Tugas Kelompok Pdp New (PDF)
-
Upload
diana-fathonah -
Category
Documents
-
view
135 -
download
11
Transcript of Tugas Kelompok Pdp New (PDF)
GELOMBANG BUNYI DALAM AIR 1-DIMENSIA. ILUSTRASI FISIK Pemodelan gelombang 1-dimensi selain dalam konteks dawai/tali bergetar bisa juga dalam konteks gelombang bunyi dalam air.
Untuk merumuskan persamaan gelombang bunyi dalam air 1-dimensi didefiniskan peubah yang menggambarkan permasalahan tersebut. Misalkan x dan t masing-masing merupakan peubah jarak dan waktu, sehingga: u(x,t) : simpangan titik pada jarak dan waktu tertentu (x,t) : kepekatan atau kepadatan p(x,t) : tekanan Sebelum bergerak, air memiliki kepekatan 0 dan tekanan p0 , keduanya bebas terhadap x dan t. Untuk kemudahan perhitungan maka ditetapkan temperatur adalah tetap. Terdapat tiga ciri yang diasumsikan untuk membangun sebuah persamaan bunyi di dalam air, yaitu: a. Perpindahan bunyi pada sejumlah air ke posisi baru. b. Perubahan kepekatan sebanding dengan perubahan tekanan lokal. c. Ketidaksamaan tekanan menghasilkan pergerakan di dalam air.
B. MODEL MATEMATIKA Misalkan massa air pada saat volume awal adalah: M= 0 A x .............................................................................................. (1.1) dengan A adalah luas penampang dan x adalah perubahan jarak. Dari ciri yang pertama, asumsikan bahwa perpindahan gerak air dari volume awal (V0) ( antara x dan x +x ) ke volume akhir V1 ( antara u(x,t) dan u(x +x,t ) ). Sehingga untuk volume akhir didefinisikan
Dari ciri yang kedua, dapat diterjemahkan ke dalam suatu persamaan yaitu .............................................................. (1.2) Dengan
Pada ciri yang ketiga untuk memperoleh persamaan diferensial parsial bagaimana jarak berubah terhadap waktu, maka digunakan Hukum Newton pada suatu titik massa F = m x a dimana besarnya percepatan sebanding dengan besarnya gaya. Pada hukum Newton, gerakan horizontal pada bidang horizontal dianggap sangat kecil sehingga persaamaan pada bidang horizontal dapat diabaikan. Persamaan bidang vertikal terhadap perpindahan kedudukan adalah total massa ( 0 (x) x x xA) dikali dengan komponen vertikal pada kecepatan ( ) yang ekivalen dengan perubahan gaya pada arah
positif x dan arah negatif x ditambah dengan kumpulan gaya pada bidang vertikal. Gaya pada arah positif x adalah F+ = A.p(x,t) ................................................... (1.3) dan gaya pada arah negatif x adalah F-- = A.p(x+ x,t) ........................... (1.4)
C. SOLUSI UMUM 1. Ciri Pertama Didefinsikan massa air adalah
maka: ..................................................................................................................... (1.5)
Andaikan tidak ada perubahan massa awal, dari (1.1) dan (1.5) diperoleh:
Dengan mengambil x 0 maka diperoleh
................................... (1.6) Perpindahan bunyi pada sejumlah air ke posisi baru dapat mempengaruhi kepekatan, sehingga perubahan pada kepekatan dapat didefinisikan sebagai berikut ........................................ (1.7) karena telah diasumsikan x 0, maka perubahan pada kepekatan diasumsikan pula sangat kecil , persamaan (1.6) , sehingga persamaan (1.7) dapat diterapkan pada
menjadi
(1.8)
2. Ciri Kedua Dalam pembahasan ciri yang kedua ini akan digunakan suatu hubungan umum antara tekanan pada medium p dan kepekatan , misalkan p = f( ) . (1.9) ........................................................................................................... (2.0)
Selanjutnya, Diasumsikan (x,t) kecil, sehingga jika diperluas dalam rangkaian Taylor maka persamaan (2.0) akan menjadi
........................................................................................................... (2.1) Dari asumsi ke-2 dihasilkan p = f (). Substitusikan ke dalam persamaan (2.1) sehingga .......................................................... (2.2) dengan f ( 0) memiliki dimensi percepatan kuadrat. Dengan mendefinisikan ..................................................................................... (2.3) Akan diperoleh: .................................................................. (2.4)
3. Ciri Ketiga Dari (1.3) dan (1.4), diperoleh bahwa:
dengan q(x,t) adalah kumpulan gaya pada bidang vertikal per unit massa. Bagi kedua ruas pada persamaan di atas dengan x dan anggap x sangat kecil yaitu x 0.
