Kecepatan awalnya v0. Sudut θ0 ditetapkan π /4 rad. Setiap kurva akan berulang

kembali dalam selang waktu yang sama dengan periode T. selama waktu itu, sudut ωt

bertambah sebesar 2 π rad. Ingat, bahwa apabila benda itu berada di salah satu ujung

lintasannya, yaitu apabila koordinat x mempunyai harga positif atau negative yang

maksimum (± A ), kecepatannya nol dan percepatannya mencapai harga negative atau

atau positif maksimumnya (± amax). Ingat pula, bahwa ketika benda itu melewati

posisi kesetimbangannya (x = 0), kecepatannya mempunyai harga positif atau

negative maksimumnya (± V max) dan percepatannya nol.

Persamaan-persamaan gerak akan lebih sederhana bentuknya bila t kita

tetapkan dengan 0 ketika benda itu berada di titik pertengahan atau di salah satu

ujung lintasannya. Misalnya, kalau kita buat t = 0 ketika benda itu mencapai

simpangan positif maksimumnya, maka x0 + A, sin θ0 = 1, θ0 =π /2, dan

X = A sin (ωt+ π /2) = A cos ωt ,

V = -ωA sin ωt ,

A =−ω2 A cos ωt . (11-18)

Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal koordinat dari titik 0 ke

titik 0֨ pada gambar 11-5. Grafik x lawan t akan menjadi kurva cosinus, gravik v

lawan t menjadi kurva sinus negative, dan grafik a menjadi kurva cosinus negative.

Jika kita buat t = 0 ketika benda berada di titik pertengahannya sedang

bergerak menuju kea rah kanan, maka :

x0 = 0, sin θ0 = 0 θ0 = 0

dan

X = A sin ωt ,

V = ωA cosωt ,

A =−ω2 A sin ωt . (11-19)

Ini sama artinya dengan memindahkan titik pangkal dalam gambar 11-5 ke titik 0’’.

Contoh :

Andaikan massa benda pada gambar 11-2 25 g. konstanta gaya k=400 dyn cm -2, dan

gerak di mulai dengan perpindahan benda itu 10 cm ke sebelah menuju ke kanan.

Hitunglah :

(a) periode T (f) sudut (θ0)

(b) frekuensi (f) (g) kecepatan maksimum (Vmax)

(c) frekuensi sudut (ω) (h) percepatan maksimum (amax)

(d) energy total (E) (i) koordinat, kecepatan, dan percepatannya π /8

(e) amplitudo (A) sek setelah gerak di mulai.

Penyelesaian :

a.) T=2 π √ mk

¿2 π √ 25 g400 dyncm−1 ¿

π2

s=1,57 s

b.) f = 1T

= 2π

Hz=0,638 Hz

c.) ω=2 πf =4 rad s−1

d.) E=12

m v02+ 1

2kx0

2=40,000 erg

e.) A=√ 2 Ek

¿10√2cm

f.) sin θ0=x 0A

=1/√2 , θ0=π4

rad

g.) |V m ax|=√2 E /m ¿40 √2cm sek−1=56,6 cm sek−1

Kecepatan maksimum terjadi di titik tengah, dimana x=0. Jadi berdasarkan

persamaan (11-12)

|V max|=ωA ¿40 √2cm s−1

h.) Percepatan maksimum terjadi pada ujung-ujung lintasan dimana gaya adalah

maksimum. Berdasarkan persamaan (11-15)

|amax|=ω2 xmax ¿160√2cm s−2

i.) Persamaan-persamaan gerak adalah :

x=10√2 sin(4 t+ π4 )

x=40√2 cos (4 t+ π4 )

x=−160√2 sin(4 t+ π4 )

