Tugas Laporan

Pemodelan Statistika

PEMODELAN OKSIDASI AMONIAK MENJADI ASAM

NITRAT YANG BERDISTRIBUSI POISSON DENGAN

MENGGUNAKAN METODE GLM (GENERALIZED LINEAR

MODEL)

OLEH

ANDI FABIOLA AWALET

H 121 12 013

PRODI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2015

1

Abstrak

Regresi Poisson merupakan penerapan dari generalized linear model (GLM) yang

menggambarkan hubungan antara variabel respon data diskrit berdistribusi Poisson

dengan variabel prediktor . Distribusi Poisson merupakan salah satu bentuk non

linear, maka untuk melinearkan model tersebut digunakan fungsi link log linear

dimana estimasi parameternya menggunakan MLE (maksimum likelihood estimation)

dengan bantuan software SPSS 22. Kasus yang digunakan dalam tulisan ini adalah

proses oksidasi amoniak menjadi asam nitrat, dan melibatkan tiga variabel prediktor

yang dianggap berpengaruh, yaitu aliran udara, suhu air pendingin, dan konsentrasi

pendingin. Selanjutnya, diperoleh model awal yang kemudian dilakukan uji

signifikansi parameter untuk melihat variabel prediktor yang paling berpengaruh,

agar diperoleh model terbaik.

1. PENDAHULUAN

Amoniak dengan rumus NH3 merupakan senyawa kimia yang terkandung dalam

limbah. Senyawa ini memiliki bau khas dan tajam. Jika terhirup dalam jumlah yang

besar serta konsentrasi tinggi akan menyebabkan keracunan, merusak paru-paru

bahkan berakibat kematian. Menurut (Titiresmi & Sopiah, 2006), senyawa amoniak

ini harus diolah menjadi senyawa lain untuk meminimalisir dampak negatifnya. Salah

satunya adalah proses pengolahan amoniak menjadi asam nitrat.

Dalam proses pengolahan tersebut, terdapat beberapa variabel (faktor) yang

mempengaruhinya. Untuk menganalisa hubungan variabel yang mempengaruhi

(variabel prediktor) dan variabel yang terpengaruh (variabel respon) dibutuhkan suatu

metode, yaitu analisis regresi. Pada umumnya, analisis regresi digunakan untuk

menganalisa variabel respon yang merupakan data kontinu dan mengikuti distribusi

normal (Sundari, 2012). Namun dalam prakteknya, terkadang ditemukan variabel

respon yang dianalisa berupa data diskrit dan tidak beditribusi normal.

Salah satu model regresi yang dapat digunakan untuk menjelaskan hubungan

antara variabel respon yang berupa data diskrit dengan variabel prediktor yang

2

berupa data diskrit, kontinu, kategorik atau campuran adalah model regresi Poisson

(Sundari, 2012). Dengan variabel respon yang mengikuti distribusi Poisson, maka

diasumsikan variabel tersebut tidak berdistribusi normal. Untuk menangani kondisi

dimana respon tidak berdistribusi normal, Nelder dan Wedderburn (1972) telah

mengembangkan model linear yang dikenal dengan generalized linear model (GLM).

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 GLM (Generalized Linear Model) pada Data yang Berdistribusi Poisson

Regresi Poisson merupakan penerapan dari generalized linear model (GLM)

yang menggambarkan hubungan antara variabel respon data diskrit berdistribusi

Poisson dengan variabel prediktor . Asumsi yang harus dipenuhi untuk generalized

linear model (GLM) adalah variabel respon masih tergolong dalam distribusi

keluarga eksponensial. Jika merupakan data diskrit yang berdistribusi Poisson

dengan parameter maka fungsi massa peluangnya adalah :

(2.1)

Dalam distribusi Poisson, suatu peubah acak dengan fkp dan parameter

dikatakan menjadi anggota distribusi Keluarga Eksponensial, jika dapat dinyatakan

sebagai :

(2.2)

sehingga diperoleh : .

