Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

45
TUGAS BESAR STATISTIK DAN PROBABILITAS “Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati Margo City dari Arah Depok-Jakarta Setiap 5 Menit” Disusun Oleh: Kelompok 1 Ahmad Syihan 1006659621 Hendra Radiansyah 1006659703 Ivan Fauzan 1006659716 Ledi Khalidannisa 1006659722 Pratiwie Azsmi 1006660932 Prilly Octavia 1006659754 Puspa Suparno 1006660945 Rezhi Dika Indra 1006660951 Baharudin Taufiq R. 0906640740 Okky Septi D. Zahir 0606076665 Fakultas Teknik Universitas Indonesia Depok 2011

Transcript of Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Page 1: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

TUGAS BESAR

STATISTIK DAN PROBABILITAS

“Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati

Margo City dari Arah Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”

Disusun Oleh:

Kelompok 1

Ahmad Syihan 1006659621

Hendra Radiansyah 1006659703

Ivan Fauzan 1006659716

Ledi Khalidannisa 1006659722

Pratiwie Azsmi 1006660932

Prilly Octavia 1006659754

Puspa Suparno 1006660945

Rezhi Dika Indra 1006660951

Baharudin Taufiq R. 0906640740

Okky Septi D. Zahir 0606076665

Fakultas Teknik

Universitas Indonesia

Depok 2011

Page 2: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat

rahmat dan hidayah-Nya tugas besar Statistik dan Probabilitas ini dapat

diselesaikan tepat waktu. Adapun tujuan penulis membuat tugas besar ini adalah

mengkaji perihal pada statistik deskriptif tentang tema yang kami ajukan yaitu

“Frekuensi Angkutan Perkotaan (Angkot) yang Melewati Margo City dari Arah

Depok-Jakarta Setiap 5 Menit”.

Secara garis besar, tugas besar ini berisi mengenai perhitungan statistik

deskriptif yaitu menyangkut ukuran pemusatan dan penyebaran, grafik

(histogram, polygon, dan ogive), serta membandingkan grafik tersebut dengan

kurva distribusi normal.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Ardiyansyah, ST.,

M.Eng, dan Dr. Ir. Harinaldi, M.Eng selaku dosen mata kuliah Statistik dan

Probabilitas yang telah membimbing penulis, dan semua pihak yang telah

membantu dalam penyelesaian tugas besar ini.

Akhirnya, tiada gading yang tak retak, penulis pun menyadari bahwa

makalah ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang

membangun sangat diharapkan demi kemajuan penulis dalam pembuatan tugas

besar selanjutnya.

Depok, Juli 2011

Penulis

Page 3: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .......................................................................... i

DAFTAR ISI ......................................................................................... ii

DAFTAR TABEL ................................................................................ v

DAFTAR GAMBAR ............................................................................ vi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................ 1

1.1 Latar Belakang ....................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian ................................................................... 2

1.3 Metodologi Penelitian ........................................................... 2

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................... 3

2.1 Ukuran Pemusatan .................................................................. 3

2.1.1 Rata-rata/Average (Mean) .......................................... 3

2.1.2 Median ........................................................................ 3

2.1.3 Modus ......................................................................... 4

2.1.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... 5

2.2 Ukuran Penyebaran ................................................................ 5

2.2.1 Range .......................................................................... 6

2.2.2 Range Persentil 10-90 ................................................. 6

2.2.3 Simpangan Kuartil ...................................................... 6

2.2.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation) ......... 7

2.2.5 Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. 7

2.2.6 Varians ........................................................................ 8

2.2.7 Koefisien Variasi ........................................................ 8

2.3 Grafik (Histogram, Polygon, Ogive) ..................................... 9

2.3.1 Grafik Histogram ........................................................ 9

Page 4: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

iii

2.3.2 Grafik Polygon ............................................................ 9

2.3.3 Grafik Ogive ............................................................... 10

2.4 Momen, Skewness, Kurtosis .................................................. 11

2.4.1 Momen ........................................................................ 11

2.4.2 Skewness ..................................................................... 12

2.4.3 Kurtosis ....................................................................... 13

2.5 Distribusi Normal ................................................................... 14

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................ 15

3.1 Distribusi Frekuensi ................................................................ 15

3.2 Grafik ...................................................................................... 17

3.2.1 Grafik Histogram ........................................................ 17

3.2.2 GrafikPolygon ............................................................. 17

3.2.3 Grafik Ogive ............................................................... 18

3.3 Ukuran Pemusatan .................................................................. 18

3.3.1 Mean ........................................................................... 18

3.3.2 Median ........................................................................ 19

3.3.3 Modus ......................................................................... 19

3.3.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil) ............................... 19