Waktu t=π8

sek , sudut fase ialah

(4 t+ π4 )=3 π

4rad ,

x=10√2 sin( 3 π4 )=10 cm

v=40√2 sin( 3 π4 )=−40 cm s−1

a=−160√2sin (3 π4 )=−160 cm s−2

Kurva-kurva pada Gambar 11-5 menyatakan gerak benda di dalam contoh ini,

jika skala-skala x,v,a dan t demikian rupa sehingga

x=10√2 cm, V max=40 √2 cm s−1

amax ¿−160√2 cm s−2, dan T = π2

s

persamaan-persamaan grafik harmoni sederhana dapat dijelaskan dengan

interpretasi geometri sebagai berikut. Andaikan segmen garis OQ pada gambar

11-6 (a), yang panjangnya sama dengan amplitude A, berputar dengan kecepatan

sudut ω terhadap titik O. segmen garis yang berputar itu sering dinamakan vector

yang berputar, padahal bukan merupakan besaran vector. Artinya, dalam diagram

ada arahnya tertentu, tetapi dalam ruang tidak ada arah tertentu. Vector seperti

Gambar, 11-6, Gerak harmonic sederhana memproyeksi ujung rotor OQ pada

sumbu bertikal

Ini lebih baik disebut rotor. (dalam bahasa Jerman “Zeiger”, yaitu, jarum petunjuk

jam atau pepenunjuk ukuran tekanan). Andaikan waktu t = 0, rotor OQ membentuk

sudut dengan sumbu horizontal yang sama besarnya dengan sudut fase awal θ0. Titik

P ialah proyeksi titik O ke atas sumbu vertical, dan jika OQ berputar, maka titik P

berosila sepanjang sumbu ini.

Sekarang akan dibuktikan bahwa persamaan-persamaan gerak P sama seperti

persamaan-persamaan gerak benda yang berosilasi menurut gerak harmonic

sederhana yang amplitudonya A, frekuensi ω, dan sudut fase awalnya θ0.

Umpamakan x menyatakan panjang OP. pada setiap saat t, sudut antara jari-jari OQ

dan sumbu horizontal sama besar dengan sudut fase ωt+θ0 dan

x=A sin (ωt+θ0 )

Kecepatan titik Q (lihat Gambar 11-6b), ialah ωA , dan komponen verticalnya, yang

sama dengan kecepatan P, ialah :

v=ωA cos (ωt+θ0 )

Percepatan Q ialah percepatan radialnya ω2 A (liat Gambar 11-6 c) dan komponen

vertikalnya, sama dengan percepatan P, ialah :

a=−ω2 A sin (ωt+θ0 )

Tanda negative haruslah dimasukkan, sebab percepatan akan negative bila

sinus fase sudutnya positif, dan sebaliknya. Persamaan-persamaan di atas merupakan

persamaan-persamaan gerak umum gerak harmonic. Dalam kejadian khusus yang

sesuai dengan persamaan (11-18), sudut fase awal ialah 90o dan titik patokan Q

berada didalam puncak lingkaran ketika t = 0. Jika titik patokan itu berada di ujung

sebelah kanan diameter horizontal ketika t = 0, maka θ0=0 dan gerak dituliskan

menurut persamaan (11-19).

11-5 Gerak benda yang tergantung pada pegas sulur

Gambar 11-7(a) memperlihatkan sebuah pegas sulur yang konstanta gayanya k dan

panjangnya tanpa beban ℓ. Apabila sebuah benda bermassa m diikatkan pada pegas

Seperti dalam bagian (b), benda itu akan menggantung dalam keadaan setimbang

dengan pegas itu, yang akan bertambah panjang sebesar ∆ℓ demikian rupa sehingga

gaya ke atas P yang dilakukan oleh pegas sama dengan berat benda, mg. karena

P=k ∆ l, maka

k ∆l=mg

Sekarang umpamakan benda berada pada jarak x diatas posisi

kesetimbangannya, seperti pada gambar bagian (c). Maka perpanjangan pegas kini

ialah ∆ l−x , gaya keatas yang dilakukan pegas pada benda itu ialah k ( ∆l−x ) , dan

gaya resultan F pada benda ialah

F=k (∆ l−x )−mg=−kx

Oleh karena itu gaya resultan sebanding dengan perpindahan benda dari posisi

kesetimbangnnya, dan jika terjadi gerak vertical, benda itu akan berosilasi dengna

frekuensi sudut ω √ km

.