Dalam (generalized linear model) GLM, terdapat sebuah fungsi yang linier

yang menghubungkan mean dari variabel respon dengan variabel prediktor, adalah :

(2.3)

3

Fungsi tersebut merupakan fungsi penghubung. Sedangkan hubungan antara

mean dan prediktor linier adalah sebagai berikut :

(2.4)

Pada model regresi Poisson, biasanya fungsi penghubung yang digunakan adalah

fungsi penghubung log, karena ratarata dari variabel responnya akan berbentuk

fungsi eksponensial dan menjamin bahwa nilai variabel yang ditaksir dari variabel

responnya akan bernilai non-negatif. Fungsi penghubung log berbentuk :

(2.5)

Hubungan anatara mean variabel respon dan prediktor linier dengan

menggunakan fungsi penghubung log adalah :

Kedua ruas diambil fungsi eksponensialnya, didapat :

(2.6)

Sehingga fungsi penghubung untuk model regresi Poisson seperti dituliskan pada

persamaan dibawah ini :

(2.7)

Dan fungsi masa peluang distribusi Poisson dapat dituliskan sebagai berikut :

(2.8)

Dimana adalah mean Poisson dan vektor menunjukkan parameter

yang akan ditaksir. Mean dan varians untuk model regresi Poisson adalah sebagai

berikut :

Mean :

Varians :

Selanjutnya model regresi Poisson dengan penghubung log dapat ditulis sebagai

berikut :

4

(2.9)

(Cahyandari, 2014).

2.2 Penaksiran Parameter Model Regresi Poisson dengan MLE (Maksimum

Likelihood Estimator)

Metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) adalah salah satu metode

penaksir parameter yang dapat digunakan untuk menaksir parameter suatu model

yang diketahui distribusinya. Berdasarkan persamaan distribusi Poisson yang

ditunjukkan pada persamaan (2.8), maka langkah-langkah penaksiran parameter

dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum adalah sebagai berikut :

1. Membentuk fungsi likelihood. Fungsi likelihood untuk model regresi Poisson

adalah :

(2.10)

2. Mengambil bentuk log dari fungsi likelihood yang telah diperoleh. Fungsi

log-likelihood yang terbentuk adalah :

(2.11)

dimana

5

3. Fungsi log-likelihood diatas dideferensialkan terhadap masing- masing

parameter dan nilainya disama dengankan dengan nilai nol.

Metode yang digunakan untuk menentukan penaksir kemungkinan

maksimum adalah metode newton-Raphson. Metode ini digunakan untuk

menyelesaikan persamaan berikut :

=

Atau

(2.12)

Kemudian dari persamaan di atas disama dengankan nol yang diselesaikan

dengan metode iterasi Newton- Raphson. Setelah diperoleh taksiran

parameter maka taksiran model regresi Poisson dapat dituliskan

sebagai berikut :

(2.13)

.

2.3 Pengujian Kesesuaian Model Regresi Poisson

Pengujian kesesuaian model untuk mengetahui model yang digunakan sesuai

atau tidak dengan data yang diamati yaitu dengan menggunakan uji goodness of fit

atau disebut devians. Berikut ini adalah perumusan hipotesis pengujian kesesuaian

model regresi Poisson.

Statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut :

(2.14)

6

=1 ln ! =1 ln =1 ln =1 +

=1 =1 ln( )!

ln !)+ln( )!)]

Nilai tersebut disebut statistik uji atau devians untuk model regresi Poisson.

Untuk model yang sesuai, devians mendekati distribusi Chi-Kuadrat dengan derajat

kebebasan , dimana adalah banyak pengamatan dan adalah

banyak parameter. Kriteria untuk pengujian ini adalah jika

ditolak dan jika diterima (Cahyandari, 2014).

2.4 Pengujian Kesignifikanan Parameter

Pengujian terhadap parameter model dilakukan untuk memeriksa pernanan

variabel-variabel prediktor yang ada dalam model terhadap variabel responnya.

Pengujian terhadap parameter ini dilakukan melalui statistik uji , yaitu uji rasio

kemungkinan maksimum (maximum likelihood ratio test) yang digunakan untuk

menguji peranan variabel prediktor didalam model secara bersama-sama, dengan

rumusnya sebagai berikut :

(2.15)

Dimana likelihood tanpa variabel prediktor, dan likelihood dengan

prediktor. Adapun kriteria pengujian yang digunakan adalah jika

ditolak sedangkan jika

diterima. Bisa juga dengan

7

membandingkan nilai dan nilai pada output SPSS tabel Omnibus Test. Kriteria

pengujian juga hampir sama jika ditolak berlaku sebaliknya.

Selanjutnya untuk mengetahui kesignifikanan masing-masing parameter

(parsial), digunakan uji Wald. Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000: 16), dalam

(Melawati, 2013), statistik uji Wald didefinisikan sebagai :

(2.16)

Dimana penaksir dar dan penaksir galat baku dari . Uji

Wald ini akan menunjukkan apakah suatu variabel prediktor signifikan atau layak

untuk masuk dalam model atau tidak. Uji Wald ini diperoleh dengan

membandingkan penaksir kemungkinan maksimum dari parameter, yaitu dengan

penaksir galat bakunya. Adapun kriteria pengujian yang digunakan adalah jika

ditolak sedangkan jika

diterima. Bisa juga dengan

membandingkan nilai dan nilai pada output SPSS tabel Test of Model Effects.

