Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale
-
Upload
ahmad-syihan -
Category
Documents
-
view
226 -
download
17
Transcript of Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale
TUGAS BESAR
STATISTIK DAN PROBABILITAS
“Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati
Margo City dari Arah Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”
Disusun Oleh:
Kelompok 1
Ahmad Syihan 1006659621
Hendra Radiansyah 1006659703
Ivan Fauzan 1006659716
Ledi Khalidannisa 1006659722
Pratiwie Azsmi 1006660932
Prilly Octavia 1006659754
Puspa Suparno 1006660945
Rezhi Dika Indra 1006660951
Baharudin Taufiq R. 0906640740
Okky Septi D. Zahir 0606076665
Fakultas Teknik
Universitas Indonesia
Depok 2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat
rahmat dan hidayah-Nya tugas besar Statistik dan Probabilitas ini dapat
diselesaikan tepat waktu. Adapun tujuan penulis membuat tugas besar ini adalah
mengkaji perihal pada statistik deskriptif tentang tema yang kami ajukan yaitu
“Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati Margo City dari Arah
Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”.
Secara garis besar, tugas besar ini berisi mengenai perhitungan statistik
deskriptif yaitu menyangkut ukuran pemusatan dan penyebaran, grafik
(histogram, polygon, dan ogive), serta membandingkan grafik tersebut dengan
kurva distribusi normal.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Ardiyansyah, ST.,
M.Eng, dan Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng selaku dosen mata kuliah Statistik dan
Probabilitas yang telah membimbing penulis, dan semua pihak yang telah
membantu dalam penyelesaian tugas besar ini.
Akhirnya, tiada gading yang tak retak, penulis pun menyadari bahwa
makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang
membangun sangat diharapkan demi kemajuan penulis dalam pembuatan tugas
besar selanjutnya.
Depok, Juli 2011
Penulis
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .......................................................................... i
DAFTAR ISI ......................................................................................... ii
DAFTAR TABEL ................................................................................ v
DAFTAR GAMBAR ............................................................................ vi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................ 1
1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ................................................................... 2
1.3 Metodologi Penelitian ........................................................... 2
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................... 3
2.1 Ukuran Pemusatan .................................................................. 3
2.1.1 Rata-rata/Average (Mean) .......................................... 3
2.1.2 Median ........................................................................ 3
2.1.3 Modus ......................................................................... 4
2.1.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... 5
2.2 Ukuran Penyebaran ................................................................ 5
2.2.1 Range .......................................................................... 6
2.2.2 Range Persentil 10-90 ................................................. 6
2.2.3 Simpangan Kuartil ...................................................... 6
2.2.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation) ......... 7
2.2.5 Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. 7
2.2.6 Varians ........................................................................ 8
2.2.7 Koefisien Variasi ........................................................ 8
2.3 Grafik (Histogram, Polygon, Ogive) ..................................... 9
2.3.1 Grafik Histogram ........................................................ 9
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
iii
2.3.2 Grafik Polygon ............................................................ 9
2.3.3 Grafik Ogive ............................................................... 10
2.4 Momen, Skewness, Kurtosis .................................................. 11
2.4.1 Momen ........................................................................ 11
2.4.2 Skewness ..................................................................... 12
2.4.3 Kurtosis ....................................................................... 13
2.5 Distribusi Normal ................................................................... 14
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................ 15
3.1 Distribusi Frekuensi ................................................................ 15
3.2 Grafik ...................................................................................... 17
3.2.1 Grafik Histogram ........................................................ 17
3.2.2 GrafikPolygon ............................................................. 17
3.2.3 Grafik Ogive ............................................................... 18
3.3 Ukuran Pemusatan .................................................................. 18
3.3.1 Mean ........................................................................... 18
3.3.2 Median ........................................................................ 19
3.3.3 Modus ......................................................................... 19
3.3.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... 19
3.4 Ukuran Penyebaran ................................................................ 24
3.4.1 Range .......................................................................... 24