Terkecuali dalam keadaan ideal, yaitu jika pegas bermassa nol, bahwasannya

pegas itu juga berasosila harus pula diperhitungkan. Akan tetapi, kita tidak dapat

begitu saja menambahkan massa pegas pada massa benda yang tergantung itu, sebab

tidak seluruh bagian pegas itu berosila dengan amplitude yang sama: amplitude pada

ujug bawah sama dengan amplitude benda yang tergantung itu, sedangkan amplitude

ujung atasnya nol. Angka koreksinya dapat dihitung sebagai berikut.

Andaikan L menyatakan panjang pegas ketika benda berada pada posisi

kesetimbangannya, dan mp massa pegas (spring) itu. Mari kita hitung energy kinetic

pegas pada suuatu saat ketika kecepatan ujung bawahnya v. pandang elemen pegas

yang panjangnya dy, pada jarak y di bawah ujung atas yang tetap. Massa elemen, dm p

ialah

dms=ms

Ldy

Seluruh bagian pegas diumpamakan berosila sama fase dan kecepatan elemen, vp,

proporsional dengan jaraknya dari ujung tetap itu : Vp = (y/L) v.

Energy kinetic total pegas itu ialah :

dEk=¿

12

.dms .v s2=

12

.ms

L s

dy.( yL )

2

¿,

Dan energy kinetic total pegas itu ialah :

E k=12

.ms

L3

.∫0

1

y2 dy=12 ( 1

3ms) v2.

Ini sama dengan energy kinetic sebuah benda yang massanya sepertiga massa pegas

itu, yang bergerak dengan kecepatan yang sama seperti kecepatan benda yang

tergantungkan itu. Dengan lain perkataan, massa ekivalen system yang bergetar, sama

dengan massa benda yang tergantung di tambah sepertiga massa pegas.

Contoh :

Sebuah benda bermassa 1 kg digantungkan pada sebuah pegas sulur yang massanya

0,09 kg dan konstanta gayanya 66 N m-1. Hitunglah frekuensi dan amplitude gerak

yang terjadi jika benda itu turun sejauh 0,03 m di bawah posisi kesetimbangannya

dan memperoleh kecepatan ke baah sebesar 0,4 m s-1. Frekuensi sudutnya ialah :

ω=√ k

m+ms

3

=¿√ 66 N m−1

1,03 kg=¿8,00 radisek−1 ¿¿

Amplitudonya dirumuskan dalam bentuk koordinat dan kecepatan awal dengan

menggunakan persamaan (11-17). Jadi,

A=√x02+¿¿ ¿√¿¿ = 0,0582 m.

11-6 Ayunan matematis

Ayunan matematis (disebut juag ayunan sederhana) didefinisikan sebagai sebuah

partikel yang tergantung pada suatu titik tetap dari seutas tali yang tidak mempunyai

berat dan tidak dapat bertambah panjang. Bila ayunan itu bergerak dari vertical

sehingga membuat sudut θ, seperti pada Gambar 11-8, maka gaya pemuliahnnya

ialah mg sin θ, dan simpangan s dari posisi kesetimbangannya sama dengan Lθ,

dimana L ialah panjang tali dan θ di ukur dalan radian. Karena itu geraknya bukan

harmonic, karena gaya pemulihannya itu proporsional dengan sin θ, sedangkan

Gambar 11-8, Gaya-gaya yang bekerja terhadap bandul ayunan matematis

Simpangannya proporsional dengan θ, dan gaya-gaya akan menjadi

F ≈−mgθ ≈(mgL )s

Karena itu konstanta gaya efektif ialah k = mg/L, dan periodenya :

T ≈ 2 π √m /k ≈ 2 π √L/ g . (11-20)

Dapat dibuktikan bahwa persamaan eksak untuk periode, bila simpangan sudut

maksimum θ, diberikan oleh deret tak terhingga

T ≈ 2 π √ Lg (1+ 12

22 sin2 ∅2

+ 12 .32

22 . 42 sin4 ∅2

+…) (11-21)

Periode dapat dihitung sampai tingkat ketelitian yang diinginkan dengan mengambil

suku secukupnya dalam deret itu. Bila ∅=15o, periode sejati akan berbeda dari

periode berdasarkan persamaan (11-20); bedanya kurang dari 0,5%.

