolomnya

mengalami pertukaran.

(Soesianto,2004)

2.4 Operasi-operasi atas matriks

2.4.1 Operasi pertambahan

Matriks dan matriks hanya dapat dipertambahkan, jika m =

p dan n = q. Artinya, pertambahan dua matriks A dan matriks B

hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan matriks B serta

cacah kolom A dan matriks B sesuai (compatible). Hasilnya adalah

matriks C dengan sifat, bahwa: c

)(mxnA )( pxqB

ij : = ijij ba + . Operasi ini bersifat

komutatif, artinya A + B = B + A.

2.4.2 Operasi pengurangan

Matriks dan matriks hanya dapat diperkurangkan, jika

m = p dan n = q. Artinya, pengurangan dua matriks A dan matriks B

hanya dapat terlaksana jika cacah baris untuk A dan matriks B serta

cacah kolom A dan matriks B sesuai (compatible). Hasilnya adalah

matriks C dengan sifat, bahwa: c

)(mxnA )( pxqB

ij : = ijij ba − .

13

2.4.3 Operasi perkalian

a Perkalian sebuah nilai real dengan matriks

Jika matriks A dikalikan dengan sebuah nilai real R∈β , maka

baik maupun Aβ βA menghasilkan matriks C yang memiliki

dimensi sama dengan A.

)( ijcC ≡ dengan ijij ac β=:

Artinya, matriks C diperoleh dengan mengalikan tiap elemen dari

matriks A dengan nilai real β .

b Perkalian vektor dengan matriks

Perkalian matriks dengan vektor dapat memberikan

hasil vektor. Hasil kali A

)(mxnA )(nx

x adalah vektor kolom sedangkan xTA adalah

vektor baris.

c Perkalian matriks dengan matriks

Operasi perkalian atas matriks A dan matriks B tersebut diatas

menghasilkan matriks )( ijcC ≡ , dengan ∑=

=n

iijijij bac

1:

Secara implisit telah diisyaratkan dalam rumus ini bahwa

operasi perkalian tersebut hanya terlaksana jika cacah kolom n dari

matriks A sama dengan cacah baris p dari matriks B adalah sama.

Sebagai akibatnya, matriks C memiliki cacah baris m dan cacah kolom

q. Dalam hal itu matriks A dan matriks B dapat dikalikan, karena syarat

kesesuaian (compatibility) terpenuhi.

14

Atas dasar dapatlah dimengerti bahwa pada umumnya operasi

perkalian tidak komutatif. Artinya :

BAAB ≠

2.4.4 Operasi transpos

Jika A adalah sembarang matriks m * n, maka transpos A, dinyatakan

dengan AT, didefinisikan sebagai matrriks n * m yang didapatkan dengan

mempertukarkanbaris dan kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari AT

adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari

A, dan seterusnya.

2.4.5 Operasi invers

Operasi invers mengganti peran operasi pembagian. Matriks A

disebut invers matriks B, atau matriks B disebut matriks invers matriks A

jika dan hanya jika

IBAAB ==

Atas dasar itu digunakan notasi: A = B-1 atau B = A-1.

Dapat juga dikatakan bahwa:

IAAAA == −− 11

IBBBB == −− 11

Dari kenyataan ini dapat disimpulkan, bahwa matriks satuan I

berperan mirip angka real 1 dan A-1 dapat dibayangkan mengambil peran

yang mirip dengan dengan 1/A. itulah sebabnya dalam matriks tidak

dikenal operasi pembagian.

15

Sifat komutatif pada operasi invers harus ditegaskan disini, bahwa

operasi invers hanya terdapat pada matriks bujur sangkar (MBS). Artinya

matriks persegi panjang (MPP) tidak memiliki invers. Sebaliknya,

pastilah bahwa tidak semua matriks bujur sangkar memiliki invers.

Contoh sederhana adalah matriks bujur sangkar dengan semua elemen

nilai nol. Matriks bujur sangkar seperti itu disebut matriks singular.

Lawannya (yaitu yang memiliki invers) disebut matriks tak singular.

(Soesianto,2004)

2.4.6 Operasi penukaran baris dan kolom

Operasi penukaran baris atau kolom merupakan operasi yang

mendasar dari matriks. Operasi penukaran baris atau kolom biasanya

ditujukan untuk sistem persamaan linear guna menghindari operasi yang

buntu ditengah jalan meskipun sistem persamaan linear tersebut

mempunyai penyelesaian.

Syarat yang harus dipenuhi jika menggunakan operasi penukaran

baris yaitu penukaran baris tersebut dengan langkah yang belum

tersentuh dalam operasi perhitungan.

16

2.5 Partisi matriks

Matriks dapat ditulis dalam bentuk terpartisi (tersekat). Tiap bagian

matriks disebut submatriks. Tiap submatriks memiliki cacah baris dan kolom

yang lebih kecil. Dibawah ini diberikan sebuah contoh:

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

02024

A =

01

252

−2

3520

−17

31

2

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

01200

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

020

24

L

01

2

52

−

L

23

5

20

−

L

M

M

M

L

M

M

17

3

12

−

−L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

012

00

L

sebelum terpartisi sesudah terpartisi

Sekarang matriks terpartisi A itu dapat ditulis memiliki empat elemen

berupa submatriks,

⎢⎣

⎡=

21

11

AA

A ⎥⎦

⎤

22

12

AA

dengan

⎢⎣

⎡=

24

11A 52

⎥⎦

⎤20

⎢⎣

⎡−

=1

212A ⎥

⎦

⎤00

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

020

21A 0

12−

⎥⎥⎥

⎦

⎤−2

35

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

17

3

22A⎥⎥⎥

⎦

⎤

612

Vektor pun dapat dipartisi atas subvektor-subvektor yang lebih kecil

cacah elemennya. Operasi aljabar matriks dapat juga dilaksanakan pada

matriks-matriks dan vektor-vektor terpartisi, dengan catatan, bahwa operasi

aljabar atas submatriks-submatriks dan subvektor-subvektor yang terlibat

17

didalamnya juga dapat dilaksanakan. Kesesuaian (compatibility) harus tetap

terpenuhi.

Berikut contoh perkalian matriks dalam bentuk terpartisi: misalkan

matriks U dan V terpartisi menurut , dan

Dalam bentuk terpartisi, nyatakan matriks W, hasil perkalian U dan V,

sebagai .

⎢⎣

⎡=

CA

U ⎥⎦

⎤DB

⎢⎣

⎡=

GE

V ⎥⎦

⎤HF

⎢⎣

⎡=

RP

W ⎥⎦

⎤SQ

Menurut aturan operasi perkalian atas matriks,

P = AE + BG

Q = AF + BH

R = CE + DG

S = CF+ DH

Oleh karena itu agar operasi ini dapat dilakukan, haruslah perkalian

A dengan E, B dengan G

A dengan F, B dengan H

C dengan E, D dengan G

C dengan F, D dengan H

Memenuhi syarat yang ditentukan oleh operasi perkalian atas matriks juga.

(Soesianto,2004)

18

2.6 penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara partisi menurut

Marshall C. Pease

Dalam Journal of the ACM jilid 14 nomor 4 (oktober 1967).

Marshall C. Pease menamplikan relasi matriks dan vektor terpartisi sebagai

berikut:

⎢⎣

⎡Tv

A

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤α

−−

T

Au

0

11

[ 11

100 −

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−λ−⎥

⎦

⎤Av

A T ]1−

Disini A sebuah matriks bujur sangkar, u adalah vektor-kolom, vT adalah

vektor-baris, dan 0, 0T, serta 0 masing-masing adalah vektor-kolom nol,

vektor-baris nol, dan nilai real nol. Ukuran (dimensi) dari matriks dan vektor

harus sesuai (selaras) satu sama lain. Besaran α dan λ adalah besaran real.

Agar hasilnya matriks identitas, haruslah λα

/11

=− − uAvT

atau bahwa

)/(1)/(1 11 uAvuAv TT −− −=+−= ααλ

Maka syaratagar operasi invers dapat dijalankan adalah bahwa α≠− uAvT 1 .

Dengan kenyataan itu, Pease dalam artikel itu mengusulkan relasi itu

sebagai basis untuk menerapkan invers dari matriks bujur sangkar pada

sembarang dimensi, dengan metode yang disebutnya sebagai “bordering

method”.

Metode bordering menyelesaikan invers matriks secara bertahap.

Dengan mengetahui invers matriks 1x1, maka dapat ditetapkan invers

matriks 2x2. Dengan mengetahui invers matriks 2x2, maka dapat ditetapkan

19

invers 3x3, demikian selanjutnya sampai selesai. Matriks akan dapat

ditetapkan jika matriks yang diselesaikan adalah matriks tak singular.

Resep Pease tersebut di atas tidak langsung dapat diterapkan pada

matriks jarang, karena matriks jarang pada umumnya memiliki invers yang

berupa matriks padat (dan itu tidak efesien dari segi memori). Namun resep

itu dapat digunakan untuk menetapkan solusi atas sistem persamaan linear

bxA = , sekalipun A adalah matriks jarang, dengan menerapkan metode

updating di bawah ini.

⎢⎣

⎡≡

Tbaru vA

x1−

⎥⎦

⎤

αu

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

00

0

1

T

Abβ

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

βλ

βb

AvAb T 1

11

1

= )(10

111

βλ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

bAvuAbA T

= )(10

1

βλ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

lamaTlama xv

uAx

Dalam rumusan ini uA 1− adalah sebuah vector-kolom. Dengan cara

ini tidak ada problem memori sama sekali. Penataan kembali pernyataan di

atas menghasilkan:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx T

lamaT

lamabaru α

β

Sekarang dapat disarankan cara elegan untuk mengatasi komplikasi yang

timbul pada sembarang langkah( misalnya dengan cara penukaran baris atau

kolom) karena α=− uAvT 1 . Dengan cara ini dihindari dua hal:

20

(a). penataan elemen-elemen dari vector x sebagai akibat dari operasi

penukaran kolom, dan

(b). tidak perlu menghitung kembali uA 1− karena hanya Tv dan u saja

yang berubah.

Jika operasi penukaran baris ini ternyata tidak dapat dijalankan, barulah

ditempuh operasi penukaran kolom. Dalam hal penukaran kolom ini

penghitungan kembali uA 1− perlu kiat tersendiri.

(Soesianto,2004)

2.7 Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode updating

2.7.1. Penyelesaian sistem persamaan linear pada matriks 5x5

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

Penyelesaian:

Matriks A berordo 5x5 maka akan terdapat 5 langkah untuk menyelesaikan

persamaan linear.

