1

TRIGONOMETRI

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari hubungan antara

perbandingan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dengan sudut-sudutnya. Kata trigonometri

berasal dari bahasa Latin, ‘trigonom’ (tiga sudut) dan ‘metro’ (pengukuran).

A. Ukuran Sudut dan Perbandingan Trigonometri

1. Sudut

adalah rotasi sinar garis dengan titik pusat tertentu dari sisi awal ke sisi akhir. Sudut bidang

(plane angle) dibentuk oleh dua garis yang saling berpotongan. Seperti ditunjukkan oleh Gambar

1 berikut ini. Sudut bidang XOP dibentuk oleh dua garis OX dan OP yang saling berpotongan.

Titik O disebut sebagai titik sudut (vertex) dan garis garisnya disebut sebagai sisi-sisi sudut .

Seringkali suatu sudut bidang dapat juga dilihat sebagai akibat berputarnya suatu garis dari

posisi awal OX ke posisi akhir OP. Maka titik O masih sebagai titik sudut , OX disebut sisi awal

(initial side), dan OP disebut sisi akhir (terminal side) dari sudut.

Suatu sudut disebut sudut positif jika arah rotasi (dinyatakan oleh anak panah lengkung)

berlawanan arah dengan jarum jam dan sudut negatif jika arah rotasinya searah dengan jarum

jam. Sudut positif ditunjukkan oleh Gambar 2(a) dan (b) sedangkan sudut negatif ditunjukkan oleh

Gambar 2(c).

Gambar 2

(a) (b)

(c)

2

2. Ukuran Sudut

Ukuran besar sudut dinyatakan dalam satuan derajat atau satuan radian

a. Satuan Derajat

Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1 putaran = 360° ⇔ 1°= 1/360 putaran.

Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).

Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:

1° = 60′ (enam puluh menit)

1′ = 60“ (enam puluh detik)

b. Satuan Radian

Radian adalah satuan sudut dalam bidang yang dilambangkan dengan “rad” .

(perhatikan gambar) :

Satu radian adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran

dimana panjang busur di depan sudut tersebut sama dengan panjang jari-jari

lingkaran.

Karena keliling lingkaran adalah 2π.r, maka besar sudut sebuah lingkaran sama dengan 2

π radian dan jika besar sudut 1 (satu) keliling lingkaran = 360⁰, maka 2 π radian = 360⁰

sehingga 1 radian = 360⁰

2𝜋 =

180⁰

𝜋 atau 1° =

𝜋

180⁰

Jadi 1 radian = 53,3248 = 53⁰ 19’ 29,43”

CONTOH SOAL UKURAN SUDUT (DERAJAT DAN RADIAN)

Contoh Soal 1

Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesaian:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

Contoh Soal 2

Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian :

0,45 radian = 0,45 x 180°/π

0,45 radian = 25,80°

Contoh Soal 3

Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan

putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

0,89 radian = 0,89 x 180°/π

0,89 radian = 51,02°

3

3. Sudut dan Kuadran

Kuadran merupakan posisi sudut pada bidang koordinat atau pembagian daerah pada sistem

koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan

seperti pada gambar 3 di bawah:

Gambar 3

4. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

a. Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pada Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah . Dalam segitiga

siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari

kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai

berikut. , dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah sisi miringnya. Untuk

lebih jelasnya maka perhatikan gambar 4 berikut.

Gambar 4

4

b. Perbandingan Sinus (sin), Cosinus (cos), Tangen (tan), Cosecan (scs), Secan (sec), dan

Cotangen (cot).

Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita

harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya

perhatikan gambar 5 berikut:

Gambar 5

• Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.

• Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.

• Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.

Setelah mengetahui sisi miring, sisi depan, dan sisi samping, selanjutnya kita akan

membahas definisi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

sin 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔=

𝐵𝐶

𝐴𝐶

cos 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔=

𝐴𝐵

𝐴𝐶

tan 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼=

𝐵𝐶

𝐴𝐵

cosec 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼=

𝐴𝐶

𝐵𝐶

secan 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼=

𝐴𝐶

𝐴𝐵

cotan 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝛼=

𝐴𝐵

𝐵𝐶

5

Contoh :

Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitiga berikut.

