Untuk SMA dan Sederajat - jejakseribupena.files.wordpress.com · biasa juga menggunakan nama titik...

0 | Husein Tampomas, Trigonometri, Unntuk SMA dan Sederajat, 2018

TRIGONOMETRI

Untuk SMA dan Sederajat

Husein Tampomas

Penerbit …


BAB 1 PENGANTAR KE FUNGSI TRIGONOMETRI

PENGERTIAN

Dalam bahasa Yunani, trigonometri terdiri dari dua kata, yaitu trigono yang artinya

segitiga dan metro yang artinya ukuran.

Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut dari

segitiga.

1. PENAMAAN SISI DAN SUDUT PADA SEGITIGA

Dalam geometri dasar, segitiga ABC dinotasikan ABC mempunyai unsur-unsur

yang meliputi sisi dan sudut. Penamaan sisinya adalah sisi BC a (di depan A ),

sisi AC b (di depan B ) , dan sisi AB c

(di depan C ). Tetapi kadang-

kadang sisi-sisi suatu segitiga dapat dinotasikan dengan huruf kecil lainnya seperti

x, y, z, h, dan sebagainya.

Sudut ABC dinotasikan ABC biasa juga menggunakan nama titik sudutnya B .

Tetapi kadang-kadang hanya menggunakan huruf kapital dari titik sudutnya,

misalnya A, B, P, W, X, dan sebagainya atau huruf kecil, misalnya p, t, x, y, z, dan

sebagainya. Penamaan sudut tersebut juga kerapkali menggunakan huruf kapital

atau kecil dari alphabet Yunani, misalnya BAC A A ,

ABC B B , dan ACB C C .

Tabel 1 Alphabet Yunani

Huruf Nama Huruf Nama Huruf Nama

Gambar 1

b

a

c

A

B C


2. PENGUKURAN SUDUT

Ukuran sudut yang dipergunakan di sini adalah derajat dan radian.

a. Ukuran Sudut dalam Derajat

Definisi:

putaran360

11

O adalah pusat lingkaran

r adalah jari-jari lingkaran

OA = OB = r

1= 1° = putaran

360AOB

Sehingga,1putaran 360

Ukuran sudut yang lebih kecil (halus) adalah menit dan detik.

1 60' (menit)

1' 60" (detik) "600.31

Contoh 1:

Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari 65,37 .

Solusi: 65,38 63 0,38 63 0,38 60' 63 22,8' 63 22' 0,8'

63 22' 0,8 60" 63 22' 48"

Jadi, 63,38 63 22'48" .

Contoh 2:

Nyatakan dalam ukuran derajat dari 126 48'54" .

Solusi:

1 1126 48'54" 126 48 54

60 3600

126 0,8 0,015 126,815

Contoh 3:

Diberikan 56,18 . Nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari 4 dan 7

8 .

Solusi: 4 4 56,18 224,72 224 0,72 224 0,72 60' 224 43,2 '

224 43' 0,2 ' 224 43' 0,2 60" 224 43' 12"

Jadi, 4 224 43'12"

7 756,18 49,1575

8 8 49 0,1575 49 0,1575 60' 49 9,45'

49 9' 0,45 60" 49 9' 27"

r

r 1

A

B O

Gambar 2


Jadi, 7

49 9'27"8

Contoh 4:

Diberikan 43 48'27" . Nyatakan dalam derajat dari 6 dan 5

18 .

Solusi:

6 6 43 48'27" 258 288'162" 258 288' 2 60 42 " 258 288'2'42"

258 290'42" 258 4 60 50 '42" 258 4 50'42" 262 50'42"

Jadi, 6 262 50'42" .

5 5 5 5 543 48'27" 43 48' 27"

9 9 9 9 9

8 24023 ' 15"

9 9

8 240

23 60 ' ' 15'9 9

72023 ' 15"

9

23 80' 15"

23 1 20' 15" 24 20' 15"

Jadi, 5

24 20'15"9

b. Ukuran Sudut dalam Radian

Definisi:

Satu radian ditulis 1 rad, adalah besar sudut yang dihasilkan oleh perputaran

sebesar jari-jari lingkaran.