• Langkah 1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

21

A = 1 A-1 = 1111==

A β = 35

x = A-1 β

x = 1.35 = 35

• Langkah 2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

A = 1 v = 2 u = 2 2=α β = 40

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1530

035

12

230

035

12.1

2.1.2235.240

035

x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

155

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,0112

0001

1224

21

0001

11.21

2.12.1.22

100011A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

5,01111A

22

• Langkah 3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

A [ 33=v ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

33

u

3=α β = 49

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

[ ] [ ] ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333,7110

0155

15,1

0

5,111

0155

133

5,0111

335,01

11333

155

3349

0155

x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333,745

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=− 1

5,0111

331

33

5,0111

5,11

00005,01011

1A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=−

667,01015,10000

00005,01011

15,105,125,20

000

5,11

00005,01011

1A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−

667,010121011

1A

23

• Langkah 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333322321

A [ ]444=v ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

444

u

4=α 61=β

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

[ ] ⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1444

667,010121011

444

667,010121011

4444

333,745

44461

0333,745

x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1333,100

333,1333,4

0333,745

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

25,3333,400

0333,745

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

25,3345

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

24

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=− 1667,010

121011

444

1444

667,010121011

333,11

00000667,010

01210011

1A

[ ]1333,100

1333,100

333,11

00000667,010

01210011

1 −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=−A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=−

75,01001333,10000000000

00000667,010

01210011

1333,100333,1778,10000000000

333,11

00000667,010

01210011

1A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

75,0100121001210011

1A

• Langkah 5

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5555554444543335432254321

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5

4

3

2

1

xxxxx

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

7561494035

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4444433343224321

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5555

u [ ]5555=v

5=α 75=β

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

25

[ ]

[ ] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

15555

75,0100121001210011

5555

75,0100121001210011

55555

25,3345

555575

025,3345

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

12345

125,1000

025,3345

125,1000

25,125,1

025,3345

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

75,0100121001210011

5555

15555

75,0100121001210011

25,11

00000075,0100

012100012100011

1A

[ ]125,1000

125,1000

25,11

00000075,0100

012100012100011

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

125,100025,15625,1000

000000000000000

25,11

00000075,0100

012100012100011

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

8,01000125,1000000000000000000

00000075,0100

012100012100011

1A

26

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=−

8,0100012100012100012100011

1A

2.7.2. Penyelesaian sistem persamaan linear jarang pada matriks 10x10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

• Langkah 1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

A = 1 141=β

11111 ===−

AA

141141.11

=== −

xAx β

27

• Langkah 2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

A = 1 v = 0 u = 0 2=α 16=β

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10.1

0.1.02141.016

0141

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

80

0141

10

216

0141

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,0000

0001

1000

21

0001

11.010.1

21

00011A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,00011A

28

• Langkah 3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2001

A [ ]00=v ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

40

u 0=α 168=β

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

[ ] ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100

5,0001

00

5,0001

000

8141

00168

08

141x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100

0168

08

141x

Pada langkah ini berhenti karena terjadi pembagian nol.

29


penukaran baris pada matriks 10x10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

Penyelesaian:

Matriks berordo 10x10 maka terdapat 10 langkah dalam penyelesaiannya.

Langkah k digunakan untuk langkah dalam partisi dan langkah i digunakan

sebagai penyelesaian jika terjadi pembagian nol.

Langkah k=1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

0)1,1( ≠a , pada langkah ini tidak mengalami penukaran baris.

A = 1 141=β

11111 ===−

AA

30

141141.11

=== −

xAx β

Langkah k = 2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

?1uvA−=α

1)1,1( == aA 0)1,2( == av 0)2,1( == au 2)2,2( == aα

16)2( == bβ

00.1.01 ==− uAv

uvA 1−≠α , tidak mengalami penukaran baris

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10.1

0.1.02141.016

0141

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

80

0141

10

216

0141

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

31

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,0000

0001

1000

21

0001

11.010.1

21

00011A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,00011A

Langkah k = 3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

2001

)2:1,2:1(aA [ ]00)2:1,3( == av ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

40

)3,2:1(au

0)3,3( == aα 168)3( == bβ

[ ] 040

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv

uAv 1−=α , mengalami penukaran baris

• Langkah i = k+1

i = 4 [ ]00)2:1,( == iav 0)3,( == iaα 168)( == ibβ

[ ] 040

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv

uAv 1−=α , lanjutkan langkah i

32

• Langkah i = k+2

i = 5 [ ]00)2:1,( == iav 5)3,( == iaα

168)( == ibβ

[ ] 040

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv

uAv 1−≠α , lakukan penyelesaian persamaan linear

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

360

08

141

120

515

08

141

140

5,0001

058

1410015

08

141x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

32

141x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=− 1

5,0001

001

40

5,0001

51

00005,00001

1A

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

100200000

51

00005,00

001100

120

51

00005,00

0011A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−

2,0004,05,00

0011A

Karena adanya penukaran baris maka baris ke – k ditukar dengan baris ke – i. jadi

baris ke – 3 ditukar dengan baris ke – 5. dan dengan adanya penukaran baris maka

timbul matriks permutasi.

33

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000010000000000100000000001000000000010000000000001000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321681441516141

00160000000150000900000180000000000001000030000000800000024000000

120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

Langkah k = 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321681441516141

00160000000150000900000180000000000001000030000000800000024000000

120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−−=

500420001

)1:1,1:1( kkaA ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

000

),1:1( kkau

[ ]000)1:1,( =−= kkav 6),( == kkaα 144)( == kbβ

[ ] 0000

2,0004,05,00

0010001 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=− uAv


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

34

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

24000

032

141

1000

6144

032

141

1000

2,0004,05,00

001

0632

141000144

032

141

x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2432

141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− 12,0004,05,00

001000

1000

2,0004,05,00

001

61

000002,000

04,05,000001

1A

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

1000000000000000

61

000002,00004,05,000001

1000

1000

61

000002,00004,05,000001

1A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

1667,000002,00004,05,000001

1A

Langkah k = 5

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321681441516141

00160000000150000900000180000000000001000030000000800000024000000

120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

35

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

6000050004200001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000

),1:1( kkau

[ ]0000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

168)( == kbβ

[ ] 0

0000

1667,000002,00004,05,000001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 6 [ ]8000)1:1,( =−= kiav 0),( == kiaα

32)( == ibβ

[ ] 0

0000

1667,000002,00004,05,000001

80001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


• Langkah i = k+2

i = 7 [ ]0030)1:1,( =−= kiav 0),( == kiaα

66)( == ibβ

[ ] 0

0000

1667,000002,00004,05,000001

00301 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


36

• Langkah i = k+3

i = 8 [ ]0000)1:1,( =−= kiav 0),( == kiaα

162)( == ibβ

[ ] 0

0000

1667,000002,00004,05,000001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


• Langkah i = k+4

i = 9 [ ]0000)1:1,( =−= kiav 9),( == kiaα

195)( == ibβ

[ ] 0

0000

1667,000002,00004,05,000001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


[ ] [ ]0000

1667,000002,00004,05,000001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−Av

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

0000

0000

1667,000002,00004,05,000001

1uA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

37

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

667,210000

02432

141

10000

090195

02432

141

10000

092432

141

0000195

02432

141

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

667,212432

141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

1000000000000000000000000

91

0000001667,0000002,000004,05,0000001

10000

10000

091

0000001667,0000002,000004,05,0000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

111,0000001667,0000002,000004,05,0000001

111,0000000000000000000000000

0000001667,0000002,000004,05,0000001

1A




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000000000010000100000000001000000000010000001000000000000001000000001000000000000100000000001

12816816266321951441516141

001600000000002400000001800000000000010000300000008000

15000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

38

Langkah k = 6

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12816816266321951441516141

00160000000000240000000180000000000001000030000000800015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

9000006000005000042000001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

),1:1( kkau

[ ]08000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 32)( == kbβ

[ ] 0

00000

111,0000001667,0000002,000004,05,00

00001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 7 [ ]00030)1:1,( =−= kiav 10),( == kiaα

66)( == ibβ

[ ] 0

00000

111,0000001667,0000002,000004,05,0000001

000301 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=− uAv

39


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

00000

00000

111,0000001667,0000002,000004,05,0000001

1uA

[ ] [ 002,15,10

111,0000001667,0000002,000004,05,0000001

000301 −=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−vA ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100000

10666

0667,21

2432

141

100000

010667,21

2432

141

0003066

0667,21

2432

141

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6667,21

2432

141

600000

0667,21

2432

141

100000

1060

0667,21

2432

141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]1002,15,10

100000

0101

0000000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

1 −−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−A

40

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

1002,15,10000000000000000000000000000000

101

0000000111,00000001667,00000002,0000004,05,00

000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=−

1,00012,015,00000000000000000000000000000000

0000000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

1A




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000000000010000100000000000100000000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

12816816232661951441516141

00160000000000240000000180000000000000080000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

41

Langkah k = 7

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12816816232661951441516141

00160000000000240000000180000000000000080000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

1000030090000006000000500000420000001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

20

),1:1( kkau

[ ]008000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 32)( == kbβ

[ ] 0

00000

20

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

0080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 8 [ ]000000)1:1,( =−= kiav

0),( == kiaα 162)( == ibβ

[ ] 0

00000

20

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,000

0004,05,00000001

0000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=− uAv


42

• Langkah i = k + 2

i = 9 [ ]000000)1:1,( =−= kiav

24),( == kiaα 168)( == ibβ

[ ] 0

00000

20

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

0000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=− uAv


[ ] [ ]000000

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

0000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−Av

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−

00000

20

00000

20

1,00012,015,000111,00000001667,00000002,0000004,05,00000001

1 uA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100000

20

0240168

06

667,212432

141

100000

20

0246667,21

2432

141

000000168

06

667,212432

141

x

43

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

76

667,2124321

700000

140

06

667,212432

141

100000

20

0240168

06

667,212432

141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]1000000

100000

20

0241

000000001,00012,015,00

00111,000000001667,000000002,00000004,05,000000001

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=−

100000000000000000000000000000000000000000

20000000

241

000000001,00012,015,0000111,000000001667,000000002,000

00004,05,000000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0417,000000001,00012,015,0000111,000000001667,000000002,000

00004,05,00833,0000001

1A




44

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000000010000000100000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

12832162168661951441516141

00160000000000000800001800000000000240000000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

Langkah k = 8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12832162168661951441516141

001600000000000008000

01800000000000240000000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

2400000001000030009000000060000000500000042020000001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000000

),1:1( kkau

[ ]0000000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

162)( == kbβ

45

[ ] 0

0000000

0417,000000001,00012,015,00

00111,000000001667,000000002,00000004,05,00833,0000001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 9 [ ]0008000)1:1,( =−= kiav

0),( == kiaα 32)( == ibβ

[ ] 0

0000000

0417,000000001,00012,015,0000111,000000001667,000000002,000

00004,05,00833,0000001

00080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv



i = 9 [ ]0000000)1:1,( =−= kiav

16),( == kiaα 128)( == ibβ

[ ] 0

0000000

0417,000000001,00012,015,0000111,000000001667,000000002,00000004,05,00833,0000001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


46

[ ] [ ]0000000

0417,000000001,00012,015,0000111,000000001667,000000002,00000004,05,00833,0000001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−Av

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0000000

0000000

0417,000000001,00012,015,00

00111,000000001667,000000002,00000004,05,00833,0000001

1 uA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10000000

160128

076

667,2124321

10000000

01676

667,2124321

0000000128

076

667,2124321

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

876

667,2124321

80000000

076

667,2124321

x

47

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]10000000

10000000

0161

0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0625,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0625,0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

1A


baris ke – 8 ditukar dengan baris ke – 10. dan dengan adanya penukaran baris

maka timbul matriks permutasi.