Untuk kasus persamaan gelombang bunyi dimensi satu, jika kumpulan gaya per unit massa dalah suatu gaya berat maka q(x,t) pada persamaan di atas bernilai (g). Dalam beberapa keadaan, gaya berat tersebut sangat kecil sehingga
dapat diabaikan. Maka persamaan tersebut menjadi :
....................................... (2.5) Substitusi persamaan (1.8) ke persamaan (2.4) diperoleh
......................................................... (2.6)
Substitusi persamaan (2.6) ke persamaan (2.5) menjadi :
.................................... (2.7) Persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai ........................... (2.8)
dengan c adalah kecepatan gelombang bunyi. Persamaan (2.8) adalah persamaan gelombang 1-dimensi. Solusi Model Persamaan dengan Menggunakan Metode DAlembert
Bentuk kuadrat padanan dari persamaan (2.8) adalah dan
dengan
. Bentuk kuadrat padanan pada persamaan (3.16) termasuk jenis persamaan
diferensial parsial hiperbolik karena :
Persamaan karakteristik dari bentuk kuadrat padanan tersebut adalah :
Solusi persamaan karakteristik :
Misalkan
dan
. Dengan mentransformasi substitusi ke
dan sehingga
, akan
diperoleh penyelesaian untuk x dan t :
Substitusi
ke dalam
didapatkan
Sehingga transformasi akhir untuk u adalah :
Turunan dan terhadap x dan t masing-masing adalah :
Dengan menurunkan persamaan u(x, t) = ( ,) turunan dan terhadap x dan t , diperoleh :
secara parsial, dan mensubstitusikan
Substitusi turunan-turunan parsial di atas ke dalam persamaan (2.8) :
Solusi persamaan diferensial :
........................................................................................................... (2.9)
Persamaan (2.9) adalah solusi umum dari persamaan gelombang dimensi satu. Fungsi F dan G dapat ditentukan dari kondisi awal, jika diketahui syarat awalnya adalahu x,0 f x ...................................................................
(3.0) (3.1)
u t x,0 0 ........................................................................
Sedangkan syarat batasnya u = 0 pada batas gelombang bunyi dalam air tersebut untuk semua t 0. Dengan mendiferensialkan persamaan (2.9). diperoleh :
u t cG' ax ct cF ' px ct .........................................Dari (2.9) dan (3.1) dan syarat awal, maka diperolehu x,0 G ax F px f x .........................................
(3.2)
(3.3) (3.4) atau
u t x,0 cG' ax cF ' px 0 .........................................
Dari persamaan (3.4), diperoleh F ' G' . Sehingga F G n , maka 2F n fF 1 f n . Sehingga solusi (2.9) menjadi 2u x, t 1 f ax ct f px ct ................................... 2
(3.5)
Persamaan (3.5) merupakan penyelesaian dari persamaan differensial parsial yang diberikan pada persamaan (2.8) dengan syarat awal dan syarat batasnya. Contoh soal: 1. Misalkan diketahui gelombang bunyi dalam air yang pergerakan/kecepatan awalnya nol dan defleksi awalnya yang didefinisikan oleh: f x 0,1 4 x x 2 . Tentukan solusi u (x,t) dari persamaan gelombang tersebut!
Penyelesaian: Diketahui :f x 0.1 4 x x 2
ux,0 0,1 4 x x 2
u t x,0 0Dari solusi DAlembert didapatkan:u x, t 1 f x ct f x ct 2 1 0,1 4 x x 2 ct 0,1 4 x x 2 ct 2
Jadi solusinya adalah
1 0,1 4 x x 2 ct 0,1 4 x x 2 ct 2
2. Misalkan diketahui gelombang bunyi dalam air yang pergerakan/kecepatan awalnya nol dan defleksi awalnya didefinisikan oleh f x, y 0,01x 1 x . Tentukan solusi u (x, t) dari persamaan gelombang tersebut. Penyelesaian: Diketahui :
f x 0,01 x 1 x ux,0 0,01 x 1 x u t x,0 0Dari solusi DAlembert didapatkanu x, t 1 f x ct f x ct 2 1 0,01x 1 x ct 0,01x 1 x ct 2
Jadi solusinya adalah
1 0,01 x 1 x ct 0,01x 1 x ct 2
DAFTAR PUSTAKA
Anggraini, D. 2008. Pemodelan Gelombang Bunyi Dalam Air dan Solusinya. Bogor:IPB. Arjudin. 2009. Persamaan Diferensial Parsial. Mataram:Universitas Mataram.