3.4.2 Range Persentil 10-90 ................................................. 24
3.4.3 Simpangan Kuartil ...................................................... 25
3.4.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation) ......... 25
3.4.5 Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. 26
3.4.6 Varians ........................................................................ 26
3.4.7 Koefisien Variasi ........................................................ 26
3.5 Momen, Skewness, Kurtosis .................................................. 26
3.5.1 Momen ........................................................................ 27
3.5.2 Skewness ..................................................................... 28
3.5.3 Kurtosis ....................................................................... 28
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
iv
3.5.4 Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan
dengan Distribusi Normal ........................................... 28
BAB IV PENUTUP ............................................................................ 30
4.1 Kesimpulan ............................................................................ 30
4.2 Saran ...................................................................................... 32
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
v
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Hasil survey banyak angkot yang lewat Margo City
setiap 5 menit .......................................................................... 15
Tabel 3.2 Distribusi frekuensi ................................................................ 16
Tabel 3.3 Distribusi frekuensi kumulatif ................................................ 16
Tabel 3.4 Simpangan mutlak rata-rata .................................................... 25
Tabel 3.5 Simpangan baku ..................................................................... 26
Tabel 3.6 Perhitungan momen ................................................................ 27
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh grafik Histogram ..................................................... 9
Gambar 2.2 Contoh grafik Polygon ........................................................ 10
Gambar 2.3 Contoh grafik Ogive ............................................................ 11
Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan (skewness)......... 12
Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap
5 menit ................................................................................. 17
Gambar 3.2 Grafk Polygon banyaknya angkot yang lewat setiap
5 menit ................................................................................. 17
Gambar 3.3 Grafk Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit . 18
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kemacetan merupakan salah satu permasalahan yang paling sulit ditangani,
terbukti sampai sekarang hampir di setiap sudut kota Jakarta mengalami
permasalahan serupa, yaitu kemacetan. Hal ini dapat diakibatkan oleh berbagai
faktor, yaitu volume kendaraan yang melebihi lebar jalan, faktor kecelakaan, dan
juga adanya pengemudi-pengemudi yang tidak mengikuti peraturan lalu lintas,
dan lain sebagainya.
Hal serupa setidaknya juga dialami oleh kota di pinggiran Jakarta, yaitu
Kota Depok yang merupakan salah satu kota di Jawa Barat yang memiliki
kepadatan penduduk yang cukup padat, dilihat dari jumlah kendaraan bermotor
yang berlalu lalang di jalanan setiap harinya. Hampir di setiap sudut jalanan utama
Kota Depok, sebagai contoh Jalan Margonda Raya, mengalami kemacetan
terutama di kawasan pusat perbelanjaan seperti Depok Town Square (Detos),
Margo City, ITC Depok, dsb. Setelah dilakukan observasi ternyata sumber
kemacetan ialah tiada lain angkutan-angkutan umum seperti angkot, bus Kopaja,
bus Patas, dll yang sering berhenti atau ngetem di depan pusat perbelanjaan guna
mendapatkan penumpang.
Oleh karena itu, kelompok kami melakukan suatu penelitian mengenai
frekuensi angkutan umum, dalam hal ini kami lebih memusatkan pada angkot,
yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit. Penelitian ini
guna mendapatkan data mengenai banyaknya angkot yang melewati pusat
perbelanjaan ini, terutama angkot-angkot nomor 112 (jurusan Kp.Rambutan-
Depok), D11 (jurusan Depok-Pal), 04 cokelat (jurusan Depok-Pasar Minggu), dan
19 (Depok-Kp.Rambutan), yang menurut kami merupakan salah satu penyebab
akan kemacetan di ruas jalan di pusat perbelanjaan Margo City dan Depok Town
Square (keduanya saling bersebrangan).
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
2
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan kami melakukan penelitian yang ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran pemusatan
mengenai data yang telah kami dapatkan.
2. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran penyebaran
mengenai data yang telah kami dapatkan.
3. Membuat grafik histogram, polygon, dan ogive atau grafik kumulatif.
4. Membandingkan faktor kemencengan dan keruncingan distribusi tersebut
dengan kurva distribusi normal dan menentukan jenis kurva yang terbentuk.
1.3 Metodologi Penelitian
Adapun dalam penelitian ini penulis menggunakan beberapa metode terkait
pengambilan sampel maupun analisis data.
Pada pengambilan data, kami menggunakan probability sample terutama pada
metode cluster sample yaitu kita mengambil sampel hanya kelompok angkot
yang melewati Margo City dari arah Depok menuju Jakarta. Pengambilan
sampel ini dilakukan yaitu setiap 5 menit sekali berapa frekuensi angkot yang
melewati Margo City.
Pada pengelompokan data, kami membagi data tersebut dengan lebar interval
kelas sama yaitu 5 sehingga dapat dikelompokkan menjadi 7-8 kelas.