3.4 Ukuran Penyebaran ................................................................ 24

3.4.1 Range .......................................................................... 24

3.4.2 Range Persentil 10-90 ................................................. 24

3.4.3 Simpangan Kuartil ...................................................... 25

3.4.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation) ......... 25

3.4.5 Deviasi Standar/Simpangan Baku .............................. 26

3.4.6 Varians ........................................................................ 26

3.4.7 Koefisien Variasi ........................................................ 26

3.5 Momen, Skewness, Kurtosis .................................................. 26

3.5.1 Momen ........................................................................ 27

3.5.2 Skewness ..................................................................... 28

3.5.3 Kurtosis ....................................................................... 28

Page 5: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

iv

3.5.4 Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan

dengan Distribusi Normal ........................................... 28

BAB IV PENUTUP ............................................................................ 30

4.1 Kesimpulan ............................................................................ 30

4.2 Saran ...................................................................................... 32

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

Page 6: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

v

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Hasil survey banyak angkot yang lewat Margo City

setiap 5 menit .......................................................................... 15

Tabel 3.2 Distribusi frekuensi ................................................................ 16

Tabel 3.3 Distribusi frekuensi kumulatif ................................................ 16

Tabel 3.4 Simpangan mutlak rata-rata .................................................... 25

Tabel 3.5 Simpangan baku ..................................................................... 26

Tabel 3.6 Perhitungan momen ................................................................ 27

Page 7: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

vi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Contoh grafik Histogram ..................................................... 9

Gambar 2.2 Contoh grafik Polygon ........................................................ 10

Gambar 2.3 Contoh grafik Ogive ............................................................ 11

Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan (skewness)......... 12

Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap

5 menit ................................................................................. 17

Gambar 3.2 Grafk Polygon banyaknya angkot yang lewat setiap

5 menit ................................................................................. 17

Gambar 3.3 Grafk Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit . 18

Page 8: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kemacetan merupakan salah satu permasalahan yang paling sulit ditangani,

terbukti sampai sekarang hampir di setiap sudut kota Jakarta mengalami

permasalahan serupa, yaitu kemacetan. Hal ini dapat diakibatkan oleh berbagai

faktor, yaitu volume kendaraan yang melebihi lebar jalan, faktor kecelakaan, dan

juga adanya pengemudi-pengemudi yang tidak mengikuti peraturan lalu lintas,

dan lain sebagainya.

Hal serupa setidaknya juga dialami oleh kota di pinggiran Jakarta, yaitu

Kota Depok yang merupakan salah satu kota di Jawa Barat yang memiliki

kepadatan penduduk yang cukup padat, dilihat dari jumlah kendaraan bermotor

yang berlalu lalang di jalanan setiap harinya. Hampir di setiap sudut jalanan utama

Kota Depok, sebagai contoh Jalan Margonda Raya, mengalami kemacetan

terutama di kawasan pusat perbelanjaan seperti Depok Town Square (Detos),

Margo City, ITC Depok, dsb. Setelah dilakukan observasi ternyata sumber

kemacetan ialah tiada lain angkutan-angkutan umum seperti angkot, bus Kopaja,

bus Patas, dll yang sering berhenti atau ngetem di depan pusat perbelanjaan guna

mendapatkan penumpang.

Oleh karena itu, kelompok kami melakukan suatu penelitian mengenai

frekuensi angkutan umum, dalam hal ini kami lebih memusatkan pada angkot,

yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit. Penelitian ini

guna mendapatkan data mengenai banyaknya angkot yang melewati pusat

perbelanjaan ini, terutama angkot-angkot nomor 112 (jurusan Kp.Rambutan-

Depok), D11 (jurusan Depok-Pal), 04 cokelat (jurusan Depok-Pasar Minggu), dan

19 (Depok-Kp.Rambutan), yang menurut kami merupakan salah satu penyebab

akan kemacetan di ruas jalan di pusat perbelanjaan Margo City dan Depok Town

Square (keduanya saling bersebrangan).

Page 9: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

2

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan kami melakukan penelitian yang ini adalah sebagai berikut:

1. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran pemusatan

mengenai data yang telah kami dapatkan.

2. Melakukan perhitungan mengenai statistik deskriptif ukuran penyebaran

mengenai data yang telah kami dapatkan.

3. Membuat grafik histogram, polygon, dan ogive atau grafik kumulatif.

4. Membandingkan faktor kemencengan dan keruncingan distribusi tersebut

dengan kurva distribusi normal dan menentukan jenis kurva yang terbentuk.

1.3 Metodologi Penelitian

Adapun dalam penelitian ini penulis menggunakan beberapa metode terkait

pengambilan sampel maupun analisis data.