48

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢ x

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0010000000000010000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

16232128168661951441516141

01800000000000000800000160000000000240000000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxx

x

Langkah k = 9

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

16232128168661951441516141

01800000000000000800000160000000000240000000000010003015000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

16000000002400000000100003000090000000060000000050000000420020000001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000000

),1:1( kkau

[ ]00088000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

32)( == kbβ

49

[ ] 0

00000000

0625,0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

000000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 10 [ ]00000000)1:1,( =−= kiav

18),( == kiaα 162)( == ibβ

[ ] 0

00000000

0625,0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

000000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


[ ] [ ]00000000

0625,0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,000833,0000001

000000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

00000000

00000000

0625,0000000000417,0000000001,00012,015,00000111,0000000001667,0000000002,000000004,05,00

0833,0000001

1uAv

50

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100000000

180162

0876

667,2124321

100000000

018876

667,2124321

00000000162

0876

667,2124321

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

9876

667,2124321

900000000

0876

667,2124321

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,000000111,00000000001667,00000000002,0000000004,05,0000833,0000001

1 +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−A [ ]100000000

100000000

0181

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

51

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0181

00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,00

0000111,00000000001667,0000

0000002,0000000004,05,0000833,0000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0556,00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,000000111,00000000001667,00000000002,0000000004,05,0000833,0000001

1A




⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000000000000100000000001000000000100001

32162128168661951441516141

000000800001800000000001600000000002400000000000100030

15000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

000010001000100000000000000100010000000000000001000000000000

52

Langkah k = 10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

32162128168661951441516141

000000800001800000000001600000000002400000000000100030

15000090000120000060000000000500000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

18000000000160000000002400000000001000300000900000000060000000005000000004200020000001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000

1512

000

),1:1( kkau

[ ]000088000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

32)( == kbβ

53

[ ] 16

00001512000

0556,00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,000000111,00000000001667,00000000002,000

0000004,05,0000833,0000001

0000080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


[ ] [ 00000333,1000

0556,00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,00

0000111,00000000001667,00000000002,0000000004,05,0000833,0000001

0000080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−Av

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0000

667,12000

00001512000

0556,00000000000625,00000000000417,00000000001,00012,015,000000111,00000000001667,00000000002,000

0000004,05,0000833,0000001

1uA

]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

54

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10000

667,12000

1619232

09876

667,2124321

10000

667,12000

1609876

667,2124321

00000800032

09876

667,2124321

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

10987654321

100000

667,1620000

09876

667,2124321

10000

667,12000

16160

09876

667,2124321

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]100000333,1000

10000667,1

2000

161

000000000000556,000000000000625,000000000000417,000000000001,00012,015,0000000111,000000000001667,000000000002,00000000004,05,00000833,0000001

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

100000333,10000000000000000000000000000000000000000000

667,100000222,2000200000666,2000

000000000000000000000000000000

161

000000000000556,000000000000625,000000000000417,0000000

00001,00012,015,0000000111,000000000001667,000000000002,00000000004,05,00000833,0000001

55

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

0625,0000000833,00000000000000000000000000000000000000000000

1042,0000001389,0000125,0000001667,0000000000000000000000000000000000

000000000000556,000000000000625,000000000000417,0000000

00001,00012,015,0000000111,000000000001667,0000

00000002,00000000004,05,00000833,0000001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

0625,0000000833,000000556,000000000000625,000000000000417,000000000001,00012,015,00

1042,00000111,01389,0000125,000000000000000002,00000000004,05,00000833,0000001

1A

bxA =

Karena mengalami penukaran baris maka persamaan linear menjadi

bpxAp ijij =

bpApx ijij1)( −=

Sedangkan invers dari adalah )( Apij

)()()( 1111jiijij pApAAp −−−− ==

jipA 1−=

Maka persamaan linear yang mengalami penukaran baris menjadi

bpApx ijij1)( −=

56

Hasil nilai vector x tidak mengalami penukaran baris untuk mencapai hasil yang

sebenarnya. Tetapi untuk mengetahui nilai invers matriks A perlu mengalikan

matriks permutasi yang dihasilkan.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

0625,0000000833,000000556,000000000000625,000000000000417,000000000001,00012,015,001042,00000111,01389,0000125,000000000000000002,00000000004,05,00000833,0000001

1ijpA

ijji ppAA )( 11 −− =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

0000100000001000000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

0625,0000000833,000000556,000000000000625,000000000000417,000000000001,00012,015,001042,00000111,01389,0000125,0000000000

00000002,00000000004,05,00000833,0000001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

00000625,000833,0000000556,000000000625,000000000000000000417,0000001,0012,00015,0001111,0001042,001389,00000000125,000000000002,00000000004,0005,000000000833,001

1A

57


penukaran kolom pada matriks 10x10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

Penyelesaian:

Matriks berordo 10x10 maka terdapat 10 langkah dalam penyelesaiannya.

Langkah k digunakan untuk langkah dalam partisi dan langkah i digunakan

sebagai penyelesaian jika terjadi pembagian nol.

Langkah k=1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

0)1,1( ≠a , pada langkah ini tidak mengalami penukaran baris.

A = 1 141=β

11111 ===−

AA

58

141141.11

=== −

xAx β

Langkah k = 2

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000000000500

1200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

?1uvA−=α

1)1:1,1:1( =−−= kkaA 0)1:1,( =−= kkav 0),1:1( =−= kkau

2),( == kkaα 16)( == kbβ

00.1.01 ==− uAv


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10.1

0.1.02141.016

0141

x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

80

0141

10

216

0141

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

8141

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

59

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,0000

0001

1000

21

0001

11.010.1

21

00011A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

5,00011A

Langkah k = 3

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

00160000000150000900000180000000000001000030000000800000000005001200000600000024000000000000042000020000001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−−=

2001

)1:1,1:1( kkaA ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

40

),1:1( kkau

[ ]00)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 168)( == kbβ

[ ] 040

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 4 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

00

),1:1( ikau 0),( == ikaα

[ ] 000

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv


60

• Langkah i = k+2

i = 5 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

00

),1:1( ikau 0),( == ikaα

[ ] 000

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 6 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

00

),1:1( ikau 0),( == ikaα

[ ] 000

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 7 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−=

020

),1:1( ikau 24),( == ikaα

[ ] 0020

5,0001

001 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=− uAv


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

70140

08

141

1020

24168

08

141

1020

5,0001

0248

14100168

08

141x

61

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

781

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=− 1

5,0001

001

020

5,0001

241

00005,00001

1A

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

0417,0000008333,000

00005,00001

100000

2000

241

00005,00001

1001

020

51

00005,00001

1A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=−

0417,00005,008333,001

1A

Karena adanya penukaran kolom maka kolom ke – k ditukar dengan kolom ke – i.

jadi baris ke – 3 ditukar dengan baris ke – 7. dan dengan adanya penukaran kolom


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000010000000000100000000000000100000010000000000100000000001000000100000000000000100000000001

12819516266321514416816141

00160000000150000900000180000000000001000030000000800000050000001200000600000000002400000400002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

62

Langkah k = 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000005000000

1200000600000000002400000400002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−−=

24000202001

)1:1,1:1( kkaA ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

000

),1:1( kkau

[ ]000)1:1,( =−= kkav 6),( == kkaα 144)( == kbβ

[ ] 0000

0417,00005,008333,001

0001 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=− uAv


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

24000

032

141

1000

6144

032

141

1000

0417,00005,008333,001

06781

000144

0781

x

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

24781

x

63

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=− 10417,000

05,008333,001

000

1000

0417,00005,008333,001

61

000000417,000005,0008333,001

1A

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1000000000000000

61

000000417,000005,0008333,001

1000

1000

61

000000417,000005,0008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

1667,000000417,000005,0008333,001

1A

Langkah k = 5

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015000090000018000000000000100003000000080000005000000

1200000600000000002400000400002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

600002400002002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000

),1:1( kkau

[ ]0000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 15)( == kbβ

[ ] 0

0000

1667,000000417,000005,0008333,001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=− uAv

64


• Langkah i = k+1

i = 6

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000

),1:1( ikau 0),( == ikaα

[ ] 0

0000

1667,000000417,000005,0008333,001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=− uAv


• Langkah i = k+2

i = 7

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0040

),1:1( ikau 5),( == ikaα

[ ] 0

0040

1667,000000417,000005,0008333,001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=− uAv


[ ] [ ]0000

1667,000000417,000005,0008333,001

00001 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−Av

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

0020

0040

1667,000000417,000005,0008333,001

1 uA

65

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

30060

024781

10020

05015

024781

10020

0524781

000015

024781

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

324721

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

10000000000000020000

00000

51

0000001667,0000000417,0000005,00008333,001

10000

10020

051

0000001667,0000000417,0000005,00008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=−

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

2,000000000000000

4,0000000000

0000001667,0000000417,0000005,00008333,001

1A




66

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1000000000010000000000100000000000000100000010000000010000000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321514416816141

00160000000150090000000180000000000001000030000000800000000500001200000600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

Langkah k = 6

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

0016000000015009000000

018000000000000100003000000080000000050000

1200000600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

500000600000240040020002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

),1:1( kkau

[ ]08000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 32)( == kbβ

[ ] 0

00000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=− uAv


67

• Langkah i = k+1

i = 7

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

),1:1( ikau0),( == ikaα

[ ] 0

00000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

),1:1( ikau0),( == ikaα

[ ] 0

00000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 9

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000

),1:1( ikau0),( == ikaα

68

[ ] 0

00000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

012000

),1:1( ikau0),( == ikaα

[ ] 16

012000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=− uAv


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−

02000

012000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

1uA

[ ] [ 0333,1000

2,0000001667,0000000417,000

4,0005,00008333,001

080001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−vA ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

69

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

102000

16160

0324721

102000

1619232

0324721

102000

160324721

0800032

0324721

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1034721

100

20000

0324721

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]10333,1000

102000

1601

00000002,00000001667,00000000417,00004,0005,000008333,001

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−

10333,100000000020666,2000000000000000000000

161

00000002,00000001667,00000000417,00004,0005,000008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=−

0625,000833,0000000000125,001667,0000000000000000000000

00000002,00000001667,00000000417,00004,0005,000008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

0625,000833,000002,00000

125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

1A

70




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000100000010000000000100000000000000100100000000000010000000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321514416816141

001600000000009150000001800000000

10000000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

Langkah k = 7

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

001600000000009150000001800000000

10000000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

008000050000120600000024000400200002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

000000

),1:1( kkau

[ ]000030)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα 66)( == kbβ

71

[ ] 0

000000

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

0000301 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

000000

),1:1( kkau0),( == ikaα

[ ] 0

000000

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

0000301 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv



i = 9

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

000000

),1:1( kkau0),( == ikaα

[ ] 0

000000

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

0000301 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


72

• Langkah i = k+3

i = 10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

000000

),1:1( kkau10),( == ikaα

[ ] 0

000000

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

0000301 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=− uAv


[ ] [ 02,1005,10

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

0000301 −=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−Av ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

000000

000000

0625,000833,000002,00000125,0000000000417,00004,0005,000008333,001

1uA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

73

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

6000000

01034721

1000000

10666

01034721

1000000

0101034721

00003066

01034721

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

61034721

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ 02,1005,10

1000000

0101

000000000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=−

102,1005,10000000000000000000000000000000000000000000

101

000000000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

1,0012,00015,0000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

1A

74




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000100000010000000000100000000000000100000100000010000000000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321514416816141

00160000000900015000000180000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

Langkah k = 8

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

00160000000900015000000180000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

10000030000800000500000120600000002400004002000002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000000

),1:1( kkau

[ ]0000000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

162)( == kbβ

75

[ ] 0

0000000

1,0012,00015,0000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=− uAv


• Langkah i = k+1

i = 9

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

0000000

),1:1( ikau

18),( == ikaα

[ ] 0

0000000

1,0012,00015,0000625,000833,0000

002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=− uAv


[ ] [ ]0000000

1,0012,00015,0000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

00000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−Av

76

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

0000000

0000000

1,0012,00015,0000625,000833,0000002,000000125,00000000000417,000004,0005,0000008333,001