Jawab:

sin 𝑄 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄=

𝑃𝑅

𝑄𝑅=

1

2

cos 𝑄 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄=

𝑃𝑄

𝑄𝑅=

√3

2=

1

2√3

tan 𝑄 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑄=

𝑃𝑅

𝑃𝑄=

1

√3=

1

3√3

sin 𝑅 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅=

𝑃𝑄

𝑄𝑅=

√3

2=

1

2√3

cos 𝑅 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅=

𝑃𝑅

𝑄𝑅=

1

2

tan 𝑅 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑅=

𝑃𝑄

𝑃𝑅=

√3

1= √3

6

5. Perbandingan Trigonometri pada Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai

kalkulator atau tabel matematika, yaitu 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° dll

Berikut merupakan tabel sudut-sudut istimewa.

7

B. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi

1. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP

adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam

koordinat kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai

dengan 90. Perlu diketahui bahwa

ry =+= 22xOP dan r 0

Berdasarkan gambar 6 tersebut keenam perbandingan trigonometri

baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:

1. r

y==

OP panjang

P ordinatα sin 4.

y

r==

P ordinat

OP panjangαcsc

2. r

x==

OP panjang

P absisα cos 5.

x

r==

P absis

OP panjangα sec

3. x

y==

P absis

P ordinatα tan 6.

y

x==

P ordinat

P absisα cot

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau

kuadran IV, seperti pada gambar 7 di bawah ini.

y

x X

Y P(x,y)

r

1

Gambar 6

O

Gambar 7. Titik di Berbagai Kuadran

y

x X

Y P(x,y)

r

1

O

y

-x X

Y P(-x,y)

r

2

O

-y

-x

X

Y

r

P(-x,-y)

3

O

-y

x

X

Y

r

P(x,-y)

4

O

8

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran:

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

csc + + - -

sec + - - +

cot + - + -

JEMBATAN KELEDAI : Semua SINdikat TANgannya COSong

2. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ), dan -

. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen)

yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ).

Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar 8 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan garis y = x, sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gambar 8. Sudut Yang Berelasi

O

9

y

x X

Y

P(x,y)

r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gambar 9. Sudut Yang Berelasi

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a. ( ) ===− cos90 sin1

1

r

x

r

y

b. ( ) ===− sin90 cos1

1

r

y

r

x

c. ( ) ===− cot90 tan1

1

y

x

x

y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - )

dapat dituliskan sebagai berikut:

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = −x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

i. ( ) ===− sin180 sin1

1

r

y

r

y

ii.

iii. ( ) −=−

==− tan180 tan1

1

x

y

x

y

( ) −=−

==− cos180 cos1

1

r

x

r

x

a. ( ) =− cos90 sin d. ( ) =− sec90csc

b. ( ) =− sin90 cos e. ( ) =− ec cos90sec

c. ( ) =− cot90 tan f. ( ) =− tan90 cot

10

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar 10 diketahui titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = −x,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = −x, y1 = −y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan:

a. ( ) −=−

==+ sin180 sin1

1

r

y

r

y

b. ( ) −=−

==+ cos180 cos1

1

r

x

r

x

c. ( ) ==−

−==+ tan180 tan

1

1

x

y

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. ( ) =− sin180 sin d. ( ) =− csc180csc

b. ( ) −=− cos180 cos e. ( ) −=− sec 180sec

c. ( ) −=− tan180 tan f. ( ) −=− cot180 cot

a. ( ) −=+ sin180 sin d. ( ) −=+ csc 180csc

b. ( ) −=+ cos180 cos e. ( ) −=+ sec 180sec

c. ( ) =+ tan180 tan f. ( ) =+ cot180 cot

y

x X

Y

P(x,y)

r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O

Gambar 10. Sudut Yang Berelasi

11

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar 11 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = −y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan

a. ( ) −=−

==− sin sin1

1

r

y

r

y

b. ( ) ===− cos cos1

1

r

x

r

x

c. ( ) −=−

==− tan tan1

1

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 − , misalnya sin (360

− ) = − sin .

