Tugas Pengantar Ilmu Komputer

Pengertian Semua MAPEL TI Semester 1

Di buat Oleh : Kharis Theosophi .M.N (1342101281) Nama Dosen :Jatmika.S.Si.M.Kom

FAKULTAS FISKOMPROGRAM TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS KRISTEN IMMANUEL2013

LOGIKA INFORMATIKA

Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan matematikawan maupun para ahli merupakan hal yang sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka akan berusaha untuk mengaitkan suatu fakta atau data dengan fakta atau data lainnya melalui suatu proses penalaran yang sah atau valid. Ada pernyataan menarik yang dikemukakan Presiden AS Thomas Jefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: “In a republican nation, whose citizen are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of reasoning becomes of first importance.” Pernyataan ini menunjukkan pentingnya logika, penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan sehingga setiap orang akan dapat melihat dan menyelesaikan sesuatu hal ataupun masalah dengan daya nalar (otak) bukan dengan otot. Di samping itu, ada pernyataan lain dari Juliana Geran Pilon yang senada dengan Presiden AS tadi: “Civilized life depends upon the success of reason in social intercourse, the prevalence of logic over violence in interpersonal conflict.” Dua pernyataan di atas telah menunjukkan bahwa logika merupakan ilmu yang sangat penting dipelajari.

Dalam dunia informatika dan ilmu komputer, logika mempunyai peranan sangat mendasar dalam perkembangan teknologi komputer, karena logika digunakan dalam berbagai aspek di lingkungan komputer seperti pada Arsitektur Komputer, Pemrograman, Basisdata, dan sebagainya. Di bidang Arsitektur Komputer, logika digunakan dalam membangun komputer itu sendiri karena sirkuit komputer hanyalah berupa serangkaian kombinasi logik dari beberapa bit untuk membentuk instruksi. Dalam operasionalnya komputer sebenarnya hanya mengenal dua kondisi atau keadaan yaitu keadaan ada atau tidak adanya aliran listrik. Dalam bahasa logika keadaan ini adalah merepresentasikan kondisi True dan False. Sedangkan dalam bilangan biner disimbolkan sebagai bilangan 1 dan 0. Jadi secara keseluruhan rangkaian digital yang terdapat di dalam komputer merupakan kombinasi dari berbagai kondisi di atas yang diekspresikan dengan berbagai ekspresi logik seperti AND, OR, XOR, dan sebagainya.

Dalam Pemrograman, logika juga berperan sangat penting karena sebuah program sebenarnya dibangun dari sebuah algoritma yang merupakan langkah - langkah dasar dari sebuah instruksi yang akan dikerjakan oleh komputer. Bila seseorang mempunyai dasar logika yang kuat, maka pengetahuan itu akan sangat bermanfaat dalam menyusun sebuah algoritma yang baik untuk selanjutnya diterjemahkan menjadi sebuah program yang baik pula. Demikian pentingnya logika ini dalam dunia informatika, sehingga tidak berlebihan bila disimpulkan logika merupakan tulang punggung dalam dunia informatika.

1.1.1 Pengertian Logika

Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu disini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.

Logika merupakan cabang filsafat yang bersifat praktis berpangkal pada penalaran, dan sekaligus juga sebagai dasar filsafat dan sebagai sarana ilmu. Dengan fungsi sebagai dasar filsafat dan sarana ilmu karena logika merupakan “jembatan penghubung” antara filsafat dan ilmu, yang secara terminologis logika didefinisikan: Teori tentang penyimpulan yang sah. Penyimpulan pada dasarnya bertitik tolak dari suatu pangkal-pikir tertentu, yang kemudian ditarik suatu kesimpulan. Penyimpulan yang sah, artinya sesuai dengan pertimbangan akal dan runtut sehingga dapat dilacak kembali yang sekaligus juga benar, yang berarti dituntut kebenaran bentuk sesuai dengan isi.

Logika sebagai teori penyimpulan, berlandaskan pada suatu konsep yang dinyatakan dalam bentuk kata atau istilah, dan dapat diungkapkan dalam bentuk himpunan sehingga setiap konsep mempunyai himpunan, mempunyai keluasan. Dengan dasar himpunan karena semua unsur penalaran dalam logika pembuktiannya menggunakan diagram himpunan, dan ini merupakan pembuktian secara formal jika diungkapkan dengan diagram himpunan sah dan tepat karena sah dan tepat pula penalaran tersebut.

1.1.2 Sejarah Logika

Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), yaitu pada Masa Yunani Kuno filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta. Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari:

Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati) Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia Air jugalah uap Air jugalah es

Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta. Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah

mulai dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan saran-saran dalam bidang ini.

Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica (Logika Formal), yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.

Logika pertama-tama disusun oleh Aristoteles (384-322 SM), sebagai sebuah ilmu tentang hukum-hukum berpikir guna memelihara jalan pikiran dari setiap kekeliruan. Logika sebagai ilmu baru pada waktu itu, disebut dengan nama “analitika” dan “dialektika”. Kumpulan karya tulis Aristoteles mengenai logika diberi nama Organon, terdiri atas enam bagian.

Buku Aristoteles berjudul Organon (alat) berjumlah enam, yaitu:

1. Categoriae menguraikan pengertian-pengertian2. De interpretatione tentang keputusan-keputusan3. Analytica Posteriora tentang pembuktian.4. Analytica Priora tentang Silogisme.5. Topica tentang argumentasi dan metode berdebat.6. De sohisticis elenchis tentang kesesatan dan kekeliruan berpikir.

Karya Aristoteles tentang logika dalam buku Organon dikenal di dunia Barat selengkapnya ialah sesudah berlangsung penyalinan-penyalinan yang sangat luas dari sekian banyak ahli pikir Islam ke dalam bahasa Latin. Penyalinan-penyalinan yang luas itu membukakan masa dunia Barat kembali akan alam pikiran Grik Tua.

Pada 370 SM - 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi pemimpin Lyceum, melanjutkan pengembangn logika. Theoprastus memberi sumbangan terbesar dalam logika ialah penafsirannya tentang pengertian yang mungkin dan juga tentang sebuah sifat asasi dari setiap kesimpulan. Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM - 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada masa Galenus (130 M - 201 M) dan Sextus Empiricus (200 M), dua orang dokter medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

Kemudian, Porphyrius (233-306 M), seorang ahli pikir di Iskandariah menambahkan satu bagian baru dalam pelajaran logika. Bagian baru ini disebut Eisagoge, yakni sebagai pengantar Categorie. Dalam bagian baru ini dibahas lingkungan-lingkungan zat dan lingkungan-lingkungan sifat di dalam alam, yang biasa disebut dengan klasifikasi. Dengan demikian, logika menjadi tujuh bagian.

Boethius (480-524) menerjemahkan Eisagoge Porphyrius ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya. Johanes Damascenus (674 - 749) menerbitkan Fons Scienteae.

Pada abad pertengahan yakni abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan. Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Maka lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:

Petrus Hispanus 1210 - 1278) Roger Bacon 1214-1292 Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru

yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian.

William Ocham (1295 - 1349)

Tokoh logika pada zaman Islam adalah Al-Farabi (873-950 M) yang terkenal mahir dalam bahasa Grik Tua, menyalin seluruh karya tulis Aristoteles dalam berbagai bidang ilmu dan karya tulis ahli-ahli pikir Grik lainnya. Al-Farabi menyalin dan memberi komentar atas tujuh bagian logika dan menambahkan satu bagian baru sehingga menjadi delapan bagian.