1Av

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

90000000

061034721

10000000

180162

061034721

10000000

01861034721

0000000162

061034721

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

961034721

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

77

[ ]10000000

10000000

0181

0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

1 −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

0556,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

0556,0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

1A




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000100000001000000001000000000000000100000100000010000000000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321514416816141

01600000000900015000000018000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

78

Langkah k = 9

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

01600000000900015000000018000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

180000000010000030000080000005000000120600000000240000040020000002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000000

),1:1( kkau

[ ]001500000)1:1,( =−= kkav 0),( == kkaα

195)( == kbβ

[ ] 0

00000000

0556,0000000001,0012,00015,00000625,000833,0000

0002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00

000008333,001

0015000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=− uAv


• Langkah i = k+1

79

i = 10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

00000000

),1:1( kkau

9),( == kiaα

[ ] 0

00000000

0556,0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

0015000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=− uAv


[ ] [ 009375,0025,1000

0556,0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

0015000001 −=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−Av

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

00000000

00000000

0556,0000000001,0012,00015,00000625,000833,00000002,0000000125,000000000000417,0000004,0005,00000008333,001

1uAv

]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

80

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100000000

9150195

0961034721

100000000

09961034721

001500000195

0961034721

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5961034721

500000000

0961034721

x

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]1009375,0025,1000

100000000

091

00000000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

1 −−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

1009375,0025,1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

91

00000000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

1A

81

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=−

1111,0001042,001389,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

1A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

1111,0001042,001389,000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

1A




⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000100000001000000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

12819516266321514416816141

16000000000090015000000018000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ijp

xxxxxxxxxx

82

Langkah k = 10

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12819516266321514416816141

16000000000090015000000018000000000010000030000000800000000500000000120600000000002400000004002000000002001

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

xxxxxxxxxx

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−=

900150000001800000000010000030000008000000050000000120600000000024000000400200000002001

)1:1,1:1( kkaA

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−=

000000000

),1:1( kkau

[ ]000000000)1:1,( =−= kkav 16),( == kkaα

128)( == kbβ

[ ] 0

000000000

1111,0001042,001389,000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

0000000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=− uAv


83

[ ] [ ]000000000

1111,0001042,001389,000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

0000000001 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=− uAv

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

000000000

000000000

1111,0001042,001389,000000556,00000000001,0012,00015,000000625,000833,000000002,00000000125,0000000000000417,00000004,0005,000000008333,001

1uA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

− 10

1

1

uAuAv

xvxx lamalama

αβ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8000000000

05961034721

1000000000

16128

05961034721

1000000000

0165961034721

000000000128

05961034721

x

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

85961034721

x

84

[ ]11

1000 1

1

1

11 −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

−−

lamalama

lama

lama AvuA

uAvA

Aα

[ ]1000000000

1000000000

0161

000000000001111,0001042,001389,0000000556,000000000001,0012,00015,0000000625,000833,0000000002,000000000125,00000000000000417,000000004,0005,0000000008333,001

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

161

000000000001111,0001042,001389,0000

000556,000000000001,0012,00015,0000000625,000833,0000000002,000000000125,00000000000000417,000000004,0005,0000000008333,001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

0625,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000001111,0001042,001389,0000

000556,000000000001,0012,00015,0000000625,000833,0000000002,000000000125,00000000000000417,000000004,0005,0000000008333,001

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

0625,000000000001111,0001042,001389,0000000556,000000000001,0012,00015,0000000625,000833,0000000002,000000000125,00000000000000417,000000004,0005,0000000008333,001

1A

85

bxA =

Karena mengalami penukaran kolom maka persamaan linear menjadi

bxppA jiij =

bApxp jiji1)( −=

Sedangkan invers dari adalah )( ijAp

1111 )()( −−−− == ApApAp jiijij

1−= Ap ji

Hasil nilai vector x tidak mengalami penukaran baris untuk mencapai hasil yang

sebenarnya. Tetapi untuk mengetahui nilai invers matriks A perlu mengalikan

matriks permutasi yang dihasilkan.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000100000001000000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

Untuk mencari nilai invers matriks dan vector x yang sebenarnya maka.

86

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

10987654321

85961034721

0000100000001000000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

xppx jiij

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −−

0625,000000000001111,0001042,001389,0000000556,000000000001,0012,00015,0000000625,000833,0000000002,000000000125,00000000000000417,000000004,0005,0000000008333,001

0000100000001000000010000000000000000100000100000001000000000000001000000001000000000000100000000001

11 AppA jiij

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=−

00000625,000833,0000000556,000000000625,000000000000000000417,0000001,0012,00015,0001111,0001042,001389,00000000125,000000000002,00000000004,0005,000000000833,001

1A

87

2.8 Handle Grafik

Handle grafik adalah koreksi dari rutin grafik tingkat rendah yang

bila dikerjakan menghasilkan suatu grafik. Detail dari rutin grafik ini

tersembunyi dalam suatu berkas yang dibuat oleh matlab dengan ekstensi

(*.m).

Handle grafik merupakan ide dasar yang menyatakan bahwa setiap

komponen grafik adalah obyek. Obyek grafik dalam matlab diidentifikasikan

ke dalam suatu numerik yang dinamakan pointer atau handle, dan setiap

obyek mempunyai properties dimana dapat diubah sesuai dengan keinginan.

2.9 Obyek yang digunakan dalam Handle Graphics

2.9.1 Obyek Grafik Gambar

Obyek grafik gambar akan menghasilkan suatu jendela antar-muka atau

figure pengguna.

Contoh:

Halaman1=figure(... 'name','Teknik Informatika Universitas Sanata Dharma',... 'numbertitle','off',... 'resize','on',... 'backingstore','off',... 'units','pixel',... 'Position',[175 57 440 475], ... 'color',[0.5 0.8 1],... 'visible','on',... 'menubar','none');

Keterangan:

Perintah di atas akan menghasilkan jendela figure dengan nama ‘Teknik

Informatika Universitas Sanata Dharma’, properti yang lain adalah:

a. Numbertitle : off, berfungsi untuk menonaktifkan nomor judul figure.

88

b. Resize : off, berfungsi untuk menonaktifkan penyimpanan salinan jendela

figure

c. Backingstore: off, berfungsi untuk menonaktifkan penyimpanan salinan

jendela figure

d. Units : pixel, berfungsi untuk menentukan satuan ukuran jendela figure.

e. Position : [175 57 440 475], berfungsi untuk menentukan posisi jendela

figure dengan urutan ukuran adalah kiri, bawah, lebar, dan tinggi.

f. Color : [0.5 0.8 1], berfungsi untuk menentukan warna latar belakang

figure. [0.5 0.8 1] merupakan nilai dari RGB.

g. Visible : on, berfungsi untuk menonaktifkan menu standar jendela figure.

h. Menubar : none, berfungsi untuk menonaktifkan menu standar jendela

figure.

2.9.2 Obyek Kontrol Antar-muka Pengguna

Obyek kontrol antar-muka pengguna (user interface control obyek atau

uicontrol). Obyek uicontrol ini mempunyai beberapa macam style (tipe),antara

lain:

2.9.2.1 Obyek uicontrol frame

Contoh:

Utama = uicontrol(... 'BackgroundColor',[0 0.568627450980392 0.941176470588235], ... 'Units','pixel',... 'Position',[375 35 218 254], ... 'Style','frame');

Keterangan:

89

Perintah di atas akan menghasilkan bingkai (frame). Terdapat beberapa

properti yang akan mempunyai kesamaan dengan property pada jendela

figure. Properti yang lain, yaitu: Backgroundcolor:,[0 0.568627450980392

0.941176470588235] , berfungsi untuk menentukan warna latar belakang

dari bingkai (,[0 0.568627450980392 0.941176470588235]

merupakan nilai dari RGB)

2.9.2.2 Obyek uicontrol pushbutton

Contoh:

fmhnd=uicontrol(... 'Style','push',... 'Units','normalized',... 'Position',[0.69 0.25 0.23 0.05],... 'BackgroundColor',[0.5 0.8 0.9],... 'String','Mulai',... 'FontName','Times New Roman',... 'HorizontalAlignment','center',... 'tag','pushbutton1',... 'FontSize',10,... 'FontWeight','bold',... 'TooltipString','Tekan tombol ini untuk memulai.',... 'Callback','HalamanUtama');

Keterangan:

Perintah diatas akan menghasilkan tombol aksi dengan nama proses.

Terdapat beberapa properti yang mempunyai kesamaan dengan prorerti pada

uicontrol frame. Property yang lain, adalah:

Fontname : ‘Times New Roman’, berfungsi untuk menentukan jenis

huruf dari teks.

Fontsize : 10, berfungsi untuk menentukan ukuran huruf dari teks.

Fontweight : bold, berfungsi untuk mengaktifkan cetak tebal.

90

Tooltipstring : Tekan tombol ini untuk memulai, berfungsi untuk

menampilkan teks tooltip jika mouse diarahkan ke tombol aksi.

Tag : pushbutton1, berfungsi untuk memberikan nama atau

label jenis.

Callback : Halaman Utama, berfungsi untuk memanggil file

HalamanUtama.

2.9.2.3 Obyek uicontrol axes dan text

Contoh :

axes(... 'position',[0.1 0.30 0.8 0.2],... 'visible','on'); waitStr = ('M Edi Waskito'); waitH = text(.50, .88, waitStr); set(waitH, ... 'HorizontalAlignment', 'center', ... 'Color',[0.2 0.15 0.27], ... 'FontSize', 10,... 'FontName',Times New Roman,... 'Tag','waittext');

Keterangan:

Perintah di atas akan menghasilkan teks dengan nama ‘M Edi

Waskito’, terdapat beberapa property yang mempunyai kesamaan dengan

properti pada uicontrol pushbutton. Posisi teks terdapat dalam obyek axes,

sedangkan posisi teks terdapat pada posisi x=0.5 dan y=0.88.

91

2.9.2.4 Obyek uicontrol edit text

Contoh:

EditUkuran = uicontrol(... 'BackgroundColor',[1 1 1], ... 'Position',[375 330 60 20], ... 'String',' ', ... 'Style','edit', ... 'Tag','EditText1');

Style(tipe): edit, berfungsi untuk memasukkan atau mengubah hasil.

Edit text dapat digunakan jika diinginkan suatu masukan, digunakan juga

fungsi set dan get untuk menyimpan dan memasukkan kembali data yang telah

dimasukkan.

2.9.2.5 Obyek open file

Contoh:

[a,fpath]=uigetfile('*.txt');

Penggalan di atas berfungsi untuk membuka file dengan ekstensi txt.

Sedangkan [a, fpath], a berfungsi sebagai variabel yang menyimpan nama file

dan fpath berfungsi sebagai variabel yang menyimpan untuk alamat file

tersebut.

2.9.3 Perintah Pada MATLAB

Perintah-perintah untuk membuat jendela figure maupun obyek uicontrol

seperti yang telah dijelaskan di atas tidak dimasukkan ke dalam jendela

perintah(command window) tetapi merupakan file (M-File) tersendiri yang

dibuat dengan teks editor teks yaitu dengan nama file ctlpanel.m. bentuk M-

92

file(ekstensi.m) merupakan suatu struktur yang disediakan MATLAB untuk

membuat fungsi sendiri yang disimpan dalam computer.

Contoh:

subplot('position',[0.3 0.50 0.4 0.3]); [x,map]=imread('usd.bmp'); imshow(x,map);

Perintah subplot digunakan mengatur posisi dan gambar yang

ditampilkan ke dalam suatu tampilan dengan posisi kiri 0.02, bawah 0.50, lebar

0.4, dan tinggi 0.3 dari koordinat normal(0.0 s/d 1.0). perintah imread berfungsi

sebagai membaca file gambar, sedangkan perintah imshow berfungsi untuk

menampilkan gambar.