O adalah pusat lingkaran

r adalah jari-jari lingkaran

Busur AB = OA = OB = r

180° 180= 1rad = 57,3

π 3,14AOB

c. Konversi Ukuran Putaran, Derajat, dan Radian

Konversi dari ukuran radian ke derajat:

π

180rad1

Konversi dari ukuran derajat ke radian:

rad180

π1

Konversi ukuran derajat ke putaran:

11 putaran

360

Konversi ukuran putaran ke derajat: 1putaran 360

r

r

r

1 rad

A

B O Gambar 3


Konversi ukuran radian ke putaran:

11rad putaran

2

Konversi ukuran putaran ke radian: 1putaran 2 rad

dengan 3,14159... Catatan:

Perhatikan bahwa 22

dan7

adalah dua bilangan yang berbeda, karena

3,14159... bilangan irrasional dan 22

3,142857143...7

bilangan

rasional. Kedua bilangan 22

dan7

sama senilai pada nilai 3,14.

Contoh 5:

Tentukan dalam ukuran derajat dari

a. 1

putaran12

b. 5

putaran18

c. 3

2 putaran4

d. putarann

Solusi:

a. 1 1

putaran 360 3012 12

c. 3 11

2 putaran 360 9904 4

b. 5 5

putaran 360 10018 18

d. putaran 360n n

Contoh 6:

Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 60 b. 150 c. 270 d. n

Solusi:

a. 1 1

60 60 putaran putaran360 6

c. 1 3


b. 1 5


d. 1

putaran putaran360 360

nn n

Contoh 7:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a. 2

putaran3

b. 3

putaran5

c. 1

1 putaran4

d. putarann

Solusi:

a. 2 2 4

putaran 2 rad rad3 3 3

c.

1 5 51 putaran 2 rad rad

4 4 2

b. 3 3 6

putaran 2 rad rad5 5 3

d. putaran 2 rad 2 radn n n

Contoh 8:


Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.

a. 3 rad b. 3

rad4 c.

41 rad

5 d. radn

Solusi:

a. 1 3

3 rad 3 putaran putaran2 2

c. 4 9 1 9

1 rad putaran putaran5 5 2 10

b. 3 3 1 3

rad putaran putaran4 4 2 8

d.

1rad putaran putaran

2 2

nn n

Contoh 9:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.

a. 2 rad b. 3

rad4 c.

51 rad

12 d. radn

Solusi:

a. 180° 180

2,7 rad 2,7 2,7 154,8π 3,14

c.

5 17 180°1 rad 255

12 12 π

b. 3 3 180°

rad 1354 4 π d.

180°rad =n n

Contoh 10:

Tentukan setiap sudut berikut ini dalam (radian).

a. 45 b. 210 c. 300 d. n

Solusi:

a. 45 45 rad180 4

c.

5300 300 rad

180 3

b. 7

210 210 rad180 6

d. rad

180 180

nn n

Contoh 11:

Jika jika 3,14 , tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a. 145 b. 72 54' c. 38 36'45" Solusi:

a. 3,14

145 145 145 2,53rad180 180

b. 3,14

72 54' 72,9 72,9 72,9 0,13rad180 180

c. 3,14

38 36'45" 38,6125 38,6125 38,6125 0,67rad180 180

SOAL-SOAL LATIHAN 1

Selesaikanlah setiap soal berikut ini.

1. Nyatakan dalam ukuran derajat, menit, dan detik dari


a. 0,49 b. 8,51 c. 54,28 d. 108,355

2. Nyatakan dalam ukuran derajat dari

a. 9 30' b. 728 36" c. 25 36'54" d. 48 12'45"

3. Jika 15,36 , nyatakan dalam derajat, menit, dan detik dari

a. 2 b. 1

4 c.

3

2 d.

52

8

4. Jika 65 18'30" , nyatakan dalam derajat dari

a. 4 b. 1

5 c.

4

3 d.

82

15

5. Tentukan dalam ukuran derajat dari

a. 1

putaran9

b. 7

putaran12

c. 7

putaran2

d. 1

2 putaran18

6. Tentukan dalam ukuran putaran dari

a. 75 b. 120 c. 240 d. 315

7. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam radian.

a. 5

putaran12

b. 3

putaran2

c. 1

2 putaran6

d. 1,6putaran

8. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam putaran.

a. 2

rad9 b. 0,6 rad c.

71 rad

12 d.

52 rad

18

9. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam derajat.

a. 0,54rad b. 3,84rad c. 11

rad18

d. 35

4 rad36

10. Tentukan setiap sudut berikut ini dalam (radian).

a. 50 b. 135 c. 255 d. 330

3. PENERAPAN PADA LINGKARAN

Pada lingkaran yang berpusat di O berjari-jari r dan diameternya 2d r , dengan

AOB dan COD masing-masing adalah sudut pusat.