Petrus Hispanus (meninggal 1277 M) menyusun pelajaran logika berbentuk sajak, seperti All-Akhdari dalam dunia Islam, dan bukunya itu menjadi buku dasar bagi pelajaran logika sampai abad ke-17. Petrus Hispanus inilah yang mula-mula mempergunakan berbagai nama untuk sistem penyimpulan yang sah dalam perkaitan bentuk silogisme kategorik dalam sebuah sajak. Dan kumpulan sajak Petrus Hispanus mengenai logika ini bernama Summulae.

Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632 - 1704) dalam An Essay Concerning Human Understanding. Francis Bacon (1561 - 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum. J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic.

Francis Bacon (1561-1626 M) melancarkan serangan sengketa terhadap logika dan menganjurkan penggunaan sistem induksi secara lebih luas. Serangan Bacon terhadap logika ini memperoleh sambutan hangat dari berbagai kalangan di Barat, kemudian perhatian lebih ditujukan kepada penggunaan sistem induksi. Pembaruan logika di Barat berikutnya disusul oleh lain-lain penulis di antaranya adalah Gottfried Wilhem von Leibniz. Ia menganjurkan penggantian pernyataan-pernyataan dengan simbol-simbol agar lebih umum sifatnya dan lebih mudah melakukan analisis. Demikian juga Leonard Euler, seorang ahli matematika dan logika Swiss melakukan pembahasan tentang term-term dengan menggunakan lingkaran-lingkaran untuk melukiskan hubungan antarterm yang terkenal dengan sebutan circle-Euler.

John Stuart Mill pada tahun 1843 mempertemukan sistem induksi dengan sistem deduksi. Setiap pangkal-pikir besar di dalam deduksi memerlukan induksi dan sebaliknya induksi memerlukan deduksi bagi penyusunan pikiran mengenai hasil-hasil eksperimen dan penyelidikan. Jadi, kedua-duanya bukan merupakan

bagian-bagian yang saling terpisah, tetapi sebetulnya saling membantu. Mill sendiri merumuskan metode-metode bagi sistem induksi, terkenal dengan sebutan Four Methods.

Logika Formal sesudah masa Mill lahirlah sekian banyak buku-buku baru dan ulasan-ulasan baru tentang logika. Dan sejak pertengahan abad ke-19 mulai lahir satu cabang baru yang disebut dengan Logika-Simbolik. dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik seperti:

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan akal budi dan lebih mempertajam kepastian.

George Boole (1815-1864) John Venn (1834-1923) Gottlob Frege (1848 - 1925)

1.2 Pembagian Logika1.2.1 Logika Berdasarkan WaktuBerdasarkan waktu munculnya suatu aliran logika, Logika dapat dibagi menjadi beberapa aliran yakni:a. Logika Klasik

Manusia yang pertama kali membakukan proses penalaran atau logika adalah Aristoteles. Logika Aristoteles adalah suatu sistem berpikir deduktif (deductive reasoning), yang bahkan sampai saat ini masih dianggap sebagai dasar dari setiap pelajaran tentang logika formal (formal logic). Analytic adalah ilmu logika yang berdasarkan pada premis-premis yang diasumsikan benar. Salah satu konsep dasar dari logika aristoteles adalah silogisme. "A discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so.", Aristoteles. Contoh silogisme : Semua mamalia menyusui (Premis Mayor) Kuda adalah mamalia (Premis Minor) Kuda menyusui (Kesimpulan)

Kesimpulan dapat diambil jika subjek dari premis minor adalah bagian dari subjek premis mayor. Predikat kalimat kesimpulan adalah predikat premis mayor.

b. RasionalitasmeRasionalisme (Latin ratio, "reason") muncul dalam beberapa bentuk nyaris pada setiap tingkatan filsafat, teologi Barat, namun umumnya Rasionalisme ini diidentifikasi dengan tradisi yang berakar dari abad 17 oleh filsuf dan cendekia Francis, René Descartes "Aku berpikir, berarti aku ada". (Rene Descartes (1598-1650) Kalimat tersebut dapat diartikan, segala sesuatu dapat menjadi benar jika dapat dibuat penalaran atau logika yang membuktikannya benar. Itu adalah ide dasar dari paham rasionalitasme. Rene Descartes adalah salah satu pelopor paham Rasionalitasme. Rasionalisme menganggap ilmu yang diperoleh melalui pancaindera itu sebagai rendah martabatnya jika dibandingkan dengan ilmu yang diperolehi melalui akal, kerana pengalaman dari pancaindera dapat menipu dan tidak

mempunyai kepastian. Sebelum Descartes, sebenarnya Plato sudah mengemukakan ide Rasionalisme. Menurut Plato, di atas dunia ini terdapat alam-alam ide yang menjadi sumber pengetahuan. Plato berkeyakinan bahwa jiwa manusia sebelum memasuki alam ini ia berada pada alam ide dan beranggapan bahwa pemikiran manusia berasal dari Tuhan.

c. EmpirismeMemasuki masa Rennaissanse (abad 14-16 M), lahirlah paham empirisme. David Hume (1611-1776), menyatakan bahwa sumber satu-satunya untuk memperoleh pengetahuan adalah pengalaman atau, dengan kata lain, eksperimen. Dengan itu pihak Empirisis menafikan kewujudan ilmu yang sedia ada secara semula jadi pada diri manusia (innate knowledge). Bagi paham Empirisisme pula, ilmu yang sah terbit dari pengalaman dari pancaindera dan disahkan juga melaluinya. Empirisme memberikan cukup banyak dorongan pada perkembangan pada dunia sains dan juga teknologi.

d. ModernismePerbedaan antara Rasionalitasme dan Empirisme coba diambil jalan tengahnya oleh Immanuel Kant. Dia mengajukan sintesis a pripori. Menurutnya, pengetahuan yang benar bersumber dari rasio dan empiris yang sekaligus bersifat a pripori dan a posteriori. Sebagai gambaran, kita melihat suatu benda dikarenakan mata kita melihat ke arah benda tersebut (Rasionalitasme) dan benda tersebut memantulkan sinar ke mata kita (Empirisme).

e. DialektikaBerbeda dengan logika klasik atau yang juga dikenal dengan istilah analitika, dialekta berawal dari proposisi-proposisi yang masih diragukan kebenarannya. Ide dasar dialektika sudah dicetuskan oleh Aristoteles dalam Organon-nya. Ia menyebutkan sepuluh kategori yang membangun penalaran atau logika dialektika, yaitu : substansi, kuantitas, kualitas, relasi, tempat, waktu, posisi, keadaan, aksi, dan keinginan. Sebagaimana Heraclitus mengatakan “everything flows”.

