1. Dasar Logika Fuzzy

Materi :

Konsep Dasar Algoritma Fuzzy Operator Fuzzy

A. Konsep Dasar [1] Teori klasik, himpunan = kumpulan elemen yang berhingga/tak-berhingga milik

dari suatu himpunantertentu yg disbt semesta pembicaraan Elemen dr semesta pembicaraan dapat termasuk atau tidak termasuk ke dalam

himpunan A

B. Konsep Dasar [2] Fungsi karakteristik yg bersifat Boolean/crisp atau tegas adalah fungsi tak-kontinu:

Sifat samar atau vagueness dpt dimasukkan ke dalam teori himpunan dgn membuat fungsi karakteristik boleh bernilai tidak berhingga banyaknya di antara nilai 0 dan nilai 1

Semesta pembicaraan X dgn elemen x:

C. Konsep Dasar [3] Himp fuzzy A dlm semesta pembicaraan X adl himp pasangan berurutan (kontinu

& diskrit):

Fungsi keanggotaan µ A(x) adl pemetaan dari semesta pembicaraan ke rentang tertutup [0, 1]:

Fungsi keanggotaan = ukuran sejauh mana elemen x termasuk ke dalam himpunan A

D. Konsep Dasar [4] Himp support A adalah himp bagian dr semesta pembicaraan X dengan µA(x) > 0 Contoh: Suhu air di titik tertentu dlm plant µ A Suhu dinyatakan sbg bil bulat

positif dlm [0, 100] Variabel fuzzy Low dipakai utk definisi Himp ini menyatakan sejauh mana suhu dianggap rendah/Low terhadap seluruh

nilai yang mungkin Fungsi keanggotaan A(x) memiliki nilai2 diskrit dlm satuan °C yg dinyatakan dgn himpunan:

E. Konsep Dasar [5]

Atau secara lebih ringkas:

Lambang '+' menyatakan gabungan/union, bukan penambahan Lambang menyatakan himpunan fuzzy, bukan integral dan Penjumlahan

F. Konsep Dasar [6]

G. Konsep Dasar [7] Variabel fuzzy = variabel dgn nilai berupa label2 himp fuzzy (linguistic values) Contoh: TEMPERATURE adl variabel fuzzy dgn nilai Low, Medium, Normal, High

dan Very_High Cara inilah yg umum dipergunakan operator utk merujuk var plant terkait dgn

nilai nominalnya Hubungan di antara variabel fuzzy, nilai2 linguistik, nilai2 keanggotaan &

semesta pembicaraan

H. Konsep Dasar [8]

I. Konsep Dasar [9] Secara umum, variabel fuzzy dpt dinyatakan dgn memakai: label/nilai linguistik

Low, Medium, High operator penghubung AND, OR, NOT hedges extremely, rather, quite, very

Contoh: Variabel TEMPERATURE dapat memiliki nilai-nilai High, NOT High, rather_High, quite_High, NOT very_High, extremely_High

J. Konsep Dasar [10] Ketergantungan suatu variabel fuzzy pada var fuzzy lainnya dapat dinyatakan

dgn memakai kalimat bersyarat (fuzzy conditional statement): atau dgn kalimat fuzzy memiliki bentuk umum

Contoh:

2. Blok Diagram Fuzzy logic Control

 Gambar 2. Blok Diagram Fuzzy Logic Control

3. Fuzzification

Gambar 3. Proses Fuzzification Fuzzifikasi yaitu suatu proses untuk mengubah suatu masukan dari bentuk tegas (crisp) menjadi fuzzy (variabel linguistik) yang biasanya disajikan dalam bentuk himpunan-himpunan fuzzy dengan suatu fungsi kenggotaannya masing-masing. Contoh dari proses Fuzzification adalah seperti yang ditunjukkan di gambar 4. Sebuah sistem fuzzy untuk mengukur suhu mempunyai 5 buah membership function yang mempunyai label sangat dingin, dingin, hangat, panas, sangat panas. Kemudian input yang diperoleh dari crisp input adalah 47° maka pengambilan fuzzy input-nya adalah seperti pada gambar 4.

