TUGAS STATISTIKA INDUSTRI LANJUTAN

RESUME DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT, DISTRIBUSI

PROBABILITAS KONTINYU DAN TEORI KEANDALAN

Oleh:

RAHMI ELVIANA

1620932015

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2016

RESUME UNTUK CONTOH KASUS

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

A. Distribusi Bernoully

a. Ciri – ciri (Pens, 2005) :

1. Percobaan menghasilkan 2 keluaran M. E., yaitu S = SUKSES dan F = GAGAL

2. Keluaran bersifat exhaustive, yaitu : tidak ada keluaran yang lain

3. P(S) = p dan P (F) = q, sehingga p+q = 1

b. Diberikan oleh : , dengan y = { 0, jika F muncul 1, jika S muncul}

c. μ = p dan σ2 = p.q

Contoh Kasus Distribusi Bernoully (Pens, 2005) :

Dalam pelemparan koin, ditentukan bahwa munculnya muka (M) adalah SUKSES dan

munculnya belakang (B) adalah GAGAL.

Jawab.

y = 1, jika muncul muka, dan P(M) = p = ½,

y = 0, jika muncul belakang, dan P(B) = q = ½ .

Sehingga distribusi peluang dari y menurut bernoulli trial adalah :

P(1) = p1.q(1-1) = p = 0,5

P(0) = p0.q(1-0) = q = 0,5

B. Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan

sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan

masingmasing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent).

Ciri-ciri percobaan binomial (Pens, 2005) :

1. Percobaan terdiri dari n ulangan

2. Setiap hasil ulangan dapat digolongkan sebagai sukses (S) atau gagal (G)

3. Probabilitas sukses (p) untuk setiap ulangan adalah sama

4. Setiap ulangan harus bersifat independen.

Suatu percobaan dengan n ulangan mempunyai probabilitas sukses p dan gagal q = 1-p.

Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dalam n ulangan yang bebas,

maka X berdistribusi Binomial dengan distribusi probabilitas (Pens, 2005) :

Nilai harapan (rata-rata) dan varians dari variabel random yang berdistribusi

Binomial (Pens, 2005) :

= np

2 = npq

Contoh Kasus Distribusi Binomial (Pens, 2005) :

1. Seorang insinyur elektro sedang mengamati problem arus listrik pada komputer.

Hasil survey terakhir menunjukkan bahwa 10 % komputer yang dipakai mengalami

problem ini. Jika 5 sampel random dipilih dari seluruh populasi amatan, hitung

peluang :

a. terdapat 3 komputer terpilih mengalami kerusakan

b. paling sedikit 3 komputer terpilih mengalami kerusakan

c. kurang dari 3 komputer terpilih mengalami kerusakan

Jawab :

a. Tepat 3 komputer, y = 3

b. Paling sedikit 3 komputer, y = 3, 4, dan 5

P (Y ≥ 3) = P(3) + P(4) + P(5)

P(3)=0,0081

Maka, P(Y ≥ 3) = 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856

c. Kurang dari 3 komputer, y = 0, 1, 2

P(Y < 3) = 1 – P(Y ≥ 3) = 1 – 0,00856 = 0,99144

ATAU dengan memanfaatkan TABEL DISTRIBUSI BINOMIAL.

2. Sebuah mata uang dilempar 4 kali, kemungkinan munculnya sisi gambar mempunyai

distribusi Binomial dengan kemungkinan sukses ½ adalah sebagai berikut :

Kemungkinan munculnya gambar 2 kali adalah :

Fungsi kepadatan probabilitasnya adalah :

Rata-rata kemunculan gambar adalah :

μ

Varians kemunculan gambar adalah :

σ2

3. Dilakukan n pengulangan percobaan dengan menggunakan bilangan acak yang

mempunyai probabilitas untuk sukses adalah :

1. Jika diulangi 3 kali, hitung kemungkinan sukses lebih dari 2 kali.

2. Jika diulangi 5 kali, hitung kemungkinan sukses lebih dari 3 kali.

Jawab.