93

BAB III

ANALISA DAN PERANCANGAN

3.1. Analisa Sistem

Dalam penyelesaian sistem persamaan linear bAx = , dalam penulisan di

sini dasarnya penyelesaiannya adalah mengalikan invers matriks( ) dengan

vektor kolom (

1−A

b). A adalah matriks jarang dan x adalah nilai vektor yang akan

dicari.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara terpartisi, Marshall C

Pease menggunakan metode bordering. Dengan metode bordering, Marshall C

Pease menerapkan suatu metode yang dinamakan metode updating.

Karena masalah yang dihadapi pada matriks jarang, kemungkinan akan

menemui suatu permasalahan pembagian nol yang kerap kali timbul.

Permasalahan yang dihadapi dalam perencanaan adalah sebagai berikut :

• Bagaimana mengatur penyelesaian sistem persamaan linear agar dapat

diselesaikan pada matriks jarang yang merupakan matriks tak singular dengan

metode updating agar persamaan linear tersebut dapat dicari penyelesaiannya?

Hasil akhir dari suatu proses perencanaan akan sangat ditentukan oleh

bagaimana proses perencanaan tersebut dikerjakan. Semakin baik proses

perencanaan dilakukan maka akan berpengaruh terhadap peningkatan efektifitas

penyelesaian persamaan linear pada matriks jarang yang dihasilkan.

94

3.2. Masalah Yang Dihadapi

Masalah utama yang dihadapi dalam penyelesaian tersebut terletak pada

matriks jarang. Karena cara partisi yang digunakan dalam menyelesaikan

permasalahan adalah metode bordering, maka akan terdapat langkah-langkah

yang akan diproses. Dari setiap langkahnya mempunyai syarat yang harus

dipenuhi agar operasi dapat dijalankan. Syarat-syarat tersebut dibagi menjadi dua

syarat, antara lain:

Andaikan A adalah matriks jarang ( ) ),( nna

1. Langkah k=1

0),( ≠kka

2. Langkah k:=2,3,4,…,n

uAvT 1−≠α

dimana:

1 ))1(:1,( −= kkavT

2 )),1(:1( kkau −=

3 ),( kka=α

4 adalah invers matriks pada langkah k-1. 1−A

Syarat-syarat tersebut kemungkinan tidak akan terpenuhi pada matriks

jarang, karena matriks jarang memiliki elemen nol yang lebih banyak dari

elemen tak nol. Dengan terdapat banyaknya elemen nol pada matriks tersebut

akan menyebabkan operasi tidak akan berjalan karena akan timbul pembagian

nol meskipun matriks jarang tersebut merupakan matriks tak singular.

95

3.3. Pemecahan Masalah

Sekarang dapat disarankan cara elegan untuk mengatasi komplikasi yang

timbul pada sembarang langkah(misalnya dengan cara penukaran baris atau

kolom) karena ataupun 0)1,1( =a uAvT 1−=α . Untuk mengatasi agar

persyaratan tersebut, maka ada dua hal yang penting diantaranya:.

Dengan penukaran baris atau kolom

Dalam praktek, sangat bijaksana jika pada langkah k dengan

k=1,2,3,…,(n-1) dilakukan operasi penukaran baris atau kolom untuk

menghindari kemacetan dalam penghitungan elemen-elemennya oleh

pembagian nol (jika didapatkan 0)1,1( =a untuk langkah k=1 dan

uAvT 1−=α untuk langkah k=2,3,4,…,(n-1)).

a. Operasi penukaran baris

Suatu sistem persamaan linear bAx = dan A adalah matriks jarang, b

adalah vector kolom, p adalah matriks permutasi. Suatu matriks jarang akan

mengalami penukaran baris karena pembagian nol.

bAx =

Aturan suatu matriks A mengalami penukaran baris adalah dikalikan

dengan matriks permutasi. Dan aturan tersebut adalah . Apij *

Karena adanya operasi penukaran baris , maka

bpAxp ijij =

bpApx ijij1)( −=

96

bppAx ijji )( 1−=

ji

ij

ijij

ij

pA

pA

pAAp

adalahApdariinverskarena

1

11

111 )()(

:)(

−

−−

−−−

=

=

=

Matriks A mengalami penukaran baris maka matriks A menjadi ,

invers matriks A( ) menjadi , dan vector b mejadi .

Apij

1−A jipA 1− bpij

Operasi penukaran baris dapat dilakukan tetapi harus dilakukan

penukarannya dengan baris yang belum tersentuh perhitungan(andaikan

suatu matriks A=a(n,n) akan dilakukan penukaran baris a(k) ditukar dengan

baris a(m) dengan syarat k<m, untuk k adalah langkah suatu operasi

penyelesaian invers matriks)

b. Operasi Penukaran kolom

Suatu persamaan linear bAx = dan A adalah matriks jarang, b adalah

vector kolom dan p adalah matriks permutasi. Suatu matriks jarang akan

mengalami penukaran kolom karena pembagian nol.

bAx =

Aturan suatu matriks A mengalami penukaran kolom adalah dikalikan

dengan matriks permutasi. Dan aturan tersebut adalah . ijpA*

Karena adanya operasi penukaran kolom , maka

bxpAp jiij =

97

bApxp ijji1)( −=

bApxp jiji1−=

1

11

111

*

*

)*()*(

:)(

−

−−

−−−

=

=

=

Ap

Ap

AppA

adalahApdariinverskarena

ji

ij

ijij

ij

Matriks A mengalami penukaran kolom maka matriks A menjadi

, invers matriks A( ) menjadi , dan vector x mejadi . ijAp 1−A 1−Ap ji xp ji

Dari kenyataan itu berarti matriks A akan ditukar kolom tetapi bukan

vector b yang harus ditukar melainkan x yang harus ditukar.

Operasi penukaran kolom dapat dilakukan tetapi harus dilakukan

penukarannya dengan kolom yang belum tersentuh perhitungan(andaikan

suatu matriks A=a(n,n) akan dilakukan penukaran kolom a(k) ditukar

dengan kolom a(m) dengan syarat k<m, untuk k adalah langkah suatu operasi

penyelesaian invers matriks)

Dari uraian di atas, dalam pembahasan penyelesaian persamaan linear

pada matriks jarang ini untuk mengatasi pembagian nol maka dipilih salah satu

operasi penukaran baris ataupun kolom tidak akan mempengaruhi hasilnya.

3.4. Perancangan

Pada bagian ini dijelaskan tentang perancangan sistem bantu untuk

perencanaan penyelesaian invers matriks. Perancangan sistem merupakan langkah

98

multi proses yang memusatkan kerja pada struktur data arsitektur perangkat lunak

(PL), prosedur rinci serta karakteristik antarmuka. Proses ini akan mengubah

kebutuhan-kebutuhan sistem menjadi representasi PL yang dapat dimengerti

`sebelum proses penulisan program dimana hasil perancangan harus

didokumentasikan menjadi bagian konfigurasi PL.

3.4.1 Algoritma Dan Diagram Alir

Pada perancangan ini, terdapat tiga cara dalam penyelesaian, yaitu:

1. Tanpa penukaran baris atau kolom

2. Dengan penukaran baris

3. Dengan penukaran kolom.

3.4.1.1. Algoritma Dan Diagram Alir Tanpa Penukaran Baris Atau Kolom

Untuk matriks A adalah matriks jarang (a(n,n))

Untuk matriks identitas ai=eye(n)

Untuk vector B adalah vector kolom )(nb

1. Langkah :=1 k

),(1

kkaainv =

)(kbb =

bainvxbaru *≡

2. Langkah k:=2,3,4,…,n

)(kb=β

)),1(:1( kkau −=

99

))1(:1,( −= kkavT

),( kka=α

uainvvT−=

αλ 1

)),1:1(12 kkaia −=

))1(:1,(21 −= kkaia

⎢⎣

⎡=

21aainv

aa

⎥⎦

⎤012a

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10uainv

uainvvxvx

x Tbaru

Tbaru

baru αβ

λ+= aaainv⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1uainv

[ ainvvT ]1−

barux sebagai hasil nilai yang dihasilkan dari vector x, dan ainv sebagai nilai

invers matriks A

100

Gambar 3.1 Diagram alir tanpa penukaran baris atau kolom

101

3.4.1.2.Algoritma Dan Diagram Alir Dengan Penukaran Baris




Untuk matriks P adalah matriks identitas p=eye(n)

1. Langkah :=1 k

Langkah nkkki ,...,2,1,: ++=

jika 0),( =kia

Lanjutkan langkah i

Lakukan invers

),(1

kiaainv =

)(ibb =

bainvxbaru *≡

jika lakukan operasi penukaran baris ki ≠

3. Langkah k:=2,3,4,…,n


)),1(:1( kkau −=

))1(:1,( −= kiavT

),( kia=α

Jika uainvvT=α

Lanjutkan langkah i

102

Lakukan invers

)(ib=β

)),1:1(12 kkaia −=

))1(:1,(21 −= kkaia

⎢⎣

⎡=

21aainv

aa

⎥⎦

⎤012a

uainvvT−=

αλ 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10uainv

uainvvxvx

x Tbaru

Tbaru

baru αβ

λ+= aaainv ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1uainv [ ainvvT ]1−

Jika lakukan penukaran baris ki ≠

Operasi penukaran baris

Matriks A

tbaris=a(i,:); a(i,:)=a(k,:); a(k,:)=tbaris

Vektor b

tbaris=b(i); b(i)=b(k); b(k)=tbaris

Untuk tambahan adanya langkah i, pada algoritma dengan penukaran baris ini.

Langkah i digunakan untuk menghindari pembagian nol. Dengan adanya

langkah i, maka kita bisa menukar baris jika operasi penukaran baris itu pada

saatnya diperlukan.

103

Mulai

A=matriks jarang a(n,n)B=vektor kolom b(n)

I=matriks identitas aa(n,n)

k=1i=k

),(1

kiaainv

)( ib*ainvx baru

0),( kia 1ii ni

selesai

tidak

ya

ya

tidak

k=k+1i=k

ki ya A

tidak

uainvv

aaainv

aa

kkaaakkaaa

kb

T1

012

21

))1(:1,(21)),1(:1(12

)(

ya

uainvv T 1iiya ni

selesai

tidaktidak

)),1(:1( kkau

),())1(:1,(

kiakiav T

B

ya CyaD

Gambar 3.2 Diagram alir dengan penukaran baris

104

Gambar 3.3 Diagram alir dengan penukaran baris (lanjutan)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢ ⎣ ⎡

= 10

uainvuainvv

xvx x T

baruT

baru baru α

β

selesai

ya

tidak

B

][ 11

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−+= ainvvuainvaa ainv Tλ

ki ≠ A

ya Cnk <

tidak

A

Matriks Atbaris=a(i,:)a(i,:)=a(k,:)a(k,:)=tbaris

vektor btbaris=b(i)b(i)=b(k)b(k)=tbaris

D

105

3.4.1.3.Algoritma Dan Diagram Alir Dengan Penukaran Kolom




Untuk matriks p adalah matriks identitas p=eye(n)

1. Langkah :=1 k


jika 0),( =ika

Lanjutkan langkah i

Lakukan invers

),(1

ikaainv =

)(kbb =

bainvxbaru *≡

jika lakukan operasi penukaran kolom ki ≠

2. Langkah k:=2,3,4,…,n


)),1(:1( ikau −=

))1(:1,( −= kkavT

),( ika=α

Jika uainvvT=α

Lanjutkan langkah i

106

Lakukan invers

)(kb=β

)),1:1(12 kkaia −=

))1(:1,(21 −= kkaia

⎢⎣

⎡=

21aainv

aa

⎥⎦

⎤012a

uainvvT−=

αλ 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10uainv

uainvvxvx

x Tbaru

Tbaru

baru αβ

λ+= aaainv⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−1uainv

[ ainvvT ]1−

Jika lakukan penukaran kolom ki ≠

Operasi penukaran kolom

Matriks A

tbaris=a(i,:); a(i,:)=a(k,:); a(k,:)=tbaris

Matriks P

tbaris=x(i); p(i)=p(k); p(k)=tbaris

107

Gambar 3.4 Diagram alir dengan penukaran kolom

108

A

Matriks Atkolom=a(:,i)a(:,k)=a(:,k)

a(:,k)=tkolom

Matriks xtkolom=x(i)x(k)=x(k)

x(k)=tkolom

D

selesai

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10uainv

uainvvxvx

x Tbaru

Tbaru

baru αβ

ya

tidak

B

][ 11

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+= ainvvuainv

aaainv Tλ

ki ≠ A

ya Cnk <

tidak

Gambar 3.5 Diagram alir dengan penukaran kolom(Lanjutan)

109

3.4.2 Desain Antar Muka

Pada tahap perancangan ini pengembang harus mendefinisikan lingkungan-

lingkungan perangkat yang mendukung. Lingkungan-lingkungan yang

mendukung itu antara lain, lingkungan perangkat lunak dan lingkungan perangkat

keras.

