PEMBAHASAN SOAL BILANGAN KOMPLEKS

Mata Kuliah : Kalkulus

Dosen : Afri Yudamson, S.T., M.Eng.

Disusun Oleh Kelompok 5:

-Andre Perioza Herpa (1415061004)

- Ayu Rizki Ananda (1415061009)

- Dessy Maya Sary (1415061013)

- Meri Fitriani (1415061027)

-Nadya Irena Habib (1415061032)

-Wulan Rahma Izati (1415061040)

Jurusan Teknik Informatika

Fakultas Teknik Universitas Lampung

Bandar Lampung

23 Desember 2014

BILANGAN KOMPLEKS

Latihan Ujian 1

Anda akan menemukan pertanyaan-pertanyaan ini sangat singkat dan mudah.

1. Sederhanakanlah: (a) j3

(b) j5

(c) j12

(d) j14

Jawab

(a) j3 => ( j )

2 j cat: j = √ , j

2 = -1 , j

4 = 1

= -1 . j

= - j

(b) j5 => ( j )

4 j

= 1 . j

= j

(c) j12 => ( j

4 )

3

= 13

= 1

(d) j14 => ( j

4 )

3 . j

2

= 13 . (-1)

= - 1

2. Nyatakanlah dalam bentuk a+jb.

(a) (4 – j7) (2 + j3) (b) ( -1+j )2

(c) (5 + j2) (4 – j5) (2 + j3) (d)

Jawab

(a) (4 – j7) (2 + j3) Cat: (a+jb)(c+jd) = ac+jbc+jad+j²bd

= 8 – j14 + j12 - j²21

= 8 – j2 – (-1) 21

= 8 – j2 + 21 => 29 – j2

(b) ( -1+j )2

= ( -1+j ) ( -1+j )

= 1 – j – j + j2

= 1 – j – j – 1 => -2j

(c) (5 + j2) (4 – j5) (2 + j3) Cat: (a+jb)(c+jd)(e+jf) = ac+jbc+jad+j²bd+ae+jbe+jaf+ j²bf+ce+jde+jcf+ j²df

= 20 + j8 – j25 – j210 + 10 + j4 + j15+ j

26 + 8 – j10 + j8 – j

215

= 20 + 10 + 8 + j8 – j25 + j4 + j15 – j10 + j8 – j210 + j

26 – j

215

= 38 – j219

(d)

=

=>

=

=> j10

3. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan:

(x + y ) + j(x – y) = 14,8 + j6,2

Jawab

(x + y ) + j(x – y) = 14,8 + j6,2 Cat: a + jb = c + jd => a – c = j(d – b)

x + y = 14,8 , x – y = 6,2 a = c , d = b

x+y = 14,8

x-y = 6,2 _

2y = 8,6

y = 4,3 , x = 14,8 – (y) = 14,8 – 4,3 = 10,5

berarti nilai x = 10,5 dan y = 4,3

4. Nyatakanlah dalam bentuk polar

(a) 3 + j5 (b) -6 + j3 (c) -4 – j5

Jawab

Cat: s j, cos sin

√ tan-1

, Identitas Euler: e

jcos j sin

Representasi polar dari bilangan kompleks: s e j

(a) 3 + j5

s√ √

tan-1

0.25 rad

Representasi polar adalah: s = √ e j0,25

(b) -6 + j3

s√ √

tan-1 -1.107 rad

Representasi polar adalah: s = √ e j-1.107

(c) -4 – j5

s√ √

tan-1

0.265 rad

Representasi polar adalah: s = √ e j0.265

5. Nyatakanlah dalam bentuk a + jb

(a) 5 (cos 225o + j sin 225

o)

(b) 4 |330o

Jawab

(a) 5 (cos 225o + j sin 225

o)

= 5 (-0,70711 - j 0,70711 )

= - 3.535533905 - j 3.535533905

(b) 4 |330o

= 4 ( cos 330o + j sin 330

o)

= 4 ( 0,866025 – j 0,5 )

= 3.4641 – j 2

6. Nyatakanlah dalam bentuk eksponensial :

(a) Z1 = 10 |37o15’ dan (b) Z2 = 10 |322

o45’

Dari sini tentukanlah ln z1 dan ln z2

Jawab Cat: Eksponensial = e j

(a) Z1 = 10 |37o15’

= 10 e j37*15

(b) Z2 = 10 |322o45’