Pada pengolahan data, kami menggunakan metode statistik deskriptif yaitu
meliputi ukuran pemusatan (mean, median, modus, dan kuantil) dan ukuran
penyebaran (range, range persentil 10-90, simpangan kuarti, simpangan
mutlak rata-rata, deviasi standar, varians, dan koefisien varians).
Selain itu kami menggunakan metode perhitungan momen untuk mencari
skewness (kemencengan) dan kurtosis (keruncingan) sehingga dapat terbentuk
suatu grafik.
Sementara pada pembuatan grafik, kami menggunakan metode insert chart
pada program Microsoft Excel sehingga dapat memudahkan kami dalam
membuat grafiknya.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
3
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Ukuran Pemusatan
Data sering menunjukkan kecenderungan terpusat disekitar suatu nilai yang
dapat menggambarkan nilai data secara umum Nilai tersebut dalam statistik
disebut sebagai ukuran pemusatan (central tendency).
Terdapat beberapa ukuran pemusatan yang sering digunakan dalam statistik
yang akan dijelaskan sebagai berikut.
2.1.1 Rata-rata (Average) atau Mean
Rata-rata (average) adalah nilai khas yang mewakili sifat tengah, atau posisi
pusat, dari suatu kumpulan nilai data. Mean aritmetik (Arithmetic Mean) atau nilai
rata-rata data terkelompok suatu sampel dirumuskan sebagai berikut:
(untuk suatu sampel)
dimana :
= mean aritmetika dari suatu sampel
= jumlah interval kelas dalam suatu sampel
= banyaknya data x dalam suatu sampel
= frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas
= nilai tengah dari interval kelas
2.1.2 Median
Median menyatakan posisi tengah dari nilai dua data terjajar (data array).
Secara geometris, median merupakan nilai dari absis-s yang bertepatan dengan
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
4
garis vertikal yang membagi daerah dibawah poligon menjadi dua daerah yang
luasnya sama. Median data terkelompok suatu sampel dihitung dengan rumusan
berikut:
c (prinsip interpolasi)
dimana:
= batas bawah nyata kelas median (kelas yang memuat median)
= banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi)
= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median
= frekuensi kelas median
= lebar interval kelas median
2.1.3 Modus
Modus dari sekumpulan nilai data adalah nilai yang paling sering muncul
atau yang frekuensinya terbesar. Dalam suatu kumpulan nilai data, modus ini
mungkin ada mungkin juga tidak, dan kalaupun ada tidak selalu unik (tunggal).
Modus data terkelompok suatu sampel ditentukan dengan rumusan:
(prinsip interpolasi)
dimana:
= batas bawah nyata kelas dari kelas modus (kelas frekuensi terbesar)
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
= lebar interval median
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
5
2.1.4 Kuantil : Kuartil, Desil, dan Persentil
Kuantil adalah nilai-nilai yang membagi suatu jajaran data (data array)
menjadi bagian-bagian yang sama. Sebagai contoh, kuantil yang membagi jajaran
data menjadi dua bagian adalah median. Kuantil yang membagi jajaran data
menjadi empat bagian disebut kuartil , menjadi sepuluh bagian
disebut desil , dan menjadi seratus bagian disebut persentil
. Dengan pengertian diatas, maka : median .
Untuk data terkelompok, kita dapat mencari nilai kuantil menggunakan prinsip
interpolasi, dengan rumus ke-i:
dimana:
= batas bawah nyata kelas dari kelas kuantil ke-i
= banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi)
= konstanta (untuk kuartil r=4, desil r=10, persentil r=100)
= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih randah daripada kelas kuantil
ke-i
= frekuensi kelas kuantil ke-i
= lebar interval kelas kuantil
2.2 Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran (dispersion) menunjukkan seberapa jauh data menyebar
dari nilai rata-ratanya (variabilitas data). Dua alasan pentingnya meninjau ukuran
penyebaran ialah untuk membuat suatu penilaian seberapa baik suatu nilai rata-
rata dan untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran dari data, sehingga langkah-
langkah untuk mengendalikan variasi dapat dilakukan.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
6
Terdapat beberapa ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam statistik
yang akan dijelaskan sebagai berikut.
2.2.1 Jangkauan/Range
Nilai Jangkauan sekumpulan data adalah beda pengamatan data terbesar
dengan data terkecil dalam sekumpulan data tersebut.
