TUGAS AHIR MATEMATIKA 4

Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gauss-Seidel 1

4 4

MATEMATIKA 4

Disusun Oleh :

1. Calvin Syatauw (16309817)

2. I Kadek Bagus Widana Putra (16309835)

3. Yogi Oktapianto (16309875)

Dosen : Dr. Retno Maharesi

Penerapan Metode Iterasi Gauss Seidel

Dalam Rekayasa Sipil

di Bidang Hidrologi

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

UNIVERSITAS GUNADARMA

DESEMBER 2010


4 4

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis penjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas rahmat-Nya

maka penulis dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul “Menentukan Kinerja

Pompa dan Debit Pipa dengan Metode Iterasi Gaus-seidel”. Penulisan makalah ini merupakan

salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah Matematika 4.

Penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak-pihak yang membantu dalam

menyelesaikan makalah ini, khususnya kepada :

Dr. Retno Maharesi selaku dosen mata kuliah Matematika 4.

Semua pihak yang telah memberikan bantuan dalam penulisan makalah ini.

Penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, baik pada teknik penulisan maupun

materi. Penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak demi penyempurnaan

makalah ini.

Semoga makalah ini berguna dan bermanfaat bagi pembaca untuk menambah wawasan

dalam dunia rekayasa sipil.

Depok, 22 Desember 2010

Penyusun

i


4 4

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ……………………………………………………………………………… i

Daftar Isi …………………………………………………….………………………………. ii

Bab I Pendahuluan ……………………………………………..…………………………… 1

1.1 Latar Belakang …………………………………………………………..………….. 1

1.2 Tujuan ……………………………………………………………….………............. 2

Bab II Landasan Teori.............................................................................................................. 3

2.1 Hidrolika Perpipaan..................................................................................................... 3

2.2 Kinerja Pompa............................................................................................................. 3

2.3 Azas Kontinuitas......................................................................................................... 4

2.4 Iterasi Gauss-Saidel..................................................................................................... 4

Bab III Pembahasan ………………………….………………………………………….….. 3

3.1 Contoh Kasus ………………….………….……........................................................ 6

3.2 Algoritma Pemrograman ……………………………................................................. 8

3.3 Bagan Alir Program...................................................................................................... 9

3.4 Deklarasi Kasus dalam Program Matlab...................................................................... 10

3.5 Eksekusi Program......................................................................................................... 11

Bab IV Penutup …………………………………………….……………………..…............ 13

3.1 Kesimpulan ………………………………………………………….……................. 13

3.2 Saran …………………………………………………………….....……................... 13

Daftar Pustaka ……………………………………………………..…................................... 14

ii


4 4

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perkembangan teknologi yang semakin pesat membuat perkembangan

terhadap disiplin ilmu pengetahuan juga berkembang. Salah satunya yaitu di bidang

Teknik Sipil, khususnya di bidang Hidrologi yang mengakibatkan timbulah persoalan

yang melibatkan model matematika dalam bentuk yang rumit dan sulit diselesaikan

dengan cara matematika itu sendiri.

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan

sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik

adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga

dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmatika biasa (tambah, kurang, kali dan

bagi). Metode numerik ini dapat menggunakan program komputer.

Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita selalu

beranggapan atau berasumsi bahwa air adalah fluida yang mempunyai sifat

“incompressible” atau diasusmsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila

terjadi tekanan.

Dalam makalah ini, kami mencoba untuk mencari solusi permasalahan

tersebut dengan menggunakan metode Iterasi Gauss Saidel. Pemilihan metode

didasarkan dengan Iterasi Gauss Saidel mempertimbangkan tingkat keakuratan data

yang dihasilkan cukup tinggi. Metode ini memiliki karakterisasi menghasilkan model

yang melewati titik-titik data yang tersedia. dan dapat digunakan untuk mendapatkan

suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi rumit yang tidak

mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Namun rumusan Iterasi Gauss Saidel tidak

begitu praktis untuk pekerjaan numerik. Perhitungannya dapat menjadi banyak dan hasil

perhitungan sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menghitung polynomial yang

berderajat lebih tinggi.