Kriteria pengujian juga hampir sama jika ditolak berlaku sebaliknya

(Melawati, 2013).

3. METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data

Sebagai contoh kasus yang akan diteliti dalam hal ini, digunakan data tentang

oksidasi amoniak menjadi asam nitrat yang merupakan data sekunder dari skripsi

(Asmin, 2013) seperti yang terlampir pada Lampiran 1. Data yang diambil dari suatu

pabrik memuat 21 jumlah pengamatan dengan 1 variabel respon dan 3 variabel

prediktor. Variabel respon yang dimaksud adalah presentasi amoniak yang

hilang. Adapun variabel prediktornya adalah Aliran udara, Suhu air

pendingin, Konsentrasi pendingin.

3.2 Metode Analisis

Adapun prosedur analisis untuk data pada kasus ini adalah (1) Pengujian asumsi

variabel respon berditribusi Poisson; (2) Penaksiran parameter model regresi Poisson;

8

(3) Pengujian kesesuaian model regersi Poisson; (4) Uji signifikansi parameter; (5)

Interpretasi model regresi Poisson.

4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pengujian Asumsi Variabel Respon Berdistribusi Poisson

Untuk menguji asumsi bahwa model benar berditribusi Poisson, maka terlebih

dahulu dilakukan pengujian menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov SPSS 22. Hasil

analisisnya ditampilkan sebagai berikut :

Tabel 1. One- Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Presentasi amoniak yang hilang berdistribusi Poisson

Presentasi amoniak yang hilang tidak berdistribusi Poisson

Berdasarkan hasil output pada Tabel 1, diperoleh nilai

=0,054 yang jika dibandingkan dengan =0,05, maka diperoleh nilai .

, diterima. Artinya presentasi amoniak yang hilang berdistribusi Poisson.

Dengan dasar pengambilan keputusan, jika nilai ditolak sedangkan jika

nilai sig. , diterima.

4.2 Penaksiran Parameter Model Regresi Poisson

Setelah diketahui bahwa variabel responnya berdistribusi Poisson, maka langkah

selanjutnya adalah mendefinisikan model regresi Poisson untuk contoh kasus diatas.

Model regresi Poisson ditulis sebagai berikut :

9

( )

Distribusi Poisson merupakan salah satu bentuk non linear, maka untuk

melinearkan model tersebut digunakan fungsi link log linear dimana estimasi

parameternya menggunakan MLE (maksimum likelihood estimation) dengan bantuan

software SPSS 22. Berdasarkan output pada Lampiran 2, diperoleh tabel ringkasan

hasil taksiran parameter :

Tabel 2. Hasil Taksiran Parameter

Parameter Taksiran Std. Error Sig.

Selanjutnya model regresi Poisson dengan fungsi link log linear dapat ditulis

sebagai berikut :

4.3 Pengujian Kesesuaian Model Regresi Poisson

Untuk mengetahui model yang digunakan sesuai atau tidak dengan data yang

diamati yaitu dengan menggunakan uji goodness of fit atau disebut devians.

Model Poisson cocok untuk data diatas

Model Poisson tidak cocok untuk data diatas

Pengujian yang dilakukan adalah membandingkan nilai dengan nilai

. Adapun kriteria pengujiannya, jika nilai

ditolak

sedangkan jika nilai , diterima. Berikut adalah ringkasan tabel

yang diperoleh dari output SPSS 22 Lampiran 2 :

Tabel 3. Goodness of

Value df Deviance

Selanjutnya, untuk nilai dimana adalah banyaknya

pengamatan, adalah banyaknya parameter, maka diperoleh nilai

10

dengan menggunakan excel. Berdasarkan uraian diatas, terlihat

bahwa nilai

, diterima. Artinya, model Poisson

cocok untuk data diatas.

4.4 Uji Signifikansi Parameter

Tidak semua parameter pada Tabel 2. memiliki pengaruh yang berarti terhadap

variabel respon, sehingga dilakukanlah pengujian parameter pada model regresi

Poisson.

Uji rasio Likelihood (Simultan)

;

Pengujian yang dilakukan adalah membandingkan nilai dengan nilai .

Adapun kriteria pengujiannya, jika nilai ditolak sedangkan jika nilai

, diterima. Dengan menggunakan bantuan software SPSS 22 diperoleh

output seperti yang terlampir pada Lampiran 2. Dan untuk memudahkannya, dibuat

ringkasan tabel sebagai berikut :

Tabel 4. Uji rasio Likelihood (Simultan)

Likelihood Ratio Chi-Square df Sig.