R = Xmax-Xmin
2.2.2 Range Persentil 10-90
Jangkauan ini menyatakan selisih nilai persentil ke-90 dan k-10 jajaran data.
RP10-90 = 1090 PP
di mana:
RP10-90 = jangkauan/kisaran persentil 10-90
P90 = nilai persentil ke-90
P10 = nilai persentil ke-10
2.2.3 Simpangan kuartil
Simpangan kuartil atau deviasi kuartil dan lebih dikenal sebagai rentang
semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil.
Qd =
di mana:
Qd = simpangan kuartil
Q3 = nilai kuartil ke-3
Q1 = nilai kuartil ke-1
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
7
2.2.4 Simpangan Mutlak Rata-rata/Mean Deviation
Simpangan mutlak rata-rata merupakan ukuran penyebaran yang meninjau
besarnya penyimpangan setiap nilai data terhadap nilai rata-rata (mean)nya.
Simpangan sebuah pengamatan dari rata-ratanya diperoleh dengan mengurangkan
pengamatan tersebut dengan nilai rata-ratanya. Bila sekelompok data
X1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N maka
simpangan dari nilai rata-rata populasinya adalah:
NXXX ..,,........., 21
Demikian pula bila sekelompok data X1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah
contoh terhingga berukuran n,simpangan rata-ratanya adalah:
XXXXXX N..,,........., 21
Jumlah semua simpangan dari nilai rata-ratanya selalu sama dengan
nol,yang berlaku untuk semua jenis data,yang dapat diambil; nilai mutlak dari
ukuran keragaman simpangan rata-rata.Definisinya adalah:
n
i
i XXn
MD1
1
Untuk data terkelompok yang tersebar dalam tabel frekuensi fi dan titik
tengah x,simpangan rata-rata dinyatakan sebagai:
n
i
i
n
i
imi
f
XXf
MD
1
1
,
2.2.5 Deviasi Standard/Simpangan Baku
Deviasi standard (standard deviation) atau simpangan baku merupakan
ukuran penyebaran yang paling sering digunakan. Mayoritas nilai data cenderung
berada dalam satu deviasi standard dari mean, dan hanya sebagian kecil saja yang
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
8
terletak di luar dari tida deviasi standard dari meannya. Deviasi standar data
terkelompok suatu sampel memiliki persamaan sebagai berikut.
Data terkelompok:
2.2.6 Varians
Varians merupakan kuadrat dari deviasi standard, sehingga untuk sample
dinyatakan sebagai sx2. Bila sekelompok data X1,X2,X3,...........,Xn menyusun
sebuah populasi terhingga berukuran N yang mempunyai rata-rata ,maka
ragam populasi yang dilambangkan sebagai 2 (sigma kuadrat) adalah:
2
1
2 1
N
i
iXN
Untuk data berkelompok yang diambil, maka nilai dari keragaman adalah:
2
1
2
1
1
N
i
i XXn
s
2.2.7 Koefisien Variasi
Koefisien varians atau dispersi yang diuraikan dalam bagian merupakan
dispersi absolut. Variasi 3 cm untuk ukuran jarak 100 cm dan variasi 6 cm untuk
ukuran jarak 20 cm mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur
pengaruh tersebut dan membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-
nilai kecil digunakan koefisien varians relatif.
Dispersi relatif = Dispersi absolut / rata-rata
Tetapi, untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, sehingga diperoleh
koefisien variasi yang nilainya dinyatakan dalam persen.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
9
Koefisien varians tidak bergantung pada satuan yang digunakan, karenanya
dapat digunakan untuk membandingkan varians relatif beberapa kumpulan data
dengan satuan yang berbeda.
2.3 Grafik
Grafik merupakan salah satu cara dalam merepresentasikan distribusi
frekuensi. Terdapat tiga macam grafik yang akan dibahas, yaitu grafik histogram,
polygon, dan ogive atau frekuensi kumulatif.
2.3.1 Grafik Histogram
Histogram adalah tampilan data atau informasi statistik yang menggunakan
persegi panjang untuk menunjukkan frekuensi sebuah data dalam interval numerik
yang berurutan dari ukuran yang sama. Dalam bentuk yang paling umum, variabel
independen dari sebuah histogram diplot di sepanjang sumbu horizontal dan
variabel dependen diplot di sepanjang sumbu vertikal. Data-data tampak sebagai
persegi panjang yang sudah diwarnai atau terisi dibawah daerah variabel.