Selain itu, akan diterapkan pula solusi permasalahan dengan menggunakan

pemprograman MathLab tanpa mengurai dari sifat Iterasi Gauss Saidel.

1


4 4

1.2 Tujuan

Tujuan dalam pembuatan makalah ini yaitu :

1. Untuk memenuhi penilaian mata kuliah Matematika 4, dan

2. Untuk memberikan informasi kepada pembaca bahwa persoalan matematika yang

rumit dalam bidang ilmu rekayasa sipil bisa dipecahkan khususnya pada aplikasi

hidrologi.

2


4 4

BAB II

Landasan Teori

2.1 Hidrolika Perpipaan

Hidrolika adalah ilmu yang mempelajari perilaku air secara fisik dalam arti

perilaku perilaku yang ditelaah harus terukur secara fisik. Perilaku yang dipelajari

meliputi hubungan antara debit air yang mengalir dalam pipa dikaitkan dengan

diameter pipanya sehingga dapat diketahui gejala gejala yang timbul seperti tekanan,

kehilangan energi dan gaya gaya lainnya. Hubungan gejala akan dijelaskan dalam

formulasi empiris yang lazim dipakai dalam praktek.

Pada dasarnya dalam menelaah aspek hidrolika dalam pipa kita selalu

beranggapan atau berasumsi bahwa air adalah fluida yang mempunyai sifat

“incompressible” atau diasusmsikan tidak mengalami perubahan volume/isi apabila

terjadi tekanan.

Fluida yang bergerak di dalam pipa juga dianggap dalam kondisi “uniform

flow” atau air dianggap mempunyai kecepatan yang seragam sepanjang pipa apabila

melalui suatu pipa dengan diameter yang sama.

Pada kenyataannya di lapangan kondisi yang dijelaskan dalam asumsi ini tidak

selalu tercapai terutama kondisi steady flow dan uniform flow. Penyimpangan keadaan

tersebut disebut keadaan transient yang umum terjadi pada saat awal pembukaan dan

penutupan valve. Efek yang timbul disebut sebagai water hammer yang terefleksi

dengan kejadian pengempisan pipa, pecahnya pipa atau dalam keadaan yang ringan

adalah terdengarnya suara ketukan palu di pipa besi.

2.2 Kinerja Pompa

Pompa merupakan pesawat angkut yang bertujuan untuk memindahkan zat

cair melalui saluran tertutup. Pompa menghasilkan suatu tekanan yang sifatnya hanya

mengalir dari suatu tempat ke tempat yang bertekanan lebih rendah. Atas dasar

kenyataan tersebut maka pompa harus mampu membangkitkan tekanan fluida sehingga

dapat mengalir atau berpindah.

Prinsip kerja pompa adalah menghisap dan melakukan penekanan terhadap

fluida. Pada sisi hisap (suction) elemen pompa akan menurunkan tekanan dalam ruang

3


4 4

pompa sehingga akan terjadi perbedaan tekanan antara ruang pompa dengan permukaan

fluida yang dihisap. Akibatnya fluida akan mengalir ke ruang pompa. Oleh elemen

pompa fluida ini akan didorong atau diberikan tekanan sehingga fluida akan mengalir

ke dalam saluran tekan (discharge) melalui lubang tekan. Proses kerja ini akan

berlangsung terus selama pompa beroperasi.

2.3 Azas Kontinuitas

Setiap aliran air dalam pipa juga harus memenuhi azas kontinuitas yaitu :

Q1=Q2

Dimana :

Q1 = Debit masuk di sisi 1 (m3/dt)

Q2 = Debit keluar di sisi 2 (m3/dt)

Debit aliran yang masuk dalam sisi 1 akan keluar pada sisi 2 dengan debit

yang sama.

