BARISAN FIBONACCIMuhamad Reza FahleviNPM : 1306405982Nomor urut : 45Abstrak Dalam makalah ini definisi dari barisan fibonacci adalah fn = fn-1 + fn-2 dengan f0 = 0, f1 = 1. Selanjutnya akan diperlihatkan dimana hubungan fn = fn-1 + fn-2 diperoleh. Akan diberikan 1 sifat barisan Fibonacci, membuktikan sifat barisan tersebutKata Kunci :Barisan fibonacci, barisan bilangan, induksi matematikaPendahuluan Barisan fibonacci merupakan salah satu barisan bilangan. Bentuknya unik dan mudah untuk dikenali. Barisan ini diperoleh melalui peternakan kelinci. Pada abad ke-13, Leonardo Pisano (dikenal juga dengan nama Fibonacci) menuliskan suatu masalah dibukunya Liber Abaci.Inilah masalah yang terdapat pada buku tersebut, Berapa banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak selama satu tahun jika diawali dari sepasang kelinci (jantan dan betina) dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa dan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan sehingga setiap bulan kedia masing-masing kelinci betina selalu melahirkan sepasang kelinci baru?.Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . . Barisan bilangan inilah yang dinamakan dengan barisan Fibonacci.Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat. Prinsip induksi sederhana, misalkan p(n) adalah proposisi bilangan bulat positif dan ingin dibuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :1. p(n) benar2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n 1Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.Tinjauan literatur :Barisan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Dimana adalah suatu fungsi yang memetakan dari bilangan bulat ke bilangan bulat dan n adalah banyaknya suku dari barisan fibonacci yang merupakan anggota bilangan bulat. Berdasarkan dari definisi maka ,, dan seterusnya.Barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonacci yang pertama adalah: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...Adapun langkah (algoritma) rekursif dan iteratif untuk mencari bilangan fibonacci ke n.

Proses Penyelesaian MasalahMasalah ini, yang awalnya diajukan oleh Leonardo Pisano, juga dikenal sebagai Fibonacci, pada abad ke-13 dalam bukunya Liber Abaci. Sepasang kelinci muda (satu dari setiap jenis kelamin) ditempatkan di sebuah pulau. Sepasang kelinci tidak berkembang biak sampai mereka berusia 2 bulan. Setelah mereka berusia 2 bulan, masing masing sepasang kelinci menghasilkan sepasang setiap bulan, seperti yang ditunjukkan gambar dibawah

Dinotasikan dengan fn jumlah pasang kelinci setelah n bulan. Akan ditunjukkan bahwa fn ,n = 1, 2, 3, ..., adalah barisan fibonacci. Populasi kelinci dapat dimodelkan menggunakan relasi rekurensi. Pada akhir bulan pertama, jumlah pasangan kelinci di pulau f1 = 1. Karena pasangan ini tidak berkembang biak sampai bulan kedua, f2 = 1 juga. Untuk menemukan jumlah pasangan setelah n bulan, tambahkan jumlah pasangan pada bulan sebelumnya di pulau, fn-1, dan jumlah pasangan yang baru lahir, yaitu fn-2, karena setiap pasangan yang baru lahir berasal dari sepasang yang berusia 2 bulan. Akibatnya barisan fn memenuhi relasi rekurensi fn = fn-1 + fn-2 untuk n 3 dengan kondisi awal f1 = 1 dan f2 = 1. Karena relasi rekurensi ini dan kondisi awal yang unik menghasilkan barisan, jumlah pasang kelinci di pulau setelah n bulan disebut dengan bilangan Fibonacci ke nUntuk barisan Fibonacci ini ada sifat, dimana setiap kuadrat barisannya (sampai barisan ke-n) apabila dijumlahkan sama dengan perkalian barisan ke-n dikalikan dengan barisan ke-(n+1). Secara formal dapat ditulis sebagai berikut,Akan dibuktikan bahwa : Bukti:Untuk membuktikan sifat ini, akan menggunaka induksi matematikaBasis Induksi :Untuk n = 1 (benar)Langkah Induksi :Untuk n = k, diasuksikan benar Hipotesis Induksi :Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1 berdasarkan definisi barisan fibonacci, diperoleh

KesimpulanPenulis memperlihatkan hubungan fn = fn-1 + fn-2 diperoleh dari peternakan kelinci dan dapat membuktikan 1 sifat dari barisan bilangan fibonacciDaftar literaturDiscrete mathematics and its applications / Kenneth H. Rosen. 7th ed.https://www.academia.edu/9752954/BUKTI_ADANYA_KEKUASAAN_TUHAN_DARI_BARISAN_FIBONACCIhttps://www.academia.edu/7070397/INDUKSI_MATEMATIK