8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

1/8

TUGAS TEORI PELUANG LANJUTAN

ALIAH HAERUNNISA (H121 12 003)

PROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR 

2015

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

2/8

1. Metode Momen

 

Definii M!"en

Definii 1

Momen ke- r  dari peubah acak  x  disekitar 0  dinotasikan dengan μr  

dan didefinisikan sebagai berikut:

 μr= E ( x )=

{ ∑

 x

 xr

f ( x ) jika x diskrit 

∫−∞

∞

 xr f  ( x ) dx jika x kontinu

Dimana r=0,1,2,…

Definii 2

Momen ke-   r  dari peubah acak  x disekitar μ

 dinotasikan dengan

 μr= E [ ( x− μ )r ]={

 ∑ x

( x− μ)r f ( x) jika x diskrit 

∫−∞

∞

( x− μ)r f  ( x ) dx jikax kontinu

 

Ke#!n$e%&en'n M!"en

Te!%e"' 1

Misalkan{ X n}n≥ 1  dan  X   adalah koleksi dari variabel acak ∋    X n → X 

maka

  ∀ 0

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

3/8

(ii)  {| X n|}n ≥ 1  adalah uniformly integrable artinya

∀ ε>0,∃ M ε∈(0,∞)∋

¿n ≥1

 E (| X n|k  I (| X n|> M ε ))

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

4/8

Misalkan X 1 , X 2 , … , X  n  adalah sampel acak berukuran n  dari distribusi

dengan p.d.f.f  ( x ; θ1 ,θ2 , … , θn ) ,( θ1 , … , θn )∈Ω . Maka:

- Momen ke-k 

 dari distribusi adalah  E ( X k ) , k =1,2,3,…

- Momen ke-   k   dari sampel adalah !umlah  M k =∑i=1

n

 X ik 

n  , k =1,2,3,…

Metode momen adalah  E ( X k )= M k 

S-".e%/ R!.e% VH!&& A66en T 7%'i& 189: Mathematical Statistics. Unie

S'e/ P%eni*e H'66 Ine%n'i!n'6 In*

2 F-n&i Pe".'ni M!"en

#ungsi pembangkit momen (momen- generating function/m.g.f) adalah

salah satu ekspektasi khusus dari variabel acak  X  .

"ika terdapat bilangan positif  sedemikian sehingga untuk 

−

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

5/8

$kspektasi di atas (   E (!tX )¿  disebut fungsi pembangkit momen (m.g.f)

dari distribusi dan dinotasikan  M (t ) . %ehingga:

 M (t )= E (!tX )

 M (t )  dapat digunakan untuk mencari variansi dan rata- rata yaitu:

•  M 

& (0 )= E ( x )= μ

•  ' 

2= E ( x2 )− μ2

¿ M &&  (0 )−( M &  (0 ))2

ontoh:

Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial:

 P ( x )=(n x) ( x(1− ()n− x

 M (t )= E ( !tX )=∑ x=0

n

!tX 

 (( x )  

¿∑ x=0

n

!tX (n x ) (

 x (1− ()n− x

 

 (!

(n x)(¿¿ t ) x (1− ()n− x

¿∑ x=0

n

¿

  ¿( ( !t +1− ()n

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

6/8

 μ= M &  (0)

 M & (t )=n( ( !t +1− ()n−1 ( ! t 

( ( !0+1− ()n−1 ( !0

 M & (0 )=n¿

  ¿n( (+1− ()n−1

 (

¿n(

 μ=n(

' 2= M & & (0 )−( M & (0 ) )2

 M &&  ( t )=n (n−1 ) ( ( !t +1− ()n−2( ( !t )2+n( ( !t +1− ()n−1 ( !t 

 M &&  (0 )=n (n−1 ) ( ( !0+1− ( )n−2( ( !0)2+n( ( !0+1− ()n−1  ( !0

  ¿n (n−1 ) (2+ (n

"adi ' 2=n (n−1 ) (2+n(−n2 (2=n((1− ()

3 Gene%'6i'i Me!e M!"en

Generalized Method of Moments(&MM) adalah generalisasi dari Method

of Moment  (MM) klasik. 'unci dari &MM adalah himpunan dari populasi

kondisi-kondisi momen (moment conditions) yang berasal dari asumsi model

ekonometrik.

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

7/8

ontohnya:

ada regresi linier klasik 

 ) t = xt &  *+!t 

dimana   x t =( x1t  , …, xmt )& 

adalah vektor berukuran-   m  dari variabel pen!elas

dan  *  adalah vektor berukuran- m  dari koefisien regresi , dan!t   adalah

error term.

'ondisi- kondisi momennya adalah:

(i) ar [ !t ]=' 2  konstan untuk setiap t 

(ii)   E [( )t − xt &  * ) x t ]= E [ !t  x t  ]=0  untuk setiap t 

(iii)  E [ !t !u ]=0  untuk setiap t + u

'ondisi momen (ii) adalah kondisi kunci dalam estimasi  *

"ika diberikan data pada variabel observasi, &MM menemukan nilai

 parameter model sedemikian sehingga sesuai kondisi-kondisi momen sampel

sedekat mungkin memuaskan.

ada contoh di atas dengan hanya menggunakan kondisi (ii) , !ika

diberikan    observasi, secara tidak langsung momen sampel adalah

1

 ∑t =1

 

( ) t − x t &  * ) xt 

dan memilih nilai^ *  dari

 * sedemikian sehingga

1

 ∑t =1

 

( ) t − x t &  ^ * ) xt -0

8/17/2019 Tugas Teopelan Fix

8/8

#aktanya, dengan syarat ≥ m ,  pilih^ *=( X &  X )−1 X &  )  (estimator *+%),

kondisi momen secara empiris cukup memuaskan. ngat baha

∑t =1

 

( ) t − xt &  * ) x t = X 

&  )−( X &  X ) *

Dimana  X   adalah matriks (   x m¿  dengan  x t & 

 pada garis t   dan

 ) t =( )1 , … , ) )& 

. %ehingga estimasi *+% dan &MM pada kasus ini sama.

$stimasi &MM dirumuskan oleh ansen (1/0) dan men!adi salah satu

metode estimasi yang banyak digunakan untuk model ekonomi dan keuangan.

2idak seperti ma3imum likelihood estimation (M+$), &MM tidak perlu

megetahui distribusid ari data. ada &MM yang dibutuhkan hanya momen yang

ditetapkan4 diperoleh dari distribusi data untuk estimasi &MM.