Pada pengambilan data, kami menggunakan probability sample terutama pada

metode cluster sample yaitu kita mengambil sampel hanya kelompok angkot

yang melewati Margo City dari arah Depok menuju Jakarta. Pengambilan

sampel ini dilakukan yaitu setiap 5 menit sekali berapa frekuensi angkot yang

melewati Margo City.

Pada pengelompokan data, kami membagi data tersebut dengan lebar interval

kelas sama yaitu 5 sehingga dapat dikelompokkan menjadi 7-8 kelas.

Pada pengolahan data, kami menggunakan metode statistik deskriptif yaitu

meliputi ukuran pemusatan (mean, median, modus, dan kuantil) dan ukuran

penyebaran (range, range persentil 10-90, simpangan kuarti, simpangan

mutlak rata-rata, deviasi standar, varians, dan koefisien varians).

Selain itu kami menggunakan metode perhitungan momen untuk mencari

skewness (kemencengan) dan kurtosis (keruncingan) sehingga dapat terbentuk

suatu grafik.

Sementara pada pembuatan grafik, kami menggunakan metode insert chart

pada program Microsoft Excel sehingga dapat memudahkan kami dalam

membuat grafiknya.

Page 10: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

3

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Ukuran Pemusatan

Data sering menunjukkan kecenderungan terpusat disekitar suatu nilai yang

dapat menggambarkan nilai data secara umum Nilai tersebut dalam statistik

disebut sebagai ukuran pemusatan (central tendency).

Terdapat beberapa ukuran pemusatan yang sering digunakan dalam statistik

yang akan dijelaskan sebagai berikut.

2.1.1 Rata-rata (Average) atau Mean

Rata-rata (average) adalah nilai khas yang mewakili sifat tengah, atau posisi

pusat, dari suatu kumpulan nilai data. Mean aritmetik (Arithmetic Mean) atau nilai

rata-rata data terkelompok suatu sampel dirumuskan sebagai berikut:

(untuk suatu sampel)

dimana :

= mean aritmetika dari suatu sampel

= jumlah interval kelas dalam suatu sampel

= banyaknya data x dalam suatu sampel

= frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas

= nilai tengah dari interval kelas

2.1.2 Median

Median menyatakan posisi tengah dari nilai dua data terjajar (data array).

Secara geometris, median merupakan nilai dari absis-s yang bertepatan dengan

Page 11: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

4

garis vertikal yang membagi daerah dibawah poligon menjadi dua daerah yang

luasnya sama. Median data terkelompok suatu sampel dihitung dengan rumusan

berikut:

c (prinsip interpolasi)

dimana:

= batas bawah nyata kelas median (kelas yang memuat median)

= banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi)

= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median

= frekuensi kelas median

= lebar interval kelas median

2.1.3 Modus

Modus dari sekumpulan nilai data adalah nilai yang paling sering muncul

atau yang frekuensinya terbesar. Dalam suatu kumpulan nilai data, modus ini

mungkin ada mungkin juga tidak, dan kalaupun ada tidak selalu unik (tunggal).

Modus data terkelompok suatu sampel ditentukan dengan rumusan:

(prinsip interpolasi)

dimana:

= batas bawah nyata kelas dari kelas modus (kelas frekuensi terbesar)

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

= lebar interval median

Page 12: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

5

2.1.4 Kuantil : Kuartil, Desil, dan Persentil

Kuantil adalah nilai-nilai yang membagi suatu jajaran data (data array)

menjadi bagian-bagian yang sama. Sebagai contoh, kuantil yang membagi jajaran

data menjadi dua bagian adalah median. Kuantil yang membagi jajaran data

menjadi empat bagian disebut kuartil , menjadi sepuluh bagian

disebut desil , dan menjadi seratus bagian disebut persentil

. Dengan pengertian diatas, maka : median .

Untuk data terkelompok, kita dapat mencari nilai kuantil menggunakan prinsip

interpolasi, dengan rumus ke-i:

dimana:

= batas bawah nyata kelas dari kelas kuantil ke-i

= banyaknya data (jumlah seluruh frekuensi)

= konstanta (untuk kuartil r=4, desil r=10, persentil r=100)

= jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih randah daripada kelas kuantil

ke-i

= frekuensi kelas kuantil ke-i

= lebar interval kelas kuantil

2.2 Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran (dispersion) menunjukkan seberapa jauh data menyebar

dari nilai rata-ratanya (variabilitas data). Dua alasan pentingnya meninjau ukuran

penyebaran ialah untuk membuat suatu penilaian seberapa baik suatu nilai rata-

rata dan untuk mengetahui seberapa jauh penyebaran dari data, sehingga langkah-

langkah untuk mengendalikan variasi dapat dilakukan.