C. IdentitasTrigonometri

Rumus-rumus yang perlu dipahami

a. Rumus dasar yang merupakan KEBALIKAN

a. ( ) −=− sin sin d. ( ) −=− csc csc

b. ( ) =− cos cos e. ( ) =− sec sec

c. ( ) −=− tan tan f. ( ) −=− cot cot

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -

Gambar 11. Sudut Yang Berelasi

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1

sin 𝛼

𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1

cos 𝛼

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 1

tan 𝛼

12

b. Rumus dasar yang merupakan HUBUNGAN PERBANDINGAN

c. Rumus dasar yang yang diturunkan dari TEOREMA PYTHAGORAS

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) Jawab:

Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α

= Sin α . Cos α .

Cos

Sin

= Sin2 α

= 1 – Cos2 α

= (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan Terbukti!

b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β Jawab:

Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β .

Cos

Sin + Cos β

=

Cos

Cos

Cos

Sin 22

+

= =Cos

1Sec β = Ruas Kanan Terbukti

𝑡𝑎𝑛 𝛼 = sin 𝛼

cos 𝛼

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = cos 𝛼

sin 𝛼

𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1

1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼

1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝛼

13

D. Aturan Sinus dan Cosinus serta Luas Segitiga

1. Aturan Sinus

Pada setiap segitiga sembarang berlaku aturan sinus. Untuk segitiga seperti gambar

dibawah ini berlaku aturan sinus sebagai berikut :

Kemungkinan unsur-unsur yang diketahui yaitu :

a. sisi, sudut, dan sudut (s-sd-sd);

b. sudut, sisi, dan sudut (sd-s-sd); dan

c. sisi, sisi, dan sudut (s-s-sd)

Contoh Soal

1. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 30o, sudut B = 45o, dan sisi b = 10. Tentukan

a. Sudut C

b. Panjang a

c. Panjang b

2. Diketahui segitiga ABC dengan sis a = 10cm, sisi c = 12 dan sudut C = 60o. tentukan

a. Sudut A

b. Sudut B

c. Panjang b

Jawab :

1. a. <C = 180o – ( 30o + 40o) = 105o

b. a

Sin A=

b

Sin B =

a

Sin 30=

10

Sin 45

a = 10 x sin 30

sin 45

a = 10 x

1

2

1

2√2

= 10

√2=

10

2√2 = 5√2 𝑐𝑚

14

c. c

Sin C=

b

Sin B =

c

Sin 105=

10

Sin 45

c = 10 x sin 105

sin 45 =

10 x 0.966

0.707= 13.66 𝑐𝑚

2. a. a

Sin A=

c

Sin C =

10 x sin 60

12

sin A = 10 x 0,866

12= 0,722 𝑐𝑚

b. <B = 180o – (60o + 46.22o) = 73,78o

c. b

Sin B =

c

Sin C=

b

sin 73,78=

12

sin 60

b = 12 x sin 73,78

sin 60=

12 x 0.960

0.866= 13,30 𝑐𝑚

2. Aturan Cosinus

Pada setiap segitiga sembarang berlaku aturan cosinus. Untuk segitiga ABC (pada

gambar aturan sinus diatas) aturan cosinus sebagai berikut :

a. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

b. b2 = 2 + c2 – 2.a.c.cos B

c. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C

d. Cos A = 𝑏2+ 𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

e. Cos B = 𝑎2+ 𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

f. Cos C = 𝑎 + 𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏

Kemungkinan unsur-unsur yang diketahui yaitu :

a. sisi, sudut, dan sisi (s-sd-s) dan

b. sisi, sisi, dan sisi (s-s-s)

Contoh Soal

1. Tentukan panjang sisi ketiga suatu segitiga jika diketahui a= 10 cm, b = 12 cm dan sudut C

= 60o

2. Tentukan besar sudut pada segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a = 2 cm, b =

2√3 dan c = 4cm

15

Jawab :

1. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C

c2 = 102 + 122 – 2 x 10 x 12 cos 60o

c2 = 100 + 144 – 240 x 10.5

c2 = 244 – 120 = 124

c = √124 = 11.14 cm

2. Cos A = 𝑏2+ 𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

(2√3)2 + 42 − 22

(2)(2√3)(4)=

12 + 16 − 4

16√3=

3

2√3=

1

2√3

Jadi, besar <A = 30o

Cos B = 𝑎2+ 𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐=

22+ 4−(2√3)2

2(2√3)(2)=

4+16−12

16=

1

2

Jadi, besar <B= 60o

Besar <C = 180o – (30o+60o) = 90o

3. Luas Segitiga

Untuk segitiga ABC seperti gambar dibawah ini berlaku rumus segitiga ABC jika

diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit kedua sisi itu (s-sd-s) sebagai berikut :

Luas = 1

2. a.b. sin C

Luas = 1

2. a.c. sin B

Luas = 1

2. b.c. sin A

Contoh Soal

Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 12 cm b = 10 cm dan <C = 30o!

Jawab :

Luas = 1

2. a.b. sin C

= 1

2. 12 x 10 x sin 30o

= 1

2 120 x

1

2

= 30 cm2

16

4. Menentukan Luas Segitiga yang Diketahui Dua Sudut dan Satu Sisi

Untuk segitiga ABC seperti gambar dibawah ini berlaku rumus segitiga ABC jika

diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi (sd-s-sd) sebagai berikut :

Luas = 𝑎2𝑥 sin 𝐵 𝑥 sin 𝐶

2 sin 𝐴

Luas = 𝑏2𝑥 sin 𝐴 𝑥 sin 𝐶

2 sin 𝐵

Luas = 𝑐2𝑥 sin 𝐴 𝑥 sin 𝐵

2 sin 𝐶

5. Menentukan Luas Segitiga yang Diketahui Panjang Ketiga Sisinya

Jika pada segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya (s-s-s), luas segitiga dapat

ditentukan dengan cara berikut.

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐴𝐵𝐶 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) dengan s = 1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = setengah keliling ∆𝐴𝐵𝐶

E. Grafik Fungsi Trigonometri

1. Nilai maksimum, Nilai Minimum, Amplitudo, dan Periode Grafik Fungsi Trigonometri

a. Nilai maksimum adalah nilai tertinggi suatu grafik pada interval tertentu sedangkan nilai

minimum adalah nilai terendah suatu grafik pada interval tertentu.

b. Amplitudo adalah setengah dari jarak antara nilai minimum dan nilai maksimum suatu

grafik.

c. Periode adalah besarnya interval suatu grafik akan mengulang dengan bentuk yang sama.

Nilai maksimum, nilai minimum, amplitudo, dan periode grafik fungsi trigonometri disajikan

dalam tabel berikut.

17

2. Sifat Periodik Fungsi Trigonometri

Untuk setiap sudut dalam keadaan baku dipenuhi :

• sin = sin ( + n.360o), n B

• cos = cos ( + n.360o), n B

• secan = secan ( + n.360o), n B

• cosec = cosec ( + n.360o), n B

karena nilai fungsi tersebut tidak berubah bila ditambah dengan n.360o, maka fungsi sinus,

cosinus, secan dan cosecan adalah fungsi periodik. Nilai positif terkecil dari n.360o , nB adalah 360o,

sehingga 360o disebut periode dari fungsi-fungsi tersebut. Jadi fungsi-fungsi sinus, cosinus, secan, dan

cosecan adalah fungsi periodik dengan periode 360o.

tetapi untuk fungsi tangen dan cotangen berlaku :

• tan = tan ( + n.180o), n B

• cot = cot ( + n.180o), n B

sehingga nilai fungsi tangen dan cotangen tidak berubah jika ditambah dengan n.180o. karena nilai

positif terkecil dari n.180o adalah 180o, maka fungsi tangen dan cotangen adalah fungsi periodik

dengan periode 180o.