1. Bila dilakukan pengulangan 2 kali

2. Bila dilakukan pengulangan 5 kali

C. Distribusi Multinomial

Karakteristik (Pens, 2005) :

1. Eksperimen terdiri dari n trial yang identik

2. Untuk tiap trial terdapat k outcome yang mungkin

3. Probabilitas dari k outcome tersebut adalah p1, p2, p3, …, pk dan p1+p2+…Pk=1

4. Masing-masing trial bersifat independen

5. Variabel random yang menjadi interes: y1, y2, y3, …, yk.

Dengan:

pi=probabilitas outcome ke-I pada satu trial

p1+p2+…Pk=1

y1+y2+…yk=n

yi=Jumlah outcome ke-i muncul dalam n trial

Mean dan variansi dari variabel random multinomial yi

Contoh Kasus Distribusi Multinomial (Pens, 2005) :

Sebuah penelitian menunjukkan bahwa 10% monitor komputer memberikan radiasi

tinggi, 30 % sedang, dan 60% rendah. Bila diambil sampel acak 40 monitor dari sebuah

populasi amatan, hitunglah :

a. Peluang bahwa 10 monitor memiliki radiasi tinggi, 10 sedang, 20 rendah ;

b. Rata – rata dan variansi monitor dengan radiasi tinggi dari 40 monitor yang terpilih

sebagai sampel.

Jawab.

a. Ditentukan :

y1 = jumlah monitor radiasi tinggi

y2 = jumlah monitor radiasi sedang

y3 = jumlah monitor radiasi rendah

p1 = peluang terpilihnya monitor radiasi tinggi

p2 = peluang terpilihnya monitor radiasi sedang

p3 = peluang terpilihnya monitor radiasi rendah

Sehingga :

b. = n.pi = 40.10% = 4

= n. pi.(1-pi) = 40.(10%).(1-10%) = 3,6

D. Distribusi Binomial Negatif

Karakterisitik (Pens, 2005) :

1. Sering diinginkan untuk mengukur waktu yang dibutuhkan sebelum event tertentu

terjadi.

2. Misalnya: waktu pelanggan harus menunggu sampai dilayani, waktu sampai peralatan

tertentu rusak

3. Pada kasus ini, maka tiap-tiap unit waktu dipandang sebagai Bernoully Trial dengan

kemungkinan hasil S atau F.

4. Dalam Distribusi Binomial, variabel random y menunjukkan jumlah sukses,

5. Dalam kajian ini, variabel random y menunjukkan jumlah trial (unit waktu) sampai

sukses ke-r terjadi.

6. Distribusi probabilitas untuk variabel random y seperti ini disebut Distribusi Binomial

Negatif.ryry

r qpCyp 1

1)(

Dengan

p = probabilitas sukses untuk satu Bernoully Trial

q = 1-p

y = Jumlah trial sampai sukses ke-r terjadi

Mean dan Variansi dari Distribusi Probabilitas Binomial Negatif

Contoh Kasus Distribusi Binomial Negatif (Pens, 2005) :

1. Pada pelemparan koin yang dilakukan berulang kali, bagaimana distribusi

probabilitas mendapatkan gambar setelah 2 kali pelemparan ?Dalam kasus ini r=2,

sehingga fungsi probabilitasnya adalah :

Jawab.

2. Untuk memasang baut, digunakan sebuah peralatan elektrik dengan tingkat

keberhasilan 0,8 dalam selang waktu 1 detik. Jika operator gagal memasang baut

dalam selang waktu 1 detik pertama, tingkat keberhasilan pemasangan pada selang

waktu 1 detik kedua dianggap tetap 0,8. dalam 1 rangkaian assembly, terdapat 4 baut

yang harus dipasang. Tentukan :

a. distribusi probabilitas y, yaitu waktu (detik) yang diperlukan untuk memasang ke-

4 baut dalam 1 assembly.

b. peluang bahwa waktu yang diperlukan untuk memasang ke-4 baut tersebut adalah

6 detik.

Jawab.

a. r = 4 dan p = 0,8 ; q = 0,2 didapat

b. Waktu yang diperlukan 6 detik, berarti y = 6 dengan 4S dan 2F.

E. Distribusi Geometri

Karakterisitik (Pens, 2005) :

1. Merupakan Distribusi Binomial Negatif Khusus dengan r =1, sehingga

y = Jumlah trial sampai sukses pertama terjadi

2. Mean dan Variansi dari Distribusi Geometri

Contoh Kasus Distribusi Geometri (Pens, 2005) :

Sebuah kontainer berisi sekring untuk ekspor. Dari spesifikasi produsen diketahui bahwa

proporsi cacat sekring adalah 10 %. Inspektor sedang melakukan pengujian kesesuaian

mutu sekring dengan cara mengambil satu persatu sampai diketemukan sekring yang

cacat. Tentukan peluang bahwa sekring cacat ditemukan dalam 5 pengujian pertama.