Debit air adalah volume air per satuan waktu. Debit air adalah luas penampang

pipa dikalikan dengan kecepatannya. Debit air yang masuk ke dalam pipa mempunyai

kecepatan aliran yang berbeda beda tergantung dari diameter pipanya.

2.4 Iterasi Gauss-Saidel

Metode Gauss-Seidel disebut juga metode penggantian berurut. Untuk

mengilustrasikan teknik ini, maka timbanglah solusi persamaan non linier yang

diberikan ini :

f(x) = 0

Fungsi pada persamaan di atas diatur kembali dan ditulis sebagai berikut :

x = g(x)

Jika x(k)

merupakan perkiraan awal dari variable x, urutan iterasi berikut

diformulasikan :

x(k+1)

= g(x(k)

)


4 4

Suatu solusi akan diperoleh ketika perbedaan antara nilai absolut dari iterasi

yang berurutan lebih kecil dari nilai akurasi yang dispesifikasi (ε), yaitu :

|x(k+1)

– x(k)

| ≤ ε

Solusi untuk suatu sistem dari n persamaan nonlinier dengan n variable adalah

seperti yang diberikan berikut ini :

Akan diperoleh dengan menyelesaikan satu variable dari setiap persamaan.

Karena itu persamaan di atas dapat ditulis ulang seperti :

Prosedur iterasi diawali dengan mengasumsikan suatu perkiraan solusi untuk

variable independen sebagai (x1(0)

,x2(0)

,......,xn(0)

). Dengan persamaan di atas akan

memberikan hasil iterasi pertama sebagai (x1(1)

,x2(1)

,......,xn(1)

). Pada metode Gauss-

Seidel, nilai-nilai variable terkini akan digunakan dalam solusi persamaan berikutnya.

Pada akhir setiap iterasi, nilai-nilai variable terkini yng diperoleh diuji keakurasiannya

terhadap nilai-nilai variable pada iterasi sebelumnya. Bila semua perubahan variabel-

variable berada dalam nilai akurasi nyata yang diinginkan, maka solusi konvergen,

kalau tidak tidak maka iterasi berikutnya masih perlu dilakukan.

5


4 4

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Contoh Kasus

Suatu jaringan pipa sebagaimana ditunjukkan pada gambar di bawah mengalirkan air

dari reservoir kiri (1) ke reservoir kanan (5) dengan menggunakan pompa A dan B. Pipa C

dan D dalam posisi horizontal. Ada beda ketinggian antara titik 4 dan 5 (70 ft). Diberikan

data sebagai berikut :

Persamaan penentu untuk aliran dalam jaringan adalah :

QE = QC + QD (1)

p2 = αA – βA QC2 (2)

p3 = αB – βB QD2 (3)

2.31 (p4 – p2) + 8.69*10-4

QC2

LC / DC5 = 0 (4)

2.31 (p4 – p3) + 8.69*10-4

QD2

LD / DD5

= 0 (5)

z5 – z4 – 2.31p4 + 8.69*10-4

QE2

LE / DE5

= 0 (6)

Tentukan harga QC, QD, QE, p2, p3, dan p4 dari enam persamaan penentu diatas dengan metode

Iterasi Gauss Seidel !

6


4 4

Penyelesaian

Persamaan penentu dapat disusun kembali sebagai berikut :

p2 = αA – βA QC2 dari (2)

p3 = αB – βB QD2 dari (3)

p4 = (8.69*10-4

QE2

LE / DE5

) + z5 – z4 dari (6)

QC = dari (4)

QD = dari (5)

QE = QC + QD dari (1)

Dengan memasukkan semua harga ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :

p2 = 156.6 – 0.00752*QC2

p3 = 117.1 – 0.00427*QD2

p4 = (8.69*10-4

QE2

145 / 2.4695

+ 70)

= 5.95*10-4

*QE2

+ 30.30

QC QE = QC + QD =

= 8.51*

QD =

= 28.33*

QE = QC + QD

Persamaan-persamaan diatas selanjutnya akan digunakan dalam algoritma

pemrograman untuk menentukan harga QC, QD, QE, p2, p3, dan p4.