1. Lingkungan perangkat lunak

Perangkat lunak yang digunakan adalah sebagai berikut:

a. Sistem Operasi : Windows XP

b. Pengelolaan Antar Muka : MATLAB 5.31.

2. Lingkungan perangkat keras

Lingkungan perangkat keras yang dibutuhkan adalah:

a. Komputer Pentium IV

b. Memori 256 MB

c. Hard disk 40 GB

d. Alat masukan berupa keyboard dan mouse

e. Alat keluaran berupa monitor dan printer.

3.4.2.1 Desain Antar Muka Star up

Tampilan awal berupa form start up untuk masuk ke menu utama. Form

start up merupakan form splash screen yang secara otomatis menutup dengan

kontrol waktu.

110

Gambar 3.6 Desain antar muka Star up

3.4.2.2 Desain Antar Muka Utama

Gambar 3.7 Desain antar muka utama

111

Desain antar muka utama ini terdapat 7 tombol aksi, diantaranya 2

tombol aksi masukan , 3 tombol aksi untuk memproses persamaan linear, 2

tombol aksi melihat hasil.

• Tombol aksi ‘A’, berfungsi untuk memasukkan matriks.

• Tombol aksi ‘FILE’, berfungsi untuk memasukkan matriks secara file

• Tombol aksi ‘PENGGUNA’, berfungsi untuk memasukkan matriks melalui

matlab command

• Tombol aksi ‘OTOMATIS’, berfungsi untuk memasukkan matriks secara

otomatis

• Tombol aksi ‘BATAL’, berfungsi untuk membatalkan masukan matriks

• Tombol aksi ‘Tanpa penukaran baris dan kolom’, berfungsi untuk

memproses persamaan linear dengan operasi tanpa penukaran baris dan

kolom.

• Tombol aksi ‘Penukaran baris’, berfungsi untuk memproses persamaan

linear dengan operasi dengan penukaran baris.

• Tombol aksi ‘Penukaran kolom’, berfungsi untuk memproses persamaan

linear dengan operasi dengan penukaran kolom.

• Tombol aksi ‘cek’, berfungsi untuk cek dari penyelesaian persamaan linear.

• Tombol aksi ‘INFO’, berfungsi untuk sekilas info dari tampilan utama

• Tombol aksi ‘KELUAR’, berfungsi untuk keluar dari program menuju ke

matlab command.

112

3.4.2.3 Desain Antar Muka Info

Gambar 3.8 Desain antar muka Info

Antar muka info ini menampilkan informasi tentang tujuan program ini.

Pada antar muka info ini terdapat satu tombol aksi ‘KELUAR’ yang berfungsi

untuk keluar dari antar muka info.

3.4.2.4 Desain Antar Muka Otomatis Masukan Matriks

Gambar 3.9 Desain antar muka otomatis masukan matriks

Antar muka otomatis meminta pengguna untuk memasukkan berapa

ukuran matriks dan berapa persen angka bukan nol. Pada desain otomatis

terdapat dua tombol aksi, yaitu:

113

• tombol aksi ‘PROSES’, berfungsi untuk memproses matriks dengan

spesifikasi sesuai yang dimasukkan pengguna dengan secara random.

• Tombol aksi ‘BATAL’, berfungsi untuk membatalkan memasukkan matriks

dan keluar dari antar muka otomatis.

3.4.2.5 Desain Antar Muka Otomatis Masukan Vektor

Gambar 3.10 Desain antar muka masukan vektor

Antar muka otomatis meminta pengguna untuk memasukkan berapa

ukuran matriks dan berapa persen angka bukan nol. Pada desain otomatis

terdapat dua tombol aksi, yaitu:

• tombol aksi ‘PENGGUNA’, berfungsi untuk memasukkan vektor melalui

matlab command.

• Tombol aksi ‘FILE’, berfungsi memasukkan vektor melalui file.

• Tombol ‘OTOMATIS’ berfungsi memasukkan vektor secara otomatis

114

3.4.3 Diagram Alir Antar Muka

Start

Tampilan Awal

Tampilan Utama

Tampilan Masukan matriks

Tampilan masukan vektor

Penyelesaian sistem persamaan linear

End

Ulangi?

Tidak

Ya

Gambar 3.11 Diagram alir Desain antar muka

115

BAB IV

IMPLEMENTASI

Implementasi merupakan tahap pengkodean dari hasil perancangan. Pada bab

sebelumnya telah dijelaskan mengenai perancangan yang digunakan di dalam

pembuatan program permainan ular tangga sebagai pembelajaran siswa sekolah

dasar, dan pada bab ini akan dijelaskan mengenai implementasi beserta hasil

analisanya.

4.1. Implementasi program

Dalam sistem ini terdapat tiga operasi yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan linier yaitu tanpa penukaran baris dan kolom, penukaran baris, dan

penukaran kolom.

a) Operasi tanpa penukaran baris

function TanpaOperasi HalamanFig = gcbf; nama=get(HalamanFig,'UserData'); a=get(nama.SimpanMatriks,'Cdata'); b=get(nama.SimpanVektor,'Cdata'); WaktuTunggu(0); [m,n]=size(a); ai=eye(n); k=1; if a(k,k)==0 set(nama.WL,'String','###'); set(nama.BL,'String','###'); set(nama.KL,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return; end t = 0; t = clock;

116

flops(0); ainv=1/a(k,k); bi=b(k); xbaru=ainv*bi for k=1:n if k<n k=k+1; bi=b(k); v=a(k,1:(k-1)); u=a(1:(k-1),k); alfa=a(k,k); a12=ai(1:(k-1),k); a21=ai(k,1:(k-1)); aa=[ainv a12;a21 0]; pembagi=alfa-v*ainv*u; if pembagi==0 set(nama.WL,'String','###'); set(nama.BL,'String','###'); set(nama.KL,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return; end lambda=1/pembagi; xbaru=[xbaru;0]-((bi-v*xbaru)/(alfa-v*ainv*u))*[ainv*u;-1]; ainv=aa+lambda*[ainv*u;-1]*[v*ainv -1]; setstatus(HalamanFig,sprintf('Iterasi ke %d dari %d',k,n)); WaktuTunggu(k/n); else waktu = etime(clock,t); beban=flops; waktu = num2str(waktu,'%10.4f'); beban = num2str(beban,'%20.0f'); set(nama.SimpanInvers1,'Cdata',ainv); set(nama.SimpanHasilX1,'Cdata',xbaru); set(nama.WL,'String',waktu); set(nama.BL,'String',beban); set(nama.KL,'String','Sukses'); set(nama.CL,'Enable','On'); setstatus(HalamanFig,''); end end

b) Operasi penukaran baris

function OperasiPenukaranBaris HalamanFig = gcbf;

117

nama=get(HalamanFig,'UserData'); a=get(nama.SimpanMatriks,'Cdata'); b=get(nama.SimpanVektor,'Cdata'); WaktuTunggu(0); t = 0; t = clock; [m,n]=size(a); ai=eye(n); for i=1:n x(i)=i; end x=x'; k=1; i=k; while a(i,k)==0 if i==n set(nama.WB,'String','###'); set(nama.BB,'String','###'); set(nama.KB,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return end i=i+1; end flops(0); ainv=1/a(i,k); bi=b(i); xbaru=ainv*bi if i~=k a=TukarBaris(a,i,k,n); b=TukarBaris(b,i,k,1); x=TukarBaris(x,i,k,1); end beban1(k) = flops; for k=1:n if k<n k=k+1; i=k; u=a(1:(k-1),k); v=a(k,1:(k-1)); alfa=a(k,k); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; if alfa == bantu2 BadCondition = 1; elseif rcond(a(1:k,1:k)) < 10*eps BadCondition = 1; if i==n BadCondition = 0; end else

118

BadCondition = 0; end kondisi = 0; jumlah = 1; while BadCondition == 1 if i<n i=i+1; %end v=a(i,1:(k-1)); alfa=a(i,k); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; if alfa == bantu2 BadCondition = 1; elseif alfa ~= bantu2 if rcond(a([1:k-1 i],1:k)) < 10*eps BadCondition = 1; kondisi = 1; SimpanIterasi(jumlah) = i; jumlah=jumlah+1; else BadCondition = 0; end end else if kondisi == 1 BadCondition = 0; v = a(SimpanIterasi(1),1:(k-1)); alfa=a(SimpanIterasi(1),k); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; i = SimpanIterasi(1); elseif kondisi == 0 set(nama.WB,'String','###'); set(nama.BB,'String','###'); set(nama.KB,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return; end end end bi=b(i); a12=ai(1:(k-1),k); a21=ai(k,1:(k-1)); aa=[ainv a12;a21 0]; lambda=1/(alfa-bantu2); xbaru=[xbaru;0]-((bi-v*xbaru)/(alfa-bantu2))*[ainv*u;-1]; ainv=aa+lambda*[ainv*u;-1]*[v*ainv -1]; if i~=k a=TukarBaris(a,i,k,n); b=TukarBaris(b,i,k,1);

119

x=TukarBaris(x,i,k,1); end setstatus(HalamanFig,sprintf('Iterasi ke %d dari %d',k,n)); %['Iterasi Ke- ' k ' dari ' n '']); WaktuTunggu(k/n); beban1(k) = flops; else ainv(:,[x])=ainv; waktu = etime(clock,t); beban = flops; waktu = num2str(waktu,'%10.4f'); beban = num2str(beban,'%20.0f'); set(nama.PB,'Cdata',x'); set(nama.SimpanInvers2,'Cdata',ainv); set(nama.SimpanHasilX2,'Cdata',xbaru); set(nama.WB,'String',waktu); set(nama.BB,'String',beban); set(nama.KB,'String','Sukses'); set(nama.CB,'Enable','On'); setstatus(HalamanFig,''); end end

c) Operasi Penukaran kolom

function OperasiPenukaranKolom HalamanFig = gcbf; nama=get(HalamanFig,'UserData'); a=get(nama.SimpanMatriks,'Cdata'); b=get(nama.SimpanVektor,'Cdata'); WaktuTunggu(0); t = 0; t = clock; [m,n]=size(a); for i=1:n x(i)=i; end x=x'; ai=eye(n); k=1; i=k; while a(k,i)==0 if i==n set(nama.WK,'String','###'); set(nama.BK,'String','###'); set(nama.KK,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return