Gambar 2.1 contoh grafik Histogram
Sumber: http://www.netmba.com/images/statistics/histogram/histogram.gif
2.3.2 Grafik Polygon
Dalam sebuah Frekuensi Poligon, grafik garis digambar dengan
menggabungkan semua titik-titik tengah dari atas subah persegi panjang
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
10
histogram. Sebuah poligon frekuensi memberikan ide dan gambaran tentang
bentuk distribusi data. Titik akhir dari dua frekuensi poligon selalu berada pada
sumbu-x.
Gambar 2.2 contoh grafik Polygon
Sumber: http://www.onekobo.com/Articles/Statistics/statsImgs/24Graph-002.jpg
2.3.3 Grafik Frekuensi Kumulatif (ogive)
Juga dikenal sebagai ogive, Frekuensi Kumulatif adalah kurva yang ditarik
dengan memplot nilai kelas pertama pada grafik. Plot berikutnya adalah jumlah
dari nilai pertama dan kedua, plot ketiga adalah jumlah dari nilai pertama, kedua,
dan ketiga, dan seterusnya.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
11
Gambar 2.3 contoh grafik Ogive
Sumber: http://www.mathematics.com.au/images/600x480/5102.gif
2.4 Momen, Skewness, dan Kurtosis
2.4.1 Momen
Misalkan X1, X2, . . . , Xn merupakan nilai dari variabel X. Kuantitas:
disebut momen ke r dari X. Untuk r = 1, menjadi rerata (mean) aritmatika.
Momen ke-r simpangan terhadap mean didefinisikan sebagai:
Jadi, jika r = 1 maka m1,x = 0, dan jika r = 2 maka m2,x = sx2 (varians).
Momen ke-r simpangan terhadap sembarang asal A didefinisikan sebagai:
dimana d = X - A adalah deviasi X terhadap A.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
12
Untuk data terkelompok, misalkan X1, X2, . . . ,Xn terjadi dengan frekuensi
f1, f2, . . . , fn.
Untuk membedakan momen dari sampel dengan momen dari populasi,
biasanya digunakan simbol huruf yunani yang berkaitan. Jadi jikauntuk sampel
dinotasikan dengan mr,x dan m’r,x, maka untuk populasi masing-masing digunakan
notasi r,x dan ’r,x.
2.4.2 Skewness
Adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Distribusi yang
ekor kurvanya lebih panjang kekanan disebut menceng kekanan atau positive
skewness. Begitu juga sebaliknya.
Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan (skewness)
Sumber: http://www.google.co.id
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
13
Koefisien Skewness
Koefisien Pearson I:
Koefisien Pearson II:
Diperhatikan bila distribusinya normal maka koefisien skewness bernilai nol.
Koefisien skewness lainnya:
Koefisien kuartil skewness:
Koefisien skewness 10-90% percentile:
Koefisien momen skewness:
2.4.3 Kurtosis
Adalah ukuran kelancipan distribusi data dimana distribusi normal sebagai
pembanding.
Macam-macam ukuran kurtosis:
Koefisien momen kurtosis:
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
14
Kurtosis terhadap kuartil dan percentil:
Kurtosis positif distribusi lancip
Kurtosis negatif distribusi tumpul
2.5 Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling penting
baik dalam teori maupun aplikasi statisktik. Yang perlu diperhatikan pada
distribusi normal ialah kurva distribusiya yaitu simetris terhadap nilai mean
(kemencengannya yaitu 1 = 0), dan juga keruncingan pada distribusi normal ialah
sebesar 2 = 3.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
15
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Distribusi Frekuensi
Berdasarkan hasil survey yang dilakukan oleh kelompok kami pada hari
Minggu 10 Juli 2011 dan Senin 11 Juli 2011, di dapat beberapa data menyangkut
banyaknya jumlah angkot yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta
setiap 5 menitnya, yang akan disajikan dalam beberapa tabel berikut.