3. Domain Fungsi Trigonometri Sederhana

a) Fungsi Sinus

Jika = x rad, untuk setiap x R maka sin x R dengan R adalah himpunan bilangan real.

Jadi domain fungsi sinus adalah D = { x rad │x R }.

Jika = xo maka domain fungsi sinus adalah D = { xo│x R }.

b) Fungsi Cosinus

Jika = x rad, Jadi domain fungsi cosinus adalah D = { x rad │x R }.

Jika = xo maka domain fungsi cosinus adalah D = { xo│x R }.

c) Fungsi Tangen

Jika = x rad, untuk x = 21

21 tan→ tidak didefinisikan atau

21tan R . demikian pula

untuk Bnnxx +=== ,xdst,,21

25

23 maka :

( ) Rn + 21tan .

Jadi domain dari fungsi tangen adalah ( ) RxBnnxx + ,,2121

Jika = xo maka domain fungsi tangen adalah BnnxRxx + ,18090,o

18

d) Fungsi Cotangen

Apabila = x rad, maka :

x = 0 → cot 0, tidak didefinisikan

x = → cot , tidak didefinisikan

x = 2 → cot 2 tidak didefinisikan, dst.

Jadi untuk x =, RnBn cot, , maka domain fungsi cotangen adalah

RxBnnxxD = ,,

Tetapi jika = xo maka domain fungsi cotangen adalah RxBnnxxD = ,,180o

e) Fungsi Secan

Apabila = x rad, maka :

x = 21 → sec

21 , tidak didefinisikan

x = 23 → sec

23 , tidak didefinisikan

x = 25 → sec 2

25 tidak didefinisikan, dst.

Jadi untuk x = 21 + n , ( ) RnBn +

21sec, , maka domain fungsi secan adalah

( ) ,,21,21 BnnnxRxxD +=

Tetapi jika = xo maka domain fungsi cotangen adalah

( ) BnnxRxxD += ,2190,o

f) Fungsi Cosecan

Apabila = x rad, maka :

x = 0 → csc 0, tidak didefinisikan

x = → csc , tidak didefinisikan

Jadi untuk x = n , RnBn csc, , maka domain fungsi cosecan adalah

RxBnnxxD = ,,

Tetapi jika = xo maka domain fungsi cosecan adalah RxBnnxxD = ,,180o

19

4. Grafik Fungsi Trigonometri Sederhana

a. Grafik Fungsi Sinus = { (x , y ) │y = sin x, xD} dengan D = { x│0 ≤ x ≤ 2 }

Untuk menggambar grafik tersebut, digambar titik-titik ( x , y ) dengan y = sin x untuk 0 ≤ x ≤

2 pada bidang koordinat cartesius. Jika titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva mulus

didapat grafik fungsi sinus.

x 0 61

31

21

32

65

87

34

23 …..

y 0 21 3

21 1 3

21 2

1 0 -21 3

21 - 1 ……

Untuk menunjukkan sifat periodik dari fungsi sinus, disini digambar dengan domain

( ) 22, − xyx terlihat bahwa periodik fungsi sinus adalal 2 . Selain itu terlihat pula

bahwa range fungsi sinus adalah 11 − yy dan nilai maksimun 1, nilai minimum 1.

b. Grafik Fungsi Cosinus { (x , y ) │y = cos x, xD} dengan D = { x│0 ≤ x ≤ 2 }

Dengan cara seperti di atas dapat digambar grafik fungsi cosinus sebagai berikut :

-1,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

-2 -23 - -

21 0

21

23

2

y

x

-1,5

-1

-0,5

0,5

1

1,5

-2 -23 - 0

21 2

23 -

21

20

Dari grafik fungsi cosinus dapat dilihat bahwa digambar dengan domain

( ) 22, − xyx bahwa periodik fungsi cosinus adalah 2 . Selain itu terlihat pula

bahwa range fungsi cosinus adalah 11 − yy dan nilai maksimun 1, nilai minimum 1.