Page 13: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

6

Terdapat beberapa ukuran penyebaran yang sering digunakan dalam statistik

yang akan dijelaskan sebagai berikut.

2.2.1 Jangkauan/Range

Nilai Jangkauan sekumpulan data adalah beda pengamatan data terbesar

dengan data terkecil dalam sekumpulan data tersebut.

R = Xmax-Xmin

2.2.2 Range Persentil 10-90

Jangkauan ini menyatakan selisih nilai persentil ke-90 dan k-10 jajaran data.

RP10-90 = 1090 PP

di mana:

RP10-90 = jangkauan/kisaran persentil 10-90

P90 = nilai persentil ke-90

P10 = nilai persentil ke-10

2.2.3 Simpangan kuartil

Simpangan kuartil atau deviasi kuartil dan lebih dikenal sebagai rentang

semi antar kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil.

Qd =

di mana:

Qd = simpangan kuartil

Q3 = nilai kuartil ke-3

Q1 = nilai kuartil ke-1

Page 14: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

7

2.2.4 Simpangan Mutlak Rata-rata/Mean Deviation

Simpangan mutlak rata-rata merupakan ukuran penyebaran yang meninjau

besarnya penyimpangan setiap nilai data terhadap nilai rata-rata (mean)nya.

Simpangan sebuah pengamatan dari rata-ratanya diperoleh dengan mengurangkan

pengamatan tersebut dengan nilai rata-ratanya. Bila sekelompok data

X1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N maka

simpangan dari nilai rata-rata populasinya adalah:

NXXX ..,,........., 21

Demikian pula bila sekelompok data X1,X2,X3.......,Xn menyusun sebuah

contoh terhingga berukuran n,simpangan rata-ratanya adalah:

XXXXXX N..,,........., 21

Jumlah semua simpangan dari nilai rata-ratanya selalu sama dengan

nol,yang berlaku untuk semua jenis data,yang dapat diambil; nilai mutlak dari

ukuran keragaman simpangan rata-rata.Definisinya adalah:

n

i

i XXn

MD1

1

Untuk data terkelompok yang tersebar dalam tabel frekuensi fi dan titik

tengah x,simpangan rata-rata dinyatakan sebagai:

n

i

i

n

i

imi

f

XXf

MD

1

1

,

2.2.5 Deviasi Standard/Simpangan Baku

Deviasi standard (standard deviation) atau simpangan baku merupakan

ukuran penyebaran yang paling sering digunakan. Mayoritas nilai data cenderung

berada dalam satu deviasi standard dari mean, dan hanya sebagian kecil saja yang

Page 15: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

8

terletak di luar dari tida deviasi standard dari meannya. Deviasi standar data

terkelompok suatu sampel memiliki persamaan sebagai berikut.

Data terkelompok:

2.2.6 Varians

Varians merupakan kuadrat dari deviasi standard, sehingga untuk sample

dinyatakan sebagai sx2. Bila sekelompok data X1,X2,X3,...........,Xn menyusun

sebuah populasi terhingga berukuran N yang mempunyai rata-rata ,maka

ragam populasi yang dilambangkan sebagai 2 (sigma kuadrat) adalah:

2

1

2 1

N

i

iXN

Untuk data berkelompok yang diambil, maka nilai dari keragaman adalah:

2

1

2

1

1

N

i

i XXn

s

2.2.7 Koefisien Variasi

Koefisien varians atau dispersi yang diuraikan dalam bagian merupakan

dispersi absolut. Variasi 3 cm untuk ukuran jarak 100 cm dan variasi 6 cm untuk

ukuran jarak 20 cm mempunyai pengaruh yang berlainan. Untuk mengukur

pengaruh tersebut dan membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-

nilai kecil digunakan koefisien varians relatif.

Dispersi relatif = Dispersi absolut / rata-rata

Tetapi, untuk dispersi absolut diambil simpangan baku, sehingga diperoleh

koefisien variasi yang nilainya dinyatakan dalam persen.

Page 16: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

9

Koefisien varians tidak bergantung pada satuan yang digunakan, karenanya

dapat digunakan untuk membandingkan varians relatif beberapa kumpulan data

dengan satuan yang berbeda.

2.3 Grafik

Grafik merupakan salah satu cara dalam merepresentasikan distribusi

frekuensi. Terdapat tiga macam grafik yang akan dibahas, yaitu grafik histogram,

polygon, dan ogive atau frekuensi kumulatif.

2.3.1 Grafik Histogram

Histogram adalah tampilan data atau informasi statistik yang menggunakan

persegi panjang untuk menunjukkan frekuensi sebuah data dalam interval numerik

yang berurutan dari ukuran yang sama. Dalam bentuk yang paling umum, variabel

independen dari sebuah histogram diplot di sepanjang sumbu horizontal dan

variabel dependen diplot di sepanjang sumbu vertikal. Data-data tampak sebagai

persegi panjang yang sudah diwarnai atau terisi dibawah daerah variabel.