f. Logika SimbolikLogika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”). Logika simbolis dikenal juga dengan istilah logika matematika. Logika matematika membuat penalaran lebih terarah dan jelas tetapi secara konsep masih mengikuti ilmu logika sudah ada sebelumnya. Sehingga walaupun logika ini lahir di abad 19 M, konsep dasarnya masih sama dengan logika klasik Aristoteles(384 - 322 SM). Hanya saja, sekali lagi, logika simbolis menerangkan logika dengan lebih rapi. Pengembangan dan diskusi yang terus dilakukan tidak mengubah konsep dasar yang sudah ada. Sehingga wajar jika Cohen dan Nagel, dalam buku mereka “An Introduction to Logic and the Scientific Method”, halaman vii, menyatakan : "We do not believe that there is any non-Aristotelian logic in the sense in which there is a non-Euclidean geometry, that is, a system of

logic in which the contraries of the Aristotelian principles of contradiction and the excluded middle are assumed to be true, and valid inferences drawn from them." Logika Hegel lebih dikenal dengan istilah formal logic. Ide dasar formal logic terangkum dalam tiga hukum atau prinsip, yaitu:

1. The law of identity ("A" = "A").2. The law of contradiction ("A" ≠ “¬A").3. The law of the excluded middle ("A" ≠ "B").

g. Logika ModernDi abad ke-19, ada sejumlah upaya untuk memutakhirkan logika (George Boyle, Ernst Schröder, Gotlob Frege, Bertrand Russell dan A. N. Whitehead). Tapi, selain memperkenalkan simbol-simbol, dan beberapa penataan di sana-sini, tidak terdapat perubahan yang mendasar di sini.

Dengan menggunakan analogi fisika yang superfisial dan tidak tepat, apa yang disebut “metode atomik” yang dikembangkan oleh Russell dan Wittgenstein (dan yang kemudian disangkal sendiri oleh orang yang disebut terakhir itu) mencoba membagi bahasa menjadi “atom-atomnya”. Kenyataannya adalah bahwa bahkan kalimat sederhanapun tidak dapat dipahami, sekalipun ia dianggap sebagai “batu penyusun materi” linguistik. Hukum-hukum ini tidak dituliskan dengan huruf biasa melainkan dengan simbol sebagai berikut:

p = p p = ⌐ p p V = ⌐ p ⌐ (p ⌐ p)

Semuanya terlihat sangat manis, tapi tidaklah membuat perbedaan sedikitpun dengan hakikat silogisme. Terlebih lagi, logika simbolis itu sendiri bukanlah satu ide baru. Di tahun 1680-an, otak filsuf Jerman Leibniz yang selalu subur itu telah menghasilkan satu logika simbolis, sekalipun ia tak pernah mempublikasikannya.

Dimasukkannya simbol ke dalam logika tidaklah membawa kita selangkahpun lebih maju, persis karena alasan bahwa simbol-simbol itu, pada gilirannya, cepat atau lambat harus diterjemahkan ke dalam kata-kata dan konsep-konsep. Mereka memiliki keuntungan seperti tulisan steno, lebih praktis untuk operasi teknis tertentu, komputer dan beberapa hal lain, tapi hakikatnya masih persis sama seperti yang sebelumnya. Jaringan simbol matematis yang membingungkan ini diiringi oleh jargon-jargon yang benar-benar muluk, yang nampaknya memang dibuat sehingga logika tidak akan pernah dipahami oleh orang-orang kebanyakan, seperti kasta-pendeta dari Mesir dan Babilonia yang menggunakan kata-kata dan simbol kultus rahasia untuk menjaga agar pengetahuan mereka tidak bocor pada orang lain. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa orang-orang Mesir dan Babilonia itu memang benar-benar memiliki pengetahuan yang berharga untuk dimiliki, seperti gerak benda-benda langit, apa yang tidak dimiliki sama sekali oleh para ahli logika modern.

Istilah-istilah “predikat monadik”, “pengkuantifikasi”, “variabel individu” dan lain-lain dsb., dirancang untuk memberi kesan bahwa logika formal adalah satu ilmu yang tidak boleh dipandang enteng, karena ia tidak akan pernah dapat dipahami oleh orang-orang kebanyakan. Kita harus benar-benar prihatin bahwa nilai ilmiah dari satu sistem kepercayaan tidak berbanding lurus dengan ketidakjelasan bahasa yang dipergunakannya. Jika itu yang terjadi, tiap ahli mistik-religius dalam sejarah akan menjadi ilmuwan yang setaraf dengan gabungan Newton, Darwin dan Einstein sekaligus.

Dalam komedi karya Moliere, Le Bourgeois Gentilhomme, M. Jourdain terkejut kala diberitahu bahwa ia telah berbicara dalam prosa sepanjang hidupnya, tanpa ia sadari. Adalah satu kebenaran yang memprihatinkan bahwa, di penghujung abad ke-20, logika formal telah mencapai batas terakhirnya.

Baru-baru ini, basis telah bergeser dari argumen pada kesimpulan deduktif. Bagaimana “teorema logika diturunkan”? Ini adalah landasan yang amat rapuh. Basis logika formal telah diterima tanpa pertanyaan selama berabad-abad.

Ada dua cabang utama logika formal saat ini – kalkulus proposional dan kalkulus predikat. Keduanya berangkat dari aksioma, yang harus dianggap sebagai benar “dalam semua bidang yang mungkin ada”, di semua keadaan. Ujian terakhirnya tetaplah kebebasan dari segala kontradiksi. Segala hal yang kontradiktif akan dianggap sebagai “tidak sahih”. Tentu hal ini memiliki beberapa penerapan, contohnya, pada komputer yang dirancang untuk menjalankan prosedur ya atau tidak yang sederhana. Pada kenyataannya, segala aksiom semacam itu adalah tautologi. Bentuk-bentuk kosong ini dapat diisi dengan hakikat macam apapun juga. Keduanya diterapkan dengan cara yang mekanistis dan memaksa terhadap segala subjek. Ketika persoalannya menyangkut proses yang linear, keduanya memang berjalan dengan baik. Hal ini penting, karena sejumlah besar proses dalam alam dan masyarakat benar berjalan dengan cara ini. Tapi ketika kita sampai pada gejala-gejala yang lebih kompleks, kontradiktif dan non-linear, hukum-hukum logika formal runtuh. Akan segera nampak bahwa, jauh dari klaim mereka bahwa merekalah “kebenaran di segala bidang yang mungkin ada”, mereka adalah, seperti kata Engels, sangat terbatas dalam penerapan mereka, dan dengan cepat akan terkupas kedangkalannya ketika berhadapan dengan gejala sebagai sebuah totalitas keadaan. Lebih jauh lagi, persis inilah keadaan yang telah menyita perhatian ilmu pengetahuan, khususnya bagian yang paling inovatif, di sebagian besar waktu sepanjang abad ke-20.

Selain itu, ada beberapa pendapat yang membagi logika menjadi beberapa aliran besar yakni:a. Aliran Logika Tradisional

Logika ditafsirkan sebagai suatu kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran.

b. Aliran Logika Metafisis

Susunan pikiran itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap seperti metafisika. Tugas pokok logika adalah menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar logika lebih dahulu.

c. Aliran Logika EpistemologisDipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabung. Demikian juga untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.

d. Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika Pragmatis)Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika dianggap sebagai alat (instrumen) untuk memecahkan masalah.

e. Aliran Logika MatematikaLogika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliran ini sangat menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara terinci, bagaimana akal harus bekerja. Metode-metode dalam mengembangkan matematika banyak digunakan oleh aliran ini, sehingga aliran ini berkembang sangat teknis dan ilmiah serta bercorak matematika, yang kemudian disebut Logika Matematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap sebagai matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.

