1. Misalkan R suatu ring dan I suatu ideal kiri, atau kanan. Tunjukkan R = I jika dan hanya

jika 1ϵ I.

Jawab:

Dik I suatu ideal kiri, atau kanan

i. Jika R = I, maka 1ϵ I

R = I berarti R ⊆ I dan I ⊆ R

karena 1ϵ R dan R ⊆ I maka 1ϵ I

Jika 1ϵ I, maka R = I

Dik I suatu ideal (I ⊆ R) kiri, atau kanan dan 1ϵ I

ii. Ambil sebarang r ϵ R dan aϵ I maka

arϵ I selanjutnya karena 1ϵ I maka

1.r = rϵ I ∀ r ϵ R berarti R⊆ I diawal diketahui I ideal kiri atau kanan (I⊆R)

Jadi dapat disimpulkan bahwa R = I

Dari I dan ii dapat disimpulkan R = I jika dan hanya jika 1ϵ I

2. Diketahui M3(R) gelanggang matriks 3x3 atas lapangan bilangan nyata. Tentukan semua

ideal kiri dan ideal kanan dari M3(R).

Jawab:

M3(R) = (a b cd e fg h i )∈R

1. Ideal kiri

O dikatakan ideal kiri dari M 3(R) jika untuk setiap A ∈O, R ∈M 3(R) maka RA ∈O

Misalkan

R =(a b cd e fg h i )∈M 3(R) dan A = (m n o

p q rs t u) ∈O

RA = (a b cd e fg h i ) x (m n o

p q rs t u)

= (am+bp+cs an+bq+ct ao+br+cudm+ep+ fs dn+eq+ft do+er+ fugm+hp+is gn+hq+¿ go+hr+iu )∈O

Matriks yang mungkin untuk A agar RA ∈O adalah

(0 0 o0 0 r0 0 u) (m 0 0

p 0 0s 0 0) (0 n 0

0 q 00 t 0) (0 0 0

0 0 00 0 0)

Struktur aljabar 2

(m n 0p q 0s t 0) (m 0 o

p 0 rs 0 u) (0 n o

0 q r0 t u) dan (m n o

p q rs t u)

Okiri = {

(0 0 00 0 00 0 0) ,(m 0 0

p 0 0s 0 0) ,(0 n 0

0 q 00 t 0) ,(0 0 o

0 0 r0 0 u) ,(m n 0

p q 0s t 0) ,(m 0 o

p 0 rs 0 u) ,(0 n o

0 q r0 t u) ,(m n o

p q rs t u)}

2. Ideal kanan

O dikatakan ideal kanan dariM 3(R) jika untuk setiap A ∈O, R ∈M 3(R) maka AR ∈O

Misalkan

R =(a b cd e fg h i )∈M 3(R) dan A = (m n o

p q rs t u) ∈O

AR = (m n op q rs t u) x(a b c

d e fg h i )

= (ma+nd+og mb+ne+oh mc+nf +oipa+qd+rg pb+qe+rh pc+qf +risa+td+ug sb+te+uh sc+tf +ui )∈O

Matriks yang mungkin untuk A agar RA ∈O adalah

(m n o0 0 00 0 0) (0 0 0

p q r0 0 0) (0 0 0

0 0 0s t u) (0 0 0

0 0 00 0 0)

(m n op q r0 0 0) (m n o

0 0 0s t u) (0 0 0

p q rs t u) dan (m n o

p q st u v )

Okanan = {

(0 0 00 0 00 0 0) ,(m n o

0 0 00 0 0) ,(0 0 0

p q r0 0 0) ,(0 0 0

0 0 0s t u),(m n o

p q r0 0 0) ,(m n o

0 0 0s t u) ,(0 0 0

p q rs t u),(m n o

p q rs t u)}

3. Tunjukkan bahwa ideal dari M3(R) hanya 0 dan M3 (R).

Jawab :

Ideal merupakan irisan dari ideal kiri dan ideal kanan

Struktur aljabar 2

O = Okiri ∩Okanan = {(0 0 0

0 0 00 0 0) ,(m n o

p q rs t u)}.

jadi ideal dari M3(R) hanya 0 dan M3 (R).