Gambar 4. Proses perubahan dari crisp input menjadi fuzzy input

Sehingga didapat 2 fuzzy input yang masing-masing adalah: dingin (x2) dan hangat (x1). Nilai x1 dan x2 dapat dicari dengan rumus persamaan garis. Yang menentukan sistem anda sensitif atau tidak adalah membership function ini. Jika membership function-nya banyak maka sistem anda menjadi sensitif. Yang dimaksud dengan sensitif dalam hal ini adalah jika input-nya berubah sedikit saja maka sistem akan cepat merespon dan menghasilkan suatu output lain. Output dari proses fuzzification ini adalah sebuah nilai input fuzzy atau yang biasanya dinamakan fuzzy input.

4. Fuzzy Membership

 

            Jika X adalah suatu kumpulan obyek-obyek  dan x adalah elemen dari X. Maka 

himpunan fuzzy A yang memiliki domain X didefinisikan sebagai:

                                      (1)

dimana nilai  berada dalam rentang 0 hingga 1.

 

 

            Terdapat dua cara yang lazim dalam merepresentasikan himpunan fuzzy, yang

dapat dilihat pada Gambar 1, yaitu :

1.       , jika X adalah merupakan koleksi objek diskrit.

2.      , jika X adalah merupakan koleksi objek kontinyu.

   

 

 

(a)                                                             (b)

Gambar 1. Fungsi keanggotaan dengan semesta pembicaraan, (a).diskrit, (b).kontinyu.

 

 

Fuzzy Membership Operation

            Seperti pada himpunan klasik, himpunan fuzzy juga memiliki operasi

himpunan yang sama yaitu gabungan (union), irisan (intersection) dan komplemen.

Sebelumnya akan didefinisikan dulu mengenai himpunan bagian yang memiliki

peranan penting dalam himpunan fuzzy.

  

Union (Gabungan)

            Gabungan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C

ditulis sebagai  atau , memiliki fungsi keanggotaan yang

berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

;                        (2)

dengan  adalah operator biner untuk fungsi S dan biasa disebut sebagai operator T-

conorm atau S-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

                           S(1,1) = 1, S(0,a) = S(a,0) = a         (boundary);

                           S(a,b) £ S(c,d) jika a £ c dan b £ d   (monotonicity);

                           S(a,b) = S(b,a)                                   (commutativity);

                           S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)                    (associativity).

 

Intersection (Irisan)

            Irisan dari dua buah himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C

dituliskan sebagai  atau , memiliki fungsi keanggotaan yang

berhubungan dengan A dan B yang didefinisikan sebagai berikut:

;

,                                              (3)

dengan  adalah operator bineri untuk fungsi T, yang biasa disebut  sebagai

operator T-norm, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

                           T(0,0) = 0, T(a,1) = T(1,a) = a         (boundary);

                           T(a,b) £ T(c,d) jika a £ c dan b £ d   (monotonicity);

                           T(a,b) = T(b,a)                                   (commutativity);

                           T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)                    (associativity).

 

Fuzzy Set Membership Function

            Fungsi-fungsi keanggotaan fuzzy terparameterisasi satu dimensi yang umum

digunakan diantaranya adalah:

1.      Fungsi keanggotaan segitiga, disifati oleh parameter{a,b,c} yang didefinisikan

sebagai berikut:

                                         (4)

bentuk yang lain dari persamaan di atas adalah

                           (5)

parameter {a,b,c} (dengan a<b<c) yang menentukan koordinat x dari ketiga sudut

segitiga tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(a).