1.2.2 Logika Berdasarkan Sumber Pemikirana. Logika Alamiah

Logika alamiah adalah kinerja akal budi manusia yang berpikir secara tepat dan lurus sebelum dipengaruhi oleh keinginan-keinginan dan kecenderungan-kecenderungan yang subyektif. Kemampuan logika alamiah manusia ada sejak lahir.

b. Logika ilmiahLogika ilmiah memperhalus, mempertajam pikiran serta akal budi. Logika ilmiah menjadi ilmu khusus yang merumuskan azas-azas yang harus ditepati dalam setiap pemikiran. Berkat pertolongan logika ilmiah inilah akal budi dapat bekerja dengan lebih tepat, lebih teliti, lebih mudah dan lebih aman. Logika ilmiah dimaksudkan untuk menghindarkan kesesatan atau, paling tidak, dikurangi.

1.2.3 Logika Berdasarkan Penalarana. Penalaran Deduksi

Merupakan sistem penalaran yang menelaah prinsip-prinsip penyimpulan yang sah berdasarkan bentuknya serta kesimpulan yang dihasilkan sebagai kemestian diturunkan dari pangkal pikirnya. Dalam logika ini yang terutama ditelaah adalah bentuk dari kerjanya akal jika telah runtut dan sesuai dengan pertimbangan akal yang dapat dibuktikan tidak ada kesimpulan lain karena proses penyimpulannya adalah tepat dan sah. Logika deduktif karena berbicara tentang hubungan bentuk-bentuk pernyataan saja yang utama terlepas isi apa yang diuraikan karena logika deduktif disebut pula logika formal.

b. Penalaran InduksiLogika induktif adalah sistem penalaran yang menelaah prinsip-prinsip penyimpulan yang sah dari sejumlah hal khusus sampai pada suatu kesimpulan umum yang bersifat boleh jadi. Logika ini sering disebut juga logika material, yaitu berusaha menemukan prinsip-prinsip penalaran yang bergantung kesesuaiannya dengan kenyataan, oleh karena itu kesimpulannya hanyalah keboleh-jadian, dalam arti selama kesimpulannya itu tidak ada bukti yang menyangkalnya maka kesimpulan itu benar, dan tidak dapat dikatakan pasti.

Pemrograman 1

Java sebagai salah satu bahasa pemrograman baru menjanjikan banyak kemudahan bagi programer junior maupun senior. Tutorial ini akan membawa Anda mengenal lebih jauh bahasa ini melalui pembahasan konsep model perancangan dan petunjuk sederhana penggunaannya.

Apakah Java?

Java adalah bahasa pemrograman berorientasi objek yang dikembangkan oleh Sun Microsystems sejak tahun 1991. Bahasa ini dikembangkan dengan model yang mirip dengan bahasa C++ dan Smalltalk, namun dirancang agar lebih mudah dipakai dan platform independent, yaitu dapat dijalankan di berbagai jenis sistem operasi dan arsitektur komputer. Bahasa ini juga dirancang untuk pemrograman di Internet sehingga dirancang agar aman dan portabel.

Platform Independent

Platform independent berarti program yang ditulis dalam bahasa Java dapat dengan mudah dipindahkan antar berbagai jenis sistem operasi dan berbagai jenis arsitektur komputer. Aspek ini sangat penting untuk dapat mencapai tujuan Java sebagai bahasa pemrograman Internet di mana sebuah program akan dijalankan oleh berbagai jenis komputer dengan berbagai jenis sistem operasi. Sifat ini berlaku untuk level source code dan binary code dari program Java. Berbeda dengan bahasa C dan C++, semua tipe data dalam bahasa Java mempunyai ukuran yang konsisten di semua jenis platform. Source code program Java sendiri tidak perlu dirubah sama sekali jika Anda ingin mengkompile ulang di platform lain. Hasil dari mengkompile source code Java bukanlah kode mesin atau instruksi prosesor yang spesifik terhadap mesin tertentu, melainkan berupa bytecode yang berupa file berekstensi .class. Bytecode tersebut dapat langsung Anda eksekusi di tiap platform yang dengan menggunakan Java Virtual Machine (JVM) sebagai interpreter terhadap bytecode tersebut.

JVM sendiri adalah sebuah aplikasi yang berjalan di atas sebuah sistem operasi dan menerjemahkan bytecode program Java dan mengeksekusinya, sehingga secara konsep bisa dianggap sebagai sebuah interpreter. Proses pengeksekusian program Java dapat dilukiskan seperti di Gambar 1. Dengan cara ini, sebuah program Java yang telah dikompilasi akan dapat berjalan di platform mana saja, asalkan ada JVM di sana.

Kompiler dan interpreter untuk program Java berbentuk Java Development Kit (JDK) yang diproduksi oleh Sun Microsystems. JDK ini dapat didownload gratis dari situs java.sun.com. Interpreter untuk program Java sendiri sering juga disebut

Java Runtime atau Java Virtual Machine. Interpreter Java, tanpa kompilernya, disebut Java Runtime Environment (JRE) dapat didownload juga di situs yang sama. Untuk mengembangkan program Java dibutuhkan JDK, sementara jika hanya ingin menjalankan bytecode Java cukup dengan JRE saja. Namun untuk mengeksekusi applet (sebuah bytecode Java juga) Anda biasanya tidak perlu lagi mendownload JRE karena browser yang Java-enabled telah memiliki JVM sendiri.

Library

Selain kompiler dan interpreter, bahasa Java sendiri memiliki library yang cukup besar yang dapat mempermudah Anda dalam membuat sebuah aplikasi dengan cepat. Library ini sudah mencakup untuk grafik, desain user interface, kriptografi, jaringan, suara, database, dan lain-lain.

OO

Java adalah bahasa pemrograman berorientasi objek. Pemrograman berorientasi objek secara gamblang adalah teknik untuk mengorganisir program dan dapat dilakukan dengan hampir semua bahasa pemrograman. Namun Java sendiri telah mengimplementasikan berbagai fasilitas agar seorang programer dapat mengoptimalkan teknik pemrograman berorientasi objek.

Sedikit perbandingan tambahan dengan bahasa C dan C++, Java banyak mewarisi konsep orientasi objek dari C++ namun dengan menghilangkan aspek-aspek kerumitan dalam bahasa C++ tanpa mengurangi kekuatannya. Hal ini mempermudah programer pemula untuk mempelajari Java namun mengurangi keleluasaan programer berpengalaman dalam mengutak-atik sebuah program. Di balik kemudahan yang ditawarkan Java, luasnya fasilitas library Java sendiri membuat seorang programer membutuhkan waktu yang tidak singkat untuk dapat menguasai penggunaan library-library tersebut.