7


4 4

3.2 Algoritma Pemrograman

Algoritma yang digunakan dalam program ini yaitu :

a. Masukkan nilai asumsi awal untuk Qc dan Qd (Qc = 100 dan Qd = 100)

b. Proses inisialisasi Eps = 0.001 (toleransi), maxit = 100 (iterasi maksimum), iter = 0

(iterasi awal).

c. Hitung harga awal Qe dengan persamaan Qe = Qc + Qd

d. Melakukan proses iterasi sampai konvergen, sesuai dengan persamaan yang telah

diberikan di atas dan dengan syarat konvergensi Qb – Qe < Eps

e. Jika sudah mencapai konvergensi, cetak harga QC, QD, QE, p2, p3, p4 dan akhiri program.

8


4 4

Baca Qc, Qd

CETAK Judul

Eps = 0.001

maxit = 100

iter = 0

Qe = Qc + Qd

MULAI

3.3 Bagan Alir Program

YA

TIDAK

Iter = iter + 1

Iter = 1 to n

Iter = Iter + 1

p2 = 156.6-0.00752*Qc*Qc

p3 = 117.1-0.00427*Qd*Qd

p4 = ((5.95e-4*Qe*Qe)+30.30)

Qc = 8.51*sqrt(p2-p4)

Qd = 28.33*sqrt(p3-p4)

Qb = Qc+Qd

Qe = Qb

(Qb – Qe) <Eps

CETAK

QC, QD, QE, p2, p3, p4

SELESAI

9


4 4

3.4 Deklarasi Kasus dalam Program Matlab

clc;

clear;

disp(' PERSAMAAN NON LINEAR DALAM ILMU REKAYASA SIPIL ')

disp('******* BIDANG HIDROLOGI *********')

disp('*** Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa ***')

disp(' Metode Iterasi Gaus-seidel ')

disp(' ')

Qc= input('Masukkan Nilai Qc=')

Qd= input('Masukkan Nilai Qd=')

% Inisialisasi Awal

Eps=0.001 %toleransi

Qe=Qc+Qd

maxit=100 % iterasi maksimum

fprintf('\n**********Solusi dengan Iterasi Gauss Seidel**********\n');

% lakukan iterasi sampai konvergen

iter = 0

while (iter<maxit)

iter=iter+1

p2=156.6-0.00752*Qc*Qc

p3=117.1-0.00427*Qd*Qd

p4=((5.95e-4*Qe*Qe)+30.30)

Qc=8.51*sqrt(p2-p4)

Qd=28.33*sqrt(p3-p4)

Qb=Qc+Qd

Qe=Qb

disp(' ') %tampilkan hasil iterasi

disp('p2 p3 p4 Qc Qd Qe')

fprintf('%4.3f %4.3f %6.3f %8.3f %10.3f %12.3f %14.3f\n',...

p2,p3,p4,Qc,Qd,Qe);

if abs (Qb-Qe)<Eps % syarat konvergensi

break

else

continue

end

end

disp(' ')

disp(' ')

fprintf('\n**********************Hasil akhir**********************\n');

disp(' ')

disp('p2 p3 p4 Qc Qd Qe')

fprintf('%4.3f %4.3f %6.3f %8.3f %10.3f %12.3f %14.3f\n',...

p2,p3,p4,Qc,Qd,Qe);