 

2.      Fungsi keanggotaan trapesium, disifati oleh parameter{a,b,c,d} yang

didefinisikan sebagai berikut:

                          (6)

 

parameter {a,b,c,d} (dengan a<b<c<d) yang menentukan koordinat x dari keempat

sudut trapesium tersebut, seperti terlihat pada Gambar 2(b).

 

3.      Fungsi keanggotaan Gaussian, disifati oleh parameter {c,s} yang didefinisikan

sebagai berikut:

                                       (7)

 

Fungsi keanggotaan Gauss ditentukan oleh parameter c dan s yang menunjukan titik

tengah dan lebar fungsi, seperti terlihat pada Gambar 2(c) .

  

 

Gambar 2. Kurva fungsi keanggotaan, (a).segitiga(x;20,50.80), (b).trapesium (x;10,30,70,90), (c).gaussian(x;50,15), (d).bell(x;10,2,50), (e).sigmoid (x;0.2,50) dan

(f).sigmoid(x;-0.2,50). 

 

4.      Fungsi keanggotaan generalized bell, disifati oleh parameter {a,b,c} yang

didefinisikan sebagai berikut:

                                      (8)

parameter b selalu positif, supaya kurva menghadap kebawah, seperti terlihat pada

Gambar 2(d).

 

5.      Fungsi keanggotaan sigmoid, disifati oleh parameter {a,c} yang didefinisikan

sebagai berikut:

                                 (9)

parameter a digunakan untuk menentukan kemiringan kurva pada saat x = c.

Polaritas dari a akan menentukan kurva itu kanan atau kiri terbuka, seperti terlihat

pada Gambar 2.(d) dan 2.(e).

 

Fuzzy IF-Then Rule

            Kaidah fuzzy If-Then (dikenal juga sebagai kaidah fuzzy, implikasi fuzzy atau

pernyataan kondisi fuzzy) diasumsikan berbentuk:

 

Jika x adalah A maka y adalah B                                       (10)

 

Dengan A dan B adalah nilai linguistik yang dinyatakan dengan himpunan fuzzy

dalam semesta pembicaraan X dan Y. Sering kali “x adalah A” disebut sebagai

antecedent atau premise, sedangkan “y adalah B” disebut consequence atau conclusion.

 

            Kaidah fuzzy if-then “jika x adalah A maka y adalah B” sering kali disingkat

dalam bentuk AB yang merupakan suatu bentuk relasi fuzzy biner R pada produk

ruang X ´ Y. Terdapat dua cara untuk menyatakan AB, yaitu sebagai A coupled with B

dan A entails B. Jika dinyatakan sebagai A coupled with B maka didefinisikan sebagai

berikut:

dengan  adalah operator T-norm. Sedangkan jika dinyatakan sebagai A entails B maka

didefinisikan sebagai berikut:

-         material implication:

;                                      (11)

-         propositional calculus:

;                                 (12)

-         extended propositional calculus:

;                                (13)

-         generalization of modus ponens:

;                (14)

dengan R=AB dan  adalah operator T-norm.

 

 

Fuzzy Reasoning

            Kaidah dasar dalam menarik kesimpulan  dari dua nilai logika tradisional

adalah modus ponens, yaitu kesimpulan tentang nilai kebenaran pada B diambil

berdasarkan kebenaran pada A. Sebagai contoh, jika A diidentifikasi dengan “tomat

itu merah” dan B dengan “tomat itu masak”, kemudian jika benar kalau “tomat itu

merah” maka “tomat itu masak”, juga benar. Konsep ini digambarkan sebagai

berikut:

 

premise 1 (kenyataan)        : x adalah A,

premise 2 (kaidah)              : jika x adalah A maka y adalah

B.

Consequence (kesimpulan) : y adalah B.