Dari identitas cos x = sin ( )x+21 kita juga dapat menggambar grafik cosinus dari grafik sinus

dengan translasi ke kiri 21 de ngan arah sumbu x. hal ini mudah dilihat dari gambar di atas,

yaitu dengan mengeser ke kiri 21 dengan arah sumbu x.

Dengan demikian mudah diingat bahwa :

Periode, bentuk dan nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi cosinus sama dengan

fungsi sinus.

c. Grafik Fungsi Tangen = { (x , y )│y = tan x, xD} dengan Domain D = { x│- ≤ x ≤ , x ≠

- 21 , x ≠

21 }

Dari domain tersebut memberi keterangan kepada kita bahwa grafik tangen merupakan garis

lengkung yang terputus ( diskontinu) di titik dimana tan 21 dan tan -

21 tidak didefinisikan.

Dua garis sejajar yang mesing-masing tegak lurus sumbu x dengan persamaan x = - 21 atau x

= 21 disebut asimtot.

Untuk 0 ≤ x ≤ ,

Jika x → 21 dari kiri maka tan x → +∞ sehingga disebelah kiri asimtot grafik tangen naik .

Jika x → 21 dari kanan, maka tan x→ - ∞sehingga di kanan asimtot grafik tangen menurun.

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

- -

21

21

y

x

21

Demikian pula dengan interval - ≤ x ≤ 2 , x ≠ - 21 , x ≠

21 , disebelah kiri asimtot grafik

tangen naik dan disebelah kiri grafiknya turun.

Dari grafik tangen tersebut di atas jelas terlihat bahwa periode tangen adalah , rangen

Ryy sedang fungsi tangen tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum.

d. Grafik Fungsi Cotangen = { (x , y ) │y = cot x, xD} dengan Domain D ={ x│- ≤ x ≤ ,

x ≠ − , 0 , }

karena cotangen pada interval - ≤ x ≤ , cot ( - ) cot 0 dan cot tidak didefinisikan maka

grafik fungsi cotangen terputus ( diskontinu ). Asimtot fungsi cotangen adalah garis yang tegak

lurus sumbu x dengan persamaan x = − , x = 0 , dan x = .

Dari garik jelas bahwa periode cotangen adalah , sedangkan range Ryy dan tidak ada

nilai maksimum atau nilai minimum.

e. Grafik Fungsi Secan = { (x , y ) │ y = sec x, xD} dengan Domain D = { x│- 2 ≤ x ≤ 2

, x ≠ 23− ,

21− ,

21 ,

23 }

Asimtot secan adalah garis dengan persamaan x = 23− , x =

21− , x =

21 , atau x =

23

dalam interval - 2 ≤ x ≤ 2 . Dengan cara yang sama yaitu dengan menggambar beberapa

titik ( x, y ) , y = sec x, x D dapat digambar grafik secan dengan menghubungkan titik-titik

tersebut dengan kurva mulus.

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

- - 21

21

y

x

22

Dari identitas sec x = xcos

1dan batas nilai fungsi cosinus 1cos1 − x maka kita dapatkan

nilai 1cos

1atau1

cos

1−

xx. Sehingga batas nilai secan adalah atau1sec x 1sec −x .

Jadi periode secan adalah 2 , range 11 − yyRy .

f. Grafik Fungsi Cosecan = { (x , y ) │ y = csc x, x D} dengan Domain D = { x│- 2 ≤ x ≤

2 , x ≠ 2− , − , 0 , , 2 }

Dari identitas cosec x = xsin

1 dan batas nilai fungsi sinus adalah 1sin1 − x maka kita

dapatkan 1sin

1atau1

sin

1−

xx karena untuk x = n , n B cosec x tidak didefinisikan

maka untuk - 2 ≤ x ≤ 2 fungsi cosecan mempunyai asimtot garis x = 2− , x = − , x = 0

, x = , atau x = 2

Terlihat disini periode untuk cosecn adalah 2 sedang range 11 − yyRy

-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

-2 -

23 -

- 21

21

23

2

y

x

-2,5 -2,0

-1,5 -1,0 -0,5 0,0

0,5 1,0 1,5

2,0 2,5

-2 -

23 - -

21

21

23 2

y

x