4.Diketahui Z menyatakan daerah bilangan bulat. Tunjukkan bahwa subhimpunan Zn = {kn , k ϵ Z },

untuk setiap n ϵ Z ,membentuk ideal di Z. Sebaliknya juga,tunjukkan bahwa setiap ideal I di Z

senantiasa memenuhi I = Zn untuk suatu n ϵ Z .

i. (Z, + , x) merupakan ring (telah dibutktikan).ii. Perkalian bilangan bulat bersifat komutatif.

a.b = b.acontoh: 2 x 3 = 6 3 x 2 = 6

2 x 3 = 3 x 2 = 6Zn merupakan ideal di Z. jika memenuhi :

1. Zn dikatakan ideal kiri dari Z jika ∀a ϵ Zn , r ϵ Z maka ra ϵ ZnAmbil b = k.nϵ Zn dan aϵ Z sebaranga.b = a.(k.n) = (a.k).n asosiatif

= (k.a).n komutatif= k(an) an ϵ Z (sifat tertutup)

sehingga a.bϵ Zn, jadi Zn merupakan ideal kiri dari Z

2. Zn dikatakan ideal kanan dari Z jika ∀a ϵ Zn , r ϵ Z maka ra ϵ ZnAmbil b = k.nϵ Zn dan aϵ Z sebarangb.a = (k n) a= k n a

= k.(n.a) na ϵ Z (sifat tertutup)sehingga a.bϵ Zn, jadi Zn merupakan ideal kanan dari Z.

karena Zn merupakan ideal kanan dan ideal kiri dari Z maka Zn merupakan ideal di Z.

selanjutnya bila ada I yang juga merupakan ideal di Z.ambil b ϵ I dan n ϵ Z sebarang jelas bahwa b juga elemen Z sehingga

bn = nb ϵ I (komutatif)karena b , n ϵZ sebarang maka bn juga elemen Znjadi I¿Zn

jadi setiap ideal I di Z senantiasa memenuhi I = Zn untuk suatu n ϵ Z

5. Jika R suatu ring komutatif, tunjukkan bahwa untuk ideal I di R, ring kuosien R/I juga

komutatif.

Jawab:

Struktur aljabar 2

Misalkan R merupakan ring komutatif dan I ideal di R. Akan ditunjukkan bahwa ring kuosien R/I juga

komutatif. Berdasarkan teorema 2.35, maka:

Jelas bahwa (I + a).(I + b) = I + (ab) (a ϵ R, b ϵ R)

= I + (ba) (Sifat komutatif)

= (I + b).(I + a) (Terbukti)

6. Diketahui himpunan:

S={(a b c0 d d0 0 f )∨a , b , c , d , e , f di R} dengan R menyatakan lapangan bilangan nyata.

Tunjukkan:

a. Terhadap operasi tambah dan operasi kali matriks, sistem (S, +, x) membentuk ring.b. Himpunan

I={(0 p q0 0 r0 0 0)∨p , q , r di R } membentuk ideal di S.

c. Koset di gelanggang kuosien S/I dapat diwakili oleh matriks diagonal

Jawab:

a. Akan ditunjukkan bahwa (S,+,x) merupakan Ring.(S,+,x) dikatakan Ring jika memenuhi:1.) (S,+) merupakan Grup komutatif.

Syarat Grup komutatif: Tertutup , ∀a ,b∈S berlaku a + b ∈S

Misal :

A=(a1 b1 c1

0 d1 e1

0 0 f 1)∈S B=(a2 b2 c2

0 d2 e2

0 0 f 2)∈S

Maka, A + B = (a1 b1 c1

0 d1 e1

0 0 f 1)+¿ (a2 b2 c2

0 d2 e2

0 0 f 2)

¿(a1+a2 b1+b2 c1+c2

0 d1+d2 e1+e2

0 0 f 1+f 2)∈S (Memenuhi)

Contoh:

Struktur aljabar 2

A=(1 2 30 2 10 0 1)∈S, B=(2 3 4

0 1 20 0 3)∈S

Maka, A + B =(1 2 30 2 10 0 1)+(2 3 4

0 1 20 0 3)= (3 5 7

0 3 30 0 4)∈S

Asosiatif, , ∀a ,b , c∈S berlaku (a+b¿+c=a+(b+c )Contoh:

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S, B¿(2 3 1

0 1 20 0 3) ∈S dan C =(3 2 1

0 3 10 0 2)∈S

Maka, ( A+B ¿+C=A+(B+C)

[(1 2 30 2 10 0 1)+(2 3 1

0 1 20 0 3)]+(3 2 1

0 3 10 0 2)=(1 2 3

0 2 10 0 1) +[(2 3 1

0 1 20 0 3)+(3 2 1

0 3 10 0 2)]

(3 5 40 3 30 0 4)+(3 2 1

0 3 20 0 2)=(1 2 3

0 2 10 0 1)+(5 5 2

0 1 30 0 5)

(6 7 50 6 40 0 6 )=(6 7 5

0 6 40 0 6)∈S (Memenuhi)

Memilki unsur Identitas, ∀a∈S∋ e∈Sberlaku a + e = e + a = a ∈S

Unsur Identitasnya yaitu : e=(0 0 00 0 00 0 0)

Contoh :

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S

Maka , A + e = e + A = A

(1 2 30 2 10 0 1)+(0 0 0

0 0 00 0 0)=(0 0 0

0 0 00 0 0)+(1 2 3

0 2 10 0 1)=(1 2 3

0 2 10 0 1)

(1 2 30 2 10 0 1)=(1 2 3

0 2 10 0 1)=(1 2 3

0 2 10 0 1)∈S (memenuhi)

Invers ,∀a∈S∋a−1∈Sberlaku a + a−1= a−1+a=e ∈SContoh :

Struktur aljabar 2

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S , A−1=(−1 −2 −3

0 2 −10 0 −1)∈S

Maka,A + A−1= A−1+ A=e

(1 2 30 2 10 0 1)+(−1 −2 −3

0 2 −10 0 −1)=(−1 −2 −3

0 2 −10 0 −1)+(1 2 3

0 2 10 0 1)=(0 0 0

0 0 00 0 0)

(0 0 00 0 00 0 0)=(0 0 0

0 0 00 0 0)=(0 0 0

0 0 00 0 0)∈S(Memenuhi)

Karena memenuhi syarat i),ii) ,iii) dan iv) maka (S,+) Merupakan grup.

Komutatif ∀a ,b∈S berlaku (a+b¿=(b+a)∈SContoh:

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S,B=(2 3 1

0 1 20 0 3)∈S

Maka, A + B = B + A

(1 2 30 2 10 0 1)+(2 3 1

0 1 20 0 3)=(2 3 1

0 1 20 0 3)+(1 2 3

0 2 10 0 1)

(3 5 40 3 30 0 4)=(3 5 4

0 3 30 0 4 )∈S (Memenuhi)

Karena memenuhi syarat a) dan b),maka (S,+) merupakan grup komutatif.

2.) ( S,x ) merupakan Semigrup.Syarat Semigrup :

Tertutup , ∀a ,b∈S brlaku a x b∈S

Contoh:

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S,B=(2 3 1

0 1 20 0 3)∈S

Maka, A x B = (1 2 30 2 10 0 1)(2 3 1

0 1 20 0 3)=(2 5 18

0 2 70 0 3 )∈S

Assosiatif , ∀a ,b , c∈S berlaku (a x b¿ xc=a x(b xc )Contoh:

Struktur aljabar 2

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S, B¿(2 3 1

0 1 20 0 3) ∈S

C =(3 2 10 3 10 0 2)∈S

Maka , ( A x B ¿ xC=A x (B x C)

[(1 2 30 2 10 0 1)x (2 3 1

0 1 20 0 3)] x (3 2 1

0 3 10 0 2)=(1 2 3

0 2 10 0 1) x [(2 3 1

0 1 20 0 3)x (3 2 1

0 3 10 0 2)]

(2 5 140 2 70 0 3 )x (3 2 1

0 1 10 0 2)=(1 2 3

0 2 10 0 1) x (6 13 7

0 3 50 0 6)

(6 19 350 6 160 0 6 )=(6 19 35

0 6 160 0 6 )∈ S (Memenuhi)

Karena memenuhi syarat i) , dan ii) maka ( S, X ) merupakan Semigrup.