Tabel 3.1 Hasil survey banyaknya angkot yang lewat Margo City tiap 5 menit
Menit Jumlah Angkot yang Lewat (Berdasarkan Hasil Perhitungan oleh Surveyor)
Rezhi A.Syihan Prilly Hendra Pratiwie Ivan Puspa Baharudin Ledi Okky
1 s/d 5 17 5 11 11 10 15 16 20 20 19
6 s/d 10 23 32 9 8 16 14 17 24 14 20
11 s/d 15 20 20 10 17 15 16 23 11 22 9
16 s/d 20 24 18 10 18 23 15 31 19 12 13
21 s/d 25 20 28 7 5 14 12 37 17 6 18
26 s/d 30 30 26 8 12 17 10 34 27 12 16
31 s/d 35 24 18 9 4 11 18 32 14 22 17
36 s/d 40 22 21 11 22 10 9 14 9 8 12
41 s/d 45 24 23 9 6 20 5 21 16 12 12
46 s/d 50 27 28 11 8 19 23 25 18 4 12
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
16
Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari data angkot
Dari tabel 3.1 di atas, kami mengelompokkan jumlah angkot yang lewat
tiap 5 menit ke dalam 8 kelompok dengan interval kelas sebesar 5 tiap-tiap kelas,
sehingga didapat tabel distribusi frekuensi dari data angkot seperti pada tabel 3.2
di atas.
Untuk keperluan grafik ogive yang memerlukan distribusi frekuensi
kumulatif, berikut diberikan tabel mengenai distribusi frekuensi kumulatif dari
banyaknya angkot yang lewat Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit.
Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Kumulatif
Banyak Angkot yang
Lewat Tiap 5 Menit
(Mobil)
Frekuensi
(f)
1 s/d 5 5
6 s/d 10 18
11 s/d 15 23
16 s/d 20 27
21 s/d 25 16
26 s/d 30 6
31 s/d 35 4
36 s/d 40 1
Total (N) 100
Banyak Angkot yang
Lewat Tiap 5 Menit
(Mobil)
Frekuensi
(fc)
< 0,5 0
< 5,5 5
< 10,5 23
< 15,5 46
< 20,5 73
< 25,5 89
< 30,5 95
< 35,5 99
< 40,5 100
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
17
3.2 Grafik
3.2.1 Grafik Histogram
Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik histogram
yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
3.2.2 Grafik Polygon
Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik polygon
yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Gambar 3.2 Grafik Polygon banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
0
5
10
15
20
25
30
1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40
Fre
kue
nsi
(f)
Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)
Grafik Histogram
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
18
3.2.3 Grafik Ogive
Berdasarkan tabel 3.3 yaitu tabel distribusi frekuensi kumulatif, maka grafik
ogive yang terbentuk ialah sebagai berikut.
Gambar 3.3 Grafik Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit
3.3 Ukuran Pemusatan
3.3.1 Mean
0
20
40
60
80
100
120
< 0,5 < 5,5 < 10,5 < 15,5 < 20,5 < 25,5 < 30,5 < 35,5 < 40,5
Jum
lah
Ku
mu
lati
f (f
c)
Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)
Grafik Ogive
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
19
3.3.2 Median
3.3.3 Modus
3.3.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil)
Kuantil terdiri dari kuartil (r=4), desil (r=10), dan persentil (r=100)
Kuartil
Kuartil ke-1
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
20
Kuartil ke-2
Kuartil ke-3
Desil
Desil ke-1
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
21
Desil ke-2
Desil ke-3
Desil ke-4
Desil ke-5
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
22
Desil ke-6
Desil ke-7
Desil ke-8
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
23
Desil ke-9
Pversentil
Persentil ke-30
Persentil ke-57
Persentil ke-85
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
24
Persentil ke-99
3.4 Ukuran Penyebaran
3.4.1 Range
R = x max – x min
R = 37 - 4 = 33
3.4.2 Range Persentil 10-90
Rp 10-90 = P90- P10
Pi = Ll,1 +
c
P10 = 5.50 +
5 = 6,89
P90 = 25.50 +
5 = 26,33
Rp 10-90 = 26.33 – 6.89 = 19,44
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
25
3.4.3 Simpangan Kuartil
Qd =
Qi = Ll,1 +
c
Q1 = 10.5 +
5 = 10,93
Q3 = 20.5 +
5 = 21,12
Qd =
= 5,10