 

 

            Secara umum dalam melakukan penalaran, modus ponens digunakan dengan

cara pendekatan. Sebagai contoh, jika ditemukan suatu kaidah implikasi yang sama

dengan “jika tomat itu merah maka tomat itu masak”, misalnya “tomat itu kurang

lebih merah,” maka dapat disimpulkan “tomat itu kurang lebih masak”, hal ini dapat

dituliskan seperti berikut:

 

 

premise 1 (kenyataan)        : x adalah A’,

premise 2 (kaidah)              : jika x adalah A maka y adalah

B.

Consequence (kesimpulan) : y adalah B’.

 

Dengan A’adalah dekat ke A dan B’adalah dekat ke B. Ketika A, B, A’ dan B’adalah

himpunan fuzzy dari semesta yang berhubungan, maka penarikan kesimpulan

seperti tersebut dinamakan penalaran dengan pendekatan (approximate reasoning)

yang disebut juga dengan generalized modus ponens (GMP).

 

            Untuk mendefinisikan penalaran fuzzy, dimisalkan A, A’ dan B adalah

himpunan fuzzy dari X, X dan Y, dengan AB adalah suatu relasi R pada X´Y. Kemudian

himpunan fuzzy B diinduksikan oleh “x adalah A” dan kaidah fuzzy “jika x adalah A

maka y adalah B” didefinisikan sebagai berikut:

                                 (15)

atau sama dengan

                                              (16)

 

Kaidah Tunggal dengan Antecedent Tunggal

            Kaidah tunggal dengan antecedent tunggal merupakan contoh yang paling

sederhana dari formula pada Persamaan (15) dan setelah disederhanakan,

Persamaan (15) menghasilkan persamaan berikut:

                                      (17)

dengan persamaan ini, terlebih dahulu dicari nilai maksimum dari  

(daerah warna gelap pada bagian antecedent pada Gambar 3), selanjutnya fungsi

keanggotaan B’ adalah bagian warna gelap pada Gambar 3 yang merupakan fungsi

keanggotaan B yang terpotong oleh w.

 

 

 

 

Gambar 3. Penjelasan secara grafis dari GMP menggunakan implikasi Mamdani dan komposisi max-min.

 

Kaidah Tunggal dengan Antecedent Jamak

            Kaidah fuzzy if-then dengan dua antecedent, biasanya ditulis sebagai “jika x

adalah A dan Y adalah B maka z adalah C”. Masalah yang berhubungan dengan GMP

dijelaskan dengan:

premise 1 (kenyataan)        : x adalah A’ dan y adalah B’,

premise 2 (kaidah)              : jika x adalah A dan y adalah B

maka z adalah C.

Consequence (kesimpulan) : z adalah C’.

 

            Kaidah fuzzy pada premise 2 dapat dibawa ke bentuk sederhana yaitu “A´BC”

yang kemudian dapat diubah menjadi relasi fuzzy ternary Rm, berdasarkan fungsi

implikasi Mamdani yaitu:

        (18)

C’ yang dihasilkan dapat dinyatakan sebagai

sehingga

                 (19)

 

dimana w1 dan w2 adalah nilai maksimum dari fungsi keanggotaan A Ç A’ dan    B Ç B’.

Secara umum w1 adalah merupakan derajat kompatibilitas antara A dan A’, demikian

juga dengan w2. Karena bagian antecedent pada kaidah fuzzy dibangun dengan

penghubung “and”, maka w1Ùw2 disebut firing strength atau derajat pencapaian dari

kaidah fuzzy, yang menggambarkan derajat pencapaian dari kaidah untuk bagian

antecedent. Secara grafis, proses ini ditunjukan oleh Gambar 4, dimana MF yang

dihasilkan yaitu C’ adalah sama dengan MF C yang dipotong oleh firing strength w.

 

 

 

Gambar 4. Aproximate reasoning untuk antecedent jamak.

 

Kaidah Jamak dengan Antecedent Jamak

            Untuk menjelaskan kaidah jamak, biasanya menganggap sebagai gabungan

dari relasi fuzzy yang berhubungan dengan kaidah fuzzy. Karena itu, permasalahan

GMP dituliskan sebagai:

 

premise 1 (kenyataan)        : x adalah A’ dan y adalah B’,

premise 2 (kaidah

1)             

: jika x adalah A1 dan y adalah

B1 maka z adalah C1.