3.) Distributif, Distributif kiri, ∀a ,b , c∈S berlaku a (b+c )=ab+ac

Contoh :

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S, B¿(2 3 1

0 1 20 0 3) ∈S

C =(3 2 10 3 10 0 2)∈S

Maka , A ( B+C )=AB+ AC

(1 2 30 2 10 0 1)[(2 3 1

0 1 20 0 3)+(3 2 1

0 3 10 0 2)]=(1 2 3

0 2 10 0 1)(2 3 1

0 1 20 0 3)

+(1 2 30 2 10 0 1)(3 2 1

0 3 10 0 2)

(1 2 30 2 10 0 1)(5 5 2

0 4 30 0 5)=(2 5 14

0 2 70 0 3 )+¿ (3 8 9

0 6 40 0 2)

Struktur aljabar 2

(5 13 230 8 110 0 5 )=(5 13 23

0 8 110 0 5 )∈S (Memenuhi)

i.) Distributif Kanan , ∀a ,b , c∈S berlaku (a+b ) c=ac+bcContoh:

A =(1 2 30 2 10 0 1)∈S, B¿(2 3 1

0 1 20 0 3) ∈S

C =(3 2 10 3 10 0 2)∈S

Maka , ( A+B ) C=AC +BC

[(1 2 30 2 10 0 1)+(2 3 1

0 1 20 0 3)](3 2 1

0 3 10 0 2)=(1 2 3

0 2 10 0 1)(3 2 1

0 3 10 0 2)+¿ (2 3 1

0 1 20 0 3)(3 2 1

0 3 10 0 2)

(1 2 30 2 10 0 1)(5 5 2

0 4 30 0 5)=(2 5 14

0 2 70 0 3 )+(3 8 9

0 6 40 0 2 )

(9 21 160 9 90 0 8 )=(9 21 16

0 9 90 0 8 )∈S (Memenuhi)

Karena memenuhi syarat i) dan ii) ,maka ( S ,+ ,x ) memenuhi sifat Distributif.Karena memenuhi syarat 1),2) , dan 3) maka ( S ,+ ,x ) merupakan Ring

b. I ={(0 p q0 0 r0 0 0)∨p , q , r di R } Membentuk Ideal di S ?

Menurut teorema 2.21

Andai S ring, I ⊆S dan I tidak kosong. I adalah subring dari S bila a-b dan ab ∈ I, ∀a ,b ϵ I

Jelas bahwa I ⊆S dan I tidak kosong.

Ambil A = (0 a b0 0 c0 0 0) dan B = (0 p q

0 0 r0 0 0) ϵ I

A – B = (0 a b0 0 c0 0 0) - (0 p q

0 0 r0 0 0) = (0 a−p b−q

0 0 c−r0 0 0 ) ∈ I

Struktur aljabar 2

A.B = (0 a b0 0 c0 0 0)(0 p q

0 0 r0 0 0)= (0 0 ar

0 0 00 0 0 ) ∈ I

Jadi I adalah subring dari S

Syarat I ideal di S yaitu:i.) I di katakan Ideal kiri dari S jika , ∀a∈ I , r∈S⇒ r a∈ I

Misal: A =(0 a b0 0 c0 0 0)∈ I , R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S

Maka , R x A = ( p q r0 s t0 0 u)(0 a b

0 0 c0 0 0)

= (0 ap bp+cq0 0 cs0 0 0 )∈ I

Contoh: A =(0 2 10 0 10 0 0)∈ I , R¿(1 2 3

0 2 10 0 1) ∈S

Maka , R X A=(1 2 30 2 10 0 1)(0 2 1

0 0 10 0 0)=(0 2 3

0 0 20 0 0)∈ I (Memenuhi Ideal kiri)

ii.) I di katakan Ideal kanan dari S jika , ∀a∈ I , r∈B⇒ ar∈ I

Misal: A =(0 a b0 0 c0 0 0)∈ I , R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S

Maka , A x R =(0 a b0 0 c0 0 0)( p q r

0 s t0 0 u)

= (0 as at+bu0 0 cu0 0 0 )∈ I

Contoh: A =(0 2 10 0 10 0 0)∈ I , R¿(1 2 3

0 2 10 0 1) ∈S

Maka , A X R=(0 2 10 0 10 0 0)(1 2 3

0 2 10 0 1)=(0 4 2

0 0 10 0 0)∈ I (Memenuhi Ideal kanan)

Struktur aljabar 2

iii.) I dikatakan ideal dari S ,jika I ideal kiri dan ideal kanan.