3.4.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation)
MD x =
=
= 6,02
(data di atas didapat dari tabel 3.4 di bawah ini)
Tabel 3.4 Simpangan Mutlak Rata-rata
Banyak
Angkot Tiap
5 Menit
Frekuensi xmi fi
1 - 5 5 3 16.5 13.5 67.5
6 -10 18 8 16.5 8.5 153
11 - 15 23 13 16.5 3.5 80.5
16 -20 27 18 16.5 1.5 40.5
21- 25 16 23 16.5 6.5 104
26- 30 6 28 16.5 11.5 69
31- 35 4 33 16.5 16.5 66
36- 40 1 38 16.5 21.5 21.5
Jumlah (N) 100 602
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
26
3.4.5 Deviasi Standar
Sx =
=
= 7.50
(data di atas didapat dari tabel 3.5 di bawah ini)
Tabel 3.5 Simpangan baku
Banyak
Angkot Tiap
5 Menit
Frekuensi xmi (xmi - ) (xmi - )2 fi (xmi - )
2
1 s/d 5 5 3 16.5 13.5 182.25 911.25
6 s/d 10 18 8 16.5 8.5 72.25 1300.5
11 s/d 15 23 13 16.5 3.5 12.25 281.75
16 s/d 20 27 18 16.5 1.5 2.25 60.75
21 s/d 25 16 23 16.5 6.5 42.25 676
26 s/d 30 6 28 16.5 11.5 132.25 793.5
31 s/d 35 4 33 16.5 16.5 272.25 1089
36 s/d 40 1 38 16.5 21.5 462.25 462.25
Jumlah (N) 100 5575
3.4.6 Varians
(diambil dari data deviasi standard)
2 = 7,50
2 = 56,25
3.4.7 Koefisien Variasi
(diambil dari data deviasi standard)
Vx =
=
= 0.45
3.5 Momen, Skewness, dan Kurtosis
Dari table data, dapat dibuat table perhitungan secara langsung seperti :
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
27
Tabel 3.6 Perhitungan momen
a
3 5 -67.5 911.25 -12301.875 166075.3125 -2242016.7 30267225.7 -408607547 5516201884
8 18 -153 1300.5 -11054.25 93961.125 -798669.56 6788691.281 -57703876 490482945.1
13 23 -80.5 281.75 -986.125 3451.4375 -12080.031 42280.10938 -147980.38 517931.3398
18 27 40.5 60.75 91.125 136.6875 205.03125 307.546875 461.320313 691.9804688
23 16 104 676 4394 28561 185646.5 1206702.25 7843564.63 50983170.06
28 6 69 793.5 9125.25 104940.375 1206814.31 13878364.59 159601193 1835413718
33 4 66 1089 17968.5 296480.25 4891924.13 80716748.06 1331826343 21975134660
38 1 21.5 462.25 9938.375 213675.0625 4594013.84 98771297.64 2123582899 45657032334
∑ 100 0 5575 17175 907281.25 7825837.5 231671617.2 3156395058 75525767335
3.5.1 Momen
, maka :
Momen ke-2
m2,x =
Momen ke-3
m3,x =
Momen ke-4
m4,x
Momen ke-5
M5,x =
Momen ke-6
m6,x =
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
28
Momen ke-7
m7,x =
Momen ke-8
m8,x =
3.5.2 Skewness
Kemencengan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan
pada Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor kemencengannya:
α3,x =
=
= 4,96 x 10
-10
3.5.3 Kurtosis
Keruncingan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan pada
Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor keruncingannya:
α4,x =
= 0,000292
3.5.4 Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan dengan Distribusi
Normal
Pada distribusi normal, nilai kemencengannya = 0, dan nilai keruncingannya
adalah 3. Pada percobaan yang kami lakukan, nilai kemencengannya 4,96 x 10-10
yang artinya lebih dari nol, dan nilai keruncingannya 0,000292 yang kurang dari
tiga. Pada distribusi normal, dengan nilai kemencengan 0 dan keruncingan tiga,
membuat kurva distribusi yang simetris, sehingga perbedaan nilai kemencengan
dan keruncingan pada percobaan yang kami lakukan dengan nilai kemencengan
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
29
dan keruncingan pada distribusi normal mengakibatkan kurva distribusi pada
percobaan kami tidak simetris. Nilai kemencengan kami yang lebih besar dari 0,
mengakibatkan, kurva distribusi pada percobaan kami adalah, kurva
menceng kanan. Sementara, untuk menentukan keruncingan sebuah grafik
menggunakan rumus (b2,x-3) dengan b2.x adalah momen keruncingannya. pada
penelitian kami, nilai momen keruncingannya adalah 0,00092. Sehingga
(0,00092-3) = - 2,99908. Karena hasilnya negatif, maka kurva yang terbentuk
adalah platykurtic. Sehingga kurva yang terbentuk adalah kurva platykurtic yang
menceng kanan.