Memulai Pemrograman Java

Untuk membuat program Java, seperti telah disebutkan sebelumnya, Anda membutuhkan JDK. Proses instalasi JDK tersebut sangat mudah dan tidak membutuhkan pengetahuan tertentu. Namun untuk menggunakannya Anda perlu melakukan beberapa penyesuaian dengan sistem operasi Anda. Umumnya yang perlu Anda lakukan adalah memasukkan path ke direktori JDK Anda ke setting path pada sistem operasi Anda. Misalkan direktori JDK Anda adalah C:\jdk1.4 maka pada Windows 98 Anda cukup menambahkan baris perintah SET PATH=C:\jdk1.4\bin pada file autoexec.bat Anda. Untuk Windows NT/2000/XP Anda cukup menambahkan direktori C:\jdk1.4\bin pada variabel path di System Environment. Caranya: klik kanan ikon My Computer, pilih Properties. Kemudian

pilih tab Advanced. Lalu klik tombol Environment Variables, cari variabel path, kemudian tambahkan path direktori JDK Anda ke dalam variabel tersebut. Untuk Linux, tambahkan baris perintah SET CLASSPATH=(direktori jdk Anda) ke file profile Anda. Untuk mencoba JDK, ketikkan perintah java dan javac pada shell prompt (atau DOS Command Prompt). Jika perintah tersebut sudah dikenali maka program java atau javac akan menampilkan sintaks penggunaan. Untuk kemudahan dan berbagai fasilitas tambahan Anda dapat menggunakan Integrated Development Environment (IDE) untuk bahasa Java seperti Visual Café dari Symantec atau JBuilder dari Borland.

Urutan langkah-langkah yang harus Anda lakukan untuk membuat sebuah program Java sederhana adalah:

1. Membuat source code program dengan editor teks apapun. Ingat, file tersebut harus berekstensi .java dan case sensitive.

2. Mengkompile source code dengan perintah javac. Misalnya: javac HelloWorld.java. Jika berhasil, hasilnya adalah file bytecode berakhiran .class.

3. Mengeksekusi bytecode dengan perintah java. Parameter dari perintah ini adalah nama file hasil kompilasi tanpa ekstensi .class. Contoh: java HelloWorld.

Source Code

Berikut kode untuk HelloWorld.java:

public class HelloWorld{ public static void main(String[] args) { System.out.println("Apa Kabar Dunia?"); }}

Dan ini sebuah contoh lain, yaitu applet sederhana untuk menampilkan teks di applet. Sebutlah file ini bernama HelloWorldApplet.java:

import java.awt.Graphics;

public class HelloWorldApplet extends java.applet.Applet{ public void paint(Graphics g) { g.drawString("Apa Kabar Dunia?", 5, 25); }}

Secara gamblang dapat diperhatikan bahwa struktur kedua program sangat mirip, dan hanya berbeda dalam konteks eksekusi. Kedua program ini akan dibahas lebih lanjut setelah kita membahas cara mengkompile dan mengeksekusi program tersebut.

Perlu diingat bahwa bahasa Java bersifat case sensitive, sehingga Anda harus memperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil. Selain itu penulisan source code program tidak harus memperhatikan bentuk tertentu, sehingga Anda bisa saja menuliskan semua baris source code tersebut dalam satu baris asal Anda tidak lupa membubuhkan tanda titik koma (;), atau menuliskan tiap kata dalam satu baris tersendiri. Namun dianjurkan Anda mengikuti layout seperti pada contoh agar program Anda mudah dibaca dan dimengerti.

Kompilasi

Setelah kedua file disave dengan nama HelloWorld.java dan HelloWorldApplet.java, kita akan mengkompile kedua program tersebut dengan perintah:

prompt> javac HelloWorld.javaprompt> javac HelloWorldApplet.java

Perlu diperhatikan bahwa direktori aktif Anda saat ini adalah direktori tempat Anda meletakkan file-file program tersebut. Anda tetap dapat mengkompile program Anda dari direktori berbeda dengan perintah:

prompt> javac (direktori program)/namafile.java

Setelah perintah ini selesai, Anda akan melihat bahwa telah tercipta dua buah file .class, yaitu bytecode hasil kompilasi source code kita.

Sintaks Program

Sekarang kita akan mencoba membahas elemen-elemen dalam kedua source code tersebut.

Pada awal Listing 2 kita menemukan perintah import. Pada tahap awal ini Anda perlu mengetahui bahwa pernyataan tersebut hanya berfungsi mempermudah penulisan metode atau dalam bahasa pemrograman lain disebut prosedur atau fungsi. Jadi Anda hanya perlu menulis Graphics sebagai pengganti java.awt.Graphics, karena kita telah mengimpor java.awt.Graphics.

Kemudian di masing-masing listing terdapat pernyataan public class. Pernyataan ini adalah pernyataan pembuka sebuah kelas. Kelas sendiri digunakan untuk menciptakan objek. Ingat bahwa Java berorientasi objek. Kata public di

depannya berfungsi agar kelas tersebut dapat diakses oleh semua program lain. Untuk saat ini anggaplah objek sebagai suatu item yang dapat dimanipulasi oleh sebuah program. Dalam Listing 2 terdapat tambahan kata extends. Hal ini berarti kelas yang kita buat akan mewarisi sifat-sifat dari kelas yang kita extends. Dengan kata lain kita menjadikan kelas yang kita extends sebagai himpunan bagian dari kelas kita buat.

Kemudian kita menemukan baris pernyataan public static void main(String[] args) dan public void paint(Graphics g). Keduanya adalah pernyataan pembuka sebuah metode. Metode sendiri adalah kumpulan pernyataan untuk melakukan suatu tugas tertentu dalam kelas. Keduanya sebenarnya mempunyai fungsi yang sama namun dalam konteks yang berbeda. Dalam setiap aplikasi harus ada sebuah metode yang bernama main yang akan dieksekusi pertama kali saat program tersebut dieksekusi. Sementara dalam applet, metode yang pertama kali akan dieksekusi ketika applet diload adalah paint. Kata public di depannya mempunyai fungsi yang sama dengan kata public yang ada di depan baris permulaan kelas. Namun nantinya Anda akan menemukan juga bentuk lain seperti private dan protect yang akan kita bahas nanti.

Pada Listing 1 terdapat kata static pada pernyataan pembuka metode main. Hal ini berarti metode main tidak mengubah atau menggunakan objek yang diciptakan oleh kelas tersebut, sehingga dapat dikatakan berdiri sendiri dan tidak terikat dengan objek. Dalam metode main dalam aplikasi, parameternya adalah selalu String[] args, di mana args hanyalah sebuah nama dari objek array dari String. Array ini nantinya akan berisi parameter-parameter yang diberikan user sebagai argumen command line. Sementara Anda tidak perlu mengerti mengenai parameter tersebut, cukup diingat bahwa bentuk metode main harus selalu demikian.

Kemudian di dalam kedua metode pada kedua listing tersebut, kita menemukan sebuah pernyataan. Anda tentu dapat saja meletakkan lebih dari satu pernyataan dalam sebuah metode. Setiap pernyataan dalam sebuah metode dipisahkan oleh titik koma dan akan dieksekusi satu persatu. Kedua pernyataan pada listing ternyata memanggil sebuah metode lain yaitu metode println dan paint. Tentunya dapat Anda perhatikan bahwa untuk memanggil sebuah metode diperlukan tiga komponen yaitu:

1. Objek yang ingin kita pakai. Dalam hal ini objek System.out dan Graphics g.

2. Nama metode yang ingin kita pakai. Dalam hal ini println dan paint.

3. Sepasang tanda kurung yang berisi informasi tambahan yang diperlukan oleh metode yang dipanggil, yaitu parameter.

Dalam Listing 1, pernyataan System.out.println("Apa Kabar Dunia?"); berarti carilah objek out dalam kelas System kemudian panggil metode println dari objek out dengan parameter berupa string "Apa Kabar Dunia?". Sedang dalam Listing 2, pernyataan g.drawString("Apa Kabar Dunia?", 5, 25); berarti carilah objek g kemudian panggil metode drawString pada objek g dengan parameter "Apa Kabar Dunia?”, 5, 25);.