= 10 e j322*45’

7. Nyatakanlah z = e1 + jπ/2 dalam bentuk a + jb

Jawab Cat: e = 2.71828183.

z = e1 + jπ/2 => e1 x e jπ/2

=e1 ( Cos π/2 + j Sin π/2 )

= e1( -0,5 + j 1)

= 2.71828183 ( -0,5 + j 1)

= - 1.359140915 + j 2.71828183

Soal-soal lanjutan 1

-----------------------------------------------------------------------------------------

1. Sederhanakanlah:

(a) (5 + j4) (3 + j7 ) (2 – j3) (b)

(c)

Jawab

(a) (5 + j4) (3 + j7 ) (2 – j3)

= ( 15 + j35 + j12 + j2 28 ) ( 2 – j3 )

= 30 – j45 + j70 – j2 105 + j24 – j

2 36 + j

2 56 – j

3 84

= 30 + j49 – j2 85 – j

3 84

= 30+ j49 + 85 + j84

= 115 + j133

(b)

=>

=

x

=

=

(c)

=

x

=

=

=

2. Nyatakanlah

+

dalam bentuk a + jb..

Jawab

+

=

=

x

=

3. Jika z =

+

nyatakanlah z dalam bentuk a + jb.

Jawab

z =

+

=>

=

+

=>

=

4. Jika z =

, carilah bagian real dan bagian imajiner bilangan kompleks z +

.

Jawab

z =

=> z +

=

+

=>

5. Sederhanakanlah (2 + j5 +

, dengan menyatakan hasil-hasilnya dalam

bentuk a + jb.

Jawab

(2 + j5 +

- j (4 – j6) =

– J (4 – j6)

=

=

=

x

=

=

6. Jika z1 = 2 + j1 z2 = - 2 + j4 dan , tentukanlah nilai z1 dalam bentuk a + jb. Jika z1, z2, z3

digambarkan pada diagram Argand masing-masing oleh titik P,Q,R, buktikanlah bahwa R

merupakan kaki garis tegak lurus dari titik asal pada garis PQ.

Jawab

=

-

=

=

x

=

=

z3 =

x

z3 =

z3=

7. Titik-titik A, B, C, D, pada diagram Argand, masing-masing menggambarkan bilangan

kompleks 9 + j , 4 + ji3 , -8 + j8 , -3 – j4. Buktikan bahwa ABCD merupakan

bujursangkar.

R p

8. Jika ( 2 + j3) (3 – j4) = x + jy, tentukanlah nilai x dan y.

Jawab

( 2 + j3) (3 – j4) = x + jy

= 6 – j8 + j9 - 12

= 6 + j + 12

= 18 + j

9. Jika (a + b) + j(a – b) = (2 + j5 + j(2 – j3), carilah nilai-nilai a dan b.

Jawab

(a + b) + j(a – b) = (2 + j5 + j(2 – j3)

(a + b) + j(a – b) = 4 + j20 + + j2 -

(a + b) + j(a – b) = 4 + j20 – 25 + j2 + 3

(a + b) + j(a – b) = 18 + j22

a + b = -18 a – b = 22

a = -18 – b 18 –b –b = 22

a = 2 - 2b = 40 , b = -20

10. Jika x dan y berupa real. Selesaikanlah persamaan

=

Jawab

=

+ j3xy = (3x +j4) (1 + jy)

+ j3xy = 3x + j4 – 4y

= 3x + j4 – 4y

J( – 4) = 3x- 4y

11. Jika z =

,dengan a,b, c dan d merupakan kuantitas real, tunjukkan bahwa (a) jika z

real maka

=

dan (b) jika z semuanya imajiner maka

= -

.

Jawab

z =

,

12. Diketahui bahwa (a + b) + j(a – b) = (1 + j) + j(2 + j), dapatkanlah nila-nilai a dan b.

Jawab

(a + b) + j(a – b) = (1 + j) + j(2 + j) a + b = -1 a - b = 4

= 1 + j2 + j2 + a = -1 –b -1-b-b = 4

= 1 + 4j -1 -1 a = -1 – (-2,5) -2b = 5

= -1 + j4 a = 1,5 b = -2,5

13. Nyatakanlah ( -1 + j ) dalam bentuk re jdi mana r positif dan .

Jawab

-1 + j => r = √ = √

-1 + j => √ e- j

arc tan (

)

= - 45o