Karena I memenuhi ideal kiri dan ideal kanan maka I merupakan ideal dari S

c. Ambil A =(0 a b0 0 c0 0 0)∈ I dan R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S sebarang

Sehingga A + R = ( p a+q b+r0 s c+t0 0 u )∈ S/I sebarang karena A dan R diambil sebarang.

Bentuk umum dari matriks diagonal ordo 3 x 3 adalah M = (k 0 00 l 00 0 m)

Sedangkan bentuk koset dari gelanggang kuosien S/I adalah A + R = ( p a+q b+r0 s c+t0 0 u )

Jelas matriks M tidak dapat mewakili koset matriks A + R, jadi pernyataan salah.

7. Ring S seperti pada soal nomor 6

a. Tunjukkan himpunan

J={(0 0 s0 0 00 0 0)∨s∈ R} membentuk ideal di S.

b. Tentukan ring kuosien S/J

Jawab:

a.) Akan ditunjukkan bahwa J adalah subring dari S.

Menurut teorema 2.21

Andai S ring, J ⊆S dan J tidak kosong. J adalah subring dari S bila a-b dan ab ∈ J, ∀a ,b ϵ J

Jelas bahwa J ⊆S dan J tidak kosong.

Ambil A = (0 0 a0 0 00 0 0) dan B = (0 0 b

0 0 00 0 0) ∈ J

A – B = (0 0 a0 0 00 0 0) - (0 0 b

0 0 00 0 0) = (0 0 a−b

0 0 00 0 0 ) ∈ J

A.B = (0 0 a0 0 00 0 0)(0 0 b

0 0 00 0 0)= (0 0 0

0 0 00 0 0) ∈ J

Jadi J adalah subring dari S

Struktur aljabar 2

Syarat I ideal di S yaitu:i.) I di katakan Ideal kiri dari S jika , ∀a∈ I , r∈S⇒ r a∈ I

Misal: A =(0 0 a0 0 00 0 0)∈ I , R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S

Maka , R x A = ( p q r0 s t0 0 u)(0 0 a

0 0 00 0 0)

= (0 0 ap0 0 00 0 0 )∈ I

Contoh: A =(0 0 20 0 00 0 0)∈ I , R¿(1 2 3

0 2 30 0 3) ∈S

Maka , R X A=(1 2 30 2 30 0 3)(0 0 2

0 0 00 0 0)=(0 0 2

0 0 00 0 0)∈ I (Memenuhi Ideal kiri)

ii.) I di katakan Ideal kanan dari S jika , ∀a∈ I , r∈B⇒ ar∈ I

Misal: A =(0 0 a0 0 00 0 0)∈ I , R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S

Maka , A x R =(0 0 a0 0 00 0 0)( p q r

0 s t0 0 u)

= (0 0 au0 0 00 0 0 )∈ I

Contoh: A =(0 0 50 0 00 0 0)∈ I , R¿(1 2 3

0 2 30 0 3) ∈S

Maka ,A X R=(0 0 50 0 00 0 0)(1 2 3

0 2 30 0 3)=(0 0 15

0 0 00 0 0 )∈ I (Memenuhi Ideal kanan)

iii.) I dikatakan ideal dari S ,jika I ideal kiri dan ideal kanan.

Karena I memenuhi ideal kiri dan ideal kanan maka I merupakan ideal dari S

Struktur aljabar 2

b.) Ambil A =(0 0 s0 0 00 0 0)∈ J dan R¿( p q r

0 s t0 0 u) ∈S sebarang

Sehingga A + R ∈ S/J dan(A + R) + (A + Q)=A + (R + Q)(A + R) x (A + Q)=A + (R x Q) untuk suatu Q∈SS/J terhadap operasi tambah dan operasi kali matriks membentuk ring yang selanjutnya disebut ring kuosien

Struktur aljabar 2