3 Berdasarkan tabel diatas, nilai ditolak. Artinya,

paling tidak, ada satu peubah yang berpengaruh terhadap variabel respon.

Uji Wald (Partial)

;

;

Seperti halnya uji rasio Likelihood, pengujian juga dilakukan dengan

membandingkan nilai . Dengan kriteria pengujian, jika nilai

ditolak sedangkan jika nilai , diterima. Berikut adalah ringkasan tabelnya

:

11

Tabel 5. Uji Wald (Partial)

Wald Chi-Square df Sig.

Berdasarkan tabel diatas, dapat dilihat bahwa nilai adalah pada

parameter , artinya diterima. Sedangkan parameter , ditolak.

Artinya kedua parameter tersebut memiliki pengaruh signifikan atau kontribusi

terhadap variabel respon. Menurut uji kesignifikanan parameter, dianggap tidak

signifikan, maka keputusannya adalah parameter tersebut dikeluarkan dari model dan

diuji kembali hingga diperoleh model terbaik.

Tabel 6. Hasil Taksiran Parameter untuk Mendapatkan Model Terbaik

Parameter Taksiran Std. Error Sig.

Sehingga diperoleh model regresi Poisson untuk kasus diatas adalah :

4.5 Interpretasi Model Regresi Poisson

Interpretasi model regresi Poisson dengan kasus presentasi amoniak yang hilang

pada proses oksidasi menjadi asam nitrat adalah :

1. Rata-rata banyaknya presentasi amoniak yang hilang pada saat proses

oksdasi menjadi asam nitrat berkurang sebesar .

2. Koefisien aliran udara sebesar menyatakan bahwa setiap penambahan

nilai 1 dari nilai aliran udara, maka presentasi amoniak yang hilang pada saat

proses oksidasi juga akan meningkat sebanyak perkalian .

3. Koefisien suhu air pendingin sebesar menyatakan bahwa setiap

penambahan nilai 1 dari nilai suhu air pendingin, maka presentasi amoniak

yang hilang pada saat proses oksidasi juga akan meningkat sebanyak

perkalian .

12

5. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil pengolahan kasus pada data diatas, diperoleh kesimpulan sebagai

berikut :

1. Hasil pemodelan oksidasi amoniak menjadi asam nitrat, diperoleh :

2. Faktor yang paling berpengaruh dalam proses oksidasi amoniak menjadi

asam nitrat adalah aliran udara ( ), dan suhu air pendingin ( ).

5.1 Saran

1. Jumlah sampel yang digunakan dalam contoh kasus diatas sebaiknya lebih

banyak, agar diperoleh model yang lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

Asmin, M. M. (2013). Pengujian Heteroskedastisitas pada Regresi Eksponensial

dengan Menggunakan Uji Park. Makassar: Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin.

Cahyandari, R. (2014). Pengujian Overdispersi pad Model Regresi Poisson. Statistika

, 69-76.

Melawati, Y. (2013). Klasifikasi Keputusan Nasabah dalam Pengambilan Kredit

Menggunakan Model Regresi Logistik Biner dan Metode Classification And

Regression Trees (CART). Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.

Sundari, I. (2012). Regresi Poisson dan Penerapannya untuk Memodelkan Hubungan

Usia dan Perilaku Merokok terhadap Jumlah Kematian Penderita Penyakit Kanker

Paru-Paru. Padang: FMIPA Universitas Andalas.

Titiresmi, & Sopiah, N. (2006). Teknologi Biofilter untuk Pengolahan Limbah

Amonia. Jurnal Teknik Lingkungan , 173-179.

13

LAMPIRAN 1

Data Oksidasi Amoniak Menjadi Asam Nitrat

No.

Pengamatan

(Persentasi amoniak

yang hilang)

(Aliran

udara)

(Suhu air

pendingin)

(Konsentrasi

pendingin)

1 42 80 27 89

2 37 80 27 88

3 37 75 25 90

4 28 62 24 87

5 18 62 22 87

6 18 62 23 87

7 19 62 24 93

8 20 62 24 93

9 15 58 23 87

10 14 58 18 80

11 14 58 18 89

12 13 59 17 88

13 11 58 18 82

14 12 58 19 93

15 8 50 18 89

16 7 50 18 86

17 8 50 19 72

18 8 50 19 79

19 9 50 20 80

20 15 56 20 82

21 15 70 20 91

14

LAMPIRAN 2

Output SPSS

15