Gambar 2.1 contoh grafik Histogram

Sumber: http://www.netmba.com/images/statistics/histogram/histogram.gif

2.3.2 Grafik Polygon

Dalam sebuah Frekuensi Poligon, grafik garis digambar dengan

menggabungkan semua titik-titik tengah dari atas subah persegi panjang

Page 17: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

10

histogram. Sebuah poligon frekuensi memberikan ide dan gambaran tentang

bentuk distribusi data. Titik akhir dari dua frekuensi poligon selalu berada pada

sumbu-x.

Gambar 2.2 contoh grafik Polygon

Sumber: http://www.onekobo.com/Articles/Statistics/statsImgs/24Graph-002.jpg

2.3.3 Grafik Frekuensi Kumulatif (ogive)

Juga dikenal sebagai ogive, Frekuensi Kumulatif adalah kurva yang ditarik

dengan memplot nilai kelas pertama pada grafik. Plot berikutnya adalah jumlah

dari nilai pertama dan kedua, plot ketiga adalah jumlah dari nilai pertama, kedua,

dan ketiga, dan seterusnya.

Page 18: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

11

Gambar 2.3 contoh grafik Ogive

Sumber: http://www.mathematics.com.au/images/600x480/5102.gif

2.4 Momen, Skewness, dan Kurtosis

2.4.1 Momen

Misalkan X1, X2, . . . , Xn merupakan nilai dari variabel X. Kuantitas:

disebut momen ke r dari X. Untuk r = 1, menjadi rerata (mean) aritmatika.

Momen ke-r simpangan terhadap mean didefinisikan sebagai:

Jadi, jika r = 1 maka m1,x = 0, dan jika r = 2 maka m2,x = sx2 (varians).

Momen ke-r simpangan terhadap sembarang asal A didefinisikan sebagai:

dimana d = X - A adalah deviasi X terhadap A.

Page 19: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

12

Untuk data terkelompok, misalkan X1, X2, . . . ,Xn terjadi dengan frekuensi

f1, f2, . . . , fn.

Untuk membedakan momen dari sampel dengan momen dari populasi,

biasanya digunakan simbol huruf yunani yang berkaitan. Jadi jikauntuk sampel

dinotasikan dengan mr,x dan m’r,x, maka untuk populasi masing-masing digunakan

notasi r,x dan ’r,x.

2.4.2 Skewness

Adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Distribusi yang

ekor kurvanya lebih panjang kekanan disebut menceng kekanan atau positive

skewness. Begitu juga sebaliknya.

Gambar 2.4 Jenis kurva menurut faktor kemencengan (skewness)

Sumber: http://www.google.co.id

Page 20: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

13

Koefisien Skewness

Koefisien Pearson I:

Koefisien Pearson II:

Diperhatikan bila distribusinya normal maka koefisien skewness bernilai nol.

Koefisien skewness lainnya:

Koefisien kuartil skewness:

Koefisien skewness 10-90% percentile:

Koefisien momen skewness:

2.4.3 Kurtosis

Adalah ukuran kelancipan distribusi data dimana distribusi normal sebagai

pembanding.

Macam-macam ukuran kurtosis:

Koefisien momen kurtosis:

Page 21: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

14

Kurtosis terhadap kuartil dan percentil:

Kurtosis positif distribusi lancip

Kurtosis negatif distribusi tumpul

2.5 Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling penting

baik dalam teori maupun aplikasi statisktik. Yang perlu diperhatikan pada

distribusi normal ialah kurva distribusiya yaitu simetris terhadap nilai mean

(kemencengannya yaitu 1 = 0), dan juga keruncingan pada distribusi normal ialah

sebesar 2 = 3.

Page 22: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

15

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Distribusi Frekuensi

Berdasarkan hasil survey yang dilakukan oleh kelompok kami pada hari

Minggu 10 Juli 2011 dan Senin 11 Juli 2011, di dapat beberapa data menyangkut

banyaknya jumlah angkot yang melewati Margo City dari arah Depok-Jakarta

setiap 5 menitnya, yang akan disajikan dalam beberapa tabel berikut.