120

end i=i+1; end flops(0); ainv=1/a(k,i); bi=b(k); xbaru=ainv*bi if i~=k a=TukarKolom(a,i,k,n); x=TukarBaris(x,i,k,1); end beban1(k) = flops; for k=1:n if k<n k=k+1; i=k; u=a(1:(k-1),k); v=a(k,1:(k-1)); alfa=a(k,k); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; if alfa == bantu2 BadCondition = 1; elseif rcond(a(1:k,1:k)) < 10*eps BadCondition = 1; if i==n BadCondition = 0; end else BadCondition = 0; end kondisi = 0; jumlah=1; while BadCondition == 1 if i<n i=i+1; u=a(1:(k-1),i); alfa=a(k,i); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; if alfa == bantu2 BadCondition = 1; elseif alfa ~= bantu2 if rcond(a(1:k,[1:k-1 i])) < 10*eps BadCondition = 1; kondisi = 1; SimpanIterasi(jumlah) = i; jumlah=jumlah+1; else BadCondition = 0; end end

121

else if kondisi == 1 BadCondition = 0; u=a(1:(k-1),SimpanIterasi(1)); alfa=a(k,SimpanIterasi(1)); bantu1=v*ainv; bantu2=bantu1*u; i = SimpanIterasi(1); elseif kondisi == 0 set(nama.WK,'String','###'); set(nama.BK,'String','###'); set(nama.KK,'String',sprintf('gagal di %d',k)); setstatus(HalamanFig,''); WaktuTunggu(1); return; end end end bi=b(k); a12=ai(1:(k-1),k); a21=ai(k,1:(k-1)); aa=[ainv a12;a21 0]; lambda=1/(alfa-bantu2); xbaru=[xbaru;0]-((bi-v*xbaru)/(alfa-bantu2))*[ainv*u;-1]; ainv=aa+lambda*[ainv*u;-1]*[v*ainv -1]; if i~=k a=TukarKolom(a,i,k,n); x=TukarBaris(x,i,k,1); end setstatus(HalamanFig,sprintf('Iterasi ke %d dari %d',k,n)); WaktuTunggu(k/n); beban1(k) = flops; else ainv([x],:)=ainv; xbaru([x])=xbaru; waktu = etime(clock,t); beban = flops; waktu = num2str(waktu,'%10.4f'); beban = num2str(beban,'%20.0f'); set(nama.SimpanInvers3,'Cdata',ainv); set(nama.PK,'Cdata',x'); set(nama.SimpanHasilX3,'Cdata',xbaru); set(nama.WK,'String',waktu); set(nama.BK,'String',beban); set(nama.KK,'String','Sukses'); set(nama.CK,'Enable','On'); setstatus(HalamanFig,''); end end

122

Di dalam setiap operasi sudah disertakan untuk mengetahui beban

komputasi(flops) dan waktu komputasi

Beban komputai

beban = flops; Waktu komputai

Sebelum langkah dimulai

t = 0; (set waktu mulai dari nol)

t = clock; (memulai waktu)

Akhir langkah

waktu = etime(clock,t); (perhitungan waktu akhir)

Pada operasi penukaran baris dan penukaran kolom dibubuhkan dua kondisi

yang harus dihindari dalam menangani kesalahan perhitungan, yaitu :

1. uvA 1−=α

Jika penyelesaian persamaan linier terus dilanjutkan akan terjadi pembagian

nol.

2. kondisi matriks A buruk(rcond<10*eps(≡2,2204*10-15))

Walaupun belum tentu pembagian nol terjadi iika penyeleaian persamaan

linier terus dilanjutkan tapi kondisi invers matriks mengalami kondisi yang

tidak baik. Pada pemecahan masalah tidak sesuai yang diharapkan. Matriks

Pada saat kedua operasi tersebut mengalami kedua kondisi di atas maka akan

mengalami penukaran sesuai operasi yang dimaksudkan.

Jika sampai langkah akhir perhitungan, ternyata matriks mengalami pembagian

nol maka matriks tidak ada penyelesaian persamaan linear karena matriks A

123

adalah matriks singular. Ataupun mengalami bukan pembagian nol tapi kondisi

matriks A buruk pada langkah akhir maka penyelesian persamaan linier tidak

sesuai yang diharapkan.

4.2. Implementasi antar muka

Sebelum mengaktifkan antar muka terlebih dahulu mempersiapkan letak

berkas sumber. Pada jendela perintah (command window) matlab, masuk menu

uatama file lalu pilih set path atau dibawah menu utama terebut tekan icon path

browser.

Gambar 4.1 path browser

Pada path browser akan tampak penempatan letak berkas sumber secara

default, yaitu pada folder C:\Matlabr11\work. Untuk mempermudah pencarian

berkas sumber tekan pada tombol browse

124

Gambar 4.2 Browse

4.2.1. Implementasi Tampilan Pembuka

Tampilan pembuka adalah tampilan yang pertama kali ditampilkan pada saat pertama

kali program dijalankan. Tampilan pembuka berupa form splash screen yang berupa

sambutan saat pengguna pertama kali masuk ke program.

125

Gambar 4.3 Tampilan awal

4.2.2. Implementasi Tampilan Utama

Gambar 4.4 Tampilan utama

126

Tampilan utama merupakan antarmuka induk. Secara umum program

penyelesaian persamaan linear ini terdiri sebagai berikut:

Masukan matriks dan vector

Penyelesaian persamaan linear

a. Masukan matriks dan vector

Pada Langkah ini pertama yang harus dilakukan adalah memasukkan matriks

kemudian masukan vector. Ada tiga jenis masukan matriks yaitu: File, Pengguna, dan

Otomatis.

1. File

Masukan matriks dari file yang bisa dibaca adalah dengan ekstensi txt.

File *.txt yang dimasukkan berisi elemen-elemen matriks yang mempunyai ordo

nxn.

Gambar 4.5 Tampilan masukan matriks secara file

127

2. Pengguna

Pada masukan ini, program meminta pengguna dengan mengetik elemen-

elemen matriks pada jendela matlab (matlab command). Pada jendela matlab

masukan matriks harus diawali dengan tanda “[“ dan diakhiri tanda “]”.

Gambar 4.6a Tampilan masukan matriks secara pengguna

jika matriks yang dimasukan bukan matriks bujur sangkar maka akan

keluar pesan

Gambar 4.6b Tampilan masukan matriks secara pengguna

128

3. Otomatis

Pada masukan matriks ini pengguna diminta untuk memasukkan ukuran

baris/kolom dan besar persen tak nol. Besar persen tak nol yang disediakan yaitu

10%, 20%, 30%, 40%, dan 50%.

Gambar 4.7 Tampilan Masukan matriks secara otomatis

Pada masukan matriks Pengguna dan masukan matriks Otomatis jika matriks

yang dimasukkan matriks singular atau berkondisi kurang dari 10 eps maka akan

tampil pesan

Gambar 4.8 Tampilan pesan masukan matriks

129

Pada pesan tampilan tersebut terdapat tiga tombol,yaitu

1. Lanjutkan

Program dapat dilanjutkan untuk masukan vector.

2. Ulangi

Pada masukan matriks Pengguna maka pengguna diminta untuk memasukkan

matriks kembali

Pada masukan matriks Otomatis maka program akan mengulangi proses otomatis

3. Tidak

Pada masukan matriks Pengguna maka program akan keluar dari masukan

matriks secara pengguna

Pada masukan matriks Otomatis maka program akan kembali ke masukan matriks

otomatis

Setelah selesai memasukan matriks maka akan keluar tampilan masukan

vector b. Tampilan masukan vector dari ketiga jenis tersebut sama.

Gambar 4.9 Tampilan pesan pilihan vektor

Pada tampilan masukan vector terdapat tiga tombol, yaitu:

130

1. Pengguna

Memasukkan vector secara pengguna sama seperti memasukkan matriks secara

Pengguna. Ukuran vector tergantung matriks yang sudah dimasukkan.

Gambar 4.10a Tampilan masukan vector secara pengguna

jika vector yang dimasukkan bukan ukuran yang seharusnya maka akan tampil

Gambar 4.10b Tampilan masukan vector secara pengguna

131

2. File

Jenis file yang digunakan berekstensi txt dan program menentukan ukuran vector

berdasarkan masukan matriks yang sudah dimasukkan.

Gambar 4.11 Tampilan masukan vector secara file

jika ukuran vector yang dimasukan bukan ukuran yang seharusnya maka program

akan kembali pada pilihan masukan vector.

3. Otomatis

Pada masukan vector secara otomatis maka program menentukan sendiri ukuran

vector dan unsur-unsur matriksnya.

b. Penyelesaian persamaan linear

Pada penyelesaian persamaan linear di sini ada 3 macam operasi. Dari setiap

operasi menghasilkan keluaran waktu komputasi, beban komputasi.

132

Gambar 4.12 Tampilan penyelesaian persamaan linear

jika keterangan ‘sukses’ dari setiap operasi maka tombol cek akan aktif.

Tombol cek dimaskudkan untuk mengecek matriks yang diselesaikan. Matriks

tersebut divisualisasikan dalam bentuk gambar.

133

Gambar 4.13a Tampilan cek slide 1

Gambar 4.13b Tampilan cek slide 2

134

Gambar 4.13c Tampilan cek slide 3

Gambar 4.13d Tampilan cek slide 4

135

Gambar 4.13e Tampilan cek slide 5

Gambar 4.13f Tampilan cek slide 6

136

setelah memasukkan matriks tombol lihat matriks dan simpan matriks

menjadi aktif.

Gambar 4.14 Tampilan lihat matriks

Gambar 4.15 Tampilan simpan matriks

137

Pada tampilan utama juga terdapat info sebagai sekilas info tentang tampilan

utama

Gambar 4.16 Tampilan info

138

BAB V

ANALISIS HASIL

Pada bab ini akan dibahas mengenai penggunaan piranti-piranti yang ada

dalam bahasa pemrograman Matlab

5.1. Analisis bahasa pemrograman

Bahasa Pemrograman Matlab 5.3.1 dapat digunakan untuk membangun

aplikasi penyelesaian persamaan linier, karena:

Matlab merupakan bahasa pemrograman yang mendukung bagi pemrogram untuk

membangun aplikasi penyeleaian persamaan linier karena Matlab menyediakan

kemampuan mengolah matriks, sehingga cocok untuk mengembangkan program

tersebut.

5.2. Hasil uji coba program

Setelah merancang sistem dan mengimplementasikannya, maka penulis

mengadakan uji coba sehubungan dengan program bantu penyelesian persamaan

linier ini. Uji coba tersebut berguna sebagai bahan masukkan bagi penulis dan

pengembangan sistem selanjutnya

5.2.1. Matriks Uji

Ukuran matriks yang diuji adalah 2nx2n dengan n = 1,2..10 yaitu 2x2

sampai dengan 1024x1024 dengan angka bukan nol 10% sampai dengan 50%.

139

Matriks yang dipilih secara acak. Pada ukuran matriks 2x2 sampai 8x8 ditampilkan

unsur-unsur matriksnya. Sedangkan untuk ukuran 16x16 sampai 1024x1024 dengan

memvisualkan pola kejarangannya karena tidak memungkinkan untuk

menampilkan seluruh unsur-unsur matriks tersebut. Dalam hal ini

memvisualisasikan pola kejarangan hamper tampak sama maka akan menampilkan

pada ukuran 64x64 dan 128x128.