Eksekusi

Setelah selesai membahas sintaks dasar Java dalam kedua listing, selanjutnya kita akan mencoba mengeksekusi kedua program ini. Untuk program pertama yang berupa aplikasi biasa, kita tinggal mengetikkan perintah java HelloWorld pada prompt dan pesan Apa Kabar Dunia? akan tampil di layar (atau mungkin di tempat lain, bergantung sistem operasi Anda). Sedangkan untuk applet kita mesti membuat sebuah file HTML sebagai pembungkus—atau pemanggilnya. Berikut diberikan contoh file HTML untuk membungkus applet yang kita buat.

<HTML> <HEAD> <TITLE>Coba Applet</TITLE> </HEAD> <BODY> <APPLET CODE="HelloWorldApplet.class" WIDTH=150 HEIGHT=25> </APPLET> </BODY></HTML>

Beri nama helloword.html dan simpanlah di direktori yang sama dengan lokasi file-file .java dan .class sebelumnya. Untuk mengeksekusi applet kita cukup membuka file HTML tersebut di browser yang Java-enabled atau mengetikkan perintah appletviewer namafile.html di prompt.

Matematika

Euklides, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raffaello Sanzio di dalam detail ini dari Sekolah Athena.

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen.

Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti

ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristoteles, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis". Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi. Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the

American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[

Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang

Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".

Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.

Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa

Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16. Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[ Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada

munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

Matematika sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan". Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah

sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan.

Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper. Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru." Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya. Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya).

Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara

matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika.

Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan), dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan.

Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan.

Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan.

Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

Bilangan asli

Bilangan bulatBilangan rasional

Bilangan real Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan

geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.

Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Geometri TrigonometriGeometri diferensial

TopologiGeometri

fraktal

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks.

Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum.

Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

KalkulusKalkulus

vektorPersamaan diferensial

Sistem dinamika

Teori chaosAnalisis

kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.

Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde

Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an. Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-

lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu).

Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

Logika matematika Teori himpunan Teori kategori

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.

Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.

Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.)

Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia, analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Fisika matematika

Mekanika fluida

Analisis numerik

Optimisasi

Teori peluang

Statistika

Matematika keuangan

Teori permainan

Biologi matematika

Kimia matematika

Ekonomi matematika

Teori kontrol

FISIKA

Fisika (Bahasa Yunani: physikos, "alamiah", dan physis, "Alam") adalah sains atau ilmu tentang alam dalam makna yang terluas. Fisika mempelajari gejala alam yang tidak hidup atau materi dalam lingkup ruang dan waktu. Para fisikawan atau ahli fisika mempelajari perilaku dan sifat materi dalam bidang yang sangat beragam, mulai dari partikel submikroskopis yang membentuk segala materi (fisika partikel) hingga perilaku materi alam semesta sebagai satu kesatuan kosmos.      Beberapa sifat yang dipelajari dalam fisika merupakan sifat yang ada dalam semua sistem materi yang ada, seperti hukum kekekalan energi. Sifat semacam ini sering disebut sebagai hukum fisika.

Fisika sering disebut sebagai "ilmu paling mendasar", karena setiap ilmu alam lainnya (biologi, kimia, geologi, dan lain-lain) mempelajari jenis sistem materi tertentu yang mematuhi hukum fisika. Misalnya, kimia adalah ilmu tentang molekul dan zat kimia yang dibentuknya. Sifat suatu zat kimia ditentukan oleh sifat molekul yang membentuknya, yang dapat dijelaskan oleh ilmu fisika seperti mekanika kuantum, termodinamika, dan elektromagnetika.         Fisika juga berkaitan erat dengan matematika. Teori fisika banyak dinyatakan dalam notasi matematis, dan matematika yang digunakan biasanya lebih rumit daripada matematika yang digunakan dalam bidang sains lainnya. Perbedaan antara fisika dan matematika adalah: fisika berkaitan dengan pemerian dunia material, sedangkan matematika berkaitan dengan pola-pola abstrak yang tak selalu berhubungan dengan dunia material. Namun, perbedaan ini tidak selalu tampak jelas. Ada wilayah luas penelitan yang beririsan antara fisika dan matematika, yakni fisika matematis, yang mengembangkan struktur matematis bagi teori-teori fisika. 

Fisika Teoretis Dan Eksperimental           Budaya penelitian fisika berbeda dengan ilmu lainnya karena adanya pemisahan teori dan eksperimen. Sejak abad kedua puluh, kebanyakan fisikawan perseorangan mengkhususkan diri meneliti dalam fisika teoretis atau fisika eksperimental saja, dan pada abad kedua puluh, sedikit saja yang berhasil dalam kedua bidang tersebut. Sebaliknya, hampir semua teoris dalam biologi dan kimia juga merupakan eksperimentalis yang sukses.        Gampangnya, teoris berusaha mengembangkan teori yang dapat menjelaskan hasil eksperimen yang telah dicoba dan dapat memperkirakan hasil eksperimen yang akan datang. Sementara itu, eksperimentalis menyusun dan melaksanakan eksperimen untuk menguji perkiraan teoretis. Meskipun teori dan eksperimen dikembangkan secara terpisah, mereka saling bergantung. Kemajuan

dalam fisika biasanya muncul ketika eksperimentalis membuat penemuan yang tak dapat dijelaska teori yang ada, sehingga mengharuskan dirumuskannya teori-teori baru. Tanpa eksperimen, penelitian teoretis sering berjalan ke arah yang salah; salah satu contohnya adalah teori-M, teori populer dalam fisika energi-tinggi, karena eksperimen untuk mengujinya belum pernah disusun.

Teori Fisika Utama  Meskipun fisika membahas beraneka ragam sistem, ada beberapa teori yang digunakan secara keseluruhan dalam fisika, bukan di satu bidang saja. Setiap teori ini diyakini benar adanya, dalam wilayah kesahihan tertentu. Contohnya, teori mekanika klasik dapat menjelaskan pergerakan benda dengan tepat, asalkan benda ini lebih besar daripada atom dan bergerak dengan kecepatan jauh lebih lambat daripada kecepatan cahaya. Teori-teori ini masih terus diteliti; contohnya, aspek mengagumkan dari mekanika klasik yang dikenal sebagai teori chaos ditemukan pada abad kedua puluh, tiga abad setelah dirumuskan oleh Isaac Newton. Namun, hanya sedikit fisikawan yang menganggap teori-teori dasar ini menyimpang. Oleh karena itu, teori-teori tersebut digunakan sebagai dasar penelitian menuju topik yang lebih khusus, dan semua pelaku fisika, apa pun spesialisasinya, diharapkan memahami teori-teori tersebut. 