1. Keliling lingkaran: 2K r atau K d

2. Luas lingkaran: 2L r atau 2

4L d

3. Sudut pusat dalam derajat:

Panjang busur AB: 2360

PB r

atau


PB d

Sudut dalam radian:


PB r r

atau

Panjang busur AB: 1

2PB d

Gambar 4

r

r

r

A

B O

r

C

D


4. Sudut dalam derajat:

Luas juring AOB: 2

360LJ r

atau

Luas juring AOB: 2

360 4LJ d

Sudut dalam radian:

Luas juring AOB: 2

2

2 2

rLJ r

atau

Luas juring AOB: 2

21

2 4 8

dLJ d

5. Hubungan Panjang Busur, Sudut Pusat, dan Luas Juring (sector)

Dalam suatu lingkaran, panjang busur sebanding dengan sudut pusatnya dan

juga sebanding dengan luas juringnya.

Panjangbusur Besar Luasjuring

Panjangbusur Besar Luasjuring

AB AOB AOB

CD COD COD

Contoh 12:

Suatu lingkaran berjari-jari 12 cm. Hitunglah

a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran.

c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 .

e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 3

.

Solusi:

a. Jari-jari lingkaran 12r cm

Diameter lingkaran: 2 2 12cm 24cmd r

b. Keliling lingkaran: 2 2 3,14 12 75,36cmK r atau

3,14 24 75,36cmK d

c. Luas lingkaran: 2 2 23,14 12 452,16cmL r atau

2 2 23,1424 452,16cm

4 4L d

d. Panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 60 : 2360

PB r

602 3,14 12 12,56cm

360

atau

360PB d

603,14 24 12,56cm

360

e. Luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 3

: Luas juring AOB:

22

2 212

3,143 12 144 75,36cm2 2 6 6

rLJ

atau


22 2

224

24 3,14 5763 75,36cm8 8 24 24

dLJ

Contoh 13:

Perhatikan gambar 5. Titik O adalah pusat lingkaran,

AD adalah diameter, 5

AOB

dan 4

9COD

. Jika luas juring AOB adalah

70,65 cm2. Tentukan luas juring COD, jari-jari, luas lingkaran, dan jumlah

panjang busur AB dan CD.

Solusi:

Luasjuring Besar

Luasjuring Besar

AOB AOB

COD COD

Luasjuring LuasjuringCOD

COD AOBAOB

2

4

209Luas juring 70,65 70,65 157cm9

5

COD

2

5Luasjuring 70,652

r

COD

2

70,6510

r

2 70,65 10225

3,14r

15cmr

Jadi, jari-jari lingkaran adalah 15 cm.

LuasJuring

LuasLingkaran 2

AOB AOB

2

LuasLingkaran LuasJuring AOBAOB

2270,56 705,6cm

5

Kita juga boleh mengerjakannya sebagai berikut.

2 2 2Luaslingkaran 3,14 15 706,5cmr

Gambar 5

A B

O

D

C

4

9

5


Panjang busur AB: 3,14

15 15 9,42cm5 5

r

Panjang busur CD: 4 4 3,14

15 15 20,93cm9 9

r

Kita dapat juga mengerjakannya sebagai berikut.

Panjangbusur Besar

Panjangbusur Besar

AB AOB

CD COD

4

209Panjangbusur Panjangbusur 9,42 9,42 20,93cm9

5

CODCD AB

AOB

Jadi, jumlah panjang busur AB dan CD = 9,42 cm + 20,93 cm = 30,35 cm.

Contoh 14:

Juring OAB dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 16.

Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah besar

sudut pusat AOB?

Solusi:

Misalnya r adalah jari-jari, adalah sudut pusat dalam radian, sehingga

Keliling juring 2 16AOB r r r r

Keliling juring panjang busur 16AOB OA OB AB r r r

16 2r r

162

r …. (1)

2

Luas juring2

rAOB

…. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2

22 2

162

Luas juring 8 8 16 42

rr

AOB r r r r r

Karenanya agar luas juring tersebut maksimum, maka 4r dan 2 .

SOAL-SOAL LATIHAN 2


1. Suatu lingkaran berjari-jari 15 cm. Hitunglah

a. diameter lingkaran.

b. keliling lingkaran.

c. luas lingkaran.

d. panjang busur lingkaran dihadapan sudut pusat 150 .

e. luas juring lingkaran dihadapan sudut pusat 5

4

.