10


4 4

3.5 Eksekusi Program

PERSAMAAN NON LINEAR DALAM ILMU REKAYASA SIPIL

******* BIDANG HIDROLOGI *********

*** Menentukan Kinerja Pompa dan Debit Pipa ***

Metode Iterasi Gaus-seidel

Masukkan Nilai Qc=100

Qc =

100

Masukkan Nilai Qd=100

Qd =

100

Eps =

1.0000e-003

Qe =

200

maxit =

100

**********Solusi dengan Iterasi Gauss Seidel**********

iter =

0

iter =

1

p2 =

81.4000

p3 =

74.4000

p4 =

54.1000

Qc =

44.4642

Qd =

127.6423

11


4 4

Qb =

172.1065

Qe =

172.1065

p2 p3 p4 Qc Qd Qe

81.400 74.400 54.100 44.464 127.642 172.107

**********************Hasil akhir**********************

p2 p3 p4 Qc Qd Qe

81.400 74.400 54.100 44.464 127.642 172.107

12


4 4

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

a. Metode iterasi Gauss-Saidel tidak hanya dapat digunakan pada persamaan linear ,

tetapi juga pada persamaan non-linear.

b. Berdasarkan nilai awal Qc dan Qd (Qc = 100,Qd = 100), diperoleh harga QC, QD, QE,

p2, p3, dan p4 berturut-turut 81.400, 74.400, 54.100, 44.464, 127.642, 172.107.

4.2 Saran

a. Usahakan mengubah suatu persamaan menjadi sesederhana mungkin agar mudah

didefinisikan dalam program.

b. Usahakan algoritma yang digunakan tidak berbelit-belit; tetapi singkat, padat dan

mudah di intepretasikan.

c. Tingkatkan ketelitian pada pengintepretasian algoritma ke bahasa pemrograman yang

digunakan, ini dilakukan agar dapat menghindari kesalahan-kesalahan dalam

penyusunan program sehingga program dapat selesai tepat waktu.

d. Pastikan sumber dan data yang digunakan dalam penyelesaian program dapat

dipertanggung jawabkan kebenarannya.

13


4 4

DAFTAR PUSTAKA

Fiirdaus Amirullah, 2009, Pengujian Karakteristik Pompa Susunan Paralel dengan

Spesifikasi Berbeda,

http://eprints.undip.ac.id/20185/1/Karakteristik_Pompa_Susunan_Paralel_Spek_Berbeda.pdf

Caryn, 2010, Persamaan Linier Simultan (Metode Ietrasi Gauss-Seidel),

http://cewekkarir.wordpress.com/my-task/persamaan-linier-simultan-metode-iterasi-gauss-

seidel/

Wapedia, 2009, Metode Gauss-Seidel, http://wapedia.mobi/id/Metode_Gauss-Seidel

Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung.

Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta.

Mece Ualberta , 2008, Matlab Source Code Examples,

http://www.mece.ualberta.ca/Courses/mec390/390code/examples.htm

Nasution, A., Zakaria, H., Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB, 2001.

Akhbar Jiwandono, 2010, Daftar

Pustaka,http://akhbart123c.blogspot.com/2010/06/pustaka.html

Tunimus, 2009, Tugas Akhir, http://digilib.unimus.ac.id/files/disk1/17/jtptunimus-gdl-s1-

2008-amunifc2a0-823-3-bab3.pdf

14

http://eprints.undip.ac.id/20185/1/Karakteristik_Pompa_Susunan_Paralel_Spek_Berbeda.pdf

http://cewekkarir.wordpress.com/my-task/persamaan-linier-simultan-metode-iterasi-gauss-seidel/

http://cewekkarir.wordpress.com/my-task/persamaan-linier-simultan-metode-iterasi-gauss-seidel/

http://wapedia.mobi/id/Metode_Gauss-Seidel

http://www.mece.ualberta.ca/Courses/mec390/390code/examples.htm

http://digilib.unimus.ac.id/files/disk1/17/jtptunimus-gdl-s1-2008-amunifc2a0-823-3-bab3.pdf

http://digilib.unimus.ac.id/files/disk1/17/jtptunimus-gdl-s1-2008-amunifc2a0-823-3-bab3.pdf

TUGAS AHIR MATEMATIKA 4

Documents

Transcript of TUGAS AHIR MATEMATIKA 4