8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
1/8
TUGAS TEORI PELUANG LANJUTAN
ALIAH HAERUNNISA (H121 12 003)
PROGRAM STUDI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR
2015
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
2/8
1. Metode Momen
Definii M!"en
Definii 1
Momen ke- r dari peubah acak x disekitar 0 dinotasikan dengan μr
dan didefinisikan sebagai berikut:
μr= E ( x )=
{ ∑
x
xr
f ( x ) jika x diskrit
∫−∞
∞
xr f ( x ) dx jika x kontinu
Dimana r=0,1,2,…
Definii 2
Momen ke- r dari peubah acak x disekitar μ
dinotasikan dengan
μr= E [ ( x− μ )r ]={
∑ x
( x− μ)r f ( x) jika x diskrit
∫−∞
∞
( x− μ)r f ( x ) dx jikax kontinu
Ke#!n$e%&en'n M!"en
Te!%e"' 1
Misalkan{ X n}n≥ 1 dan X adalah koleksi dari variabel acak ∋ X n → X
maka
∀ 0
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
3/8
(ii) {| X n|}n ≥ 1 adalah uniformly integrable artinya
∀ ε>0,∃ M ε∈(0,∞)∋
¿n ≥1
E (| X n|k I (| X n|> M ε ))
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
4/8
Misalkan X 1 , X 2 , … , X n adalah sampel acak berukuran n dari distribusi
dengan p.d.f.f ( x ; θ1 ,θ2 , … , θn ) ,( θ1 , … , θn )∈Ω . Maka:
- Momen ke-k
dari distribusi adalah E ( X k ) , k =1,2,3,…
- Momen ke- k dari sampel adalah !umlah M k =∑i=1
n
X ik
n , k =1,2,3,…
Metode momen adalah E ( X k )= M k
S-".e%/ R!.e% VH!&& A66en T 7%'i& 189: Mathematical Statistics. Unie
S'e/ P%eni*e H'66 Ine%n'i!n'6 In*
2 F-n&i Pe".'ni M!"en
#ungsi pembangkit momen (momen- generating function/m.g.f) adalah
salah satu ekspektasi khusus dari variabel acak X .
"ika terdapat bilangan positif sedemikian sehingga untuk
−
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
5/8
$kspektasi di atas ( E (!tX )¿ disebut fungsi pembangkit momen (m.g.f)
dari distribusi dan dinotasikan M (t ) . %ehingga:
M (t )= E (!tX )
M (t ) dapat digunakan untuk mencari variansi dan rata- rata yaitu:
• M
& (0 )= E ( x )= μ
• '
2= E ( x2 )− μ2
¿ M && (0 )−( M & (0 ))2
ontoh:
Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial:
P ( x )=(n x) ( x(1− ()n− x
M (t )= E ( !tX )=∑ x=0
n
!tX
(( x )
¿∑ x=0
n
!tX (n x ) (
x (1− ()n− x
(!
(n x)(¿¿ t ) x (1− ()n− x
¿∑ x=0
n
¿
¿( ( !t +1− ()n
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
6/8
μ= M & (0)
M & (t )=n( ( !t +1− ()n−1 ( ! t
( ( !0+1− ()n−1 ( !0
M & (0 )=n¿
¿n( (+1− ()n−1
(
¿n(
μ=n(
' 2= M & & (0 )−( M & (0 ) )2
M && ( t )=n (n−1 ) ( ( !t +1− ()n−2( ( !t )2+n( ( !t +1− ()n−1 ( !t
M && (0 )=n (n−1 ) ( ( !0+1− ( )n−2( ( !0)2+n( ( !0+1− ()n−1 ( !0
¿n (n−1 ) (2+ (n
"adi ' 2=n (n−1 ) (2+n(−n2 (2=n((1− ()
3 Gene%'6i'i Me!e M!"en
Generalized Method of Moments(&MM) adalah generalisasi dari Method
of Moment (MM) klasik. 'unci dari &MM adalah himpunan dari populasi
kondisi-kondisi momen (moment conditions) yang berasal dari asumsi model
ekonometrik.
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
7/8
ontohnya:
ada regresi linier klasik
) t = xt & *+!t
dimana x t =( x1t , …, xmt )&
adalah vektor berukuran- m dari variabel pen!elas
dan * adalah vektor berukuran- m dari koefisien regresi , dan!t adalah
error term.
'ondisi- kondisi momennya adalah:
(i) ar [ !t ]=' 2 konstan untuk setiap t
(ii) E [( )t − xt & * ) x t ]= E [ !t x t ]=0 untuk setiap t
(iii) E [ !t !u ]=0 untuk setiap t + u
'ondisi momen (ii) adalah kondisi kunci dalam estimasi *
"ika diberikan data pada variabel observasi, &MM menemukan nilai
parameter model sedemikian sehingga sesuai kondisi-kondisi momen sampel
sedekat mungkin memuaskan.
ada contoh di atas dengan hanya menggunakan kondisi (ii) , !ika
diberikan observasi, secara tidak langsung momen sampel adalah
1
∑t =1
( ) t − x t & * ) xt
dan memilih nilai^ * dari
* sedemikian sehingga
1
∑t =1
( ) t − x t & ^ * ) xt -0
8/17/2019 Tugas Teopelan Fix
8/8
#aktanya, dengan syarat ≥ m , pilih^ *=( X & X )−1 X & ) (estimator *+%),
kondisi momen secara empiris cukup memuaskan. ngat baha
∑t =1
( ) t − xt & * ) x t = X
& )−( X & X ) *
Dimana X adalah matriks ( x m¿ dengan x t &
pada garis t dan
) t =( )1 , … , ) )&
. %ehingga estimasi *+% dan &MM pada kasus ini sama.
$stimasi &MM dirumuskan oleh ansen (1/0) dan men!adi salah satu
metode estimasi yang banyak digunakan untuk model ekonomi dan keuangan.
2idak seperti ma3imum likelihood estimation (M+$), &MM tidak perlu
megetahui distribusid ari data. ada &MM yang dibutuhkan hanya momen yang
ditetapkan4 diperoleh dari distribusi data untuk estimasi &MM.