Penetapan ayunan itu untuk pencatat waktu (jam), adalah berdasarkan bahwa

periodenya praktis tidak bergantung pada amplitudonya. Jadi, jika sebuah jam bandul

semakin lambat ayunannya dan jika amplitudonya semakin kecil, jam itu tetap akan

meninjukkan waktu yang sangat hamper tepat.

Ayunan matematis juga merupakan suatu metode yang teliti dan mudah untuk

mengukur percepatan gaya berat,g, tanpa memanfaatkan benda jatuh bebas, karena L

dan T dapat mudah diukur. Ayunan yang dibuat lebih seksama banyak dipakai dalam

bidang geofisika. Endapan bijih besi atau minyak di suatu tempat, jika kerapatannya

berbeda dengan kerapatan bahan-bahan di sekelilingnya, mempengaruhi harga g di

tempat itu, dan hasil pengukuran yang teliti harga g ini diseluruh daerah yang sedang

di selidiki, sering memberikan informasi tentang sifat endapan itu.

Gambar 11-9 merupakan foto multiflash atas satu kali gerak ayunan matematis

Gambar,11-9. Satu kali gerak ayunan matematis

11-7 Gambar Lissajous

Garis-garis lengkung yang dikenal dengan nama gambar Lissajous merupakan

tempuhan sebuah partikel yang berosilasi sekaligus dalam dua arah yang saling tegak

lurus. Pada umumnya, amplitude dan frekuensi getaran dalam tiap arah dapat

berbeda, dan kedua getaran dapat pula mempunyai beda fase awal.

Gambar, 11-10. Ayunan berganda untuk menghasilkan gambar Lissanjous

Bola ayunan dalam gambar 11-10, yang tergantung pada tiga tali yang membentuk

huruf , melukiskan salah satu cara menghasilkan gerak osilasi semacam itu, bila

bergetar dalam arah x, seperti pada (a), frekuensinya sama seperti ferkuensi ayunan

sederhana yang panjangnya L1. Dalam arah y, frekuensinya sama seperti frekuensi

yang ayunan panjangnya L2. Jika serentak disimpangkan kea rah x dank e arah y lalu

dilepaskan, bola itu akan bergetar sekaligus dengan kedua frekuensi.

Bintik pada layar tabung sinar-katode, yang terjadi akibat tumbukan arus electron

yang bergerak cepat, juga akan bergerak membentuk gambar Lissanjous bila pelat

penyimpangan horizontal dan vertical sekaligus diberi tegangan bolak-balik

sinusoidal.

Rumus umu untuk koordinat x dan koordinat y partikel yang bergetar itu ialah :

x=Ax sin ( ωx t+θ1 ) , y=A y sin (ω y t +θ2 ) ,

Dimana Ax dan Ay ialah amplitudonya, ωx dan ω y ialah frekuensi angular yang

sesuai, dan θ1 dan θ2 adalah sudut awalnya. Ini merupakan persamaan lintasan dalam

bentuk parameter.

Gambar,11-11. Gambar Lissajous dijelaskan secara grafik

Persamaan-persamaan diatas dijelaskan secara grafik oleh diagram rotor pada

Gambar 11-11. Koordinat x ujung rotor pada diagram sebelah bawah memberikan

koordinat x partikel yang sedang bergetar, dan koordinat y ujung rotor diagram diatas

memberikan koordinat y nya. Jadi dengan memproyeksi keatas, dan menyilang dari

ujung-ujung rotor ini, maka posisi partikel itu pada setiap saat ditentukan. Diagram

itu memperlihatkan posisi parrtikel pada saat t = 0 pada suatu saat t kemudian.