Jawab.

p = 0,1 dan q = 0,9

Sehingga :

P(Y = y) = p.q y-1

= (0,1).(0,9)y-1

P(Y ≤ 5) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)

= (0,1)(0,9)0 + (0,1)(0,9)1 + (0,1)(0,9)2 + … + (0,1)(0,9)4

= 0,41

F. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek

yang dipilih tanpa pengembalian.

Ciri-ciri percobaan Hipergeometrik (Pens, 2005) :

1. Sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

2. Dari populasi berukuran N benda, sebanyak k benda diberi label “sukses”, dan N-k

benda diberi label “gagal”.

Dengan:

N = jumlah total elemen

R = jumlah sukses dalam N elemen

N = jumlah elemen yang diambil

Y = jumlah Sukses dalam n elemen yang diambil.

3. Mean dan Variansi dari Variabel Random Hipergeometri

Contoh Kasus Distribusi Hipergeometri (Pens, 2005) :

1. Dari 10 katalis yang ada diperlukan 3 untuk keperluan pembuatan produk kimia baru.

Dari sepuluh katalis tersebut terdapat 4 jenis katalis berkadar asam tinggi dan 6 jenis

berkadar asam rendah.

a. tentukan peluang bahwa katalis yang terpilih semua berkadar asam rendah ;

b. tentukan peluang bahwa dari 3 katalis yang dipilih, hanya 1 yang memiliki kadar asam

tinggi.

Jawab.

y = jumlah katalis berkadar asam tinggi dari 3 katalis terpilih

N = 10 , n = 3 , r = 4

Maka

a. b.

2. Diketahui dari 100 produk reproduksi VCD terdapat 7 VCD yang rusak. Bila diambil 10

hasil reproduksi VCD secara acak, banyaknya y VCD yang rusak mempunyai distribusi

hypergeometrik sebagai berikut :

Dengan menggunakan tabel distribusi geometrik yang sudah didapatkan dapat

dikatakan bahwa :

a. Probabilitas 4 VCD yang rusak dari 10 pengambilan acak adalah : P(4) = 0.0015

b. Rata-rata VCD yang rusak dari 10 pengambilan acak adalah :

c. Varians VCD yang rusak dari 10 pengambilan acak adalah :

G. Distribusi Poisson

distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari

kejadian acak tertentu. Ini dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial.

Ciri-ciri percobaan Poisson (Pens, 2005) :

1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu tertentu, tidak

tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu lain yang

terpisah.

2. Probabilitas terjadinya suatu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat,

sebanding dengan panjang selang waktu tersebut, dan tidak tergantung pada banyaknya

hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu tersebut.

3. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat,

dapat diabaikan.

4. Jika variabel random X menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam

selang waktu tertentu, dan l adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam selang

waktu tersebut, maka X berdistribusi Poisson dengan distribusi probabilitas

5. Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah l.

6. Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n

besar, sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati

0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial,

dengan

Contoh Kasus Distribusi Poisson (Pens, 2005) :

1. Sejumlah y retak pada spesimen beton untuk sebuah jenis semen mengikuti distribusi

poisson. Dengan pengamatan awal diketahui bahwa jumlah rata – rata keretakan setiap

spesimen adalah 2,5. Tentukan peluang bahwa sebuah spesimen yang dipilih secara

random memiliki jumlah keretakan 5.

Jawab.

P(Y=5) = 2.5 5 . e -2.5 = 0.0675!

2. Rata – rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1

milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel

melewati penghitung dalam suatu milidetik tertentu?

Jawab. y = 6 ; 4

P(Y=6) = 4 6 . e -4 = 0.1042 6!

3. Distribusi Poisson dengan rata-rata 2 dapat dituliskan dengan :

2. DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINYU

A. Distribusi Uniform

X merupakan seragam kontinyu (a, b). Fungsi distribusi probabilitas adalah (Suprayogi,

2006):

1. Parameter:

a, b bilangan riil (b > a)

a : batas bawah

b : batas atas

2. Fungsi distribusi probabilitas kumulatif:

3. Dengan rataan dan variansi:

Contoh Kasus Distribusi Uniform (Suprayogi, 2006):

1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam.

Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai

distribusi seragam. Tentukan:

a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X.

b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

Jawaban:

a) a = 0, b = 4, sehingga

b) Peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

2. Sebuah mesin roll menghasilkan lembaran baja dengan ketebalan berkisar antara 150

sampai dengan 200 mm. Tentukan

a. fungsi distribusi peluang,

b. rata-rata dan variansi dari ketebalan baja yang dihasilkan jika dianggap mengikuti

distribusi seragam.

Jawab.

a. Fungsi distribusi probabilitas

501

15020011)(

ab

yf

b. Rata-rata dan standar deviasi

1752

2001502

ba

43.1412

)150200(12

)( 22

ab

B. Distribusi Normal

1. Untuk distribusi dengan rata-rata m dan standar deviasi s, PDFnya adalah

2. Probabilitas kumulatif untuk y£y0 adalah integrasi dari fungsi PDF tersebut

3. Gunakan Tabel luas di bawah kurva normal.

Contoh Kasus Distribusi Normal (Suprayogi, 2006):

1. Tinggi badan yang dinyatakan dengan variabel random X diketahui berdistribusi normal

dengan rataan μ = 160 cm dan variansi σ2 = 16 cm2. Probabilitas bahwa tinggi badan

antara 150 cm dan 165 cm?

Jawab.

P(150<x<165) = P = P(-2,50<Z<1,25)

= P(Z<1.25/-P(Z<2.5)

= 0.8944 – 0.0062

=0.8882

2. Nilai ujian mahasiswa yang diasumsikan memiliki distribusi normal (rataan μ = 80,

variansi σ2 = 100). Jika mahasiswa yang lulus diinginkan sebesar 99 persen, batas nilai

kelulusan?

Jawab.

Misal variabel random X merupakan nilai ujian mahasiswa

P (X > x) = 0.99

P(X < x) = 0.01

P

C. Distribusi Gama

Karakteristik Distribusi Gama (Suprayogi, 2006):

1. X merupakan gamma (α, β)

2. Fungsi distribusi probabilitas:

3. Parameter:

α, β > 0

4. Rataan

μ =αβ X

5. Variansi

σ 2 =αβ 2

Contoh Kasus Distribusi Gama (Suprayogi, 2006):

1. Data historis waktu antar breakdown sebuah mesin bubut mengikuti distribusi gamma

dengan rata-rata 4 hari dan standar deviasi √2 hari. Tentukan nilai parameter skala dan

bentuk dari distribusi gamma yang dimaksud.

Jawab.

Distribusi Gamma, m = a.b dan 2 = a.b2

Karena

4)2( 222

abab

, maka b=1/2 dan a=8

2. Suatu panggilan telepon datang pada papan switching mengikuti proses Poisson,

dengan rata-rata 5 sambungan datang tiap menit. Tentukan peluang hingga 1 menit

berlalu baru 2 sambungan yang datang.

Jawaban:

Proses Poisson dapat diterapkan dengan menunggu 2 kejadian Poisson terjadi

mempunyai distribusi Gamma dengan b = 1/5 dan α = 2. Misalkan X adalah selang

waktu sebelum 2 panggilan telpon datang. Peluangnya adalah:

D. Distribusi Chi Square

Contoh Kasus Distribusi Chi Square (Suprayogi, 2006):

Variabel random Χ2 diketahui berdistribusi khi‐kuadrat dengan derajat kebebasan v = 10.

Nilai χ2 α agar probabilitas di sebelah kanan α = 0,05?

E. Distribusi Eksponensial

1. Merupakan distribusi gamma dengan a=1, sehingga PDF nya adalah

2. Mean dan variansi distribusi eksponensial

m=b dan s2=b2

Aplikasi distribusi eksponensial:

1. Dalam teori antrian, jarak antar kedatangan pelanggan di fasilitas pelayanan (seperti

bank, loket kereta api, tukang cukur, dsb) memenuhi distribusi eksponensial.

2. Lama waktu mulai dipakai sampai rusaknya suatu suku cadang dan alat listrik

memenuhi distribusi eksponensial.

Contoh Kasus Distribusi Eksponensial (Munir, 2010):

1. Umur lampu (dinotasikan dengan X) merupakan variabel random yang memiliki

distribusi eksponensial dengan rataan β = 6 bulan. Probabilitas bahwa umur lampu X

lebih dari 8 bulan?

Jawab.

2. Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun

dinyatakan oleh peubah acak T. Peubah acak T berdistribusi eksponensial dengan

parameter waktu rataan sampai gagal b = 5. Jika terdapat 5 buah komponen dipasang

pada sistem yang berlainan, tentukan peluang sekurangkurangnya 2 komponen masih

berfungsi sampai akhir tahun ke-8.