Tabel 3.1 Hasil survey banyaknya angkot yang lewat Margo City tiap 5 menit

Menit Jumlah Angkot yang Lewat (Berdasarkan Hasil Perhitungan oleh Surveyor)

Rezhi A.Syihan Prilly Hendra Pratiwie Ivan Puspa Baharudin Ledi Okky

1 s/d 5 17 5 11 11 10 15 16 20 20 19

6 s/d 10 23 32 9 8 16 14 17 24 14 20

11 s/d 15 20 20 10 17 15 16 23 11 22 9

16 s/d 20 24 18 10 18 23 15 31 19 12 13

21 s/d 25 20 28 7 5 14 12 37 17 6 18

26 s/d 30 30 26 8 12 17 10 34 27 12 16

31 s/d 35 24 18 9 4 11 18 32 14 22 17

36 s/d 40 22 21 11 22 10 9 14 9 8 12

41 s/d 45 24 23 9 6 20 5 21 16 12 12

46 s/d 50 27 28 11 8 19 23 25 18 4 12

Page 23: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

16

Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari data angkot

Dari tabel 3.1 di atas, kami mengelompokkan jumlah angkot yang lewat

tiap 5 menit ke dalam 8 kelompok dengan interval kelas sebesar 5 tiap-tiap kelas,

sehingga didapat tabel distribusi frekuensi dari data angkot seperti pada tabel 3.2

di atas.

Untuk keperluan grafik ogive yang memerlukan distribusi frekuensi

kumulatif, berikut diberikan tabel mengenai distribusi frekuensi kumulatif dari

banyaknya angkot yang lewat Margo City dari arah Depok-Jakarta setiap 5 menit.

Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Kumulatif

Banyak Angkot yang

Lewat Tiap 5 Menit

(Mobil)

Frekuensi

(f)

1 s/d 5 5

6 s/d 10 18

11 s/d 15 23

16 s/d 20 27

21 s/d 25 16

26 s/d 30 6

31 s/d 35 4

36 s/d 40 1

Total (N) 100

Banyak Angkot yang

Lewat Tiap 5 Menit

(Mobil)

Frekuensi

(fc)

< 0,5 0

< 5,5 5

< 10,5 23

< 15,5 46

< 20,5 73

< 25,5 89

< 30,5 95

< 35,5 99

< 40,5 100

Page 24: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

17

3.2 Grafik

3.2.1 Grafik Histogram

Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik histogram

yang terbentuk ialah sebagai berikut.

Gambar 3.1 Grafik Histogram banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit

3.2.2 Grafik Polygon

Berdasarkan tabel 3.2 yaitu tabel distribusi frekuensi, maka grafik polygon

yang terbentuk ialah sebagai berikut.

Gambar 3.2 Grafik Polygon banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit

0

5

10

15

20

25

30

1 - 5 6 - 10 11 - 15 16 - 20 21 - 25 26 - 30 31 - 35 36 - 40

Fre

kue

nsi

(f)

Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)

Grafik Histogram

Page 25: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

18

3.2.3 Grafik Ogive

Berdasarkan tabel 3.3 yaitu tabel distribusi frekuensi kumulatif, maka grafik

ogive yang terbentuk ialah sebagai berikut.

Gambar 3.3 Grafik Ogive banyaknya angkot yang lewat setiap 5 menit

3.3 Ukuran Pemusatan

3.3.1 Mean

0

20

40

60

80

100

120

< 0,5 < 5,5 < 10,5 < 15,5 < 20,5 < 25,5 < 30,5 < 35,5 < 40,5

Jum

lah

Ku

mu

lati

f (f

c)

Banyaknya Angkot yang Lewat Setiap 5 Menit (mobil)

Grafik Ogive

Page 26: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

19

3.3.2 Median

3.3.3 Modus

3.3.4 Kuantil (Kuartil, Desil, Persentil)

Kuantil terdiri dari kuartil (r=4), desil (r=10), dan persentil (r=100)

Kuartil

Kuartil ke-1

Page 27: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

20

Kuartil ke-2

Kuartil ke-3

Desil

Desil ke-1

Page 28: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

21

Desil ke-2

Desil ke-3

Desil ke-4

Desil ke-5

Page 29: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

22

Desil ke-6

Desil ke-7

Desil ke-8

Page 30: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

23

Desil ke-9

Pversentil

Persentil ke-30

Persentil ke-57

Persentil ke-85

Page 31: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

24

Persentil ke-99

3.4 Ukuran Penyebaran

3.4.1 Range

R = x max – x min

R = 37 - 4 = 33

3.4.2 Range Persentil 10-90

Rp 10-90 = P90- P10

Pi = Ll,1 +

c

P10 = 5.50 +

5 = 6,89

P90 = 25.50 +

5 = 26,33

Rp 10-90 = 26.33 – 6.89 = 19,44

Page 32: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

25

3.4.3 Simpangan Kuartil

Qd =

Qi = Ll,1 +

c

Q1 = 10.5 +

5 = 10,93

Q3 = 20.5 +

5 = 21,12

Qd =

= 5,10

3.4.4 Simpangan Mutlak Rata-rata (Mean Deviation)

MD x =

=

= 6,02

(data di atas didapat dari tabel 3.4 di bawah ini)

