8/20/2019 tulisan geometri

http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 1/4

4.2.2 Bidang Silinder

Bidang silinder adalah bidang yang dilukiskan oleh sebuag garis lurus,

yang selalu tetap mempunyai arah yang sama dan di dalam semua

kedudukannya memotong sebuah garis lengkung yang sama. Garis-garis yang

sejajar itu adalah garis garis lukis.

Perhatikan gambar 4.4 . Diketahui arah pelukis persamaan bidang silinder [a,b,c]

dan garis lengkung dasarnya c

!"#,y,$% & ', g"#,y,$% & '.

 (ika P "#', y', $'% pada c maka

) * "#', y', $'%

) g "#', y', $'%

Persamaan garis pelukis melalui P dengan arah [a,b,c]

) # & #' + a

) y & y' + b

) $ & $' + c

Dari hubungan-hubungan diatas, parameter- parameter di lenyapkan, akan

diperoleh persamaan bidang silinder yang diminta.

ontoh

 entukan persamaan bidang silinder dengan garis lengkung dasarnya $ & ', # /

+ y/ + $/ & 4 sedangkan pelukisnya [0,0,0]

 (a1ab 2isalkan P"#', y', $'% pada lingkaran dasar, maka

3' & ', #'/

 + y'/ + $'

/  & 4 .............................."0%

Persamaan garis pelukis adalah

# & #' + a atau #' & # 5

y & y' + b atau y' & y 5 ..........................."/%

$ & $' + c atau $' & $ 5

8/20/2019 tulisan geometri

http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 2/4

Dari "0% dan "/%, parameter-parameter dilenyapkan akan diperoleh

6/ + y/ + /$/ + /#$ /y$ 07 & '

 (adi, persamaan bidang silinder yang diminta adalah 6

/

 + y

/

 + /$

/

 + /#$ /y$ 07 & '

4.2.3 Bidang Atur

Bidang yang dilalui oleh sebuah garis lurus yang bergerak di dalam ruang

dengan aturan tertentu dinamakan sebuah bidang atur. ontohnya adalah

kerucut dan silinder yang termasuk jenis bidang atur.

2isal garis yang bergerak itu

6 & m$ + p ...................................."0%

 8 & n$ + 9 ......................................"/%

Persamaan bidang atur didapat dengan jalan mengeliminir m, n, p, dan 9. :ntuk

itu dibutuhkan ; persamaan lagi

<0 " m n p 9 % & ' .............................";%

</ " m n p 9 % & ' ............................."4%

<; " m n p 9 % & ' .............................."=%

Dari "0%, "/%, ";%, "4%, dan "=% m, n, p, 9 dieliminir, maka persamaan bidang atur

didapat. Bila garis yang bergerak itu memotong suatu garis, maka garis itu

disebut garis arah. Bila garis yang bergerak itu >> dengan suatu bidang maka

bidang itu disebut bidang arah.

ontoh

 entukan persamaan bidang atur yang terjadi karena suatu garis lurus bergerak

memotong garis

g0 ) y & ;, # & -/

g/ ) $ & /, # & -0

g; ) # & /, y & -/

 (a1ab

Persamaan garis yang memotong g0 dan g/

) "y-;% + "$+/% & ' atau & −( y−3)

 z+2  .........."0%

) "$-/% + ? "#+0% & ' atau ? & −( z−2

) x+1  .........."/%

8/20/2019 tulisan geometri

http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 3/4

@ubstitusikan # & /, y & -/ ke "0%, diperoleh

"-/-;% + "$+/% & ' ........A -= + $ + / & '

"$-/% + ? " /+0% & ' ........A $-/ + ;? & ' $ & /- ; ?

@ubstitusikan nilai $, diperoleh -= + "/-; ?% + / & ' atau

4 - ; ? - = & ' ...."%

Persamaan ini tidak mengandung perubahan #, y, $ dan disebut persamaan

syarat.

@ubstitusikan persamaan "% ke persamaan "% diperoleh

4 (3− y

 z+2)  ; (

3− y

 z+2)   (

2− z

 x+1)  -= & '

Dengan menyederhanakan persamaan diatas di peroleh /# + /y + 4$ 4#y

;y$ =#$ -07 & ', merupakan persamaan bidang atur yang diminta.

4.3. Bidang Kerucut Lingkaran Tegak, bidang Silinder Lingkaran Tegak 

dan Koordinat Homogen

4.3.1 Bidang Kerucut Lingkaran Tegak 

@uatu bidang kerucut lingkaran tegak terjadi jika sebuah garis lurus yang

bergerak melalui sebuah titik tetap tertentu "&puncak% serta membuat sudut

konstan "&setengah sudut puncak% dengan garis lurus tertentu yang melaluipuncak "&poros kerucut%.

Bagaimanakah cara menentukan persamaan bidang kerucut lingkaran tegak

dengan puncak "#0,y0,$0%, arah poros [a,b,c], dan setengah sudut puncak C

Eihat gambar 4.=, pilih titik P"#', y', $'% pada kerucut, arah P & #'  #0, y'  y0, $'

$0

8/20/2019 tulisan geometri

http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 4/4

@edangkan cos C &TP[a , b , c]

 I TP I [a , b , c ]

Dengan menjalankan "#', y', $'% diperoleh

)"#-#0%/

 + "y-y0%/

 + "$-$0%/

 5 )a/

 + b/

 + c/

5 cos/

C

& )a"#-#0% + "b"y-y0%% + c"$-$0%5/, merupakan persamaan yang diminta.

Dalam hal khusus

0% (ika puncak kerucut "',','%, persamaan menjadi "a# + by + c$%/  "a/ + b/ + c "#/ + y/ + $/ %

/% (ika puncak kerucut "',','% dan porosnya sumbu 3 "arah ',',0%,

persamaan menjadi 3/ & " #/ + y/ + $/ % cos/C atau #/ + y/ & $/ + tg/C

ontoh

 entukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya "',','%, poros

sumbu y dan setengah sudut puncak adalah 4='

 (a1ab

Puncak "',','% dan poros sumbu y "arah[',',']% persamaan kerucut

)a"#-#0% + "b"y-y0%% + c"$-$0%5/ & " a/ + b/ + c/ %)"#-#0%/  "y-y0%/ +"$-$0%/5 cos/C

2enjadi y/

 & 0"#/

+y/

+$/

% cos/

4='

  ........A y/

 & "#/

 + y/

 + $/

%

1

2

.........A 8/ &1

2  #/ +1

2 y/ +1

2 $/ ........A #/ + y/ + $/ & '