Bidang Utama Dalam Fisika          Riset dalam fisika dibagi beberapa bidang yang mempelajari aspek yang berbeda dari dunia materi. Fisika benda kondensi, diperkirakan sebagai bidang fisika terbesar, mempelajari properti benda besar, seperti benda padat dan cairan yang kita temui setiap hari, yang berasal dari properti dan interaksi mutual dari atom. Bidang Fisika atomik, molekul, dan optik berhadapan dengan individual atom dan molekul, dan cara mereka menyerap dan mengeluarkan cahaya. Bidang Fisika partikel, juga dikenal sebagai "Fisika energi-tinggi", mempelajari properti partikel super kecil yang jauh lebih kecil dari atom, termasuk partikel dasar yang membentuk benda lainnya. Terakhir, bidang Astrofisika menerapkan hukum fisika untuk menjelaskan fenomena astronomi, berkisar dari matahari dan objek lainnya dalam tata surya ke jagad raya secara keseluruhan.

Bidang Yang Berhubungan            Ada banyak area riset yang mencampur fisika dengan bidang lainnya. Contohnya, bidang biofisika yang mengkhususkan ke peranan prinsip fisika dalam sistem biologi, dan bidang kimia kuantum yang mempelajari bagaimana teori kuantum mekanik memberi peningkatan terhadap sifat kimia dari atom dan molekul.            Sejak zaman purbakala, orang telah mencoba untuk mengerti sifat dari benda: mengapa objek yang tidak ditopang jatuh ke tanah, mengapa material yang berbeda memiliki properti yang berbeda, dan seterusnya. Lainnya adalah sifat dari jagad raya, seperti bentuk Bumi dan sifat dari objek celestial seperti Matahari dan Bulan.           Beberapa teori diusulkan dan banyak yang salah. Teori tersebut

banyak tergantung dari istilah filosofi, dan tidak pernah dipastikan oleh eksperimen sistematik seperti yang populer sekarang ini. Ada pengecualian dan anakronisme: contohnya, pemikir Yunani Archimedes menurunkan banyak deskripsi kuantitatif yang benar dari mekanik dan hidrostatik.Pada awal abad 17, Galileo membuka penggunaan eksperimen untuk memastikan kebenaran teori fisika, yang merupakan kunci dari metode sains. Galileo memformulasikan dan berhasil mengetes beberapa hasil dari dinamika mekanik, terutama Hukum Inert. Pada 1687, Isaac Newton menerbitkan Filosofi Natural Prinsip Matematika, memberikan penjelasan yang jelas dan teori fisika yang sukses: Hukum gerak Newton, yang merupakan sumber dari mekanika klasik; dan Hukum Gravitasi Newton, yang menjelaskan gaya dasar gravitasi. Kedua teori ini cocok dalam eksperimen. Prinsipia juga memasukan beberapa teori dalam dinamika fluid. Mekanika klasik dikembangkan besar-besaran oleh Joseph-Louis de Lagrange, William Rowan Hamilton, dan lainnya, yang menciptakan formula, prinsip, dan hasil baru. Hukum Gravitas memulai bidang astrofisika, yang menggambarkan fenomena astronomi menggunakan teori fisika.  Dari sejak abad 18 dan seterusnya, termodinamika dikembangkan oleh Robert Boyle, Thomas Young, dan banyak lainnya. Pada 1733, Daniel Bernoulli menggunakan argumen statistika dalam mekanika klasik untuk menurunkan hasil termodinamika, memulai bidang mekanika statistik. Pada 1798, Benjamin Thompson mempertunjukkan konversi kerja mekanika ke dalam panas, dan pada 1847 James Joule menyatakan hukum konservasi energi, dalam bentuk panasa juga dalam energi mekanika.Sifat listrik dan magnetisme dipelajari oleh Michael Faraday, George Ohm, dan lainnya. Pada 1855, James Clerk Maxwell menyatukan kedua fenomena menjadi satu teori elektromagnetisme, dijelaskan oleh persamaan Maxwell. Perkiraan dari teori ini adalah cahaya adalah gelombang elektromagnetik.

Arah Masa Depan    Riset fisika mengalami kemajuan konstan dalam banyak bidang, dan masih akan tetap begitu jauh di masa depan. Dalam fisika benda kondensi, masalah teoritis tak terpecahkan terbesar adalah penjelasan superkonduktivitas suhu-tinggi. Banyak usaha dilakukan untuk membuat spintronik dan komputer kuantum bekerja.Dalam fisika partikel, potongan pertama dari bukti eksperimen untuk fisika di luar Model Standar telah mulai menghasilkan. Yang paling terkenal adalah penunjukan bahwa neutrino memiliki massa bukan-nol. Hasil eksperimen ini nampaknya telah menyelesaikan masalah solar neutrino yang telah berdiri-lama dalam fisika matahari. Fisika neutrino besar merupakan area riset eksperimen dan teori yang aktif. Dalam beberapa tahun ke depan, pemercepat partikel akan mulai meneliti skala energi dalam jangkauan TeV, yang di mana para eksperimentalis berharap untuk menemukan bukti untuk Higgs boson dan partikel supersimetri.         Para teori juga mencoba untuk menyatikan mekanika kuantum dan

relativitas umum menjadi satu teori gravitasi kuantum, sebuah program yang telah berjalan selama setengah abad, dan masih belum menghasilkan buah. Kandidat atas berikutnya adalah Teori-M, teori superstring, dan gravitasi kuantum loop.   Banyak fenomena astronomikal dan kosmologikal belum dijelaskan secara memuaskan, termasuk keberadaan sinar kosmik energi ultra-tinggi, asimetri baryon, pemercepatan alam semesta dan percepatan putaran anomali galaksi.       Meskipun banyak kemajuan telah dibuat dalam energi-tinggi, kuantum, dan fisika astronomikal, banyak fenomena sehari-hari lainnya, menyangkut sistem kompleks, chaos, atau turbulens masih dimengerti sedikit saja. Masalah rumit yang sepertinya dapat dipecahkan oleh aplikasi pandai dari dinamika dan mekanika, seperti pembentukan tumpukan pasir, "node" dalam air "trickling", teori katastrof, atau pengurutan-sendiri dalam koleksi heterogen yang bergetar masih tak terpecahkan. Fenomena rumit ini telah menerima perhatian yang semakin banyak sejak 1970-an untuk beberapa alasan, tidak lain dikarenakan kurangnya metode matematika modern dan komputer yang dapat menghitung sistem kompleks untuk dapat dimodelkan dengan cara baru. Hubungan antar disiplin dari fisika kompleks juga telah meningkat, seperti dalam pelajaran turbulens dalam aerodinamika atau pengamatan pola pembentukan dalam sistem biologi.

Pengantar Teknologi Informasi ( P.T.I )

Definisi Pengantar Teknologi Informasi

Pengantar Teknologi informasi dibagi menjadi 2 bagian yaitu :

TeknologiDalam sejarah peradaban kehidupannya, manusia sebagai makhluk yang berakal senantiasa berusaha  mendapatkan taraf hidup yang lebih baik dari waktu ke waktu. Dalam proses pencapaian hal tersebut, manusia memanfaatkan kemampuan akal yang dimilikinya. Dengan usaha dan pengalaman yang ada, manusia mendapatkan/menghasilkan sebuah ilmu pengetahuan (knowledge). Setelah mempunyai ilmu pengetahuan manusia pun berusaha untuk menerapkan ilmu pengetahuan tersebut menjadi sesuatu yang nyata. Sesuatu yang berfungsi untuk mempermudah manusia dalam menjalani kehidupannya. Itulah teknologi. Teknologi merupakan sebuah hasil dari penerapan ilmu pengetahuan yang bertujuan untuk mempermudah manusia dalam menjalani kehidupannya.