Tabel 3.4 Simpangan Mutlak Rata-rata

Banyak

Angkot Tiap

5 Menit

Frekuensi xmi fi

1 - 5 5 3 16.5 13.5 67.5

6 -10 18 8 16.5 8.5 153

11 - 15 23 13 16.5 3.5 80.5

16 -20 27 18 16.5 1.5 40.5

21- 25 16 23 16.5 6.5 104

26- 30 6 28 16.5 11.5 69

31- 35 4 33 16.5 16.5 66

36- 40 1 38 16.5 21.5 21.5

Jumlah (N) 100 602

Page 33: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

26

3.4.5 Deviasi Standar

Sx =

=

= 7.50

(data di atas didapat dari tabel 3.5 di bawah ini)

Tabel 3.5 Simpangan baku

Banyak

Angkot Tiap

5 Menit

Frekuensi xmi (xmi - ) (xmi - )2 fi (xmi - )

2

1 s/d 5 5 3 16.5 13.5 182.25 911.25

6 s/d 10 18 8 16.5 8.5 72.25 1300.5

11 s/d 15 23 13 16.5 3.5 12.25 281.75

16 s/d 20 27 18 16.5 1.5 2.25 60.75

21 s/d 25 16 23 16.5 6.5 42.25 676

26 s/d 30 6 28 16.5 11.5 132.25 793.5

31 s/d 35 4 33 16.5 16.5 272.25 1089

36 s/d 40 1 38 16.5 21.5 462.25 462.25

Jumlah (N) 100 5575

3.4.6 Varians

(diambil dari data deviasi standard)

2 = 7,50

2 = 56,25

3.4.7 Koefisien Variasi

(diambil dari data deviasi standard)

Vx =

=

= 0.45

3.5 Momen, Skewness, dan Kurtosis

Dari table data, dapat dibuat table perhitungan secara langsung seperti :

Page 34: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

27

Tabel 3.6 Perhitungan momen

a

3 5 -67.5 911.25 -12301.875 166075.3125 -2242016.7 30267225.7 -408607547 5516201884

8 18 -153 1300.5 -11054.25 93961.125 -798669.56 6788691.281 -57703876 490482945.1

13 23 -80.5 281.75 -986.125 3451.4375 -12080.031 42280.10938 -147980.38 517931.3398

18 27 40.5 60.75 91.125 136.6875 205.03125 307.546875 461.320313 691.9804688

23 16 104 676 4394 28561 185646.5 1206702.25 7843564.63 50983170.06

28 6 69 793.5 9125.25 104940.375 1206814.31 13878364.59 159601193 1835413718

33 4 66 1089 17968.5 296480.25 4891924.13 80716748.06 1331826343 21975134660

38 1 21.5 462.25 9938.375 213675.0625 4594013.84 98771297.64 2123582899 45657032334

∑ 100 0 5575 17175 907281.25 7825837.5 231671617.2 3156395058 75525767335

3.5.1 Momen

, maka :

Momen ke-2

m2,x =

Momen ke-3

m3,x =

Momen ke-4

m4,x

Momen ke-5

M5,x =

Momen ke-6

m6,x =

Page 35: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

28

Momen ke-7

m7,x =

Momen ke-8

m8,x =

3.5.2 Skewness

Kemencengan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan

pada Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor kemencengannya:

α3,x =

=

= 4,96 x 10

-10

3.5.3 Kurtosis

Keruncingan kurva distribusi dapat dihitung menggunakan persamaan pada

Bab 2 Landasan Teori, yaitu faktor keruncingannya:

α4,x =

= 0,000292

3.5.4 Perbandingan Kemencengan dan Keruncingan dengan Distribusi

Normal

Pada distribusi normal, nilai kemencengannya = 0, dan nilai keruncingannya

adalah 3. Pada percobaan yang kami lakukan, nilai kemencengannya 4,96 x 10-10

yang artinya lebih dari nol, dan nilai keruncingannya 0,000292 yang kurang dari

tiga. Pada distribusi normal, dengan nilai kemencengan 0 dan keruncingan tiga,

membuat kurva distribusi yang simetris, sehingga perbedaan nilai kemencengan

dan keruncingan pada percobaan yang kami lakukan dengan nilai kemencengan

Page 36: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

29

dan keruncingan pada distribusi normal mengakibatkan kurva distribusi pada

percobaan kami tidak simetris. Nilai kemencengan kami yang lebih besar dari 0,

mengakibatkan, kurva distribusi pada percobaan kami adalah, kurva

menceng kanan. Sementara, untuk menentukan keruncingan sebuah grafik

menggunakan rumus (b2,x-3) dengan b2.x adalah momen keruncingannya. pada

penelitian kami, nilai momen keruncingannya adalah 0,00092. Sehingga

(0,00092-3) = - 2,99908. Karena hasilnya negatif, maka kurva yang terbentuk

adalah platykurtic. Sehingga kurva yang terbentuk adalah kurva platykurtic yang

menceng kanan.