Persentase angka bukan

nol Matriks 2x2

10% ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

20% ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

30% ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡28000

40% ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡041

00

50% ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡290011


nol Matriks 4x4

140

10% ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00000740000000000

20% ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

000000000759800004

30% ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00036087006800000540

40%

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5204900310970720044000

50% ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

574603800210014450087046


nol Matriks 8x8

10%

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00000000000000800000017000000000000029006000000000700011000000000000

141

20%

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0045000001048005600000006900000023000000450003400000037006700780000000000021

30%

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0630007300097900890003707600000046805700

13000000470094000820061043720000003200041

40%

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

810830950000640700073067034006000042041080399727000740009098760000540780021000032140012

50%

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

004915070690804205868090100986900000078684728089078564700058004702421310027244700080597400420

142

Gambar5.1 Matriks 64x64 dengan unsur-unsur 10% tak nol




143


Gambar 5.6 Matriks 128x128 dengan unsur-unsur 10% tak nol


144




5.2.2. Hasil Uji

Dalam penelitian ini hasil invers matriks A dan hasil nilai x tidak diikut

sertakan, tetapi hasil invers matriks A dan nilai x dapat dicek melalui gambar yang

telah diaplikasikan dari hasilnya tersebut.

Masing-masing matriks diatas akan diselesaikan dengan menggunakan

metode updating. hasil dari penyeleaian tersebut berupa flops (beban komputasi)

145

dan waktu proses dari tiga operasi penukaran yaitu, tanpa penukaran baris/kolom,

penukaran baris, penukaran kolom.

Penelitian dalam skripsi ini, penulis menggunakan masukan secara

otomati sehingga memudahkan dalam penelitian karena cara ini penulis tinggal

menentukan ukuran matriks dan berapa persen angka bukan nolnya.

Berikut table hasil dan grafik dari penyelesaian tersebut.

Tabel 5.1 Keluaran matriks 2x2.

Matriks 2x2 Jenis Opeasi

10% 20% 30% 40% 50%

Waktu - - - - 0.0100Tanpa

penukaran Flops - - - - 58

Waktu - - - - 0.0100Penukaran

baris Flops - - - - 91

Waktu - - - - 0.0100Penukaran

kolom Flops - - - - 91



10% 20% 30% 40% 50%

Waktu - - - - 0,0100Tanpa

penukaran Flops - - - - 338

Waktu - - 0,0100 0,0100 0,0100Penukaran

baris Flops - - 531 560 540

Waktu - - 0,0100 0.0100 0,0100Penukaran

kolom Flops - - 531 548 540

146



10% 20% 30% 40% 50%

Waktu - - - - -Tanpa

penukaran Flops - - - - -

Waktu - 0,0200 0,0100 0,0200 0,0200Penukaran

baris Flops - 3802 3708 3773 3867

Waktu - 0,0200 0,0200 0,0200 0,0200Penukaran

kolom Flops - 3838 3708 3779 3891



10% 20% 30% 40% 50%



Waktu 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400Penukaran

baris Flops 34228 32682 35732 32487 29175

Waktu 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400 0,0400Penukaran

kolom Flops 34674 32729 35561 30841 28824

147



10% 20% 30% 40% 50%



Waktu 0,0900 0,0900 0,0900 0,0900 0,0800Penukaran

baris Flops 287430 261414 305128 340072 344137

Waktu 0,0900 0,0900 0,0900 0,0900 0,0900Penukaran

kolom Flops 337310 274792 301791 336615 346147

Tabel 5.6 Keluaran matriks 64x64


10% 20% 30% 40% 50%


penukaran Flops - - - - 1.140.858

Waktu 0,2300 0,2100 0,2100 0,2100 0,2000Penukaran

baris Flops 2.984.765 3.252.605 3.719.906 3.921.522 4.172.520

Waktu 0,2200 0,2100 0,2100 0,2200 0,2100Penukaran

kolom Flops 2.900.854 3.465.414 3.763.235 4.014.101 4.172.520

148



10% 20% 30% 40% 50%


penukaran Flops - - - - 9.105.658

Waktu 0.7710 0,7810 0,7610 0,7710 0,7610Penukaran

baris Flops 41.290.392 49.077.886 52.542.997 53.886.607 54.666.815

Waktu 0.7500 0.7800 0,7710 0,7710 0,7710Penukaran

kolom Flops 39.748.700 49.130.747 53.758.563 54.017.113 54.666.815



10% 20% 30% 40% 50%



Waktu 6,9300 7,9020 7,8620 8,2520 8,2120Penukaran

baris Flops 674.688.181 757.888.565 764.904.447 791.862.399 798.826.812

Waktu 6,9700 7,8610 7,9110 8,3620 8,3120Penukaran

kolom Flops 675.201.854 753.213.873 765.409.760 789.940.527 793.473.952

149



10% 20% 30% 40% 50%

Waktu Tanpa

penukaran Flops

Waktu 192,5270 200,4390 207,3580 207,0480 207,5780Penukaran

baris Flops 11.146.067.148 11.664.821.588 12.012.103.530 12.039.887.601 12.070.585.267

Waktu 189,9430 200,4680 206,4070 207,9890 208,2500Penukaran

kolom Flops 10.993.587.886 11.648.913.590 11.982.366.646 12.074.442.763 12.098.529.394



10% 20% 30% 40% 50%

Waktu -Tanpa

penukaran Flops -

Waktu 3261,0790 3372,3490 3390,8260 3394,9420 3425,3250Penukaran

baris Flops 179.263.930.550 185.643.483.429 187.190.091.996 187.562.616.184 188.344.417.780

Waktu 3273,6070 3371,1680 3387,4310 3420,1480 3414,6500Penukaran

kolom Flops 179.660.858.281 185.616.247.767 186.928.332.847 188.029.908.857 188.341.489.736

150

5.3. Analisis

Data-data matriks yang dipilih penulis dalam penelitian ini adalah secara otomatis

yang telah disediakan di dalam program. Untuk ukuran matriks 2x2 sampai dengan

ukuran matriks 8x8 dengan ketentuan angka bukan nolnya sebesar 10% selalu gagal

untuk diselesaikan sistem persamaan linearnya karena kondisi matriks buruk atau matriks

singular.

Pada penelitian ini penyelesaian sistem persamaan linear tanpa penukaran

baris/kolom sering kali gagal walaupun matriks yang dimasukkan adalah matriks tak

singular. Dari 50 matriks yang dipilih ada 43 matriks tak singular tetapi hanya 4 matriks

yang bisa dijalan tanpa melalui penukaran baris/kolom. Semua dari 43 matriks tak

singular dapat diselesaikan dengan penukaran baris ataupun penukaran kolom.

Banyaknya jumlah flops yang dihasilkan tergantung matriks A yang dipakai dan

bukan vector b, karena setelah diulang beberapa kali dengan memakai matriks A yang

tetap dan vector b berubah tidak berpengaruh pada jumlah flops yang dihasilkan. Jika

matriks A yang diselesaikan pada system persamaan linearnya semakin besar ukurannya

maka semakin besar pula flops yang dihasilkannya.

Dari matriks ukuran 2x2 sampai dengan 128x128 waktu yang dibutuhkan untuk

proses yaitu kurang dari satu detik. Format waktu yang ditampilkan adalah #,####.

Waktu sering berubah khususnya dibelakang koma(,). Dari waktu yang dihasilkan akan

semakin besar jika flops yang dihasilkan semakin besar.

Dari flops yang dihasilkan, tidak bisa ditentukan lebih besar yang diselesaikan

dengan opersasi penukaran baris ataupun penukaran kolom. Karena waktu dan flops

151

berbanding lurus maka waktupun tidakbisa ditentukan pula akan lebih besar dengan

penyelesaian penukaran baris atau penukaran kolom.

5.4. Kelebihan dan kekurangan program

5.4.1. Kelebihan

Program bantu penyelesaian persamaan linear ini mempunyai beberapa

kelebihan, antara lain:

1. Program menyediakan tiga pilihan masukan matriks dan vector yaitu secara

Pengguna, File, dan Otomatis.

2. Program menyediakan tooltipstring sehingga dapat digunakan sebagaipanduan bagi

pengguna yang mencoba menjalankan pertama kali.

3. jika matriks yang diselesaikan adalah matriks yang bekondisi lebih dari 10 eps

maka hasilnya dapat sesuai dengan yang dimaksud.

4. Pada saat proses penghitungan penyelesaian persamaan linear tersedia progress

sehingga pengguna dapat mengetahui sampai di mana proses penyelesaian tersebut.

5. Tersedia fasilitas cek hasil akhir dari penyelesaian sistem persamaan linear seperti

invers matriks A dan vector x.

5.4.2. Kekurangan

Program bantu penyelesaian persamaan linear ini mempunyai beberapa

kekurangan, antara lain:

1. Pada masukan matriks secara otomatis kadang-kadang tidak tepat menentukan

persen tak nolnya.

152

2. Pada saat proses penyelesaian berlangsung tidak bisa dibatalkan lagi ataupun

menekan tombol lain.

BAB VI

PENUTUP

Pada bagian akhir dari penulisan skripsi ini dicantumkan beberapa

kesimpulan dan saran dari hal-hal yang terkait dengan program persamaan linear

berdasarkan komposisinya dari bab-bab sebelumnya.

6.1 Kesimpulan

Dalam pembuatan program bantu penyelesaian sistem persamaan linear

dapat disimpulkan:

1. Metode updating cocok digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan

linear karena penyelesaiannya secara bertahap dari ukuran yang paling

kecil hingga ukuran matriks yang diselesaikan..

2. Berdasarkan hasil uji coba yang telah dilakukan, operasi penukaran baris

atau penukaran kolom dibutuhkan untuk mengatasi pembagian nol pada

penyelesaian persamaan linear.

3. Dilihat dari waktu komputasi dan beban komputasi, tidak bisa ditentukan

akan lebih besar operasi penukaran baris atau penukaran kolom.

4. Matlab merupakan bahasa pemrograman yang cocok untuk

mengembangkan perangkat-lunak ini.

6.2 Saran

Saran yang dapat diberikan penulis untuk pengembangan perangkat-lunak

lebih lanjut :

153

154

1. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear jarang serta

membandingkan operasi penukaran baris dan kolom pada ukuran matriks

yang berskala besar membutuhkan spesifikasi computer yang lebih tinggi

khususnya prosesor dan memori.

DAFTAR PUSTAKA

Anton H, 1998, Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta.

Budi, W.S., 1995, Aljabar Linear, PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Chapra, S. C., dan Canale,R. P., 1991, Metode Numerik untuk teknik dengan Penerapan

Pada Komputer Pribadi, Universitas Indonesia, Jakarta.

Cullen, C. G., 1993, Aljabar Linear Dengan Penerapannya, Gramedia Pustaka Utama,

Jakarta.

Leon, S. J., 1998, Linear Algebra With Applications, fith Edition, Pretince-Hall, Inc.

Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi 5, Erlangga, Jakarta.

Soesiato, F, 1998, Teknik Komputasi Dasar : Ax = b dan f(x) = 0, Teknik Elektro, UGM.

repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/32014/2/005314068_Full.pdf · v HALAMAN PERSEMBAHAN...

Documents

Transcript of repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/32014/2/005314068_Full.pdf · v HALAMAN PERSEMBAHAN...