Gambar 6

r

r

A

B O


2. Titik O adalah pusat lingkaran, AD adalah diameter, 3

AOB

dan

4BOC

. Jika luas juring AOB adalah 54 cm

2. Tentukan

a. luas juring COD. d. luas lingkaran.

b. luas juring BOC. e. keliling lingkaran.

c. jari-jari lingkaran. f. jumlah panjang busur AB dan CD.

3. Pada lingkaran yang berpusat di O terdapat juring AOB, dengan 60AOB

dan BC OA , sehingga luas daerah yang diarsir adalah 296 72 3 cm .

Tentukan diameter dari lingkaran tersebut.

4. Juring OPQ dari suatu lingkaran yang berpusat di O mempunyai keliling 20.

Tentukan jari-jari lingkaran agar luas juring tersebut maksimum. Berapakah

besar sudut pusat POQ?

4. JENIS-JENIS SUDUT

Sekilas kita mengingat kembali pada pelajaran geometri dasar tentang definisi

sudut lancip, sudut siku-siku, sudut tumpul, dan sudut lurus.

Definisi:

a. Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0°dan90 . (Gambar 8 (a))

b. Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 . (Gambar 8 (b))

c. Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90°dan180 . (Gambar 8 (c))

d. udut lurus adalah sudut yang besarnya 180 . (Gambar 8 (d))

Contoh 15: Diberikan tiga buah sudut x, y, dan z. Jika 180x y z dan : : 1:5: 6x y z .

Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

Solusi:

Misalnya , 5 ,dan 6x k y k z k , sehingga

180x y z

Gambar 8

(a) Sudut lancip (b) Sudut siku-siku (c) Sudut tumpul (d) Sudut lurus

Gambar 7

C A

B

O

60


5 6 180k k k

12 180k

18015

12k

15 , 75 ,dan 90x y z Jadi, x dan y adalah sudut lancip dan z adalah sudut siku-siku.

SOAL-SOAL LATIHAN 3


1. Jika a, b, dan c adalah tiga buah sudut, dengan 2 180a b c dan

: : 5 : 9 :1a b c . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

2. Jika x, y, dan z adalah tiga buah sudut, dengan 3

2x y z

, 2

3x y

, dan

: 3: 2x z . Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

3. Jika p, q, dan r adalah tiga buah sudut, dengan 5

3p q

,

7

3q r

, dan

3

2p r

. Tentukan jenis-jenis sudut tersebut.

5. JENIS-JENIS PASANGAN SUDUT

Jenis-jenis pasangan sudut meliputi sudut komplemen (sudut yang berpenyiku),

sudut suplemen (sudut yang berpelurus), dan sudut kojugat.

Definisi:

a. Sudut komplemen (sudut yang berpenyiku) adalah dua sudut lancip yang

jumlahnya 90 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 90 maka sudut

dan saling berkomplemen jika 90 . Kita mengatakan bahwa sudut

adalah penyiku sudut dan sebaliknya sudut adalah penyiku sudut .

b. Sudut suplemen (sudut yang berpelurus) adalah dua sudut antara 0dan 90yang

jumlahnya 180 . Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 180 maka sudut

dan saling bersuplemen jika 180 .Kita mengatakan bahwa sudut

adalah pelurus sudut dan sebaliknya sudut adalah pelurus sudut .

c. Sudut konjugat adalah dua sudut antara 0dan 360 yang jumlahnya 360 .

Dengan perkataan lain, andaikan 0 , 360 maka sudut dan saling

berkonjugat jika 360 .

Gambar 9

(a) Sudut Komplemen 90

(b) Sudut Suplemen

180

(c) Sudut Konjugat 360


Contoh 16:

Diketahui sudut-sudut 20x dan 3 10x . Jika sudut-sudut dan saling

berkomplemen, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berkomplemen, maka haruslah

90 20 3 10 90x x

4 80x 20x

Contoh 17:

Diketahui sudut-sudut 70 x dan 6 40x . Jika sudut-sudut dan

saling berpelurus, tentukan nilai x.

Solusi:

Jika sudut-sudut dan saling berpelurus, maka haruslah

180 70 6 40 180x x 5 150x

30x

SOAL-SOAL LATIHAN 4


1. Diketahui sudut-sudut 2 40x dan 3 20x . Jika sudut-sudut dan

saling berpelurus, tentukan nilai x, , dan .