InformasiInformasi erat kaitannya dengan kejadian, fakta, dan objek yang dapat dideskripsikan. Informasi sendiri dapat diartikan sebagai suatu hasil pengolahan data menjadi lebih bermakna. Sebagai contoh, rangkaian data yang didapatkan oleh wartawan stasiun televisi akan diolah sedemikian rupa sehingga menjadi informasi yang bermakna. Informasi tersebut selanjutnya akan disebarluaskan oleh reporter melalui siaran berita. Abad 21 yang sedang kita jalani ini merupakan era informasi. Disebut sebagai era informasi dikarenakan informasi begitu banyak dan semakin mudah untuk didapatkan.

Jadi, Teknologi Informasi itu adalahBerdasarkan pada pembahasan sebelumnya, sebenarnya dapat disimpulkan secara sederhana bahwa PTI merupakan segala sesuatu apapun yang dapat membantu manusia dalam penyampaian dan penyebarluasan informasi. Namun kesimpulan tersebut terlalu luas dan terlalu umum untuk digunakan di zaman sekarang. Pada zaman dulu, kertas mungkin menjadi salah satu perangkat PTI yang menjadi primadona

masyarakat dunia. Lalu diikuti dengan ditemukannya mesin cetak oleh Guttenberg yang membuat para penulis di zaman itu

Dengan demikian, untuk konteks kekinian, PTI dapat diartikan merupakan suatu gabungan teknologi perangkat keras dan perangkat lunak yang bertujuan untuk penyebarluasan informasi dengan menggunakan media komunikasi.

Pengertian dan Tujuan Pendidikan Agama Kristen

Pendidikan Agama Kristen merupakan perintah dari Tuhan Yesus Kristus yang disebut Amanat Agung dalam Matius 28:18-20. Pendidikan Agama Kristen itu unik, berbeda dengan pendidikan umum karena prosesnya tidak hanya dikerjakan manusia, tetapi juga melibatkan Allah. Keterlibatan-Nya mutlak diperlukan karena Pendidikan Agama Kristen Remaja bukan hanya mendidik secara ilmu pengetahuan, namun juga membentuk karakter remaja.Untuk memberikan gambaran tentang Pendidikan Agama Kristen, berikut ini diuraikan beberapa pandangan para tokoh gereja. Robert R. Boehlke dalam bukunya Sejarah Perkembangan Pemikiran dan Praktek PAK dari Plato sampai Ig. Loyola mengutip pernyataan Martin Luther (1483-1548) menjelaskan pengertian Pendidikan Agama Kristen adalahPendidikan yang melibatkan warga jemaat untuk belajar teratur dan tertib agar semakin menyadari dosa mereka serta bersukacita dalam firman Yesus Kristus yang memerdekakan. Pendidikan Agama Kristen berfungsi untuk memperlengkapi mereka dengan sumber iman, khususnya yang berkaitan dengan pengalaman berdoa, firman dan rupa-rupa kebudayaan sehingga mereka mampu melayani sesamanya termasuk masyarakat dan negara serta mengambil bagian dengan bertanggung jawab dalam persekutuan Kristen.

Aswan Zain dalam bukunya Strategi Belajar Mengajar menjelaskan bahwa inti dari proses pengajaran adalah kegiatan belajar anak didik dalam mencapai suatu tujuan pengajaran. Inti dari Pendidikan Agama Kristen untuk remaja ialah supaya setiap remaja menyadari kasih Allah sebagaimana dinyatakan dalam Yesus Kristus dan menanggapi kasih tersebut melalui iman dan sarana yang menolong remaja untuk bertumbuh. Bertumbuh yang dimaksud adalah bertumbuh sebagai anak Allah, hidup sesuai dengan kehendak Allah dan bersekutu dengan sesama.Paulus L. Kristianto dalam bukunya Prinsip dan Praktik Pendidikan Agama Kristen mengutip pernyataan Werner C. Graendorf (1976) yang dijelaskan dalam pernyataan berikut :Pendidikan Agama Kristen adalah proses pengajaran dan pembelajaran yang berdasarkan Alkitab, berpusat pada Kristus, dan bergantung pada kuasa Roh Kudus, yang membimbing setiap pribadi pada semua tingkat pada pertumbuhan, melalui pengajaran masa kini kearah pengenalan dan pengalaman rencana dan kehendak Allah melalui

Kristus dalam setiap aspek kehidupan, dan memperlengkapi mereka bagi pelayanan yang efektif, yang berpusat pada Kristus sang Guru Agung dan perintah yang mendewasakan para murid.

Tujuan dari Pendidikan Agama Kristen ialah untuk mengajak, membantu, menghantar seseorang untuk mengenal kasih Allah yang nyata dalam Yesus Kristus, sehingga dengan pimpinan Roh Kudus ia datang ke dalam persekutuan yang hidup dengan Tuhan. Hal tersebut dinyatakan dalam kasihnya terhadap Allah dan sesama, yang dihayati dalam hidupnya sehari-hari, baik dengan kata-kata maupun perbuatan selaku anggota tubuh Kristus.Robert R. Boehlke juga mengutip pernyataan John Calvin (1509-1664) yang menjelaskan pengertian dan tujuan dari Pendidikan Agama Kristen:Pendidikan Agama Kristen adalah pendidikan yang bertujuan mendidik semua putra-putri gereja agar mereka terlibat dalam penelaahan Alkitab secara cerdas sebagaimana dengan bimbingan Roh Kudus. Pendidikan Agama Kristen juga bertujuan mendidik semua putra-putri gereja agar mereka mengambil bagian dalam kebaktian dan memahami keesaan gereja, dan supaya mereka diperlengkapi untuk memilih cara-cara mengejawantahkan pengabdian diri kepada Allah Bapa dan Yesus Kristus dalam pekerjaan sehari-hari serta bertanggung jawab di bawah kedaulatan Allah demi kemuliaan-Nya sebagai lambang ucapan syukur mereka yang dipilih dalam Yesus Kristus.

Pendidikan Agama Kristen dimaksudkan untuk meningkatkan potensi spiritual dan membentuk orang agar menjadi manusia yang beriman dan taat kepada Tuhan dan berahklak mulia, mencakup etika, budi pekerti dan moral sebagai perwujudan dari pendidikan agama. Peningkatan potensi spiritual mencakup pengenalan, pemahaman dan penanaman nilai-nilai keagamaan serta pengenalan nilai-nilai tersebut dalam kehidupan individual ataupun kolektif kemasyarakatan.

Sumber

http://www.master.web.id/mwmag/issue/04/content/tutorial-java-1/tutorial-java- 1.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://erizkhanuryani.weebly.com/1/post/2011/05/first-post.html

http://ray-vino-alone.blogspot.com/

http://choyho.blogspot.com/2011/03/pengertian-dan-tujuan-pendidikan-agama.html

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=9&cad=rja&sqi=2&ved=0CGoQFjAI&url=http%3A%2F%2Fblog.uin-malang.ac.id%2Frizkymauludiyah%2F2010%2F10%2F01%2Fpengertian-dasar-logika-dan-algoritma%2F&ei=4ARWUpMLgrSsB8HIgfgN&usg=AFQjCNGjPZPj2os5BvP8PIcXB4quO_t__A