.

Page 37: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

30

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Dari data-data yang kami peroleh berupa perhitungan frekwuensi angkutan

perkotaan yang melewati depan Margo City dari arah Depok menuju ke Jakarta

setiap interval 5 menit, dapat kita ambil beberapa kesimpulan, diantaranya yaitu:

1. Berdasarkan hasil pengamatan dan juga dari grafik yang diperoleh, maka

jumlah angkot terbanyak adalah antara 16 hingga 20 dengan jumlah frekuensi

sebanyak 27.

2. Sedangkan untuk hasil dari perhitungan ukuran pemusatan diperoleh nilai-

niai sebagai berikut:

Mean: 16,50

Median: 16,24

Modus: 16,83

Data di atas menunjukkan bahwa hasil dari pengamatan dengan hasil dari

perhitungan memiliki nilai yang sama.

3. Untuk Kuantil, kami melakukan 3 jenis perhitungan, diantaranya kuartil, desil

dan persentil.

Kuartil

Q1 = 10,930

Q2 = 16,240

Q3 = 21,125

Desil

D1 = 6,89

D2 = 9,67

D3 = 12,02

D4 = 14,19

D5 = 16,24

Page 38: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

31

D6 = 18,09

D7 = 19,94

D8 = 22,68

D9 = 26,33

Persentil

P30 = 12,02

P57 = 15,53

P85 = 24,25

P99 = 35,50

4. Perhitungan dari ukuran penyebaran yang diperoleh dari datan pengamatan

adalah sebagai berikut:

Range: 33

Range persentil: 19,44

Simpangan kuartil: 5,10

Mean deviation: 6,02

Deviasi standar: 7,50

Varians: 56,25

Koefisien variasi: 0,45

5. Perhitungan momen, skewness, dan kurtosis dan penentuan jenis kurva jika

dibandingkan dengan kurva distribusi normal

Momen

Momen ke-2 = 55,75

Momen ke-3 = 171,75

Momen ke-4 = 9072,81

Momen ke-5 = 78258,37

Momen ke-6 = 2316716,17

Momen ke-7 = 31563950,58

Momen ke-8 = 755257673,35

Skewnes: 4,96 x 10-10

Kurtosis: 0,000292

Jenis kurva yang terbentuk ialah kurva platycurtic yang menceng kanan

Page 39: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

32

4.2 Saran

Adapun saran yang ingin kami sampaikan pada pengerjaan tugas besar ini

ialah sebagai berikut:

1. Sebagai mahasiswa teknik, sudah sepatutnya kita mampu menganalisa dan

melakukan perhitungan tentang statistik dan probabilitas, mengingat hal

tersebut merupakan dasar dari ilmu keteknikan yang sangat berguna untuk

masa depan. Jika kita menilik ke belakang, sarjana Teknik diharapkan dapat

menjadi pemberi keputusan dalam berbagai masalah, jadi dengan semakin

matangnya konsep mengenai statistik dan probabilitas , tak ayal definisi

seorang sarjana Teknik pun dapat terwujud.

2. Dalam memahami konsep sebuah statistik aupun probabilitas, kita tidak

hanya belajar melalui konsep atau buku saja, akan tetapi kita juga dapat

belajar langsung mengenai hal tersebut di lapangan dimana dapat dimulai dari

hal yang sering terjadi di sekitar kita, salah satunya adalah mengamati

frekuensi angkutan perkotaaan yang melewati Margo City maupun

pengamatan pada suatu Industri.

3. Dalam perkembangannya, statistik dan probabilitas sangat diperlukan dalam

bidang Teknik terutama pada penerapannya pada tingkat Industri. Kami

menyarankan agar para mahasiswa Teknik dapat memahami dan

menyelesaikan permasalahan statistik dan probabilitas.

Page 40: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

DAFTAR PUSTAKA

Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta:

Penerbit Erlangga

Anonim. Definisi histogram.

http://searchsoftwarequality.techtarget.com/definition/histogram (diakses

pada 12 juli 2011)

Page 41: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

LAMPIRAN

Hasil Scan Form Survey Penghitungan Angkot

Page 42: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

Page 43: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

Page 44: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011

Page 45: Tugas Besar Statistik Dan Probabilitas Kelompok 1 Finale

Tugas Besar Statistik dan Probabilitas

Kelompok 1

2011