2. Diketahui sudut-sudut 4

x

dan 515

x

. Jika sudut-sudut dan

saling berkomplemen, tentukan nilai x, , dan .

3. Dua buah sudut saling berkomplemen. Selisih dua kali sudut dan sudut kedua

adalah pertama 90 . Tentukan kedua sudut tersebut.

6. JENIS-JENIS SEGITIGA

Pada pelajaran geometri dasar telah didefinisikan bahwa: “Jumlah sudut-sudut

pada suatu segitiga adalah 180 .” Di samping itu telah dikemukakan pula tentang

jenis-jenis segitiga yang ditinjau dari sudut-sudutnya, jenis-jenis segitiga ditinjau

dari panjang sisi-sisinya, serta jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan

panjang sisinya.

1. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya

Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnya, yaitu segitiga lancip (acute

triangle), segitiga siku-siku (right triangle), dan segitiga tumpul (obtuse

triangle).


a. Segitiga Lancip (Acute Triangle)

Segitiga lancip adalah segitiga yang besar setiap sudutnya lancip atau besar

setiap sudutnya berkisar antara 0dan 90 (acute angle).

Pada gambar 10: ABC adalah segitiga lancip, 0 , , 90A B C

b. Segitiga Siku-siku (Right Triangle)

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku atau

besar sudutnya 90 (right angle)

Pada gambar 11: ABC adalah segitiga siku-siku, 90C ( C siku-siku)

c. Segitiga Tumpul (Obtuse Triangle)

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut

tumpul atau besar sudutnya berkisar antara 90 dan180 (obtuse angle).

Pada gambar 12: ABC adalah segitiga tumpul, 0 , 90A B dan

90 180C ( B tumpul).

2. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya

Ada 3 jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya, yaitu segitiga sembarang

(scalene), segitiga sama kaki (isosceles), segitiga sama sisi (equilateral).

a. Segitiga Sembarang (Scalene)

Segitiga sembarang adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya berbeda

dan juga ketiga panjang sisinya berbeda.

Gambar 10

A

B C

A

B C

Gambar 11

Gambar 12

A

C B


Pada gambar 13: ABC adalah segitiga sembarang, A B C dan

BC AC AB .

b. Segitiga Sama Sisi (Equilateral)

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

Pada gambar 14: ABC adalah segitiga sama sisi, A B C dan

BC AC AB .

Karena ABC adalah segitiga sama sisi, maka 180 :3 60A B C

c. Segitiga Sama Kaki (Isosceles)

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi sama panjang.

Pada gambar 15: ABC adalah segitiga sama kaki, AB AC .

Karena ABC adalah segitiga sama kaki, dengan AB AC , maka

180

2

AB C

.

3. Jenis-jenis Segitiga Ditinjau dari besar sudut dan Panjang Sisinya

Ada 7 macam jenis-jenis segitiga ditinjau dari besar sudut dan panjang sisinya.

a. Segitiga Sembarang

Ada 3 jenis segitiga sembarang, yaitu segitiga lancip sembarang, segitiga

siku-siku sembarang, dan segitiga tumpul sembarang.

Gambar 13

A

B C

Gambar 14

A

B C

Gambar 15

A

B C


b. Segitiga Sama Kaki

Ada 3 segitiga sama kaki, yaitu segitiga lancip sama kaki, segitiga siku-

siku sama kaki, dan segitiga tumpul sama kaki.

c. Segitiga Sama Sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.

Segitiga sama sisi dapat dilihat gambar Gambar 14.

3. Jenis-jenis Segitiga Istimewa

Segitiga istimewa atau khusus adalah segitiga yang mempunyai sifat-sifat

istimewa atau khusus, yang berkaitan dengan panjang sisi-sisinya maupun

besar sudut-sudutnya. Adapun yang tergolong ke dalam jenis-jenis segitiga

istimewa tersebut adalah segitiga sama sisi (Gambar 14), segitiga sama kaki

(Gambar 15), dan segitiga siku-siku (Gambar 16 (b)).

Contoh 18:

Diketahui ABC dengan sudut-sudut A, B, dan C berbanding sebagai 2: 7 :9 .

Tentukan sudut-sudut segitiga dan jenis segitiga tersebut.

Solusi:

Misalnya sudut-sudut 2 , 7 ,dan 9A k B k C k .