.
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
30
BAB IV
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Dari data-data yang kami peroleh berupa perhitungan frekwuensi angkutan
perkotaan yang melewati depan Margo City dari arah Depok menuju ke Jakarta
setiap interval 5 menit, dapat kita ambil beberapa kesimpulan, diantaranya yaitu:
1. Berdasarkan hasil pengamatan dan juga dari grafik yang diperoleh, maka
jumlah angkot terbanyak adalah antara 16 hingga 20 dengan jumlah frekuensi
sebanyak 27.
2. Sedangkan untuk hasil dari perhitungan ukuran pemusatan diperoleh nilai-
niai sebagai berikut:
Mean: 16,50
Median: 16,24
Modus: 16,83
Data di atas menunjukkan bahwa hasil dari pengamatan dengan hasil dari
perhitungan memiliki nilai yang sama.
3. Untuk Kuantil, kami melakukan 3 jenis perhitungan, diantaranya kuartil, desil
dan persentil.
Kuartil
Q1 = 10,930
Q2 = 16,240
Q3 = 21,125
Desil
D1 = 6,89
D2 = 9,67
D3 = 12,02
D4 = 14,19
D5 = 16,24
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
31
D6 = 18,09
D7 = 19,94
D8 = 22,68
D9 = 26,33
Persentil
P30 = 12,02
P57 = 15,53
P85 = 24,25
P99 = 35,50
4. Perhitungan dari ukuran penyebaran yang diperoleh dari datan pengamatan
adalah sebagai berikut:
Range: 33
Range persentil: 19,44
Simpangan kuartil: 5,10
Mean deviation: 6,02
Deviasi standar: 7,50
Varians: 56,25
Koefisien variasi: 0,45
5. Perhitungan momen, skewness, dan kurtosis dan penentuan jenis kurva jika
dibandingkan dengan kurva distribusi normal
Momen
Momen ke-2 = 55,75
Momen ke-3 = 171,75
Momen ke-4 = 9072,81
Momen ke-5 = 78258,37
Momen ke-6 = 2316716,17
Momen ke-7 = 31563950,58
Momen ke-8 = 755257673,35
Skewnes: 4,96 x 10-10
Kurtosis: 0,000292
Jenis kurva yang terbentuk ialah kurva platycurtic yang menceng kanan
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
32
4.2 Saran
Adapun saran yang ingin kami sampaikan pada pengerjaan tugas besar ini
ialah sebagai berikut:
1. Sebagai mahasiswa teknik, sudah sepatutnya kita mampu menganalisa dan
melakukan perhitungan tentang statistik dan probabilitas, mengingat hal
tersebut merupakan dasar dari ilmu keteknikan yang sangat berguna untuk
masa depan. Jika kita menilik ke belakang, sarjana Teknik diharapkan dapat
menjadi pemberi keputusan dalam berbagai masalah, jadi dengan semakin
matangnya konsep mengenai statistik dan probabilitas , tak ayal definisi
seorang sarjana Teknik pun dapat terwujud.
2. Dalam memahami konsep sebuah statistik aupun probabilitas, kita tidak
hanya belajar melalui konsep atau buku saja, akan tetapi kita juga dapat
belajar langsung mengenai hal tersebut di lapangan dimana dapat dimulai dari
hal yang sering terjadi di sekitar kita, salah satunya adalah mengamati
frekuensi angkutan perkotaaan yang melewati Margo City maupun
pengamatan pada suatu Industri.
3. Dalam perkembangannya, statistik dan probabilitas sangat diperlukan dalam
bidang Teknik terutama pada penerapannya pada tingkat Industri. Kami
menyarankan agar para mahasiswa Teknik dapat memahami dan
menyelesaikan permasalahan statistik dan probabilitas.
DAFTAR PUSTAKA
Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta:
Penerbit Erlangga
Anonim. Definisi histogram.
http://searchsoftwarequality.techtarget.com/definition/histogram (diakses
pada 12 juli 2011)
LAMPIRAN
Hasil Scan Form Survey Penghitungan Angkot
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011
Tugas Besar Statistik dan Probabilitas
Kelompok 1
2011