Jawaban:

Peluang komponen masih berfungsi hingga akhir tahun ke 8 adalah

Misalkan X adalah jumlah komponen yang masih berfungsi hingga akhir tahun ke-8,

maka dengan distribusi binomial.

F. Distribusi Weibull

Contoh Kasus Distribusi Weibull

Masa pakai sebuah mata pahat (dalam jam) mengikuti distribusi Weibull dangan a=8 dan

b=100. Tentukan probabilitas bahwa umur sebuah mata pahat kurang dari 8 jam.

0/

0

0

)1(

00 ..)()(

yy

y

dyeydyyfyFbaa

ba

Substitusi z=ya dan dz=a.ya-1dy diperoleh

bab /

0011 yeeyF

z 4773.0118)8( 64.0100/82

£ eeFyP

G. Distribusi Student T

Contoh Kasus Distribusi Student T

1. Variabel random T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v = 10. Nilai tα

agar probabilitas di sebelah kanan α = 0,05?

Jawab.

Perhaikan tabel distribusi berikut. Perhatikan nilai yang dilingkari. Nilai tersebut merupakan

nilai dengan derajat kebebasan v = 10 dan α = 0,05.

2. Variabel random T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v = 10. Nilai tα

agar probabilitas di sebelah kiri 0,05?

Perhaikan tabel distribusi berikut. Perhatikan nilai yang dilingkari. Nilai tersebut

merupakan nilai dengan derajat kebebasan v = 10 dan α = 0,05.

3. PERSOALAN KEANDALAN

Nilai keandalan suatu komponen atau sistem merupakan nilai kemungkinan/probabilitas dari

suatu komponen atau sistem untuk dapat memenuhi fungsinya dalam kurun waktu dan kondisi

tertentu yang sudah ditetapkan (Taufiqurrachman, 2015). Dalam mengevaluasi keandalan suatu

sistem, variabel random yang dipakai umumnya adalah waktu.

Fungsi keandalan merupakan probabilitas suatu alat/ komponen dapat berfungsi sampai suatu

periode t. Berikut persamaan dan grafik Fungsi keandalan.

R(t)

Gambar 1. Fungsi keandalan (Taufiqurrachman, 2015).

Berikut persamaan dan grafik Fungsi keandalan utnuk tiap distribusi (Taufiqurrachman, 2015).

1. Distribusi Hiperexponensial

Fungsi keandalan R(t) = K. e (-2 K λ t) + (1-K) e [-2 (1-K) λ t]

2. Distribusi Normal

Fungsi keandalan

3. Distribusi Eksponensial

Fungsi keandalan R(t) = e (-λ t)

Contoh Kasus Teori Keandalan menggunakan Distribusi Eksponensial

Masa pakai (lifetime) sejenis komponen elektronika adalah acak. Masa pakai tersebut

memunyai distribusi eksponensial dengan mean 100 jam.

a) Hitung probabilitas masa pakai komponen lebih dari 150 jam.

b) Bila keandalan komponen tidak boleh kurang dari 0.8, hitung masa pakai komponen

tersebut.

Jawab.

T: variabel acak masa pakai komponen elektronik

T~ eksponensial dengan mean 100 jam

CDF variabel acak T berdistribusi eksponensial:

Probabilitas T lebih dari150 jam:

Prob. T>150 jam merupakan keandalan komponen beroperasi pada jam ke 150.

DAFTAR PUSTAKA

Munir, Rinaldi (2010). Probabilitas dan Statistik diakses tanggal 23 Agustus 2016 pukul 11.12 WIB dari http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Probstat/2010-2011/Beberapa%20Distribusi%20Peluang%20Kontinu.pdf

Pens (2005). Distribusi Probabilitas diakses tanggal 23 Agustus 2016 pukul 08.08 WIB dari http://irma.lecturer.pens.ac.id/Statistik/Distribusi%20Probabilitas%20Diskrit.pdf

Suprayogi (2006). Distribusi Probabilitas Kontinyu Teoritis diakses tanggal 23 Agustus 2016 pukul 09.22 WIB dari http://andihm.weblog.esaunggul.ac.id/wp-content/uploads/sites/1148/2014/04/ESA155_M3_S.pdf

Taufiqurrachman (2015). Distribusi Probabilitas Dan Terminologi Keandalan diakses tanggal 23 Agustus 2016 pukul 13.25 WIB dari http://www.taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id