Premise 3 (kaidah 2) : jika x adalah A2 dan y adalah

B2 maka z adalah C2.

Consequence (kesimpulan) : z adalah C’.

 

Proses di atas secara grafis dijelaskan pada Gambar II.6.

 

 

 

 

Gambar 5. Penalaran fuzzy untuk kaidah jamak dengan antecedent jamak.

 

            Proses di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan dua buah relasi R1= A1

´B1C1 dan R2= A2´B2C2, karena operator  adalah bersifat distributif terhadap

operator È, maka selanjutnya gabungan dari dua relasi tersebut menjadi

                                 (20)

dimana  dan  adalah kesimpulan fuzzy dari kaidah 1 dan 2.

5. Peraturan berbasis sistem ( Rule-based systems)

Dalam ilmu komputer , sistem berbasis aturan digunakan sebagai cara untuk menyimpan dan memanipulasi pengetahuan untuk menginterpretasikan informasi dalam cara yang bermanfaat. Mereka sering digunakan dalam kecerdasan buatan aplikasi dan penelitian.

Aplikasi

Sebuah contoh klasik dari sistem berbasis aturan adalah domain-spesifik sistem pakar yang menggunakan aturan-aturan untuk membuat pemotongan atau pilihan. Sebagai contoh, sistem pakar mungkin dapat membantu dokter memilih diagnosis yang benar berdasarkan sekelompok gejala, atau bergerak taktis memilih untuk memainkan game.

Sistem berbasis Peraturan dapat digunakan untuk melakukan analisis leksikal untuk mengkompilasi atau menafsirkan program komputer, atau dalam pemrosesan bahasa alami .

Pemrograman berbasis aturan upaya untuk mendapatkan petunjuk pelaksanaan dari mulai set data dan aturan, yang merupakan metode tidak langsung lebih dari menggunakan bahasa pemrograman imperatif yang berisi langkah-langkah pelaksanaan tedeng aling-aling.

Konstruksi

Sebuah sistem berbasis aturan khas memiliki empat komponen dasar: [1]

Daftar aturan atau peraturan dasar, yang merupakan jenis spesifik dari basis pengetahuan .

Sebuah mesin inferensi atau Reasoner semantik , yang menyimpulkan informasi atau mengambil tindakan berdasarkan interaksi antara masukan dan peraturan dasar. Penerjemah menjalankan program sistem produksi dengan melakukan siklus mengenali-tindakan berikut :

Pada tahap pertama, sisi kiri semua produksi yang cocok dengan isi memori kerja. Sebagai hasil serangkaian konflik diperoleh, yang terdiri dari instantiations semua, produksi puas. Sebuah Instansiasi produksi adalah daftar ordered kerja unsur-unsur memori yang memenuhi sisi kiri produksi.

Konflik-Resolusi: Dalam fase kedua, salah satu instantiations produksi di set konflik dipilih untuk eksekusi. Jika tidak ada produksi puas, yang menghentikan penerjemah.

Act: Pada tahap ketiga, tindakan produksi yang dipilih dalam tahap resolusi konflik dijalankan, tindakan ini dapat mengubah isi memori kerja, Pada akhir tahap ini, tahap pertama dijalankan lagi.

Sementara memori kerja . koneksi lainnya ke dunia luar di mana sinyal input dan output yang diterima dan

dikirim.

Gambar 5. Diagram blok proses Rule Evaluation

6. Defuzzifikasi

Contoh: model penawaran harga

Animasi berikut ini menggambarkan inferensi fuzzy dan defuzzifikasi untuk model harga penawaran. Klik pada tombol radio untuk mengetahui sifat dari metode defuzzifikasi tertentu.