Dalam ABC berlaku bahwa jumlah sudut-sudutnya adalah 180 .

Gambar 16

(a) ABC Lancip

Sembarang

A

B C

(b) ABC Siku-siku

Sembarang (c) ABC Tumpul

Sembarang

A

C B

A

B C

(a) ABC Lancip Sama

Kaki, Kaki AB AC

dan B C

A

B C

Gambar 17

(c) ABC Tumpul Sama Kaki,

Kaki AC BC , A B

dan C tumpul

A

C B

(b) ABC Siku-siku Sama

Kaki, Kaki AC BC ,

A B dan 90C

A

B C


180A B C 2 7 9 180k k k 18 180k

10x 20 , 70 ,dan 90A B C

Jadi, jenis ABC adalah segitiga siku-siku.

Contoh 19:

Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya adalah 20A x , 7 10B x , dan

110 5C x . Tentukan jenis segitiga tersebut.

Solusi:

180A B C 20 7 10 110 5 180x x x

3 60x 20x

20 20 20 40A x 7 10 140 10 130B x 110 100 10C

Jadi, jenis ABC adalah segitiga tumpul.

SOAL-SOAL LATIHAN 5


1. Diketahui ABC dengan sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 : 6 . Tentukan

besar sudut-sudut segitiga dan jenis segi tiga tersebut.

2. Tentukan besar sudut-sudut dan jenis PQR yang sudut-sudutnya adalah

50P x , 5 30Q x , dan 120 2R x .

3. Tentukan jenis segitiga yang sudut-sudutnya berbanding sebagai 1: 2 :3 .

7. TEOREMA PYTHAGORAS

Pada segitiga siku-siku, sisi yang terletak di depan sudut siku-siku disebut adalah

hipotenusa (hypotenuse) atau sisi miring dan sisi-sisi yang lainnya disebut kaki-

kaki atau sisi-sisi siku-siku. Hipotenusa selalu lebih panjang dari sisi siku-

sikunya. Pada gambar 14 ditunjukkan ABC dengan sudut siku-siku C , sehingga

hipotenusanya adalah segmen garis AB yang panjangnya c, dan sisi-sisi

danAC BC adalah kaki-kakinya atau sisi siku-sikunya yang panjangnya masing-

masing a dan b.

Gambar 18

A

B C a

c b


Hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku dapat ditentukan menggunakan

Teorema Pythagoras yang dirumuskan sebagai berikut.

“Kuadrat panjang hipotenusa dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah

kuadrat panjang sisi siku-sikunya”

Kita dapat menuliskan teorema Pythagoras dari gambar 14: 2 2 2AB BC AC

2 2 2c a b Bukti:

Tarik garis tinggi CD.

Misalnya AD x , sehingga BD c x .

Perhatikan danADC ACB

akibatnya90

CAD BACACD ABC

CDA BCA

ADC ACB Sehingga

AC AB

AD AC

b c

x b

2cx b …. (1)

Perhatikan danBDC BCA

akibatnya90

CBD CBABAC BCD

BDC BCA

BDC BCA Sehingga

BC BA

BD BC

a c

c x a

2 2c cx a …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2 2 2c b a

2 2 2c a b (QED)

Contoh 20:

Diketahui ABC siku-siku di A, dengan 15cmBC dan 8cmAC . Tentukan

panjang sisi AB.

Solusi:

Menurut Pythagoras: 2 2 2AB BC AC 2 2 215 8 225 64 289AB

289 17cmAB

Gambar 20

A

B C a = 15

c b = 8

Gambar 19

A

B C a

x

b c x

D


Contoh 21:

Diketahui ABC dengan 13cmBC , 14cmAC , dan 15cmAC . CD adalah

garis tinggi yang ditarik dari titik C ke sisi AB. Tentukan panjang CD.

Solusi:

Misalnya BD x , sehingga 15AD x .

Menurut Pythagoras dalam BCD : 2 2 2CD BC BD 2 2 2 213 169CD x x …. (1)

Menurut Pythagoras dalam ACD . 2 2 2CD AC AD

22 2 2 214 15 196 225 30 29 30CD x x x x x …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2 2169 29 30x x x

30 198x

33

5x

22 33 1089 3136

169 1695 25 25

CD

3136 5611,2cm

25 5CD

Contoh 22:

Selembar kertas berbentuk persegi panjang yang berukuran panjang 8 cm dan

lebar 6 cm dilipat dengan cara menghubungkan titik B dan D sepanjang garis

lipatan EF. Tentukan EF.

Solusi:

Kertas dilipat dengan cara menghimpitkan

titik B pada titik D, sehingga titik C

menjadi C dan 'BCF DC F

Misalnya G adalah titik tengah BD.

Perhatikan danDGF BGF .

Gambar 21

C

A B 15 x

15

b = 14 a = 13

D x

Gambar 23

C

A B

F

E

D=B

C

x 8 x

6 G

arah lipatan

kertas

Gambar 22

C

A B

F

E

D

kertas


(S-S-S)

BF DF

BG DG DGF BGF

FG FG

(S-Sd-Sd)

AG CG

GCF GAE GCF GAE

GFC GEA

BE AB AE CD CF DF

segi empat BEDF adalah belah ketupat

Menurut Pythagoras dalam ABD : 2 2 2 2 26 8 100BD AD AB

100 10BD

105

2DG

Misalnya AE CF x , sehingga 8BE BF DF AD x

Menurut Pythagoras dalam ABE : 2 2 2DE AD AE

2 2 28 6x x

2 264 16 36x x x 16 64 36 28x

28 7

16 4x

7 258 8

4 4DE x

Menurut Pythagoras dalam DEG : 2

2 2 2 225 625 2255 25

4 16 16EG DE DG

225 15

16 4EG

15 15 12 2 7 cm

4 2 2EF EG

8. TRIPEL PYTHAGORAS

Perhatikan pasangan bilangan 3,4,5 . Bilangan ini memenuhi hubungan

2 2 23 4 5 . Demikian pula pasangan bilangan 8,15,17 juga memenuhi

hubungan 2 2 220 21 29 . Pasangan-pasangan bilangan ini disebut Tripel

Pythagoras. Karenanya, dikatakan bahwa Triple Pythagoras adalah tripel bilangan

bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan 2 2 2a b c . Bilangan-bilangan

ini berpadanan dengan sisi-sisi segitiga siku-siku, sehingga memenuhi teorema

Pythagoras. Sebenarnya berlaku secara umum pada sembarang segitiga siku-siku


dengan sisi-sisi tegak a dan b dan hipotenusa (sisi miring) c dengan a, b, dan c

tidak harus merupakan bilangan bulat, tetapi sembarang bilangan real positif.

Untuk mendapatkan Triple Pythagoras digunakan rumus sebagai berikut ini.

Pada tabel 1 disajikan beberapa tripel Pythagoras.

Tabel 1:

Contoh 23:

Tentukan nilai x dan y dari setiap pasangan tiga bilangan 88,105, x dan

44,125, y yang merupakan Tripel Pythagoras.

Solusi: 2 2 2a b c , dengan a, b, dan c adalah Tripel Pythagoras Dasar, sehingga a genap,

b ganjil, dan c ganjil atau a ganjil, b genap, dan c ganjil.

88,105, x berarti 88, 105, atau 88, , 105a b c x a b x c

2 2 2 288 105 18769 137x

137x 44,125, y berarti 44, 125, atau 44, , 125a b c y a b y c

2 2 244 125 17561y (bukan bilangan kuadrat sempurna)

2 2 2125 44 y

2 2 2 2125 44 13689 117y

117y

SOAL-SOAL LATIHAN 6


1. Diberikan ABC siku-siku di C. Lengkapilah table 2 berikut ini.

Tabel 2:

No. m n 2 2a m n 2b mn 2 2c m n

1. 2 1 3 4 5

2 3 2 5 12 13

3 4 1 15 8 17

4 4 3 7 24 25

5 5 2 21 20 29

6 5 4 7 40 41

Panjang Sisi Nomor Soal

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

a 12 …. 24 25 …. 43

b 35 84 …. 312 840 ….

c …. 85 145 …. 841 925

Untuk m dan n anggota bilangan bulat positif, m dan n tidak mempunyai faktor

sekutu selain 1, FPB = 1 dan m n , berlaku 2 2a m n , 2b mn , dan 2 2c m n dengan m n dan a, b, c memenuhi teorema Pythagoras.

Untuk SMA dan Sederajat - jejakseribupena.files.wordpress.com · biasa juga menggunakan nama titik...

Documents

Transcript of Untuk SMA dan Sederajat - jejakseribupena.files.wordpress.com · biasa juga menggunakan nama titik...